Algorithmisches Differenzieren - M1

3 RÜCKWÄRTS–METHODE 14
3 Rückwärts–Methode
In Abschnitt 2 haben wir gezeigt, wie ein Algorithmus A zur Berechnung eines Funktionswertes
f(x) transformiert werden kann in einen Algorithmus A ′ für die Berechnung
von Funktionswert f(x) und Ableitungswert f ′ (x). Der beschriebene Weg ist nicht der
einzige, das gesteckte Ziel zu erreichen. Es gibt einen anderen Weg, der ebenfalls
zu einem Algorithmus für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) führt. Während bei
der Vorwärts–Methode schrittweise die Ableitungen ∂yk
verwendet werden, liefert der
∂xi
zweite Weg eine Methode, in der schrittweise Ableitungen ∂yn+t
erscheinen. Diese
∂yk
zweite Methode nennen wir Rückwärts–Methode, aus Gründen, die noch ersichtlich
werden. In diesem Abschnitt wollen wir den mathematischen Formalismus für die
Rückwärts–Methode darlegen. Dabei werden – der Geschlossenheit zuliebe – einige
Bezeichnungen aus Abschnitt 2 wiederholt.
3.1 Allgemeines Schema
Wir betrachten eine Funktion f : D ⊆ IR n → IR, die durch einen Algorithmus A gemäß
Tabelle 7 definiert ist.
(1) Für k = 1, 2, . . . , n
yk = xk = k–te Komponente von x
(2) Für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
yk = Φk(y1, y2, . . . , yk−1)
(3) f(x) = yn+t
Tabelle 7: Algorithmus A zur Berechnung von f(x)
Wir nehmen an, daß für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t die Funktion
Φk : Dk−1 ⊆ IR k−1 → IR (1)
und deren Ableitung Φ ′ k bekannt sind. Wir nehmen ferner an, daß die Funktionen
Φk und Φ ′ k für gegebene Argumente ausgewertet werden können. Der Algorithmus
A beschreibt, wie zu gegebenem x ∈ D der Funktionswert f(x) schrittweise über die
Hilfsgrößen y1, y2, . . . , yn+t zu berechnen ist.
Nun definieren wir für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
Ek : Dk−1 ⊆ IR k−1 → IR k � �
z
mit Ek(z) := .
Φk(z)
(2)
Jeder Funktion Φk ist also eine Funktion Ek zugeordnet. Ek kopiert das Argument z
und fügt eine neue Komponente Φk(z) an. Ferner definieren wir die Funktion
L : IR n+t → IR mit L(z) := letzte Komponente von z. (3)