Einfluss statischer und quasistatischer Magnetfelder auf ...

2.2 Magnetohydrodynamik
zeichnet. Die MHD fußt auf den Grundlagen der Hydrodynamik, der Plasmaphysik
und der Elektrodynamik.
2.2.1 Näherungen der MHD
Die geladenen Teilchen in einem Plasma wechselwirken mit äußeren Magnetfeldern.
Diese Wechselwirkung wird durch die Lorentz-Kraft
m ∂v
∂t
= q(v × B) (2.6)
beschrieben, wobei m für die Masse eines Teilchens, ∂v
∂t für die Ableitung des
Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit und q für die Ladung eines Teilchens stehen.
B bezeichnet den Magnetfeldvektor. Durch die Lorentz-Kraft werden die Teilchen
auf Spiralbahnen um die Richtung des magnetischen Flusses gelenkt. Die Achsen der
Spiralbahnen sind die Führungszentren, deren Verlauf die Teilchen folgen.
Aus der Lösung von (2.6) erhält man die Zyklotronfrequenz ωc (auch Larmor-
Frequenz)
und den Larmor-Radius rL
ωc =
|q| B
m
rL = v⊥
ωc
(2.7)
(2.8)
v⊥ ist dabei die Geschwindigkeitskomponente, die senkrecht zum Führungszentrum
orientiert ist (vgl. auch [GR98, Jac02, Bür04]). Die MHD betrachtet Systeme
unter der Voraussetzung, dass
rL ≪ L (2.9)
wobei L die charakteristische Länge des Systems darstellt, also die Länge, auf
der sich das System signifikant ändert. Zusätzlich werden nur langsam veränderliche
Systeme betrachtet, d.h. 1/ωc ist im Vergleich zur charakteristischen Zeit T sehr
klein:
1
≪ T (2.10)
2.2.2 Die magnetohydrodynamischen Gleichungen
ωc
Um das Verhalten von Magnetfeldern in Plasmen zu beschreiben, benötigt man Gleichungen,
die zum einen das Verhalten des Plasmas beschreiben und zum anderen
das Verhalten der Magnetfelder im Plasma. Für die Beschreibung des Plasmas benutzt
man zunächst die Gleichungen für die Massenerhaltung für Elektronen und
Ionen (cgs), um die Ein-Fluid-Kontinuitätsgleichung
∂ρ
∂t
+ ∇ · (ρu) = 0 (2.11)
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