pdf_(5,19_MB) - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik ...
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Die Felddiffusion IX<br />
Separation der Diffusionsgleichung<br />
Produkteansatz für karthesische Koordinaten:<br />
(A) Diffusionsgleichungen:<br />
� � f � μ� � �<br />
�t<br />
�<br />
f = � 0 � �f i � μ� � �<br />
�t f i = 0 � � f � � E, � J, � B, � A<br />
{ }<br />
Vektordiffusionsgleichung Komponentenschreibweise<br />
(B) Produkteansatz:<br />
� 2 fi �x 2 + �2 fi �y 2 + �2 fi �z 2 � μ� � �fi �t = 0 � fi = X( x)�Y(<br />
y)�Z(<br />
z)�T()<br />
t<br />
Die Felddiffusion X<br />
1<br />
X � �2 X<br />
�x 2<br />
1 + Y � �2Y �y 2<br />
1 + Z � �2Z �z 2<br />
�<br />
� k x 2<br />
�<br />
� k y 2<br />
Separation der Diffusionsgleichung<br />
Produkteansatz für karthesische Koordinaten:<br />
(C) Harmonische Lösungen:<br />
1<br />
X � �2 X<br />
�x 2 2<br />
+ kx = 0<br />
(D) Zeitverhalten:<br />
1<br />
Y � �2Y �y 2 2<br />
+ ky = 0<br />
μ�<br />
� T �t = 0<br />
� �<br />
� k z 2<br />
� �T<br />
k x 2 +ky 2 +kz 2<br />
Jeder Term hängt nur von der jeweiligen<br />
Variablen ab <strong>und</strong> muss daher konstant sein.<br />
1<br />
Z � �2Z �z 2 2<br />
+ kz = 0<br />
Die die zugehörigen harmonischen Lösungsfunktionen sind ab<br />
Folie 1-181 als (H-1) bis (H-8) für verschiedene Koordinatensysteme<br />
aufgeführt. Die Separationskonstanten k i erhält man<br />
aus den entsprechenden Randbedingungen.<br />
� μ� �T<br />
T � �t = k t<br />
2 2 2 � �<br />
x + ky + kz � T()= t T0 �e<br />
� =<br />
μ�<br />
k x 2 +ky 2 +kz 2<br />
Jede der Lösungsfunktionen mit ihren Separationskonstanten k i<br />
klingt gemäss eines «globalen» exponentiellen Zeitverlaufs mit<br />
der Zeitkonstante � ab. T 0 folgt aus den Anfangsbedingungen.<br />
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-215-<br />
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