Fourier–Analyse periodischer Funktionen

Prof. Dr. Michael Eisermann • Höhere Mathematik 3 • WiSe 2012/13
Kapitel Q
Fourier–Analyse periodischer Funktionen
L’étude approfondie de la nature est la source
la plus féconde des découvertes mathématiques.
(Joseph Fourier, 1768–1830, Théorie analytique de la chaleur)
www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm • Stand 10. Februar 2013, 14:37
Motivation zu Fourier–Reihen
−T 0 T 2T
Gegeben sei eine periodische Funktion f : R → R.
Wir möchten f in ihre harmonische Schwingungen zerlegen:
f(t) = a0
2 +
∞�
ak cos � kωt � + bk sin � kωt �
k=1
� �� �
Schwingungen mit Frequenz kω
S.1211
Inhalt dieses Kapitels
1 Periodische Funktionen
Beispiele und Eigenschaften
Skalarprodukt und Orthogonalität
Trigonometrische Polynome
2 Fourier–Koeffizienten
Definition und Beispiele
Differenzieren und Integrieren
Abklingen der Fourier–Koeffizienten
Motivation zu Fourier–Reihen
S.1210
S.1212
Erläuterung
Die Zerlegung gelingt für praktisch alle Funktionen, egal wie kapriziös
sie auch sein mögen! Das wollen wir nun verstehen und nutzen lernen.
Technische Anwendungen:
Digitalisierung von Ton- und Bilddaten (JPEG, MPEG).
Datenkompression, Herausfiltern relevanter Frequenzen.
Analyse von Daten, Mustererkennung, z.B. Spracherkennung.
Universelles Werkzeug:
Optimale Approximation, minimaler quadratischer Fehler
Zerlegen von „komplizierten“ Funktionen in „einfache“ Funktionen.
Lösung von Differentialgleichungen (gewöhnlichen und partiellen).
Mathematische Grundlagen:
Wie berechnet man zur Funktion f die Fourier–Koeffizienten?
Welche Funktionen kann man so als Fourier–Reihe darstellen?
Konvergiert die Fourier–Reihe? Wie? Wann? Wo? Wogegen?

Periodische Funktionen
−T 0 T 2T
Definition Q1A
Eine Funktion f : R → C hat Periode T ∈ R>0, wenn gilt
f(t + T ) = f(t) für alle t ∈ R.
§Q1.1, S.1213
Das bedeutet, die Funktionswerte wiederholen sich im Abstand von T .
Hierzu sagen wir auch kurz, die Funktion f ist T –periodisch.
In diesem Fall gilt f(t + nT ) = f(t) für alle ganzen Zahlen n ∈ Z.
Mit T sind somit auch alle Vielfachen 2T , 3T , 4T , etc. Perioden.
Periodische Funktionen
Legt man die Spannung sin t an einen Einweg-Gleichrichter,
so erhält man den Spannungsverlauf max{0, sin t} mit Periode 2π.
1
0
−4π −3π −2π −π 0 π 2π 3π 4π
Zweiweg-Gleichrichter: Spannungsverlauf |sin t| mit Periode π.
1
0
Diese Funktionen sind stetig aber in πZ nicht diff’bar.
§Q1.1, S.1215
Periodische Funktionen
Für k ∈ Z haben die Funktionen cos(kt) und sin(kt) Periode 2π.
1
0
§Q1.1, S.1214
−1
−2π −π 0 π 2π 3π 4π
Ebenso die komplexe Funktion e ikt = cos kt + i sin kt.
Im
Re
Periodische Funktionen
t
§Q1.1, S.1216
Die Gaußklammer ⌊x⌋ := max � k ∈ Z � � k ≤ x � bedeutet „abrunden“.
Die Sägezahnfunktion s(t) = t − ⌊t⌋ hat Periode 1 (und 2, 3, 4, . . . ).
1
0
Die Rechteckfunktion r(t) = (−1) ⌊t⌋ hat Periode 2 (und 4, 6, 8, . . . ).
1
0
−1
0 1 2 3 4 5
Diese Funktionen haben Sprungstellen und sind nur stückweise stetig.

Periodische Fortsetzung durch Verschiebung
a a + T
a a + T
Gerade Fortsetzung durch Achsenspiegelung
0
0
a a + T
a − 3T a − 2 a − T a a + T a + 2T a + 3T
§Q1.1, S.1217
§Q1.1, S.1219
Periodische Fortsetzung
§Q1.1, S.1218
Erläuterung
Jede T –periodische Funktion f : R → C ist eindeutig durch ihre Werte
auf einem beliebigen Periodenintervall [a, a + T [ bestimmt. Ausführlich:
Proposition Q1B
Sei g : [a, a + T [ → C mit a ∈ R und T > 0 gegeben. Dann existiert
genau eine T –periodische Funktion f : R → C mit f| [a,a+T [ = g.
Zur Vereinfachung können wir alles nach a = 0 verschieben.
Eindeutigkeit: Jede reelle Zahl t ∈ R schreibt sich eindeutig als
t = q · T + r mit q ∈ Z und 0 ≤ r < T .
Konkrete Berechnung: Quotient q = ⌊t/T ⌋ und Rest r = t − q T .
Damit können wir f : R → C aus g : [0, T [ → C berechnen durch
f(t) = f(t − q T ) = f(r) = g(r).
Existenz: Aus g : [0, T [ → C konstruieren wir f : R → C durch
f(t) := g � t − ⌊t/T ⌋ · T � .
Diese Funktion ist T –periodisch und erfüllt f| [a,a+T [ = g.
Ungerade Fortsetzung durch Punktspiegelung
0
0
a a + T
a − 3T a − 2 a − T a a + T a + 2T a + 3T
§Q1.1, S.1220

Summen T –periodischer Funktionen
Haben f, g : R → C Periode T , dann auch ihre Summe f + g.
2
1
0
−1
sin(2x)
cos(3x)
§Q1.1, S.1221
Erläuterung
−2
0
2
1
π 2π 3π
sin(2x) + cos(3x)
4π
0
−1
−2
Produkte T –periodischer Funktionen
Hat f : R → C Periode T , dann auch g(x) = f(kx) für k ∈ N.
Beispiel: Die Rechteckfunktion r(x) hat Periode 2, ebenso r(3x):
1
0
−1
0 1 2 3 4 5
Haben f, g : R → C Periode T , dann auch ihr Produkt fg.
Beispiel: Produkt von Rechteckfunktionen r(x)r(3x)
1
0
−1
0 1 2 3 4 5
§Q1.1, S.1223
Erläuterung
Summen T –periodischer Funktionen
§Q1.1, S.1222
Erläuterung
Bei der obigen Summe haben f und g eine gemeinsame Periode.
Das ist auch nötig, andernfalls ist die Summe nicht mehr periodisch!
Die Sägezahnfunktion s(t) = t − ⌊t⌋ hat Periode 1 (und 2, 3, 4, . . . ).
Die Sinus-Funktion hat Perioden n · 2π, aber keine mit s gemeinsam.
1
0
−1
0
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
0
−1
Produkte T –periodischer Funktionen
1
0
−1
1
0
−1
sin(2x)
cos(3x)
§Q1.1, S.1224
Erläuterung
0 π 2π 3π 4π
sin(2x) cos(3x)

Integral periodischer Funktionen
Hat die Funktion f : R → C Periode T , so gilt
ˆ a+T
a
f(x) dx =
ˆ T
0
f(x) dx =
ˆ T/2
−T/2
f(x) dx.
0 a T a+T 0 a T a+T
Nachrechnen: Dank Periodizität gilt ´ T +a
T
ˆ a+T
a
f =
ˆ T
a
f +
ˆ T +a
T
f =
ˆ a
0
f +
f = ´ a
0 f, also
ˆ T
Skalarprodukt periodischer Funktionen
a
f dx =
ˆ T
Definition Q1C (Skalarprodukt periodischer Funktionen)
0
f dx
Für (stückweise stetige) Funktionen f, g : [a, b] → C definieren wir
〈 f | g 〉 := 1
b − a
ˆ b
a
f(x) g(x) dx.
§Q1.2, S.1225
§Q1.2, S.1227
Bei Periode T > 0 integrieren wir über ein beliebiges Intervall [a, a + T ].
Das Integral über eine Periode ist invariant unter Verschiebung, also unabhängig von a.
Statt Periode T kann man 2T, 3T, 4T, . . . verwenden: Dank des Normierungsfaktors
1/(b − a) ist das Skalarprodukt hiervon unberührt. Nützliche Rechenregeln:
Symmetrie: Bei Vertauschung gilt 〈 f | g 〉 = 〈 g | f 〉.
Linearität im zweiten Faktor, konjugiert im ersten: Für alle α ∈ C gilt
〈 f | g1 + g2 〉 = 〈 f | g1 〉 + 〈 f | g2 〉, 〈 f | α g 〉 = α 〈 f | g 〉,
〈 f1 + f2 | g 〉 = 〈 f1 | g 〉 + 〈 f2 | g 〉, 〈 α f | g 〉 = α 〈 f | g 〉.
Positivität: Für jede stetige Funktion f �= 0 gilt 〈 f | f 〉 > 0.
Integral periodischer Funktionen
Sei f : R → C eine T –periodische Funktion.
Dann ist die Ableitung f ′ ebenfalls T –periodisch.
Hingegen ist die Integralfunktion F (x) = ´ x
0 f(t) dt
genau dann periodisch, wenn ´ T
f(t) dt = 0 gilt:
F (x + T ) − F (x) =
0
ˆ x+T
x
f(t) dt =
Ein Gegenbeispiel liefert die Sägezahnfunktion:
2 f(t) = t − ⌊t⌋
1
0
F (t) = ´ t
0 f(τ) dτ
ˆ T
0
f(x) dx
0 1 2 3 4
Umparametrisieren auf Periode 2π
Jede T –periodische Funktion können wir zu Periode 2π
umparametrisieren. Letztere sind für uns besonders bequem.
Proposition Q1D
Sei ϕ: R → C eine Funktion mit Periode T > 0.
Dann hat f : R → C mit f(x) = ϕ(x · T/2π) Periode 2π,
denn f(x + 2π) = ϕ(x · T/2π + T ) = ϕ(x · T/2π) = f(x).
Dies lässt sich umkehren gemäß ϕ(t) = f(t · 2π/T ), kurz
f(x) = ϕ(x · T/2π)
� �� �
⇐⇒ ϕ(t) = f(t · 2π/T )
� �� �
=t
=x
Das Skalarprodukt bleibt dank Subsitutionsregel unverändert:
〈 ϕ | ψ 〉T = 1
T
ˆ T
t=0
ϕ(t) ψ(t) dt = 1
ˆ 2π
f(x) g(x) dx = 〈 f | g 〉2π
2π x=0
Wir werden im Folgenden 2π–periodische Funktionen betrachten.
§Q1.2, S.1226
Erläuterung
§Q1.2, S.1228
Erläuterung

Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
Wir definieren die Basisfunktion ek : R → C mit k ∈ Z durch
ek(x) := e ikx = cos(kx) + i sin(kx).
§Q1.2, S.1229
Die hierzu konjugierte Funktion ist ek(x) = cos(kx) − i sin(kx) = e−k(x).
Satz Q1E (Orthonormalität)
Bezüglich des Skalarprodukts
〈 f | g 〉 := 1
ˆ 2π
f(x) g(x) dx
2π 0
gelten die Orthonormalitätsrelationen
�
0 für k �= ℓ (paarweise Orthogonalität),
〈 ek | eℓ 〉 =
1 für k = ℓ (Normierung auf Länge 1).
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
1
0
−1
1
0
−1
sin(3x)
cos(3x)
§Q1.2, S.1231
0 π 2π
sin(3x) cos(3x)
0 π 2π
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
Nachrechnen: Für n = 0 gilt
ˆ 2π
0
e inx dx =
Für n ∈ Z mit n �= 0 hingegen gilt
ˆ 2π
0
e inx dx =
Hieraus folgt die Orthonormalität:
〈 ek | eℓ 〉 = 1
2π
= 1
2π
= 1
2π
ˆ 2π
ˆ 2π
0
1 dx = 2π.
�
1
in e inx� 2π
= 0.
0
ek(x) eℓ(x) dx
0
ˆ 2π
e
0
−ikx e iℓx dx
ˆ 2π
0
e i(ℓ−k)x dx =
�
1 für k = ℓ,
0 für k �= ℓ.
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
1
0
−1
1
0
−1
sin(3x)
cos(5x)
§Q1.2, S.1230
§Q1.2, S.1232
0 π 2π
sin(3x) cos(5x)
0 π 2π

Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
1
0
−1
1
0
−1
cos(3x)
§Q1.2, S.1233
0 π 2π
cos(3x) 2
0 π 2π
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
Wir verwenden die stets nützlichen Additionstheoreme
cos(α) cos(β) = 1
� �
2 cos(α − β) + cos(α + β) ,
sin(α) sin(β) = 1
� �
2 cos(α − β) − cos(α + β) ,
� �
sin(α − β) + sin(α + β) .
sin(α) cos(β) = 1
2
Übung: Leiten Sie die Additionstheoreme aus der Euler–Formel
e iα = cos α + i sin α und dem Exponentialgesetz e iα+iβ = e iα e iβ ab.
Zur Orthononalität nutzen wir die Grundintegrale
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
sin(nx) dx = 0
�
für alle n ∈ Z,
cos(nx) dx =
0
2π
für n �= 0,
für n = 0.
Übung: Rechnen Sie damit die Orthogonalität nach.
§Q1.2, S.1235
Erläuterung
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
Satz Q1F (Orthogonalität)
Für alle k, ℓ ∈ N gilt:
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
sin(kx) cos(ℓx) dx = 0
⎧
⎪⎨ 0 für k �= ℓ,
cos(kx) cos(ℓx) dx = π
⎪⎩
2π
⎧
⎪⎨ 0
für k = ℓ ≥ 1,
für k = ℓ = 0.
für k �= ℓ,
sin(kx) sin(ℓx) dx = π
⎪⎩
0
für k = ℓ ≥ 1,
für k = ℓ = 0.
§Q1.2, S.1234
Diese Funktionen sind also orthogonal bezüglich des Skalarprodukts
〈 f | g 〉 := 1
2π
ˆ 2π
0
f(x) g(x) dx.
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen
Lösung: Die Orthogonalität folgt durch direktes Nachrechnen.
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
ˆ 2π
cos(kx) cos(ℓx) dx = 1
2 0
⎧
⎪⎨ 0
cos((k − ℓ)x) + cos((k + ℓ)x) dx
für k �= ℓ,
= π
⎪⎩
2π
für k = ℓ ≥ 1,
für k = ℓ = 0.
ˆ 2π
sin(kx) sin(ℓx) dx = 1
2 0
⎧
⎪⎨ 0
cos((k − ℓ)x) − cos((k + ℓ)x) dx
für k �= ℓ,
= π
⎪⎩
0
für k = ℓ ≥ 1,
für k = ℓ = 0.
§Q1.2, S.1236
Erläuterung
sin(kx) cos(ℓx) dx = 1
ˆ 2π
sin((k − ℓ)x) + sin((k + ℓ)x) dx = 0
2 0

Trigonometrische Polynome
Beispiel: f(x) = 1 + sin(x) − 1
2
3
7 sin(3x) + 15 cos(5x) + 100 cos(6x)
2
1
0
−2π 0 2π 4π
Ein reelles trigonometrisches Polynom ist eine Funktion der Form
f(x) = a0
2 +
n�
ak cos(kx) + bk sin(kx)
k=1
mit reellen Koeffizienten ak, bk ∈ R. Diese Funktion hat Periode 2π.
Dies ist nichts anderes als eine Linearkombination der Funktionen
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . . . Wir werden auch
komplex rechnen und fassen unsere Definition daher etwas weiter.
Trigonometrische Polynome
Satz Q1H (Koeffizienten durch Skalarprodukt)
Jedes trigonometrische Polynom
f(x) = a0
2 +
n�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
bestimmt seine Koeffizienten dank folgender Formeln:
aℓ = 1
ˆ 2π
π 0
bℓ = 1
π
cℓ = 1
2π
ˆ 2π
n�
k=−n
cos(ℓx) f(x) dx = 2〈 cos(ℓx) | f 〉,
sin(ℓx) f(x) dx = 2〈 sin(ℓx) | f 〉,
0
ˆ 2π
e
0
−iℓx f(x) dx = 〈 e iℓx | f 〉.
cke ikx
Diese Integrale filtern genau den gewünschten Koeffizienten heraus!
Die Schreibweise als Skalarprodukt dient der Übersichtlichkeit.
§Q1.3, S.1237
§Q1.3, S.1239
Trigonometrische Polynome
Definition Q1G (trigonometrisches Polynom)
Trigonometrisches Polynom nennt man jede Funktion der Form
f(x) = a0
2 +
n�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
n�
k=−n
cke ikx .
Beide Schreibweisen sind äquivalent, die komplexe ist oft bequemer.
Dank Euler–Formel e ikx = cos(kx) + i sin(kx) gilt
cke ikx + c−ke −ikx = ak cos(kx) + bk sin(kx)
für alle k ∈ N. Hieraus erhalten wir die Umrechnungsformeln
ak = ck + c−k, bk = i(ck − c−k),
ck = ak − ibk
2
, c−k = ak + ibk
.
2
Insbesondere gilt stets b0 = 0 und c0 = a0
2 .
Trigonometrische Polynome
Nachrechnen dank Orthogonalität: Für f = � n
k=−n ckek gilt
〈 eℓ | f 〉 =
�
eℓ
�
�
�
n�
k=−n
ckek
�
=
n�
〈 eℓ | ckek 〉 =
k=−n
n�
k=−n
§Q1.3, S.1238
§Q1.3, S.1240
ck〈 eℓ | ek 〉 = cℓ.
Die Rechnung für cos und sin verläuft analog aber unübersichtlicher:
ˆ 2π 1
π 0
n�
+
cos(ℓx)f(x) dx = a0
2π
k=1
ˆ 2π 1
π 0
n�
+
� ˆ 2π
ak
π
0
sin(ℓx)f(x) dx = a0
2π
k=1
� ˆ 2π
ak
π
0
ˆ 2π
0
cos(ℓx) dx
cos(ℓx) cos(kx) dx + bk
π
ˆ 2π
0
sin(ℓx) dx
sin(ℓx) cos(kx) dx + bk
π
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
�
cos(ℓx) sin(kx) dx = aℓ
�
sin(ℓx) sin(kx) dx = bℓ

Fourier–Koeffizienten
Definition Q2A (Fourier–Koeffizienten)
Sei f : R → C eine 2π–periodische Funktion und über [0, 2π]
integrierbar. Ihre Fourier–Koeffizienten definieren wir durch
aℓ = 1
ˆ 2π
π 0
bℓ = 1
π
cℓ = 1
2π
ˆ 2π
cos(ℓx) f(x) dx = 2〈 cos(ℓx) | f 〉,
sin(ℓx) f(x) dx = 2〈 sin(ℓx) | f 〉,
0
ˆ 2π
e
0
−iℓx f(x) dx = 〈 e iℓx | f 〉.
Aufgrund der Euler–Formel e iℓx = cos(ℓx) + i sin(ℓx) gilt wie zuvor
aℓ = cℓ + c−ℓ, bℓ = i(cℓ − c−ℓ),
cℓ = aℓ − ibℓ
2
Fourier–Koeffizienten
, c−ℓ = aℓ + ibℓ
.
2
§Q2.1, S.1241
§Q2.1, S.1243
Sei f : R → C periodisch und integrierbar über [0, 2π], sodass wir ihre
Fourier–Koeffizienten wie oben definieren und berechnen können.
Definition Q2B
Für jeden Grad n ∈ N bilden wir zu f das n–te Fourier–Polynom
fn(x) := a0
2 +
n�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
n�
k=−n
cke ikx .
Alle Koeffizienten von f fassen wir zur Fourier–Reihe zusammen:
f(x) ∼ a0
2 +
∞�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
∞�
k=−∞
Gelesen: „f hat die Fourier–Koeffizienten ak, bk bzw. ck.“
Wir diskutieren im Folgenden drei ausführliche Beispiele.
cke ikx
Fourier–Koeffizienten
Funktionswerte
Fourier–Koeffizienten
2
1
0
§Q2.1, S.1242
−2π 0 2π 4π
2
1
0
a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 a5 b5 a6 b6
Fourier–Koeffizienten
Zur Definition der Fourier–Koeffizienten von f benötigen wir nur die Integrierbarkeit, also
´ 2π
0 |f(x)| dx < ∞. Wegen |cos(ℓx)| ≤ 1 und |sin(ℓx)| ≤ 1 sowie |e −iℓx | = 1 sind auch
cos(ℓx)f(x) und sin(ℓx)f(x) sowie e −iℓx f(x) für jedes ℓ ∈ N über [0, 2π] integrierbar.
Also existieren diese Integrale und definieren die Fourier–Koeffizienten aℓ, bℓ, cℓ von f.
§Q2.1, S.1244
Erläuterung
Aus diesen bilden wir zu jedem n ∈ N das n–te Fourier–Polynom fn zu f. Dies ist wie oben
ein trigonometrisches Polynom fn : R → C und kann als Approximation für f betrachtet
werden. Ist f ein trigonometrisches Polynom vom Grad d, so gilt fn = f für alle n ≥ d.
Formal können wir den Limes n → ∞ betrachten und die Fourier–Reihe zu f hinschreiben:
f(x) ∼ a0
2 +
∞�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
∞�
k=−∞
cke ikx .
Dies liest man als „f hat die Fourier–Koeffizienten ak, bk.“ Im Allgemeinen jedoch ist die
Fourier–Reihe zunächst nur eine bequeme Schreibweise: Wir wissen noch nicht, ob und in
welchem Sinne die Reihe konvergiert! Selbst wenn sie in einem Punkt x ∈ [0, 2π] konvergiert,
muss der Grenzwert nicht unbedingt f(x) sein. (Das ist analog zur Taylor–Entwicklung.)
Für die Konvergenz der Fourier–Reihe benötigen wir stärkere Voraussetzungen, zum Beispiel
quadratische Integrierbarkeit ´ 2π
0 |f(x)|2 dx < ∞ oder noch stärker Stetigkeit oder stetige
Differenzierbarkeit. Dazu später mehr, nachdem wir typische Beispiele gesehen haben.

Dreieckfunktion
Sei f : R → R die 2π–periodische Funktion mit f(x) = |x| für |x| ≤ π.
Aufgabe: Man skizziere f und berechne die Fourier–Reihe.
3
2
1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
f(x) ∼ π
2 −
∞� 4
π(2j + 1)
j=0
2 cos� (2j + 1)x �
= π
�
4
− cos x +
2 π
1
�
1 1
cos 3x + cos 5x + cos 7x + . . .
32 52 72 Dreieckfunktion
Zum Vergleich direkt das Integral für ck mit k �= 0:
ck = 1
ˆ π
e
2π −π
−ikx |x| dx
= 1
�ˆ π
e
2π 0
−ikx ˆ 0
x dx − e
−π
−ikx �
x dx
= 1
�ˆ π
e
2π 0
−ikx ˆ π
x dx + e
0
ikx �
x dx
= 1
ˆ π
cos(kx) x dx = . . . wie oben . . .
π 0
�
−
=
2
πk2 für k ungerade,
0 für k gerade.
§Q2.1, S.1249
§Q2.1, S.1251
Erläuterung
Oder umgerechnet für die Sinus-Cosinus-Reihe:
�
−
bk = i(ck − c−k) = 0, ak = ck + c−k =
4
πk2 für k ungerade,
0 für k gerade.
Durch die komplexe Rechnung spart man hier keinen Rechenaufwand.
Dreieckfunktion
Der nullte Fourier–Koeffizient ist der Mittelwert über eine Periode:
c0 = a0
ˆ π 1
= |x| dx =
2 2π
1
ˆ π
x dx =
π
1
�
x2 �π π
=
π 2 0 2
Berechnung der Fourier–Koeffizienten für k ≥ 1:
ˆ π
−π
0
§Q2.1, S.1250
ak = 1
|x| cos(kx) dx (gerader Integrand)
π −π
= 2
ˆ π
x cos(kx) dx (partielle Integration)
π 0
= 2
��
x
π
sin(kx)
�π ˆ π �
sin(kx)
−
dx
k 0 0 k
= 2
�
cos(kx)
π k2 �π =
0
2
�
cos(kπ) − 1
π k2 � �
0
=
−
für k gerade,
4
πk2 für k ungerade.
bk = 1
ˆ π
|x| sin(kx) dx = 0
π −π
(ungerader Integrand)
Dreieckfunktion
Die folgenden Graphen zeigen die Dreieckfunktion f und ihre
Fourier–Polynome f1, f2, f3, . . . . Der erste Eindruck stimmt uns
optimistisch: Die Fourier–Polynome liegen recht nahe bei f.
Anschaulich: Wenn wir um f einen Schlauch der Breite ε > 0 legen,
so liegen darin alle Fourier–Polynome fn für ausreichend großes n.
Wir sagen: Die Funktionen fn konvergieren gleichmäßig gegen f.
§Q2.1, S.1252
Erläuterung
Wir werden später sehen, dass dies kein Zufall ist: Die Funktion f ist
stetig und stückweise stetig differenzierbar. Für jede solche Funktion
konvergieren die Fourier–Polynome fn gleichmäßig gegen f.
(Als Konstrast illustrieren die nachfolgenden Beispiele Rechteck- und
Sägezahnfunktion das Verhalten an Sprungstellen. Hier kann keine
gleichmäßige Konvergenz mehr vorliegen.)

Dreieckfunktion
Schon die ersten Fourier–Polynome liegen nahe bei f:
4
3
2
1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
Dreieckfunktion
Schon die ersten Fourier–Polynome liegen nahe bei f:
4
3
2
1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
f
f1
f
f5
§Q2.1, S.1253
§Q2.1, S.1255
Dreieckfunktion
Schon die ersten Fourier–Polynome liegen nahe bei f:
4
3
2
1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
Dreieckfunktion
Schon die ersten Fourier–Polynome liegen nahe bei f:
4
3
2
1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
f
f3
f
f11
§Q2.1, S.1254
§Q2.1, S.1256

Rechteckfunktion
§Q2.1, S.1257
Sei f : R → R ungerade und 2π–periodisch mit f(x) = 1 für 0 < x < π.
Aufgabe: Man skizziere f und berechne die Fourier–Reihe.
1
0
−1
−4 −2 0 2 4 6 8 10
∞� 4
f(x) ∼
π(2j + 1)
j=0
sin� (2j + 1)x �
= 4
�
sin x +
π
1
�
1 1 1
sin 3x + sin 5x + sin 7x + sin 9x + . . .
3 5 7 9
Rechteckfunktion
Zum Vergleich direkt das Integral für ck mit k �= 0:
ck = 1
ˆ π
e
2π −π
−ikx f(x) dx
= 1
�ˆ π
e
2π 0
−ikx ˆ 0
dx − e
−π
−ikx �
dx
= 1
�ˆ π
e
2π 0
−ikx ˆ π
dx − e
0
ikx �
dx
= −i
ˆ π
sin(kx) dx =
π 0
−i
�
− cos(kx)
�π π k 0 dx
= −i
� � �
1 − cos(kπ) −
=
π k
2i
kπ für k ungerade,
0 für k gerade.
Oder umgerechnet für die Sinus-Cosinus-Reihe:
ak = ck + c−k = 0. bk = i(ck − c−k) =
� 4
kπ
für k ungerade,
0 für k gerade.
§Q2.1, S.1259
Erläuterung
Durch die komplexe Rechnung spart man hier keinen Rechenaufwand.
Rechteckfunktion
Der nullte Fourier–Koeffizient ist der Mittelwert über eine Periode:
c0 = a0
2
= 1
2π
ˆ π
−π
f(x) dx = 0 (ungerader Integrand)
Berechnung der Fourier–Koeffizienten für k ≥ 1:
ak = 1
π
bk = 1
π
ˆ π
−π
ˆ π
Rechteckfunktion
f(x) cos(kx) dx = 0 (ungerade Integrand)
f(x) sin(kx) dx (gerader Integrand)
−π
= 2
ˆ π
sin(kx) dx =
π 0
2
� �π − cos(kx)
π k 0
= 2
� � �
1 − cos(kπ) 0 für k gerade,
=
π k
für k ungerade.
Die folgenden Graphen zeigen die Rechteckfunktion f und
ihre Fourier–Polynome f1, f2, f3, . . . . Auch hier sieht’s gut aus:
Für großes n liegen die Fourier–Polynome fn nahe bei f.
An der Sprungstelle passiert jedoch etwas bemerkenswertes:
Die Fourier–Polynome fn können dem Sprung nur folgen, indem sie
etwa 9% über das Ziel hinausschießen. Auch für Approximationen
größerer Ordnung bleibt dieses Gibbs–Phänomen bestehen.
4
kπ
§Q2.1, S.1258
§Q2.1, S.1260
Erläuterung
Anschaulich: Wenn wir um f einen sehr schmalen Schlauch legen,
so liegt darin keines der Fourier–Polynome fn. Anders als im vorigen
Beispiel liegt hier also keine gleichmäßige Konvergenz vor!
Auf jedem kompakten Intervall [a, b] mit 0 < a < b < π jedoch
ist unsere Funktion f stetig und stückweise stetig differenzierbar.
Auf [a, b] konvergieren die Fourier–Polynome fn gleichmäßig gegen f.
(Das Überschwingen lässt sich für großes n aus [a, b] herausdrücken.)

Rechteckfunktion
Die ersten Fourier–Polynome sind von f noch recht verschieden:
1
0
−1
§Q2.1, S.1261
−4 −2 0 2 4 6 8 10
! Man beachte das Gibbs–Phänomen: An Sprungstellen von f
überschwingt das Fourier–Polynom fn um ca. 9% der Sprunghöhe.
Rechteckfunktion
Das Überschwingen bleibt auch bei höherem Approximationsgrad:
1
0
−1
f
f1
f3
f5
§Q2.1, S.1263
−4 −2 0 2 4 6 8 10
! Man beachte das Gibbs–Phänomen: An Sprungstellen von f
überschwingt das Fourier–Polynom fn um ca. 9% der Sprunghöhe.
f
f15
Rechteckfunktion
Das Fourier–Polynom von Grad 9 beginnt f zu ähneln:
1
0
−1
§Q2.1, S.1262
−4 −2 0 2 4 6 8 10
! Man beachte das Gibbs–Phänomen: An Sprungstellen von f
überschwingt das Fourier–Polynom fn um ca. 9% der Sprunghöhe.
Rechteckfunktion
Das Überschwingen bleibt auch bei höherem Approximationsgrad:
1
0
−1
f
f9
§Q2.1, S.1264
−4 −2 0 2 4 6 8 10
! Man beachte das Gibbs–Phänomen: An Sprungstellen von f
überschwingt das Fourier–Polynom fn um ca. 9% der Sprunghöhe.
f
f25

Sägezahnfunktion
§Q2.1, S.1265
Sei f : R → R die 2π–periodische Funktion mit f(x) = x für 0 ≤ x < 2π.
Aufgabe: Man skizziere f und berechne die Fourier–Reihe.
6
4
2
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
f(x) ∼ π + �
= π − 2
k�=0
Sägezahnfunktion
i
k e ikx = π −
∞�
k=1
2
k sin(kx)
�
sin x + 1 1 1
sin 2x + sin 3x + sin 4x + . . .
2 3 4
Zum Vergleich direkt die Integrale für ak, bk mit k ≥ 1:
ak = 1
ˆ 2π
π 0
= 1
π
bk = 1
ˆ 2π
π 0
= 1
π
x cos(kx) dx
� �
x sin(kx)
k
� �
x
� 2π
0
x sin(kx) dx
−
ˆ 2π
0
sin(kx)
k
dx
�
�2π ˆ 2π
− cos(kx) cos(kx)
+
dx
k 0 0 k
= 0
�
= − 2
k
Zu Berechnung von ak, bk sind zwei Integrale nötig, für ck nur eins.
Man spart ein wenig, aber der Rechenweg ist Geschmackssache.
Die Umrechnung zwischen ak, bk und ck gelingt jedenfalls leicht.
�
§Q2.1, S.1267
Erläuterung
Sägezahnfunktion
Der nullte Fourier–Koeffizient ist der Mittelwert über eine Periode:
c0 = a0
2
= 1
2π
ˆ 2π
0
x dx = 1
�
x2 2π 2
� 2π
0
= π
Für k �= 0 rechnen wir komplex und nutzen partielle Integration:
ˆ 2π
0
e −ikx x dx =
�
i
k e −ikx �2π x
0 −
ˆ 2π
0
i
k e −ikx dx = 2πi
k
Hieraus erhalten wir für k �= 0 die Fourier–Koeffizienten
ck = i
k .
Oder umgerechnet für die Sinus-Cosinus-Reihe:
Sägezahnfunktion
ak = ck + c−k = 0, bk = i(ck − c−k) = − 2
k .
Die ersten Fourier–Polynome ähneln f nur grob:
6
4
2
0
−2 0 2 4 6 8 10
f
f1
f2
f3
§Q2.1, S.1266
§Q2.1, S.1268

Sägezahnfunktion
Das Fourier–Polynom von Grad 8 liegt schon näher bei f:
6
4
2
0
−2 0 2 4 6 8 10
! Gibbs–Phänomen: Auch hier überschwingt fn um ca. 9%.
Sägezahnfunktion
Das Fourier–Polynom von Grad 16 liegt schon recht nahe bei f:
6
4
2
0
−2 0 2 4 6 8 10
! Gibbs–Phänomen: Auch hier überschwingt fn um ca. 9%.
f
f8
f
f16
§Q2.1, S.1269
§Q2.1, S.1271
Sägezahnfunktion
Das Fourier–Polynom von Grad 12 liegt noch näher bei f:
6
4
2
0
−2 0 2 4 6 8 10
! Gibbs–Phänomen: Auch hier überschwingt fn um ca. 9%.
Sägezahnfunktion
Das Überschwingen jedoch bleibt für alle n bestehen:
6
4
2
0
−2 0 2 4 6 8 10
! Gibbs–Phänomen: Auch hier überschwingt fn um ca. 9%.
f
f12
f
f20
§Q2.1, S.1270
§Q2.1, S.1272

Symmetrieregel
Für jede reelle Funktion f : R → R gilt ak, bk ∈ R, also c−k = ck.
Ist f gerade, also f(−x) = f(x) für alle x ∈ R, so gilt
bk = 0, ak = 2
π
ˆ π
0
cos(kx) f(x) dx, c−k = ck.
Also f ∼ Cosinusreihe. Für reelle Funktionen heißt das ck ∈ R.
Ist f ungerade, also f(−x) = −f(x) für alle x ∈ R, so gilt
ak = 0, bk = 2
π
ˆ π
0
sin(kx) f(x) dx, c−k = −ck.
Also f ∼ Sinusreihe. Für reelle Funktionen heißt das ck ∈ iR.
Differentiation von Fourier–Reihen
3
2
1
§Q2.1, S.1273
§Q2.2, S.1275
0
F
−1
f
−4 −2 0 2 4 6 8 10
Beispiel: Für die Dreieckfunktion F haben wir ausgerechnet [S.1257]
F (x) ∼ π
2 −
∞� 4
π(2j + 1) 2 cos� (2j + 1)x � .
j=0
Ihre Ableitung f = F ′ ist die Rechteckfunktion [S.1265]:
∞� 4
f(x) ∼
π(2j + 1) sin� (2j + 1)x � .
j=0
Differentiation von Fourier–Reihen
Satz Q2C (Differentiation von Fourier–Reihen)
Sei F periodisch und stetig mit stückweise stetiger Ableitung f = F ′ .
Dann dürfen wir die Fourier–Reihe termweise ableiten:
F (x) ∼
∞�
k=−∞
ck e ikx ⇐⇒ f(x) ∼
∞�
k=−∞
ikck e ikx
Der Koeffizient c0 spielt hierbei die Rolle der Integrationskonstanten.
Nachrechnen: Wir nutzen partielle Integration:
ˆ 2π
x=0
e −ikx �
f(x) dx = e −ikx �2π F (x) +ik
x=0
� �� �
=0 da periodisch
ˆ 2π
x=0
e −ikx F (x) dx
§Q2.2, S.1274
Die partielle Integration beruht auf dem HDI, und in seiner einfachsten Fassung verlangt dieser
stetig differenzierbare Funktionen F . Glücklicherweise lässt er sich durch Zerlegung in
Teilintervalle auf stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktionen F übertragen.
Differentiation von Fourier–Reihen
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Warnung: Für die Sägezahnfunktion s gilt [S.1273]
∞� 2
s(x) ∼ π −
k sin(kx).
k=1
Ihre Ableitung ist s ′ (x) = 1 für alle x ∈ R � 2πZ, aber
∞�
1 �∼ − 2 cos(kx).
k=1
§Q2.2, S.1276
s
s ′

Integration von Fourier–Reihen
Fourier–Reihen können wir termweise integrieren:
Korollar Q2D (Integration von Fourier–Reihen)
Sei f : R → R periodisch und stückweise stetig mit Fourier–Reihe
f(x) ∼
∞�
ak cos kx + bk sin kx =
k=1
∞�
k=−∞
k�=0
ck e ikx .
Dank HDI ist die Integralfunktion F (x) := ´ x
t=0 f(t) dt stetig,
stückweise stetig diff’bar mit F ′ = f, und periodisch. Es gilt dann
F (x) ∼ a0
2 +
∞�
k=1
−bk
k
cos kx + ak
k sin kx = c0 +
∞�
k=−∞
k�=0
ck
ik e ikx .
Für die Integrationskonstante c0 = a0/2 gilt c0 = 1
´ 2π
2π 0 F (x) dx.
Integration von Fourier–Reihen
Lösung: Die Ableitung f = F ′ erfüllt f(x) = x − π für 0 < x < 2π.
Das ist unsere Sägezahnfunktion minus π [S.1273], also
∞� 2
f(x) ∼ −
k sin(kx).
Dank Satz / Korollar dürfen wir termweise integrieren und erhalten
∞� 2
F (x) ∼ c0 + cos(kx).
k2 Die Integrationskonstante c0 ist der nullte Fourier–Koeffizient.
Diesen Koeffizienten muss man separat berechnen:
c0 = 1
ˆ 2π
F (x) dx =
2π
1
ˆ 2π 1
2π 2 (x−π)2 dx = 1
�
(x−π)
12π
3� 2π
x=0
x=0
k=1
k=1
Daraus erhalten wir schließlich die gesuchte Fourier–Reihe
F (x) ∼ π2
6 +
∞� 2
cos(kx).
k2 k=1
x=0
§Q2.2, S.1277
§Q2.2, S.1279
= π2
6 .
Integration von Fourier–Reihen
Sei F : R → R periodisch mit F (x) = 1
2 (x − π)2 für 0 ≤ x ≤ 2π.
Aufgabe: Man skizziere F und berechne die Fourier–Reihe.
4
2
0
−2
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Trick: Die Fourier–Reihe von F kann man direkt berechnen oder
(bequemer & schneller) aus der Fourier–Reihe von f = F ′ ablesen.
Integration von Fourier–Reihen
Ableitung und Integration von Fourier–Reihen ist eine überaus
nützliche Technik, die Rechnungen drastisch vereinfachen kann.
§Q2.2, S.1278
F
f
§Q2.2, S.1280
Erläuterung
Man muss allerdings peinlich genau auf die nötigen Voraussetzungen
achten, wie unser warnendes Gegenbeispiel zeigt.
Man lese also nochmals den Satz und die zugehörige Rechnung
genau durch und prüfe jeweils die Voraussetzungen in den Beispielen.

Abklingen der Fourier–Koeffizienten
Bisherige Beispiele: Für die Rechteckfunktion finden wir:
4
π
�
sin x + 1 1 1 1
sin 3x + sin 5x + sin 7x + sin 9x + . . .
3 5 7 9
Durch Integration erhalten wir die Dreieckfunktion:
�
π 4
− cos x +
2 π
1
�
1 1
cos 3x + cos 5x + cos 7x + . . .
32 52 72 Für die Sägezahnfunktion finden wir:
�
−2 sin x + 1
�
1 1
sin 2x + sin 3x + sin 4x + . . .
2 3 4
Durch Integration erhalten wir:
π2 �
+ 2 cos x +
6 1
�
1 1
cos 2x + cos 3x + cos 4x + . . .
22 32 42 Wir sehen explizit, wie schnell die Fourier–Koeffizienten abklingen.
Von Potenzreihen zu Fourier–Reihen
�
§Q2.3, S.1281
§Q2.3, S.1283
Wir betrachten eine Potenzreihe oder allgemeiner eine Laurent–Reihe
g(z) =
∞�
ckz k mit ck ∈ C.
k=−∞
Sie konvergiere für alle z ∈ C mit σ < |z| < ρ, wobei 0 ≤ σ < ρ ≤ ∞.
Auf jeder Kreislinie re ix mit σ < r < ρ ist die Konvergenz gleichmäßig.
Wir erhalten eine gleichmäßig konvergente Fourier–Reihe
f(x) := g(re ix ∞�
) = (ckr k )e ikx .
Beispiel: Aus
folgt
ln(1 − z) = −
ln � 1 − re ix� = −
∞�
k=1
∞�
k=1
k=−∞
z k
k
rk ikx
e
k
für |z| < 1
für 0 ≤ r < 1.
Hier klingen die Koeffizienten sogar exponentiell ab!
Abklingen der Fourier–Koeffizienten
§Q2.3, S.1282
Glattheit impliziert schnelles Abklingen der Fourier–Koeffizienten:
Satz Q2E (Riemann–Lebesgue–Lemma)
Für jede integrierbare Funktion f gilt |ck| → 0 für k → ±∞.
Ist f mindestens n–mal stetig differenzierbar, so gilt sogar |k n ck| → 0.
Die erste Aussage zeigen wir hier nicht, aber die Folgerung ist leicht:
Aus f(x) ∼ � ck e ikx folgt nämlich f (n) (x) ∼ � (ik) n ck e ikx .
Umgekehrt garantiert schnelles Abklingen eine gewisse Glattheit:
Satz Q2F (gleichmäßige Konvergenz)
Gilt |ck| ≤ c/|k| 1+α für alle k �= 0 und Konstanten c, α > 0,
dann konvergiert � ckek gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f.
Gilt sogar |ck| ≤ c/|k| n+1+α , so ist f mindestens n–mal stetig diff’bar.
! Für α = 0 funktioniert dies nicht, wie die Sägezahnfunktion zeigt.
Beispiel: Die Dreieckfunktion erfüllt die Bedingung für n = 0 aber nicht
für n = 1; tatsächlich ist sie stetig aber nicht stetig differenzierbar.
Von Potenzreihen zu Fourier–Reihen
Der Realteil hiervon liefert für 0 ≤ r < 1 die reelle Fourier–Reihe
ln � �1 − re ix� � = ln � 1 − 2r cos x + r 2 = −
∞�
k=1
Der Randfall r = 1 muss gesondert betrachtet werden.
r k
k cos(kx).
Für x = 0 divergieren beide Seiten (harmonische Reihe).
Für x = π erhält man die Leibniz–Reihe � ∞
k=1 (−1)k /k = ln 2.
Für 0 < x < 2π konvergiert die Reihe dank Dirichlet–Kriterium.
Für alle x ∈ R � 2πZ erhält man so Funktion und Fourier–Reihe:
ln √ 2 − 2 cos x = ln � �2 sin(x/2) � � = −
∞�
k=1
1
k cos(kx).
Wir nutzen hier die Halbwinkelformel |2 sin x
2 | = √ 2 − 2 cos x.
Die entsprechende Sinus–Reihe gehört zu einer Sägezahnfunktion.
§Q2.3, S.1284

Fazit: Skalarprodukt periodischer Funktionen
Für f, g : [a, b] → C definieren wir das Skalarprodukt durch
〈 f | g 〉 := 1
b − a
ˆ b
a
f(x) g(x) dx.
S.1285
Erinnerung
Bei Periode T > 0 integrieren wir über ein beliebiges Intervall [a, a + T ].
Wir definieren die Basisfunktion ek : R → C mit k ∈ Z durch
ek(x) := e ikx = cos(kx) + i sin(kx).
Für diese Funktionen gelten die Orthonormalitätsrelationen
�
0 für k �= ℓ (paarweise Orthogonalität),
〈 ek | eℓ 〉 =
1 für k = ℓ (Normierung auf Länge 1).
Ähnliche Formeln gelten für die Funktionen cos(kx) und sin(kx).
Fazit: Fourier–Koeffizienten
Aufgrund der Euler–Formel e iℓx = cos(ℓx) + i sin(ℓx) gilt
aℓ = cℓ + c−ℓ, bℓ = i(cℓ − c−ℓ),
cℓ = aℓ − ibℓ
2
, c−ℓ = aℓ + ibℓ
.
2
Alle Koeffizienten von f fassen wir zur Fourier–Reihe zusammen:
f(x) ∼ a0
2 +
∞�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
∞�
k=−∞
cke ikx .
Dies ist zunächst nur eine symbolische Schreibweise!
Gelesen: „f hat die Fourier–Koeffizienten ak, bk bzw. ck.“
Beispiele: Dreieck-, Rechteck-, Sägezahnfunktion etc.
Das Konvergenzverhalten diskutieren wir im nächsten Kapitel.
Ist f reell, so gilt ak, bk ∈ R, also c−k = ck.
Ist f gerade, so liefert f eine Cosinusreihe, bk = 0, c−k = ck.
Ist f ungerade, so liefert f eine Sinusreihe, ak = 0, c−k = −ck.
S.1287
Erinnerung
Fazit: Trigonometrische Polynome
Trigonometrisches Polynom nennt man jede Linearkombination
f(x) = a0
2 +
n�
ak cos(kx) + bk sin(kx) =
k=1
n�
k=−n
Jede solche Funktion bestimmt ihre Koeffizienten gemäß
aℓ = 1
ˆ 2π
π 0
bℓ = 1
π
cℓ = 1
2π
ˆ 2π
cos(ℓx) f(x) dx = 2〈 cos(ℓx) | f 〉,
sin(ℓx) f(x) dx = 2〈 sin(ℓx) | f 〉,
0
ˆ 2π
e
0
−iℓx f(x) dx = 〈 e iℓx | f 〉.
cke ikx .
Allgemein: Ist f : R → C periodisch und über [0, 2π] integrierbar, dann
definieren wir durch diese Formeln die Fourier–Koeffizienten von f.
Fazit: Differenzieren und Integrieren
Sei F periodisch und stetig mit stückweise stetiger Ableitung f = F ′ .
Dann dürfen wir die Fourier–Reihe termweise ableiten:
F (x) ∼
∞�
k=−∞
ck e ikx ⇐⇒ f(x) ∼
∞�
k=−∞
ikck e ikx
S.1286
Erinnerung
S.1288
Erinnerung
Umgekehrt kann man die Fourier–Reihe von f termweise integrieren.
Der Koeffizient c0 spielt hierbei die Rolle der Integrationskonstanten.
Glattheit entspricht schnellem Abklingen der Fourier–Koeffizienten:
Für jede integrierbare Funktion f gilt |ck| → 0 für |k| → ∞.
Ist f sogar n–mal stetig differenzierbar, so folgt |k n ck| → 0.
Umgekehrt: Gilt |ck| ≤ c/|k| 1+α für alle k �= 0 und Konstanten c, α > 0,
dann konvergiert � ckek gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f.
Gilt sogar |ck| ≤ c/|k| n+1+α , so ist f mindestens n–mal stetig diff’bar.