Algorithmisches Differenzieren - M1
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3 RÜCKWÄRTS–METHODE 15<br />
Damit erhalten wir eine schöne Darstellung der Funktion f,<br />
f(x) = L(En+t(En+t−1( . . . En+2(En+1(x)) . . . ))), (4)<br />
oder noch kürzer<br />
f = L ◦ En+t ◦ En+t−1 ◦ . . . ◦ En+2 ◦ En+1, (5)<br />
wobei ◦ die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet. Die Formel (4)<br />
beschreibt in kompakter Weise die Berechnung von f(x) gemäß Algorithmus A. Der<br />
Berechnung von yk in Algorithmus A entspricht die Auswertung der Funktion Ek in<br />
Formel (4).<br />
<strong>Differenzieren</strong> wir die Formel (4)! Zur Abkürzung setzen wir<br />
zn := x (6)<br />
und für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t<br />
zk := Ek(Ek−1( . . . En+2(En+1(x)) . . . )). (7)<br />
Aus (4) ergibt sich mit der Ketten–Regel<br />
f ′ (x) = L ′ (zn+t) · E ′ n+t(zn+t−1) · . . . · E ′ n+2(zn+1) · E ′ n+1(zn). (8)<br />
Somit erhalten wir für f ′ (x) ein Produkt von Jacobi–Matrizen. Die Multiplikation von<br />
Matrizen ist assoziativ, also gibt es viele Möglichkeiten, das Produkt zu ermitteln.<br />
Bei genauerem Hinsehen kann man erkennen, daß die Multiplikation von rechts nach<br />
links der Vorwärts–Methode entspricht. Die Multiplikation von links nach rechts ergibt<br />
die Rückwärts–Methode. Diese soll jetzt näher beschrieben werden.<br />
Zunächst geben wir den Teil–Produkten Namen, wir definieren<br />
pn+t+1 := L ′ (zn+t), (9)<br />
und für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 in dieser Reihenfolge<br />
pk := pk+1 · E ′ k(zk−1). (10)<br />
Dann stellen wir fest, daß für k = n, n + 1, . . . , n + t gilt<br />
⎡ ⎤<br />
y1<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎢y2<br />
⎥<br />
zk = ⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣ . ⎥<br />
⎦<br />
yk<br />
mit y1, y2, . . . , yk gemäß Algorithmus A. (11)<br />
Leider benötigen wir die Vektoren zn+t, zn+t−1, . . . , zn in dieser Reihenfolge. Wir<br />
müssen also die Werte y1, y2, . . . , yn+t mit Algorithmus A berechnen und können dann<br />
erst mit der Produktbildung beginnen. In Tabelle 8 ist unser Plan skizziert.