VBN - Aalborg Universitet

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 18
Y ' = k( X sinϕ + Y cos ϕ)
+ ty
Som ved den lineære metode skal transformationsligningerne partielt differentieres. Disse afledede
udtryk skal anvendes i A-matricen, transformationsligningerne differentieres og opstilles for både x
og y-koordinaterne i alle punkterne der indgår i transformationen:
⎡∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X
'⎤
⎢ ∂ϕ ∂k ∂tx ∂ty
⎥
A = ⎢ ⎥
⎢ ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y
' ⎥
⎢ ∂ϕ ∂k ∂tx ∂ty
⎥
⎣ ⎦
De partielt afledede udtryk af X’: De partielt afledede udtryk af Y’:
∂X
'
= −kX sinϕ − kY cos ϕ ( α )
∂ϕ
∂X
'
= 1
∂tx
∂Y
'
= kX cosϕ − kY sin ϕ ( θ )
∂ϕ
∂X
'
= X cosϕ −Y
sin ϕ ( β )
∂k
∂X
'
= 0
∂ty
∂Y
'
= X sinϕ + Y cos ϕ ( μ )
∂k
Tabel Tabel 7: : : Symbolerne Symbolerne i i parenteserne parenteserne er er henvisninger, henvisninger, der der anvendes anvendes i i forbindelse forbindelse med med opstilling opstilling af af A-matricen A
matricen
∂Y
'
= 0
∂tx
∂Y
'
= 1
∂ty
Herunder er udtrykkene indsat i A-matricen, de længste udtryk er symboliseret ved α, β, θ og μ.
Dette skal ikke betragtes som en egentlig substitution, idet det er de egentlige udtryk der regnes
med. Symbolerne bliver blot indsat i matricen, for at gøre denne mere overskuelig.
ϕ k tx ty
A =
Pkt. 1 α β 1 0
θ μ 0 1
Pkt. 2 α β 1 0
θ μ 0 1
Pkt. 3 α β 1 0
θ μ 0 1
Pkt. 4 α β 1 0
θ μ 0 1
Tabel Tabel 8: Differentieret Differentieret Differentieret AA-matr
A matr matrice, matr ice, hvor hvor det det grå grå område område er er matr matricen, matr icen,
mens mens teksten teksten udenom udenom i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende forklarende tekst tekst til til matrices indhold
Da de ubekendte stadig indgår i elementerne i A-matricen efter differentiation, kræves der nogle
foreløbige værdier til x-vektoren, for at den endelige løsning kan beregnes. Den eneste foreløbige
værdi, der skal bruges, er drejningen om z-aksen, da flytningerne er 0, fordi modellerne er reducerede
til deres tyngdepunkt og skaleringen sættes til 1, da det forventes at målforholdet er 1. Til den
foreløbige værdi for φ kan løsningen fra den lineære metode anvendes. Den foreløbige x-vektor vil
dermed indeholde:
[ ] T
ϕ
x = k tx ty
[ 16,227 1 0 0] T
x = −