Rechnersysteme Vorlesung 2 - am Institut für Mathematik und ...

Rechnersysteme 

Vorlesung 2: 

Informationsspeicherung 

Meike Klettke 

Universität Greifswald 

Themen der Vorlesung 

� Einführung, Zahlensysteme 

� Dezimal-, Binär-, Oktal-, Hexadezimalsystem 

� Umrechnung zwischen verschiedenen 

Zahlensystemen 

� Rechenoparationen mit Binärzahlen 

� Darstellen von Festkommazahlen 

� Darstellen von Gleitkommazahlen 

� Kodierung von Buchstaben und Zeichen 

� Literatur 

1 

2 

1

Zahlensysteme 

� Zahlensystem 

� wird zur Darstellung von Zahlen verwendet 

� Eine Zahl wird nach den Regeln des Zahlensystems als 

Folge von Ziffern dargestellt 

� Unterschieden werden 

� Additionssysteme und 

� Stellenwertsysteme 

Additionssysteme 

� Zahl wird als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt 

� Beispiel: römische Zahlen mit den Ziffern 

� I = 1 

� V = 5 

� X = 10 

� L = 50 

� C = 100 

� D = 500 

� M = 1000 

3 

4 

2

Zahlensysteme 

Römische Zahlen 

Ägyptische Zahlen 

� Das auf den ägyptischen Ziffern beruhende Zahlensystem 

stellt 

� positive ganze Zahlen 

� in einem Additionssystem zur Basis 10 dar, 

� jede Zehnerpotenz hat eigenes Symbol 

� Die Ziffern werden addiert. 

� Für die Null kein eigenes Symbol erforderlich. 

� Der betende Mann (Symbol siehe nächste Folie) steht 

sowohl für eine Million als auch für unendlich 

5 

6 

3

Ägyptische Zahlen /2 

Wert: 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 

Hieroglyphe: 

einfacher Wasserlilie betender 

Strich Mann 

Rinds- Finger 

gespann 

Seilschlinge Kaulquappe 

oder Frosch 

Stellenwertsysteme 

� Die Stelle (Position) einer Ziffer impliziert deren Wert 

� Die 'niederwertigste' Position steht dabei im Allgemeinen rechts 

� Ein Stellenwertsystem hat 

� eine Basis B und 

� Ziffern, die von 0 bis B-1 laufen. 

� Die Ziffernposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis N 

entspricht. Für die N-te Position hat man einen Wert von B N-1 

7 

8 

4

Dezimalsystem 

� Stellenwertsystem, Basis 10 

� Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. 

� jeder Ziffernposition entspricht eine Zehnerpotenz 

� Beispiel 6857 bedeutet, dass 

� die 7 mit 10 0 = 1, 

� die 5 mit 10 1 = 10, 

� die 8 mit 10 2 = 100 und 

� die 6 mit 10 3 = 1000 

� multipliziert wird, also 

� 6000 + 800 + 50 + 7 

� stammt ursprünglich aus Indien 

� vom persischen Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi in 

seinem Arithmetikbuch ( 8. Jahrhundert) verwendet 

� im 10. Jahrhundert in Europa eingeführt, damals noch ohne Null 

Technische Umsetzung des 

Dezimalsystems 

„Dasselbe, was du auf rechnerischem Wege gemacht hast, habe ich kürzlich mechanisch 

versucht und eine aus elf vollständigen und sechs verstümmelten Rädchen bestehende 

Maschine gebaut, welche gegebene Zahlen im Augenblick zusammenrechnet: addiert, 

subtrahiert, multipliziert und dividiert. Du würdest hell auflachen, wenn Du da wärest und 

sehen könntest, wie sie, so oft es über einen Zehner oder Hunderter weggeht, die Stellen 

zur Linken ganz von selbst erhöht oder ihnen beim Subtrahieren etwas wegnimmt.“ 

(Brief von Schickard an Kepler am 20. September 1623) 

Gefunden im Buch von Becker, Drechsler, Molitor 

10 

9 

5

Binärsystem (Dualsystem) 

� von Gottfried Wilhelm Leibniz im 17. Jahrhundert entwickelt 

� Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1 

� vor allem in der Informationstechnik verwendet, 

� 2 0 = 1 

� 2 1 = 2 

� 2 2 = 4 

� 2 3 = 8 

� 2 4 = 16 

� 2 5 = 32 

� … 

� 2 10 = 1024 

� usw. 

� Beispiel: 1011b = 11 

� 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 11 

Leibniz-Traktat zu Dualzahlen 

von 1679 

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Weitere 

Stellenwertsysteme /1 

� binäre Zahlen unübersichtlich lang, schwer für 

Menschen verwendbar, 

� Deshalb zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen 

verwendet, 

� Basis 16 

� Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F 

� Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich 

leicht ineinander umwandeln, 

� 4 Stellen einer binären Zahl entsprechen einer Stelle einer 

hexadezimalen Zahl 

� Beispiel: 1001b = 9h 

Weitere 


Was ich noch gefunden habe: 

� Vigesimalsystem mit der Basis 20 

� Oktalsystem mit der Basis 8 

� Duodezimalsystem mit der Basis 12 

� Rechnung mit Dutzend und Gros 

� 1 Shilling = 12 Pence 

� Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung 

� Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 

60 (Sexagesimalsystem). 

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Weitere 


� Basis 20: bei einigen Naturvölkern gefunden 

� zum Zählen wurden neben den Fingern auch noch die Füße 

verwendet 

� Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei 

Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde aber 

bisher nirgendwo entdeckt 

� In Neuseeland war hingegen das System zur Basis 11 üblich 

und einige Völker benutzen das System zur Basis 18 

(die Angaben zu weiteren Stellenwertsystemen stammen 

von www.wikipedia.de: also ohne Gewähr) 

Unärsystem 

� Das Unärsystem wird gern auf Bierdeckeln 

eingesetzt 

� Für die Darstellung der Zahl n werden n Striche 

verwendet. 

� Für die Darstellung großer Zahlen jedoch ungeeignet 

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Zahlendarstellung in 

verschiedenen Zahlensystemen 

Dual-, Oktal- und 

Hexadezimalsystem 

In der Informatik spielen das Dual-, Oktal- und Hexadezimalsystem eine 

zentrale Rolle. 

� Das Zehnersystem, (10 verschiedene Ziffern 0, 1, 2,…, 9) ist 

technisch schwer zu realisieren. 

� deshalb benutzt man in Rechnern intern das Dualsystem, bei dem 

nur zwei Ziffern, 0 und 1, verwendet werden, die sich technisch relativ 

leicht nachbilden lassen: 

� schwer zu merken und für Menschen unhandlich, deshalb 

Hexadezimalsystem und Oktalsystem 

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� Eine einzelne Binärstelle (0 oder 1) wird als Bit bezeichnet 

� Abkürzung für „BInary digiT“, also Binärziffer. 

� kleinste Informationseinheit, die ein Computer verarbeiten kann 

� Dualsystem handelt es sich um ein Positionssystem. Der Wert einer 

Position ist hier jedoch eine Potenz von 2: 

� Beispiele: 



� Konvertieren zwischen Dual- und Oktalsystem 

� Neben dem Dualsystem sind in der Informatik noch das 

Oktalsystem und Hexadezimalsystem wichtig 

� Weil 2 3 = 8 (Basis des Oktalsystems) und 

� Weil 2 4 = 16 (Basis des Hexadezimalsystems) 

� Umwandlung Dezimalzahl in Oktalzahl: 

� von rechts beginnend so genannte Dualtriaden (Dreiergruppen) bilden 

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� Konvertieren zwischen Dual- und Oktalsystem 

� Bei der Umwandlung einer Oktalzahl in ihre 

Dualdarstellung geht man den umgekehrten Weg. 

� Es ist offensichtlich, dass ein Mensch sich die Zahl 

3614 (8) wesentlich leichter merken und damit umgehen 

kann, als 011110001100 (2) . 



� Konvertieren zwischen Dual- und Hexadezimalsystem 

� Hexadezimalsystem, ähnlich leicht ins Dualsystem konvertierbar 

2 4 = 16 

� Umwandlung einer Zahl aus Dualsystem ins Hexadezimalsystem: 

� von rechts beginnend so genannte Dualtetraden (Vierergruppen) 

bilden. 

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Bits und Bytes 

� Ein Byte ist eine Bezeichnung in der Informatik für 

8Bit 

� eine adressierbare Speichereinheit, die groß genug 

ist, um ein beliebiges Zeichen aus dem Basis- 

Zeichensatz aufzunehmen. 

� einen Datentyp in einigen Programmiersprachen für 

eine 8 Bit breite Einheit (1 Byte = 8 Bit) 

� Achtung: In einigen Programmiersprachen kann die 

Größe eines Bytes auch davon abweichend definiert 

werden. 

Konvertierungsalgorithmen 

Konvertieren von anderen Systemen in das Dezimalsystem 

Eine in einem Positionssystem mit der Basis B dargestellte 

natürliche Zahl n: 

lässt sich mit Hilfe des Hornerschemas wie folgt darstellen: 

Mit Hilfe dieser Darstellung können Konvertierungen in das 

Dezimalsystem einfach durchgeführt werden. 

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Konvertieren aus dem 

Dezimalsystem 

Algorithmus für die Umwandlung einer Dezimalzahl x in ein 

Zahlensystem mit der Basis n: 

Konvertieren aus dem 

Dezimalsystem 

Zwei Beispiele dazu: 

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13

Positionssysteme bei 

gebrochenen Zahlen 

Bei gebrochenen Zahlen trennt ein Punkt (Komma im Deutschen) 

� den ganzzahligen Teil der Zahl 

� vom gebrochenen Teil (Nachkommateil). 

Summenformel dazu: 

Positionssysteme bei 

gebrochenen Zahlen 


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14

Konvertieren echt gebrochener 

Zahlen in das Dezimalsystem 

Eine echt gebrochene Zahl 

n (n < 1): 

lässt sich mit Hilfe des Hornerschemas wie folgt darstellen: 

Beispiel: 

Konvertieren echt gebrochener Zahlen 

vom Dezimalsystem in andere Systeme 

� Algorithmus für die Umwandlung des Nachkommateils einer 

Dezimalzahl in ein anderes Positionssystem 

� B ist die Basis des Zielsystems 

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Konvertieren echt gebrochener Zahlen 

vom Dezimalsystem in andere Systeme 

Zwei Beispiele: 

Die Überläufe z von oben nach unten nach 0, 

nebeneinander geschrieben liefern die gesuchte Zahl im 

Zahlensystem zur Basis B (im Beispiel2). 

Genauigkeitsverluste 

Manche gebrochenen Zahlen 

� lassen sich im Dezimalsystem genau darstellen 

� als Dualzahl jedoch nicht 

Z.B. Zahlen, die sich im Dualsystem nur 

durch eine periodische Ziffernfolge 

repräsentieren lassen, wie z. B. 

0.1(10) = 0.0001 1001 1001 1…(2): 

! Solche Ungenauigkeiten treten auch 

in den Rechnern auf, die ja mit dem 

Dualsystem arbeiten ! 

Im Beispiel wiederholt sich das Bitmuster 

0011und es gilt: 

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Konvertieren unecht 

gebrochener Zahlen 

Um eine unecht gebrochene Zahl zu konvertieren, muss diese 

� in ihren ganzzahligen Teil und 

� ihren echt gebrochenen Teil aufgeteilt werden, 

die dann getrennt von einander zu konvertieren sind, 

Beispiel: 

� (12.25) 10 =(12) 10 + (0.25) 10 

� (1100) 2 + (0.01) 2 = (1100.01) 2 

Zwischenstand: 

� Zahlensysteme 

� Additionssysteme 

� Stellenwertsysteme 

� Verschiedene Stellenwertsysteme, zur Basis 2, 8, 10, 16 

� Umwandlung von ganzen Zahlen in andere Stellenwertsysteme 

� Umwandlung von gebrochenen Zahlen in andere 

Stellenwertsysteme 

� Was jetzt folgt: 

� Rechenoperationen im Binärzahlensystem 

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Addition von Dualzahlen 

Für die duale Addition gilt allgemein: 

Beispiel: 

Subtraktion von Binärzahlen 

� Subtraktion von Binärzahlen (a – b) ist möglich, rechnerintern aber 

schwer realisierbar 

� Zweite Operation neben Addition notwendig 

� Gängige Praxis ist deshalb Verwendung negativer Zahlen und 

Realisierung der Subtraktion als Addition (a + -b) 

� Negative Zahlen werden üblicherweise durch ihren Betrag mit 

vorangestelltem Minuszeichen dargestellt. 

� Gesondertes Vorzeichen rechnerintern nicht möglich 

� Deshalb Komplementbildung zur Erzeugung negativer Zahlen 

� zwei Arten der Komplementbildung, wobei B für das Zahlensystem 

steht: 

� B-Komplement (also Zweier-Komplement bei Binärzahlen) und 

� (B-1)-Komplement (also Einer-Komplement bei Binärzahlen) 

� B-Komplement technisch leichter realisierbar ist, wird deshalb 

vorwiegend verwendet 

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18

Bildung des 

Einerkomplementes 

� Vorzeichen einer Binärzahl wird gewechselt, indem alle Stellen 

invertiert werden. 

� Beispiel: 

� +10h = 0000 1010b (erste Stelle: Vorzeichen) 

� -10h = 1111 0101b 

� Weiteres Beispiel: 

� +65h = 0100 0001b 

� -65h = 1011 1110b 

� Vorteile: schnell zu bilden (auch in der Umsetzung im Rechner) 

� Nachteile: zwei Darstellungen der Null 

� +0h = 0000 0000b 

� -0h = 1111 1111b 

Bildung des 

Zweierkomplementes 

� alle Stellen werden invertiert und es wird eine 1 addiert 

� Beispiel: 

� +10h = 0000 1010b 

� -10h = 1111 0101b + 1b = 1111 0110b 

� Weiteres Beispiel: 

� +65h = 0100 0001b 

� -65h = 1011 1111b 

� Vorteile: nur eine Darstellung der Null 

� 0h = 0000 0000b 

� Wird in den meisten Rechnern eingesetzt und im Folgenden 

weiter verwendet 

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Andere Variante: 

Exzessdarstellung 

� Es gibt auch die Möglichkeit, zu allen Zahlen einen festen Wert 

(bias= Verschiebung, Abweichung, systematische 

Messabweichung eines Messgeräts) zu addieren, um damit 

einen Wertebereich von zum Beispiel -128 bis 127 auf 0 – 256 

zu transformieren. 

� Das heißt auch Nullpunktverschiebung 

� Dabei wird zu allen Zahlen vor der Berechnung 128 addiert, 

nach der Berechnung subtrahiert 

� Verfahren wird verwendet, um den Exponenten in der 

Darstellung reeller Zahlen zu speichern (folgt im Laufe der 

Vorlesung) 

Veranschaulichung des 

Zweier-Komplements 

Zuordnung der Bitkombinationen zu positiven und negativen Zahlen 

Zahlenring für vier Bits, erstes Bit ist Vorzeichenbit 

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Rechenoperationen mit dem 

Zweier-Komplement 

� Regeln für die Bildung eines Zweier-Komplements 

1. jedes einzelne Bit wird invertiert (umgedreht) 

2. Zu der so entstandenen Bitkombination wird eine 1 addiert 

� Beispiel „round-trip“: 



� Subtraktion a - b wird durch eine Addition a + -b realisiert 


� ! Das geht nur bei dieser Operation ! 

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Im Beispiel hat der vorne stattfindende Überlauf des Bits keinen 

Einfluss auf die Richtigkeit des Ergebnisses. 

Das gilt nicht allgemein. Wenn das Ergebnis nicht im darstellbaren 

Zahlenbereich liegt, dann erhält man bei einem Überlauf ein falsches 

Ergebnis: 


Einer-Komplement 

(B-1)-Komplement (Einer-Komplement) zum Vergleich. 

Die Zahlendarstellung ist hier symmetrisch. Es gibt eine positive und 

eine 

negative 0. 

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Einer-Komplement 

� Regeln für die Bildung eines Einer-Komplements 

� jedes einzelne Bit wird invertiert (umgedreht) 

� Führt die anschließende Addition des Komplements zum Überlauf 

einer 1, muss zum Ergebnis diese 1 hinzuaddiert werden (das heißt 

„Einer-Rücklauf “) 


Multiplikation und Division im 

Binärsystem 

� ganzzahlige Multiplikation bzw. Division wird in einem Rechner 

allgemein mittels wiederholter Addition durchgeführt 

� Sonderfälle: 

� Multiplikators bzw. Divisors: 2, 4, 8, … 

� Multiplikation bzw. Division kann dann einfacher und schneller durch eine 

Verschiebung von entsprechend vielen Bits nach links bzw. rechts 

erfolgen: 

Bei 2 (2 1 ) um 1 Bit, bei 4 (2 2 ) um 2 Bits, bei 8 um 3 (2 3 ) Bits usw. 

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Konvertieren durch sukzessive 

Multiplikation und Addition 

� Algorithmus zur Konvertierung aus einem beliebigen 

Positionssystem in ein anderes Positionssystem 

� Berechnung wird im Zielsystem mit der Basis B des 

Ausgangssystems durchgeführt 

� Basis B des Ausgangssystems im Zielsystem, Beispiel 10 als 

Dualzahl: 1010 

� Eingabezahl: b n ..b 0 

Reelle Zahlen 

Festpunktzahlen 

� Punkt (bzw. Komma) steht immer an der gleichen festgelegten 

Stelle, 

� Punkt wird natürlich nicht eigens mitgespeichert 

zahl hat die Länge n + m, wobei n Stellen vor und m Stellen nach 

dem Punkt gesetzt sind. 

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Reelle Zahlen 

Festpunktzahlen 

� Bei Vorhandensein eines eigenen Vorzeichenbits können positive 

und negative Zahlen unterschieden werden. 

� Nachteile der Festpunktdarstellung: 

1. nur beschränkter Wertebereich mit festgelegter Anzahl von Bits 

2. Die Stelle des Punkts (Kommas) muss allgemein festgelegt 

werden. 

– sehr kleine, hochgenaue Werte und 

– große Werte gearbeitet 

dann aber nicht gleichermaßen speicherbar 

� Deshalb: Festpunktdarstellung nur in Rechnern für 

Spezialanwendungen verwendet 

� Sonst Gleitpunktdarstellung 

Reelle Zahlen 

IEEE-Format für float und double 

� IEEE =Institute of Electrical and Electronics Engineers, 

� „ei trippel i“ gesprochen) 

� weltweiter Berufsverband von Ingenieuren aus den Bereichen 

Elektrotechnik und Informatik. 

� gibt auch Standards heraus 

� IEEE 754 = Grunddatenformate für binäre Gleitkommazahlen mit 32 

Bit (single precision) bzw. 64 Bit (double precision) 

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Reelle Zahlen 


Jede reelle Zahl kann in der Form 2.3756·10 3 angegeben werden. Bei 

dieser Darstellungsform setzt sich die Zahl aus zwei Bestandteilen 

zusammen: 

� Mantisse (2.3756) und Exponent (3), der ganzzahlig ist. 

Diese Form wird auch meist in Rechnern verwendet, außer dass dort 

nicht mit Basis 10, sondern mit Basis 2 gearbeitet wird. 

� Datentyp float - einfacher Datentyp 

� Datentyp double - doppelter Genauigkeit 

Reelle Zahlen 


Zur Darstellung verwenden die C/C++- und Java-Datentypen float 

und double das standardisierte IEEE-Format, wobei vier Bytes für 

float und acht Bytes für double definiert sind. 

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Reelle Zahlen 


� normalisierte Gleitpunktzahlen 

� „Normalisierung“ bedeutet, dass der Exponent so verändert wird, dass 

der gedachte Dezimalpunkt immer rechts von der ersten Nicht-Null-Ziffer 

liegt (im Binärsystem ist dies immer eine 1) – deshalb kann diese 

weggelassen werden, siehe vorherige Folie 

Reelle Zahlen 


� In der Mantisse: höchstwertige „Einser-Bit“ immer links vom gedachten 

Dezimalpunkt (außer für 0.0). (Beim IEEE-Format wird dieses Bit nicht 

gespeichert.) 

� Der Exponent ist eine ganze Zahl, welche (nach Addition eines bias) 

ohne Vorzeichen dargestellt wird. Durch diese bias-Addition wird für den 

Exponent keine Vorzeichenrechnung benötigt. 

Der Wert von bias hängt vom Genauigkeitsgrad ab: 

- float (mit 4 Bytes, 8 Bits für Exponent): bias=127 

- double (mit 8 Bytes, 11 Bits für Exponent): bias=1023 

� damit „Abbildung“ des Bereiches von -127-128 auf 0-256 

� Das Vorzeichenbit zeigt das Vorzeichen der Mantisse, die immer als 

Betragswert, auch im negativen Fall nicht als Komplement, dargestellt 

wird. 

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Reelle Zahlen 


Reelle Zahlen 


Nach IEEE gilt für 

float (einfach) und 

double (doppelt): 

Sonderfälle des 

IEEE-Formats: 

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Codes zur Darstellung von 

Zeichen: ASCII-Code 

� Nicht nur Zahlen müssen dargestellt und gespeichert werden, 

� Auch andere Arten von Informationen wie Zeichen (Texte) 

� bekannteste Kodierung dafür: 

� ASCII-Code (American Standard for Coded Information Interchange) 

� festgelegte Abbildungsvorschrift zur binären Kodierung von Zeichen. 

� ASCII-Code umfasst 

� Klein-/Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, 

� (arabische) Ziffern und 

� viele Sonderzeichen. 

� Kodierung erfolgt in einem Byte (8 Bits), so dass mit dem ASCII-Code 256 

verschiedene Zeichen dargestellt werden können. 

� erstes Bit wird nicht vom Standard-ASCII-Code genutzt, damit können im 

Standard-ASCII-Code nur 128 Zeichen dargestellt werden. 

� Unterschiedliche, speziell normierte, ASCII-Code-Erweiterungen nutzen 

57 

das erste Bit, um weitere 128 Zeichen darstellen zu können. 

ASCII-Code (Ausschnitt) 

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29

ASCII-Code 

Speicherung von Texten: 

� Kodierung aller Zeichen 

� Abspeicherung nacheinander 

� dadurch Zeichenkette (String) 

Ende der Zeichenkette wird in den Programmiersprachen durch 

verschiedene Verfahren gekennzeichnet: 

� Die Länge der Zeichenkette wird im ersten bzw. in den ersten Bytes vor 

der eigentlichen Zeichenkette gespeichert. (PASCAL) 

� Ende der Zeichenkette wird durch ein besonderes, nicht darzustellendes 

Zeichen gekennzeichnet. So verwendet z.B. die Programmiersprache 

C/C++ ein 0-Byte (Byte, in dem alle Bits 0 sind), um das Ende einer 

Zeichenkette zu kennzeichnen. 

Zahlendarstellungen im ASCII- 

Code 

Unterscheidung zwischen Ziffern und Zeichen: „0458“ != 0458 

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ASCII-Code: Beispiele 

Beispiele zum Speichern von Zeichen im ASCII-Code: 

Uni-Code 

� ASCII-Code ist mit seinen 256 Zeichen sehr begrenzt. 

� deshalb weitere Kodierungsmöglichkeiten, zum Beispiel: Unicode 

� Unicode umfasst Zeichen oder Elemente praktisch aller bekannten 

Schriftkulturen und Zeichensysteme (Russisch, Arabisch, Chinesisch) 

� Unicode umfasste anfangs zwei Byte 

� damit ließen sich bis zu 65 536 verschiedene Zeichen in dem 

System unterbringen (2 Byte = 16 Bit = 2 16 

Kombinationsmöglichkeiten) 

� In Version 3.1 wurden 94 140 Zeichen aufgenommen, damit 4 Byte 

verwendet. 

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Weitere Codes 

BCD-Code 

� BCD-Werte (Binary Coded Decimals) sind eine weitere Art der 

binären Kodierung von Zahlen bzw. Ziffern. 

� Für jede Dezimalziffer werden mindestens vier, manchmal auch acht 

Bits verwendet. Die jeweiligen Ziffern werden nacheinander immer 

durch ihren Dualwert angegeben. 

� eigentlich Speicherplatz verschwendende Art der Speicherung von 

Dezimalzahlen, erleichtert aber manche Anwendungen 

� Anwendungsbereiche: 

� Rechnen im Dezimalsystem, 

� Speichern von Dezimalzahlen (Telefonnummern u.ä.) (schnelle Umwandlung), 

� Ansteuerung von LCD-Anzeigen, um Dezimalziffern einzeln anzuzeigen. 

� Also alle Anwendungen, in denen häufige Umwandlungen zwischen 

Dual- und Dezimalsystem erfolgen müssen 

Weitere Codes 

BCD-Code 

- Beispiele: 

- Die Bitmuster 1010, 1011, …, 1111 werden im BCD-Code nicht 

für Ziffern benötigt. Sie können genutzt werden z.B. für 

Vorzeichen +: 1010 und -: 1011 

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Weitere Codes 

Gray-Code 

Beim Gray-Code zur Kodierung von Binärzahlen unterscheiden sich 

zwei aufeinanderfolgende Codewörter immer nur um genau ein Bit. 

Weitere Codes 

Gray-Code 

� Verwendung findet der Code z.B. für die binäre Ausgabe von Werten 

von A/D-Wandlern (A/D = Analog/Digital) zur Vermeidung unsinniger 

Zwischenwerte beim Auslesen. 

� Da sich bei jedem Zahlenübergang immer jeweils nur ein Bit ändert, 

werden unsinnige Zwischenwerte bei Übergängen von z.B. (7) 0111 zu 

(8) 1000 vermieden (z.B. 1111(15)), wenn die Übergänge von 0→1 und 

1→0 unterschiedlich schnell in der HW ablaufen. 

� auch Methode, um Effekte durch Übertragungsfehler einzudämmen. 

� Im Gray-Code können Werte gespeichert werden. 

Sollen Werte in Gray-Zahlen arithmetisch weiterverarbeitet werden, 

müssen diese dazu natürlich erst in Dualzahlen umgewandelt werden 

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Duale Größenangaben 

Grunddatentypen 

� In einem Computer werden Zeichen – wie z. B. Buchstaben – anders 

behandelt als ganze Zahlen und Gleitpunktzahlen wie z.B. die Zahl π = 

3.1415… 

� Beispiel von vorhin: „0815“ ≠ 0815 

� also Klassifikation der unterschiedlichen Datentypen 

� Unterscheidung im Speicherbedarf 

� damit der darstellbaren Größe von Zahlen bzw. des Zeichenvorrats und 

� Unterscheidung in der Interpretation des gegebenen Bitmusters. 

� Ordnet man in einem Programm Daten bestimmten Klassen wie 

Zeichen, ganze Zahl, einfach/doppelt genaue Gleitpunktzahl usw. zu, 

dann teilt man dem Rechner deren Datentyp mit. 

(Querverbindung: Algorithmen/Datenstrukturen) 

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Grunddatentypen 

Wertebereiche der Grunddatentypen 

auf 32-Bit-Architekturen 

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Verlust von Bits bei zu 

großen Zahlen 

Wird versucht, in einem Datentyp einen Wert abzulegen, der nicht in 

diesen Datentyp passt, so werden einfach die vorne überhängenden 

Dualziffern abgeschnitten. 

Verlust von Bits bei zu 

großen Zahlen 

Vorsicht: 

In Programmiersprachen wie C/C++ und auch Java wird beim 

Abspeichern von Zahlen, die außerhalb des Wertebereichs eines 

Datentyps liegen, meist kein Fehler gemeldet, sondern es werden die 

überhängenden Bits abgeschnitten! Mit diesem falschen Wert wird 

weiter gearbeitet, was schließlich zu falschen Ergebnissen führt. 

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