VBN - Aalborg Universitet

5 3D transformation
3D transformation
I dette appendiks vil 3D transformation blive præcenteret. Der vil i afsnittet blive gennemgået
hvordan en transformation fra et koordinatsystem til et andet kan foregå. Afsnittet vil gennemgå en
transformation af fire punkter i et system, over i et andet system. Da det ikke kan lade sig gøre at
linearisere transformationsligningerne ved hjælp af substitution, skal transformationsparametrene
beregnes iterativt. Grunden til at transformationsligningerne ikke kan lineariseres ved hjælp af
substitution er, at der ved substitution skal være lige mange ubekendte før og efter substitutionen.
I eksemplet anvendes Model A og fikspunktsystem, som repræsenterer de fire punkter i henholdsvis
det ene og det andet system. I matricerne findes punktnummer, x- og y-koordinater:
⎡1 8 23 5 ⎤
⎢
2 20 27 4
⎥
F = ⎢ ⎥
⎢3 15 20 11⎥
⎢ ⎥
⎣4 27 19 2 ⎦
Tabel Tabel Tabel 9: : : Koordinater til fikspunktsystem og Model A
⎡1 28,208 9,472 7,462 ⎤
⎢
2 37,201 0,560 6,620
⎥
MA
= ⎢ ⎥
⎢3 28,816 2,088 13,717⎥
⎢ ⎥
⎣4 33,216 -9,371 5,038 ⎦
Punkterne reduceres til tyngdepunkt som beskrevet i afsnittet, der omhandler reduktion til tyngdepunkt.
De reducerede koordinater er følgende:
⎡1 -9,5 0,75 -0,5⎤
⎡1 -3,652 8,785 -0,747⎤
⎢
2 2,5 4,75 -1,5
⎥
⎢
Fr ⎢ ⎥
2 5,341 -0,127 -1,589
⎥
= MAr = ⎢ ⎥
⎢3 -2,5 -2,25 5,5 ⎥
⎢3 -3,044 1,401 5,508 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣4 9,5 -3,25 -3,5⎦
⎣4 1,356 -10,058 -3,171⎦
Tabel Tabel 10 10: 10 : Reducerede koordinater til fikspunktsystem og Model A
Transformationsligningen for 3D transformation [Jensen, 2005, s. 107], hvor X’, Y’ og Z’ repræsenterer
koordinater fra fikspunktsystem, og X, Y og Z repræsenterer koordinater for Model A:
⎡X '⎤
⎡ cosϕ cosκ ⎢
Y '
⎥
= k
⎢
sinω sinϕ cosκ + cosω sinκ ⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ Z ' ⎥⎦ ⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ −cosϕ
sinκ − sinω sinϕ sinκ + cosω cosκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ ⇕
sinϕ
⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ − sinω cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥
+
⎢
ty
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
cosω cosϕ
⎥⎦
⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ tz ⎥⎦
( ϕ κ ϕ κ ω)
( ω ϕ κ ω κ ω ϕ κ ω κ ω ϕ )
( ω ϕ κ ω κ ω ϕ κ ω κ ω κ )
X ' = k X cos cos − Y cos sin + Z sin + tx
Y ' = k X (sin sin cos + cos sin ) −Y (sin sin sin − cos cos ) − Z sin cos + ty
Z ' = k X ( − cos sin cos + sin sin ) + Y (cos sin sin + sin cos ) + Z cos cos + tz
Ved en 3D transformation er det ikke muligt at linearisere transformationsligningerne, som de er
blevet i 2D transformation. Derfor skal løsningen til transformationen løses iterativt. Udtrykkene
skal dog stadig partielt differentieres. Disse afledede skal anvendes i A-matricen.
Side | 23