Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 12
Wir definieren
#(f, FUN) := Anzahl der rationalen Operationen zur Berechnung
von f(x) mit FUN.
Offensichtlich gilt #(f, FUN) = t. Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß die Zahl
#(f, FUN) nicht eine Kenngröße der Funktion f ist, sondern dem Algorithmus FUN
zugeordnet ist. Die in der Literatur auftretende Bezeichnung L(f) im Zusammenhang
mit “Anzahl der Operationen” sollte reserviert bleiben für L(f) := min #(f, FUN),
wobei das Minimum zu nehmen ist über alle möglichen Algorithmen vom Typ FUN
zur Berechnung von f(x).
Nun folgen wir dem Algorithmus A ′ in Tabelle 3 und spezifizieren die Vorschrift
Yk ←− Φ ∗ k(Y1, Y2, . . . , Yk−1).
Das Paar Yk besteht aus yk = fk(x) und y ′ k = f ′ k(x). Abhängig vom Typ der k–ten
Operation wird y ′ k berechnet wie in Tabelle 4 Spalte 3 angegeben. Den so präzisierten
Algorithmus zur Berechnung von f(x) und f ′ (x) nennen wir jetzt VM (Vorwärts–
Methode), siehe Tabelle 6.
Wir definieren
(1) Für k = 1, 2, . . . , n
(yk, y ′ k) ← (xk, [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]) mit 1 in Position k
(2) Für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
(yk, y ′ k) ← gemäß Tabelle 4 Spalte 2 und Spalte 3
(3) (f(x), f ′ (x)) ← (yn+t, y ′ n+t)
Tabelle 6: Algorithmus VM
#(f, f ′ , VM) := Anzahl der rationalen Operationen zur Berechnung
von f(x) und f ′ (x) mit VM.
Es ist sehr einfach, die Größe #(f, f ′ , VM) abzuschätzen. In Tabelle 4 Spalte 4 ist
unter #(yk, y ′ k) angemerkt, wie “teuer” ein Paar (yk, y ′ k) ist. Damit erhalten wir
Proposition 1: Für die Berechnung von f(x) und f ′ (x) mit dem Algorithmus VM
gilt
#(f, f ′ , VM) ≤ (3n + 1) · #(f, FUN).
Funktionswert und Ableitungswert zusammen, berechnet mit VM, kosten also höchstens
(3n + 1)–mal soviel wie der Funktionswert alleine. Diese Abschätzung ist scharf.
Wenn im Algorithmus FUN nur Operationen vom Typ M oder D auftreten, dann wird
obige Ungleichung zu einer Gleichung.