Algorithmisches Differenzieren - M1

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$Prof. Dr. Bastian von Harrach Dipl. Math. Marcel Ullrich ... - M1$

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 19 mit i �= j, so gilt ¯yk = Φ ′ k(y1, y2, . . . , yk−1) = [0, . . . , 0, yj, 0, . . . , 0, yi, 0, . . . , 0] mit yj in Spalte i und yi in Spalte j. Die update–Vorschrift in Tabelle 9 Block (2.2) für µ = 1, 2, . . . , k − 1 Uµ ← Uµ + Uk · Φ ′ k(y1, y2, . . . , yk−1)µ schmilzt daher zusammen auf höchstens zwei updates der Gestalt Ui ← Ui + Uk · ¯yki Uj ← Uj + Uk · ¯ykj In Tabelle 10 sind für alle auftretenden Fälle die ¯yki und/oder ¯ykj angeben. Zur Einsparung von Operationen setzen wir (20) (21) Ski := Uk · ¯yki für Tk ∈ {A,S,M,D,AV,MV,AVC,SVC,MVC,DVC} (22) Skj := Uk · ¯ykj für Tk ∈ {A,M,ACV,MCV} (23) Skj := −Uk · ¯ykj für Tk ∈ {S,D,SCV,DCV,VW} (24) Damit erhalten wir aus (20) und (21) die endgültigen update–Formeln Ui ← Ui + Ski für Tk ∈ {A,S,M,D,AV,MV,AVC,SVC,MVC,DVC} (25) Uj ← Uj + Skj für Tk ∈ {A,M,ACV,MCV} (26) Uj ← Uj − Skj für Tk ∈ {S,D,SCV,DCV,VW} (27) Den so präzisierten Algorithmus zur Berechnung von f(x) und f ′ (x) nennen wir jetzt RM (Rückwärts–Methode), siehe Tabelle 12. (1) Berechne y1, y2, . . . , yn+t = f(x) mit Algorithmus FUN. (2) Berechnung von f ′ (x): (2.1) U ← [0, . . . , 0, 1] mit Länge n + t (2.2) Für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 in dieser Reihenfolge für Tk ∈ {A,S,M,D,AV,MV,AVC,SVC,MVC,DVC} Ski ← gemäß Tabelle 10 Ui ← Ui + Ski für Tk ∈ {A,M,ACV,MCV} Skj ← gemäß Tabelle 10 Uj ← Uj + Skj für Tk ∈ {S,D,SCV,DCV,VW} Skj ← gemäß Tabelle 10 Uj ← Uj − Skj (2.3) f ′ (x) ← [U1, U2, . . . , Un] Tabelle 12: Algorithmus RM
3 RÜCKWÄRTS–METHODE 20 Wir definieren #(f, f ′ , RM) := Anzahl der rationalen Operationen zur Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit RM. Proposition 2: Für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit dem Algorithmus RM gilt #(f, f ′ , RM) ≤ 5 · #(f, FUN). Beweis: Block (1) kostet t Operationen. In Tabelle 10 ist unter #(Ski, Skj) angemerkt, wie teuer Ski und/oder Skj sind. Für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 bezeichne #(update,k) die Anzahl der in Block (2.2) Schritt k durchzuführenden update– Operationen. Offensichtlich ist #(update,k) höchstens 2. Somit ergibt sich #(f, f ′ , RM) = t + ≤ t + n+t � k=n+1 n+t � k=n+1 (#(Ski, Skj) + #(update, k)) (2 + 2) = 5t = 5 · #(f, FUN). Die Abschätzung in Proposition 2 ist scharf. Wenn im Algorithmus FUN nur Operationen vom Typ M oder D auftreten, dann wird obige Ungleichung zu einer Gleichung. Zur Durchführung des Algorithmus RM werden zwei Listen der Länge n+t benötigt, eine für die Werte y1, y2, . . . , yn+t, und eine für die Arbeitszeile U. Vergleicht man die Vorwärts–Methode mit Überschreiben und die Rückwärts–Methode, so zeigt sich, daß im allgemeinen der Bedarf an Speicherplätzen bei der Vorwärts–Methode sehr viel kleiner ist als der Bedarf an Speicherplätzen bei der Rückwärts–Methode. Man kann den Algorithmus RM noch verfeinern zu einem Algorithmus RM1. Dabei wird berücksichtigt, daß in Block (2.2) zu Beginn die Arbeitszeile U bis auf Un+t = 1 nur “System–Nullen” enthält. Eine Addition zu einer System–Null kann bei geeigneter Buchführung vermieden werden, eine Subtraktion erfordert einen Vorzeichen–Wechsel. Dies liefert allerdings nur #(f, f ′ , RM1) < 5 · #(f, FUN). Eine weitere Verfeinerung vom RM1 zu einem Algorithmus RM2 ist möglich, wenn man in Block (2.2) fällige Vorzeichen–Wechsel nicht sofort ausführt, sondern erst am Ende von Block (2.2). Einzelheiten sind in [57] ausführlich beschrieben. Ohne Beweis geben wir folgendes Ergebnis an. Proposition 3: Für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit dem Algorithmus RM2 gilt #(f, f ′ , RM2) ≤ 4 · #(f, FUN). Funktionswert f(x) und Ableitungswert f ′ (x) zusammen, berechnet mit RM2, kosten also höchstens 4–mal soviel wie der Funktionswert alleine. ⊓⊔
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