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3. Eine weitere Näherung wäre in unsere Richtung also die hyperbolische Form
der Eulerschen Identität. Man kann für schreiben, . Auf
Anhieb ist jedoch ersichtlich, dass in dem Fall , aufgrund , Bewegung in die
bisher Starre Beweisfront hinein kommt 35 .
4. Der komplexe natürliche Logarithmus ist nicht eindeutig 36 wie der reelle Logarithmus, sondern
wird in einem Streifen als Hauptwert 37 ausgedrückt: Die komplese Zahl z = re iφ ist lnz = lnr + iφ.
Sonach kann als geschrieben werden 38 .
35 Wikipedia, Logarithmus, in: < URL >: „Hauptwert des Logarithmus = lnz
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, welche die Gleichung
e w = z
erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da
gilt, siehe dazu auch Eulersche Identität. Hat man also einen Logarithmus w von z gefunden, so ist damit auch
w‘ = w + 2kπi
ein Logarithmus von z, da gilt:
Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein.“
36 Wikipedia, Logarithmus, in: < URL >: „Hauptwert des Logarithmus = lnz […] Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in
der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z. B. den Streifen
verwenden. Eine komplexe Zahl aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt w = lnz. Stellt man z in Polarkoordinaten
dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:
Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:
ln ist nicht stetig auf . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln auf dem Gebiet
stetig und sogar holomorph. Allgemeiner gilt dies für alle einfach zusammenhängenden, offenen Teilmengen von .“
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