Algorithmisches Differenzieren - M1

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 17
In Block (2.2) Schritt k unseres Planes ist also zu einer Zeile ein Vielfaches der Zeile
Φ ′ k(zk−1) zu addieren. Dies legt “ Überschreiben” nahe. Wir führen eine Arbeitszeile U
der Länge n + t ein,
U = U1 . . . Un Un+1 . . . . . . Un+t
in der wir die aktuellen Werte von pk speichern. Aus (14) entsteht dann die update–
Formel
Uµ ←− Uµ + Uk · Φ ′ k(zk−1)µ für µ = 1, 2, . . . , k − 1, (15)
wobei der Index µ die Spalte von U bzw. Φ ′ k(zk−1) kennzeichnet. Nach Beendigung
von Block (2.2) unseres Planes enthält die Arbeitszeile U die Werte
und es gilt
U = pn+1,1 . . . pn+1,n pn+2,n+1 . . . . . . pn+t+1,n+t (16)
f ′ (x) = pn+1 = [U1, U2, . . . , Un]. (17)
Damit ergibt sich ein Algorithmus A ′ zur Berechnung von f(x) und f ′ (x) wie in Tabelle
9 dargestellt.
(1) Berechne y1, y2, . . . , yn+t = f(x) mit Algorithmus A.
(2) Berechnung von f ′ (x):
(2.1) U ← [0, . . . , 0, 1] mit Länge n + t
(2.2) Für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 in dieser Reihenfolge
für µ = 1, 2, . . . , k − 1
Uµ ← Uµ + Uk · Φ ′ k(y1, y2, . . . , yk−1)µ
(2.3) f ′ (x) ← [U1, U2, . . . , Un]
Tabelle 9: Algorithmus A ′ zur Berechnung von f(x) und f ′ (x)
3.2 Komplexität
Über den Rechenaufwand des Algorithmus A ′ kann Näheres erst ausgesagt werden,
wenn Einzelheiten über die Funktionen Φk und Φ ′ k für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
vorliegen. Wir betrachten hier nur rationale Φk. Ferner nehmen wir an, daß die
Vorschrift
yk = Φk(y1, y2, . . . , yk−1) (18)
nur eine rationale Operation darstellt. Die verschiedenen Möglichkeiten sind in Tabelle
10 Spalte 2 angegeben.