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0 (mod n), wo in der quadratischen Form n² ≡ 1 (mod p) auch die Formel (n – 1)! angewendet werde 83 und für p² =
24n + 1 gelte.
Zu 2.:
Um auf den nämlichen kritischen Wert der Riemannschen Vermutung zu kommen, hat Riemann
seine Formel um s(s – 1) bzw. um s(s – 1)/2 erweitert 84 und bezeichnet die somit erweitere
Zetafunktion 85 zur Unterscheidung mit , und später sogar (in einer weiteren Ableitung) mit
83 Bundschuh 102 f; vgl Ribenboim/Richstein/Keller 20 f; Bornstein u. a. 381; Kowol 49 ff, 136 f; Schwarz, Werner
23 ff; Baxa 2 ff.
84 Landau I 281 f: „Satz: Es ist
eine ganze transzedente Funktion und genügt der Funktionalgleichtug
Beweis: […] Wenn s > 1 ist, ist die Summe der linken Seite von (1) über n = 1, 2, … konvergent, also auch die
Summe der rechten Seite. […] Dies gilt für relle s > 1. Ich behaupte nun, dass die rechte Seite von (2) für alle
komplexen s konvergiert und eine ganze transzendentale Funktion darstellt; damit ist dann zunächst u. a. die
Fortsetzbarkeit von in der ganzen Ebene von neuem bewiesen.“
85 Landau I 287 f: „Wird in der ganzen Funktion statt s eine komplexe 85 Variable z durch die Gleichung
eingeführt und
gesetzt, so geht wegen
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