VBN - Aalborg Universitet

Grundlæggende teori
Da drejningen beregnes ud fra tangens, som beregner vinkler i intervallet ± 100 gon, er det nødvendigt
med en fortegnsanalyse for at kunne beregne drejninger i intervallet ± 200 gon, da laserscanneren
kan dreje 400 gon. Denne fortegnsanalyse kan foretages i MATLAB ved hjælp af funktionen
”atan2”, som projektgruppen har valgt at anvende.
De beregnede drejninger om z-aksen anvendes som foreløbig værdi ved 3D anblok.
5.1.2 3D anblok
Efter at have fundet de foreløbige værdier vil teorien bag 3D anblok med tre modeller blive præsenteret.
Transformationsligningen for 3D anblok er vist nedenfor.
⎡ cosϕ cosκ −cosϕ
sinκ sinϕ ⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎡X '⎤
0 =
⎢
sinω sinϕ cosκ cosω sinκ sinω sinϕ sinκ cosω cosκ sinω cosϕ ⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥ ⎢
Y '
⎥
⎢
+ − + −
⎥
+ −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ cosω cosϕ ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ tz⎥⎦ ⎢⎣ Z ' ⎥⎦
Ovenstående udtryk er ganget ud i efterfølgende udtryk:
L : 0 = X cosϕ cosκ − Y cosϕ sin κ + Z sin ω + tx − X '
1
L : 0 = X (sin ω sinϕ cosκ + cosω sin κ ) − Y (sin ω sinϕ sin κ − cosω cos κ ) − Z sin ω cosϕ + ty − Y '
2
L : 0 = X ( − cosω sinϕ cosκ + sin ω sin κ ) + Y (cosω sinϕ sin κ + sin ω cos κ ) + Z cosω cosκ + tz − Z '
3
På tilsvarende vis, som 2D anblok ovenfor, opstilles A-matricen ved partielt at differentiere med
hensyn til de ubekendte, som her er de tre drejninger (ω, φ og κ), de tre flytninger (tx, ty og tz)
samt X’, Y’ og Z’. Ved anblok er X’, Y’ og Z’ koordinater fra modellerne givet i det overordnede koordinatsystem.
Nedenfor vises hvordan ovenstående transformationsligninger skal partiel differentieres
med hensyn til de ubekendte.
� � κ tx ty tz X’ Y’ Z’
L1:
L2:
L3:
∂L
∂L
1 1 1
∂ω
∂ ϕ
L ∂
∂ κ
∂L2
∂L2
∂ω
∂ϕ
∂L
3
∂ω
∂L
3
∂ϕ
2 L ∂
∂κ
L ∂
3
∂κ
∂L1
∂tx
∂L2
∂tx
∂L
3
∂tx
∂L
1
∂ty
∂L
2
∂ty
∂L
3
∂ty
1 L ∂
∂tz
2 L ∂
∂tz
L ∂
3
∂tz
∂L1
∂X
'
∂L2
∂X
'
∂L
3
∂L1
∂Y
'
∂L2
∂Y
'
∂L
3
∂L1
∂Z
'
∂L2
∂Z
'
∂L
∂X
' ∂Y
' ∂Z
'
3
Side | 33