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Die Allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q) und V(P,Q) haben für ganzzahlige Parameter P und Q eine spezielle Eigenschaft
hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen. Diese Eigenschaft wurde bei bestimmten Verfahren zur Bestimmung der
Primalität einer Zahl angewandt. Leider waren diese Verfahren für bestimmte Arten von Pseudoprimzahlen anfällig.
U(P,Q)
Für alle Lucas-Folgen gilt:
Ist eine Primzahl, so ist durch teilbar.
Dabei ist das Legendre-Symbol.
Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Diese Zahlen nennt man Lucas-Pseudoprimzahlen.
V(P,Q)
Für alle Lucas-Folgen Nn(P,Q) = a n + b n gilt: wenn eine Primzahl ist, dann ist (Vn(P,Q) – P) durch teilbar. Oder, anders
ausgedrückt:
Vn(P,Q) ≡ P mod n
für alle , die Primzahlen sind. Zusammengesetzte Zahlen die diese Bedingung erfüllen, mit der Einschränkung das positiv
und entweder 1 oder -1 ist, nennt man Fibonacci-Pseudoprimzahlen.
Der kleine Fermatsche Satz
Besonders interessant ist dies für die Folge Vn(3,2) = a n + b n = 2 n + 1. Für diese Folge gilt nämlich:
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