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2. Der zweier Ansatz ist, dass in der Zetafunktion der exponentielle Teil als
ausgedrückt werden kann 33 . Damit wäre unser sozusagen als logarithmische
Zielsetzung ins Bild gerückt 34 .
erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. […] Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen,
reellen Zahlen bestimmen:
Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo 2πi. Es gilt dann
beispielsweise nicht notwendig
wegen
Und auch die Gleichung
ist nicht notwendig erfüllt, was durch das Gegenbeispiel
verdeutlicht wird.“
33 Landau I 30: „Jenes Werkzeug ist die Anwendung der Theorie der Funktion eines komplexen Arguments s auf eine
ganz bestimmte Funktion , die ‚Riemannsche Zetafunktion‘, […] wo n s die Bedeutung bei reellem log n hat.“
34 Wikipedia, Logarithmus, in: < URL >: „Hauptwert des Logarithmus = lnz
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, welche die Gleichung
e w = z
erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. […] Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der
Logarithmusfunktion:
Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:
ln ist nicht stetig auf . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln auf dem Gebiet
stetig und sogar holomorph. Allgemeiner gilt dies für alle einfach zusammenhängenden, offenen Teilmengen von .“
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