Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(19) Zum Themengebiet Vernetzende
Aufgaben (Jahrgang 7 –10)
(erstellt in Zusammenarbeit mit
Gesamtschule Guxhagen)
Einleitung..........................................................................................................3
Einige Überlegungen und Vorbemerkungen zu Vernetzenden Aufgaben im
Mathematikunterricht von der Gesamtschule Guxhagen
Vorschlag 19.1: Der Brunnen............................................................................5
Ein auszuschachtender Brunnen schafft Verbindungen zu Körperberechnungen und
Größenumrechnungen
Vorschlag 19.2: St. Cyriakus.............................................................................6
Das Dach einer Kirche muss neu eingedeckt werden. Wie groß ist die Dachfläche und wie hoch
sind die Kosten?
Vorschlag 19.3: Von Würfeln und Wurzeln......................................................7
Wie verhalten sich die Kantenlängen zweier Würfel, deren Volumen in einem bestimmten
Verhältnis zueinander stehen?
Vorschlag 19.4: Bundestagswahl.......................................................................8
Die Wahlergebnisse der Bundestagswahl sollen sinnvoll dargestellt werden
Vorschlag 19.5: Sektgläser................................................................................9
Vielfältige Vernetzungen rund um das Sektglas
Vorschlag 19.6: Informationsweitergabe ........................................................10
Eine Informationsweitergabe verläuft nicht wie gewünscht, schafft aber Verbindungen zu
anderen Themengebieten
Vorschlag 19.7: Schwierige Pyramide.............................................................11
Volumenberechnung einer Pyramide aus Mantelfläche und Seitenkanten
Vorschlag 19.8: Parabel durch drei Punkte ....................................................12
Welche Parabel verläuft durch drei vorgegebene Punkte?
Vorschlag 19.9: Tool Time..............................................................................13
Die Dachsanierung eines Einfamilienhauses erfordert eine Menge Mathematikkenntnisse
Vorschlag 19.10: Hantelstange........................................................................14
Wie lang muss eigentlich eine Hantelstange sein, damit sie ein sinnvolles Gewicht hat?

Vorschlag 19.11: Geometrie............................................................................15
Bestimmungsaufgaben aus dem Bereich der Geometrie
Vorschlag 19.12: Unterwegs mit dem Sportverein..........................................16
Die Kosten für eine Busfahrt sollen gerecht verteilt werden
Vorschlag 19.13: Dem Ingenieur ist nicht zu schwör......................................17
Bei einem Fachwerkträger sind die Längen der einzelnen Stäbe zu berechnen
Vorschlag 19.14: Terrassenbau.......................................................................18
Eine Familie plant einen Terrassenbau und will das Geländer bestellen
Vorschlag 19.15: Tarifdschungel im Internet.................................................19
Die Nutzungstarife im Internet sind kaum noch überschaubar: Welcher Anbieter ist der
günstigste?
Vorschlag 19.16: Spanplatte ...........................................................................21
Geometrische Extremwertaufgabe mit Verbindungen zur Prozentrechnung
Vorschlag 19.17: Highway to Hell...................................................................22
Wie groß ist der Reaktionsweg bei einer Geschwindigkeit von 180 km/h?
Vorschlag 19.18: The Wall..............................................................................23
Vielfältige Vernetzungen bei der Planung einer Begrenzungsmauer
Vorschlag 19.19: Freizeitpark.........................................................................24
Drei Schüler fehlen beim Ausflug in den Freizeitpark. Wie sollen die Kosten gerecht verteilt
werden?
Vorschlag 19.20: Baumarkt............................................................................28
Was kostet die Renovierung eines Kinderzimmers?
Vorschlag 19.21: Schwimmbad.......................................................................28
Wie lange dauert die Befüllung eines Schwimmbads?
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2

Einleitung
Die folgenden Bemerkungen orientieren sich an einem Bericht der Lehrer
der Gesamtschule Guxhagen über ihre im Rahmen der
Modellversuchsarbeit gesammelten vielfältigen Erfahrungen mit
vernetzenden Aufgaben:
Wie auch in den später dargestellten konkreten Aufgabenvorschlägen
deutlich wird, werden häufig „ganz normale“ Aufgaben eingesetzt, die so
oder so ähnlich z.T. schon lange in Schulbüchern stehen. Dies geschieht
aber – angestoßen durch die Arbeit im Modellversuch – viel bewusster und
auch häufiger als bisher.
Wenn man sich das Vernetzen in verstärktem Maße als Ziel vornimmt,
dann – so die Erfahrungen – kann man auf diesem Gebiet viel erreichen,
auch wenn das Ganze natürlich kein „Selbstläufer“ ist. Wichtige
Voraussetzungen sind dabei das gezielte und permanente Einbauen
entsprechender Aufgaben in den Unterricht und in Klassenarbeiten. Dieser
– mittlerweile selbstverständliche – Bestandteil jeder Klassenarbeit ist von
besonderer Relevanz, da auf diese Weise die Bedeutung von
Vernetzungen manifestiert wird. Ein „Knackpunkt“ bei der Umsetzung im
Unterricht besteht darin, dass die Motivation der Schüler trotz der z.T.
höheren Anforderungen erhalten bleibt. Die Erfahrungen zeigen aber, dass
bei entsprechendem Durchhaltevermögen und mit zeitweiliger
Unterstützung durch die Lehrkraft große Erfolge erzielt werden können, die
zudem langfristig zur Steigerung des Selbstbewusstseins der Schüler und
zur Förderung der Teamfähigkeit führen können.
Im Laufe der Zeit wird man – so die bisherigen Erfahrungen – immer
sensibler für vernetzende Aufgaben und erkennt, wie eine vorgegebene
Schulbuchaufgabe sinnvoll vernetzt werden kann oder wo eine geeignete
Aufgabe aus einem anderen Themengebiet steht. Beispiele hierfür finden
sich auch in der nachfolgenden Materialsammlung. Im Laufe der Arbeit
wird dabei u.a. deutlich, dass in manchen Schulbüchern Vernetzungen nur
selten oder gar nicht vorkommen. Dies sollte natürlich aufgebrochen
werden.
All das bisher Gesagte bedeutet natürlich nicht, dass man nun
gewissermaßen „zwanghaft“ bei jeder Aufgabe nach Vernetzungen suchen
sollte, sondern nur dann, wenn es sich anbietet oder gerade
entsprechende Ziele im Unterricht angestrebt werden. Ebenso sollte man
bei einer Aufgabe nicht zu viel vernetzen. Die bisherigen Erfahrungen
zeigen, dass die Gefahr groß ist, dass ab einem bestimmten Zeitpunkt „die
Luft raus“ ist. Sinnvoller ist es dagegen, in immer wiederkehrenden
Abständen „kleinformatigere“ Vernetzungen anzustreben. Eine enge
Zusammenarbeit zwischen den beteiligten Lehrkräften kann hierbei – wie
ja bei allen anderen Zielen im Rahmen der Modellversuchsarbeit auch – zu
einer enormen Arbeitserleichterung führen.
3

Vernetzungen zu gewissen Themengebieten (wie der Prozentrechnung, zu
der man fast immer entsprechende Vernetzungsaufgaben finden kann)
fallen naturgemäß leichter als solche zu anderen Gebieten (wie der
Algebra). Dass dies aber auch möglich ist, wird darin deutlich, dass auch
hier einige anregende Beispiele zusammengekommen sind.
Zum Abschluss soll auch noch auf einige konkrete Anregungen aus zwei
Broschüren des ISB (zu den Themen „Systematisches Wiederholen und
Vernetzen“ und „Wiederholen als bewusstes Unterrichtselement“)
hingewiesen werden.
Zunächst einige Beispiele für Vernetzungsmöglichkeiten innerhalb der
Jahrgangsstufe 9:
Aktuelle Themen .... ... greifen zu auf
zurückliegenden Stoff
Lösen von Ungleichungen Zerlegung in Linearfaktoren
Strahlensatz, Satzgruppe des
Pythagoras
Berechnung von
Funktionswerten
Bestimmung von
Funktionstermen
(bei entsprechender Wahl der
Maßzahlen)
Goldener Schnitt
Extremwertprobleme
geometrischer Art
Pyramiden
Winkel an einer Doppelkreuzung
mit parallelen Geraden,
Flächenberechnungen (z. B.
Trapez, Parallelogramm,
Drachenviereck)
Rechenregeln für Wurzeln und
Wurzelterme
Quadratische Gleichungen,
Ähnlichkeit
Strahlensatz, Satzgruppe des
Pythagoras
Daneben erscheinen aber auch Vernetzungen innerhalb gewisser
Themenstränge der Schulmathematik (z.B.: Flächeninhalte, Funktionen)
wichtig und Erfolg versprechend zu sein, da sich hierbei vorhandenes
Wissen besonders gut in das aktuelle Themengebiet integrieren bzw.
dadurch kontrastieren lässt.
4

Vorschlag 19.1: Der Brunnen
Ein Brunnen soll 12 m tief ausgeschachtet werden.
Zum Schutz gegen das Erdreich soll er innen mit einer
38 cm dicken Ziegelwand ausgemauert werden. Die
Mauer soll 0,5 m aus dem Erdreich ragen. Der
Innendurchmesser des Brunnens soll 2,10 m
betragen.
a) Wie viel m 3 Erdreich sind auszuschachten?
b) Pro 1 m 3 Mauerwerk werden 380 Ziegelsteine
benötigt. Wie viele Ziegelsteine sind nötig?
c) Wie viele Liter Wasser stehen in dem Brunnen, wenn der Wasserspiegel
4,20 m von der Oberkante der Mauer entfernt ist?
Der Brunnen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Körperberechnung, hier: Hohlzylinder
• Größen
• Text umsetzen in geeignete Zeichnung
Variationen der Aufgabe:
• Ziegelsteine mit 5% Bruch
• Schwankender Wasserspiegel
• Deckel zur Abdeckung des Brunnens
• Brunnenhäuschen bauen
• Seillänge
• Erdaushub in LKW verladen. Wie oft fahren?
(Mögliche) Lösungen:
a) Es müssen 77 m³ (Kontrolle: 77,09) Erdreich ausgeschachtet werden.
b) Zum Ausmauern des Brunnens werden ca. 14000 (Kontrolle:14063) Steine benötigt.
c) Im Brunnen stehen ca. 29000 (Kontrolle: 28747,93) l Wasser
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 10, Kurs A/B/C (Bereits für B-Kurs Schüler schwierige Aufgabe – aber möglich)
• Recht umfangreiche Aufgabe
• Gruppenarbeit
Bemerkungen:
• Die größte Schwierigkeit der Schüler ist es eine geeignete Skizze anzulegen.
• Größenumrechnung bereitet erfahrungsgemäß Probleme.
5

Vorschlag 19.2: St. Cyriakus
In Gernrode am Nord-Ost-Rand des Harzes wurde
961 mit dem Bau der Kirche St. Cyriakus
begonnen. Sie gehört zu den bedeutendsten
Kirchenbauten Deutschlands. St. Cyriakus hat eine
Doppelturmfassade mit kegelförmigen Dächern. Ein
Dach ist 9 m hoch. Der Durchmesser der
Grundfläche beträgt 5,20 m. Aus Gründen des
Denkmalschutzes muss eine besondere
Dacheindeckung gewählt werden, die pro m²
375 DM kostet. Bei der Materialbestellung wird mit
einer 15% größeren Fläche gerechnet (Verschnitt).
Das Amt für Denkmalschutz übernimmt 55% der
Kosten, die bei der Neueindeckung der beiden
Türme anfallen. Wie viel Geld bezahlt das Amt?
St. Cyriakus: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Körperberechnung,
• Prozentrechnung
(Mögliche) Lösungen:
• Die Dachfläche beträgt ca. 153 (Kontrolle: 153,07) m², aber es müssen ca. 176 (Kontrolle:
176,03) m² Material bestellt werden. Das Amt für Denkmalschutz übernimmt von den
Gesamtkosten (66011,25 DM) 36306,19 DM
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 10, Kurs A/B
• Gruppenarbeit
Bemerkung:
• Die Schüler (B-Kurs) haben Schwierigkeiten aus der Fülle der Informationen eine
Lösungsstrategie zu entwickeln und in geeigneter Weise aufzuschreiben.
• Häufig wird die Information Doppelturmfassade überlesen (da macht es die Abbildung
leichter)
6

Vorschlag 19.3: Von Würfeln und Wurzeln
Wie verhalten sich die Kanten zweier Würfel, deren Rauminhalte
(Oberflächen) im Verhältnis
a) 1 : 3
b) 2 : 3
c) 1 : 4
stehen?
Von Würfeln und Wurzeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Körper (Volumen und Oberfläche)
• Wurzeln
• Verhältnisse
(Mögliche) Lösungen:
a) 1: 3 ( 1:
3)
3
b) 2 : 3 ( 2 : 3)
3 3
c) 1: 4 ( 1:
2)
3
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 10, Kurs A (mit konkreten Zahlen auch in B-Kurs. Dann Verallgemeinerung)
• Gruppenarbeit
7

Vorschlag 19.4: Bundestagswahl
1998 verteilten sich die Sitze des deutschen Bundestages nach dem
Wahlergebnis wie folgt:
SPD: 294
CDU: 198
Bündnis 90/Die Grünen: 47
CSU: 47
FDP: 43
PDS: 37
Zeichne ein Kreisdiagramm mit r = 5 cm.
Bundestagswahl: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Kreisdiagramm
• Proportionen
• Prozente
Variationen der Aufgabe:
• Vergleiche mit der unten stehenden Grafik. „Finde Unterschiede und mögliche Gründe.“
(Mögliche) Lösungen:
SPD: 158,92°
CDU: 107,03°
Bündnis 90/Die Grünen: 25,41°
CSU: 25,41°
FDP: 23,24°
PDS: 20,00°
•
Eignung, (mögliche)
Methoden:
• Jahrgang 7, Kurs A/B
• Gruppenarbeit
8

Vorschlag 19.5: Sektgläser
Der Kelch eines Sektglases ist 12cm hoch und hat einen
oberen Innendurchmesser von 7cm.
a) In welchem Abstand vom oberen Rand muss der
Eichstrich für 0,1 l Sekt angebracht werden?
b) Wie viel Prozent spart man, wenn man die Gläser nur
bis 1cm unter den Eichstrich füllt?
c) Erkundige dich nach dem Preis für ein Glas Sekt im
Lokal und dem Preis für eine Flasche Markensekt im Supermarkt.
Berechne den Gewinn in € und in Prozent.
d) Wie hoch muss der Preis sein, wenn das Glas mit Sekt und
Orangensaft gefüllt wird?
Sektgläser: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Volumen Kegel
• Strahlensätze
• Prozentrechnung
• Umrechnung VE
• Sachrechnen
Variationen der Aufgabe:
• (1) „Bis zu welcher Höhe muss man einschenken, damit das Glas gerade 0,05 l Sekt enthält?“
(Mögliche) Lösungen:
• a) r = 3,03 cm; h = 10,39 cm; Abstand vom oberen Rand = 1,61 cm
b) h’ = 9,39 cm; r’ = 2,74 cm; V’ = 73,82 cm³; 26,18 %
(1) ca. 80% der Höhe: 9,6 cm
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 10, Kurs A (Gymnasium)
• Gruppenarbeit
9

Vorschlag 19.6: Informationsweitergabe
Während einer Klassenarbeit wird eine Information von Schüler zu Schüler
weiter gegeben. Erfahrungsgemäß wird bei der Weitergabe die Information
in 20 % der Fälle verfälscht.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der letzte Schüler der
Klasse (18 Schüler) die Information richtig erhält?
b) Nach der wievielten Weitergabe sinkt die Wahrscheinlichkeit für eine
unverfälschte Information unter 30 % ?
Informationsweitergabe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Bruchrechnung
• Potenzrechnung
• Logarithmen
• Ungleichungen
• Prozentrechnung
(Mögliche) Lösungen:
• a) P = 0,8 17 ≈ 0,0225 = 2,25 %
b) 0,8 x lg 0,
3
< 0,3 x > ≈ 5,
4 ab der 6. Weitergabe
lg 0,
8
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 10, Kurs A (Gymnasium)
• Gruppenarbeit
Bemerkung:
• „Sowohl im Jahrgang 10 als auch in der Oberstufe gut gelaufen“
10

Vorschlag 19.7: Schwierige Pyramide
Von einer quadratischen Pyramide sind gegeben:
M = 1680 cm² und s = 37 cm. Berechne das Volumen.
Schwierige Pyramide: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Körperberechnung
• Satz des Pythagoras
• bi-quadratische Gleichungen
• Lineare Gleichungssysteme
(Mögliche) Lösungen:
• ha 4 – 1369 ha 2 + 176400 = 0 ha1 = 35 cm; (ha2 = 12 cm); a1 = 24 cm; (a2 = 70 cm)
h = 32,9 cm; V = 6316,8 cm³
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 10, Kurs A (Gymnasium)
• ohne Anleitung schwer: schwierige Rechnung, allerdings günstige Zahlen
• Gruppenarbeit
Bemerkung:
• Aufgabe ist aus Schülernachfrage entstanden. Dies war die letzte Teilaufgabe, die als
besonders schwierig gekennzeichnet war, was die Schüler enorm motiviert hat.
11

Vorschlag 19.8: Parabel durch drei Punkte
2
Bestimme die Formvariablen a, b, c so, dass der Graph von y = ax + bx+
c
durch die Punkte
a) P ( 1| 3)
Q(
2 | 4)
R(
−1
| −5)
b) P( 3 | −1)
Q(
−1|
−3)
R(
3|
5)
− verläuft.
Berechne das Extremum der Funktion. Stelle eine Wertetabelle auf und
zeichne den Graphen.
Parabel durch drei Punkte: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Funktionen
• Gleichungen
• Lineare Gleichungssysteme
• Extremwerte
Variationen der Aufgabe:
•
(Mögliche) Lösungen:
2
• a) y = −x
+ 4x
1 2 5
• b) y = x + x −
2 2
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 9/10, Kurs A
12

Vorschlag 19.9: Tool Time
Ein Einfamilienhaus (Maße siehe
nebenstehende Skizze!) soll im
Dachbereich saniert und dann
vermietet werden. Es besteht aus
dem bewohnbaren Teil und dem
nicht zu Wohnzwecken nutzbarem
Dachboden.
Die Dacheindeckung wird für
38,50 € pro m 2 angeboten.
10 m
Die Mietkosten pro m 2 betragen 6,60 €, aber die Dachbodenfläche wird nur
zu 30% angerechnet.
Erstelle eine Zeichnung im Maßstab 1:100 und berechne!
Tool Time: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Räumliche Zeichnung
• Maßstab
• Berechnung von Rechtecksflächen
• Prozentrechnung
• Anwendung „Satz des Pythagoras“
(Mögliche) Lösungen:
(1) Berechnung der Dachfläche:
2
2
2m + 4,
5 = x
( ) ( ) 2
2
24 , 25m
= x
4 , 92m
= x
A = 10m ⋅ 4,
92m
⋅
2
A = 98, 4m
(2) Berechnung der Kosten für die
Dacheindeckung
38 , 5€
⋅ 98,
4 = 3788,
40 €
2
(3) Berechnung der Mietkosten
= 10m ⋅9m
= 90m
AWohnbereic h
2
9 m
2
ADachboden = 90m
Wohnbereich: 90 ⋅ 6,
6€
= 594€
Dachboden: 30 % von 594 € = 178,
2€
Mietkosten: 772 , 20€
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang , Kurs A/B/C (schon mehrfach erfolgreich im C-Kurs eingesetzt)
• Partnerarbeit
• Ein Problem bei dieser Aufgabe ist oft die Prozentrechnung, aufgrund ihrer relativ weit
zurückliegenden Behandlung
2 m
3,8 m
13

Vorschlag 19.10: Hantelstange
a) Welche Länge muss eine (zylindrische) Hantelstange aus Stahl mit dem
Durchmesser 28 mm besitzen, damit ihr Gewicht exakt 10kg beträgt
(Spezifisches Gewicht von Stahl: 7,86 kg/cm 3 )?
b) Runde das Ergebnis auf mm. Berechne jetzt das Gewicht er
Hantelstange. Wie groß ist die prozentuale Abweichung durch das
Runden?
Hantelstange: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Größen
• Volumina
• Dichte
(Mögliche) Lösungen:
• Länge = ca. 206 cm (Kontrollergebnis: 206,619 cm)
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 9, Kurs A/B
• Einzel- oder Partnerarbeit
Bemerkungen:
• Aufgabe ist im Konditionsraum der Schule entstanden. Der Durchmesser von Hantelstangen
ist genormt. Die Länge wirklich so gewählt, dass sich ein rundes Gewicht ergibt.
14

Vorschlag 19.11: Geometrie
a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 48 cm lang, das 4fache
der anderen übertrifft die Hypotenuse um 6 cm. Gib die
fehlenden Lösungen an.
b) Bei einer quadratischen Säule ist die Höhe um 5 cm größer als die
Grundkante. Die Oberfläche beträgt 434 cm 2 . Wie groß ist das
Volumen?
Geometrie: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Quadratische Gleichungen
• Satz des Pythagoras
• Körper und Volumen
Variationen der Aufgabe:
• Solche Aufgaben können zu nahezu jeder geometrischen Form formuliert werden.
(Mögliche) Lösungen:
a) (4x – 6) 2 = x 2 + 48 2 Die Hypotenuse ist 50 cm, die andere Kathete 14 cm lang.
b) 2⋅[x 2 + 2x⋅(x + 5)] = 434 Die Grundkant e ist 7 cm, die Höhe 12 cm lang; das Volumen
beträgt V = 588 cm 3 .
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang , Kurs A
• Einzel- oder Partnerarbeit
15

Vorschlag 19.12: Unterwegs mit dem Sportverein
Ein Sportverein mietet einen Bus für 120€. Diese
Kosten werden gleichmäßig verteilt. Wären 2
Personen mehr mitgefahren, hätten sich die
Kosten für jeden Teilnehmer um 0,25€
verringert. Bestimme die Teilnehmerzahl und
den Preis, den jeder zahlen muss.
Quelle: Elemente 9, S. 180.
Unterwegs mit dem Sportverein: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Quadratische Gleichungen
• Antiproportionale Zuordnungen
• Lineare Gleichungssysteme
(Mögliche) Lösungen:
• x sei die Teilnehmerzahl, y der Preis in €
1) x ⋅ y = 120
2) (x + 2) ⋅ (y - 0,25) = x ⋅ y
x² + 2x - 960 = 0 x = 32 ; y = 3,75
32 Teilnehmer
• Auch systematisches Probieren ist ein legitimer Lösungsansatz
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 9, Kurs A
• Einzel- oder Partnerarbeit
16

Vorschlag 19.13: Dem Ingenieur ist nichts zu schwör
Berechne bei dem Fachwerkträger die
Längen der einzelnen Stäbe (Maße in m).
Quelle: Lambacher Schweitzer 9
Dem Ingenieur ist nichts zu schwör: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Strahlensätze
• Satz des Pythagoras
(Mögliche) Lösungen:
• Senkrechte Stäbe: 1,2 und 2,2 m
Schräge Stäbe: 2,77 m, 3,33 m und 8,62 m.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 9, Kurs A/B
• Routineaufgabe, die gut funktioniert
• Einzel- oder Partnerarbeit
17

Vorschlag 19.14: Terrassenbau
Familie Koch plant den Bau einer
Terrasse an ihr Haus. Das Geländer hat
insgesamt eine Länge von 16 m. Die
Fläche der Terrasse soll 24 m² betragen.
Wie lang müssen die drei Teile des
Terrassengeländers beim Hersteller
bestellt werden? Gibt es bei der Lösung
der Aufgabe nur eine Möglichkeit?
b Terasse
Terrassenbau: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Quadratische Funktionen
• Gleichungssysteme
• Flächenberechnungen
Variationen der Aufgabe:
• Da Terrassen nur sehr selten Geländer haben und die Aufgabe nicht nur deshalb sehr
konstruiert wirkt, sollte man vielleicht ehrlicherweise auf den Kontext verzichten und die
Aufgabe rein innermathematisch behandeln.
(Mögliche) Lösungen:
I. a + 2b = 16
II. a ⋅b = 24
I.’ a = 16 – 2b
I.’ in II.
( 16 – 2b ) ⋅b = 24
16 b – 2b 2 = 24 | -24
-2b 2 – 16b – 24 = 0 | : (-2)
b 2 – 8b +12 = 0
2
p p
b1/2 =− ± − q
2 4
b 1/2 = 4± 16− 12
b 1/2 = 4± 4
b = 4± 2
1/2
b = 6 und b = 2
1 2
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 9, Kurs B
• Partnerarbeit
a
Haus
binI' a = 16−26 ⋅
1 1
1
b in I' a = 16−22 ⋅
2 2
a = 4
a2
= 12
1. Möglichkeit: a1 = 4 m und b1 = 6 m Λ er
muss 1 X 4 m und 2 X 6 m bestellen.
2. Möglichkeit: a2 = 12 m und b2 = 2 m Λ er
muss 1 X 12 m und 2 X 2 m bestellen.
b
18

Vorschlag 19.15: Tarifdschungel im Internet
Tarifdschungel Internet – Lohnt sich der Vergleich??
Preis/Leistung
T-Online
eco
Rund um
die Uhr
Neu! T-Online by
day
Mo.-Fr.
7-17 Uhr
übrige
Zeit
Neu! T-Online
by night
täglich
23 - 9
Uhr
Grundgebühr/ Monat 4 € 7,45 € 4,95 €
Nutzungsentgeld bei Zugang über
Analogmodem (ct / min )
Nutzungsentgeld bei Zugang über
T-DSL–Anschluss (ct /min)
täglich
9 - 23
Uhr
1,5 0,8 1,5 0,8 1,5
1,5 0,8 1,5 0,8 1,5
Mindestvertragslaufzeit keine keine keine
PC - Schutzbrief enthalten enthalten enthalten
Du verfügst über ein Analogmodem und bist täglich im
Durchschnitt 40 Minuten in den Nachmittagstunden im Internet.
Berechne die Kosten für alle für dich möglichen Tarife und
vergleiche deine Ergebnisse!
Welcher Tarif ist am günstigsten für dich? Löse die Aufgabe auch grafisch
und bestimme für jeden Tarif die Funktionsgleichung!
Wie viel Prozent der Kosten können gegenüber dem ungünstigsten Tarif
gespart werden?
Tarifdschungel im Internet: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Lineare Funktionen
• Größen
• Prozentrechnung
Variationen der Aufgabe:
• Ähnliche Aufgaben sind zu Tarifen aus anderen Kontexten leicht zu konstruieren.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 8, Kurs A/B
• Partner- oder Gruppenarbeit
19

(Mögliche) Lösungen:
40 min⋅ 30 Tage = 1200 min pro Monat
T- Online eco 4 Euro Grundgebühr und 1,5 Cent pro Minute
ct
1200 min ⋅ 1,5
min
= 1800 ct; 4 € + 18,00 € = 22,00 €
T – Online by day 7,45 Euro Grundgebühr und 0,8 Cent pro Minute
ct
1200 min ⋅ 0,8
min
= 960 ct; 7,45 € + 9,60 € = 17,05 €
T – Online by night 4,95 Euro Grundgebühr und 0,8 Cent pro Minute
ct
1200 min ⋅ 1,5
min
Ersparnis: G = 22,95 €
W = 17,05 €
Grafische Darstellung:
Kosten in Euro
25
20
15
10
Wertetabellen
5
0
W
p = ⋅ 100
G
= 1800 ct; 4,95 € + 18,00 € = 22,95 €
p = 74,3%
Ersparnis :27,7%
T-Online eco Funktionsgleichung: y = 0.015x + 4
Zeit in 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
min
Kosten in
€
4,00 5,50 7,00 8,50 10,00 11,50 13,00 14,50 16,00 17,50 19,00 20,50 22,00
T-Online by day Funktionsgleichung: y = 0.008x + 7,45
Zeit in 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
min
Kosten in
€
7,45 8,25 9,05 9,85 10,65 11,45 12,25 13,05 13,85 14,65 15,45 16,25 17,05
T-Online by night Funktionsgleichung: y = 0.015x + 4,95
Zeit in 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
min
Kosten in
€
Internettarife
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Zeit in Minuten
y=0,015x+4,95
y=0,008x+7,45
y=0,015x+4
4,95 6,45 7,95 9,45 10,95 12,45 13,95 15,45 16,95 18,45 19,95 21,45 22,95
20

Vorschlag 19.16: Spanplatte
Aus einer rechteckigen Spanplatte (siehe Skizze) zu einem Preis von 22 €
soll eine möglichst große runde Platte ausgeschnitten werden. Zeichne den
Ausschnitt in die Skizze ein! Berechne den Abfall in %!
Spanplatte: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Flächenberechnung Rechteck
• Flächenberechnung Kreis
• Prozentrechnung
(Mögliche) Lösungen:
(1) Berechnung Kreisfläche
AKreis = π ⋅ 0,9 m ⋅ 0,9 m
AKreis = 2,54 m 2
(2) Berechnung Rechteck
ARechteck = 2 m ⋅ 1,8 m
ARechteck = 3,6 m 2
(3) Berechnung Abfall in %
3,6 m 2 - 100 %
1 m 2 -
100
%
3,
6
1,06 m 2 -
100⋅1,
06
= 29,44 %
3,
6
2 m
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 8, Kurs C
• Wurde verwendet als Zusatzaufgabe in einer Klassenarbeit
• Einzel- oder Partnerarbeit
1,8 m
21

Vorschlag 19.17: Highway To Hell
Herr Müller fährt mit seinem Wagen auf der
Autobahn mit einer Geschwindigkeit von 180
km/h. Die Reaktionszeit auf plötzliche
Ereignisse beträgt 0,7 s. Wie viele Meter legt
Herr Müller in dieser Zeit mit seinem Wagen
zurück?
Highway To Hell: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Zuordnungen
• Größen (hier: Zeit und Längen)
• Physik (Reaktionszeit)
(Mögliche) Lösungen:
• Der Wagen legt 35 m in 0,7 Sekunden zurück.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 7, Kurs A/B
• Einzel- oder Partnerarbeit
• Problematisierung: Durch den Begriff km/h (Stundenkilometer) sehen Schüler eventuell nicht,
dass man, wenn man eine Stunde fährt, man eine bestimmte Strecke zurücklegt.
22

Vorschlag 19.18: The Wall
Planung und Bau einer Begrenzungsmauer am Ende einer
Terrasse:
Um eine 6,5m lange Terrasse vom Garten zu trennen, soll
eine 90 cm hohe und 30 cm breite Mauer gebaut werden. Die
Mauer soll über die ganze Länge der Terrasse gehen. Sie soll
oben mit Buntsandsteinplatten abgedeckt und an den Seiten
weiß geputzt werden. Damit das Bauwerk frostsicher ist,
muss das Fundament 80 cm tief in den Boden eingelassen
werden.
Die einzelnen Arbeitsschritte:
1. Der Fundamentgraben muss ausgehoben werden. Damit Platz zum Arbeiten ist und
die Erdwände nicht einstürzen, muss das 1,5-fache der eigentlich notwendigen
Erdmenge ausgehoben werden. Der Erdaushub hat 30% mehr Volumen als der
gewachsene Boden. Er wird mit einer Schubkarre abtransportiert. Jede Ladung
beträgt 80 l.
2. Nachdem der zukünftige Fundamentsockel eingeschalt wurde, wird er mit
Fertigbeton ausgegossen. Um Verunreinigungen der geputzten Wände zu
vermeiden, ragt das Betonfundament 5 cm über den Erdboden heraus.
3. Auf das Betonfundament wird, zum Schutz gegen aufsteigende Nässe, eine Schicht
Isolierpappe gelegt.
4. Nach der ersten Schicht Ziegelsteine wird noch einmal eine Schicht Isolierpappe
gelegt.
5. Dann wird bis zu der gewünschten Höhe von 90 cm, vom Boden ab gemessen,
gemauert. Pro m³ Mauerwerk werden 102 Ziegelsteine (12cm X 30cm X 24cm), plus
ein Zehntel der notwendigen Menge für Verschnitt, und für die ganze Mauer 9 Sack
Speis benötigt.
6. Die Mauer wird mit Buntsandsteinplatten abgedeckt. An beiden Enden der Mauer
soll diese Abdeckung 5 cm überstehen.
7. Das Mauerwerk wird geputzt. Für die Mauer werden 2 Sack Fertigputz benötigt.
Preisliste:
Fertigbeton, pro m³ 140 €
Anfahrt des Betonwagens 80 €
1 Ziegelstein 2 €
1 Sack Speis 7 €
1 m Isolierpappe 0,6 €
1 Sack Fertigputz
1 m Sandsteinabdeckung
42 €
120 €
Arbeitsaufträge:
1. Lege eine geeignete und vollständig beschriftete Skizze an.
2. Berechne das Volumen des Erdaushubes und die Zahl der Schubkarren.
3. Berechne den Materialpreis der Mauer.
23

The Wall: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Berechnung am Quader (Teiloberfläche und Teilvolumen)
• Bruchrechnung (Teil 1 und 5)
• Größen
(Mögliche) Lösungen:
2. 2,34 m³ gewachsener Boden müssen ausgehoben werden. Der Erdaushub beträgt dann
3042 Es werden also 38 bzw. 39 Fuhren (38,025 genau) mit der Schubkarre benötigt.
3. Beton: V = 6,5 m ⋅ 30 cm ⋅ 85 cm = 1,6575 m³
Preis für den Beton: 1,6575 ⋅ 140 € + 80 € = 312,05 €
2 Schichten Isolierpappe: 13 ⋅ 0,6 € = 7,8 €
Steine: V = 6,5 m ⋅ 30 cm ⋅ 85 cm = 1,6575 m³
Anzahl der Steine: 1,6575 ⋅ 102 ⋅ 1,1 = 185,97 Steine
Preis für die Steine: 186 ⋅ 2 € = 372 €
Preis für den Speis: 9 ⋅ 7 € = 63 €
Preis für die Abdeckplatten: 6,6 ⋅ 120 € = 792 €
Preis des Putzes: 42 € ⋅ 2 = 84 €
Gesamtpreis: 1630,85 €
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 7, Kurs A/B/C
• Partner- oder Gruppenarbeit
• Die Schüler hatten, unabhängig vom Kursniveau, Schwierigkeiten den Text in eine geeignete
Skizze umzusetzen. Diese Aufgabe ist geeignet Schülern deutlich zu machen, dass die
übersichtliche Gliederung einer Seite und die Markierung von Zwischenergebnissen
notwendig sind.
Vorschlag 19.19: Freizeitpark
Die Klasse 7a besteht aus 27 Schülern und will in den
Hansa-Park fahren. Jeder Schüler muss für den Bus 18 €
bezahlen. Am Abfahrtstag fehlen drei Schüler. Wie viel
Prozent muss jeder Schüler mehr bezahlen?
Freizeitpark: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Dreisatz
• Prozentrechnung
• Antiproportionale Zuordnungen
(Mögliche) Lösungen:
27⋅18€
• = 20,
25€
24
2,
25
=
18
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 7 , Kurs A/B/C
• Gruppenarbeit
0,
125
= 12,
5%
24

Vorschlag 19.20: Baumarkt
Ein Kinderzimmer soll renoviert werde. Das Zimmer ist
4,2 m lang und 3,2 m breit. Das Fenster ist 1,5 m² groß,
die Türfläche beträgt 2 m². Der Raum ist 2,5 m hoch.
Decke und Wände sollen gestrichen, der Teppichboden
erneuert werden. Ein 5 Liter Eimer Farbe kostet 17,95 €
und reicht für 30 m² Fläche. Ein Quadratmeter
Teppichboden kostet 19,95 €, die Rollenbreite ist 4 m.
Wie viel € kannst du sparen, wenn du die Ware im
Ausverkauf mit einem Rabatt von 20 % kaufen kannst?
Baumarkt: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Prozentrechnung
• Flächeninhalt
• Sachrechnen
• Runden
(Mögliche) Lösungen:
• A = 14, 8⋅
2,
5 + 13,
44 − 3,
5 = 46,
94m²
Wandfarbe: 2mal 17,95€ = 35,90 €
Teppichboden 4 ⋅ 4,
2 = 16,
8m²
335,16 €
371,06 €
371 , 06€
⋅ 0,
2 = 74,
21€
Ersparnis
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 7, Kurs A/B
• Gruppenarbeit
25

Vorschlag 19.21: Schwimmbad
Das Schwimmbecken des Schwimmbads Guxhagen (siehe Skizze) ist
25 m lang, 8 m breit und 2 m tief. Es wird bis zu einer Höhe von 1,8 m
gefüllt. Die Feuerwehr setzt zwei Stahlrohre ein, die pro Stunde zusammen
9000 Liter schaffen. Wie lange dauert die Befüllung? Welche Zeit würde
benötigt, wenn ein weiteres Stahlrohr eingesetzt werden könnte?
Schwimmbad: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vernetzungen:
• Volumenberechnung Quader
• Maßumwandlung
• Dreisatz
(Mögliche) Lösungen:
(1) Berechnung Volumen
V = 25 m ⋅ 8 m ⋅ 1,8 m
V = 28,8 m 3
(2) Berechnung Zeit
9000 l - 1 h
28800 l - 3,2 h
Zeit bei zwei Stahlrohren: 3,2 h
2 R. - 3,2 h
1 R. - 3,2 ⋅ 2 h
3 R. - 2,13 h
Zeit bei drei Stahlrohren: 2,13 h
25 m
8 m
2 m
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Jahrgang 7, Kurs C
• Wurde bisher „erfolgreich“ verwendet als Zusatzaufgabe in einer Klassenarbeit
• Einzel- oder Partnerarbeit
26