Algorithmisches Differenzieren - M1

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 16
(1) Berechne y1, y2, . . . , yn+t = f(x) mit Algorithmus A. Mit (11)
stehen somit die Vektoren zn+t, zn+t−1, . . . , zn zur Verfügung
(2) Berechnung von f ′ (x):
(2.1) pn+t+1 := L ′ (zn+t)
(2.2) Für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 in dieser Reihenfolge
pk := pk+1 · E ′ k(zk−1)
(2.3) f ′ (x) = pn+1
Tabelle 8: Plan für die Rückwärts–Methode
Das folgende Schema soll unseren Plan verdeutlichen.
f ′ (x) =L ′ (zn+t)·E ′ n+t(zn+t−1)·. . .·E ′ n+2(zn+1)·E ′ n+1(zn)
pn+t+1
Nun zu technischen Details! Es gilt
pn+t
pn+2
pn+1
pn+t+1 := L ′ (zn+t) = [0, . . . , 0, 1] = Zeile mit n + t Spalten. (12)
pk+1 ist eine Zeile mit k Spalten. E ′ k(zk−1) ist eine Matrix mit k Zeilen und k − 1
Spalten. Die oberen k − 1 Zeilen von E ′ k(zk−1) bilden eine Einheitsmatrix, und die
letzte Zeile von E ′ k(zk−1) ist Φ ′ k(zk−1). Diese besonders einfache Gestalt der Matrix
E ′ k(zk−1) bewirkt
pk
� �� �
pk,1 . . . pk,k−1
pk+1
� �� �
= pk+1,1 . . . pk+1,k−1 pk+1,k
E
� �� �
′ k(zk−1)
• 1
· · · · · · · · · · · ·
Φ ′ k(zk−1)
[pk,1 . . . pk,k−1] = [pk+1,1 . . . pk+1,k−1] + pk+1,k · letzte Zeile von E ′ k(zk−1) (13)
oder mit Φ ′ k(zk−1) ausgedrückt
[pk,1 . . . pk,k−1] = [pk+1,1 . . . pk+1,k−1] + pk+1,k · Φ ′ k(zk−1). (14)
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