Matematiske foruds tninger 1 Udsagn

Matematiske foruds tninger
Vi begynder med at repetere nogle matematiske foruds tninger | alle knyttet til begreberne
udsagn og m ngder. Det meste er formentligt velkendt, men de kvanti cerede
udtryk er nok nyt stof for de este.
Dern st behandles induktionsbeviser, som spiller en stor rolle i de f lgende kapitler.
Til sidst introduceres m ngdekonstruktionerne potensm ngde og m ngdeprodukt, som
nok er ukendte for de este, og vi ser pa, hvorledes datatypen Set kan implementeres.
1 Udsagn
Lad os kort repetere, hvad et udsagn er:
De nition 1
Et udsagn er en s tning, som enten er sand eller falsk.
Eksempel
Betragt f lgende s tninger:
a) Jorden er en planet
b) Manen er lavet af gr n ost
c) Hvad er klokken?
d) Din l rer er klog.
Af disse er kun a) og b) udsagn | a) er et sandt udsagn, mens b) er falsk. c) er ikke et
udsagn, men derimod et sp rgsmal. d) er heller ikke etudsagn (og da slet ikke etfalsk
udsagn!), da begrebet 'klog' ikke erviderevelde neret.
Som bekendt kan man opbygge nye udsagn ud fra gamle. Normalt arbejder man med
f lgende operationer:
^ konjunktion eller 'og'
_ disjunktion eller 'eller'
: negation eller 'ikke'
) implikation eller 'medf rer'
, biimplikation eller 'ensbetydende'.
Sandhedsv rdien af et sammensat udsagn afh nger af de enkelte deludsagn efter f lgende
sandhedstabel:
A B A ^ B A _ B :A :B A ) B A , B
S S S S F F S S
S F F S F S F F
F S F S S F S F
F F F F S S S S
1

hvor S betyder 'sand' og F 'falsk'.
Den eneste operation, som kr ver en n rmere forklaring, er implikationen:
En far siger til sin s n: "Hvis du ikke spiser din spinat, sa slar jeg dig." Dette kan skrives
som udsagnet A ) B, hvor udsagnene A og B er henholdsvis "S nnen spiser ikke sin
spinat" og "Faderen slar s nnen".
Lad os unders ge de re mulige tilf lde:
Hvis bade A og B er sande, sa spiser s nnen ikke sin spinat, og faderen slar ham. Faderen
talte altsa sandt, og det sammensatte udsagn A ) B er sandt.
Hvis A falsk og B er sand, sa spiser s nnen sin spinat, men faderen slar ham alligevel.
Det virker maske uretf rdigt, indtil man husker, at s nnen kunne blive slaet af andre
arsager |maske spiste han ikke sin rosenkal.
Hvis bade A og B er falske, sa spiser s nnen sin spinat, og faderen slar ham ikke. Faderen
talte ogsa sandti dette tilf lde.
Endelig hvis A er sand, og B falsk, sa spiser s nnen ikke sin spinat, men slipper alligevel
for at fa bank. Faderen har altsa ikke staet ved sin trussel, og udsagnet A ) B er falsk.
Der g lder en lang r kke formler for regning med disse udsagn. Vi vil ikke skrive dem
alle op, men kun n jes med et par enkelte, nemlig de Morgans love:
S tning 2
Lad A og B v re udsagn. Sa g lder:
:(A ^ B) =:A _:B
og tilsvarende
:(A _ B) =:A ^:B
Bevis
Vi n jes med at bevise den f rste formel. Ideen er at lave en sandhedstabel, hvori
vi opstiller alle muligheder for sandhedsv rdierne af A og B, og dern st beregner
sandhedsv rdierne for venstre- og h jresiden af formlen. Hvis disse altid er ens,
har vi bevist formlen. Undervejs kan man i tabellen medtage forskellige mellemregninger:
A B A ^ B :(A ^ B) :A :B :A _:B
S S S F F F F
S F F S F S S
F S F S S F S
F F F S S S S
Vi ser, at de to s jler i tabellen for udsagnene :(A ^ B) og :A _:B er ens, og
dette beviser formlen.
Den anden formel kan bevises tilsvarende.
2

Et abent udsagn er et udsagn, hvori der indgar en eller ere ubekendte variabler. Et
eksempel pa etabent udsagn er x>3, hvori vi har variablen x.
Til et abent udsagn h rer en grundm ngde, som er m ngden af de v rdier, hvori x kan
ligge, og en l sningsm ngde, som bestar af de elementer fra grundm ngden, som g r
udsagnet sandt.
Eksempel
Betragt f lgende abne udsagn: x 2 < 30. Som regel vil grundm ngde fremga af problemstillingen,
men her v lger vi den selv til at v re m ngden af alle naturlige tal,
f::: �;3� ;2� ;1� 0� 1� 2� 3� 4�:::g.
L sningsm ngden ses at v re f;5� ;4� ;3� ;2� ;1� 0� 1� 2� 3� 4� 5g.
Opgave 1.1 Opskriv en sandhedstabel for udsagnet
(A _ B) ) ((A ^ B) _ B)
Opgave 1.2 Bevis den anden formel i s tning 2.
Opgave 1.3 Lad A, B og C betegne udsagnene "Det regner i dag", "Solen skinner i
dag"og"Deteretgodtvejr i dag".
Skriv danske s tninger, der svarer til nedenstaende udsagn:
a) A _ B b) :A c) :A ^:B
d) B ) C e) A , B f) :(A , B)
Opgave 1.4 Skriv udsagn, som svarer til nedenstaende danske s tninger. De ner selv
nogle grundudsagn:
a) Hvis jeg drikker ka e, sa far jeg ondt i maven.
b) Hvis jeg farondtimaven, sa har jeg drukket ka e.
c) Jeg har ikke ondtimaven.
d) Jeg kan godt lide at drikke bade ka e og te.
e) Hvis jeg drikker te, sa far jeg ikke ondt i maven.
f) Det er ukorrekt at pasta, at tedrikning giver mig ondt i maven.
3

2 M ngder
Et af de mest fundamentale begreber indenfor matematikken er m ngden. Da vi i forbindelse
med adskillige algoritmer far brug for m ngder, repeterer vi her de vigtigste
begreber indenfor m ngdel ren:
De nition 3
En m ngde er en samling af objekter, kaldet elementer.
Hvis objektet x er element i m ngden A, sa skriver vi x 2 A.
Hvis x ikke er element iA, sa skrives x =2 A.
Eksempel
Man angiver ofte en m ngde pa listeform, dvs. ved en opremsning af elementerne:
A = f1� 2� 3� 4� 5� 6� 7� 8� 9g
Her g lder udsagnene 3 2 A, 0=2 A og 9 2 A.
Nogle vigtige talm ngder er
De naturlige tal: N = f1� 2� 3� 4� 5�:::g
N 0 = f0� 1� 2� 3� 4� 5�:::g
De hele tal: Z = f:::; 3� ;2� ;1� 0� 1� 2� 3�:::g
De rationale tal: Q = f:::; 3 2
22
� ; � ;1� 0� 2 3 7 :::g
De reelle tal: R = f;2� 2
3� p 2� :::g
Symbolerne for disse talm ngder stammer oprindeligt fra tysk: die naturliche Zahlen,
die Zahlen, die Quotienten og die reellen Zahlen.
En anden made at angive m ngder pa er vha. den sakaldte m ngdebygger-notation:
Eksempel
M ngden B = f3� 4� 5� 6� 7g kan opskrives som
B = fx 2 N j x 3 ^ x 7g
og l ses som:
B bestar af de naturlige tal x, som opfylder udsagnet x 3 _ x 7.
Nogen gange misbruges m ngdebygger-notationen, f.eks. som i
fx j x 3 ^ x 7g
hvor vi ikke angiver grundm ngden. Dette er lidt farligt, for er x her et naturligt,
et rationelt eller et reelt tal? Derfor: Angiv altid grundm ngden, med mindre det er
indlysende ud fra sammenh ngen, hvad den er.
Indenfor datalogien far vi ofte brug for m ngden af hele tal mellem to givne tal:
4

De nition 4
Lad a og b v re hele tal. Sa de nerer vi m ngden [a::b] som
[a::b] =fx 2 Z j a x bg
Tilsvarende har vi
[a::] =fx 2 Z j a xg
[::b] =fx 2 Z j x bg
Et vigtigt princip indenfor m ngdel ren er, at en m ngde er bestemt ved sine elementer.
Dette betyder, at enhver operation mellem m ngder kan de neres vha. m ngdernes
elementer.
For at undga komplikationer antager vi fra nu af, at alle mulige elementer i vores m ngder
ligger i en stor, underliggende m ngde, U | ofte kaldet universet, den universelle
m ngde eller grundm ngden.
De nition 5
To m ngder A og B er ens, skrevet A = B, hvis og kun hvis der for alle elementer
x i grundm ngden U g lder, at
x 2 A , x 2 B
M ngden A er en delm ngde af m ngden B,hvis og kun hvis der for alle elementer
x i U g lder, at
x 2 A ) x 2 B
Vi skriver A B.
Bem rk, at man ofte anvender symbolet i stedet for . Omvendt anvendes ogsa
ofte som betegnende gte delm ngde:
A B , (A B ^ A 6= B)
Eksempel
Talm ngderne fra f r opfylder
se gur 1.
N N 0 Z Q R
En prominent m ngde er den tomme m ngde, � = fg. Den tomme m ngde er en
delm ngde af enhver m ngde.
Vi kan nu de nere forskellige operationer pa m ngder:
5

Figur 1
De nition 6
Lad A og B v re to m ngder. Vi de nerer da f lgende m ngder
F llesm ngden mellem A og B: A \ B = fx 2 U j x 2 A ^ x 2 Bg.
Foreningsm ngden mellem A og B: A [ B = fx 2 U j x 2 A _ x 2 Bg.
Di erensen mellem A og B: A ; B = fx 2 U j x 2 A ^ x =2 Bg.
Komplement rm ngden til A: A = U ; A = fx 2 U j x =2 Ag
Man kan illustrere disse begreber vha. Venn-diagrammer |se gur 2.
Bem rk, at operationerne \, [ og komplement rm ngde n je svarer til de logiske
operationer ^, _ og :.
Eksempel
Betragt universet U = f0� 1� 2� 3� 4� 5� 6� 7� 8� 9g og m ngderne A og B bestemt ved A =
f2� 4� 6� 7� 8g og B = f1� 2� 3� 4� 9g. Sa fas
A \ B = f2� 4g A [ B = f1� 2� 3� 4� 6� 7� 8� 9g
A ; B = f6� 7� 8g B ; A = f1� 3� 9g
A = f0� 1� 3� 5� 9g B = f0� 5� 6� 7� 8g
| se gur 3
Endelig en sidste de nition:
De nition 7
To m ngder, A og B, kaldes disjunkte, hvis A \ B = �.
6

Figur 2
Der g lder en hel r kke regneregler for m ngdeoperationerne. Vi vil kun omtale m ngdeversionen
af de Morgans regler:
S tning 8
a) A [ B = A \ B c) A \ B = A [ B
Bevis
Vi beviser kun regel a:
x 2 A [ B , :(x 2 A [ B) , :((x 2 A) _ (x 2 B)) ,
:(x 2 A) ^:(x 2 B) , x 2 A ^ x 2 B , x 2 A \ B
Bem rk, at vi her brugte de Morgans regel
:(x _ y) ,:x ^:y
7

fra logikken.
Figur 3
Opgave 2.1 Betragt universet U = f0� 1� 2� 3� 4� 5� 6� 7� 8� 9g med delm ngderne A =
f1� 2� 7g, B = fx 2 U j x>6g og C = f3� 5� 8g.
a) Opskriv B pa listeform.
b) Lav etVenn-diagram over U, A, B og C, som pa gur 3.
c) Bestem A [ B, A \ C, A ; C, A ; B, B ; A, C.
d) Er A og C disjunkte.
Opgave 2.2 Den symmetriske m ngdedi erens, A B de neres som
A B = fx 2 U j x 2 A [ B ^ x =2 A \ Bg
a) Lav etVenn-diagram som pa gur 2, der viser A B.
b) Vis, at A B =(A ; B) [ (B ; A)
c) Find formler for A A og A � og bevis disse.
d) Bevis, at A \ (B C) =(A \ B) (A \ C)
e) Hvad skal der g lde for A og B, for at A B = A [ B?
f) Hvilken logisk operation svarer til?
Opgave 2.3 Find en m ngde, som er disjunkt med sig selv. (Der ndes faktisk en!)
Opgave 2.4 Kardinaliteten af en m ngde er de neret som antallet af elementer i m ngden.
(Vi foruds tter, at m ngden ikke er uendelig stor). Man anvender ofte notationen
jAj for kardinaliteten af m ngden A.
a) Hvad er j�j?
b) Vis, at jA [ Bj = jAj + jBj;jA \ Bj. BrugerVenn-diagram.
c) Hvornar g lder, at jA [ Bj = jAj + jBj ?
8

3 Kvanti cerede udtryk
Vi vil i det f lgende ofte fa brug for kvanti cerede udtryk. Der ndes adskillige af disse,
men vi vil kun omtale alkvantoren, eksistenskvantoren og summationssymbolet.
Lad os betragte det abne udsagn x 2 0 med grundm ngde N. Dette udsagn er jo sandt
for alle naturlige tal x, ogvikan derfor sige, at for alle naturlige tal x g lder, at x 2 0.
Denne s tning formaliseres til det kvanti cerede udsagn:
8x 2 N : x 0
Vi har her vores f rste eksempel pa enalkvantor.
Generelt opbygges en alkvantor pa f lgende made:
8x 2 A : p(x)
hvor A er en m ngde og p(x) er et abent udsagn i variablen x. Dette udsagn er sandt,
netop nar p(x) er sandt for alle x 2 A.
Variablen x kaldes ofte for en bundet variabel, idet den ikke kan antage nogen v rdi
'udenfor' udsagnet.
Eksempel
Udsagnet 8x 2 N : x 6= x + 1 er sandt, da alle tal opfylder udsagnet x 6= x +1.
Udsagnet 8x 2 [1::10] : x > 7 er falsk, da der jo er tal i m ngden [1::10], som ikke
opfylder udsagnet x>7, f.eks. tallet 1.
Eksistenskvantoren er en anden logisk kvantor. Lad os introducere denne ved et par
eksempler:
Eksempel
Udsagnet "Der ndes et naturligt tal x, som opfylder, at x 2 =4"kan skrives som
9x 2 N : x 2 =4
Der er intet krav om, at der kun skal ndes netop et x, som opfylder betingelsen |
saledes er f lgende kvanti cerede udsagn sandt:
9x 2 Z : x>5
Den sidste type kvanti cerede udtryk, vi skal besk ftige os med, er summationer. Her
er hele det kvanti cerede udtryk ikke et udsagn, men derimod et tal:
Betragt udtrykket
5X
i=1
i 2
9

Dette tal beregnes som f lger: For ethvert tal i mellem 1 og 5 (inklusive) beregnes tallet
i 2 . Derefter adderes alle disse tal:
10X
i 2 =1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 =1+4+9+16+25=55
i=1
Lidt handfast kan man opfatte en summation som en for-l kke:
sum = 0�
for ( int i =1, i 0
e) 9x 2 [;10:: ; 2] : x 2 =25
f) 8x 2 Z : x 2 =(;x) 2
g) 9x 2 N : x =2x +1
h) 9x 2 R : x =2x +1
i) 8x 2 Z : :(x =2x +1)
Opgave 3.2 Udtryk nedenstaende s tninger vha. kvantorer:
a) For alle naturlige tal x g lder, at x 6= x +1.
b) Der ndes et tal, som er st rre end 8.
c) For alle naturlige tal x kan vi ndet et naturligt tal y, saledes at x 2 = y.
d) Der ndes ingen naturlige tal x opfyldende, at x 2 =5.
e) Alle naturlige tal er rationale.
Opgave 3.3 Beregn f lgende summer
a)
10X
i=1
i b)
10X
x=1
x c)
3X
i=1
i ; 1 d)
10
X10
i 2
i=1
e)
10X
i=1
5 f)
8X
i=1
x

4 Induktionsbeviser
En indenfor datalogien meget anvendt bevisteknik er induktionsbeviset. Lad os illustrere
denne bevisform med et eksempel:
nX
Antag, at vi skal bevise formlen
i=1
i =
n(n +1)
2
for alle naturlige tal n.
En naturlig strategi er at bevise formlen for n =1,n =2,n =3,... | dette kan g res
ved simpel udregning:
1X
2X
i=1
3X
i=1
i=1
i =1=
1 2
2
i =1+2=3=
2 3
2
i =1+2+3=6=
3 4
2
men denne virker ikke i praksis, da vi skal bevise uendeligt mange specialtilf lde. I
stedet anvender vi induktion:
Vi beviser f rst formlen for den mindste v rdi af n, dvs. n = 1. Igen kan dette g res
ved simpel udregning:
1X
i=1
i =1=
1 2
2
Dern st beviser vi, at hvis formlen g lder for det naturlige tal n, sa g lder den ogsa
for n +1.Saviantager altsa, at formlen
nX
i=1
i =
n(n +1)
2
g lder, og skal ud fra denne bevise, at
n+1 X
i=1
i =
(n + 1)(n +2)
2
g lder. (Bem rk, at dette er den oprindelige formel, hvor vi har erstattet alle forekomster
af n med n +1.)
Dette g res som f lger:
n+1 X
i=1
i =
nX
i=1
i +(n +1)=
n(n +1)
2
+(n +1)= (n2 + n)
2
11
+ 2n +2
2
=

n 2 + n +2n +1
2
= n2 +3n +1
2
= (n + 1)(n +2)
2
(Den sidste ligning kan lettest ses ved at regne bagl ns.)
Vi har nu bevist formlen for alle naturlige tal n. Hvorfor nu det? Jo, antag, at vi skal
argumentere for, at formlen er korrekt for f.eks. n = 7. Men vi har direkte bevist, at
formlen er sand for n = 1, og i anden del af beviset argumenterede vi for, at hvis formlen
gjaldt for n, sa gjaldt den ogsa forn + 1. Dvs. formlen g lder for n = 2, og dermed for
n =3,og dermed for n =4,og dermed for n =5,og dermed for n =6,og dermed for
n =7.
Pa tilsvarende made kan det ses, at formlen g lder for alle andre naturlige tal.
Lad os formalisere denne bevisteknik. Vi nsker at bevise, at det abne udsagn P (n) er
sandt for alle v rdier af n. Dette g res i to trin: Induktionsstarten, hvor vi beviser P (1),
og induktionsskridtet, hvor vi beviser implikationen P (n) ) P (n +1).
S tning 9
Hvis udsagnene P (1) og P (n) ) P (n + 1) g lder, sa g lder
8n 2 N : P (n)
Induktionsbeviser ndes i ere varianter, saledes beh ver man ikke at starte med n =1,
men kan starte med en vilkarlig v rdi af n (udsagnet g lder dog kun i dette tilf lde
for v rdier af n, som er mindst lig med startv rdien). I en anden variant antager man
i induktionsskridtet, at P (j) g lder for alle j n.
Ofte er det trivielt at gennemf re induktionsstarten, mens induktionsskridtet kr ver
normalt meget mere snilde.
Eksempel
Lad os bevise, at for ethvert helt tal n gar 3 op i n 3 +2n.
Vi nedskriver f rst det udsagn, der skal bevises:
P (n) : 3gar op i n 3 +2n
Induktionsstarten er nem: For n =1ern 3 +2n =3,og3gar op i 3.
I selve induktionsskridtet nedskriver f rst, hvad vi kan antage, og dern st, hvad vi skal
bevise:
Antagelse: P (n) : 3gar op i n 3 +2n
Skal bevise: P (n +1): 3gar op i (n +1) 3 +2(n +1)
Vores eneste mulighed for at komme videre er at reducere udtrykket (n +1) 3 +2(n +1)
og habe, at n 3 +2n dukker op:
(n +1) 3 +2(n +1)=n 3 +3n 3 +3n +1+2n +1=(n 3 +2n)+3n 2 +3n +1
Men if lge induktionshypotesen P (n) gar3opin 3 +2n, og3gar ogsa op i de andre led
3n 3 ,3n og 3. Vi kan derfor konkludere, at 3 gar op i (n +1) 3 +2(n + 1), og vi har altsa
bevist implikationen P (n) ) P (n +1).
Opgave 4.1 Bevis, at 1 + 3 + :::+(2n ; 1) = n 2 .
12

Opgave 4.2 Vis, at for alle reelle tal a 6= 1 g lder:
X
i=0
n = an+1 ; 1
a ; 1
Hvordan ser formlen ud for a =1?
Opgave 4.3 Lad funktionen f v re de neret ved f lgende:
a) f(1) = 1
b) For n>1erf(n) =f(n ; 1) + n
Beregn f(1)�f(2)�f(3)�f(4) og f(5).
Bevis ved induktion, at f(n) =n(n +1)=2.
Opgave 4.4 Lad funktionen f v re de neret ved f lgende:
a) f(1) = 1
b) For n>1erf(n) =2 f(n ; 1) + 1
Beregn f(1)�f(2)�f(3)�f(4) og f(5).
Bevis ved induktion, at f(n) =2 n ; 1.
13

5 Flere m ngdeoperationer
Vi skal nu se, hvorledes man kan skabe nye m ngder ud fra gamle:
De nition 10
Lad A og B v re m ngder. Produktm ngden A B de neres som m ngden af
ordnede par:
A B = f(a� b) j a 2 A ^ b 2 Bg
Naturligvis kan man ogsa tageproduktet af tre eller ere m ngder:
A B C = f(a� b� c) j a 2 A ^ b 2 B ^ c 2 Cg
Produktet af en m ngde med sig selv opskrives ofte vha. potensnotationen:
A 2 = A A og A 3 = A A A
Eksempel
Fra geometrien kendes tallinien R, planen R 2 og rummet R 3 .
Fra relativitetsteorien kendes(?) den re-dimensionale rum-tid R 4
Elementerne i produktm ngderne A n | de sakaldte n-tupler | spiller en stor rolle
indenfor programmering | her kaldes et sadant element for et array. Lad os se pa
sammenh ngen:
For et naturligt tal n de nerer vi m ngden [n] =f0� 1� 2�::: �n; 1g.
Et n-tupel (a 0�a 1�a 2�:::a n;1) kan da opfattes som den funktion [n] ! A, som afbilder
tallet i 2 [n] i elementet a i.
Faktisk kan vi opfatte m ngden A n som m ngden af funktioner [n] ! A.
En anden interessant konstruktion er potensm ngden for en m ngde.
De nition 11
Potensm ngden, P(A), af m ngden A, er m ngden af samtlige delm ngder af A.
Man kan ogsa komme ud for notationen 2 A for potensm ngden af A.
Eksempel
Lad A = fx� y� zg. SaerP(A) m ngden bestaende af de 8 elementer:
�� fag� fbg� fcg� fa� bg� fa� cg� fb� cg� fa� b� cg
Kan man lide m ngdeklammer, sa kan vi skrive
P(A) =f�� fag� fbg� fcg� fa� bg� fa� cg� fb� cg� fa� b� cgg
14

Igen kan vi identi cere P(A) med en m ngde af funktioner, nemlig funktionerne A ! [2]:
Til en delm ngde B af A kan vi tildele den karakteristiske funktion B : A ! [2]. Denne
funktion har forskriften:
B(x) =
1 x 2 B
0 x =2 B
Omvendt, har vi en afbildning f : A ! [2], sa kan vi let se, at f faktisk er den karakteristiske
funktion for delm ngden fx 2 A j f(x) =1g
Endelig b r n vnes den disjunkte forening:
De nition 12
Den disjunkte forening af m ngdene A og B er
A q B =(A f1g) [ (B f2g)
Det der sker her, er at vi 'markerer' elementerne i A med et 1-tal og elementerne i B med
et 2-tal. Nar vi derefter tager foreningsm ngden, sa sikrer vi os, at eventuelle elementer
i A \ B kommer med to gange.
Opgave 5.1 Angiv et element ihver af m ngderne nedenfor:
a) N Z R
b) P(N N)
c) P(�) N
d) (N N) ; ((N ;f0� 1g) N)
e) P(P(P(�)))
Opgave 5.2 Vis, at for en m ngde A g lder A �= � A = �.
Opgave 5.3 Bevis nedenstaende regler:
a) A (B \ C) =(A B) \ (A C)
b) (A \ B) C) =(A C) \ (B C)
c) A (B [ C) =(A B) [ (A C)
d) (A [ B) C) =(A C) [ (B C)
Opgave 5.4 Opskriv P(�) pa listeform.
Opgave 5.5 Bevis nedenstaende regler, hvor A og B er vilkarlige m ngder:
a) P(A) 6= �
b) A B ,P(A) P(B)
c) P(A \ B) =P(A) \P(B)
d) P(A) [P(B) P(A [ B)
15

6 Implementering af m ngder
Vi skal nusepa, hvorledes man kan implementere datatypen Set. Lad os f rst speci cere
de metoder, vi nsker i Set. Viantager, at vi har en underliggende datatype Element,
som ikke er konkretiseret pa nuv rende tidspunkt.
void insertElement (Element x)
void deleteElement(Element x)
boolean isElementIn (Element x)
Set union ( Set s)�
Set intersection ( Set s)�
Element [] toArray ()�
De este af disse metoder er selvforklarende� men metoden toArray returnerer et array
bestaende af m ngdens elementer. (I praksis ville man bruge mere avancerede mader at
fa fat pa m ngdens elementer pa | f.eks. en iterator. )
Den f rste made at implementere Set pa, kan kun bruges, hvis vores m ngder altid er
delm ngder af en fast grundm ngde U: Viordnerelementerne i U ienfastr kkef lge,
og repr senterer en delm ngde af U som et array af jUj booleans. Hvis elementet x
er indeholdt i delm ngden, sa lader vi den tilsvarende position i arrayet v re true, og
ellers er positionen false. Vi har i virkeligheden opskrevet den karakteristiske funktion
for arrayet.
Denne repr sentation optager pladsen O(jUj) for hver delm ngde, men hvis U ikke ret
stor, sa er dette ganske glimrende: De este compilere vil pakke et array af booleans
sammen, saledes at der er 8 booleans (bits) i hver byte i hukommelsen. Har U 1000
elementer, sa vil en delm ngde af U kunne repr senteres ved 125 bytes.
Metoderne insertElement, deleteElement og isElementIn vil kunne udf res i konstant
tid, da der her bare er tale om simple a sninger eller opdateringer i arrayet.
union og intersection har tidskompleksiteten O(jUj), men er alligevel meget hurtige |
union kan implementeres som en bitvis or, og intersection som en bitvis and.
toArray har ogsa kompleksiteten O(jUj), hvilket ikke ersa godt, is r for m ngder med
meget far elementer i forhold til U.
Et grundm ngden U meget stor | eller maske uendelig | sa b r man anvende en
liste-baseret implementation i stedet: Hver enkelt m ngde repr senteres som en liste af
sine elementer, hvilket betyder, at pladsbehovet for at repr sentere m ngden A bliver
O(jAj).
De forskellige operationer kan implementeres mere eller mindre smart. Noget af det mest
e ektive er at opbevare elementerne i A i sorteret r kkef lge | dette kr ver dog, at
datatypen Element kan sorteres.
Anvendes bin r s gning, sakan metoderne isElementIn, insertElement og deleteElement
udf res i tiden O(log(jAj). union og intersection kan udf res i line r tid ved at l be de to
m ngde-lister igennem samtidigt | lidt som merge-metoden i MergeSort-algoritmen.
toArray kan ogsa udf res i line r tid.
Opgave 6.1 Implementer en m ngde af heltal i intervallet [0::1000] ved hj lp af begge
metoder.
16

Facitliste
Opgave 1.1
Opgave 1.2
Opgave 1.3
A B A _ B A ^ B (A ^ B) _ B A _ B ) (A ^ B) _ B
S S S S S S
S F S F F F
F S S F S S
F F F F F S
A B A _ B :(A _ B) :A :B :A ^:B
S S S F F F F
S F S F F S F
F S S F S F F
F F F S S S S
a) Det regner i dag, eller solen skinner i dag.
b) Det regner ikke idag
c) Det regner ikke idag,og solen skinner heller ikke i dag.
d) Hvis solen skinner i dag, sa er det godt vejr i dag.
e) Det regner i dag, hvis og kun hvis solen skinner idag.
f) Det er ukorrekt at pasta, at det regner i dag, hvis og kun hvis solen skinner i dag.
Opgave 1.4
A = "Jeg drikker ka e", B = "Jeg drikker te", C = "Jeg har ondt i maven"
a) A ) C
b) A ) C
c) :A
d) A ^ B
e) B ):C
f) :(B ) C)
Opgave 2.1
a) B = f7� 8� 9g
c) A[B = f1� 2� 7� 8� 9g, A\C = �, A;C = f1� 2� 7g, A;B = f1� 2g, B;A = f8� 9g,
C = f0� 1� 2� 4� 6� 7� 9g
d) Ja
17

c) A A = �, A � = A
Opgave 2.2 e) A B = A [ B , A \ B = �
Opgave 2.3
f) xor
Den tomme m ngde, �, erdisjunkt med sig selv.
Opgave 2.4
a) 0 c) A \ B = �
Opgave 3.1
a) F b) S c) F d) F e) S f) S g) F h) S i) F
Opgave 3.2
a) 8x 2 N : x 6= x +1
b) 9x 2 R : x>8
c) 8x 2 N9y 2 N : x 2 = y
d) :(9x 2 Nx 2 =5)eller 8x 2 N : x 2 6=5
e) 8x 2 N : x 2 Q
Opgave 3.3
a) 55 b) 55 c) 5 d) 385 e) 50 f) 8x
Opgave 5.4
f�� f�gg
18