VBN - Aalborg Universitet

2D transformation
Da løsningen skal findes ved en iterativ proces, indeholder b-vektoren differensen mellem 0. ordens
afledede af transformationsligningerne, med indsættelse af de foreløbige værdier for x-vektoren og
den b-vektor som er præsenteret i den lineære metode, svarende til koordinaterne i Model A. Denne
b-vektoren kaldes i matematiske sammenhænge også OMC (Observed Minus Computed).
Hvor blineær er følgende:
lineær
[ ] [ 0. ordens afledede]
b = b −
lineær
T T
[ ' ' ' ' ' ' ' ' ]
b = X Y X Y X Y X Y
b =
lineær
1 1 2 2 3 3 4 4
[ -9,5 0,8 2,5 4,8 -2,5 -2,3 9,5 -3,3] T
Når de foreløbige værdier er tæt på den endelige løsning er værdierne i b-vektoren små.
Løsningen i den iterative proces findes ved at addere ˆx , til de foreløbige værdier for x. Denne nye
værdi er den nye foreløbige x-værdi til næste iteration.
( ) 1 −
T T
xˆ = A A A b
x x xˆ
i+ 1 i = +
Iterationen fortsættes til resultatet er tilfredsstillende. Da der her anvendes foreløbige værdier tæt
på den endelige løsning er tre iterationer passende (fastslået på baggrund af testberegninger af
dette eksempel).
Løsningen efter 3. iteration:
[ 16,227 0,996 0 0] T
x = −
Ovennævnte drejning og skalering stemmer overens med drejningen og skaleringen fra den lineære
metode.
Flytningerne beregnes med middelværdien af koordinaterne til Model A og Model B, samt k og φ.
Udtrykket er vist nedenfor, hvor de beregnede flytninger benævnes Tx og Ty:
⎡Tx⎤ ⎡Xm '⎤ ⎡cosϕ −sin
ϕ⎤
⎡Xm⎤ ⎢ k
Ty
⎥ = ⎢
Ym' ⎥ − ⎢
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Ym
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx⎤ ⎡−1,597 ⎤
⎢ =
Ty
⎥ ⎢
2,780
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Disse flytninger stemmer ligeledes overens med de flytninger der blev beregnet ved den lineære
metode.
Residualerne beregnes ved hjælp af A-matricen, løsningsvektoren og b-vektoren:
r = Ax −
b
T
Side | 19