26.02.2013 Aufrufe

Algorithmisches Differenzieren - M1

Algorithmisches Differenzieren - M1

Algorithmisches Differenzieren - M1

MEHR ANZEIGEN
WENIGER ANZEIGEN

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 15<br />

Damit erhalten wir eine schöne Darstellung der Funktion f,<br />

f(x) = L(En+t(En+t−1( . . . En+2(En+1(x)) . . . ))), (4)<br />

oder noch kürzer<br />

f = L ◦ En+t ◦ En+t−1 ◦ . . . ◦ En+2 ◦ En+1, (5)<br />

wobei ◦ die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet. Die Formel (4)<br />

beschreibt in kompakter Weise die Berechnung von f(x) gemäß Algorithmus A. Der<br />

Berechnung von yk in Algorithmus A entspricht die Auswertung der Funktion Ek in<br />

Formel (4).<br />

<strong>Differenzieren</strong> wir die Formel (4)! Zur Abkürzung setzen wir<br />

zn := x (6)<br />

und für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t<br />

zk := Ek(Ek−1( . . . En+2(En+1(x)) . . . )). (7)<br />

Aus (4) ergibt sich mit der Ketten–Regel<br />

f ′ (x) = L ′ (zn+t) · E ′ n+t(zn+t−1) · . . . · E ′ n+2(zn+1) · E ′ n+1(zn). (8)<br />

Somit erhalten wir für f ′ (x) ein Produkt von Jacobi–Matrizen. Die Multiplikation von<br />

Matrizen ist assoziativ, also gibt es viele Möglichkeiten, das Produkt zu ermitteln.<br />

Bei genauerem Hinsehen kann man erkennen, daß die Multiplikation von rechts nach<br />

links der Vorwärts–Methode entspricht. Die Multiplikation von links nach rechts ergibt<br />

die Rückwärts–Methode. Diese soll jetzt näher beschrieben werden.<br />

Zunächst geben wir den Teil–Produkten Namen, wir definieren<br />

pn+t+1 := L ′ (zn+t), (9)<br />

und für k = n + t, n + t − 1, . . . , n + 1 in dieser Reihenfolge<br />

pk := pk+1 · E ′ k(zk−1). (10)<br />

Dann stellen wir fest, daß für k = n, n + 1, . . . , n + t gilt<br />

⎡ ⎤<br />

y1<br />

⎢ ⎥<br />

⎢<br />

⎢y2<br />

⎥<br />

zk = ⎢ ⎥<br />

⎢<br />

⎣ . ⎥<br />

⎦<br />

yk<br />

mit y1, y2, . . . , yk gemäß Algorithmus A. (11)<br />

Leider benötigen wir die Vektoren zn+t, zn+t−1, . . . , zn in dieser Reihenfolge. Wir<br />

müssen also die Werte y1, y2, . . . , yn+t mit Algorithmus A berechnen und können dann<br />

erst mit der Produktbildung beginnen. In Tabelle 8 ist unser Plan skizziert.

Hurra! Ihre Datei wurde hochgeladen und ist bereit für die Veröffentlichung.

Erfolgreich gespeichert!

Leider ist etwas schief gelaufen!