Algorithmisches Differenzieren - M1

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$Prof. Dr. Bastian von Harrach Dipl. Math. Marcel Ullrich ... - M1$

2 VORWÄRTS–METHODE 13 Nun zum Bedarf an Speicherplätzen für den Algorithmus VM. Es ist schwierig, eine relevante Größe zu definieren, da wir im Algorithmus VM nicht spezifiziert haben, was während des Ablaufes des Algorithmus zu speichern ist und was eventuell zu vergessen ist. Wenn wir jedes Paar (yk, y ′ k) für k = 1, 2, . . . , n + t separat speichern, dann sind (n + t) · (n + 1) Speicherplätze nötig. In einem Programm für den Algorithmus VM wird man allerdings versuchen, gespeicherte Zahlen zu vergessen, wenn sie für den Rest des Algorithmus nicht mehr von Belang sind, d.h. man überschreibt Speicherplätze. Dadurch kann der Bedarf an Speicherplätzen weit unter (n + t) · (n + 1) sinken. Wir wollen noch eine Variante V<strong>M1</strong> zum Algorithmus VM angeben. Der Algorithmus VM startet in Block (1) mit den Ableitungen y ′ 1, y ′ 2, . . . , y ′ n, die jeweils (n − 1) System–Nullen enthalten. Im Block (2) werden aus diesen Ableitungen neue Ableitungen gebildet. Dabei werden rationale Operationen mit System–Nullen ausgeführt. Diese unnötigen Operationen werden im Algorithmus V<strong>M1</strong> unterdrückt. Jedem y ′ k ordnen wir eine Index–Menge Ik zu, welche die Indizes der signifikanten Komponenten von y ′ k enthält. So gehört z.B. zu y ′ 1 die Index–Menge I1 = {1}. Angenommen y ′ i, Ii und y ′ j, Ij sind bereits berechnet und y ′ k = y ′ i + y ′ j. Dann werden die Komponenten von y ′ k berechnet nach der Vorschrift y ′ ⎧ y ⎪⎨ kµ = ⎪⎩ ′ iµ + y ′ jµ für µ ∈ Ii ∩ Ij y ′ iµ für µ ∈ Ii\Ij y ′ ⎫ ⎪⎬ jµ für µ ∈ Ij\Ii ⎪⎭ 0 für µ /∈ Ii ∪ Ij für µ = 1, 2, . . . , n. Die zu y ′ k gehörige Index–Menge ist Ik = Ii ∪ Ij. Analog werden bei den anderen Verknüpfungen von Ableitungen die Operationen mit System–Nullen eingespart.
3 RÜCKWÄRTS–METHODE 14 3 Rückwärts–Methode In Abschnitt 2 haben wir gezeigt, wie ein Algorithmus A zur Berechnung eines Funktionswertes f(x) transformiert werden kann in einen Algorithmus A ′ für die Berechnung von Funktionswert f(x) und Ableitungswert f ′ (x). Der beschriebene Weg ist nicht der einzige, das gesteckte Ziel zu erreichen. Es gibt einen anderen Weg, der ebenfalls zu einem Algorithmus für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) führt. Während bei der Vorwärts–Methode schrittweise die Ableitungen ∂yk verwendet werden, liefert der ∂xi zweite Weg eine Methode, in der schrittweise Ableitungen ∂yn+t erscheinen. Diese ∂yk zweite Methode nennen wir Rückwärts–Methode, aus Gründen, die noch ersichtlich werden. In diesem Abschnitt wollen wir den mathematischen Formalismus für die Rückwärts–Methode darlegen. Dabei werden – der Geschlossenheit zuliebe – einige Bezeichnungen aus Abschnitt 2 wiederholt. 3.1 Allgemeines Schema Wir betrachten eine Funktion f : D ⊆ IR n → IR, die durch einen Algorithmus A gemäß Tabelle 7 definiert ist. (1) Für k = 1, 2, . . . , n yk = xk = k–te Komponente von x (2) Für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t yk = Φk(y1, y2, . . . , yk−1) (3) f(x) = yn+t Tabelle 7: Algorithmus A zur Berechnung von f(x) Wir nehmen an, daß für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t die Funktion Φk : Dk−1 ⊆ IR k−1 → IR (1) und deren Ableitung Φ ′ k bekannt sind. Wir nehmen ferner an, daß die Funktionen Φk und Φ ′ k für gegebene Argumente ausgewertet werden können. Der Algorithmus A beschreibt, wie zu gegebenem x ∈ D der Funktionswert f(x) schrittweise über die Hilfsgrößen y1, y2, . . . , yn+t zu berechnen ist. Nun definieren wir für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t Ek : Dk−1 ⊆ IR k−1 → IR k � � z mit Ek(z) := . Φk(z) (2) Jeder Funktion Φk ist also eine Funktion Ek zugeordnet. Ek kopiert das Argument z und fügt eine neue Komponente Φk(z) an. Ferner definieren wir die Funktion L : IR n+t → IR mit L(z) := letzte Komponente von z. (3)
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