VBN - Aalborg Universitet

1
2
⇕
L : 0 = aX − bY + tx − X '
L : 0 = bX + aY + ty − Y '
Grundlæggende teori
Ved 2D anblok opstilles A-matricen ved partielt at differentiere med hensyn til de ubekendte, som
her er a, b, tx, ty, X’ og Y’. Ved anblok er X’ og Y’ koordinater fra modellerne givet i det overordnede
koordinatsystem. Nedenfor er vist hvordan ovenstående transformationsligninger skal differentieres
med hensyn til de ubekendte.
a b tx ty X’ Y’
L1:
L2:
∂L1
∂ a
∂L2
∂a
∂L1
∂ b
∂L2
∂b
∂L1
∂tx
∂L2
∂tx
Inden præsentation af hele A-matricen er der nedenfor vist et uddrag af A-matricen for at lette forståelsen
af den efterfølgende A-matrice. Udsnittet viser, at punkt 1 er opmålt i Model A og er samtidig
et fikspunkt. I den efterfølgende A-matrice er der ét ”-1” i alle rækker, der vedrører modellerne,
og ét ”1” i alle rækker, der vedrører fikspunkterne. På baggrund heraf er de enkelte transformationsligninger
knyttet sammen ved hjælp af punkterne og derudfra kan der ske en samlet udjævning
af alle modellerne og fikspunkterne. Alle de tomme pladser i nedenstående uddrag og i den efterfølgende
A-matrice er 0.
Model A Model B Model B Punkt
Par. Par. Par. Pkt. 1 Pkt. n
a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 a3 b3 tx3 ty3 X’ Y’ X’ Y’
Pkt. 1 X -Y 1 0
-1
Y X 0 1
-1
Pkt. n X -Y 1 0
-1
Y X 0 1
-1
Model A
Fiks
pkt.
Pkt. 1
∂L
1
∂ty
∂L
2
∂ty
∂L1
∂X
'
∂L2
∂X
'
∂L1
∂Y
'
∂L2
∂Y
'
Tabel Tabel Tabel 1: : : Viser et uddrag af nedenstående A-matrice matrice
For at skabe overblik og gøre teorien nemmere at forstå kan udtrykket efter differentiationen med
fordel substitueres, som vist nedenfor.
Model Punkt
a b
X -Y
tx ty X’ Y’
1 0 -1
=
Model
ϵ
Punkt
-1
Y X 0 1 -1
Tabel Tabel 2: : Substitution for at reducere størrelsen af A-matricen matricen
Efter ovenstående substitution kan A-matricen opstilles, som vist nedenfor. Under hver model i Amatricen
bliver linierne, der substitueres med symbolet ϵ, gengivet det antal gange der er punkter i
1
1
Side | 31