VBN - Aalborg Universitet

Appendiks A - Transformation og anblok
Model A
Side | 14
⎡1 -9,5 0,8 ⎤
⎢
2 2,5 4,8
⎥
MAr = ⎢ ⎥
⎢3 -2,5 -2,3⎥
⎢ ⎥
⎣4 9,5 -3,3⎦
Model B
Tabel Tabel 3: : Reducerede Reducerede koordinater til de to modeller
⎡1 -9,6 -1,8⎤
⎢
2 1,4 5,3
⎥
MBr = ⎢ ⎥
⎢3 -1,6 -2,8⎥
⎢ ⎥
⎣4 9,9 -0,8⎦
Transformationsligningen for 2D transformation, hvor X’ og Y’ repræsenterer koordinater for Model
A, mens X og Y repræsenterer koordinater for Model B, udtrykkes ved følgende ligning:
⎡X '⎤ ⎡cosϕ −sinϕ
⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢ k
Y '
⎥ = ⎢ +
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇕
X ' = k( X cosϕ − Y sin ϕ)
+ tx
4.1 Lineær metode
Y ' = k( X sinϕ + Y cos ϕ)
+ ty
For at linearisere udtrykket udføres en substitution, hvor k∙cosφ udskiftes med a og k∙sinφ udskiftes
med b, så transformationsligningen får følgende udtryk:
⎡X '⎤
⎡a −b⎤
⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢
Y '
⎥ = ⎢ +
b a
⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇕
X ' = aX − bY + tx
Y ' = bX + aY + ty
Transformationerne ønskes løst ved hjælp af mindste kvadraters princip hvilket kræver en opstilling
af A-matricen samt b-vektoren. Dette vil ske i de efterfølgende afsnit. A-matricen opstilles med
de partielt afledede udtryk af transformationsligningerne. Transformationsligningerne afledes partielt
og opstilles for både X og Y koordinaterne i alle punkterne der indgår i transformationen:
⎡∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X
'⎤
⎢ ∂a ∂b ∂tx ∂ty
⎥
A = ⎢ ⎥
⎢ ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y
' ⎥
⎢ ∂a ∂b ∂tx ∂ty
⎥
⎣ ⎦
De partielt afledede udtryk af X’:
∂X
'
= X
∂a
∂X
'
= 1
∂tx
∂X
'
= −Y
∂b
∂X
'
= 0
∂ty
Tabel Tabel Tabel 4: : Transformationsligningerne Transformationsligningerne differentieret
De partielt afledede udtryk af Y’:
∂Y
'
= Y
∂a
∂Y
'
= 0
∂tx
∂Y
'
= X
∂b
∂Y
'
= 1
∂ty