VBN - Aalborg Universitet

Trans.lign. Fikspkt. T
b = 0 … 0 … Xr’ Yr’ …
2D anblok
Første del af b-vektoren for eksemplet består af 20 nuller, som repræsenter de to transformationsligninger
for de 10 punkter i de to modeller. Den sidste del af b-vektoren er de opmålte x- og ykoordinater
til de to fikspunkter reduceret til deres tyngdepunkt i det overordnede system. Nedenfor
er b-vektoren opstillet.
[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5,5 7 5,5 7] T
b = − −
Efter at have opstillet både A-matricen og b-vektoren findes løsningen ved hjælp af mindste kvadraters
princip, som vist nedenfor:
Løsningen på eksemplet er følgende:
( ) 1 −
T T
x = A A A b
⎡1,00 0,00 -1,88 -1,18 0,93 -0,26 2,20 4,51 ... ⎤
x =
⎢
... -5,50 7,00 6,52 10,64 1,59 3,98 12,89 2,84 ...
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ... -4,49 -1,92 -6,50 -7,96 5,50 -7,00
⎥⎦
Løsningsvektoren har følgende struktur:
Model A Model B Koordinater T
x = a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 … Xr’ Yr’ …
Løsningen x er en søjlevektor bestående af 22 rækker. De første fire tal i x er a, b, tx og ty for Model
A, mens de næste fire tal er a, b, tx og ty for Model B. De resterende 14 tal er de beregnede reducerede
x- og y-koordinater for de syv punkter. Koordinaterne fås over i det overordnede system ved
at lægge middelværdien for de to fikspunkter (XFm og YFm) til koordinaterne (Xr og Yr). Dette
udtryk er vist nedenfor.
⎡X ⎤ ⎡Xr ⎤ ⎡XFm⎤ ⎢
Y
⎥ = ⎢ +
Yr
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Drejningerne og skaleringerne for de to modeller kan findes ud fra a og b ved anvendelse af følgende
udtryk:
arctan 2 b
ϕ =
k = a + b
2 2
( ) 200
Udtrykket ”arctan2” henviser til MATLABs udtryk ”atan2”, der udfører en fortegnsanalyse inden
vinklen beregnes. Det er nødvendigt med en fortegnsanalyse, da drejning beregnes ud fra den almindelige
tangens beregner vinkler i intervallet ± 100 gon, og da laserscanneren kan dreje 400 gon
er det nødvendigt med en fortegnsanalyse for at kunne beregne drejning i intervallet ± 200 gon.
Drejningen og skaleringen for Model A er følgende: ϕ = − 0, 206 og k =
0,999
a
π
T
Side | 33