Algorithmisches Differenzieren - M1

Algorithmisches Differenzieren
Herbert Fischer
1 Einleitung
Wir wollen für eine Funktion f die Ableitung f ′ an einer gegebenen Stelle berechnen.
Nehmen wir zum Beispiel die Funktion f : IR → IR mit f(x) = (x 3 + x) 2 und fragen
nach f ′ (7). Gemäß der Definition der Ableitung erhalten wir den Wert
f ′ ((7 + h)
(7) = lim
h→0
3 + (7 + h)) 2 − (73 + 7) 2
h
= 103600.
Üblicher ist es, mit den bekannten Regeln der Differentialrechnung eine Formel
f ′ (x) = 2(x 3 + x)(3x 2 + 1)
zu erzeugen, mit der wir dann f ′ (7) = 103600 berechnen. Beide Wege sind nur in
einfachen Fällen brauchbar. Ist die Funktion f etwa durch ein Programm mit 5000
Anweisungen gegeben, so sind andere Wege zu suchen.
Die Regeln zum Differenzieren ermöglichen es, die Berechnung von Ableitungen
zu automatisieren. Das Prinzip ist einfach: Die gegebene Funktion f wird in Teile
zerlegt, für die Teile werden Ableitungen gebildet, sodann werden die Ableitungen der
Teile zusammengesetzt und ergeben f ′ (x). Dieses mehr oder weniger automatische
Differenzieren wollen wir schematisch so darstellen.
103600
✛
auto. Diff.
✛
✛
(x 3 + x) 2
In vielen Bereichen der Angewandten Mathematik treten Ableitungen auf: beim iterativen
Lösen von nichtlinearen Gleichungen, in der nichtlinearen Optimierung, bei der
Behandlung von Differentialgleichungen, bei der Steuerung von Robotern, in der Sensitivitätsanalyse,
bei fast allen kontinuierlichen physikalischen Problemen. Während
innerhalb der Reinen Mathematik die Behandlung von Ableitungen, also die Differentialrechnung,
seit langem ein abgeschlossenes Gebiet ist, wird in der numerischen
Praxis bezüglich der Ableitungen meist der Stand vor Leibniz beibehalten: Für eine
gegebene Funktion f wird die Ableitung f ′ an gegebener Stelle x angenähert durch
einen Differenzen-Quotienten
f ′ (x) ≈
f(y) − f(x)
.
y − x
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