VBN - Aalborg Universitet

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 24
⎡∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X
'⎤
⎢
ω ϕ κ k tx ty tz
⎥
⎢
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎥
⎢ ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y
' ⎥
A = ⎢ ⎥
⎢
∂ω ∂ϕ ∂κ ∂k ∂tx ∂ty ∂tz
⎥
⎢ ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z
' ⎥
⎢ ⎥
⎣ ∂ω ∂ϕ ∂κ ∂k ∂tx ∂ty ∂tz
⎦
Der opstilles en x-vektor med foreløbige værdier for transformationsparametrene ω, φ, κ, k, tx, ty
og tz. Som foreløbig værdi for den ubekendte værdi κ, anvendes resultatet fra den lineære 2D transformation.
Værdierne for ω og φ sættes til nul, idet drejningerne om x- og y-akserne ved laserscanningsopstillinger
forventes at være nær nul. Da begge modeller er reduceret til tyngdepunkt er tx,
ty og tz nul.Foreløbige værdier for skaleringen, k, sættes til 1, da det forventes at målforholdet er 1.
[ 0 0 70,456 1 0 0 0] T
x =
Herefter beregnes resultatet iterativt, idet transformationsligningerne ikke er lineære. Dette gøres
iterativt, ved først at beregne nogle udtryk til en A-matrice, ved hjælp af scriptet numafl.m.
A-matricen sammensættes herefter af de 1. ordens afledede værdier fra de to transformationsligninger.
Denne A-matrice svarer til den, der bliver opstillet i afsnit 3 2D transformation, bortset fra
at der her bliver beregnet parametre for Z-ligningen.
Herefter beregnes b-vektoren ligeledes iterativt. Denne beregnes ved hjælp af de reducerede koordinater
fra fikspunktsystem, på tilsvarende vis som b fra den lineære metode ved 2D transformation,
og det, i numafl.m, beregnede 0. ordens led, med indsættelse af foreløbige værdier fra xvektoren,
for hver transformationsligning.
Hvor blineær er følgende:
b =
lineær
[ ] [ 0. ordens afledede]
b = b −
lineær
T T
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
T
lineær = ⎡
⎣
⎤
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ⎦
b Xr Yr Zr Xr Yr Zr Xr Yr Zr Xr Yr Zr
[ -9,5 0,75 -0,5 2,5 4,75 -1,5 -2,5 -2,25 5,5 9,5 -3,25 -3,5] T
Når de foreløbige værdier er tæt på den endelige løsning er værdierne i b-vektoren små.
Løsningen i den iterative proces findes ved at addere ˆx , til de foreløbige værdier for x. Denne nye
værdi er den nye foreløbige x-værdi til næste iteration.
( ) 1 −
T T
xˆ = A A A b
x x xˆ
i+ 1 i = +
Iterationen fortsættes til resultatet er tilfredsstillende. Da der her anvendes foreløbige værdier tæt
på den endelige løsning er tre iterationer passende (fastslået på baggrund af testberegninger af
dette eksempel).