Algorithmisches Differenzieren - M1

2 VORWÄRTS–METHODE 9
2.3 Allgemeines Schema
Wir betrachten eine Funktion f : D ⊆ IR n → IR, die durch einen Algorithmus A gemäß
Tabelle 2 definiert ist.
(1) Für k = 1, 2, . . . , n
yk = xk = k–te Komponente von x
(2) Für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
yk = Φk(y1, y2, . . . , yk−1)
(3) f(x) = yn+t
Tabelle 2: Algorithmus A zur Berechnung von f(x)
Die verwendeten Funktionen Φn+1, Φn+2, . . . , Φn+t seien differenzierbar. Dann ist f
ebenfalls differenzierbar. Wir definieren Funktionen f1, f2, . . . , fn mit
fk(x) := xk = k–te Komponente von x
und Funktionen fn+1, fn+2, . . . , fn+t mit
fk(x) := Φk(f1(x), f2(x), . . . , fk−1(x)).
Ist Φk eine konstante Funktion, dann ist natürlich fk ebenfalls eine konstante Funktion.
Ist Φk von der Gestalt
Φk(y1, y2, . . . , yk−1) = yi ∗ yj mit ∗ ∈ {+, −, ·, /},
dann ist fk(x) = fi(x) ∗ fj(x), also ist fk eine rationale Komposition wie in Abschnitt
2.1 behandelt. Ist Φk von der Gestalt
Φk(y1, y2, . . . , yk−1) = λ(yi) mit λ ∈ Λ,
dann ist fk(x) = λ(fi(x)), also ist fk eine Funktion wie in Abschnitt 2.2 behandelt.
Im allgemeinen nehmen wir an, daß Φk für gegebene Argumente ausgewertet werden
kann. Für die Ableitung f ′ k erhalten wir mit der Ketten–Regel
⎡ ⎤
f ′ k(x) = Φ ′ k(f1(x), f2(x), . . . , fk−1(x)) ·
⎢
⎣
f ′ 1(x)
.
f ′ k−1(x)
Diese Formel für f ′ k(x) beinhaltet als Spezialfälle auch die entsprechenden Formeln für
die Ableitungen aus den Abschnitten 2.1 und 2.2. Im allgemeinen nehmen wir an, daß
Φ ′ k für gegebene Argumente ausgewertet werden kann.
Nun betrachten wir Paare von Funktionswert und Ableitungswert und setzen
Yk := (fk(x), f ′ k(x)) für k = 1, 2, . . . , n + t.
Für k = 1, 2, . . . , n ist das Paar Yk offensichtlich, und für k = n + 1, n + 2, . . . , n + t
kann das Paar Yk aus den Paaren Y1, Y2, . . . , Yk−1 berechnet werden,
Yk ←− Φ ∗ k(Y1, Y2, . . . , Yk−1).
⎥
⎦ .