Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 10
Damit ergibt sich ein Algorithmus A ′ zur Berechnung von f(x) und f ′ (x) wie in Tabelle
3 dargestellt.
(1) Für k = 1, 2, . . . , n
Yk ← (xk, [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]) mit 1 in Position k
(2) Für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
Yk ← Φ ∗ k(Y1, Y2, . . . , Yk−1)
(3) (f(x), f ′ (x)) ← Yn+t
Tabelle 3: Algorithmus A ′ zur Berechnung von f(x) und f ′ (x)
Die Anwendung von A ′ nennt man Vorwärts–Methode. Die Algorithmen A und A ′
sehen sich sehr ähnlich. Entsprechend einfach und naheliegend ist daher die in der
Einleitung erwähnte Transformation DIFF : A → A ′ . Allerdings sind wir bisher sehr
großzügig mit den Konstanten umgegangen. Die Verwendung einer Konstanten als
konstante Funktion, deren Ableitung nur Nullen enthält, fügt sich zwar einfach in die
Theorie ein, in der Praxis wird man jedoch darauf Wert legen, unnötige Operationen
mit Nullen zu vermeiden. Dies führt zu einer Verfeinerung der Funktionen RAT und
LIB und zu einer sorgfältigeren Behandlung von Φk. In der Transformation DIFF
müssen dann entsprechend viele Spezialfälle berücksichtigt werden.
2.4 Komplexität
In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf eine rationale Funktion
f : D ⊆ IR n → IR.
Wir wollen abschätzen, wie viele rationale Operationen zur Berechnung von Funktionswert
f(x) und Ableitungswert f ′ (x) benötigt werden. Unter einer rationalen Operation
verstehen wir Addition oder Subtraktion oder Multiplikation oder Division zweier
reeller Zahlen oder Vorzeichenwechsel einer reellen Zahl. Ferner soll abgeschätzt werden,
wieviel Speicherplatz nötig ist. Bei solchen Abschätzungen ist es wesentlich zu
beachten, daß sowohl f(x) als auch f ′ (x) auf verschiedene Weisen berechnet werden
können. So gibt es zum einen für eine Funktion viele Schreibweisen, die sich in der
Anzahl der Operationen unterscheiden, etwa
f(x) = 1 − x2
=
x1 + x2
x1
.
x1 + x2
Zum anderen gibt es bei einem vorgegebenen Algorithmus zur Berechnung von f(x)
verschiedene Algorithmen, die den Ableitungswert f ′ (x) berechnen.
Wir folgen dem Algorithmus A in Tabelle 2 und spezifizieren die Vorschrift
yk = Φk(y1, y2, . . . , yk−1).
Wir nehmen an, daß yk mit einer rationalen Operation aus y1, y2, . . . , yk−1 berechnet
wird. Die verschiedenen Möglichkeiten sind in Tabelle 4 zusammengestellt, wobei ci
und cj konstante reelle Zahlen sind.
Den präzisierten Algorithmus zur Berechnung von f(x) nennen wir jetzt FUN, siehe
Tabelle 5.