VBN - Aalborg Universitet

Udarbejdet af: Anders Haugaard Thomsen, Carsten Bundgaard,
Nadja Kabkizan og Tina Sørensen
Landinspektøruddannelsens 8. semester Measurement Science
Aalborg Universitet

Titel: 3D anblok sammenknytning
af laserscanningsdata
Tema: Sensor- og dataintegration
Projektperiode: 4. feb. - 12. jun. 2008
Institut for Samfundsudvikling
og Planlægning
Aalborg Universitet
Fibigerstræde 11-13
9220 Aalborg Øst
Danmark
Tlf: 9635 8080
Landinspektøruddannelsens
8. semester
Projektgruppe: L8MS-03 Synopsis:
Deltagere:
Projektet omhandler sammenknytning af
flere end to laserscanningspunktskyer. Når
__________________________
der skal sammenknyttes punktskyer bliver
der traditionelt kun knyttet to punktskyer
Anders Haugaard Thomsen
sammen ad gangen. Dette kan resultere i
gab når mange punktskyer sammenknyttes.
Projektet beskriver, hvordan der ved hjælp
__________________________
Carsten Bundgaard Jacobsen
af anblok kan foretages én samlet sammenknytning,
hvor der udjævnes på alle observationer.
I projektet behandles et forsøg, hvor der
__________________________
sammenknyttes tre punktskyer ved hjælp af
et anblok program, som er fremstillet af
Nadja Sarah Kabkizan
projektgruppen.
Inden de tre punktskyer indsamles er der
beregnet hvordan forskellige forhold ind-
__________________________
Tina Sørensen
virker på sammenknytningen. Beregningerne
er foretaget i Testnet, hvor der er beregnet
konfidensellipser for punkterne ved
forskellige situationer, hvor der ændres på
geometrien mellem punkterne og antallet af
overbestemmelser.
Hovedvejleder:
Slutteligt vurderes der på, hvor godt
punktskyerne bliver sammenknyttet når
Peter Cederholm
gruppens anblok anvendes. Dette gøres ved
Bivejleder:
at sammenligne resultaterne fra anblok med
resultaterne fra traditionel sammenknytning
Carsten Bech
og sammenknytning i programmet Cyclone.
Oplagstal: 7
Sideantal: 84
Bilagsantal og -art: 4 plus en bilags-CD
Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

Titel: 3D anblok merging
of laser scanning data
Theme: Sensor and data integration
Project unit: Feb. 4. - Jun.12. 2008
Department of Development and Planning
Aalborg University
Fibigerstræde 11-13
9220 Aalborg East
Denmark
Phone: 9635 8080
The Chartered Surveyor Education
8. semester
Project group: L8MS-03 Abstract:
Participants:
This project is about merging two or more
laser scanning point clouds. When point
___________________________
clouds are merged they are usually only
merged two at the time. This can result in
Anders Haugaard Thomsen
gap, when many point clouds are merged.
The project describes how it, by the means
of anblok is possible, to carry out one
___________________________
Carsten Bundgaard Jacobsen
merging, where the adjustment contains all
observations.
In the project an experiment is carried out.
The experiment is to merge three point
___________________________
clouds by the means of an anblok program
made by the project group.
Nadja Sarah Kabkizan
Calculations of the influence on the merging
by different conditions are made before
the three point clouds are gathered.
___________________________
Tina Sørensen
The calculations are made in Testnet,
where confidence ellipses for the points are
calculated in different situations, where the
geometry in between the points and the
number of redundants, is changed.
Finally an evaluation, on how well the
Primary supervisor:
point clouds are merged, when using the
anblok, produced by the group, is made.
Peter Cederholm
This is made by comparing the results from
Secondary Supervisor:
the anblok with the results from the traditional
merging and merging in the program
Carsten Bech
Cyclone.
Number printed: 7
Number of pages: 84
Number and sort of appendixes: 4 plus appendix-CD
The content of the report is available to everyone, but issuing (with source reference) may only take place in agreement with the authors

Forord
Forord
Indledning Forord
Denne rapport er udarbejdet af projektgruppe 3, på landinspektøruddannelsens 8. semester. Semestret
er en del af specialiseringen Measurement Science. Projektperioden løber fra 4. februar til 12.
juni 2008. Temaet for semestret er ”Sensor- og dataintegration”.
Læsevejledning
Læsevejledning
Projektet er delt op i tre dele:
- Del 1 indeholder en foranalyse. Det initierende problem præsenteres, undersøges og besvares,
for efterfølgende at kunne opstille problemformuleringen.
- Del 2 er en behandling af teorien for 2D anblok, samt en omsætning af denne teori til 3D.
Desuden beskrives det udviklede program i denne del. Endelig er teorien bag Testnet beskrevet
i denne del. En del af problemformuleringen besvares i denne del.
- Del 3 indeholder teoretiske forsøg, der søger at afdække sammenhængen mellem geometrien
af fælles- og fikspunkter, overbestemmelser og disses påvirkninger af nøjagtigheden af
transformationer. Endeligt udføres et praktisk forsøg, for at afprøve det udviklede program.
Til sidst konkluderes på resultaterne af det praktiske forsøg, og resten af problemformuleringen
besvares.
Kilder i rapporten er angivet efter Harvard-metoden. Det vil sige, at kilder ser således ud: [Forfatters
efternavn, udgivelsesår, eventuelt sidetal]. Har kilden flere forfattere, angives kun det første
efternavn. Henvises til en hjemmeside, angives en forkortet webadresse. Står kilden før punktummet
i en sætning, omfatter den kun sætningen. Står den efter, omfatter den hele afsnittet. Yderligere
oplysninger om kilder kan findes i litteraturlisten bagerst i rapporten.
Figurer og tabeller er nummeret fortløbende gennem rapporten.
Appendiks og bilag er placeret bagerst i rapporten, samt på Bilags-CD. Appendiks og bilag er hver
for sig fortløbende nummereret med et enkelt bogstav. Det vil sige at rækken starter med Appendiks
A, og Bilag A. På Bilags-CD’en findes alle udviklede og anvendte MATLAB-scripts, samt input-
og output-filer. Derudover kan og så rapporten, samt de udskrevne appendiks og bilag findes på
Bilags-CD’en. En samlet indholdsfortegnelse for denne findes bagerst i rapporten.
Rapporten er primært henvendt til personer med et vist kendskab til, og indblik i, landmåling og
metoder hertil. Det er således en forudsætning for forståelsen af rapporten, at læseren som minimum
har et fagligt niveau, svarende til landinspektøruddannelsens 6. semester.
Tak Tak Tak til:
til:
I forbindelse med udarbejdelsen af projektet, vil projektgruppen gerne rette en tak til Niels Koefoed
Nielsen, Rambøll Oil and Gas, for brug af billeder af opstilling af laserscanner, samt for input til projektets
perspektivering.
Side | 5

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Indhold
1 Indledning .......................................................................................................................................................................... 9
2 Metode beskrivelse ..................................................................................................................................................... 11
3 Foranalyse ...................................................................................................................................................................... 15
3.1 Sammenknytning ............................................................................................................................................... 15
3.2 Definitioner .......................................................................................................................................................... 16
3.3 Nøjagtighed af sammenknytningen ............................................................................................................ 17
Side | 6
3.3.1 Antal og placering af targets i overlappet ml. punktskyer ...................................................... 17
3.3.2 Højdevariation af targets ...................................................................................................................... 18
3.3.3 Målepræcision med laserscanner ...................................................................................................... 19
3.3.4 Nøjagtighed af targets ............................................................................................................................ 19
3.3.5 Opsamling .................................................................................................................................................... 19
3.4 Sammenknytning i Cyclone ........................................................................................................................... 19
3.4.1 Cloud registration metoden ................................................................................................................. 20
3.4.2 Registration metoden ............................................................................................................................. 20
3.4.3 Opsamling .................................................................................................................................................... 20
3.5 Overordnede teori bag transformation og anblok ............................................................................... 21
3.5.1 Transformation ......................................................................................................................................... 22
3.5.2 Anblok ........................................................................................................................................................... 24
4 Problemformulering ................................................................................................................................................... 27
4.1 Problemafgrænsning ........................................................................................................................................ 27
5 Grundlæggende teori ................................................................................................................................................. 29
5.1 Teori bag 3D anblok med tre modeller ..................................................................................................... 30
5.1.1 Gennemgang af 2D anblok til fremskaffelse af foreløbige værdier ..................................... 30
5.1.2 3D anblok ..................................................................................................................................................... 33
5.1.3 Det udarbejdede program .................................................................................................................... 37
5.2 Testnet .................................................................................................................................................................... 39
5.2.1 Teori ............................................................................................................................................................... 40
5.2.2 Variansfaktor kontra vægtmatrice .................................................................................................... 40
5.2.3 Anvendelse .................................................................................................................................................. 42
5.2.4 Konfidensellipser ..................................................................................................................................... 44
5.2.5 Det udarbejdede program .................................................................................................................... 45
6 Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet .................................................................................................. 47

Indledning
6.1 Indledende forsøg .............................................................................................................................................. 48
6.1.1 Beregning af overbestemmelser ........................................................................................................ 48
6.1.2 Test af betydningen af geometri og antallet af overbestemmelser ..................................... 50
6.1.3 Opsamling ................................................................................................................................................... 66
6.2 Planlægning af dataindsamling .................................................................................................................... 66
6.2.1 Opbygning til dataindsamling ............................................................................................................. 67
6.3 Dataindsamling ................................................................................................................................................... 70
6.4 Databehandling .................................................................................................................................................. 71
6.4.1 Totalstation ................................................................................................................................................ 71
6.4.2 Laserscanner .............................................................................................................................................. 72
6.4.3 Anblok programmet ................................................................................................................................ 72
6.5 Vurdering .............................................................................................................................................................. 74
7 Perspektivering ............................................................................................................................................................ 77
7.1 Teknisk udvikling .............................................................................................................................................. 77
7.2 Andre anvendelser ............................................................................................................................................ 78
8 Konklusion ..................................................................................................................................................................... 81
Side | 7

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 8

1 Indledning
Indledning
Temaet for dette semester er ”Sensor- og dataintegration”. Dette meget brede emne, giver mulighed
for undersøgelse af mange problemstillinger. Herunder kan for eksempel nævnes kombination af
GPS og INS, eller data-udtynding.
Projektgruppen har tidligere arbejdet med terrestrisk laserscanning, og mener at dette er et område,
hvor der fortsat er behov og muligheder for videreudvikling af metoder, der kan lette arbejdet
med de ofte store mængder data, der indsamles med denne metode. Projektgruppen har derfor
valgt at beskæftige sig med terrestrisk laserscanning, og i særdeleshed sammenknytning af laserscanningsdata
herfra. En beskrivelse af teknikken bag terrestrisk laserscanning kan findes i Bilag A,
bagerst i rapporten.
Når der arbejdes med laserscanning, vil det ofte være nødvendigt, at scanne et objekt fra flere forskellige
opstillinger. Det kan for eksempel være en hel bygning, eller et stort rørsystem, der skal
scannes, hvor områdets udstrækning er for stort, eller der er objekter der står i laserscannerens
synsfelt, hvilket gør det umuligt at nøjes med en enkelt scanning. I disse situationer er det nødvendigt
at kunne sammenknytte de indsamlede data, så der kan arbejdes med en enkelt punktsky, i ét
koordinatsystem.
For at opbygge en baggrundsviden, og gøre projektgruppen i stand til at finde frem til en problemformulering,
har projektgruppen opstillet følgende initierende problem:
Initierende Initierende Initierende problem: problem: Hvilke principper og metoder anvendes til sammenknytning af laserscanningsdata?
Dette spørgsmål søges besvaret gennem en foranalyse, der både beskriver hvad sammenknytning
er, samt hvordan denne foretages. Desuden beskrives de forhold der er vigtige for nøjagtigheden af
sammenknytningen.
Side | 9

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 10

2 Metode beskrivelse
Metode beskrivelse
Dette kapitel skal beskrive den metode der er anvendt til problemløsningen. Kapitlet bygger på
teorier om projektarbejde fra kompendiet ”Projektarbejdets teori og metode”, af Christian Aunsborg,
Aalborg Universitet [Aunsborg, 1997].
Formålet med at beskrive en metode for projektet er, at afklare og redegøre for, hvordan det formulerede
problem skal løses. Det vil sige, hvordan det er tænkt, at nå frem til en konklusion. I metodebeskrivelsen
er der fokus på, hvordan problemformuleringen og projektets enkelte dele hænger
sammen. Projektarbejdet skal ses som en iterativ proces, hvor alle dele påvirker hinanden, og kan
ændre hinanden, se Figur 1.
Med brug af nogle problemløsningsværktøjer, der specifikt er rettet mod problemorienteret projektarbejde,
kan projektets faglige indhold og metode bearbejdes.
Det er således det problem som projektet søger at løse, der er bestemmende for indholdet af, og
metoden for projektet. Den metodiske fremgang sætter projektets enkelte dele i forhold til hinanden.
Der findes ikke en skræddersyet metode til problemorienteret projektarbejde. Metoden udarbejdes
med udgangspunkt i det teoretiske problem (problemformulering). I kraft af metodefriheden er det
en vigtig del af projektarbejdet, at redegøre for de metodiske overvejelser og valg.
På trods af en høj grad af valgfrihed for, hvordan projektet kan opbygges, er der dog visse hovedelementer,
som et problemorienteret projekt skal indeholde.
En problemorienteret projektrapport består af fire elementer:
• Problemformulering
• Teori
• Empiri
• Svar/Konklusioner
Disse ovenfor beskrevne elementer er forbundet til hinanden via forskellige former for analyser,
der her indikeres med pile, se Figur 1.
Side | 11

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Figur Figur Figur 1: Disse Disse begreber, begreber, der der omfatter omfatter de de fire fire hovedelementer, hovedelementer, udgør udgør projektarbejdes projektarbejdes
byggeklodser [Aunsborg [Aunsborg, [Aunsborg
, 1997 1997] 1997
Der er ikke er nogen fast rækkefølge af hovedelementerne. For eksempel kan der startes med et
initierende problem, der fastlægger det problemfelt projektet skal bevæge sig indenfor. Via empirisk
arbejde kan der foretages forskellige undersøgelser i henhold til problemet for derigennem at
opnå en basis viden omkring problemfeltet. Herefter vil projektgruppen være i stand til, med den
opnåede viden, at vende tilbage til problemformuleringen og tilpasse denne i forhold til det videre
projektarbejde. Ved hjælp af teoretisk fremgang bliver det muligt, at nå frem til nogle foreløbige
resultater eller delkonklusioner. Disse kan så efterfølgende afprøves empirisk, og så videre. [Aunsborg,
1997]
Problemformulering
Problemformulering
Problemformuleringen er projektets kernepunkt, som projektet kommer til at hvile på. En velovervejet
problemformulering er af afgørende betydning., idet denne er med til at give en fælles forståelse
af, hvad målet med projektarbejdet er og derved sikre sammenhængen i et projekt, der udarbejdes
af forskellige personer.
I forbindelse med optakten til formuleringen af et problem, skal der forinden, som minimum, beskrives
en række forhold. Først og fremmest skal der introduceres til det emne, som problemet
kommer til at udspringe af. Derudover skal der foreligge en problembeskrivelse, der tydeligt præciserer,
hvori problemet består. Yderligere må der gives en afklaring af de delproblemer, som problemet
eventuelt kommer til at bestå af.
Teori Teori
Teori
Teorier rummer forståelser af virkeligheden. I et problemorienteret projekt går arbejdet ud på at
finde frem til en teori, der løser problemet.
Det må undersøges om de eksisterende teorier vedrørende emnet, helt eller delvist kan være med
til at løse projektets problem. Findes der ikke nogen anvendelige teorier kan det blive nødvendigt,
selv at opstille nogle forklaringer fra bunden.
Side | 12

Metode beskrivelse
Empiri
Empiri
Empiri, det vil sige dataindsamling og -bearbejdning med henblik på, at opnå et større kendskab til
en del af virkeligheden. I modsætning til de tre øvrige hovedelementer har det empiriske arbejde
ikke noget selvstændigt formål eller nogen selvstændig berettigelse i forhold til det problemorienterede
arbejde. Empirien adskiller sig grundlæggende fra de andre elementer, idet den ikke befinder
sig på et teoretisk plan. Resultatet af det empiriske arbejde er ikke interessant i sig selv. Først
når det bliver bearbejdet og sat i forhold til den viden og forståelse, der er skabt omkring det problem,
der er undersøgt gennem projektet, bliver det interessant.
Svar Svar/Konklusioner
Svar /Konklusioner
Det er gennem svar og konklusioner, at hovedlinjerne i projektet trækkes op, og hovedresultaterne
præsenteres.
Konklusionen skal afspejle den viden, der er opnået via projektarbejdet, samt de eventuelle begrænsninger
som resultaterne må være underlagt.
Når projektrapporten læses skal det i princippet kun være nødvendigt at læse problemformuleringen
og konklusionen. Via problemformuleringen præsenteres, og præciseres hvilket problem, projektet
har til formål at løse, og i konklusionen præsenteres den efterlyste viden.
Metoden Metoden Metoden frem frem til til problemformulering
problemformulering
Den anvendte metode i projektet er i hovedtræk bygget
op på samme måde, som den metodestruktur der er
præciseret ovenfor. Dette afsnit skal vise strukturen af
projektet frem til problemformuleringen med udgangspunkt
i projektets baggrund og initierende problem.
Strukturdiagrammet giver på illustrativ vis overblik
over relationen mellem de afsnit der er bearbejdet frem
til problemformuleringen.
Det initierende problem er en løs problemformulering,
der udspringer af projektgruppens interesse for at arbejde
med laserscanning. Herunder er det især den gren
af laserscanning, der har med sammenknytning af
punktskyer at gøre.
Foranalysen belyser det initierende problem gennem
forskellige analyser. Herigennem kommer projektgruppen
afslutningsvis frem til et problem inden for det emnefelt,
der udgøres af det initierende problem. Analyserne
går i dybden først og fremmest med principperne
bag sammenknytning og de forhold der har betydning
for kvaliteten af disse. Dernæst undersøges de forskelli-
Figur Figur 2: : Projektstruktur Projektstruktur frem frem til til problemformul
problemformule-
problemformul e
ring
ring
Side | 13

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
ge metoder der anvendes når der skal sammenknyttes. Formålet med disse analyser er, at frembringe
en viden, der gør projektgruppen i stand til at opstille en egentlig problemformulering, som
ønskes besvaret gennem resten af projektet.
Side | 14

3 Foranalyse
Foranalyse
Denne foranalyse skal fastlægge hvilke principper og metoder, der anvendes til sammenknytning af
laserscanningsdata. Dette gøres for at opbygge en baggrundsviden, og eventuelt finde problemer, så
der kan opstilles en problemformulering. I foranalysen beskrives, hvad der forstås ved en sammenknytning
og hvorfor en sådan udføres. Derudover beskrives kort hvilke forhold, der har indflydelse
på kvaliteten af sammenknytningen og der ses på hvordan sammenknytning udføres i praksis, i
programmet Cyclone. Afslutningsvis behandles den overordnede teori bag transformation og anblok.
3.1 Sammenknytning
Når der opmåles to punktskyer med laserscanner, er disse i hver deres koordinatsystem, hvor laserscanneren
definerer origo i systemerne. Teoretisk set kan disse to punktskyer, som er scannet
fra hver sin opstilling, godt være i det samme koordinatsystem, eksempelvis hvis laserscanneren
køres på nogle skinner, således at laserscanneren forskydes kontrolleret i x- og y-retning. Med dette
menes, at laserscanneren på den måde flyttes en bestemt afstand i x- og y-retning, men hvor orienteringen
af scanneren stadig er den samme. Herudfra er det muligt at overføre punktskyerne til det
samme koordinatsystem. Dette er et teoretisk eksempel, da disse flytninger er umulige at udføre i
praksis inden for den nøjagtighed som scanneren måler med. Det er derfor nødvendigt at knytte
punktskyerne sammen på en anden måde, for at få dem i det samme koordinatsystem. En anden
måde er ved at transformere dem sammen, ved hjælp af fællespunkter.
Ved en transformation mellem to punktskyer sker der en sammenknytning, hvor den ene punktsky
tilpasses den anden eller der sker en tilpasning af begge. Det vil sige, at på baggrund af nogle foruddefinerede
fællespunkter, kan den ene punktsky for eksempel enten flyttes, drejes eller skaleres.
Flytning og drejning kan ske i alle tre akseretninger. Udføres en skalering (målestoksændring),
øges eller formindskes målforholdet i punktskyen (datasættet). Disse ændringer af data, kan kombineres
på flere forskellige måder, en eller flere flytninger, sammen med en eller flere drejninger,
samt en skalering. Disse kombinationer giver forskellige egenskaber ved transformationerne. Da
der i landmåling oftest arbejdes med vinkelrette koordinatsystemer, er det mest interessante at se
på, de konforme (vinkelbevarende) transformationer.
Derfor ses på en kendt transformation, nemlig den såkaldte Helmert transformation, der er udviklet
af den tyske geodæt Friedrich Robert Helmert, der netop har den egenskab, at den er konform. En
Helmert transformation består af fire parametre, to flytninger, en drejning og en skalering, og benyttes
mellem to plane koordinatsystemer. Dette kaldes en 2D Helmert transformation. Der findes
også en udvidet udgave af Helmert transformationen. Denne består af syv parametre, tre flytninger,
tre drejninger og en skalering. Dette kaldes en 3D Helmert transformation [www2.imm.dtu.dk].
Idet laserscanningsdata består af 3D koordinater, vil der i dette projekt blive fokuseret på 3D Helmert,
da der så kan arbejdes med en konform transformation, der kan håndtere 3D koordinater.
Der arbejdes således med alle syv parametre. Det kan senere overvejes om nogle af disse parametre
kan sorteres fra.
Side | 15

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
For at kunne sammenknytte data, skal placeringen af fællespunkter tilrettelægges, hvad enten det
drejer sig om standardtargets eller objekter, der egner sig til brug som targets, således at de kan
scannes fra flere opstillinger. Kan fællespunkter ikke scannes fra alle opstillinger, må det sikres, at
der fra alle opstillinger, er udsyn til mindst tre fællespunkter med en god indbyrdes geometri, af
hensyn til sammenknytningen. På baggrund af disse targets, beregnes transformationsparametrene.
Når parametrene er beregnet, kan punktskyerne transformeres, så de er samlet i én punktsky.
Ønskes punktskyen refereret i et koordinatsystem defineret af fikspunkter, skal der foretages en
opmåling af de targets, der fungerer som fikspunkter.
Sammenknytning af punktskyer er nødvendig i de situationer, hvor en opmåling ikke kan klares
med en enkelt opstilling. Det kan for eksempel være scanning rundt om en bygning, hvor hele bygningen
scannes fra flere sider, eller situationer, hvor der er objekter, der skygger for laserstrålen.
Der findes således mange forskellige opmålingsopgaver, hvor det vil være nødvendigt at scanne fra
flere vinkler, og senere sammenknytte data. Disse punktskyer skal sammenknyttes for at der kan
arbejdes i en samlet punktsky.
3.2 Definitioner
Inden der arbejdes videre med sammenknytning er der nogle forskellige begreber, der skal defineres.
Disse begreber er vist i figuren nedenfor, som illustrerer to punktskyer, henholdsvis Model A og
B. Laserscannerens opstillinger i disse modeller, er på figuren vist med . Fra disse er der målt til
forskellige punkter.
Side | 16
Figur Figur 3: : Viser to punktskyer, som er henholdsvis Model A og B, B, hvo hvorfra hvo rfra der er målt til forskellige forskellige punkter
I forbindelse med sammenknytning tales der om fællespunkter, som er punkter der måles fra to
eller flere opstillinger. I Figur 3 er fællespunkter vist med . Yderligere tales der ved sammenknytning
også om fikspunkter, som er punkter, der kan knytte punktskyerne op på et overordnet
koordinatsystem. Dette overordnede koordinatsystem kan også være et af koordinatsystemerne fra
en af opstillingerne med laserscanneren. Disse punkter er i figuren vist med og kan være målt fra

Foranalyse
en eller flere opstillinger. Derudover tales der også om kontrolpunkter, som kan anvendes til kontrol
af eksempelvis sammenknytningens nøjagtighed. Kontrolpunkter, som i figuren er vist med ,
kan også være målt fra en eller flere opstillinger. Udover ovenstående punkter måles der også detailpunkter,
som kun måles op fra en opstilling.
For at opnå en god transformation mellem punktskyer er det dog påkrævet, at der er et vist overlap
mellem punktskyerne. Dette overlap skal indeholde mindst tre og helst flere fællespunkter med en
god indbyrdes geometri. Overlappet er afgrænset af laserscannerens rækkevidde. I dette projekt
defineres overlap, i forbindelse med laserscanning, ved en 2D betragtning, som det areal der udspændes
af fællespunkterne i XY-planet. I Figur 3 er overlappet defineret som .
3.3 Nøjagtighed af sammenknytningen
Som tidligere beskrevet er det ofte nødvendigt at sammenknytte data, når der arbejdes med laserscanning.
Det er i den forbindelse vigtigt at være opmærksom på, at der er flere forhold, der har
indflydelse på nøjagtigheden af sammenknytningen. Af vigtige forhold kan nævnes:
• Antal og placering af targets i overlappet mellem punktskyer
• Højdevariation af targets
• Målepræcision med laserscanner
• Nøjagtighed af targets
Disse punkter beskrives nedenfor.
3.3.1 Antal og placering af targets i overlappet ml. punktskyer
I forbindelse med sammenknytning af flere scanninger, er antallet af targets vigtig for opnåelse af
en god sammenknytning mellem de forskellige scan. Ved en god sammenknytning forstås, at der
kan opnås en størrelse på residualerne, der svarer til nøjagtigheden på observationerne, forudsat at
der med antallet af fællespunkter opnås et fornuftigt antal overbestemmelser. En 3D Helmert transformation
med målestoksændring mellem to scanninger kræver løsning af syv ubekendte, hvilket
gør det nødvendigt, at benytte minimum tre targets. Anvendes der kun tre targets, kan det dog ikke
kontrolleres om transformationen har været påvirket af grove fejl. Anvendelse af et ekstra target vil
dette give den overbestemmelse, der er nødvendig for at finde grove fejl.
Placering af targets i overlappet af de scan, der skal sammenknyttes, har ligeledes betydning for
den nøjagtighed, der kan opnås for detailpunkterne. Når transformationen indeholder rotation og
skala, som tilfældet er her, må fællespunkter ikke ligge isoleret i forhold til de øvrige fællespunkter.
Dette skyldes, at grove fejl i disse punkter vil skjules af netop disse transformationsparametre, se
Bilag B. Yderligere forklaring af dette, kan findes i Bilag B.
Det er muligt ved hjælp af fejlteori, at beregne detailpunkternes nøjagtighed, inden scanningen foretages.
Dette gøres ved test af forskellige konstellationer af targets. Den indbyrdes placering af
targets i forhold til hinanden, og i forhold til opstillingen kan ændre på den samlede nøjagtighed af
Side | 17

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
detailpunkterne. Det er kendt fra almindelig landmålingspraksis, at nøjagtigheden på de objekter
der ønskes indmålt bliver bedre når disse befinder sig inden for den polygon, der udspændes af
fikspunkterne, som samtidig skal have indbyrdes god geometri. Figur 4 er lavet i programmet TMK,
og illustrerer effekten af opmåling inden for og uden for den polygon, der er udspændt af fikspunkterne,
punkterne 1, 2, 3 og 4. Det kan ses i figuren, at punktet, der ligger inden for polygonen, har en
mindre konfidensellipse, end punktet, der ligger udenfor. Punktet indenfor er altså bedre bestemt,
end punktet udenfor. Grundet dette skal fikspunkterne ikke placeres for tæt på hinanden, men fordeles
jævnt så de omkranser det område, der ønskes opmålt.
Side | 18
Figur Figur 4: : Viser effekten af opmåling opmåling inden og uden for polygonen udspændt af fikspunkterne
fikspunkterne
Størrelsen af overlappet mellem punktskyerne, har også betydning for resultatet af sammenknytningen.
Da sammenknytningen bliver bedst, jo mere spredt fællespunkterne er i overlappet, er det
klart, at jo større overlap jo bedre mulighed for fordeling af dem.
3.3.2 Højdevariation af targets
Udover en god geometri i planen er det også vigtigt, at der er højdevariation i de anvendte targets,
så der også opnås en god højde bestemmelse ved transformationen.

Foranalyse
3.3.3 Målepræcision med laserscanner
Den præcision scanneren kan scanne targets med, påvirker også resultatet af sammenknytningen.
Jo større tilfældige fejl, der er på koordinaterne til de anvendte targets, jo større fejl bliver der på
resultatet af sammenknytningen. Laserens indfaldsvinkel, farven samt mængden af lys på targets
har derfor også indflydelse på den præcision targets kan indmåles med.
3.3.4 Nøjagtighed af targets
Det er blandt andet nøjagtigheden af de targets, der indgår som fikspunkter og deres indbyrdes
geometri, der er bestemmende for, hvor nøjagtigt opstillingspunktet bestemmes. I dag anvendes
laserscanneren hovedsageligt til tekniske målinger, af eksempelvis rørledninger, samt as-built kontrolmålinger,
der anvendes ved dokumentation. På baggrund heraf anvendes der kun fikspunkter,
som defineres i et lokalt koordinatsystem. Nøjagtigheden af fikspunkterne afhænger derfor kun af
overbestemmelser og målepræcisionen.
3.3.5 Opsamling
Der er således flere forhold, der har indflydelse på den nøjagtighed, der kan opnås ved sammenknytning
af flere scan:
• Antallet af fællespunkter i overlappet mellem punktskyer
• Indbyrdes placering af fælles- og fikspunkter i forhold til hinanden
• Højdevariation af targets
• Målepræcision med laserscanner
• Nøjagtigheden af targets
Det er nødvendigt at have så mange fællespunkter mellem punktskyerne, at sammenknytningen er
overbestemt, så grove fejl kan afsløres. Desuden skal fællespunkter og fikspunkter placeres, så der
er god geometri i opstillingen. Det vil sige, at fællespunkterne spredes så meget som muligt, så de
ikke står i en klump, og fikspunkterne placeres, så de omkranser de objekter der skal indmåles.
Størrelsen af overlappet har betydning for, hvor spredt fællespunkterne kan placeres. Overlappet
skal afpasses efter opgavens omfang og karakter. Det er vigtigt at både fælles- og fikspunkter er
varierede i højden, for at sikre god højdegeometri. Endeligt påvirker den nøjagtighed targets bliver
indmålt med, samtlige detailpunkter, så denne nøjagtighed skal opfylde kravene til opgaven. Målepræcisionen
har endvidere betydning for sammenknytningsresultatet.
3.4 Sammenknytning i Cyclone
Der findes forskelligt software til håndtering og behandling af laserscanningsdata. Projektgruppen
har tidligere arbejdet med programmet Cyclone 5.4 fra Leica. Det er dette program, samt laserscanneren
HDS 3000, projektgruppen har til rådighed på Aalborg Universitet. Derfor vil den følgende
beskrivelse tage udgangspunkt i dette system.
Side | 19

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Laserscanneren HDS 3000 styres gennem programmet Cyclone, som udover selve opmålingen giver
mulighed for at visualisere, navigere, måle og modellere i de indsamlede data. Inden scanningen
påbegyndes oprettes et ”Project”. Herunder defineres et ”ScanWorld”, som vil indeholde de indsamlede
data fra en scanning. Hvert enkelt ”ScanWorld” har sit eget koordinatsystem, med origo i midten
af selve scanneren, og x-aksen i scannerens udgangsretning. Ved hver scanning, tildeles targets
et selvvalgt punkt-ID. Targets der scannes fra flere opstillinger, tildeles i de følgende scanninger
samme punkt-ID som tidligere, hvilket er en manuel procedure. Disse targets anvendes ved en senere
sammenknytning af to eller flere punktskyer.
Herunder beskrives de to metoder, der anvendes til sammenknytning af punktskyer i Cyclone.
Punktskyer kan sammenknyttes med metoden ”Cloud Registration”, der alene foregår ved, at punkter
direkte fra scanningen i overlappet mellem to scanninger anvendes til at orientere punktskyerne
i forhold til hinanden. Derudover kan sammenknytningen foretages ved hjælp af veldefinerede
punkter, såsom targets og modellerede objekter, kaldet ”Registration”. Den sidste metode anses for
at være den mest anvendte.
3.4.1 Cloud registration metoden
Som nævnt tidligere kan punktskyer sammenknyttes uden brug af targets ved hjælp af ”Cloud Registration”.
Denne metode er en brugerdefineret sammenknytning mellem to ScanWorlds, hvor der
i overlappet mellem to punktskyer vælges tre eller flere punkter, der ligger på let genkendelige
objekter. Disse punkter benyttes til sammenknytning. Når disse sammenknytningspunkter er valgt,
foretages sammenknytningen på samme måde som ved sammenknytning med targets, men det er
uklart, hvad der præcist sker i programmet.
3.4.2 Registration metoden
Sammenknytning ved hjælp af veldefinerede punkter, udføres i Cyclone med funktionen ”Registration”,
som tillader at sammenknytte forskellige ScanWorlds til et koordinatsystem. Sammenknytningen
foretages på baggrund af de targets, eller modellerede objekter, der er fælles for de forskellige
ScanWorlds. Når fællespunkterne er identificeret, beregnes ifølge manualen til Cyclone et samlet
sæt optimale transformationsparametre for hver ScanWorld, således at de sammenknyttede
punktskyer er tilpasset så tæt på hinanden som muligt i det endelige ScanWorld [Leica, s. 40-53].
Efter en gennemført sammenknytning, fremkommer der en oversigt over resultatet af sammenknytningen.
I tilfælde af for store fejl, er der mulighed for, at foretage ændringer i sammenknytningen,
som for eksempel at slette eller reducere indflydelsen af de anvendte fællespunkter til sammenknytning.
En nedvægtning bør dog kun anvendes, hvis der er grund til at tro, at et eller flere
fællespunkter er dårligere målt end andre fællespunkter.
3.4.3 Opsamling
I Cyclone kan der sammenknyttes flere punktskyer. Skal dette gøres på én gang, kræver det dog, at
alle de punktskyer der ønskes sammenknyttet, har de samme fællespunkter. Da dette sjældent kan
lade sig gøre, knyttes oftest to punktskyer sammen af gangen. Dette betyder, at når der sammen-
Side | 20

Foranalyse
knyttes punktskyer i Cyclone, sammenknyttes først to punktskyer, og derefter knyttes en ny
punktsky på den samlede punktsky. På denne måde bliver der ikke taget hensyn til spændinger
mellem fællespunkterne, og sammensættes punktskyer omkring for eksempel et hus, kan der være
et stort gab mellem den første og den sidste punktsky [Pinholt, 2008, s. 45]. Det vil derfor være fornuftigt,
hvis der skete en samlet udjævning af fælles- og fikspunkter.
3.5 Overordnede teori bag transformation og
anblok
Som tidligere nævnt kan der forekomme mange situationer, hvor det er nødvendigt med to eller
flere scanninger, når der måles med laserscanner. Derfor er det også vigtigt, at den sammenknytning,
der foretages efterfølgende udføres bedst muligt. Foretages sammenknytningen ved hjælp af
en samlet udjævning af alle fællespunkter, undgås gab mellem punktskyerne, og derved opnås det
bedste resultat. Projektgruppen er blevet bekendt med, at dette kan gøres ved hjælp af metoden
kaldet anblok. Der er på denne baggrund basis for at udvikle et program, der kan sammenknytte
punktskyer ved hjælp af denne metode, til forskel fra Cyclone.
Dette afsnit skal derfor klarlægge begrebet anblok. Anblok er en metode, hvorved alle observationer
indgår i en samlet udjævning for at finde frem til transformationsparametre, der anvendes ved
sammenknytning af modeller. Ved laserscanning består observationer af koordinater. Anblok er
udviklet til at sammenknytte flere flybilleder, som kan anvendes til fotogrammetriske produkter.
Metoden anvendes til at sammenknytte modeller ved hjælp af sammenknytningspunkter/fællespunkter,
der forekommer i to eller flere modeller, samt paspunkter/fikspunkter, der
knytter alle modellerne til et overordnet koordinatsystem, se Figur 5.
Figur Figur 5: : : Anblok Anblok sammenknytter her otte otte otte modeller modeller ved ved hjælp hjælp af af sammenknytningspunkter sammenknytningspunkter og og paspunkter
[Brande, Brande, 1993, 1993, s. s. 106 106] 106
Anblok anvendes til at udføre transformationer, på flere modeller, samtidigt. Ideen med anblok er,
at flere modeller kan knyttes sammen i et koordinatsystem uden at de alle sammen indeholder de
samme fællespunkter. Fællespunkter skal stadig indeholdes i mindst to modeller. Dette gør, at anblok
med fordel kan anvendes til at sammenknytte flere punktskyer (modeller) fra laserscanning, i
situationer hvor alle fællespunkter ikke kan ses fra alle opstillinger. Anblok udføres for at beregne
et sæt transformationsparametre til hver model, således at de kan transformeres ind i et fælles system.
Derfor vil transformationer og anblok i det efterfølgende blive beskrevet, både skriftligt og
billedligt.
Side | 21

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Transformationerne i 2D forklares ved hjælp af tre modeller, som kan være punktskyer fra en laserscanning.
Model A
Side | 22
2 3
1
4
Model B
Model C
Figur Figur 6: : De tre modeller som anvendes til at forklare principperne bag bag transformation
transformation
3.5.1 Transformation
Når der i denne rapport omtales transformationer, tages der udgangspunkt i Helmert transformation.
Det vil sige, at der i en 2D transformation kan foretages en rotation omkring z-aksen (φ), en
skalering (k), som er gældende i både x- og y-retning, samt to translationer, en i x-retning (tx) og en
i y-retning (ty). Dette afsnit skal forklare, hvad der sker ved en 2D Helmert transformation.
Hvis Model B (X, Y) skal transformeres over i Model A (X’, Y’), bliver transformationsparametrene
beregnet ved hjælp af følgende transformationsligning:
⎡ X '⎤ ⎡cosϕ −sin
ϕ ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢ k
Y '
⎥ = ⎢ +
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
For at tydeliggøre hvordan transformationsparametrene har indflydelse på transformationen forklares
de herunder. Drejningen φ og flytningerne tx og ty, der foretages for at transformere Model
B over i Model A kan aflæses på Figur 8 herunder. Herudover kan der foretages en skalering k, som
ikke er illustreret på Figur 8.
1
2
4
3
2
1
3
4

Foranalyse
Figur Figur 7: : Viser Viser de de to to modeller modeller inden inden transformation transformation Figur Figur 8: : Viser Viser drejningen drejningen og og og de de to to flytninger flytninger fra fra Model Model B
B
(grøn) (grøn) til til Model Model Model A A (rød)
(rød)
Figur Figur 9: : : Viser Viser de de to to modeller modeller efter efter transformation
transformation
Transformationer kan ligeledes udføres i et tredimensionalt koordinatsystem, hvor der kan forekomme
drejninger omkring tre akser, disse drejninger er, ω omkring x-aksen, φ omkring y-aksen
og κ omkring z-aksen. Der er ligeledes tre translationer tx, ty og tz. Skaleringen k påvirker alle tre
akser. I projektet arbejdes der med 3D transformationer, hvor akserne er meddrejede, det vil sige
at når der drejes om 2. og 3. akse, drejes der om de allerede drejede akser. Transformationsligningerne,
der fremkommer når akserne drejer i følgende rækkefølge ω, φ, κ, er:
⎡X '⎤
⎡ cosϕ cosκ −cosϕ
sinκ sinϕ
⎤ ⎡ X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢
Y '
⎥
= k
⎢
sinω sinϕ cosκ + cosω sinκ − sinω sinϕ sinκ + cosω cosκ − sinω cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥
+
⎢
ty
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ Z ' ⎥⎦ ⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ cosω cosϕ
⎥⎦
⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ tz ⎥⎦
Side | 23

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
3.5.2 Anblok
Ved anblok transformeres flere modeller sammen, i et overordnet koordinatsystem, på én gang.
Ved 2D anblok anvendes transformationsparametre på samme måde som ved 2D transformation,
altså skal der beregnes værdier for φ, k, tx og ty, for hver model. Når anblok anvendes til at transformere
modeller sammen, udjævnes alle observationer således at alle observationer har indflydelse
på alle transformationer, også selvom der ikke nødvendigvis er en direkte sammenhæng mellem
observationerne.
I nedenstående figurer er vist, hvordan Model C transformeres over i det overordnede koordinatsystem,
som her er Model A. Til hver model (Model B og Model C) udregnes et sæt transformationsparametre,
som anvendes til at transformere modellerne ind i det overordnede koordinatsystem
(Model A).
Figur Figur 10 10: 10 : Viser Viser modellerne modellerne modellerne inden inden transformation transformation Figur Figur 11 11: 11 : Viser Viser drejningen drejningen og og flytningerne flytningerne fra fra Model Model C C (blå)
(blå)
til til Model Model A A (rød)
(rød)
Side | 24

Figur Figur 12 12: 12 : Viser Viser Viser de de de tre tre modeller modeller efter efter efter transformation
transformation
Foranalyse
Anblok kan udføres i et tredimensionelt koordinatsystem. Her gælder det, ligesom for 3D transformation,
at der tilføjes drejninger om x- og y-aksen sådan, at der fremkommer tre drejninger og at
der tilføjes en translation i z-aksens retning. Dermed indeholder 3D anblok en skalering k, tre drejninger
ω, φ og κ samt tre translationer tx, ty og tz, for hver model.
Efter at have afsluttet foranalysen er det i det følgende kapitel muligt at opstille en problemformulering.
Side | 25

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 26

4 Problemformulering
Problemformulering
Dette kapitel har til formål at præsentere projektets problemformulering, som har sit udspring i
foregående kapitel. Efterfølgende vil der i kapitlet være en problemafgrænsning.
Gennem kapitel 3 Foranalyse er projektgruppen blevet bekendt med, at den metode, der anvendes i
Cyclone ikke kan sammenknytte flere punktskyer på én gang uden at disse skal have samme fællespunkter.
Dette er dog sjældent tilfældet og punktskyerne skal derfor sammenknyttes parvist i programmet.
Yderligere er projektgruppen, gennem foranalysen, blevet bekendt med en metode, anblok,
som kan udføre en samlet udjævning af flere modeller på én gang, hvor der mellem modellerne
kan være forskellige fællespunkter.
Dette leder frem til problemformuleringen:
Problemformulering: Problemformulering: Hvordan omsættes teorien bag 2D anblok til 3D, så teorien kan anvendes
til sammenknytning af laserscannings-punktskyer?
Underspørgsmål: Underspørgsmål: Hvad er den grundlæggende teori bag 3D anblok?
Hvordan kan Testnet inddrages i forbindelse med anblok?
Hvor gode resultater kan forventes ved brug af anblok? (Testnet)
Hvordan stemmer resultaterne fra et praktisk forsøg overens med de
forventede resultater?
For at afgrænse problemområdet vil der i efterfølgende afsnit være en problemafgrænsning.
4.1 Problemafgrænsning
I problemformuleringen ønskes teorien bag 2D anblok anvendt til sammenknytning af punktskyer
(modeller). For at afgrænse projektet vælges det, at der vil blive set på tre modeller i forbindelse
med 3D anblok. Dette begrundes med, at anblok først bliver interessant når der sammenknyttes
flere end to modeller. Da teorien er den samme, hvorvidt der sammenknyttes tre eller flere modeller,
med den ændring at matricerne bliver større og mere omfattende jo flere modeller der inddrages,
vælges det, at der gennem projektet vil blive arbejdet med anblok med inddragelse af tre modeller.
Gennem kapitel 3 Foranalyse blev det konstateret, at 3D Helmert transformation er den mest hensigtsmæssige
transformationsform at arbejde med, når det drejer sig om laserscanningsdata. Det
kan dog diskuteres, hvorvidt alle syv parametre skal med i beregningerne eller om der blot skal
anvendes seks parametre, så skalaen er udeladt. I forbindelse med opmåling i tilknytning til projektet
vil det være det samme instrument, der scanner alle modellerne. Yderligere vil der kun blive
scannet over korte afstande, hvor den afstandsafhængige fejl ikke vil få indflydelse. På baggrund
heraf vil der ikke blive arbejdet med skalering i den resterende del af projektet.
Side | 27

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Det kan ligeledes diskuteres, hvorvidt drejningerne om x- og y-aksen skal med i beregningerne, da
disse drejninger må antages at være små, da laserscanneren stilles op ved hjælp af en dåselibelle.
Da dåselibellen har en nøjagtighed på 0,03 gon vil dette, med en vandret afstand på 100 meter,
kunne medføre en fejl i højden på op til 5 centimeter. På baggrund heraf kan det konstateres, at
selvom der stilles op ved hjælp af en dåselibelle med en god nøjagtighed, kan denne med lange afstande
til de punkter, der skal indmåles, give højdefejl på centimeterniveau, som vil få betydning
ved en sammenknytning. Ud fra denne antagelse af højdefejlen vælges det i den resterende del af
projektet at medtage alle drejningerne. Det kan her nævnes, at hvis der senere er ønske om at videreudvikle
anvendelse af anblok til også at omfatte terrestrisk laserscanning, hvor laserscanneren
ikke nødvendigvis er opstillet ved hjælp af dåselibelle eller ved en dårlig opstilling, er alle drejningerne
med, dog skal der overvejes hvordan der skaffes foreløbige værdier til drejningerne om x- og
y-akserne.
På baggrund heraf vil der i den resterende del af projektet blive arbejdet med 3D Helmert transformation
med seks parametre, hvilke er tre drejninger og tre flytninger.
Side | 28

5 Grundlæggende teori
Grundlæggende teori
Formålet med dette kapitel er at besvare de to underspørgsmål i problemformuleringen, som er
følgende:
• Hvad er den grundlæggende teori bag 3D anblok?
• Hvordan kan Testnet inddrages i forbindelse med anblok?
Gennem foranalysen blev det nævnt, at for at kunne kontrollere for grove fejl er det vigtigt at der er
overbestemmelser når en transformation skal udføres. Når der ved en transformation eller anblok
er overbestemmelser er det ikke muligt at løse transformationsligningerne direkte, men disse skal i
stedet løses ved hjælp af udjævning, som kræver at der opstilles en A-matrice og en b-vektor.
Besvarelsen af underspørgsmålene sker gennem to afsnit.
Det første afsnit vil behandle den bagvedliggende teori
bag 3D anblok med tre modeller. Gennem denne behandling
vil der blive set på opbygningen af de forskellige matricer/vektorer
til løsning af en samlet udjævning af tre
modeller. Derudover vil der også blive set på, hvordan Amatricen
kan udvides til også at omfatte andre punkter,
der ikke nødvendigvis er fællespunkter eller fikspunkter.
Figur Figur 13 13: 13 : Projektstruktur Projektstruktur i i Grundlæggende Grundlæggende teori
teori
For at have den grundlæggende teori på plads fra 2D transformation til 3D anblok er Appendiks A
udarbejdet, hvor teorien bag transformationer både 2D og 3D samt teorien bag 2D og 3D anblok
med både to og tre modeller præsenteres. Teorien i appendikset er baseret på Helmert transformation
og er beskrevet med alle parametre for at få den grundlæggende teori på plads, det vil sige at
der i 2D er fire transformationsparametre for og syv transformationsparametre for 3D. Yderligere
er der i appendikset, fortløbende med teorien, gennemgået forskellige eksempler for at klarlægge
teorien. Appendikset kan betragtes som en kogebog til beregning af anblok.
Det andet afsnit i dette kapitel vil indeholde en behandling af den generelle teori bag Testnet, for
derefter at være i stand til at anvende Testnet på 3D anblok med tre modeller. Efter denne behandling
vil det være muligt at sige noget om nøjagtighederne af de punkter der indgår i den beregnede
anblok. Derfor ses disse afsnit som en forudsætning for næste kapitel, hvor teorien bag anblok samt
Testnet vil blive anvendt i et praktisk forsøg. I den forbindelse vil de resterende underspørgsmål til
problemformuleringen blive besvaret.
Gennem besvarelsen af de to første underspørgsmål i problemformuleringen vil programmet MAT-
LAB blive anvendt som værktøj til afdækning af den bagvedliggende teori. Det udarbejdede program,
som afdækker teorien, vil blive præsenteret i slutningen af de to afsnit.
Side | 29

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
5.1 Teori bag 3D anblok med tre modeller
I dette afsnit vil teorien bag 3D anblok med tre modeller blive præsenteret. Strukturen på afsnittet
vil være først at klarlægge hvor mange parametre der skal med i anblok, for derefter at gennemgå
den grundlæggende teori bag 3D anblok med tre modeller. Efterfølgende vil der blive set på, hvordan
A-matricen i 3D anblok kan udvides til fordel for kontrolpunkter. Afslutningsvis vil det tilhørende
program til 3D anblok, udarbejdet i MATLAB af projektgruppen, blive præsenteret, hvor der
herunder vil blive set på, hvilke forudsætninger programmet bygger på.
Teorien til anblok, der er anvendt i dette afsnit, kan ses i Bilag C.
Inden teorien bag 3D anblok kan påbegyndes skal der beregnes nogle foreløbige værdier for de
ubekendte parametre. Da flytningerne i transformationsligningerne er lineære udtryk kan disse
løses med nul som foreløbig værdi. Derimod anvendes der i transformationsligningerne sinus og
cosinus på drejningerne. Disse udtryk er ulineære og skal derfor lineariseres ved hjælp af Taylors
rækkeudvikling. Da drejningerne stadig indgår i udtrykkene efter lineariseringen kræves der hertil
foreløbige værdier for at finde løsningen. Drejningerne om x- og y-aksen betragtes som små, da
laserscanneren stilles op efter en dåselibelle, der har en nøjagtighed på 0,03 gon. Derfor sættes disse
drejninger til nul som foreløbig værdi. Drejningen om z-aksen kan derimod ligge mellem 0 og
400 gon. Derfor er det vigtigt at have en foreløbig værdi for denne i nærheden af den rigtige værdi.
Denne findes ved hjælp af 2D anblok med anvendelse af den lineære metode, se Appendiks A, afsnit
6.2.1, da denne kan løses direkte uden foreløbige værdier. Denne metode indeholder drejningen om
z-aksen, to flytninger samt skaleringen. Da drejningen herfra skal betragtes som en foreløbig værdi
har det ingen betydning, at skaleringen er med i udregning i 2D anblok. Når 2D anblok med den
lineære metode anvendes til bestemmelse af drejningerne findes de foreløbige drejninger om zaksen
til alle modeller i én beregning. På baggrund heraf vil teorien bag 2D anblok med anvendelse
af den lineære metode, frem til bestemmelsen af drejningen om z-aksen, blive præsenteret nedenfor.
Inden anblok påbegyndes er det hensigtsmæssigt at reducere modellerne til deres respektive tyngdepunkter.
Principperne, der ligger bag dette, er beskrevet i Appendiks A, afsnit 2. Fikspunktsystemet
kan ligeledes reduceres til deres respektive tyngdepunkt.
5.1.1 Gennemgang af 2D anblok til fremskaffelse af foreløbige
værdier
Transformationsligningen for 2D anblok er vist nedenfor. I transformationsligningen repræsenterer
X’ og Y’ koordinaterne i det overordnede system. Ved løsning af anblok flyttes koordinaterne til
det overordnede system over på højre side af transformationsligningerne, for at de derved betragtes
som ubekendte. X og Y repræsenterer koordinaterne i de enkelte modeller. I det efterfølgende
udtryk er k∙cosφ udskiftet med a og k∙sinφ udskiftet med b.
Side | 30
⎡cosϕ −sin
ϕ⎤
⎡ X ⎤ ⎡tx⎤ ⎡ X '⎤
0 = k ⎢
sinϕ cosϕ ⎥ ⎢ + −
Y
⎥ ⎢
ty
⎥ ⎢
Y '
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1
2
⇕
L : 0 = aX − bY + tx − X '
L : 0 = bX + aY + ty − Y '
Grundlæggende teori
Ved 2D anblok opstilles A-matricen ved partielt at differentiere med hensyn til de ubekendte, som
her er a, b, tx, ty, X’ og Y’. Ved anblok er X’ og Y’ koordinater fra modellerne givet i det overordnede
koordinatsystem. Nedenfor er vist hvordan ovenstående transformationsligninger skal differentieres
med hensyn til de ubekendte.
a b tx ty X’ Y’
L1:
L2:
∂L1
∂ a
∂L2
∂a
∂L1
∂ b
∂L2
∂b
∂L1
∂tx
∂L2
∂tx
Inden præsentation af hele A-matricen er der nedenfor vist et uddrag af A-matricen for at lette forståelsen
af den efterfølgende A-matrice. Udsnittet viser, at punkt 1 er opmålt i Model A og er samtidig
et fikspunkt. I den efterfølgende A-matrice er der ét ”-1” i alle rækker, der vedrører modellerne,
og ét ”1” i alle rækker, der vedrører fikspunkterne. På baggrund heraf er de enkelte transformationsligninger
knyttet sammen ved hjælp af punkterne og derudfra kan der ske en samlet udjævning
af alle modellerne og fikspunkterne. Alle de tomme pladser i nedenstående uddrag og i den efterfølgende
A-matrice er 0.
Model A Model B Model B Punkt
Par. Par. Par. Pkt. 1 Pkt. n
a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 a3 b3 tx3 ty3 X’ Y’ X’ Y’
Pkt. 1 X -Y 1 0
-1
Y X 0 1
-1
Pkt. n X -Y 1 0
-1
Y X 0 1
-1
Model A
Fiks
pkt.
Pkt. 1
∂L
1
∂ty
∂L
2
∂ty
∂L1
∂X
'
∂L2
∂X
'
∂L1
∂Y
'
∂L2
∂Y
'
Tabel Tabel Tabel 1: : : Viser et uddrag af nedenstående A-matrice matrice
For at skabe overblik og gøre teorien nemmere at forstå kan udtrykket efter differentiationen med
fordel substitueres, som vist nedenfor.
Model Punkt
a b
X -Y
tx ty X’ Y’
1 0 -1
=
Model
ϵ
Punkt
-1
Y X 0 1 -1
Tabel Tabel 2: : Substitution for at reducere størrelsen af A-matricen matricen
Efter ovenstående substitution kan A-matricen opstilles, som vist nedenfor. Under hver model i Amatricen
bliver linierne, der substitueres med symbolet ϵ, gengivet det antal gange der er punkter i
1
1
Side | 31

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
den enkelte model. Under søjlen Punkt i nedenstående A-matrice er der angivet ét ”-1” ud for de
punkter der indgår i den enkelte model, dette er også vist i uddraget i Tabel 1. Dette gør sig ligeledes
gældende for fikspunkterne nederst i A-matricen under søjlen Punkt, dog er der her angivet et
”1”. Ønskes der en yderligere beskrivelse af A-matricens opbygning henvises der til Appendiks A,
afsnit 5, hvor der er vist et eksempel.
Side | 32
A =
Model A
Model B
Model C
Fikspkt.
Punkt
Punkt
Punkt
Punkt
Model A Model B Model C Punkt
Par. Par. Par. X’, Y’
ϵ
ϵ
-1
-1
ϵ -1
Tabel Tabel 3: : AA-matrice,
A
matrice, matrice, hvor hvor det det grå grå område område er er matricen, matricen, mens mens teksten teksten udenom
udenom
i i i kursiv kursiv kursiv er er er forklarende forklarende forklarende tekst tekst til til matrice matricens matrice s indhold
indhold
Efter opstillingen af A-matricen skal b-vektoren opstilles. Denne består dels af nuller svarende til
det samlede antal koordinatobservationer der er i modellerne og dels af de opmålte reducerede
koordinater til fikspunkter.
Trans.lign. Fikspkt. T
b = 0 … 0 … Xr' Zr' …
Ud fra A-matricen og b-vektoren er det muligt at finde en løsning efter mindste kvadraters princip. I
den forbindelse er der mulighed for at inddrage en vægtmatrice. Dette er dog fravalgt i projektet.
Løsningsvektoren vil have nedenstående struktur, hvor der under Koordinater er de udjævnede
reducerede koordinater i fikspunktsystem til punkterne som indgår i de enkelte modeller.
Model A Model B Model C Koordinater T
x = a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 a3 b3 tx3 ty3 … Xr’ Yr’ …
Efter at have fundet ovenstående løsning er det ud fra nedenstående udtryk muligt at beregne drejningerne
om z-aksen for de enkelte modeller.
⎛ b ⎞ 200
κ = arctan ⎜ ⎟ gon
⎝ a ⎠
π
1

Grundlæggende teori
Da drejningen beregnes ud fra tangens, som beregner vinkler i intervallet ± 100 gon, er det nødvendigt
med en fortegnsanalyse for at kunne beregne drejninger i intervallet ± 200 gon, da laserscanneren
kan dreje 400 gon. Denne fortegnsanalyse kan foretages i MATLAB ved hjælp af funktionen
”atan2”, som projektgruppen har valgt at anvende.
De beregnede drejninger om z-aksen anvendes som foreløbig værdi ved 3D anblok.
5.1.2 3D anblok
Efter at have fundet de foreløbige værdier vil teorien bag 3D anblok med tre modeller blive præsenteret.
Transformationsligningen for 3D anblok er vist nedenfor.
⎡ cosϕ cosκ −cosϕ
sinκ sinϕ ⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎡X '⎤
0 =
⎢
sinω sinϕ cosκ cosω sinκ sinω sinϕ sinκ cosω cosκ sinω cosϕ ⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥ ⎢
Y '
⎥
⎢
+ − + −
⎥
+ −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ cosω cosϕ ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ tz⎥⎦ ⎢⎣ Z ' ⎥⎦
Ovenstående udtryk er ganget ud i efterfølgende udtryk:
L : 0 = X cosϕ cosκ − Y cosϕ sin κ + Z sin ω + tx − X '
1
L : 0 = X (sin ω sinϕ cosκ + cosω sin κ ) − Y (sin ω sinϕ sin κ − cosω cos κ ) − Z sin ω cosϕ + ty − Y '
2
L : 0 = X ( − cosω sinϕ cosκ + sin ω sin κ ) + Y (cosω sinϕ sin κ + sin ω cos κ ) + Z cosω cosκ + tz − Z '
3
På tilsvarende vis, som 2D anblok ovenfor, opstilles A-matricen ved partielt at differentiere med
hensyn til de ubekendte, som her er de tre drejninger (ω, φ og κ), de tre flytninger (tx, ty og tz)
samt X’, Y’ og Z’. Ved anblok er X’, Y’ og Z’ koordinater fra modellerne givet i det overordnede koordinatsystem.
Nedenfor vises hvordan ovenstående transformationsligninger skal partiel differentieres
med hensyn til de ubekendte.
� � κ tx ty tz X’ Y’ Z’
L1:
L2:
L3:
∂L
∂L
1 1 1
∂ω
∂ ϕ
L ∂
∂ κ
∂L2
∂L2
∂ω
∂ϕ
∂L
3
∂ω
∂L
3
∂ϕ
2 L ∂
∂κ
L ∂
3
∂κ
∂L1
∂tx
∂L2
∂tx
∂L
3
∂tx
∂L
1
∂ty
∂L
2
∂ty
∂L
3
∂ty
1 L ∂
∂tz
2 L ∂
∂tz
L ∂
3
∂tz
∂L1
∂X
'
∂L2
∂X
'
∂L
3
∂L1
∂Y
'
∂L2
∂Y
'
∂L
3
∂L1
∂Z
'
∂L2
∂Z
'
∂L
∂X
' ∂Y
' ∂Z
'
3
Side | 33

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Nedenfor er transformationsligningerne partielt differentieret.
Øverste linie differentieret Midterste linie differentieret Nederste linie differentieret
∂L1
= ( α )
∂ω
∂L1
= 0
∂tz
∂L2
= ( γ )
∂ω
∂L2
= 0
∂tz
∂L3
= ( ν )
∂ω
∂L3
= 1
∂tz
∂L1
= ( β )
∂ϕ
∂L1
= −1
∂X
'
∂L2
= ( η )
∂ϕ
∂L2
= 0
∂X
'
∂L3
= ( ο )
∂ϕ
∂L3
= 0
∂X
'
∂L1
= ( χ )
∂κ
∂L1
= 0
∂Y
'
∂L2
= ( λ)
∂κ
∂L2
= −1
∂Y
'
∂L3
= ( θ )
∂κ
∂L3
= 0
∂Y
'
∂L1
= 1
∂tx
∂L1
= 0
∂Z
'
∂L2
= 0
∂tx
∂L2
= 0
∂Z
'
∂L3
= 0
∂tx
∂L3
= −1
∂Z
'
∂L1
= 0
∂ty
∂L2
= 1
∂ty
∂L3
= 0
∂ty
Tabel Tabel 4: : : Symbolerne Symbolerne i i parenteserne parenteserne er er henvisninger, henvisninger, der der anvendes anvendes i i forbindelse forbindelse med med opstilling opstilling af af A-matricen A
matricen
Som ved 2D anblok præsenteres først et uddrag af A-matricen, som er vist nedenfor, for derigennem
at lette forståelsen af den efterfølgende A-matrice. Udsnittet viser, at punkt 1 er opmålt i Model
A og er samtidig et fikspunkt. På tilsvarende vis som med A-matricen i 2D skal der i den efterfølgende
A-matrice være ét ”-1” i alle rækker, der vedrører modellerne, og ét ”1” i alle rækker, der
vedrører fikspunkterne. På baggrund heraf er de enkelte transformationsligninger knyttet sammen
ved hjælp af punkterne og derudfra kan der ske en samlet udjævning af alle modellerne og fikspunkterne.
Alle tomme pladser i uddraget nedenfor samt A-matricen er 0.
Model A Model B Model B Punkt
Par. Par. Par. Pkt. 1 Pkt. n
�1 �1 κ1 tx1 ty1 tz1 �2 �2 κ2 tx2 ty2 tz2 �3 �3 κ3 tx3 ty3 tz3 X’ Y’ Z’ X’ Y’ Z’
Model A
Fikspkt.
α β χ 1 0 0
Pkt. 1 γ η λ 0 1 0
ν o θ 0 0 1
α β χ 1 0 0
Pkt. n γ η λ 0 1 0
ν o θ 0 0 1
Pkt. 1
Side | 34
Tabel Tabel 5: : Viser Viser et uddrag af nedenstående A-matrice matrice
For at mindske størrelsen af A-matricen vil der i nedenstående A-matrice ske en substitution, som
er vist nedenfor.
Model Punkt
� � κ tx ty tz X’ Y’ Z’
Model Punkt
α
γ
β
η
χ
λ
1
0
0
1
0
0
-1
0
0 0
-1 0
=
ϵ -1
ν o θ 0 0 1 0 0 -1
Tabel Tabel 6: : Substitution Substitution for for at reducere størrelsen af AA-matricen
A
matricen
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
-1

Grundlæggende teori
Efter ovenstående substitution kan A-matricen opstilles, som vist nedenfor. Under hver model i Amatricen
bliver linierne, der substitueres med symbolet ϵ, gengivet det antal gange der er punkter i
den enkelte model. Under søjlen Punkt i nedenstående A-matrice er der angivet ét ”-1” ud for de
punkter, der indgår i den enkelte model, dette er også vist i uddraget i Tabel 5. Dette gør sig ligeledes
gældende for fikspunkterne nederst i A-matricen under søjlen Punkt, dog er der her angivet et
”1”. Ønskes der en yderligere beskrivelse af A-matricens opbygning henvises der til Appendiks A,
afsnit 6, hvor A-matricen er vist for et eksempel.
Model A Model B Model C Punkt
Par. Par. Par. X’, Y’, Z’
A =
Model A
Model B
Model C
Fikspkt.
Punkt
Punkt
Punkt
Punkt
ϵ
ϵ
-1
-1
ϵ -1
Tabel Tabel 7: : : AA-matrice,
A
matrice, matrice, hvor hvor det grå område er matricen, mens teksten udenom
udenom
i i kursiv kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst til til matrice matricens matrice s indhold
indhold
Da A-matricens indhold er lineariserede udtryk, i form af partiel differentiation, hvor de ubekendte
stadig indgår, skal løsningen findes ved en iterativ proces med foreløbige værdier. På baggrund
heraf indeholder b-vektoren differencen mellem 0. ordens afledede af transformationsligningen,
med indsættelse af de foreløbige værdier, og blineær. Indholdet af b-vektoren samt indholdet af blineær
er vist nedenfor, hvor Xr’, Yr’ og Zr’ er de reducerede opmålte koordinater til fikspunkterne. Denne
b-vektor kaldes i andre matematiske sammenhænge også OMC (Observed Minus Computed).
[ b ] [ 0. ordens afledede]
b = −
lineær
Trans.lign. Fikspkt.
T
blineær = 0 … 0 … Xr’ Yr’ Zr’ …
Gennem den iterative proces beregnes en tilvækst til de foreløbige værdier til løsningsvektoren.
Disse beregnes efter mindste kvadraters princip som vist nedenfor.
( ) 1 −
T T
xˆ =
A A A b
1
Side | 35

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Dernæst lægges denne tilvækst til de foreløbige værdier, xi, hvorefter de nye foreløbige værdier til
næste iteration er fundet, xi+1.
x ˆ
i+ 1 xi x = +
Iterationen fortsætter indtil differencerne mellem de på hinanden følgende foreløbige værdier er
små.
Løsningsvektoren har følgende struktur, hvor Xr’, Yr’ og Zr’ er de udjævnede reducerede koordinater
til punkterne, som indgår i modellerne, i det overordnede system.
Model A Model B Model C Koordinater T
x = �1 �1 κ1 tx1 ty1 tz1 �2 �2 κ2 tx2 ty2 tz2 �3 �3 κ3 tx3 ty3 tz3 … Xr’ Yr’ Zr’ …
Da både modellerne og fikspunktsystemet er reduceret til deres respektive tyngdepunkter skal
flytningerne korrigeres for disse forskydninger. De beregnede flytninger benævnes Tx, Ty og Tz og
beregnes ud fra nedenstående udtryk. I udtrykket indgår tyngdepunktet for modellen, som Model_Xm,
Model_Ym og Model_Zm, tyngdepunktet for fikspunktsystemet, som Fiks_Xm, Fiks_Ym og
Fiks_Zm samt rotationsmatricen, R, med indsættelse af drejningerne, der hører til modellen som
flytningerne beregnes for.
Side | 36
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡Model _ Xm⎤ ⎡Fiks _ Xm⎤
⎢
Ty
⎥ ⎢
ty
⎥
R
⎢
Model _ Ym
⎥ ⎢
Fiks _ Ym
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎢⎣ Tz⎥⎦ ⎢⎣ tz⎥⎦ ⎢⎣ Model _ Zm⎥⎦ ⎢⎣ Fiks _ Zm ⎥⎦
Til vurdering af transformationen beregnes residualer (r) og spredningen på vægtenheden (σ0).
Formlerne til disse er vist nedenfor:
r = Axˆ − b
Hvor: m er antallet af observationer
n er antallet af ubekendte
ˆ σ =
0
T
r r
m − n
Størrelsen på residualerne svarer til nøjagtigheden af observationerne, forudsat at der er et fornuftigt
antal overbestemmelser, mens spredningen på vægtenheden er et udtryk for nøjagtigheden af
observationerne under hensyntagen til antal af overbestemmelser.
A-matricen i anblok giver mulighed for at inddrage et eller flere punkter i modellerne, uden at
punkterne nødvendigvis er fælles- eller fikspunkt. Et sådan punkt kan anvendes til kontrol af sammenknytningen.
Det smarte ved at inddrage et kontrolpunkt direkte i A-matricen er, at der gennem
løsning af anblok direkte beregnes en spredning for kontrolpunktet uden yderligere efterbehandling.
Nedenfor er vist hvordan kontrolpunkter kan inddrages i A-matricen. Det skal hertil understreges,
at eksemplet nedenfor udelukkende er et tænkt eksempel for at vise principperne for inddragelse
af kontrolpunkter, da der ved 3D anblok som minimum kræves tre fællespunkter i hver
model samt minimum tre fikspunkter i alt.

A =
Model A
Model B
Model C
Fikspkt.
Pkt. 1 ϵ
Pkt. 2 ϵ
Pkt. 4 ϵ
Pkt. 1
Pkt. 3
Pkt. 5
Pkt. 2
Pkt. 3
Pkt. 6
Pkt. 1
Pkt. 2
Grundlæggende teori
Model A Model B Model C Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
Tabel Tabel 8: : : AA-matrice,
A
matrice, matrice, hvor hvor det grå område er matricen, mens teksten udenom
udenom
i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende forklarende tekst tekst til til matrice matricens matrice s indhold
indhold
Af ovenstående A-matrice fremgår det, at
• Model A og B har punkt 1 som fællespunkt,
• Model B og C har punkt 3 som fællespunkt, mens
• Model A og C har punkt 2 som fællespunkt
I A-matricen er der en rød firkant omkring fællespunkterne. Punkterne 1 og 2 er fikspunkter, som i
A-matricen er omkranset af en blå firkant.
Af matricen fremgår det yderligere, at
• Punkt 4 er kontrolpunkt i Model A
• Punkt 5 er kontrolpunkt i Model B
• Punkt 6 er kontrolpunkt i Model C
Disse kontrolpunkter er hverken fællespunkter eller fikspunkter. Den grønne firkant i A-matricen
viser, hvor kontrolpunkterne hører til.
5.1.3 Det udarbejdede program
Til løsning af 3D anblok er der udarbejdet et script i MATLAB ved navn D3_anblok_samlet.m. Filen
er på Bilags-CD’en i mappen Appendiks C. Dette script indeholder blandt andet 2D anblok til løsning
af de foreløbige værdier samt 3D anblok. I begyndelsen af scriptet hentes modellerne og fikspunkterne
ind fra txt-filer. Det er derfor vigtigt, at modellerne gemmes i samme mappe som scriptet
og at de får følgende titler:
- Model A skal gemmes som modelA.txt
- Model B gemmes som modelB.txt
- Model C gemmes som modelC.txt
- Fikspunkterne gemmes som fiks.txt
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
Side | 37

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Indholdet af ovenstående txt-filer skal være: punktnumre i første søjle, x-koordinater i anden søjle,
y-koordinater i tredje søjle og z-koordinater i fjerde søjle. De enkelte søjler skal adskilles med mellemrum.
Punktnummereringen af de punkter som indgår i anblok scriptet skal være fortløbende og begynde
med punkt 1. Punkterne i de enkelte txt-filer behøver ikke være i nummerorden.
I 2D anblok delen i scriptet er der foretaget en fortegnsanalyse ved beregningen af drejningerne om
z-aksen for derved at kunne beregne de drejninger der måtte være større/mindre end ± 100 gon.
I forbindelse med udarbejdelsen af Appendiks A, afsnit 3, blev der foretaget en undersøgelse af,
hvorvidt der opnås de samme resultater med almindelig partiel differentiation og numerisk approksimation
af de partielt afledede. Med udgangspunkt i resultaterne fra de to transformationer
med anvendelse af henholdsvis de partielt differentierede og de numerisk approksimerede værdier
kan det konkluderes at der opnås de samme resultater. På baggrund heraf er det valgt at anvende
scriptet numafl.m udarbejdet af Peter Cederholm [www.land.aau.dk]. Scriptet anvendes i forbindelse
med opstilling af A-matricen.
Løsningsvektoren for 3D anblok har følgende struktur, som minder meget om den, gennemgået
tidligere i afsnittet, hvor de reducerede koordinater i fikspunktsystemet sidst i vektoren er delt op,
så alle x-koordinaterne til punkterne kommer først, hvorefter y-koordinaterne og til sidst zkoordinaterne.
Model A Model B Model C Koordinater
T
x = �1 �1 κ1 tx1 ty1 tz1 �2 �2 κ2 tx2 ty2 tz2 �3 �3 κ3 tx3 ty3 tz3 Xr’1 … Xr’n Yr’1 … Yr’n Zr’1 … Zr’n
Strukturen på residual-vektoren er ligeledes delt op, så residualerne for x-koordinaterne kommer
først, herefter residualerne for y-koordinaterne og til sidst residualerne for z-koordinaterne for
hver enkelt model. Strukturen er vist nedenfor.
Model A Model B Model C Fikspunkter
T
r = rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn
Udover residualerne er variansfaktoren også beregnet i programmet.
Der bliver efter gennemløb af scriptet genereret nogle output-filer, i form af txt-filer, som indeholder
transformationsparametre til de enkelte modeller, hvor flytningerne er de beregnede flytninger.
Filerne er følgende:
- Transformationsparametre til Model A er gemt som trans_modelA.txt
- Transformationsparametre til Model B er gemt som trans_modelB.txt
- Transformationsparametre til Model C er gemt som trans_modelC.txt
Strukturen på ovenstående filer er følgende, hvis txt-filerne åbnes i TextPad:
Side | 38
[ ω ϕ κ
]
trans _ modelA =
Tx Ty Tz
T

Grundlæggende teori
Yderligere genereres en output-fil, ligeledes i form af en txt-fil, med de udjævnede (ikke reducerede)
koordinater til alle punkterne i fikspunktsystem. Denne fil gemmes som koor_udj3D.txt og har
følgende struktur, hvis txt-filerne åbnes i TextPad:
⎡1 X1 Y1 Z1
⎤
koor _ udj3D =
⎢ ⎥
⎢
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⎥
⎢⎣ n X n Yn Z ⎥ n ⎦
På baggrund af ovenstående, er kravene til input-filerne derfor følgende:
- Der skal indmåles tre modeller med laserscanner og fikspunkter indmålt i et overordnet
koordinatsystem eventuelt med totalstation.
- Modellerne og fikspunkterne skal gemmes i her sin txt-fil og indeholde punktnummer, x-, y-
og z-koordinater
- Punkterne der indgår i beregningen skal være fortløbende nummereret og starte med
nummer 1
Efter at have klarlagt teorien bag 3D anblok med tre modeller er det i næste afsnit muligt at inddrage
teorien bag Testnet. Gennem behandlingen af Testnet udvides programmet til også at indbefatte
dette.
5.2 Testnet
I dette afsnit vil teorien bag Testnet blive præsenteret. Strukturen på afsnittet vil være, først at klarlægge
den grundlæggende teori bag Testnet, for derefter at kunne overføre denne teori på 3D anblok
med tre modeller. Endvidere vil der være en beskrivelse af, hvordan nøjagtighedsparametre,
beregnet i Testnet, kan visualiseres grafisk ved hjælp af konfidensellipser samt, hvordan disse illustrationer
skal forstås. Afslutningsvis vil en udvidelse til det tilhørende program, som tidligere er
beskrevet under afsnit 5.1 Teori bag 3D anblok med tre modeller, blive præsenteret, hvor der herunder
vil blive set på, hvordan Testnet inddrages i programmet.
For at optimere tidsforbruget samt reducere de økonomiske udgifter i forbindelse med landmålings
relaterede opgaver er det hensigtsmæssigt at der, forud for markarbejdet, planlægges hvordan opstilling,
fikspunkter (og kontrolpunkter) skal placeres/opbygges, for at sikre, at opmålingen overholder
de nøjagtighedskrav der stilles til den. Til denne overordnede planlægningsproces kan der
med fordel anvendes det såkaldte Testnet, som er baseret på mindste kvadraters udjævning [Jensen,
2005, s. 135]. Testnet giver mulighed for, at undersøge nøjagtigheden af de ubekendte. I beregningen
kan tages højde for forskellige instrumenter, måleprocedurer samt måling fra forskellige
opstillinger. Der er mulighed for at ændre på disse forhold indtil observationerne opfylder de nøjagtighedskrav
der stilles hertil.
Side | 39

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
5.2.1 Teori
Den teori der ligger til grund for Testnet er grundlæggende den samme teori, der anvendes til at
vurdere nøjagtigheden af ubekendte a posteriori. Der er tale om kovariansmatricen for elementerne:
Side | 40
∑
xˆ
= ˆ σ ( A CA)
2
0
T −1
Før kovariansmatricen kan anvendes i Testnet kræves der små ændringer heraf, idet a posteriori
variansfaktor (det første element i formlen) ikke kendes før der er foretaget en opmåling. Derfor
benyttes i stedet herfor a priori variansfaktor, der normalt fastsættes til at antage værdien 1. Formlen
ændres til:
∑
x
∑
x
= σ ( A CA)
2 T −1
0
⇕
T
( A CA) −
=
For at kunne forstå teorien bag Testnet er det vigtigt at have en forståelse for de to elementer kovariansmatricen
består af. Den nøjagtighed, der kan beregnes ved hjælp af kovariansmatricen, afhænger
af to ting:
1. Målenøjagtigheden som er udtryk for observationernes præcision, der blandt andet afhænger
af nøjagtighedsspecifikationerne for de anvendte instrumenter samt antallet af overbestemmelser
2. Geometrien i udjævningen, det vil sige den geometri, der anvendes i forbindelse med udjævning
Forudsætningerne for at beregne Testnet for en målesituation er kun, at opstille henholdsvis designmatricen
(A) og vægtmatricen (C).
5.2.2 Variansfaktor kontra vægtmatrice
Dette afsnit skal vise hvad der sker ved at bruge variansfaktoren til at skalere kovariansmatricen,
frem for at opstille vægtmatricen. Dette gøres for at forklare hvorfor, variansfaktoren anvendes i
beregningerne af konfidensellipser og 3D-spredninger, frem for at anvende en vægtmatrice. Dette
gøres ved hjælp af regneeksempler, der viser resultaterne ved de to forskellige metoder.
Der er lavet to beregninger. En hvor der er opstillet en vægtmatrice (C), der er anvendt i beregningen
af kovariansmatricen, og en hvor kovariansmatricen er beregnet uden en vægtmatrice, men
ganget med en variansfaktor. Beregningerne er foretaget på en basisopbygning, hvor der ikke er
nogen overbestemmelser. De anvendte input-filer, samt output-filer til denne beregning, kan ses på
Bilags-CD’en, Appendiks D, i mappen Basisopbygning:
1

Figur Figur 14 14: 14 : Basisopbygning uden overbestemmelser
Grundlæggende teori
I Figur 14 vises basisopbygningen og modellernes sammenhæng. Indeks K angiver kontrolpunkter,
indeks F angiver fikspunkter. Disse benævnelser går igen i de efterfølgende afsnit. Punkter uden
indeks er fællespunkter. Modellerne indeholder således følgende punkter:
- Model A
o 1K, 4F, 7, 9
- Model B
o 2K, 5F, 7, 8
- Model C
o 3K, 6F, 8, 9
Ved laserscanning kan targets bestemmes med en nøjagtighed på to millimeter [www.leicageosystems.com].
Hvert element i diagonalen i vægtmatricen indeholder derfor værdien: 1/0,002 2.
Alle observationer vægtes således ens.
Som værdi for variansfaktoren, anvendes ligeledes den nøjagtighed, laserscanneren kan måle targets
ind med, da dette er den nøjagtighed, der forventes at kunne måles med. Variansfaktoren bli-
Side | 41

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
ver derfor: 0,002 2. Når koordinaterne fra basisopbygningen køres igennem programmet henholdsvis
med og uden vægt, fås følgende resultater:
Med vægtmatrice Med variansfaktor
3D-spred Halve storakse (meter) 3D-spred Halve storakse (meter)
Pkt. nr. (meter) XY-plan XZ-plan YZ-plan (meter) XY-plan XZ-plan YZ-plan
1 0,020 0,027 0,028 0,027 0,020 0,027 0,028 0,027
2 0,022 0,030 0,031 0,033 0,022 0,030 0,031 0,033
3 0,031 0,050 0,027 0,049 0,031 0,050 0,027 0,049
4 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002
5 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002
6 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002
7 0,044 0,061 0,063 0,062 0,044 0,061 0,063 0,062
8 0,006 0,007 0,007 0,008 0,006 0,007 0,007 0,008
9 0,051 0,030 0,087 0,086 0,051 0,030 0,087 0,086
Side | 42
Tabel Tabel 9: Resultaterne Resultaterne af af anblok anblok med med henholdsvis henholdsvis vægtmatrice vægtmatrice eller eller variansfaktor
variansfaktor
Det ses i Tabel 9, at der opnås ens resultater, uanset om der anvendes en vægtmatrice, eller om
kovariansmatricen skaleres med en variansfaktor. Forudsætningen for at ovenstående går godt, og
at der opnås ens resultater er, at alle observationer tildeles samme vægt. Dette er ikke helt realistisk,
da fikspunkter kan bestemmes med en højere nøjagtighed, end den nøjagtighed, der kan opnås
med laserscanneren. Det kan derfor diskuteres, om metoden reelt er anvendelig. Projektgruppen
er af den opfattelse, at for at bevare den store grad af automatisering, der er i programmet, er
det nødvendigt at opstille vægtmatricen automatisk. På grund af tidsmangel er det ikke muligt på
nuværende tidspunkt, at ændre programmet, så det automatisk kan skelne mellem fikspunkter og
øvrige observationer. Derfor vælges det at arbejde med den metode, hvor den foreløbige variansfaktor
anvendes til at skalere kovariansmatricen.
Det er nu interessant at anvende den beskrevne teori i relation til anblok, for derved at undersøge
hvordan observationernes nøjagtighed ændrer sig, i takt med en ændring af de to vigtige punkter,
nævnt ovenfor. Derfor vil det følgende beskrive fremgangsmåden for anvendelsen af de teoretiske
principper bag Testnet i projektet.
5.2.3 Anvendelse
A-matricen er opstillet med udgangspunkt i antallet af observationer og ubekendte for de tre modeller.
Denne er allerede opstillet i forbindelse med udarbejdelsen af 3D anblok, og kan derfor direkte
genanvendes.
For at mindske størrelsen af kovariansmatricen substitueres de dele af denne, hvor varianserne og
kovarianserne for de enkelte modeller er i, med et symbol. Denne substitution er vist nedenfor.

Model A
�
�
Model A
� � κ tx ty tz
2
σ σ ω ωϕ ωκ
σ ϕω
κ σ σ κω xκϕ
σ σ σ tx ωty
σ tz
2
σ ϕ ϕκ
ω
ω
σ σ tx σ ty σ tz
2
κ
tx σ σ txω txϕ σ txκ
ty
ϕ
ϕ
ϕ
σ σ σ =
tx κty
σ tz
κ
κ
2
σ σ tx txty σ txtz
2
σ tyω σ tyϕ σ tyκ σ tytx σ ty σ tytz
tz σ σ tzω tzϕ σ tzκ σ σ tztx tzty
2
σ tz
Model A
Model A
Tabel Tabel 10 10: 10 : Den valgte præsentation af indholdet af Model A i kovariansmatricen
τ
Grundlæggende teori
Tabel 10 viser strukturen for en kovariansmatrice, hvor ovennævnte substitution er foretaget. I
kovariansmatricen fremgår varianserne for transformationsparametrene og punkterne, der indgår
i beregningen af anblok, af diagonalen. Relationen herimellem, som også benævnes korrelation, har
en placering over og under diagonalen. I kovariansmatricen i Tabel 11 er nogle pladser vist som
tomme, på disse pladser er der, som den øvrige del af matricen uden for diagonalen, kovarianser.
Pkt.1 Pkt. 2
Pkt. n
Model A Model B Model C
…
X Y Z X Y Z X Y Z
Σx =
Pkt. 1
Pkt. 2
…
Pkt. n
Model A
Model B
Model C
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
τ
τ
τ
2
σ X σ YX σ ZX σ XX σ YX σ ZX ⋯ σ XX σ YX σ ZX
σ XY
σ XZ σ YZ
2
σ Y σ ZY σ XY σ YY σ ZY ⋯ σ XY σ YY σ ZY
σ XX σ YX σ ZX
σ XY σ YY σ ZY σ XY
2
σ Z σ XZ σ YZ σ ZZ ⋯ σ XZ σ YZ σ ZZ
σ XZ σ YZ σ ZZ σ XZ σ YZ
2
σ X σ YX σ ZX ⋯ σ XX σ YX σ ZX
2
σ Y σ ZY ⋯ σ XY σ YY σ ZY
2
σ Z ⋯ σ XZ σ YZ σ ZZ
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮
σ XX σ YX σ ZX σ XX σ YX σ ZX ⋯
σ XY σ YY σ ZY σ XY σ YY σ ZY ⋯ σ XY
2
σ X σ YX σ ZX
σ XZ σ YZ σ ZZ σ XZ σ YZ σ ZZ ⋯ σ XZ σ YZ
Tabel Tabel 11 11: 11 : Viser Viser strukt strukturen strukt
uren og elementerne elementerne i kovariansmatricen
kovariansmatricen
2
σ Y σ ZY
2
σ Z
Side | 43

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Generelt anvendes spredninger i x, y og z til at vurdere et punkts nøjagtighed. Det kan dog være
svært, at forholde sig til de, ofte store mængder, tal, som fremkommer af kovariansmatricen. Der
kan imidlertid beregnes konfidensellipser ud fra elementerne i kovariansmatricen, hvilket giver en
grafisk opfattelse af et punkts nøjagtighed. I det efterfølgende afsnit vil det udelukkende være det
nederste højre kvadrat, som vedrører punkterne, i Tabel 11 som bliver behandlet.
5.2.4 Konfidensellipser
Ved hjælp af varianser og kovarianser, kan informationer som maksimum og minimum spredninger
samt den tilhørende orientering (θ) beregnes. Maksimum og minimum spredninger henviser til de
drejede semiakser nemlig halve storakse (X*) og halve lilleakse (Y*) se Figur 15. Den halve storakse
definerer retningen, hvor usikkerheden er størst og det modsatte gør sig gældende for den halve
lilleakse. [Wolf, 1997, s. 359] Orienteringen af ellipserne, der bestemmes af θ afhænger af, om der
er korrelation mellem punkternes koordinater. Er dette ikke tilfældet vil konfidensellipsens akser
være sammenfaldende med det koordinatsystem som punkterne er opmålt i, og dermed er der ingen
rotation af ellipserne, se Figur 16.
Figur Figur 15 15: 15 15:
: En En standardkonfidensellipse standardkonfidensellipse med med de de roterede roterede semiakser
semiakser
Konfidensellipser anvendes normalt til at vise præcisionsforholdene i to dimensioner, hvor der
også er mulighed for, at illustrere en kombination mellem X-, Y- og Z-planer. Der er desuden mulighed
for, at udarbejde konfidensellipser i tre dimensioner, hvilket kaldes konfidensellipsoider. I dette
projekt er det valgt, at visualisere konfidensellipser i to dimensioner for både x-, y- og zkoordinater.
Det vil sige, at der beregnes konfidensellipser for koordinaterne i XY-plan, XZ-plan
samt YZ-plan.
Ellipsen er et udtryk for, at det sande punkt med 39 % sandsynlighed vil befinde sig inden for ellipsen.
[Cederholm, 2000, s. 49-55] De konfidensellipser, der beregnes for punkterne i dette projekt
har en konfidensgrad på 39 %.
Side | 44
Figur Figur 16 16: 16 : Dimensionerne Dimensionerne af af en en konfidensellipse konfidensellipse konfidensellipse når
når
observationerne observationerne er er ukorrelerede
ukorrelerede

Grundlæggende teori
5.2.5 Det udarbejdede program
Til løsning af Testnet er der udarbejdet en udvidelse af det tidligere omtalte program, som er beskrevet
i afsnit 5.1 Teori bag 3D anblok med tre modeller.
I forbindelse med Testnet er det de forventede koordinater til fiks- og fællespunkternes placering i
de enkelte modeller, som skal ind som input i programmet. Disse txt-filer skal have samme form
som de input-filer, der er beskrevet i afsnit 5.1.3 Det udarbejdede program.
Programmet udtrækker varianser og kovarianser for de pågældende punkters 3D koordinater til
udtegning af konfidensellipserne. Til at beregne parametrene til konfidensellipserne anvendes et
script konf2.m udarbejdet af Peter Cederholm [www.land.aau.dk]. Derefter plottes konfidensellipser
for både XY-, XZ- og YZ-plan. Til at plotte konfidensellipserne anvendes scriptet konf2plt.m som
ligeledes er udarbejdet af Peter Cederholm [www.land.aau.dk]. For at opnå en god visuel fremstilling
af konfidensellipserne skaleres disse med en værdi således, at de præsenteres med en fornuftig
størrelse.
Der beregnes desuden en 3D-punktspredning for samtlige punkter i det overordnede system.
Punktspredningen der anvendes i projektet beregnes efter formlen:
σ
p
=
σ + σ + σ
2 2 2
x y z
I anblok-delen af det udviklede program, er variansfaktoren beregnet, da denne anvendes til vurdering
af transformationen. I forbindelse med beregningen af Testnet skal denne beregnede variansfaktor
ikke anvendes, da Testnet anvender en fast værdi for variansfaktoren, som jævnfør afsnit
5.2.3 Anvendelse er sat til 0,002 meter. Denne faste værdi for variansfaktoren aktiveres i linie 512 i
programmet. Når variansfaktoren skal anvendes til at vurdere transformationen skal linie 512
deaktiveres igen.
3D-punktspredningerne samt variansfaktoren udskrives i en output-fil, der hedder 3D_spred.txt.
Programmet er hermed udvidet, så det nu indeholder både anblok og Testnet. Programmet er udviklet
således at alle funktioner gennemløbes automatisk. Det vil sige, at forudsat at alle input-filer,
overholder de foreskrevne krav, fås følgende output-filer:
- trans_modelA.txt
- trans_modelB.txt
- trans_modelC.txt
- koor_udj3D.txt
- 3D_spred.txt
Efter at have klarlagt teorien bag Testnet og inddraget 3D anblok med tre modeller i denne, er det
muligt at anvende dette på det praktiske problem, som vil blive beskrevet i næste kapitel.
3
Side | 45

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 46

Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
6 Forsøg med anvendelse af anblok
og Testnet
Formålet med dette kapitel er at besvare de to underspørgsmål i problemformuleringen, som er
følgende:
• Hvor gode resultater kan forventes ved brug af anblok?
• Hvordan stemmer de faktiske resultater overens med de forventede?
Gennem ovenstående to afsnit er den grundlæggende teori bag 3D anblok med tre modeller samt
inddragelsen af Testnet beskrevet. Denne teori anvendes til at kontrollere konklusionerne fra foranalysen.
Der udføres en række teoretiske forsøg, hvor det udarbejdede program, anvendes til at
vise sammenhængen mellem nøjagtigheden af transformationen og geometrien og antallet af fiks-
og fællespunkter. Efter at have teorien på plads er det muligt at overføre denne på et praktisk forsøg
for derigennem at kunne svare på ovenstående spørgsmål. Det praktiske forsøg vil primært
bestå af indsamling af tre laserscannings-punktskyer (modeller). Det er valgt, at disse modeller skal
indsamles i Fibigerstræde 10, rum 7. Rummet har ca. følgende dimensioner:
- Bredde: 7,5 meter
- Længde: 10 meter
- Højde: 3 meter
De tre modeller sammenknyttes ved hjælp af fællespunkter og knyttes på et overordnet koordinatsystem.
For at kunne undersøge nøjagtigheden af den anblok, som bliver beregnet i forsøget, opstilles
nogle kontrolpunkter, hvorimellem der kan beregnes afstande, som kan anvendes som kontrol
af nøjagtigheden. Afstandene mellem kontrolpunkterne
kan beregnes på baggrund af henholdsvis koordinater
fra totalstation og koordinater fra anblok. På baggrund
heraf er det muligt at vurdere resultatet af sammenknytningen.
Desuden sammenlignes de forventede
punktspredninger med de opnåede punktspredninger,
for at vurdere om resultaterne stemmer overens med de
forventede resultater.
I forbindelse med løsningen af forsøgene vil det udarbejdede
program blive anvendt.
Besvarelsen af underspørgsmålene sker gennem fem
afsnit. I det første afsnit udføres en række forsøg, der
afdækker, hvordan fælles- og fikspunkternes geometri,
samt antallet af overbestemmelser påvirker nøjagtigheden
af transformationen.
Det andet afsnit vil indeholde planlægningen af dataindsamlingen
i forbindelse med det praktiske forsøg. I dette
Figur Figur 17 17: 17 : Projektstruktur Projektstruktur i i udarbejdelsen udarbejdelsen af af af fo for- fo r
søg
søg
Side | 47

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
afsnit beskrives den opbygning, der skal anvendes til forsøget, og på baggrund af denne opbygning
opstilles de forventede resultater.
Det tredie afsnit vil indeholde, hvordan data til det praktiske forsøg er indsamlet, samt en behandling
af de totalstationsmålinger, der er opmålt i forbindelse med forsøget.
Det fjerde afsnit vil indeholde en behandling, i anblok, af de laserscanningsdata, som er opmålt i
forbindelse med forsøget.
Det femte og sidste afsnit vil med udgangspunkt i de forskellige koordinatsæt til kontrolpunkterne,
der er genereret i de fire forrige afsnit, indeholde en kontrol af, hvorvidt de faktiske resultater
stemmer overens med de forventede. Dette vil ske ved hjælp af de afstande, der er omtalt tidligere i
dette kapitel.
6.1 Indledende forsøg
I dette afsnit præsenteres hvordan overbestemmelser beregnes. Det diskuteres desuden om det
kan forsvares udelukkende at anvende en variansfaktor, frem for en vægtmatrice, til skalering af
kovariansmatricen. Endelig udføres en række teoretiske forsøg, der viser hvordan fiks- og fællespunkternes
geometri, samt antallet af overbestemmelser påvirker nøjagtigheden af transformationen.
6.1.1 Beregning af overbestemmelser
I de forskellige forsøg og opbygninger, er det være relevant at vide, hvor mange overbestemmelser
der er. Overbestemmelser er nødvendige, for at kunne finde grove fejl, samt for at opnå fornuftige
resultater. Derfor præsenteres her et regneeksempel, der illustrerer hvordan antallet af overbestemmelser
beregnes.
Nedenstående figur viser en simpel opbygning, med tre modeller, der hver har ét fikspunkt og ét
fællespunkt med hver af de andre modeller:
Side | 48

Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Figur Figur Figur 18 18: 18 : Simpel opbygning, med tre fikspunkter og tre fællespunkter
For at beregne antallet af overbestemmelser, er det nødvendigt at kende antallet af ubekendte,
samt antallet af observationer. Disse trækkes fra hinanden hvilket giver antallet af overbestemmelser.
De ubekendte er seks transformationsparametre til hver af de tre modeller, koordinater (x, y, z)
til fikspunkterne samt koordinater (x, y, z) til fællespunkterne. Dette giver følgende:
Ubekendte:
Transformationsparametre: 3 ∙ 6 = 18
Fikspunkter: 3 ∙ 3 = 9
Fællespunkter: 3 ∙ 3 = 9
I alt 36
Tabel Tabel 12 12: 12 12:
: Antallet af ubekendte i simpel opbygning
Det samlede antal af observationer, er de observerede koordinater til fælles- og fikspunkter fra
hver model, samt koordinater til fikspunkterne i fikspunktssystemet. Dette giver:
Observationer:
Model A: (1 ∙ 3) + (2 ∙ 3) = 9
Model B: (1 ∙ 3) + (2 ∙ 3) = 9
Model C: (1 ∙ 3) + (2 ∙ 3) = 9
Fikspunktskoordinater: 3 ∙ 3 = 9
I alt: 36
Tabel Tabel 13 13: 13 : Antallet af observationer i simpel opbygning
Tabel 12 og Tabel 13 viser, at der er lige mange ubekendte og observationer, og der er dermed ingen
overbestemmelser. En transformation på disse modeller, vil således kun være lige nøjagtigt
bestemt, og det er ikke muligt at kontrollere for grove fejl. Tilføjes et punkt i modellerne, som er
fælles i alle modeller, er der 36 + 3 = 39 ubekendte og 36 + 9 = 45 observationer, hvilket giver
seks overbestemmelser. I de følgende afsnit anvendes en opbygning svarende til den simple opbygning,
beskrevet i dette afsnit, med et ekstra punkt, der er fælles for alle modeller. Der tilføjes desuden
nogle kontrolpunkter, så resultaterne fra de forskellige forsøg, kan sammenlignes.
Side | 49

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
6.1.2 Test af betydningen af geometri og antallet af overbestemmelser
Dette afsnit skal afdække hvilken betydning antallet af fællespunkter, og geometrien i fiks- og fællespunkter,
har for nøjagtigheden af transformationen. Dette gøres for at underbygge konklusionerne
fra foranalysen, samt have en idé om, hvordan en dataindsamling skal opbygges, for at give
tilfredsstillende resultater. I afsnittet præsenteres en række forsøg, hvor geometrien af fiks- og fællespunkter
varierer, samt forsøg, hvor antallet af overbestemmelser er stort. I de første forsøg, testes
geometriens betydning for transformationen. Herefter testes antallet af overbestemmelsers
betydning. Alle forsøg bygges op over samme koordinatsystem, og i alle forsøg anvendes de samme
tre kontrolpunkter, for at kunne sammenligne resultaterne.
Til test af geometriens betydning, anvendes samme antal fælles- og fikspunkter, som i basisopbygningen
som beskrevet tidligere i afsnittet 5.2.2 Variansfaktor kontra vægtmatrice. Dog med den
ændring, at der tilføjes et punkt, der er fælles mellem alle punktskyer. Dette gøres for at have få
overbestemmelser, og dermed give programmet bedre mulighed for at beregne transformationen.
Beregningerne i dette afsnit er udført i D3_anblok_samlet.m. Scriptet kan ses på Bilags-CD’en, i
mappen Appendiks C. De anvendte koordinatfiler, kan ses på Bilags-CD’en, i mappen Appendiks E.
Forsøg Forsøg Forsøg 1
1
I Forsøg 1, laves opbygningen, så fælles- og fikspunkterne ligger i en klump, med kontrolpunkterne
omkring denne klump. Dette giver følgende opbygning:
Side | 50

Modellerne indeholder følgende punkter:
- Model A
o 1K, 4F, 7, 8, 10
- Model B
o 2K, 5F, 7, 9, 10
- Model C
o 3K, 6F, 8, 9, 10
Figur Figur 19 19: 19 19:
: Opbygning af de tre modeller i Forsøg 1
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Når der køres Testnet på disse koordinater, fås plot af konfidensellipser. Konfidensellipserne er
skaleret med en faktor 100, for at gøre dem synlige:
Side | 51

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 52
Figur Figur Figur 20 20: 20 20:
: Konfidensellipser Konfidensellipser for for XY XY-plan, XY
plan, plan, Forsøg Forsøg 11
1
Figur Figur Figur 21 21: 21 Konfidensellips
Konfidensellipser Konfidensellips er for for XZ XZ-plan, XZ
plan, Forsøg Forsøg 1
1

Figur Figur 22 22: 22 Konfidensellipser Konfidensellipser for for for YZ YZ-plan, YZ plan, Forsøg Forsøg 1
1
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
I scriptet beregnes en 3D-punktspredning. Denne skrives ud i en output-fil, sammen med halve
storakse for alle punkter i alle tre plan. Disse output-filer, kan ses på Bilags-CD’en i mappen Appendiks
E, hvor alle resultater er med. I det følgende præsenteres kun 3D-punktspredning, samt halve
storakse i alle tre plan, for de tre kontrolpunkter:
Halve storakse
Punktnummer 3D-spredning (m) XY-plan (m) XZ-plan (m) YZ-plan (m)
1 0,012 0,017 0,016 0,012
2 0,009 0,012 0,011 0,013
3 0,018 0,024 0,020 0,020
Tabel Tabel 14 14: 14 : Resultater Resultater fra transformation med fælles fælles- fælles
og og fikspunkter fikspunkter i i en en klump
klump
I Figur 20 ses det, at kontrolpunkter får cigarformede ellipser vinkelret på fikspunkterne, hvilket
indikerer, at drejningerne ikke er så godt bestemt. Det ses desuden, at selvom fikspunkterne er
spredt i højden, får punkterne også her store konfidensellipser.
Forsøg Forsøg 2
2
I Forsøg 2 flyttes fællespunkterne ud mod kontrolpunkterne, for at se om dette er nok, til at give en
god geometri i sammenknytningen. Dette giver følgende opbygning:
Side | 53

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 54
Figur Figur 23 23: 23 : Opbygning af de tre modeller i Forsøg 2
Modellerne indeholder samme punkter som i Forsøg 1, dog er fællespunkterne 7, 8 og 9 flyttet ud
mod kontrolpunkterne:
- Model A
o 1K, 4F, 7, 8, 10
- Model B
o 2K, 5F, 7, 9, 10
- Model C
o 3K, 6F, 8, 9, 10
Testnet er igen anvendt til at beregne og plotte konfidensellipser, der stadig er skaleret med en
faktor 100, for at gøre dem synlige:

Figur Figur 24 24: 24 Konfidensellipser Konfidensellipser Konfidensellipser for for for XY XY-plan, XY plan, plan, Forsøg Forsøg 22
2
Figur Figur 25 25: 25 Konfidensellipser Konfidensellipser for for XZ XZ-plan, XZ plan, Forsøg Forsøg Forsøg 22
2
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Side | 55

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 56
Figur Figur 26 26: 26 Konfidensellipser Konfidensellipser for for for YZ YZ-plan, YZ plan, plan, Forsøg Forsøg Forsøg 22
2
Forsøg 2 giver følgende 3D-punktspredning, samt halve storakse i alle tre plan, for de tre kontrolpunkter:
Halve storakse
Punktnummer 3D-spredning (m) XY-plan (m) XZ-plan (m) YZ-plan (m)
1 0,012 0,017 0,016 0,012
2 0,009 0,010 0,011 0,011
3 0,015 0,019 0,020 0,017
Tabel Tabel 15 15: 15 : Resultater fra transformation med fikspunkter i en klump klump og og fællespunkter fællespunkter spredt
spredt
Ses der udelukkende på konfidensellipserne, er det svært at se nogen ændring fra Forsøg 1. Sammenlignes
Tabel 14 og Tabel 15, ses det, at der er sket en lille forbedring, især på Punkt 3. Dette
kunne altså tyde på, at fællespunkternes geometri, har en lille indflydelse på nøjagtigheden af kontrolpunkterne
efter sammenknytningen.
Forsøg Forsøg 3
3
I Forsøg 3 byttes rundt på fiks- og fællespunkterne. Der laves samme opbygning som i Forsøg 2,
med den ændring, at de fællespunkter, der før blev flyttet ud, nu udskiftes med fikspunkter. Dette
giver følgende opbygning:

Figur Figur 27 27: 27 27:
: Opbygning af de tre modeller i Forsøg 3
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Som tidligere beskrevet, er denne opbygning identisk med den i Forsøg 2, med den ændring, at
punkterne 7, 8 og 9, nu er fikspunkter, i stedet for 4, 5 og 6. Modellerne indeholder derfor følgende
punkter:
- Model A
o 1K, 4, 5, 7F, 10
- Model B
o 2K, 5, 6, 9F, 10
- Model C
o 3K, 4, 6, 8F, 10
Dette giver følgende konfidensellipser:
Side | 57

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 58
Figur Figur 28 28: 28 Konfidensellipser Konfidensellipser Konfidensellipser for for XY XY-plan, XY plan, Forsøg Forsøg 3
3
Figur Figur 29 29: 29 Konfidensellipser Konfidensellipser for for for XZ XZ-plan, XZ plan, Forsøg Forsøg 3
3

Figur Figur 30 30: 30 Konfidensellipser Konfidensellipser for for YZ YZ-plan, YZ plan, plan, Forsøg Forsøg 33
3
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Forsøg 3 giver følgende 3D-punktspredning, samt halve storakse i alle tre plan, for de tre kontrolpunkter:
Halve storakse
Punktnummer 3D-spredning (m) XY-plan (m) XZ-plan (m) YZ-plan (m)
1 0,008 0,012 0,012 0,012
2 0,006 0,007 0,008 0,009
3 0,006 0,007 0,007 0,007
Tabel Tabel 16 16: 16 16:
: Resultater Resultater fra fra transformation transformation med fællespunkter i en klump og og fikspunkter fikspunkter spredt
Konfidensellipserne viser, at kontrolpunkterne er bedre bestemt, hvis de yderste punkter er fikspunkter.
Ses på ændringerne i 3D-spredning og de halve storakser, er det ligeledes tydeligt, at der
opnås bedre resultater, når fikspunkterne er de yderste.
På baggrund af dette konkluderes det, at konklusionen fra foranalysen var korrekt, geometrien i
modellerne er vigtig for sammenknytningen. Det er desuden værd at bemærke, at det er vigtigst, at
fikspunkterne er så spredte som muligt, men at fællespunkterne ligeledes har indflydelse på nøjagtigheden
af sammenknytningen.
For at teste betydningen af antallet af fællespunkter, anvendes igen basisopbygningen med et ekstra
fællespunkt, men for at imødekomme konklusionen, med hensyn til geometri, tidligere i afsnittet,
er fiks- og fællespunkterne flyttet ud mod kontrolpunkterne. Der ses på hvilke resultater der
Side | 59

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
opnås med denne opbygning, og herefter tilføjes fællespunkter til opbygningen, for at se udviklingen
i nøjagtigheden, når der er flere overbestemmelser.
Forsøg Forsøg 4
4
Opbygningen til dette forsøg kan ses på nedenstående figur:
Modellerne indeholder følgende punkter:
- Model A
o 1K, 4F, 7, 9, 10
- Model B
o 2K, 5F, 7, 8, 10
- Model C
o 3K, 6F, 8, 9, 10
Side | 60
Figur Figur 31 31: 31 : Basisopbygning i Forsøg 4
Som i foregående afsnit, er disse koordinater kørt igennem Testnet, for at have et sammenligningsgrundlag
med næste opbygning, der kommer til at indeholde flere overbestemmelser. Der er beregnet
og udtegnet konfidensellipser, der stadig skaleres med en faktor 100:

Figur Figur 32 32: 32 : Konfide Konfidensellipser Konfide
nsellipser nsellipser for XY XY-plan, XY
plan, Forsøg Forsøg 4 4 ddel
d el 1
Figur Figur 33 33: 33 Konfidensellipser Konfidensellipser for for XZ XZ-plan, XZ plan, plan, Forsøg Forsøg Forsøg 4 4 del del 1
1
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Side | 61

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 62
Figur Figur 34 34: 34 Konfidensellipser Konfidensellipser for for YZ YZ-plan, YZ plan, plan, Forsøg Forsøg 4 4 4 del del 11
1
Denne opbygning giver følgende 3D-punktspredning, samt halve storakse i alle tre plan, for de tre
kontrolpunkter:
Halve storakse
Punktnummer 3D-spredning (m) XY-plan (m) XZ-plan (m) YZ-plan (m)
1 0,004 0,005 0,005 0,005
2 0,004 0,004 0,004 0,004
3 0,005 0,005 0,006 0,006
Tabel Tabel 17 17: 17 : Resultater fra transformation med fikspunkter og fællespunkter spredt
spredt
Det ses at der er en lille ændring i størrelserne af konfidensellipserne. Ses desuden på Tabel 17, er
det klart at værdierne for 3D-spredning og de halve storakser, er blevet mindre. Dette understøtter
konklusionen tidligere i dette afsnit, at både fikspunkternes og fællespunkternes geometri har betydning
for nøjagtigheden, da fiks- og fællespunkter i denne opbygning alle er spredte.
For at kunne se sammenhængen mellem nøjagtigheden af kontrolpunkterne og antallet af overbestemmelser,
er der lavet en opbygning, der indeholder dobbelt så mange observationer som ubekendte.
Dette skal resultere i, at kontrolpunkternes nøjagtighed bliver kvadratroden af to gange
bedre end i Tabel 17, se Bilag B.
For at have dobbelt så mange observationer som ubekendte, skal der ret mange punkter til, da der
tilføjes ubekendte hver gang der tilføjes observationer. For hvert fællespunkt der tilføjes, fås seks
ekstra observationer, men tre ekstra ubekendte. For hvert fællespunkt, der er indeholdt i alle mo-

Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
deller, der tilføjes, fås ni ekstra observationer, og tre ekstra ubekendte. For at få dobbelt så mange
observationer som ubekendte, fås derfor følgende opbygning:
Figur Figur Figur 35 35: 35 : Fiks Fiks-, Fiks
fælles fælles- fælles og og kontrolpunkter kontrolpunkter i i i i Forsøg Forsøg 4 4 del del 2
2
På grund af den store mængde punkter, og kompleksiteten i sammenhængen mellem modellerne,
er modellernes udstrækning ikke vist i figuren. I stedet er udelukkende vist punkternes placering,
mens modellernes sammenhæng er vist i punktopstillingen nedenfor:
- Model A
o 1K, 4F, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,
30, 31, 40, 41,42, 43, 44, 45, 46, 47, 48
- Model B
o 2K, 5F, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
38, 39, 40, 41,42, 43, 44, 45, 46, 47, 48
- Model C
o 3K, 6F, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
38, 39, 40, 41,42, 43, 44, 45, 46, 47, 48
Med denne opbygning fås følgende konfidensellipser for de tre plan:
Side | 63

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 64
Figur Figur 36 36: 36 Konfidensellipser Konfidensellipser for for XY XY-plan, XY plan, plan, Forsøg Forsøg 4 4 del del del 2
2
Figur Figur 37 37: 37 Konfidensellipser Konfidensellipser for for XZ XZ-plan, XZ plan, plan, Forsøg Forsøg Forsøg 4 4 del del 2
2

Figur Figur 38 38: 38 Konfidensellipser Konfidensellipser Konfidensellipser for for YZ YZ-plan, YZ plan, plan, Forsøg Forsøg 4 4 del del del 2
2
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Opbygningen giver følgende 3D-punktspredning, samt halve storakse i alle tre plan, for de tre kontrolpunkter:
Halve storakse
Punktnummer 3D-spredning (m) XY-plan (m) XZ-plan (m) YZ-plan (m)
1 0,004 0,004 0,004 0,004
2 0,003 0,003 0,004 0,004
3 0,004 0,004 0,005 0,005
Tabel Tabel 18 18: 18 18:
: Resultater Resultater fra transformation transformation med mange fællespunkter
Det er svært at se på konfidensellipserne, om der reelt sker en forbedring, svarende til kvadratroden
af to, men sammenlignes Tabel 17 og Tabel 18, passer flere af værdierne med den forventede
forbedring. Det er sandsynligt, at de tal der ikke passer, er blevet afrundet, og at forbedringen kan
aflæses, hvis der tages flere decimaler med.
Antallet af overbestemmelser har derfor betydning, og der kan presses højere nøjagtighed ud af
transformationen ved at have mange overbestemmelser. Rent praktisk er det dog svært at se, at en
opbygning med dette antal fællespunkter kan lade sig gøre. Især da det er få millimeters ekstra nøjagtighed,
der opnås ved det ekstra arbejde.
Side | 65

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
6.1.3 Opsamling
Efter denne forsøgsrække er det tydeligt, at geometrien er af stor betydning for nøjagtigheden af
transformationen. Det er vigtigt at både fælles- og fikspunkter har så god en geometri som muligt,
selvfølgelig under hensyntagen til, at punkterne skal kunne ses fra opstillingspunktet.
Forsøgene viste desuden, at nøjagtigheden bliver bedre, jo flere overbestemmelser der er. I denne
situation, skal der dog uforholdsmæssigt mange ekstra punkter ind, for at skabe mange overbestemmelser,
og det må derfor konkluderes, at medmindre der er et bestemt krav til sammenknytningen,
der skal overholdes, giver det meget mere arbejde at have dobbelt så mange observationer
som ubekendte. Dette skyldes, som tidligere beskrevet, det faktum, at for hvert ekstra fællespunkt
fås seks observationer, men også tre ubekendte. Det er dog samtidig klart, at der skal være nogle
overbestemmelser, for at transformationen giver et tilfredsstillende resultat.
6.2 Planlægning af dataindsamling
Dette afsnit skal give en idé om, hvordan opbygningen i forbindelse med dataindsamlingen kan
laves. Derudover skal afsnittet vise de forventninger, der kan stilles til nøjagtigheden af de indsamlede
data. Der er lavet en opstilling, der søger at imødekomme de krav, der er opstillet i foranalysen,
og bekræftet i afsnittet 6.1.2 Test af betydningen af geometri og antallet af overbestemmelser. Beregningerne
i dette afsnit er udført i programmet D3_anblok_samlet.m. Scriptet kan findes på Bilags-CD’en
i mappen Appendiks C. De anvendte koordinatfiler, kan ses på Bilags-CD’en i mappen
Appendiks F.
Der skal således planlægges tre opstillinger med laserscanner, samt fælles- og fikspunkter mellem
de tre modeller. I foranalysen blev det beskrevet hvilke forhold der var vigtige at tage hensyn til,
inden scanningen foretages:
- Antallet af fællespunkter mellem modeller
- Indbyrdes placering af fælles- og fikspunkter i forhold til hinanden
- Højdevariation af targets
- Målepræcision
- Nøjagtigheden af targets
I det følgende præsenteres en opbygning, hvor der er taget hensyn til ovenstående, samt taget hensyn
til konklusionerne i afsnittet 6.1.2 Test af betydningen af geometri og antallet af overbestemmelser.
Som beskrevet i afsnit 5.2.2 Variansfaktor kontra vægtmatrice, anvendes der ikke en vægtmatrice,
men i stedet skaleres kovariansmatricen med den forventede opmålingsnøjagtighed. I beregningerne
er den nøjagtighed der regnes med, sat til to millimeter, jævnfør afsnit 5.2.2 Variansfaktor
kontra vægtmatrice. Dette giver en variansfaktor på 0,000004.
Koordinaterne til de tre modeller, er fremkommet ved, at lave et koordinatsystem, der indeholder
rummets dimensioner, og sætte punkterne ind, under hensyntagen til ovenstående. Herefter er
punkternes sammenhæng mellem modellerne tegnet ind, og punkterne er skilt ud i de modeller de
hører til.
Side | 66

Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
6.2.1 Opbygning til dataindsamling
I den efterfølgende opbygning, er der for at imødekomme kravene fra foranalysen og de foregående
afsnit, foretaget følgende valg:
- Alle modeller har fem fællespunkter. Heraf er ét punkt fælles for alle modeller.
- Der er i alt fem fikspunkter. En model indeholder minimum to, maksimum tre fikspunkter.
- Fikspunkterne er placeret så yderligt i rummet som muligt, for at omkranse de øvrige punkter.
Desuden er ét fikspunkt placeret i midten af rummet, af hensyn til højdenøjagtigheden.
- Fællespunkterne er ligeledes spredt, for at opnå en jævn fordeling af fællespunkterne, og
sikre en vis størrelse af overlappet mellem to modeller.
- Fikspunkterne er varierede i højden, for at sikre højdenøjagtigheden.
De tre modeller A, B og C blev repræsenteret ved hver deres opstilling. I hver model blev de fællespunkter,
kontrolpunkter og fikspunkter, som tilhørte modellen, indmålt. Punkterne blev tildelt
punktnumre i følgende orden:
Dette giver følgende opbygning:
Fikspunkter: 1-5
Fællespunkter: 6-11
Kontrolpunkter: 12-14
Tabel Tabel 19 19: 19 : Punktnummerstrategi
Figur Figur Figur 39 39: 39 : Opbygning af dataindsamling
Side | 67

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Modellerne indeholder følgende punkter:
- Model A
o 1F, 5F, 6, 7, 8, 9, 12K
- Model B
o 2F, 3F, 5F, 6, 7, 10, 11, 13K
- Model C
o 4F, 5F, 8, 9, 10, 11, 14K
Opbygning 4 indeholder 60 ubekendte og 81 observationer, hvilket giver 21 overbestemmelser. Der
forventes gode resultater i sammenknytningen med denne opbygning.
For at se hvilke nøjagtigheder, der kan forventes, er koordinaterne anvendt i Testnet, og der er udtegnet
konfidensellipser for XY-, XZ- og YZ-planet, samt beregnet en 3D-punktspredning for samtlige
punkter. Konfidensellipserne er også denne gang skaleret med en faktor 100, for at gøre dem
synlige.
Side | 68
Figur Figur 40 40: 40 : Konfidensellipser, XY XY-plan, XY
plan, opbygning pbygning til til dataindsamling
dataindsamling

Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
Figur Figur 41 41: 41 : Konfidensellipser, XZ XZ-plan, XZ
plan, opbygning opbygning til til dataindsamling
dataindsamling
Figur Figur Figur 42 42: 42 Konfidensellipser, Konfidensellipser, Konfidensellipser, YYZ-plan,
Y plan, opbygning opbygning til til dataindsamling
dataindsamling
Side | 69

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
I Figur 40 og Figur 41 kan det ses, at den valgte opbygning til dataindsamlingen giver små runde
konfidensellipser. Det er desuden klart, at punkterne er bedre bestemt i XY-planen end i XZ-planen
og YZ-planen. Dette skyldes, at selvom punkterne er spredt i højden, er de mere spredt i XY-planen,
hvilket giver en bedre nøjagtighed i planen end i højden. Når 3D-spredningen, samt halve storakse
for kontrolpunkterne beregnes fås:
Side | 70
Halve storakse
Punktnummer 3D-spredning (m) XY-plan (m) XZ-plan (m) YZ-plan (m)
12 0,003 0,003 0,004 0,004
13 0,003 0,003 0,003 0,003
14 0,003 0,003 0,004 0,004
Tabel Tabel 20 20: 20 : 3D 3D-punktspredning 3D
punktspredning ved ved opbygning opbygning til til til dataindsamling
dataindsamling
Hvis dataindsamlingen foretages under forhold, der nogenlunde svarer til dem, der er anvendt i
dette forsøg, kan det forventes, at der kan opnås samme nøjagtigheder, som vist i Tabel 20. Under
dataindsamlingen vil det derfor tilstræbes, at lave en opbygning, der minder om opbygningen præsenteret
i dette afsnit.
6.3 Dataindsamling
Dette afsnit er en beskrivelse af hvordan dataindsamlingen, til forsøget med at knytte tre laserscannings-punktskyer
sammen ved hjælp af anblok, er foregået. I afsnittet vil der blive gennemgået
hvilke instrumenter der blev anvendt til forsøget. Rådata fra dataindsamlingen kan findes på Bilags-
CD’en i mappen Appendiks G.
Forsøget blev foretaget i et undervisningslokale med dimensioner, som tillod at der kunne laves tre
opstillinger med laserscanneren. Til forsøget blev der anvendt et HDS-target (High Definition Scanner
target) til hvert punkt, der skulle opmåles i forsøgsopstillingen. Disse blev anvendt for at den
nøjagtighed punkterne kunne måles med blev bedst mulig. Nogle targets blev opstillet på instrumentstativer
så de kunne roteres mod hver opstilling med laserscanneren. Andre targets blev anbragt
på vægge og andre faste genstande langs væggene i lokalet. Punkterne blev så vidt det var
muligt placeret som det blev planlagt og testet i Testnet, der blev dog taget højde for at alle punkter
skulle kunne ses fra de laserscanneropstillinger de var indeholdt i. For at variere højden i targets,
blev nogle af instrumentstativerne opstillet så højt som de kunne, mens andre var opstillet lavest
muligt, derimellem var der targets som var placeret på stativer som havde en mellemhøjde. Nogle af
de targets som var placeret på vægge og lignende, kunne varieres yderligere i højden, derfor blev
nogle af disse placeret endnu højere og lavere end det var muligt, med de targets der var monteret
på instrumentstativer.
For at oprette et overordnet koordinatsystem blev de targets som skulle anvendes som fikspunkter
opmålt med Leica TCR 1105 totalstation. Fikspunkterne blev indmålt reflektorløst med totalstationens
røde laser. Udover fikspunkterne blev også kontrolpunkterne målt med totalstation for at
kunne foretage en sammenligning af disse med koordinater til kontrolpunkterne, der beregnes i
projektgruppens anblok. Hvert punkt blev indmålt med én sats. Opstillingen blev anbragt således at
der var udsyn til alle punkter som skulle indmåles.

6.4 Databehandling
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
I dette afsnit beskrives behandlingen af de data, der blev indsamlet under opmåling i Fibigerstræde
10, rum 7. Afsnittet skal forklare hvordan data er behandlet, for at udtrække koordinater på de opmålte
punkter. Disse koordinater køres igennem anblok programmet, for at få de udjævnede koordinater.
I afsnittet beskrives først hvordan data fra totalstationen er omsat til koordinater, og resultaterne
herfra vises. Herefter beskrives hvordan koordinaterne fra laserscanningen er udtrukket,
og disse koordinater vises. Endelig beskrives behandlingen i, og resultaterne fra, anblok programmet.
6.4.1 Totalstation
I forbindelse med opmålingen, er alle kontrolpunkter og fikspunkter opmålt med totalstation. Dette
er gjort for at have koordinater til fikspunkterne i et ”fikspunktssystem”, der i dette tilfælde er totalstationens
system. Det vil sige at når de tre punktskyer bliver udjævnet, bliver de transformeret
over i totalstationens koordinatsystem. Det ønskes desuden at have koordinater fra totalstationen
til kontrolpunkterne, da disse burde have en større nøjagtighed end koordinaterne til kontrolpunkterne
fra laserscanneren, hvilket giver mulighed for kontrol af udjævningen senere i rapporten.
Under opmålingen blev observationerne, skrå afstand (Sd), horisontalretning (Hz), vertikalretning
(V), lagret på et datakort som GSI-fil. Disse data er herefter behandlet i programmet TMK, for at få
en fil, hvor observationerne nemmere kunne aflæses. Endelig er koordinaterne til de opmålte punkter
beregnet, på baggrund af observationerne, i et excel-regneark, ved hjælp af nedenstående formler:
x = sin( Hz)sin( V ) Sd
y = cos( Hz)sin( V ) Sd
z = sin( V ) Sd
Dette regneark hedder Totalstationsdata.xls, og kan findes på Bilags-CD’en i mappen Appendiks H.
Koordinaterne til fikspunkterne og kontrolpunkterne er beregnet ved hjælp af ovenstående formler.
Nedenstående tabel viser disse koordinater i fikspunktssystemet, som blev bestemt med totalstation.
Derudover er punktspredningen vist for hvert punkt:
Punkt nr. X (m) Y (m) Z (m) σP (m)
1 -1,081 -6,535 -0,707 0,003
2 -3,149 0,040 1,229 0,003
3 6,823 0,151 -1,306 0,003
4 5,503 -6,292 0,601 0,003
5 2,685 -2,300 0,099 0,003
12 -2,982 -4,588 -0,826 0,003
13 2,167 1,079 -0,218 0,003
14 6,965 -3,594 0,361 0,003
Tabel Tabel 21 21: 21 : Koordinaterne til fikspunkterne og og og kontrolpunkterne kontrolpunkterne blev blev bestemt bestemt ved ved hjælp hjælp af af totalstation
totalstation
Side | 71

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Punktspredningen for fikspunktskoordinaterne er beregnet ved at anvende fejlforplantningsteori
på de udtryk, som anvendes til at beregne x-, y- og z-koordinaterne til punkterne.
Når disse varianser er beregnet, beregnes punktspredningen efter formlen for punktspredning,
præsenteret i afsnit 5.2.5 Det udarbejdede program.
Koordinaterne til fikspunkterne udskrives i en txt-fil, kaldet fiks.txt. Disse koordinater kan nu bruges
direkte i anblok programmet, samt til vurdering af de endelige resultater.
6.4.2 Laserscanner
Der er foretaget tre scanninger fra tre forskellige opstillinger. Da det er targets, der er scannet, er
der under scanningen beregnet koordinater til punkterne i et koordinatsystem, der har scannerens
centrum som origo. Under scanningen er punkter desuden tildelt de relevante punktnumre. I programmet
Cyclone vælges punkterne i hver punktsky, og der eksporteres en txt-fil for hver
punktsky. Disse filer benævnes modelA.txt, modelB.txt og modelC.txt, så disse kan bruges direkte i
anblok programmet.
6.4.3 Anblok programmet
Ved hjælp af input-filerne fra totalstationen og laserscanningerne, er der i projektgruppens anblok
program beregnet transformationsparametre til hver model. Disse transformationsparametre
transformerer modellerne ind i det overordnede koordinatsystem, der er bestemt med totalstation.
Herunder er transformationsparametrene for de tre modeller præsenteret:
Side | 72
ω(gon) φ(gon) κ(gon) tx(m) ty(m) tz(m)
Model A -0,155 0,007 -138,920 -1,416 -4,818 0,124
Model B 0,005 0,155 155,633 2,169 -0,615 0,124
Model C -0,123 -0,079 -91,274 5,052 -3,811 0,130
Tabel Tabel 22 22: 22 : BBeregnede
B
eregnede eregnede transformationsparametre transformationsparametre for for de de tre tre modeller
modeller
Ved hjælp af transformationsparametrene kan alle punkterne i punktskyerne transformeres over i
det overordnede system. Anblok programmet beregner også koordinater til alle punkter i det overordnede
koordinatsystem. Koordinaterne til punkterne er:

Punkt nummer X(m) Y(m) Z(m)
1F -1,081 -6,535 -0,707
2F -3,150 0,041 1,229
3F 6,823 0,152 -1,306
4F 5,503 -6,292 0,601
5F 2,687 -2,301 0,099
6 -2,765 -2,002 -0,535
7 -0,86 -0,926 -0,278
8 0,848 -3,945 0,146
9 2,001 -6,024 -0,458
10 5,007 0,79 -0,295
11 6,547 -1,738 0,153
12K -2,984 -4,588 -0,826
13K 2,171 1,081 -0,219
14K 6,966 -3,592 0,361
Tabel Tabel 23 23: 23 : Beregnede eregnede koordinater koordinater koordinater til til alle alle punkter punkter
punkter
Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
For at kunne vurdere resultatet af udjævningen, er de maksimale og minimale residualer efter udjævningen,
for hver model, trukket ud. Beregningen af disse kan ses i Residualer fra anblok.xls, på
Bilags-CD’en i mappen Appendiks H.
Model/Fiks X (meter) Y (meter) Z (meter)
Maks. Min. Maks. Min. Maks. Min.
Model A 0,0015 -0,0009 0,0027 -0,0019 0,0004 -0,0006
Model B 0,0013 -0,0012 0,0008 -0,0014 0,0006 -0,0002
Model C 0,0012 -0,0010 0,0019 -0,0027 0,0002 -0,0003
Fiks 0,0017 -0,0008 0,0006 -0,0013 0,0002 -0,0003
Tabel Tabel Tabel 24 24: 24 : Viser Viser intervallerne intervallerne for residualerne for de enkelte enkelte modeller
Det ses i Tabel 24, at der er små residualer. De største residualer ligger lige under tre millimeter,
hvilket er acceptabelt, når det tages i betragtning, at scannerens nøjagtighed er på ca. to millimeter,
og fikspunkterne har en punktspredning omkring tre millimeter.
Efter transformationen er variansfaktoren desuden beregnet. For at kunne bruge denne til at vurdere
opmålingen, er den omsat til spredningen på vægtenheden, og beregnet efter følgende formel:
Hvor: r er residualvektoren
m er antallet af observationer
n er antallet af ubekendte
ˆ σ =
0
T
r r
m − n
Normalt ganges vægtmatricen (C) på mellem residualerne i tælleren, men da der ikke bliver opstillet
vægtmatrice i anblok programmet, er denne ikke med. Dermed giver spredningen på vægtenheden
et udtryk for, hvilken nøjagtighed punkterne er målt med:
ˆ σ 0 = 0,0000024 =
0,001549
Side | 73

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Punkterne er altså opmålt med en nøjagtighed omkring halvanden millimeter, hvilket stemmer godt
overens med den nøjagtighed, der kan opnås med laserscanneren.
På baggrund af residualerne og variansfaktoren konkluderes det, at opmålingen og transformationen
er foregået tilfredsstillende. Det er nu muligt at vurdere på de opnåede resultater.
6.5 Vurdering
Dette afsnit har til formål at vurdere nøjagtigheden af sammenknytningen i anblok sammenholdt
med de forventede nøjagtigheder fra Testnet. Dette gøres gennem en vurdering af kontrolpunktskoordinaterne
samt afstandene herimellem. For at udvide vurderingerne er tilsvarende sammenknytninger,
på det samme data, foretaget ved hjælp af almindelig 3D transformation og i programmet
Cyclone. Ved at sammenligne resultatet fra anblok med resultater fra de andre metoder kan
sammenknytningen i anblok vurderes. I afsnittet vil der indledningsvis være en koordinatsammenligning
af kontrolpunktskoordinaterne på baggrund af differencer mellem totalstationskoordinater
og koordinater fra de tre metoder. Efterfølgende vil der være en vurdering af punktspredningerne
fra henholdsvis totalstationskoordinater, anblok-koordinater samt Testnet. Yderligere vil der være
en vurdering af de forskellige afstande mellem kontrolpunkterne sammenholdt med den beregnede
afstandsspredning. Afslutningsvis vil der være en vurdering af forskellige forhold, der har betydning
for nøjagtigheden af sammenknytningen afhængig af, hvilken metode der anvendes.
Beregningerne der lavet i dette afsnit er vist i scriptet spred_afst_pkt.m der kan findes på Bilags-
CD’en i mappen Appendiks I.
De forskellige metoder der er anvendt til sammenknytning i dette afsnit er anblok, almindelig 3D
transformation og Cyclone. Anblok er udført, som beskrevet tidligere i rapporten, hvor der foretages
en samlet udjævning af de tre modeller, mens den almindelige 3D transformation er udført,
hvor Model A og Model B knyttes sammen først, derefter Model C. Til sidst transformeres de sammenknyttede
modellerne ind i Fikspunktssystemet. I 3D transformationen indgår der seks parametre,
det vil sige tre drejninger og tre flytninger, som er de samme parametre, der indgår i anblok.
I Cyclone er alle modeller hentet ind på én gang, hvorefter Cyclone har genkendt fællespunkterne
og sammenknytter modellerne. Alle tre metoder behandler de samme datasæt.
I Tabel 25 er koordinatdifferencerne mellem totalstationskoordinaterne og koordinaterne, der er
beregnet i de enkelte metoder, vist. Ud fra disse koordinatdifferencer kan det fastslås, at alle differencerne
for punkt 13 er de største, hvilket antyder, at punktet er dårligere bestemt med enten
laserscanneren eller totalstationen. Generelt er differencerne for de tre metoder lige store, dog er
differencerne for anblok lidt større end differencerne fra de øvrige metoder.
Punkt Anblok Transformation Cyclone
x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m)
12 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,002 -0,001 0,000
13 -0,004 -0,003 -0,003 -0,003 -0,001 0,002 -0,003 -0,002 0,001
14 -0,001 -0,002 -0,002 -0,002 -0,002 0,000 -0,001 -0,002 -0,001
Tabel Tabel 25 25: 25 25:
: Viser Viser koordinatdifferencerne koordinatdifferencerne mellem mellem totalstationskoordinater totalstationskoordinater og og koordinater koordinater beregnet beregnet i i de de enkelte enkelte metoder
metoder
Side | 74

Forsøg med anvendelse af anblok og Testnet
I Tabel 26 er punktspredningerne og afstandsspredningerne beregnet. Punktspredningerne er beregnet
efter følgende formel:
σ
p
=
σ + σ + σ
2 2 2
x y z
På baggrund af spredningerne i nedenstående tabel kan det vurderes, at udjævningen ved hjælp af
anblok ikke har nogen direkte indvirkning på punktspredningen, da punktspredningen for totalstationskoordinaterne
og punktspredningen for laserscanneren begge er to millimeter
[www.leica.geosystems.com]. Yderligere er punktspredningen for anblok mindre end den forventede
punktspredning. Afstandsspredningerne i tabellen skal senere anvendes til at vurdere om der er
grove fejl på afstandsdifferencerne mellem kontrolpunktskoordinaterne fra totalstationen og kontrolpunktskoordinaterne
fra de enkelte metoder. Afstandene er beregnet ved hjælp af Pythagoras
sætning. Afstandsspredningen beregnes derfor ved at anvende fejlforplantning på Pythagoras sætning.
Punkt
3
Punktspredning Afstandsspredning
Totalstation Anblok Testnet Totalstation Anblok
12 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003
13 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003
14 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003
Tabel Tabel Tabel 26 26: 26 26:
: Viser Viser punktspredninger punktspredninger og afstandsspredninger
afstandsspredninger
Af Tabel 27 fremgår det, at afstandene mellem punkterne 13 og 14 samt 12 og 14 er identiske for de
tre metoder, mens afstanden mellem punkterne 12 og 13, ligeledes for de tre metoder, varierer med
to millimeter. Da den maksimale difference ved anblok er mindre end ± tre gange afstandsspredningen
er disse afstande ikke behæftet med grove fejl. Med udgangspunkt i de maksimale differencer
kan det konkluderes, at afstandene ved anblok afviger mest fra afstandene fra totalstationskoordinaterne.
Denne afvigelse er dog kun en og to millimeter større end afstandene de to øvrige metoder.
Beregningsmetoder Afstand i meter mellem punkterne Maksimal difference
i meter
12-13 13-14 12-14
Totalstation 7,681 6,723 10,067
Anblok 7,686 6,721 10,070 0,005
Transformation 7,684 6,721 10,070 0,003
Cyclone 7,685 6,721 10,070 0,004
Tabel Tabel Tabel 27 27: 27 : Viser de beregnede afstande mellem kontrolpunkterne samt samt den maksimale
difference difference difference mellem mellem mellem totalstationsafstande og afstande fra de enkelte metoder.
Der er forskellige forhold, der har betydning for nøjagtighederne for sammenknytning afhængig af,
hvilken metode der anvendes. Et af forholdene kan være, hvorvidt der er et eller flere fællespunkter,
der går igen i flere end to modeller. I det praktiske forsøg var der et fællespunkt, som var fællespunkt
i alle modeller. Dette punkt vurderes at have stor betydning for nøjagtigheden ved sammenknytningen
ved hjælp af almindelige transformation og Cyclone. Havde der i stedet været eksempelvis
tre fællespunkter mellem hver model, uden et fællespunkt, der går igen i alle modeller,
Side | 75

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
vurderes det, at sammenknytningen ved hjælp af transformation og Cyclone ville have været dårligere,
mens dette forhold ikke har betydning for nøjagtigheden ved anblok.
Et andet forhold der har betydning for nøjagtigheden, afhængig af hvilken metode der anvendes,
kan være antallet af modeller, som indgår i sammenknytningen. I det praktiske forsøg blev der arbejdet
med tre modeller. Havde dette antal være større, uden at der var fællespunkter, som gik
igen i flere end to modeller, vurderes det, at resultaterne fra den almindelige transformation og
Cyclone ville have været dårligere, da fejlene efterhånden som der transformeres en model mere på
bliver større og større, mens anblok kan udjævne mange modeller uden, at nøjagtigheden forringes
på grund af antal modeller.
Side | 76

7 Perspektivering
Perspektivering
Hidtil er sammenknytning af punktskyer indsamlet med laserscanner udført parvis, men med det
program, som er udarbejdet af projektgruppen gennem dette projekt, er der skabt en ny tilgang til
sammenknytning med udgangspunkt i anblok. Det udviklede program er ikke et fuldstædigt program
til sammenknytning af flere punktskyer på en gang, da der kun fastlægges den grundlæggende
teori. Derfor er der potentiale i en videreudvikling af det pågældende program således, at det på
sigt kan anvendes som et selvstædigt program, eller indgå som en integreret del af softwaren i et
hvilket som helst program til behandling af laserscanningsdata. I det følgende perspektiveres der
over de udviklingsområder af programmet som gruppen gennem arbejdet med metoden er blevet
opmærksom på, men som følge af tidshorisonten ikke har fået belyst gennem dette projekt.
Desuden bliver der her givet et bud på, hvordan det udviklede produkt kan indgå i andre spændende
sammenhænge.
7.1 Teknisk udvikling
På grund af prioritering af tid i dette projekt, er programmeringen på nuværende tidspunkt indstillet/begrænset
på en sådan måde, at programmet kun kan sammenknytte tre punktskyer samtidigt,
hvorfor en forøgelse af antallet af modeller ikke er mulig. Der er derfor mulighed for, at udvide programmet
til også at omfatte sammenknytninger af et uvilkårligt antal punktskyer samtidigt. I forbindelse
med opmåling af rumlige objekter vil der ofte være behov for sammenknytning af mere
end tre punktskyer, derfor ses denne udvidelse af programmet som en nødvendighed.
Der er i dette projekt, udelukkende arbejdet med sammenknytning af punktskyer, ved hjælp af targets.
Der kan dog forekomme situationer, hvor det er nødvendigt at anvende andre metoder, for
eksempel sammenknytning ved hjælp af modellerede objekter eller direkte i punktskyer. Det er
således fravalgt at basere det udviklede program til også omfatte sammenknytninger ved hjælp af
modellerede objekter eller ved hjælp af den tredje metode kaldet ”Cloud-registration”. En sådan
udvikling af programmet, der gør det muligt at sammenknytte uden en involvering af targets, er
særlig fortrukken i de situationer, hvor en opstilling af disse enten er fysisk umuligt eller begrænset.
Et eksempel herpå kunne være en opmåling på en boreplatform, ufremkommeligt terræn eller
omkring trafikerede veje.
Programmet i dette projekt, er udført, så der tages hensyn til alle drejninger. Dette er gjort fordi der
er fejl på libellen, der på denne måde kompenseres for. Programmet kan dog ikke håndtere drejninger
om x- og y-aksen, der går over cirka 20 gon. Projektgruppen er imidlertid blevet opmærksom
på, at der forekommer situationer i erhvervslivet, hvor scanninger foretages hvor drejningen om x-
og y-aksen er væsentlig større, se Billede 1. Det vil derfor være hensigtsmæssigt, at udvikle programmet,
så det kan håndtere drejninger af en vilkårlig størrelse om alle akser.
Side | 77

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 78
Billede Billede 1: : Scanning med stor drejning drejning om om xx-
x og og y-aksen aksen aksen
For at gøre programmet anvendelig for slutbrugeren, kan der udarbejdes en grafisk brugergrænseflade,
ligesom den der kendes fra andre programmer. I den forbindelse kunne der stilles krav til, at
den grafiske brugerflade skal være nem at benytte og skal derfor være logisk og brugervenlig opbygget.
En grafisk brugerflade vil desuden gøre det nemmere at vægte punkter forskelligt, da dette
kan gøres i en overskuelig menu. Til sidst skal resultaterne kunne præsenteres på en overskuelig
måde så fejlaflæsninger elimineres.
Hvis alle disse forbedringer og eventuelt andre tiltag tages for øje, er der mulighed for at udvikle et
program, der kan være meget konkurrencedygtigt i forhold til de kendte programmer der findes på
markedet.
7.2 Andre anvendelser
I det følgende vurderes hvilke fremtidige muligheder, der kan være i forbindelse med anvendelse af
anblok i tilknytning til laserscanningsdata.
Anvendelse af laserscanner som en opmålingsmetode er forholdsvis ny, men på grund af laserscannerens
effektivitet, har udviklingen været i hastig fremgang, derfor er denne form for opmåling
benyttet såvel til lands, som i luften.

Perspektivering
Den terrestriske laserscanning kan kategoriseres i to afdelinger, nemlig en dynamisk og en statisk.
Den statiskes metode refererer til stillestående scanning, hvor laserscanneren står stille under
scanning, hvorimod den anden metode refererer til scanning i bevægelse som for eksempel opmåling
med fly, køretøj og båd.
I princippet kan anblok ligeledes anvendes til sammenknytninger af punktskyer, fremkommet med
den dynamiske metode. Dog kan det siges, at metoden allerede har fundet stor udbredelse i forbindelse
med flybåren laserscanning. [http://cartesia.org].
Side | 79

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Side | 80

8 Konklusion
Konklusion
Der er i projektet afklaret, hvordan teorien bag 2D anblok kan omsættes til 3D. For at omsætte teorien
til 3D, kræves en udvidelse af rotationsmatricen samt en udvidelse af A-matricen. Dette har
gjort beregningerne væsentlig mere komplicerede, idet de partielt afledte, der skal bruges i Amatricen
bliver ulineære. Dette kræver en række iterative processer, der kræver foreløbige værdier
for at kunne løses. Dette problem er løst, ved at anvende 2D anblok, til at finde foreløbige værdier
til drejninger om z-aksen. Med denne baggrund er det muligt at anvende 3D anblok, til sammenknytning
af laserscanningsdata.
Der er i projektet udført et praktisk forsøg, der bekræfter, at teorien virker. Der er indsamlet tre
punktskyer med fællespunkter, og disse er behandlet i det udviklede program med et tilfredsstillende
resultat.
Det udviklede program kan anvendes til at sammenknytte op til tre punktskyer. Denne rapport kan
bruges som baggrundsviden for senere projekter, der ønsker at arbejde med og videreudvikle 3D
anblok til for eksempel at kunne håndtere et vilkårligt antal punktskyer, eller vilkårlige drejninger.
Som sagt begrænser programmet sig endnu til kun at kunne behandle tre punktskyer, og kun små
drejninger om x- og y-aksen. Det er derfor uvist hvordan resultaterne ser ud, når der bringes mange
punktskyer ind i sammenknytningen. Det er i vurderingen af resultaterne desuden klart, at det ikke
endegyldigt kan siges, at anblok er bedre til at behandle flere punktskyer. Derfor kunne en videreudvikling
af dette projekt være meget interessant, og være med til at afdække, om resultaterne efter
sammenknytning af mange punktskyer, bliver bedre med 3D anblok, end med for eksempel Cyclone.
Side | 81

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Litteraturliste:
Litteraturen i denne liste er angivet efter: Forfatter, titel, udgiver, årstal.
[Aunsborg, 1997] Aunsborg, Christian, Projektarbejdets teori og metode, 1997
[Jensen, 2005] Jensen, Karsten, Landmåling i Teori og Praksis, Aalborg Universitet,
2005
[Leica, 2007] Leica, Cyclone 5.8, 2007
[Pinholt, 2008] Pinholt, Terrestrisk Laserscanning - Sammenknytning af punktskyer,
2008
[Brande, 1993] Brande, Ole, Fotogrammetri, Aalborg Universitet, 1993
[Wolf, 1997] Wolf, Paul R., og Ghilani, Charles D., Adjustment computations - Statistics
and least squares in surveying and GIS, John Wiley & sons, INC,
1997
[Cederholm, 2000] Cederholm, Peter, Udjævning, Aalborg Universitet, 2000
Hjemmeside
Hjemmesider:
Hjemmeside
[www2.imm.dtu.dk]
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/4418/pdf/imm4418.pdf 07/06 2008
[www.land.aau.dk]
http://www.land.aau.dk/~pce/matlab.htm 05/06 2008
[www.leica-geosystems.com]
http://www.leica-geosystems.com/dk/da/HDS3000_Tech_spec.pdf 05/06 2008
[http://cartesia.org]
http://cartesia.org/geodoc/isprs2004/comm1/papers/99.pdf 07/06 2008
Side | 82

Appendiksliste:
Appendiks A - Transformation og anblok (Udskrevet)
Konklusion
Følgende er udelukkende in- og output-filer til afsnittene i rapporten. Fra Appendiks C og frem,
svarer appendiksnavnet til den afsnitsoverskrift, filerne indgår i:
Appendiks B - MATLAB-filer til Appendiks A
Appendiks C - Det udviklede program
Appendiks D - Varianfaktor kontra vægtmatrice
Appendiks E - Test af betydningen af geometrien og fællespunkter
Appendiks F - Planlægning af dataindsamling
Appendiks G - Dataindsamling
Appendiks H - Databehandling
Appendiks I - Vurdering
Side | 83

3D anblok sammenknytning af laserscanningsdata
Bilagsliste:
Bilag A - Teknikken bag terrestrisk laserscanning (Udskrevet)
Bilag B - Slides fra 5. semester (Udskrevet)
Bilag C - Tysk tekst om anblok (Udskrevet)
Derudover er der vedlagt en Bilags-CD, der findes bagerst i rapporten, sammen med en indholdsfortegnelse.
Side | 84

Appendiks A ‐ Transformation og anblok
Beskrivelse af teorien fra 2D transformation op til 3D anblok

Indledning Indhold
Appendiks A - Transformation og anblok
Indhold
1 Indledning ......................................................................................................................................................................... 3
2 Præsentation af koordinater ..................................................................................................................................... 5
2.1 2D koordinater ...................................................................................................................................................... 5
2.2 3D koordinater .................................................................................................................................................... 6
3 Princippet bag reduktion til tyngdepunktet ....................................................................................................... 9
4 2D transformation ...................................................................................................................................................... 13
4.1 Lineær metode .................................................................................................................................................... 14
4.2 Ulineær metode .................................................................................................................................................. 17
5 3D transformation ...................................................................................................................................................... 23
6 2D anblok ........................................................................................................................................................................ 27
6.1 Anblok med to modeller ................................................................................................................................. 29
6.1.1 Lineær metode .......................................................................................................................................... 29
6.1.2 Ulineær metode ........................................................................................................................................ 35
6.2 Anblok med tre modeller ................................................................................................................................ 39
6.2.1 Lineær metode .......................................................................................................................................... 39
6.2.2 Ulineær metode ........................................................................................................................................ 43
7 3D anblok ........................................................................................................................................................................ 45
7.1 Anblok med to modeller med den ulineære metode .......................................................................... 47
7.2 Anblok med tre modeller med den ulineære metode ......................................................................... 52
Side | 1

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 2

1 Indledning
Indledning
Formålet med dette appendiks er at klarlægge teorien bag 3D anblok. For at kunne dette, er det
vigtigt at have teorien bag transformationer på plads først. I dette appendiks vil teorien bag 2D
transformation og 3D transformation derfor blive præsenteret, hvorefter teorien bag 2D anblok og
3D anblok præsenteres. Sideløbende med teorierne vil der blive gennemgået eksempler for henholdsvis
2D og 3D.
Måden hvorpå appendikset vil blive struktureret er ved først at klarlægge hvordan koordinaterne i
eksemplerne er blevet genereret. Dernæst vil princippet for hvordan punkter i et koordinatsystem
reduceres til deres tyngdepunkt blive forklaret, da dette princip anvendes ved teorien både ved
transformationer og anblok. Efterfølgende vil transformationsteorien blive gennemgået for henholdsvis
2D og 3D. Afslutningsvis vil teorien for 2D og 3D anblok blive præsenteret.
Til hver fremstilling af henholdsvis transformationer og anblok er der udarbejdet MATLAB scripts,
der er vedlagt på Bilags-CD’en i mappen Appendiks B. Yderligere er koordinatfilerne, der er anvendt
til eksempler gennem appendikset også vedlagt på CD’en i særskilte mapper, så der efterfølgende
er mulighed for at rekonstruere eksemplerne. For at køre eksemplerne er det nødvendigt at
kopiere koordinatfilerne ud i mappen, hvor scriptene er i.
I hele appendikset er drejningerne angivet i gon.
Appendikset er opdelt i følgende afsnit:
1. Præsentation af koordinater
2. Princippet bag reduktion til tyngdepunktet
3. 2D transformation
o Lineær metode
o Ulineær metode
4. 3D transformation
o Ulineær metode
5. 2D anblok
o 2 modeller
� Lineær metode
� Ulineær metode
o 3 modeller
� Lineær metode
� Ulineær metode
6. 3D anblok
o 2 modeller
� Ulineær metode
o 3 modeller
� Ulineær metode
Side | 3

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 4

Præsentation af koordinater
2 Præsentation af koordinater
I forbindelse med de fortløbende eksempler er der forinden genereret nogle koordinatsæt til disse.
Koordinaterne er fremskaffet på to forskellige måder for henholdsvis 2D og 3D. Metoden der er
valgt til udarbejdelse af 3D koordinater kunne også have været valgt til udarbejdelse af 2D koordinater,
her har projektgruppen dog valgt en anden mere direkte metode. Nedenfor er metoderne til
fremskaffelse af henholdsvis 2D og 3D koordinater præsenteret.
2.1 2D koordinater
Koordinaterne til 2D transformation og 2D anblok er udarbejdet ved hjælp af et stykke pergamentpapir.
Måden hvorpå koordinaterne er fremskaffet er ved at tegne et koordinatsystem på et stykke
ternet papir, hvor hver tern udgør en enhed. Ovenpå dokumentet med koordinatsystemet lægges et
stykke pergamgentpapir. På dette pergamentpapir udvælges 7 tilfældige punkter som markeres og
noteres ned som Koordinatsystem 1, hvor punkterne til Model A er udvalgt. Koordinaterne aflæses
inden for halve tern. Koordinatsystem 1 fremgår af Figur 1. Efterfølgende drejes og flyttes pergamentpapiret
tilfældigt og de nye koordinater aflæses og noteres som Koordinatsystem 2, hvor
punkterne til Model B udvælges. Koordinaterne aflæses igen inden for halve tern. Koordinatsystem
fremgår af Figur 2. På den måde genereres nogle koordinater ved hjælp af tilfældige flytninger,
drejninger og uden skala. På tilsvarende vis fremskaffes koordinater i Koordinatsystem 3, som
fremgår af Figur 3, hvor punkterne til Model C udvælges.
Side | 5

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 6
Figur Figur 1: : Koordinatsystem Koordinatsystem 1
1
Figur Figur 3: : Koordinatsystem Koordinatsystem 3
3
Figur Figur 2: : Koordinatsystem Koordinatsystem 2
2
Ved 2D anblok anvendes koordinatsystem 1 til både Model A og fikspunktsystem. På baggrund af
koordinaternes tilblivelse kan der ikke forventes en bedre god nøjagtighed, da koordinaterne som
tidligere nævnt er aflæste inden for halve enheder.
2D koordinatfilerne er gemt på Bilags-CD’en i mappen Appendiks B og yderligere under mappen
der hedder 2D koordinatfiler. I denne mappe er koordinatsystemfilerne gemt i mappen 2D koordinatsystemfiler.
I mappen 2D koordinatfiler, er modellerne og fikspunkterne til 2D transformation
gemt i mappen 2D transformation, og modellerne og fikspunkterne til 2D anblok er gemt i mappen
2D anblok.
2.2 3D koordinater
Koordinaterne til 3D transformation og 3D anblok er udarbejdet ved hjælp af 3D transformationsligninger.
Koordinaterne i Koordinatsystem 1 er de samme som ved 2D koordinaterne, dog med
tilføjelse af tilfældige højder. Fra Koordinatsystem 1 udvælges punkter til fikspunktsystemet. Koordinaterne
fra Koordinatsystem 1 gennemløber scriptet Trans_koor.m, hvor der på forhånd er valgt
nogle transformationsparametre. Rotationsmatricen er transponeret i scriptet, da det derved er
muligt at sammenligne drejningerne efter transformationen og anblok med nedenstående drejninger.
Filen Trans_koor.m er gemt på Bilags-CD’en i mappen 3D koordinatfiler som er under Appen-

Præsentation af koordinater
diks B. De valgte transformationsparametrene, for at få koordinaterne fra Koordinatsystem 1 til de
enkelte modeller, er følgende:
Model Drejning (i gon) Skalering Flytning
ω (x-aksen) φ (y-aksen) κ (z-aksen) k tx ty tz
Model A 2 1,5 70 1 4 6 3
Model B -2 -2 130 1 7 9 2
Model C 1 2 -25 1 2 5 9
Tabel Tabel 1: : De valgte transformationsparametre
transformationsparametre
transformationsparametre
På baggrund af ovenstående transformationsparametre er koordinaterne til de enkelte modeller
blevet genereret. Koordinaterne er gemt med tre decimal. Grunden til at koordinaterne er gemt
med tre decimaler er, at det derved er muligt, at sammenligne resultaterne fra transformationen og
anblok med ovennævnte drejninger, for derved at have mulighed for at kontrollere for fejl i forbindelse
med udarbejdelsen af de forskellige scripts. På baggrund af koordinaternes tilblivelse kan der
her forventes en større nøjagtighed end med 2D koordinaterne i forbindelse med transformation og
anblok.
3D koordinatfilerne er gemt på Bilags-CD’en i mappen Appendiks B og yderligere under hedder 3D
koordinatfiler. I denne mappe er koordinatsystemfilerne gemt i mappen: 3D koordinatsystemfiler. I
mappen 3D koordinatfiler, er modellerne og fikspunkterne til 2D transformation gemt i mappen 3D
transformation, og modellerne og fikspunkterne til 3D anblok er gemt i mappen 3D anblok.
Side | 7

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 8

Princippet bag reduktion til tyngdepunktet
3 Princippet bag reduktion til
tyngdepunktet
Inden transformationerne påbegyndes er det ofte fornuftigt at reducere de enkelte modeller til deres
tyngdepunkt, det vil sige at de enkelte modellers punkter reduceres således at modellerne får
origo i deres respektive tyngdepunkter. Ved at gøre dette reduceres risikoen for, at der opstår numeriske
problemer. I dette afsnit vil teorien bag reduktion af model til dens tyngdepunkt blive præsenteret.
Sideløbende med teorien vil et eksempel blive gennemgået, som her kaldes Model D. Denne
model anvendes udelukkende til præsentation af, hvordan en model reduceres til dens tyngdepunkt.
Model D indeholder følgende punkter, hvor matricen indeholder punktnummer, x- og ykoordinat.
⎡1 8 23⎤
⎢
2 20 27
⎥
⎢ ⎥
MD = ⎢3 27 19⎥
⎢ ⎥
⎢4 22 15⎥
⎢
⎣5 5 14⎥
⎦
Figur 4 viser Model D (MD) inden reduktion (punkter i den røde cirkel) og Model D (MDr), hvor
punkterne er reduceret til modellens tyngdepunkt (punkterne i den grønne cirkel). Punktet med
punktnummer T repræsenterer middelværdien/tyngdepunktet for modellen.
Figur Figur Figur 4: : Viser Model D (MD) der reduceres til tyngdepunktet (MDr)
(MDr)
Indeholdt af X- og Y-vektorer er henholdsvis x- og y-koordinater til punkterne i en model. Vektorerne
har følgende indhold:
Side | 9

Appendiks A - Transformation og anblok
Koordinaterne til Model D er følgende:
Side | 10
[ 1 2 ⋯ n ]
[ ⋯
T
]
X = X X X
Y = Y Y Y
XD =
YD =
1 2
[ 8 20 27 22
T
5]
[ 23 27 19 15 14]
Inden modellen kan reduceres skal middelkoordinaterne beregnes. Dette sker på følgende måde:
Xm =
Ym =
n
∑
i=
1
n
∑
n
i=
1
Middelkoordinaterne for Model D er følgende:
XDm = 17, 2
n
X
Y
YDm = 19,6
Koordinaterne fra en model flyttes til tyngdepunktet, ved at subtrahere middelværdien (Xm) fra
koordinatvektoren (X). Nedenfor er fremgangsmåden vist:
⎡ Xr1 ⎤ ⎡ X1
⎤
Xr = X − Xm ⇔
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⋮
⎥
=
⎢
⋮
⎥
− Xm
⎢⎣ Xr ⎥ n ⎦ ⎢⎣ X ⎥ n ⎦
Yr = Y −Ym
Koordinaterne fra Model D flyttes på tilsvarende måde til tyngdepunktet, som vist nedenfor:
⎡ 8 ⎤ ⎡−9,2 ⎤
⎢
20
⎥ ⎢
2,8
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
XDr = XD − XDm = ⎢27⎥ − 17,2 = ⎢ 9,8 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢22⎥ ⎢ 4,8 ⎥
⎢
⎣ 9 ⎥
⎦
⎢
⎣−8, 2⎥
⎦
⎡23⎤ ⎡ 3, 4 ⎤
⎢
27
⎥ ⎢
7, 4
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
YDr = YD − YDm = ⎢19⎥ − 19,6 = ⎢−0,6 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢15⎥ ⎢−4,6 ⎥
⎢⎣ 14⎥⎦ ⎢⎣ −5,6⎥⎦
i
i
n
T
T

Princippet bag reduktion til tyngdepunktet
En models reducerede koordinater er nu beregnet. Den reducerede model vil i de efterfølgende
afsnit have følgende indehold:
Mr = [ pkt. nr. Xr Yr]
Indholdet i den reducerede Model D er følgende:
⎡1 ⎢
⎢
2
MDr = ⎢3 ⎢
⎢4 ⎢
⎣5 −9,
2
2,8
9,8
4,8
−8, 2
3, 4 ⎤
7,4
⎥
⎥
9,8 ⎥
⎥
4,8 ⎥
−8,
2⎥
⎦
For at kontrollere om de reducerede koordinater er korrekte, kan nedenstående sum foretages:
Denne kontrol udføres ligeledes på Model D.
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
i
i
n n
∑ ∑
Xr = Yr = 0
i i
i= 1 i=
1
( )
XDr = − 9, 2 + 2,8 + 9,8 + 4,8 + ( − 8, 2) = 0
( )
YDr = 3, 4 + 7, 4 + ( − 0,6) + ( − 4,6) + ( − 5,6) = 0
Reduktionen kan yderligere udvides til også at omfatte z-koordinaten. Dette sker på tilsvarende vis
som med x- og y-koordinaterne.
Side | 11

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 12

4 2D transformation
2D transformation
I dette afsnit vil 2D transformationer blive præcenteret. Der vil i afsnittet blive gennemgået hvordan
en transformation fra et koordinatsystem til et andet kan foregå. Afsnittet vil gennemgå en
transformation af fire punkter fra System B, over i System A. Transformationen bliver foretaget på
to måder. Den ene måde udføres ved hjælp af transformationsligninger, hvor de ulineære udtryk
sinφ og cosφ er substitueret væk, for at kunne beregne de ubekendte i transformationsligningerne,
uden at de skal lineariseres ved hjælp af 1. og 0. ordens polynomier. Når de ulineære udtryk skal
substitueres skal der være lige mange ubekendte før og efter substitutionen. Derfor bliver k∙cosφ
udskiftet med a og k∙sinφ udskiftet med b. Denne metode kaldes den lineære metode, da udtrykket
bliver substitueret til lineære udtryk. Ved den anden metode lineariseres transformationsligningerne
i en iterativ proces ved hjælp af 0. og 1. ordens afledede. Denne metode kaldes den ulineære
metode, da udtrykket er ulineært kan ikke substitueres til lineære udtryk.
I eksemplet anvendes de to modeller Model A og Model B, som repræsenterer de fire punkter i henholdsvis
System A og System B. I matricerne findes punktnummer, x- og y-koordinat:
Model A
Model B
⎡1 ⎢
2
MA = ⎢
⎢3 ⎢
⎣4 8
20
15
27
23⎤
27
⎥
⎥
20⎥
⎥
19⎦
⎡1 ⎢
2
MB = ⎢
⎢3 ⎢
⎣4 4
15
12
23,5
22⎤
29
⎥
⎥
21⎥
⎥
23⎦
Tabel Tabel 2: : Koordinater til de to modeller
Nedenstående skitse illustrerer, hvordan de forskellige modeller er knyttet sammen.
Figur Figur Figur 5: : : Illustrerer Illustrerer hvordan hvordan de de to to modeller modeller er er knyttet knyttet sammen sammen samt samt fællespunkternes fællespunkternes
placering
placering
Punkterne reduceres til tyngdepunkt, som beskrevet i afsnit 2 Princippet bag reduktion til tyngdepunktet
Side | 13

Appendiks A - Transformation og anblok
Model A
Side | 14
⎡1 -9,5 0,8 ⎤
⎢
2 2,5 4,8
⎥
MAr = ⎢ ⎥
⎢3 -2,5 -2,3⎥
⎢ ⎥
⎣4 9,5 -3,3⎦
Model B
Tabel Tabel 3: : Reducerede Reducerede koordinater til de to modeller
⎡1 -9,6 -1,8⎤
⎢
2 1,4 5,3
⎥
MBr = ⎢ ⎥
⎢3 -1,6 -2,8⎥
⎢ ⎥
⎣4 9,9 -0,8⎦
Transformationsligningen for 2D transformation, hvor X’ og Y’ repræsenterer koordinater for Model
A, mens X og Y repræsenterer koordinater for Model B, udtrykkes ved følgende ligning:
⎡X '⎤ ⎡cosϕ −sinϕ
⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢ k
Y '
⎥ = ⎢ +
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇕
X ' = k( X cosϕ − Y sin ϕ)
+ tx
4.1 Lineær metode
Y ' = k( X sinϕ + Y cos ϕ)
+ ty
For at linearisere udtrykket udføres en substitution, hvor k∙cosφ udskiftes med a og k∙sinφ udskiftes
med b, så transformationsligningen får følgende udtryk:
⎡X '⎤
⎡a −b⎤
⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢
Y '
⎥ = ⎢ +
b a
⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇕
X ' = aX − bY + tx
Y ' = bX + aY + ty
Transformationerne ønskes løst ved hjælp af mindste kvadraters princip hvilket kræver en opstilling
af A-matricen samt b-vektoren. Dette vil ske i de efterfølgende afsnit. A-matricen opstilles med
de partielt afledede udtryk af transformationsligningerne. Transformationsligningerne afledes partielt
og opstilles for både X og Y koordinaterne i alle punkterne der indgår i transformationen:
⎡∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X
'⎤
⎢ ∂a ∂b ∂tx ∂ty
⎥
A = ⎢ ⎥
⎢ ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y
' ⎥
⎢ ∂a ∂b ∂tx ∂ty
⎥
⎣ ⎦
De partielt afledede udtryk af X’:
∂X
'
= X
∂a
∂X
'
= 1
∂tx
∂X
'
= −Y
∂b
∂X
'
= 0
∂ty
Tabel Tabel Tabel 4: : Transformationsligningerne Transformationsligningerne differentieret
De partielt afledede udtryk af Y’:
∂Y
'
= Y
∂a
∂Y
'
= 0
∂tx
∂Y
'
= X
∂b
∂Y
'
= 1
∂ty

A =
a b tx ty
X
Pkt. 1
Y
-Y
X
1
0
0
1
X
Pkt. 2
Y
-Y
X
1
0
0
1
X
Pkt. 3
Y
-Y
X
1
0
0
1
X
Pkt. 4
Y
-Y
X
1
0
0
1
Tabel Tabel 5: Differentieret Differentieret AA-matrice,
A matrice, matrice, hvor hvor det det grå grå område område er er matricen, matricen,
matricen,
mens mens teksten teksten udenom udenom i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst til til matrices indhold
Værdierne fra Model B indsættes i A-matricen:
⎡-9,6 ⎢
⎢
-1,8
⎢ 1,4
⎢
5,3
A = ⎢
⎢-1,6 ⎢
⎢-2,8 ⎢ 9,9
⎢
⎢⎣ -0,8
1,8
-9,7
-5,3
1,4
2,8
-1,6
0,8
9,9
1
0
1
0
1
0
1
0
0⎤
1
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎥
0⎥
⎥
1⎥
0⎥
⎥
1⎥⎦
2D transformation
Observationsvektoren b, indeholder koordinaterne til punkterne i den reducerede Model A (MAr):
[ ' ' ' ' ' ' ' ' ]
b = X Y X Y X Y X Y
1 1 2 2 3 3 4 4
[ -9,5 0,8 2,5 4,8 -2,5 -2,3 9,5 -3,3] T
b =
Løsningen x, beregnes ved hjælp af mindste kvadraters princip:
T −1
T
x = ( A A) A b
x-vektoren indeholder a og b samt flytningerne tx og ty:
[ ] T
x = a b tx ty
[ 0,96 -0,25 0,00 0,00] T
x =
Værdierne for tx og ty er 0, fordi modellerne er reduceret til tyngdepunkt.
Transformationsparametrene skalering (k) og drejning om z-aksen (φ) beregnes ved:
( ) 200 b
ϕ = arctan 2 = − 16, 227 , og
a π
k a b
2 2
= + =
0,996
T
Side | 15

Appendiks A - Transformation og anblok
Udtrykket ”arctan2” henviser til MATLABs udtryk ”atan2”, der udfører en fortegnsanalyse inden
vinklen beregnes. Det er nødvendigt med en fortegnsanalyse, da drejning beregnes ud fra den almindelige
tangens beregner vinkler i intervallet ± 100 gon, og da laserscanneren kan dreje 400 gon
er det nødvendigt med en fortegnsanalyse for at kunne beregne drejning i intervallet ± 200 gon.
Flytningerne beregnes ved hjælp af middelværdien, af koordinaterne til Model A (Xm’ og Ym’) og
Model B (Xm og Ym), som er beskrevet i afsnit 2 Princippet bag reduktion til tyngdepunktet, samt a
og b. Udtrykket er vist nedenfor, hvor de beregnede flytninger benævnes Tx og Ty:
⎡Tx⎤ ⎡Xm '⎤
⎡a −b⎤
⎡Xm⎤ ⎢
Ty
⎥ = ⎢ −
Ym '
⎥ ⎢
b a
⎥ ⎢
Ym
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx⎤ ⎡−1,597 ⎤
⎢ =
Ty
⎥ ⎢
2,780
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Residualerne beregnes ved hjælp af A-matricen, løsningsvektoren (x) og observationsvektoren (b):
r = Ax − b
Indholdet i residualvektoren er residualet mellem x- og y-koordinaterne for punkterne i Model A og
Model B efter transformationen:
Side | 16
[ ]
r = rX rY rX rY rX rY rX rY
1 1 2 2 3 3 4 4
[ -0,22 -0,02 0,14 -0,04 0,24 0,01 -0,17 0,05] T
r =
Værdierne for residualerne virker fornuftige, når der tages højde for den metode, hvorefter koordinaterne
er fremstillet. Det kan ikke forventes, at koordinaterne passer perfekt sammen når koordinaterne
til Model B er skønnet inden for halve tern.
Til 2D transformation med den lineære metode har projektgruppen udarbejdet et script i MATLAB
som hedder D2_trans_ab.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i mappen Appendiks B. I scriptet er ovennævnte
procedure foretaget, dog er der nogle forhold der her skal gøres opmærksom på i forbindelse
med gennemløb af scriptet. De to modeller hentes ind i scriptet fra txt-filer ved navn modelA.txt
og modelB.txt. Filerne indeholder matricer med tre søjler, hvor første søjle er punktnummer,
mens de øvrige to er henholdsvis x- og y-koordinater. Søjlerne i txt-filerne er adskilt af mellemrum.
Disse txt-filer skal ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For at genskabe eksemplet som er
gennemgået i dette afsnit skal filerne modelA.txt og modelB.txt hentes fra mappen 2D transformation
under mappen 2D koordinatfiler og placeres direkte under mappen Appendiks B på Bilags-
CD’en inden scriptet gennemløbes.
Rækkefølgen af punkterne i de to filer, modelA.txt og modelB.txt, skal være den samme.
Rækkefølgen af rækkerne i A-matricen er lidt anderledes i scriptet end i den ovenfor gennemgået
teori. Den ændrede rækkefølge skyldes, at det programmeringsmæssigt er lettere at have alle rækkerne
der repræsenterer X’ i transformationsligningen først, herefter alle rækkerne der repræsentere
Y’. Dette er vist nedenfor.
T

A =
a b tx ty
Pkt. 1 X -Y 1 0
Pkt. 2
X'
Pkt. 3
X
X
-Y
-Y
1
1
0
0
Pkt. 4 X -Y 1 0
Pkt. 1 Y X 0 1
Pkt. 2
Y'
Pkt. 3
Y
Y
X
X
0
0
1
1
Pkt. 4 Y X 0 1
Tabel Tabel 6: : Differentieret AA-matrice,
A
matrice, hvor hvor det det grå grå grå område område er er matricen,
matricen,
mens mens teksten teksten udenom udenom i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst til til matricens indhold
2D transformation
På grund af den ændrede rækkefølge i A-matricen skal rækkefølgen i b-vektoren ændres på tilsvarende
vis, hvor x-værdierne til Model A kommer først hvorefter y-værdierne. Strukturen af bvektoren
er vist nedenfor.
[ ' ' ' ' ' ' ' ' ]
b = X X X X Y Y Y Y
1 2 3 4 1 2 3 4
På tilsvarende vis vil de beregnede residualer også have samme struktur som b-vektoren. Strukturen
for r-vektoren er vist nedenfor.
[ ]
r = rX rX rX rX rY rY rY rY
1 2 3 4 1 2 3 4
I scriptet er der, som tidligere nævnt, foretaget en fortegnsanalyse i forbindelse med beregningen af
drejningen.
Ved gennemløb af scriptet genereres en output-fil ved navn x_for_p.txt, som indeholder den beregnede
drejning. Drejningen i filen bliver senere anvendt som foreløbig drejning i forbindelse med de
ulinære metoder. Filen bliver overskrevet når 2D anblok med lineær metode bliver gennemløbet.
4.2 Ulineær metode
Efter at have opstillet transformationsligningerne efter den lineære metode vælges der her at løse
de samme transformationsligninger efter den ulineære metode på trods af, at denne kan lineariseres.
Dette gøres for at afprøve den ulineære metode på et 2D udtryk, da det senere ikke er muligt at
linearisere 3D transformationsligningerne efter den lineære metode.
Den ulineære metode har samme opbygning som den lineære metode. Med denne fremgangsmåde
skal de oprindelige transformationsligninger partiel differentieres. Transformationsligningerne,
som er præsenteret i afsnit 3 2D transformation, er følgende:
⎡X '⎤ ⎡cosϕ −sinϕ
⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ ⎢ k
Y '
⎥ = ⎢ +
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥ ⎢
ty
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇕
X ' = k( X cosϕ − Y sin ϕ)
+
tx
T
T
Side | 17

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 18
Y ' = k( X sinϕ + Y cos ϕ)
+ ty
Som ved den lineære metode skal transformationsligningerne partielt differentieres. Disse afledede
udtryk skal anvendes i A-matricen, transformationsligningerne differentieres og opstilles for både x
og y-koordinaterne i alle punkterne der indgår i transformationen:
⎡∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X
'⎤
⎢ ∂ϕ ∂k ∂tx ∂ty
⎥
A = ⎢ ⎥
⎢ ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y
' ⎥
⎢ ∂ϕ ∂k ∂tx ∂ty
⎥
⎣ ⎦
De partielt afledede udtryk af X’: De partielt afledede udtryk af Y’:
∂X
'
= −kX sinϕ − kY cos ϕ ( α )
∂ϕ
∂X
'
= 1
∂tx
∂Y
'
= kX cosϕ − kY sin ϕ ( θ )
∂ϕ
∂X
'
= X cosϕ −Y
sin ϕ ( β )
∂k
∂X
'
= 0
∂ty
∂Y
'
= X sinϕ + Y cos ϕ ( μ )
∂k
Tabel Tabel 7: : : Symbolerne Symbolerne i i parenteserne parenteserne er er henvisninger, henvisninger, der der anvendes anvendes i i forbindelse forbindelse med med opstilling opstilling af af A-matricen A
matricen
∂Y
'
= 0
∂tx
∂Y
'
= 1
∂ty
Herunder er udtrykkene indsat i A-matricen, de længste udtryk er symboliseret ved α, β, θ og μ.
Dette skal ikke betragtes som en egentlig substitution, idet det er de egentlige udtryk der regnes
med. Symbolerne bliver blot indsat i matricen, for at gøre denne mere overskuelig.
ϕ k tx ty
A =
Pkt. 1 α β 1 0
θ μ 0 1
Pkt. 2 α β 1 0
θ μ 0 1
Pkt. 3 α β 1 0
θ μ 0 1
Pkt. 4 α β 1 0
θ μ 0 1
Tabel Tabel 8: Differentieret Differentieret Differentieret AA-matr
A matr matrice, matr ice, hvor hvor det det grå grå område område er er matr matricen, matr icen,
mens mens teksten teksten udenom udenom i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende forklarende tekst tekst til til matrices indhold
Da de ubekendte stadig indgår i elementerne i A-matricen efter differentiation, kræves der nogle
foreløbige værdier til x-vektoren, for at den endelige løsning kan beregnes. Den eneste foreløbige
værdi, der skal bruges, er drejningen om z-aksen, da flytningerne er 0, fordi modellerne er reducerede
til deres tyngdepunkt og skaleringen sættes til 1, da det forventes at målforholdet er 1. Til den
foreløbige værdi for φ kan løsningen fra den lineære metode anvendes. Den foreløbige x-vektor vil
dermed indeholde:
[ ] T
ϕ
x = k tx ty
[ 16,227 1 0 0] T
x = −

2D transformation
Da løsningen skal findes ved en iterativ proces, indeholder b-vektoren differensen mellem 0. ordens
afledede af transformationsligningerne, med indsættelse af de foreløbige værdier for x-vektoren og
den b-vektor som er præsenteret i den lineære metode, svarende til koordinaterne i Model A. Denne
b-vektoren kaldes i matematiske sammenhænge også OMC (Observed Minus Computed).
Hvor blineær er følgende:
lineær
[ ] [ 0. ordens afledede]
b = b −
lineær
T T
[ ' ' ' ' ' ' ' ' ]
b = X Y X Y X Y X Y
b =
lineær
1 1 2 2 3 3 4 4
[ -9,5 0,8 2,5 4,8 -2,5 -2,3 9,5 -3,3] T
Når de foreløbige værdier er tæt på den endelige løsning er værdierne i b-vektoren små.
Løsningen i den iterative proces findes ved at addere ˆx , til de foreløbige værdier for x. Denne nye
værdi er den nye foreløbige x-værdi til næste iteration.
( ) 1 −
T T
xˆ = A A A b
x x xˆ
i+ 1 i = +
Iterationen fortsættes til resultatet er tilfredsstillende. Da der her anvendes foreløbige værdier tæt
på den endelige løsning er tre iterationer passende (fastslået på baggrund af testberegninger af
dette eksempel).
Løsningen efter 3. iteration:
[ 16,227 0,996 0 0] T
x = −
Ovennævnte drejning og skalering stemmer overens med drejningen og skaleringen fra den lineære
metode.
Flytningerne beregnes med middelværdien af koordinaterne til Model A og Model B, samt k og φ.
Udtrykket er vist nedenfor, hvor de beregnede flytninger benævnes Tx og Ty:
⎡Tx⎤ ⎡Xm '⎤ ⎡cosϕ −sin
ϕ⎤
⎡Xm⎤ ⎢ k
Ty
⎥ = ⎢
Ym' ⎥ − ⎢
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Ym
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx⎤ ⎡−1,597 ⎤
⎢ =
Ty
⎥ ⎢
2,780
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Disse flytninger stemmer ligeledes overens med de flytninger der blev beregnet ved den lineære
metode.
Residualerne beregnes ved hjælp af A-matricen, løsningsvektoren og b-vektoren:
r = Ax −
b
T
Side | 19

Appendiks A - Transformation og anblok
Indholdet i residualvektoren er residualet mellem x- og y-koordinaterne for punkterne i Model A og
Model B efter transformationen:
Side | 20
[ ]
r = rX rY rX rY rX rY rX rY
1 1 2 2 3 3 4 4
[ -0,22 -0,02 0,14 -0,04 0,24 0,01 -0,17 0,05] T
r =
Ovennævnte residualer er identiske med residualerne fra den lineære metode.
Til 2D transformation med den ulineære metode har projektgruppen ligeledes udarbejdet et script i
MATLAB. Dette script hedder D2_trans_sincos.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i mappen Appendiks
B. I scriptet er ovennævnte procedure foretaget, dog er der nogle forhold der her skal gøres opmærksom
på i forbindelse med gennemløb af scriptet. Som med 2D transformation med den lineære
metode hentes de to modeller ind i scriptet fra txt-filer ved navn modelA.txt og modelB.txt. Disse
filer indeholder matricer med tre søjler, hvor første søjle er punktnummer, mens de øvrige to er
henholdsvis x- og y-koordinater. Søjlerne i txt-filerne er adskilt af mellemrum. Disse txt-filer skal
som tidligere beskrevet ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For at genskabe eksemplet
som er gennemgået i dette afsnit skal filerne modelA.txt og modelB.txt hentes fra mappen 2D transformation
under mappen 2D koordinatfiler og placeres direkte under mappen Appendiks B på Bilags-CD’en
inden scriptet gennemløbes.
Rækkefølgen af punkterne i de to filer, modelA.txt og modelB.txt, skal, som med den forrige metode,
være den samme.
Inden scriptet til 2D transformation med den ulineære metode, D2_trans_sincos.m, gennemløbes
skal scriptet med 2D transformation med den lineære metode, D2_trans_ab.m, gennemløbes. Dette
skyldes at den foreløbige værdi for drejningen hentes fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb
af den lineære metode, D2_trans_ab.m.
Rækkefølgen af rækkerne i A-matricen, b-vektoren og r-vektoren er lidt anderledes i scriptet end i
den ovenfor gennemgåede teori. Den ændrede rækkefølge skyldes, at det programmeringsmæssigt
er lettere. Rækkefølgen af de ændrede matricer/vektorer er identiske med rækkefølgen som i scriptet
til 2D transformation med den lineære metode, som er beskrevet i afsnit 4.1 Lineær metode.
En anden måde at beregne de partielt afledede værdier til A-matricen er at anvende Peter Cederholms
script numafl.m. Scriptet foretager en numerisk approksimation af de partielt afledede af en
funktion. Inputtet til scriptet er en funktion, hvortil de partielt afledede ønskes, samt foreløbige
værdier til de variable i funktionen. Outputtet fra numafl.m er de afledede udtryk af transformationsparametrene
og 0’te ordens leddet.
Scriptet approksimerer værdierne af 0. og 1. ordens afledede. De 0. ordens afledede anvendes i bvektoren
ligesom i det foregående eksempel. Mens de 1. ordens afledede anvendes i A-matricen,
ligeledes som i det foregående eksempel.
T

2D transformation
Løsningsvektoren x beregnes ligesom i det foregående eksempel ved hjælp af mindste kvadraters
princip, og da transformationsligningerne er ulineære, beregnes x-vektoren iterativt ved at beregne
tilvæksten ˆx , og addere den til x. Som foreløbige værdier til x, anvendes resultatet fra den lineære
beregning af x.
Ved anvendelse af numafl.m bliver løsningsvektoren efter tre iterationer (fastslået på baggrund af
testberegninger af dette eksempel) følgende:
[ ] T
ϕ
x = k tx ty
[ 16,227 0,996 0 0] T
x = −
Ovennævnte løsningsvektor er identisk med løsningsvektoren fra den lineære metode.
Flytningerne beregnes med middelværdien af koordinaterne til Model A og Model B, samt k og φ.
Udtrykket er vist nedenfor, hvor de beregnede flytninger benævnes Tx og Ty:
⎡Tx⎤ ⎡Xm '⎤ ⎡cosϕ −sin
ϕ⎤
⎡Xm⎤ ⎢ k
Ty
⎥ = ⎢
Ym' ⎥ − ⎢
sinϕ cosϕ
⎥ ⎢
Ym
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇕
⎡Tx⎤ ⎡−1,599 ⎤
⎢ =
Ty
⎥ ⎢
2,783
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
De beregnede flytninger er identiske med flytningerne fra den lineære metode, dog er der en lille
afvigelse på tredje decimalen, hvilket kan skyldes den numeriske approksimation samt det at drejningerne
ikke er 100 % identiske på alle decimaler med drejningen og flytningen fra den lineære
metode.
Residualerne beregnes ligeledes som i det foregående eksempel, og indholdet i residualvektoren er
residualet mellem x- og y-koordinaterne for punkterne i Model A og Model B efter transformationen:
[ ]
r = rX rY rX rY rX rY rX rY
1 1 2 2 3 3 4 4
[ -0,22 -0,02 0,14 -0,04 0,24 0,01 -0,17 0,05] T
r =
Residualerne er de samme som dem der blev beregnet for den lineære metode.
Da resultatet ved anvendelsen af numafl.m og manuel partiel differentiation er de samme, vil numafl.m
i de følgende afsnit blive anvendt til at approksimere de afledede værdier.
Til 2D transformation med den ulineære metode, hvor scriptet numafl.m anvendes, har projektgruppen
ligeledes udarbejdet et script i MATLAB. Dette script hedder D2_trans_numafl.m. Denne fil
er på Bilags-CD’en i mappen Appendiks B sammen med filen numafl.m, som er nødvendig for, at
projektgruppens script kan gennemløbes. I scriptet er ovennævnte procedure foretaget, dog er der
nogle forhold der her skal gøres opmærksom på i forbindelse med gennemløb af scriptet. På tilsva-
T
Side | 21

Appendiks A - Transformation og anblok
rende vis som med scriptet D2_trans_sincos.m, som er beskrevet tidligere i dette afsnit, hentes to
modeller ind i scriptet, som skal have samme struktur som tidligere beskrevet. For at genskabe
eksemplet som er gennemgået i afsnittet skal filerne modelA.txt og modelB.txt hentes fra mappen
2D transformation under mappen 2D koordinatfiler og placeres direkte under mappen Appendiks B
på Bilags-CD’en inden scriptet gennemløbes.
Rækkefølgen af punkterne i de to filer, modelA.txt og modelB.txt, skal, som med den forrige metode,
være den samme.
Inden scriptet til 2D transformation med den ulineære metode, D2_trans_numaflm, gennemløbes
skal scriptet med 2D transformation med den lineære metode, D2_trans_ab.m, gennemløbes. Dette
skyldes at den foreløbige værdi for drejningen hentes fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb
af den lineære metode, D2_trans_ab.m.
Side | 22

5 3D transformation
3D transformation
I dette appendiks vil 3D transformation blive præcenteret. Der vil i afsnittet blive gennemgået
hvordan en transformation fra et koordinatsystem til et andet kan foregå. Afsnittet vil gennemgå en
transformation af fire punkter i et system, over i et andet system. Da det ikke kan lade sig gøre at
linearisere transformationsligningerne ved hjælp af substitution, skal transformationsparametrene
beregnes iterativt. Grunden til at transformationsligningerne ikke kan lineariseres ved hjælp af
substitution er, at der ved substitution skal være lige mange ubekendte før og efter substitutionen.
I eksemplet anvendes Model A og fikspunktsystem, som repræsenterer de fire punkter i henholdsvis
det ene og det andet system. I matricerne findes punktnummer, x- og y-koordinater:
⎡1 8 23 5 ⎤
⎢
2 20 27 4
⎥
F = ⎢ ⎥
⎢3 15 20 11⎥
⎢ ⎥
⎣4 27 19 2 ⎦
Tabel Tabel Tabel 9: : : Koordinater til fikspunktsystem og Model A
⎡1 28,208 9,472 7,462 ⎤
⎢
2 37,201 0,560 6,620
⎥
MA
= ⎢ ⎥
⎢3 28,816 2,088 13,717⎥
⎢ ⎥
⎣4 33,216 -9,371 5,038 ⎦
Punkterne reduceres til tyngdepunkt som beskrevet i afsnittet, der omhandler reduktion til tyngdepunkt.
De reducerede koordinater er følgende:
⎡1 -9,5 0,75 -0,5⎤
⎡1 -3,652 8,785 -0,747⎤
⎢
2 2,5 4,75 -1,5
⎥
⎢
Fr ⎢ ⎥
2 5,341 -0,127 -1,589
⎥
= MAr = ⎢ ⎥
⎢3 -2,5 -2,25 5,5 ⎥
⎢3 -3,044 1,401 5,508 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣4 9,5 -3,25 -3,5⎦
⎣4 1,356 -10,058 -3,171⎦
Tabel Tabel 10 10: 10 : Reducerede koordinater til fikspunktsystem og Model A
Transformationsligningen for 3D transformation [Jensen, 2005, s. 107], hvor X’, Y’ og Z’ repræsenterer
koordinater fra fikspunktsystem, og X, Y og Z repræsenterer koordinater for Model A:
⎡X '⎤
⎡ cosϕ cosκ ⎢
Y '
⎥
= k
⎢
sinω sinϕ cosκ + cosω sinκ ⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ Z ' ⎥⎦ ⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ −cosϕ
sinκ − sinω sinϕ sinκ + cosω cosκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ ⇕
sinϕ
⎤ ⎡X ⎤ ⎡tx⎤ − sinω cosϕ
⎥ ⎢
Y
⎥
+
⎢
ty
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
cosω cosϕ
⎥⎦
⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ tz ⎥⎦
( ϕ κ ϕ κ ω)
( ω ϕ κ ω κ ω ϕ κ ω κ ω ϕ )
( ω ϕ κ ω κ ω ϕ κ ω κ ω κ )
X ' = k X cos cos − Y cos sin + Z sin + tx
Y ' = k X (sin sin cos + cos sin ) −Y (sin sin sin − cos cos ) − Z sin cos + ty
Z ' = k X ( − cos sin cos + sin sin ) + Y (cos sin sin + sin cos ) + Z cos cos + tz
Ved en 3D transformation er det ikke muligt at linearisere transformationsligningerne, som de er
blevet i 2D transformation. Derfor skal løsningen til transformationen løses iterativt. Udtrykkene
skal dog stadig partielt differentieres. Disse afledede skal anvendes i A-matricen.
Side | 23

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 24
⎡∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X ' ∂X
'⎤
⎢
ω ϕ κ k tx ty tz
⎥
⎢
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎥
⎢ ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y ' ∂Y
' ⎥
A = ⎢ ⎥
⎢
∂ω ∂ϕ ∂κ ∂k ∂tx ∂ty ∂tz
⎥
⎢ ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z ' ∂Z
' ⎥
⎢ ⎥
⎣ ∂ω ∂ϕ ∂κ ∂k ∂tx ∂ty ∂tz
⎦
Der opstilles en x-vektor med foreløbige værdier for transformationsparametrene ω, φ, κ, k, tx, ty
og tz. Som foreløbig værdi for den ubekendte værdi κ, anvendes resultatet fra den lineære 2D transformation.
Værdierne for ω og φ sættes til nul, idet drejningerne om x- og y-akserne ved laserscanningsopstillinger
forventes at være nær nul. Da begge modeller er reduceret til tyngdepunkt er tx,
ty og tz nul.Foreløbige værdier for skaleringen, k, sættes til 1, da det forventes at målforholdet er 1.
[ 0 0 70,456 1 0 0 0] T
x =
Herefter beregnes resultatet iterativt, idet transformationsligningerne ikke er lineære. Dette gøres
iterativt, ved først at beregne nogle udtryk til en A-matrice, ved hjælp af scriptet numafl.m.
A-matricen sammensættes herefter af de 1. ordens afledede værdier fra de to transformationsligninger.
Denne A-matrice svarer til den, der bliver opstillet i afsnit 3 2D transformation, bortset fra
at der her bliver beregnet parametre for Z-ligningen.
Herefter beregnes b-vektoren ligeledes iterativt. Denne beregnes ved hjælp af de reducerede koordinater
fra fikspunktsystem, på tilsvarende vis som b fra den lineære metode ved 2D transformation,
og det, i numafl.m, beregnede 0. ordens led, med indsættelse af foreløbige værdier fra xvektoren,
for hver transformationsligning.
Hvor blineær er følgende:
b =
lineær
[ ] [ 0. ordens afledede]
b = b −
lineær
T T
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
T
lineær = ⎡
⎣
⎤
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ⎦
b Xr Yr Zr Xr Yr Zr Xr Yr Zr Xr Yr Zr
[ -9,5 0,75 -0,5 2,5 4,75 -1,5 -2,5 -2,25 5,5 9,5 -3,25 -3,5] T
Når de foreløbige værdier er tæt på den endelige løsning er værdierne i b-vektoren små.
Løsningen i den iterative proces findes ved at addere ˆx , til de foreløbige værdier for x. Denne nye
værdi er den nye foreløbige x-værdi til næste iteration.
( ) 1 −
T T
xˆ = A A A b
x x xˆ
i+ 1 i = +
Iterationen fortsættes til resultatet er tilfredsstillende. Da der her anvendes foreløbige værdier tæt
på den endelige løsning er tre iterationer passende (fastslået på baggrund af testberegninger af
dette eksempel).

Løsningen efter 3. iteration:
[ ] T
ω ϕ κ
x =
k tx ty tz
[ 2,000 1,500 70,002 1,000 0 0 0] T
x =
3D transformation
Ovennævnte drejninger og skalering stemmer overens med de drejninger og skalering, der blev
anvendt da koordinaterne blev genereret.
Flytningerne beregnes med middelværdien af koordinaterne fra fikspunktsystem (Xm’, Ym’ og Zm’)
og Model A (Xm, Ym og Zm) samt k, ω, φ og κ. Udtrykket er vist nedenfor, hvor de beregnede flytninger
benævnes Tx, Ty og Tz:
⎡Tx⎤ ⎡Xm '⎤
⎡ cosϕ cosκ ⎢
Ty
⎥
=
⎢
Ym '
⎥
− k
⎢
sinω sinϕ cosκ + cosω sinκ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ Tz ⎥⎦ ⎢⎣ Zm' ⎥⎦ ⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ ⇕
−cos
ϕ sinκ − sinω sinϕ sinκ + cosω cosκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ sinϕ
⎤ ⎡Xm⎤ −sin
ω cosϕ
⎥ ⎢
Ym
⎥
⎥ ⎢ ⎥
cosω cosϕ
⎥⎦
⎢⎣ Zm ⎥⎦
⎡Tx⎤ ⎡ 3,460 ⎤
⎢
Ty
⎥
=
⎢
-6,188
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ Tz ⎥⎦
⎢⎣ -3,278⎥⎦
De beregnede flytninger er ikke identisk med de oprindelige flytninger som blev anvendt da koordinaterne
blev genereret. Der er afvigelser på op til 0,5 enheder. Dette kan skyldes at drejningerne
ikke er 100 % identiske med de oprindelige drejninger hvilket smitter af på de beregnede flytninger.
Residualerne beregnes ved hjælp af A-matricen, løsningsvektoren og b-vektoren:
r = Axˆ − b
Indholdet i residualvektoren er residualet mellem x-, y- og z-koordinaterne for punkterne i fikspunktsystem
og Model A efter transformationen:
[ ]
r = rX rY rZ rX rY rZ rX rY rZ rX rY rZ
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
Residualerne for eksemplet er alle nul med tre decimaler, hvilket også var forventet da koordinaterne
genereret ved hjælp af transformationsligninger og med tre decimaler.
Til 3D transformation med den ulineære metode har projektgruppen ligeledes udarbejdet et script i
MATLAB. Dette script hedder D3_trans_numafl.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i mappen Appendiks
B. I scriptet er ovennævnte procedure foretaget, dog er der nogle forhold der her skal gøres opmærksom
på i forbindelse med gennemløb af scriptet. De to modeller hentes ind i scriptet fra txtfiler
ved navn fiks.txt og modelA.txt. Filerne indeholder matricer med fire søjler, hvor første søjle er
punktnummer, mens de øvrige tre er henholdsvis x- y- og z-koordinater. Søjlerne i txt-filerne er
adskilt af mellemrum. Disse txt-filer skal ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For at gen-
T
Side | 25

Appendiks A - Transformation og anblok
skabe eksemplet som er gennemgået i dette afsnit skal filerne fiks.txt og modelA.txt hentes fra
mappen 3D transformation under mappen 3D koordinatfiler og placeres direkte under mappen
Appendiks B på Bilags-CD’en inden scriptet gennemløbes.
Rækkefølgen af punkterne i de to filer, fiks.txt og modelA.txt, skal være den samme.
Inden scriptet til 3D transformation med den ulineære metode, D3_trans_numafl.m, gennemløbes
skal scriptet med 2D transformation med den lineære metode, D2_trans_ab.m, gennemløbes. Dette
skyldes at den foreløbige værdi for drejningen hentes fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb
af den lineære metode, D2_trans_ab.m. Inden D2_trans_ab.m gennemløbes skal der rettes i de linier,
hvor scriptet henter txt-filerne. Dette begrundes med at der i 3D transformationen arbejdes med
fiks.txt og modelA.txt i stedet for modelA.txt og modelB.txt. Måden hvorpå dette rettes er ved at
åbne D2_trans_ab.m og ændre i linie 13, hvor modelA.txt rettes til fiks.txt og linie 31, hvor modelB.txt
rettes til modelA.txt. Hvis scriptet senere ønskes gennemløbet med henblik på at genere
foreløbige koordinater til 2D transformations scriptene skal ovenstående rettes tilbage igen.
Rækkefølgen af rækkerne i A-matricen er, som med de forrige metoder, lidt anderledes i scriptet
end i den ovenfor gennemgået teori. Den ændrede rækkefølge skyldes, at det programmeringsmæssigt
er lettere at have alle rækkerne der repræsentere X’ i transformationsligningen først, hvorefter
alle rækkerne der repræsentere Y’ og til sidst rækkerne der repræsentere Z’. Denne rækkefølge er
ligeledes gældende for b-vektoren og r-vektoren.
Side | 26

6 2D anblok
2D anblok
I dette afsnit vil 2D anblok med to og tre modeller blive præsenteret. Denne præsentation skal klarlægge
den bagvedliggende teori bag anblok for derigennem at være i stand til at anvende anblok i
projektet. Måden hvorpå afsnittet er opbygget er ved først at se på teorien bag anblok med to modeller,
hvorefter denne vil blive udvidet til anblok med tre modeller. Under hver behandling vil der
blive set på beregning af anblok med anvendelse af den lineære metode ved substitution og beregning
med anvendelse af den ulineære metode.
Den anblok som projektgruppen har kendskab til og som anvendes i dette appendiks samt rapporten
er, hvor transformationsparametrene fra flere modeller eller punktskyer over til et overordnet
koordinatsystem bestemmes på én gang. Den teori som er anvendt til anblok kan ses i Bilag C.
Gennem præsentationen af anblok vil et eksempel blive præsenteret for derigennem at overskueliggøre
teorien. Eksemplet består af nedenstående modeller, hvor første søjle i matricerne er
punktnummer og de efterfølgende søjler er henholdsvis x- og y-koordinater.
Model A
⎡1 ⎢
⎢
3
MA = ⎢5 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 8
15
9
7
19
23⎤
20
⎥
⎥
14⎥
⎥
8 ⎥
9 ⎥
⎦
Model B
⎡1 ⎢
⎢
2
MB = ⎢3 ⎢
⎢4 ⎢
⎣5 4
15
12
23,5
7,5
22 ⎤
29
⎥
⎥
21 ⎥
⎥
23 ⎥
13,5⎥
⎦
Tabel Tabel 11 11: 11 : Koordinater til de enkelte modeller
Model C
⎡2 ⎢
⎢
3
MC = ⎢4 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 8
9
18,5
12
20
27 ⎤
18,5
⎥
⎥
26 ⎥
⎥
4 ⎥
13,5⎥
⎦
Nedenstående skitse illustrerer, hvordan de forskellige modeller er knyttet sammen.
Side | 27

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 28
Figur Figur 6: : Illustrerer hvordan de enkelte modeller er knyttet sammen ved ved hjælp hjælp af af fællespunkter
fællespunkter
fællespunkter
For at sammenknytningen går godt er det hensigtsmæssigt at reducere de enkelte modeller til deres
respektive tyngdepunkter. Dette er gjort i nedenstående tabel. Det er de nedenstående reducerede
modeller der arbejdes videre med i resten af afsnittet.
Model A
Model B
Model C
⎡1 ⎢
⎢
3
MAr = ⎢5 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 −3,6
3,4
−2,6 −4,6 7,4
8, 2 ⎤
5,2
⎥
⎥
−0,8⎥
⎥
−6,8⎥
−5,8⎥
⎦
⎡1 ⎢
⎢
2
MBr = ⎢3 ⎢
⎢4 ⎢
⎣5 −8,
4
2,6
−0, 4
11,1
−4,9 0,3 ⎤
7,3
⎥
⎥
−0,7⎥
⎥
1,3 ⎥
−8,
2⎥
⎦
⎡2 ⎢
⎢
3
MCr = ⎢4 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 −5,5
−4,5
5,0
−1,5 6,5
9, 2 ⎤
0,7
⎥
⎥
8,2 ⎥
⎥
−13,8⎥
−4,3
⎥
⎦
Tabel Tabel 12 12: 12 : Reducerede koordinater til de enkelte modeller
Ved anblok transformeres de enkelte modeller over i et overordnet koordinatsystem ved hjælp af
minimum to fikspunkter. Dette overordnede koordinatsystem kan være et landskoordinatsystem
eller et lokalt koordinatsystem. Systemet kan, som i dette tilfælde, også være det samme som en af
modellerne, her Model A. Matricen med fikspunkternes koordinater er vist nedenfor, hvor den første
søjle er punktnummer, mens de to sidste er henholdsvis x- og y-koordinater.
⎡1 8 23⎤
F = ⎢
7 19 9
⎥
⎣ ⎦
Fikspunktskoordinaterne er ligeledes reduceret til deres tyngdepunkter.
⎡1 Fr = ⎢
⎣7 −5,5
5,5
7 ⎤
−7
⎥
⎦

6.1 Anblok med to modeller
2D anblok
I dette afsnit præsenteres anblok med to modeller, hvor fremgangsmåden med den lineære transformationsligning
præsenteres først, hvorefter denne erstattes af den ulineære transformationsligning.
De to modeller der sammenknyttes i dette afsnit er Model A og Model B.
6.1.1 Lineær metode
Fra præsentationen af 2D transformationer i afsnit 3 2D transformation fremgår det, at hvis k∙cosφ
erstattes af a og k∙sinφ erstattes af b fås de lineære udtryk for transformationsligninger som vist
nedenfor.
X ' = aX − bY + tx
Y ' = bX + aY + ty
Af ovenstående udtryk repræsenterer X’ og Y’ koordinaterne i det overordnede system. Ved løsning
af anblok flyttes koordinaterne til det overordnede system over på højre side af transformationsligningerne,
som det fremgår af nedenstående ligninger.
L : 0 = aX − bY + tx − X '
1
L : 0 = bX + aY + ty −Y
'
2
For at opstille designmatricen skal sidstnævnte ligninger partiel differentieres med hensyn til de
ubekendte, der er a, b, tx, ty, X’ og Y’. Ved anblok er X’ og Y’ koordinater fra modellerne givet i det
overordnede koordinatsystem, som her betragtes som ubekendte i transformationsligningerne.
Ovenstående ligninger differentieres i forhold til de ubekendte på følgende måde:
a b tx ty X’ Y’
L1: ∂L1
∂L1
∂L1
∂L1
∂L
∂L1
∂ a
L2: ∂L2
∂ a
∂ b
∂L2
∂ b
∂ tx
∂L2
∂ tx
1
∂ ty ∂ X '
∂L2
∂L2
∂ ty
Nedenfor er ovenstående differentieret.
Øverste linie differentieret Nederste linie differentieret
∂L1
= X
∂a
∂L1
= 0
∂ty
∂L2
= Y
∂a
∂L1
= −Y
∂b
∂L1
= −1
∂X
'
∂L2
= X
∂b
∂L1
= 1
∂tx
∂L1
= 0
∂Y
'
∂L2
= 0
∂tx
∂ X '
∂ Y '
∂L2
∂ Y '
Tabel Tabel Tabel 13 13: 13 : Linierne differentieret
differentieret
∂L2
= 1
∂ty
∂L2
= 0
∂X
'
∂L2
= −1
∂Y
'
Nedenfor er A-matricen opstillet. Ved anblok skal de første fire ubekendte parametre, a, b, tx og ty,
findes for hver model. Disse parametre anvendes ved transformation fra den pågældende model til
det overordnede koordinatsystem. De partielt afledede findes under søjlerne Model A og Model B i
nedenstående A-matrice. Ligeledes skal de sidste ubekendte findes ved partiel differentiation med
hensyn til koordinaterne, som sker under de enkelte punkter i højre side af A-matricen. Af denne
Side | 29

Appendiks A - Transformation og anblok
højre side af A-matricen fremgår det, hvordan de enkelte modeller er knyttet sammen ved hjælp af
de forskellige fællespunkter. Eksempelvis er punkt 1, 3 og 5 fællespunkter mellem Model A og Model
B. De sidste rækker i A-matricen under Fikspkt. knytter modellerne op på det overordnede koordinatsystem.
I denne matrice er punkt 1 og 7 fikspunkter. Af matricen fremgår det yderligere, at
fikspunkt 1 er målt i både Model A og B, mens fikspunkt 7 er målt i Model A. Alle de tomme pladser i
A-matricen er 0.
Model A Model B Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’
A =
Model A
Model B
Fikspkt.
Side | 30
Pkt. 1
Pkt. 3
Pkt. 5
Pkt. 6
Pkt. 7
Pkt. 1
Pkt. 2
Pkt. 3
Pkt. 4
Pkt. 5
Pkt. 1
Pkt. 7
∂L
∂L
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a1
∂ b1
∂ tx1
∂ ty1
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a1
∂ b1
∂tx1
∂L
∂L
∂L2
∂ty1
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a1
∂ b1
∂ tx1
∂ ty1
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a1
∂ b1
∂tx1
∂L
∂L
∂L2
∂ty1
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a1
∂ b1
∂ tx1
∂ ty1
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a1
∂ b1
∂tx1
∂L
∂L
∂L2
∂ty1
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a1
∂ b1
∂ tx1
∂ ty1
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a1
∂ b1
∂tx1
∂L
∂L
∂L2
∂ty1
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a1
∂ b1
∂ tx1
∂ ty1
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a1
∂ b1
∂tx1
∂L2
∂ty1
∂L
∂L
∂L
∂L1
∂ X '
∂L1
1 1 1 ∂L1
∂ a2
∂ b2
∂ tx2
∂ ty2
∂ X '
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a2
∂ b2
∂tx2
∂L
∂L
∂L2
∂ty2
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a2
∂ b2
∂ tx2
∂ ty2
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a2
∂ b2
∂tx2
∂L
∂L
∂L2
∂ty2
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a2
∂ b2
∂ tx2
∂ ty2
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a2
∂ b2
∂tx2
∂L
∂L
∂L2
∂ty2
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a2
∂ b2
∂ tx2
∂ ty2
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a2
∂ b2
∂tx2
∂L
∂L
∂L2
∂ty2
∂L
∂L1
1 1 1
∂ a2
∂ b2
∂ tx2
∂ ty2
∂L2
∂L2
∂L2
∂ a2
∂ b2
∂tx2
∂L2
∂ty2
1
Tabel Tabel Tabel 14 14: 14 : AA-matricen,
A
matricen, matricen, hvor hvor hvor det det det grå grå grå område område er er er matricen, matricen, matricen, mens mens teksten teksten teksten udenom udenom
udenom
i i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst til til matricens matricens indhold
indhold
De differentierede udtryk er indsat i nedenstående A-matrice.
∂L2
∂ Y '
∂L2
∂ Y '
1
∂L1
∂ X '
∂L2
∂ Y '
∂L1
∂ X '
∂L1
∂ X '
∂L2
∂ Y '
∂L2
∂ Y '
∂L1
∂ X '
∂L2
∂ Y '
∂L1
∂ X '
∂L1
∂ X '
∂L2
∂ Y '
∂L2
∂ Y '
∂L1
∂ X '
∂L2
∂ Y '
∂L1
∂ X '
1
∂L2
∂ Y '
1

A =
Model A
Model B
Fikspkt.
2D anblok
Model A Model B Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’
Pkt. 1 X -Y 1
Y X 0
Pkt. 3 X -Y 1
Y X 0
Pkt. 5 X -Y 1
Y X 0
Pkt. 6 X -Y 1
Y X 0
Pkt. 7 X -Y 1
Y X 0
Pkt. 1
Pkt. 2
Pkt. 3
Pkt. 4
Pkt. 5
Pkt. 1
Pkt. 7
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
X -Y 1
Y X 0
X -Y 1
Y X 0
X -Y 1
Y X 0
X -Y 1
Y X 0
X -Y 1
Y X 0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Tabel Tabel 15 15: 15 : Differentie Differentieret Differentie
ret ret AA-matrice,
A
matrice, matrice, hvor hvor det det grå grå område område er er matricen, matricen, mens mens teksten teksten udenom
udenom
i i kursiv kursiv er er er forklarende forklarende tekst tekst til til matrices matrices indhold
indhold
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
1
Side | 31

Appendiks A - Transformation og anblok
Efter præsentationen af principperne bag anblok gennem de forrige to A-matricer indsættes tallene
fra eksemplet. Dette kan ses i nedenstående A-matrice.
Model A Model B Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
A =
Model A
Model B
Fikspkt.
Side | 32
a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’
-3,6 -8,2 1 0
Pkt. 1
8,2 3,6 0 1
3,4 -5,2 1 0
Pkt. 3
5,2 3,4 0 1
-2,6 0,8 1 0
Pkt. 5
-0,8 -2,6 0 1
-4,6 6,8 1 0
Pkt. 6
-6,8 -4,6 0 1
7,4 5,8 1 0
Pkt. 7
-5,8 7,4 0 1
Pkt. 1
Pkt. 2
Pkt. 3
Pkt. 4
Pkt. 5
Pkt. 1
Pkt. 7
-1
-8,4 -0,3 1 0 -1
0,3 -8,4 0 1
2,6 -7,3 1 0
7,3 2,6 0 1
-0,4 0,7 1 0
-0,7 -0,4 0 1
11,1 -1,3 1 0
1,3 11,1 0 1
-4,9 8,2 1 0
-8,2 -4,9 0 1
Tabel Tabel 16 16: 16 : AA-matrice
A
matrice matrice for for eksempel, eksempel, hvor hvor det det grå grå område område er er matricen, matricen, mens mens teksten teksten
udenom
udenom
i i i kursiv kursiv kursiv er er er forklarende tekst til matricens indhold
Af ovenstående A-matrice fremgår det, at
• Model A og B har punkterne 1, 3 og 5 som fællespunkter. Dette kan ligeledes ses på Figur 6
under afsnit 5 2D anblok
Af matricen fremgår det yderligere, at
• Fikspunkt 1 er opmålt i både Model A og B, mens
• Fikspunkt 7 er opmålt i Model A
Inden en løsning på 2D anblok kan findes skal b-vektoren opstilles. Første del af b-vektoren knytter
sig til venstre side af transformationsligningerne for de enkelte modeller, som er præsenteret i starten
af dette afsnit. Sidste del af b-vektoren knytter sig til fikspunkterne og består af de reducerede
opmålte koordinater til disse.
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
1

Trans.lign. Fikspkt. T
b = 0 … 0 … Xr’ Yr’ …
2D anblok
Første del af b-vektoren for eksemplet består af 20 nuller, som repræsenter de to transformationsligninger
for de 10 punkter i de to modeller. Den sidste del af b-vektoren er de opmålte x- og ykoordinater
til de to fikspunkter reduceret til deres tyngdepunkt i det overordnede system. Nedenfor
er b-vektoren opstillet.
[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5,5 7 5,5 7] T
b = − −
Efter at have opstillet både A-matricen og b-vektoren findes løsningen ved hjælp af mindste kvadraters
princip, som vist nedenfor:
Løsningen på eksemplet er følgende:
( ) 1 −
T T
x = A A A b
⎡1,00 0,00 -1,88 -1,18 0,93 -0,26 2,20 4,51 ... ⎤
x =
⎢
... -5,50 7,00 6,52 10,64 1,59 3,98 12,89 2,84 ...
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ... -4,49 -1,92 -6,50 -7,96 5,50 -7,00
⎥⎦
Løsningsvektoren har følgende struktur:
Model A Model B Koordinater T
x = a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 … Xr’ Yr’ …
Løsningen x er en søjlevektor bestående af 22 rækker. De første fire tal i x er a, b, tx og ty for Model
A, mens de næste fire tal er a, b, tx og ty for Model B. De resterende 14 tal er de beregnede reducerede
x- og y-koordinater for de syv punkter. Koordinaterne fås over i det overordnede system ved
at lægge middelværdien for de to fikspunkter (XFm og YFm) til koordinaterne (Xr og Yr). Dette
udtryk er vist nedenfor.
⎡X ⎤ ⎡Xr ⎤ ⎡XFm⎤ ⎢
Y
⎥ = ⎢ +
Yr
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Drejningerne og skaleringerne for de to modeller kan findes ud fra a og b ved anvendelse af følgende
udtryk:
arctan 2 b
ϕ =
k = a + b
2 2
( ) 200
Udtrykket ”arctan2” henviser til MATLABs udtryk ”atan2”, der udfører en fortegnsanalyse inden
vinklen beregnes. Det er nødvendigt med en fortegnsanalyse, da drejning beregnes ud fra den almindelige
tangens beregner vinkler i intervallet ± 100 gon, og da laserscanneren kan dreje 400 gon
er det nødvendigt med en fortegnsanalyse for at kunne beregne drejning i intervallet ± 200 gon.
Drejningen og skaleringen for Model A er følgende: ϕ = − 0, 206 og k =
0,999
a
π
T
Side | 33

Appendiks A - Transformation og anblok
Drejningen og skaleringen for Model B er følgende: ϕ = − 17,283 og k = 0,968
Da de enkelte modeller og fikspunkterne i det overordnede system er reducerede til deres tyngdepunkt
skal flytningerne fra løsningsvektoren korrigeres for dette. Korrektionen udføres ved at tage
flytningerne fra løsningsvektoren og trække middelkoordinaterne (Xm og Ym), fra de enkelte modeller,
ganget med rotationsmatricen, fra. Derudover skal middelværdierne for fikspunkterne (XFm
og YFm) lægges til. Denne udregning er vist nedenfor, hvor de nye korrigerede flytninger er Tx og
Ty.
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡a −b⎤
⎡Xm⎤ ⎡XFm⎤ ⎢
Ty
⎥ = ⎢
ty
⎥ − ⎢ +
b a
⎥ ⎢
Ym
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Flytningerne kan herefter beregnes for de to modeller:
Side | 34
⎡Tx1 ⎤ ⎡11,62 ⎤ ⎡ 0,999 0,003⎤ ⎡11,6 ⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−0,02 ⎤
Model A: ⎢
Ty
⎥ = ⎢
1 14,82
⎥ − ⎢ + =
−0,003
0,999
⎥ ⎢
14,8
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
0,07
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx2 ⎤ ⎡15,70 ⎤ ⎡ 0,932 0,259⎤ ⎡12, 4⎤ ⎡13,5⎤ ⎡−1,49 ⎤
Model B: ⎢
Ty
⎥ = ⎢
2 20,51
⎥ − ⎢ + =
−0,259
0,932
⎥ ⎢
21,7
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
3,50
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Residualerne beregnes efter følgende udtryk:
r = Ax − b
Residualerne for eksemplet kan ses her:
⎡0,05 0,03 -0,06 0,02 0,01 -0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 ... ⎤
r =
⎢
... -0,05 -0,03 0,00 0,00 0,06 -0,02 0,00 0,00 -0,01 0,05 ...
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ... 0,00 0,00 0,00 0,00
⎥⎦
Ovenstående r-vektor er en søjlevektor bestående af 24 rækker. De første 10 tal er residualer for x-
og y-værdierne til punkterne i Model A og de næste 10 er for punkterne i Model B. De resterende 4
er residualer for x- og y-værdierne for de to fikspunkter.
Værdierne for residualerne virker fornuftige, når der tages højde for den metode, hvorefter koordinaterne
er fremstillet. Det kan ikke forventes, at koordinaterne passer perfekt sammen når koordinaterne
er skønnet inden for halve tern.
Til 2D anblok med to modeller med den lineære metode har projektgruppen på tilsvarende vis som
med transformationerne udarbejdet et script i MATLAB som hedder D2_anblok_ab_2M.m. Denne fil
er på Bilags-CD’en i mappen Appendiks B. I scriptet er ovennævnte procedure foretaget, dog er der
nogle forhold der her skal gøres opmærksom på i forbindelse med gennemløb af scriptet.
Punktnummerstrategien for de punkter der indgår i anblok-scriptet skal være fortløbende nummereret
med punkt 1 som det første punkt. I forbindelse med A-matricen anvendes punktnumrene til
at få placeret ”-1” for modellerne og ”1” for fikspunkterne på de rigtige pladser i højre side af A-
T

2D anblok
matricen. Det er derfor ikke nødvendigt at punkterne i modellerne eller fikspunkterne, eksempelvis
modelA.txt kommer i nummerrækkefølge.
De to modeller og fikspunkter i det overordnede system hentes ind i scriptet fra txt-filer ved navn
fiks.txt, modelA.txt og modelB.txt. Filerne indeholder matricer med tre søjler, hvor første søjle er
punktnummer, mens de øvrige to er henholdsvis x- og y-koordinater. Søjlerne i txt-filerne er adskilt
af mellemrum. Disse txt-filer skal ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For at genskabe eksemplet
som er gennemgået i dette afsnit skal filerne fiks.txt, modelA.txt og modelB.txt hentes fra
mappen 2D anblok under mappen 2D koordinatfiler og placeres direkte under mappen Appendiks
B på Bilags-CD’en inden scriptet gennemløbes.
På tilsvarende vis som med transformationerne er rækkefølgen af rækkerne i A-matricen og bvektoren
er lidt anderledes i scriptet end i den ovenfor gennemgået teori. Den ændrede rækkefølge
skyldes, at det programmeringsmæssigt er lettere at have alle rækkerne der repræsentere X’ i
transformationsligningen først, hvorefter alle rækkerne der repræsentere Y’.
Denne ændrede rækkefølge har efterfølgende betydning for strukturen på x-vekoren og r-vektoren.
Strukturen på disse er følgende:
Model A Model B Koordinater
T
x = �1 �1 κ1 tx1 ty1 tz1 �2 �2 κ2 tx2 ty2 tz2 Xr’1 … Xr’n Yr’1 … Yr’n Zr’1 … Zr’n
Model A Model B Fikspunkter
T
r = rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn
I scriptet er der, som tidligere nævnt, foretaget en fortegnsanalyse i forbindelse med beregningen af
drejningerne.
Ved gennemløb af scriptet genereres en output-fil ved navn x_for_p.txt, som indeholder de beregnede
drejninger. Drejningerne i filen bliver senere anvendt som foreløbig drejninger i forbindelse med
de ulinære metoder. Filen bliver overskrevet når 2D anblok med tre modeller med lineær metode
eller 2D transformation med lineær metode bliver gennemløbet. Filen x_for_p.txt, består af en søjle
vektor med drejningen om z-aksen for Model A først, hvorunder drejningen om z-aksen for Model B
er. Dette er strukturen når filen åbnes i Textpad.
6.1.2 Ulineær metode
Den ulineære metode har samme opbygning som den lineære metode ovenfor. Den ulineære metode
tager udgangspunkt i de oprindelige transformationsligninger, som partiel differentieres. Transformationsligningerne,
som er præsenteret i afsnit 3 2D transformation, hvor X’ og Y’, som med den
lineære metode i afsnittet ovenfor, flyttes over på højre side, er følgende:
0 = kX cosϕ − kY sinϕ + tx − X '
0 = kX sinϕ + kY cosϕ + ty −Y
'
Udtrykkene differentieres efterfølgende i forhold til de ubekendte på følgende måde:
� k tx ty X’ Y’
Side | 35

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 36
L1: 1 L ∂
ϕ
L2: 2 L ∂
∂L
∂ k
∂ 1
ϕ
∂L
∂ k
∂ 2
∂L1
∂ tx
∂L2
∂ tx
∂L1
∂L1
∂ ty
∂ X '
∂L2
∂L2
∂ ty
Øverste linie differentieret Nederste linie differentieret
∂ L1
= −kX sinϕ − kY cos ϕ ( α )
∂ϕ
∂L1
= 0
∂ty
∂L2
= kX cosϕ − kY sin ϕ ( θ )
∂ϕ
∂ L1
= X cosϕ −Y
sin ϕ ( β )
∂k
∂L1
= −1
∂X
'
∂L2
= X sinϕ + Y cos ϕ ( μ )
∂k
∂ L1
= 1
∂tx
∂L1
= 0
∂Y
'
∂L2
= 0
∂tx
Tabel Tabel 17 17: 17 17:
: Symbolerne Symbolerne i i parenteserne parenteserne er er henvisninger, henvisninger, der der anvendes anvendes i i forbindelse forbindelse med med opstilling opstilling af af A-matricen A
matricen
∂ X '
∂L1
∂ Y '
∂L2
∂ Y '
∂L2
= 1
∂ty
∂L2
= 0
∂X
'
∂L2
= −1
∂Y
'
På samme måde som tidligere opstilles A-matricen, her med anvendelse af symbolerne i ovenstående
tabel.
Model A Model B Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
�1 k1 tx1 ty1 �2 k2 tx2 ty2 X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’ X’ Y’
A =
Model A
Model B
Fikspkt.
α
Pkt. 1
θ
β
μ
1
0
0
1
α
Pkt. 3
θ
β
μ
1
0
0
1
α
Pkt. 5
θ
β
μ
1
0
0
1
α
Pkt. 6
θ
β
μ
1
0
0
1
α
Pkt. 7
θ
β
μ
1
0
0
1
Pkt. 1
Pkt. 2
Pkt. 3
Pkt. 4
Pkt. 5
Pkt. 1
Pkt. 7
-1
α β 1 0 -1
θ μ 0 1
α β 1 0
θ μ 0 1
α β 1 0
θ μ 0 1
α β 1 0
θ μ 0 1
α β 1 0
θ μ 0 1
Tabel Tabel 18 18: 18 : Differentieret Differentieret AA-matrice,
A
matrice, matrice, hvor hvor det det grå grå område område er er matricen, matricen, mens mens teksten teksten udenom
udenom
i kursiv kursiv er er forklarende forklarende forklarende tekst tekst tekst til til matrices matrices indhold
indhold
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
1

2D anblok
Da de ubekendte stadig indgår i elementerne i A-matricen efter linearisering, i form af partiel differentiation,
kræves der nogle foreløbige værdier til x-vektoren, for at den endelige løsning kan beregnes.
Som de foreløbige værdier kan løsningen fra den lineære metode anvendes. Af ubekendte
fra den lineære metode med 2D anblok anvendes drejningen (φ) og de to flytninger (tx og ty). Skaleringen
(k) sættes til 1 som foreløbig værdi, da det forventes at målforholdet er tæt på 1. Inden
løsningen kan findes skal en tilvækst til de foreløbige værdier beregnes. Denne beregne efter mindste
kvadraters princip og er vist nedenfor.
( ) 1 −
T T
xˆ = A A A b
Løsningen i den iterative proces findes ved at addere tilvæksten ˆx med de foreløbige værdier for x
( x i ).
x x xˆ
i+ 1 i = +
Denne nye x-vektor ( x i+
1)
er den nye foreløbige x-vektor til næste iteration.
Løsningen til det ulineære problem skal findes ved en iterativ proces, hvor indholdet i b-vektoren
er differencen mellem 0. ordens afledede af transformationsligningerne med indsættelse af de foreløbige
værdier for x-vektoren, og den b-vektor som er præsenteret i den lineære metode. Den beregnede
b-vektor nedenfor kaldes matematiske sammenhænge også OMC (Observed Minus Computed).
Hvor blineær er følgende:
[ ] [ 0. ordens afledede]
b = b −
lineær
Trans.lign. Fikspkt. T
b = 0 … 0 … Xr' Zr' …
Når de foreløbige værdier er tæt på den endelige løsning er værdierne i b-vektoren små.
Iterationen fortsættes til resultatet er tilfredsstillende, hvilket vil sige når ændringerne mellem to
på hinanden følgende iterationer er små. Da der her anvendes foreløbige værdier tæt på den endelige
løsning er tre iterationer passende (fastslået på baggrund af testberegninger af dette eksempel).
Som alternativ til differentiationsprocessen har projektgruppen, som beskrevet i afsnit 3 2D transformation,
valgt at anvende scriptet numafl.m udarbejdet af Peter Cederholm. Dette script foretager
en numerisk approksimation af de partielt afledede af en funktion. Outputtet af filen er 0. og 1. ordens
afledede, som begge bruges i forbindelse med anblok til opstilling af henholdsvis b-vektoren
og A-matricen.
Udover at at x-vektoren ikke indeholder a og b men i stedet φ og k indeholder x-vektoren de samme
elementer, som ved den lineære metode. Gennemføres eksemplet, som den lineære metode, er resultatet
for den ulineære metode i form af drejning og skalering efter 3. iteration følgende:
Side | 37

Appendiks A - Transformation og anblok
For Model A: ϕ = − 0, 206 og k = 0,999
For Model B: ϕ = − 17,283 og k = 0,968
Disse drejninger og skaleringer er identiske med drejningerne og skaleringerne beregnet ved den
lineære metode.
På tilsvarende vis som tidligere kan koordinaterne fås over i det overordnede system ved at lægge
middelværdien for fikspunkterne (XFm og YFm) til koordinaterne (Xr og Yr) i x-vektoren. Dette
udtryk er vist nedenfor.
⎡X ⎤ ⎡Xr ⎤ ⎡XFm⎤ ⎢
Y
⎥ = ⎢ +
Yr
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
På tilsvarende vis som med den lineære metode skal flytningerne fra løsningsvektoren korrigeres,
da de enkelte modeller og det overordnede koordinatsystem er reducerede til deres tyngdepunkt.
Korrektionen udføres ved at tage flytningerne fra løsningsvektoren og trække middelkoordinaterne,
fra de enkelte modeller, ganget med rotationsmatricen samt skalering fra. Derudover skal middelværdierne
for fikspunkterne (XFm og YFm) lægges til. Denne udregning er vist nedenfor, hvor
de nye korrigerede flytninger er Tx og Ty.
Side | 38
( ϕ ) − ( ϕ )
( ϕ ) ( ϕ )
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡cos sin ⎤ ⎡Xm ⎤ ⎡XFm ⎤
⎢ k
Ty
⎥ = ⎢
ty
⎥ − ⎢ ⎥ +
sin cos
⎢
Ym
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Flytningerne kan herefter beregnes for de to modeller:
⎡Tx1 ⎤ ⎡11,62 ⎤ ⎡cos( −0, 206) −sin( −0, 206) ⎤ ⎡11,6 ⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−0,02⎤ Model A: ⎢ 0,999
Ty
⎥ = ⎢
1 14,82
⎥ − ⎢ + =
sin( −0,206) cos( −0,
206)
⎥ ⎢
14,8
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
0,07
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx2 ⎤ ⎡15,70 ⎤ ⎡cos(17, 283) −sin(17, 283) ⎤ ⎡12, 4⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−1,49 ⎤
Model B: ⎢ 0,968
Ty
⎥ = ⎢
2 20,51
⎥ − ⎢ + =
sin(17, 283) cos(17, 283)
⎥ ⎢
21,7
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
3,50
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Disse resultater stemmer overens med resultaterne fra løsningen med den lineære metode. På tilsvarende
vis er residualerne identiske med residualerne fra den lineære metode.
Til 2D anblok med to modeller med den ulineære metode har projektgruppen, som tidligere, udarbejdet
et script i MATLAB, som hedder D2_anblok_numafl_2M.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i
mappen Appendiks B. I scriptet er ovennævnte procedure foretaget, dog er der nogle forhold der
her skal gøres opmærksom på i forbindelse med gennemløb af scriptet.
Som ved 2D anblok med to modeller med den lineære metode skal punkterne der indgår være fortløbende
nummereret med punkt 1 som det første punkt. I forbindelse med A-matricen anvendes
punktnumrene til at få placeret ”-1” for modellerne og ”1” for fikspunkterne på de rigtige pladser i
højre side af A-matricen. Det er derfor ikke nødvendigt, at punkterne i modellerne eller fikspunkterne,
eksempelvis modelA.txt kommer i nummerrækkefølge.

2D anblok
Som tidligere hentes de to modeller og fikspunkter i det overordnede system ind i scriptet fra txtfiler
ved navn fiks.txt, modelA.txt og modelB.txt. Filerne indeholder matricer med tre søjler, hvor
første søjle er punktnummer, mens de øvrige to er henholdsvis x- og y-koordinater. Søjlerne i txtfilerne
er adskilt af mellemrum. Disse txt-filer skal ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For
at genskabe eksemplet som er gennemgået i dette afsnit skal filerne fiks.txt, modelA.txt og modelB.txt
hentes fra mappen 2D anblok under mappen 2D koordinatfiler og placeres direkte under
mappen Appendiks B på Bilags-CD’en inden scriptet gennemløbes.
Inden scriptet til 2D anblok med to modeller med den ulineære metode, D2_anblok_numafl_2M.m,
gennemløbes skal scriptet med 2D anblok med to modeller med den lineære metode,
D2_anblok_ab_2M.m, gennemløbes. Dette skyldes at de foreløbige værdier for drejningerne hentes
fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb af den lineære metode, D2_anblok_ab_2M.m.
På tilsvarende vis som med 2D anblok med to modeller med den lineære metode er rækkefølgen af
rækkerne i A-matricen, b-vektoren, r-vektoren og x-vektoren er lidt anderledes i scriptet end i den
ovenfor gennemgået teori. Strukturen af disse matricer/vektorer er de samme som beskrevet under
2D anblok med to modeller med den lineære metode.
6.2 Anblok med tre modeller
Efter gennemgangen med to modeller inddrages endnu en model. Denne gennemgang vil ikke være
så omfattende som gennemgangen med to modeller, da grundprincipperne er de samme.
6.2.1 Lineær metode
Den lineære metode med anblok med tre modeller er identisk med anblok med to modeller frem til
opstilling af A-matricen, hvor denne bliver udvidet med en ekstra model i form af fire ekstra søjler
og fire ekstra rækker. For at mindske størrelsen af A-matricen vil der i nedenstående A-matrice ske
en substitution, som er vist nedenfor.
Model A Pkt. 1
a1 b1 tx1 ty1 X’ Y’
X -Y 1 0 -1 0
Y X 0 1 0 -1
=
Model A Pkt. 1
ϵ -1
Tabel Tabel 19 19: 19 : Substitution for at reducere størrelsen af AA-matricen
A
matricen
Side | 39

A =
Appendiks A - Transformation og anblok
Model A
Model B
Model C
Fikspkt
Side | 40
Model A Model B Model C Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
Pkt. 1 ϵ
-1
Pkt. 3 ϵ
-1
Pkt. 5 ϵ
-1
Pkt. 6 ϵ
-1
Pkt. 7 ϵ
-1
Pkt. 1
ϵ
-1
Pkt. 2
ϵ
-1
Pkt. 3
ϵ
-1
Pkt. 4
ϵ
-1
Pkt. 5
ϵ
-1
Pkt. 2
ϵ
-1
Pkt. 3
ϵ
-1
Pkt. 4
ϵ
-1
Pkt. 6
ϵ
-1
Pkt. 7
ϵ
-1
Pkt. 1
Pkt. 7
Tabel Tabel Tabel 20 20: 20 20:
: AA-matrice,
A
matrice, hvor hvor det grå område er matricen, matricen, mens teksten udenom
udenom
i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst tekst til til matrices matrices indhold
indhold
Af ovenstående A-matrice fremgår det, at
• Model A og B har punkterne 1, 3 og 5 som fællespunkter,
• Model B og C har punkterne 2, 3 og 4 som fællespunkter, mens
• Model A og C har fællespunkterne 3, 6 og 7.
Af matricen fremgår det yderligere, at
• Fikspunkt 1 er opmålt i både Model A og B, mens
• Fikspunkt 7 er opmålt i Model A og C.
Efter at have præsenteret principperne bag opstillingen af A-matricen kan den endelige A-matrice
med tallene fra eksemplet, på tilsvarende vis som med to modeller, opstilles. På grund af størrelsen
af denne vil den ikke blive præsenteret i dette afsnit.
Som ved to modeller skal b-vektoren opstilles. Indholdet af b-vektoren er som tidligere beskrevet
dels knyttet til venstre side af transformationsligningerne for de enkelte modeller og dels til de
reducerede koordinater til fikspunkterne.
Trans.lign. Fikspkt. T
b = 0 … 0 … Xr' Zr' …
Første del af b-vektoren for eksemplet består af 30 nuller, som repræsenter venstre side af de to
transformationsligninger for de 15 punkter i de tre modeller. Den sidste del af b-vektoren er de
opmålte reducerede x- og y-koordinater til de to fikspunkter.
1
1

Løsningen findes som tidligere beskrevet ved brug af nedenstående udtryk:
Løsningen på eksemplet er følgende:
( ) 1 −
T T
x = A A A b
2D anblok
⎡1,00 0,00 -1,89 -1,19 0,94 -0,27 2,25 4,41 0,68 -0,69 4,06 0,41 ... ⎤
x =
⎢
... -5,50 7,00 6,67 10,49 1,56 3,94 13,05 2,56 ...
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ... -4,54 -1,95 -6,48 -7,95 5,50 -7,00
⎥⎦
Løsningsvektoren har følgende struktur:
Model A Model B Model C Koordinater T
x = a1 b1 tx1 ty1 a2 b2 tx2 ty2 a3 b3 tx3 ty3 … Xr’ Yr’ …
Løsningen x er en søjlevektor bestående af 26 rækker. De første 12 tal hører sammen og repræsenterer
a, b, tx og ty for hver model, mens de resterende 14 tal er de beregnede reducerede x- og ykoordinater
for de 7 punkter. På tilsvarende vis som tidligere kan de reducerede koordinater omregnes
til det overordnede koordinatsystem.
Skaleringerne og drejningerne for de tre modeller kan som tidligere findes ud fra a og b ved anvendelse
af følgende udtryk:
arctan 2 b
ϕ =
k = a + b
2 2
( ) 200
Drejningen og skaleringen for Model A er følgende: ϕ = − 0,171 og k = 0,998
Drejningen og skaleringen for Model B er følgende: ϕ = − 18,131 og k = 0,975
Drejningen og skaleringen for Model C er følgende: ϕ = − 50,425 og k = 0,968
Disse drejninger og skaleringer er ikke identiske med de tidligere drejninger og skaleringer beregnet
ved 2D anblok med to modeller. Den største difference findes ved drejningen af model B, som
har en difference på ca. 0,8 gon. Dette kan begrundes med at alle tre modeller her bliver udjævnet
på én gang, så eventuelle netspændinger mellem koordinaterne bliver udjævnet mellem alle modeller.
På tilsvarende vis som ved de ovenstående metoder skal flytningerne fra løsningsvektoren korrigeres,
da de enkelte modeller og det overordnede koordinatsystem er reducerede til deres tyngdepunkt.
Korrektionen udføres ved at tage flytningerne fra løsningsvektoren og trække middelkoordinaterne,
fra de enkelte modeller, ganget med rotationsmatricen samt skalering fra. Derudover
skal middelværdierne for fikspunkterne (XFm og YFm) lægges til. Denne udregning er vist nedenfor,
hvor de nye korrigerede flytninger er Tx og Ty.
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡a −b⎤
⎡Xm⎤ ⎡XFm⎤ ⎢
Ty
⎥ = ⎢
ty
⎥ − ⎢ +
b a
⎥ ⎢
Ym
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a
π
T
Side | 41

Appendiks A - Transformation og anblok
Flytningerne kan herefter beregnes for de tre modeller:
Side | 42
⎡Tx1 ⎤ ⎡11,61 ⎤ ⎡ 0,998 0,003⎤ ⎡11,6 ⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−0,01⎤ Model A: ⎢
Ty
⎥ = ⎢
1 14,81
⎥ − ⎢ + =
−0,003
0,998
⎥ ⎢
14,8
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
0,06
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx2 ⎤ ⎡15,75 ⎤ ⎡ 0,936 0,274⎤ ⎡12,4 ⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−1,80 ⎤
Model B: ⎢
Ty
⎥ = ⎢
2 20, 41
⎥ − ⎢ + =
−0,
274 0,936
⎥ ⎢
21,7
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
3,50
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx3 ⎤ ⎡17,56⎤ ⎡ 0,680 0,689⎤ ⎡12, 4⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−3,87 ⎤
Model C: ⎢
Ty
⎥ = ⎢
3 16, 41
⎥ − ⎢ + =
−0,689
0,680
⎥ ⎢
21,7
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
13,61
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
De beregnede flytninger er som drejningerne og skaleringerne ovenfor heller ikke identiske med
flytningerne fra 2D anblok med to modeller. Dette skyldes de ændrede drejninger.
Residualerne beregnes efter følgende udtryk:
r = Ax − b
Residualerne for eksemplet er følgende:
⎡0,03 0,01 -0,04 0,04 0,05 -0,03 -0,02 -0,02 -0,02 0,00 ... ⎤
⎢
... -0,03 -0,01 0,01 0,04 0,12 -0,08 -0,06 0,02 -0,05 0,03 ...
⎥
r = ⎢ ⎥
⎢... -0,01 -0,04 -0,08 0,04 0,06 -0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 ... ⎥
⎢ ⎥
⎣... 0,00 0,00 0,00 0,00
⎦
Ovenstående r-vektor er en søjlevektor bestående af 34 rækker. De første 30 tal er residualer for x-
og y-værdierne til punkterne for henholdsvis Model A, Model B og Model C. De resterende 4 er residualer
for x- og y-værdierne for de to fikspunkter.
Residualerne ovenfor ligger på samme niveau som de tidligere residualer for 2D anblok.
Til 2D anblok med tre modeller med den lineære metode har projektgruppen, på tilsvarende vis
som tidligere, udarbejdet et script i MATLAB som hedder D2_anblok_ab_3M.m. Denne fil er på Bilags-CD’en
i mappen Appendiks B. Opbygningen og indholdet af dette script er identisk med 2D
anblok med to modeller med den lineære metode, dog er der her indsat en ekstra model.
De tre modeller og fikspunkter i det overordnede system hentes ind i scriptet fra txt-filer ved navn
fiks.txt, modelA.txt, modelB.txt og modelC.txt. Filerne indeholder matricer med tre søjler, hvor første
søjle er punktnummer, mens de øvrige to er henholdsvis x- og y-koordinater. Søjlerne i txtfilerne
er adskilt af mellemrum. Disse txt-filer skal ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For
at genskabe eksemplet som er gennemgået i dette afsnit skal filerne fiks.txt, modelA.txt, modelB.txt
og modelC.txt hentes fra mappen 2D anblok under mappen 2D koordinatfiler og placeres direkte
under mappen Appendiks B på Bilags-CD’en inden scriptet gennemløbes.
Ved gennemløb af scriptet genereres en output-fil ved navn x_for_p.txt, som indeholder de beregnede
drejninger. Drejningerne i filen bliver senere anvendt som foreløbig drejninger i forbindelse med
de ulinære metoder. Filen bliver overskrevet når 2D anblok med to modeller med lineær metode
T

2D anblok
eller 2D transformation med lineær metode bliver gennemløbet. Filen x_for_p.txt, består af en søjle
vektor med drejningen om z-aksen for Model A først, hvorunder drejningen om z-aksen for Model B
og Model C er. Dette er strukturen når filen åbnes i Textpad.
6.2.2 Ulineær metode
Den ulineære metode støtter sig meget op af den lineære metode med tre modeller og er samtidig
en udvidelse af den ulineære metode med to modeller.
A-matricen indeholder, som med de forrige metoder, de partiel afledede. De partiel afledede er de
samme som ved den ulineære metode med to modeller, hvor der i den tidligere gennemgang var
nogle af udtrykkene, som blev erstattet af symboler for at reducere størrelsen af A-matricen. Disse
symboler kan, som med den lineære metode med tre modeller, yderligere substitueres som vist
nedenfor.
Model A Pkt. 1
� k tx ty X’ Y’
Model A Pkt. 1
=
α β 1 0 -1 0
ϵ -1
θ μ 0 1 0 -1
Tabel Tabel 21 21: 21 : Substitution for at reducere størrelsen størrelsen af af AA-matricen
A
matricen
Efter denne substitution er A-matricen for den ulineære metode med tre modeller identisk med den
lineære metode med tre modeller, hvilket også er begrundelsen for, at denne ikke udarbejdes igen.
I forbindelse med opstilling af b-vektoren er denne ligeledes identisk med b-vektoren for den ulineære
metode med to modeller. Som tidligere kan løsningen beregnes iterativt efter mindste kvadraters
princip.
Efter 3. iteration er skaleringen og drejningen, ved hjælp af den ulineære metode, følgende:
For Model A: ϕ = − 0,171 og k = 0,998
For Model B: ϕ = − 18,131 og k = 0,975
For Model C: ϕ = − 50,426 og k = 0,968
Drejningerne og skaleringerne ovenfor er næsten identiske med drejningerne og skaleringerne
beregnet ved den lineære metode med 2D anblok med tre modeller, dog med en lille difference på
tredje decimalen.
På tilsvarende vis som ved de ovenstående metoder skal flytningerne fra løsningsvektoren korrigeres,
da både de enkelte modeller og det overordnede koordinatsystem er reducerede til deres tyngdepunkt.
Korrektionen udføres ved at tage flytningerne fra løsningsvektoren og trække middelkoordinaterne,
fra de enkelte modeller, ganget med rotationsmatricen samt skalering fra. Derudover
skal middelværdierne for fikspunkterne (XFm og YFm) lægges til. Denne udregning er vist nedenfor,
hvor de nye korrigerede flytninger er Tx og Ty.
( ϕ ) − ( ϕ )
( ϕ ) ( ϕ )
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡cos sin ⎤ ⎡Xm ⎤ ⎡XFm ⎤
⎢ k
Ty
⎥ = ⎢
ty
⎥ − ⎢ ⎥ +
sin cos
⎢
Ym
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Side | 43

Appendiks A - Transformation og anblok
Flytningerne kan herefter beregnes for de tre modeller:
⎡Tx1 ⎤ ⎡11,61 ⎤ ⎡cos( −0,171) −sin( −0,171) ⎤ ⎡11,6 ⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡−0,01⎤ Model A: ⎢ 0,998
Ty
⎥ = ⎢
1 14,81
⎥ − ⎢ + =
sin( −0,171) cos( −0,171)
⎥ ⎢
14,8
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
0,06
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx2 ⎤ ⎡15,75 ⎤ ⎡cos( −18,131) −sin( −18,131) ⎤ ⎡12,4 ⎤ ⎡13,5⎤ ⎡−1,80 ⎤
Model B: ⎢ 0,975
Ty
⎥ = ⎢
2 20,41
⎥ − ⎢ + =
sin( −18,131) cos( −18,131)
⎥ ⎢
21,7
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
3,50
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡Tx3 ⎤ ⎡17,56⎤ ⎡cos( −50,426) −sin( −50,426) ⎤ ⎡13,5 ⎤ ⎡13,5⎤ ⎡−3,87 ⎤
Model C: ⎢ 0,968
Ty
⎥ = ⎢
3 16,41
⎥ − ⎢ + =
sin( −50, 426) cos( −50,426)
⎥ ⎢
17,8
⎥ ⎢
16
⎥ ⎢
13,61
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Disse beregnede flytninger er identiske med flytningerne beregnet med den lineære metode med
2D anblok med tre modeller. På tilsvarende vis er residualerne også identiske med residualerne fra
2D anblok med tre modeller med den lineære metode.
Til 2D anblok med tre modeller med den ulineære metode har projektgruppen, som tidligere, udarbejdet
et script i MATLAB som hedder D2_anblok_numafl_3M.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i mappen
Appendiks B. Opbygningen og indholdet af dette script er identisk med 2D anblok med tre modeller
med den lineære metode, dog er der her anvendt filen numafl.m.
Opbygningen og indholdet af de tre modeller og fikspunkter i det overordnede system er ligeledes
identisk med det beskrevet under 2D anblok med tre modeller med den lineære metode. For at
genskabe eksemplet som er gennemgået i dette afsnit hentes filerne ind på tilsvarende måde som
beskrevet under 2D anblok med tre modeller med den lineære metode.
Inden scriptet til 2D anblok med tre modeller med den ulineære metode, D2_anblok_numafl_3M.m,
gennemløbes skal scriptet med 2D anblok med tre modeller med den lineære metode,
D2_anblok_ab_3M.m, gennemløbes. Dette skyldes at de foreløbige værdier for drejningerne hentes
fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb af den lineære metode, D2_anblok_ab_3M.m.
Side | 44

7 3D anblok
3D anblok
I dette afsnit vil 3D anblok med to og tre modeller blive præsenteret. Denne præsentation skal på
tilsvarende vis som afsnittet om 2D anblok klarlægge den bagvedliggende teori bag anblok for derigennem
at være i stand til at anvende anblok i projektet. Ved 3D anblok er der, som også tidligere
beskrevet i afsnit 4 3D transformation, ikke mulighed for at substituere de ubekendte for derved at
få et lineært udtryk. På baggrund heraf vil dette afsnit blive opbygget ved først at se på teorien bag
3D anblok med den ulineære metode med to modeller, hvorefter denne udvides til behandling af tre
modeller.
Gennem præsentationen af 3D anblok vil et eksempel, på tilsvarende vis som med 2D anblok, blive
præsenteret for derigennem at overskueliggøre teorien. Eksemplet består af nedenstående modeller,
hvor første søjle i matricerne er punktnummer og de efterfølgende søjler er henholdsvis x-, y-
og z-koordinater.
Model A
Model B
⎡1 ⎢
⎢
3
MA = ⎢5 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 28,208
28,816
20,696
14,460
20,745
9,472
2,088
4,609
3,707
-6,635
Model C
7,462 ⎤
13,717
⎥
⎥
10,766⎥
⎥
11,907⎥
9,160 ⎥
⎦
⎡1 ⎢
⎢
2
MB = ⎢3 ⎢
⎢4 ⎢
⎣5 23,631
21,789
17,531
11,576
15,040
-8,650
-21,142
-13,602
-23,711
-5,490
7,466 ⎤
6,216
⎥
⎥
13,146⎥
⎥
3,746 ⎥
10,149⎥
⎦
⎡2 ⎢
⎢
3
MC = ⎢4 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 10,009
7,822
19,601
5,091
15,895
37,607
29,244
32,887
15,092
20,598
13,202⎤
20,150
⎥
⎥
11,549⎥
⎥
18,089⎥
15,452⎥
⎦
Tabel Tabel 22 22: 22 : Koordinater til de enkelte modeller
Nedenstående skitse illustrerer, hvordan de forskellige modeller er knyttet sammen.
Side | 45

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 46
Figur Figur 7: : Illustrerer hvordan de enkelte modeller er knyttet sammen ved ved hjælp hjælp af af fællespunkter
fællespunkter
fællespunkter
På tilsvarende vis som med 2D anblok reduceres de enkelte modeller til deres respektive tyngdepunkter.
Dette er gjort i nedenstående tabel. Det er de nedenstående reducerede modeller der arbejdes
videre med i resten af afsnittet.
Model A
Model B
⎡1 ⎢
⎢
3
MAr = ⎢5 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 5,623
6,231
-1,889
-8,125
-1,840
6,824
-0,560
1,961
1,059
-9,283
Model C
-3,140⎤
3,115
⎥
⎥
0,164 ⎥
⎥
1,305 ⎥
-1,442⎥
⎦
⎡1 ⎢
⎢
2
MBr = ⎢3 ⎢
⎢4 ⎢
⎣5 5,718
3,876
-0,382
-6,337
-2,873
5,869
-6,623
0,917
-9,192
9,029
-0,679⎤
-1,929
⎥
⎥
5,001 ⎥
⎥
-4,399⎥
2,004 ⎥
⎦
⎡2 ⎢
⎢
3
MCr = ⎢4 ⎢
⎢6 ⎢
⎣7 -1,675
-3,862
7,917
-6,593
4,211
10,521
2,158
5,801
-11,994
-6,488
-2,486⎤
4,462
⎥
⎥
-4,139⎥
⎥
2,401 ⎥
-0,236⎥
⎦
Tabel Tabel 23 23: 23 : Reducerede koordinater koordinater til de enkelte enkelte modeller
Ved 3D anblok transformeres de enkelte modeller over i et overordnet koordinatsystem ved hjælp
af minimum tre fikspunkter. Dette overordnede koordinatsystem kan være et landskoordinatsystem
eller et lokalt koordinatsystem. Systemet er her et lokalt system. Matricen med fikspunkternes
koordinater er vist nedenfor, hvor den første søjle er punktnummer, mens de tre sidste er henholdsvis
x-, y- og z-koordinater.

⎡1 8 23 5⎤
Fiks =
⎢
4 27 19 2
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 7 19 9 6⎥⎦
Fikspunktskoordinaterne er ligeledes reduceret til deres tyngdepunkter.
⎡1 -10 6 0,667 ⎤
Fr =
⎢
4 9 2 -2,333
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 7 1 −8
1,667 ⎥⎦
3D anblok
7.1 Anblok med to modeller med den ulineære
metode
I dette afsnit præsenteres anblok med to modeller på baggrund af den ulineære metode, hvor de to
modeller der sammenknyttes er Model A og Model B.
Den ulineære metode for 3D anblok har samme opbygning som den ulineære metode med 2D anblok.
Den ulineære metode tager udgangspunkt i de oprindelige transformationsligninger, som partiel
differentieres. Transformationsligningerne, som er præsenteret i afsnit 4 3D transformation,
hvor X’, Y’ og Z’, flyttes over på højre side, er følgende:
1
2
3
( ϕ κ ϕ κ ω)
( ω ϕ κ ω κ ω ϕ κ ω κ ω ϕ )
( ω ϕ κ ω κ ω ϕ κ ω κ ω κ )
L : 0 = k X cos cos − Y cos sin + Z sin + tx − X '
L : 0 = k X (sin sin cos + cos sin ) −Y (sin sin sin − cos cos ) − Z sin cos + ty −Y
'
L : 0 = k X ( − cos sin cos + sin sin ) + Y (cos sin sin + sin cos ) + Z cos cos + tz − Z '
Udtrykkene differentieres efterfølgende i forhold til de ubekendte på følgende måde:
� � κ k tx ty tz X’ Y’ Z’
L1: ∂L1
∂L1
∂L
∂L1
∂L1
∂L1
∂L
∂L1
∂L1
∂L1
∂ ω
L2: ∂L2
∂ ω
L3: 3 L ∂
∂ ω
1
∂ ϕ ∂ κ
∂L2
∂L2
∂ ϕ
∂ κ
L ∂
∂ κ
∂L3
3
∂ ϕ
Nedenfor er ovenstående differentieret.
∂ k
∂L2
∂ k
∂L3
∂ k
∂ tx
∂L2
∂ tx
∂L3
∂ tx
1
∂ ty ∂ tz
∂L2
∂L2
∂ ty
∂ tz
L ∂
∂ tz
∂L3
3
∂ ty
∂ X '
∂L2
∂ X '
∂L3
∂ X '
∂ Y '
∂L2
∂ Y '
∂L3
∂ Y '
∂ Z '
∂L2
∂ Z '
∂L3
∂ Z '
Side | 47

Appendiks A - Transformation og anblok
Øverste linie differentieret Midterste linie differentieret Nederste linie differentieret
∂ L1
= ( α )
∂ω
∂L1
= 0
∂ty
∂L2
= ( γ )
∂ω
∂L2
= 1
∂ty
∂L3
= ( ν )
∂ω
∂L3
= 0
∂ty
∂ L1
= ( β )
∂ϕ
∂L1
= 0
∂tz
∂L2
= ( η )
∂ϕ
∂L2
= 0
∂tz
∂L3
= ( ο )
∂ϕ
∂L3
= 1
∂tz
∂ L1
= ( χ )
∂κ
∂L1
= −1
∂X
'
∂L2
= ( λ )
∂κ
∂L2
= 0
∂X
'
∂L3
= ( θ )
∂κ
∂L3
= 0
∂X
'
∂ L1
= ( δ )
∂k
∂L1
= 0
∂Y
'
∂L2
= ( μ )
∂k
∂L2
= −1
∂Y
'
∂L3
= ( ρ )
∂k
∂L3
= 0
∂Y
'
∂ L1
= 1
∂tx
∂L1
= 0
∂Z
'
∂L2
= 0
∂tx
∂L2
= 0
∂Z
'
∂L3
= 0
∂tx
∂L3
= −1
∂Z
'
Side | 48
Tabel Tabel 24 24: 24 : Symbolerne Symbolerne i parenteserne er er henvisninger, der anvendes i i forbindelse forbindelse med med opstilling opstilling opstilling af af af AA-matricen
A matricen
For at mindske størrelsen af A-matricen vil der i nedenstående A-matrice ske en substitution, som
er vist nedenfor.
Model A Pkt. 1
� � κ k tx ty tz X’ Y’ Z’
Model A Pkt. 1
α β χ δ 1 0 0 -1 0 0 = ϵ -1
γ η λ μ 0 1 0 0 -1 0
ν o θ ρ 0 0 1 0 0 -1
Tabel Tabel 25 25: 25 25:
: Substitution for for at mindske størrelsen af af AA-matricen
A
matricen
På samme måde som tidligere opstilles A-matricen, her med anvendelse af symbolet i ovenstående
tabel.
Model A Model B Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
Pkt. 1 ϵ
-1
Pkt. 3 ϵ
-1
Pkt. 5 ϵ
-1
Pkt. 6 ϵ
-1
Pkt. 7 ϵ
-1
Pkt. 1
ϵ -1
A = Pkt. 2
ϵ
-1
Pkt. 3
ϵ
-1
Pkt. 4
ϵ
-1
Pkt. 5
ϵ
-1
Pkt. 1
1
Pkt. 4
1
Model A
Model B
Fikspkt
Pkt. 7
Tabel Tabel 26 26: 26 : AA-matrice,
A
matrice, hvor det grå område er matricen, mens teksten udenom
udenom
i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst til til matrices matrices indhold
indhold
Som allerede introduceret i de tidligere afsnit med transformationer og anblok anvendes scriptet
numafl.m til at foretage en numerisk approksimation af de partielt afledede af funktionerne. På
baggrund heraf vil der i nedenstående ikke fremgå hvad de partielt afledede er med hensyn til drej-
1

3D anblok
ningerne og skaleringen, men udelukkende være repræsenteret af et symbol i parentes, der anvendes
i den efterfølgende substitution.
Da de ubekendte stadig indgår i elementerne i A-matricen efter lineariseringen, i form af partiel
differentiation, kræves der, som tidligere, nogle foreløbige værdier til x-vektoren, for at den endelige
løsning kan beregnes. Som de foreløbige værdier kan løsningen fra den lineære metode med 2D
anblok anvendes til nogle af de ubekendte. Af ubekendte fra den lineære metode med 2D anblok
anvendes drejningen om z-aksen (κ), da denne efter partiel dfferentiation er ulineær. Dette gør sig
ligeledes gældende for drejningerne om x- og y-aksen, men da drejningerne om x- og y-aksen betragtes
som små, fordi laserscanneren stilles op ved hjælp af en dåselibelle sættes de foreløbige
værdier for ω og φ til nul. Udtrykkene for flytningerne er lineær efter partiel differentiation, hvilket
betyder at disse kan løses med nul som foreløbig værdi.
Inden løsningen kan findes skal en tilvækst til de foreløbige værdier beregnes. Denne beregnes efter
mindste kvadraters princip og er vist nedenfor.
( ) 1 −
T T
xˆ = A A A b
Løsningen i den iterative proces findes ved at addere tilvæksten ˆx med de foreløbige værdier for x
( x i ).
x ˆ
i+ 1 xi x = +
Denne nye x-vektor ( x i+
1)
er den nye foreløbige x-vektor til næste iteration.
Løsningen til det ulineære problem skal findes ved en iterativ proces, hvor indholdet i b-vektoren
er differencen mellem 0. ordens afledede af transformationsligningerne med indsættelse af de foreløbige
værdier for x-vektoren og blineær.
[ b ] [ 0. ordens afledede]
b = −
lineær
Hvor blineær er nedenstående:
Trans.lign. Fikspkt.
T
blineær = 0 … 0 … Xr’ Yr’ Zr’ …
Når de foreløbige værdier er tæt på den endelige løsning er værdierne i b-vektoren små.
Iterationen fortsættes til resultatet er tilfredsstillende, hvilket vil sige når ændringerne mellem to
på hinanden følgende iterationer er små. Da der her anvendes foreløbige værdier tæt på den endelige
løsning er tre iterationer passende (fastslået på baggrund af testberegninger af eksemplet).
Indholdet i x-vektoren er vist nedenfor.
Model A Model B Koordinater T
x = �1 �1 κ1 k1 tx1 ty1 tz1 �2 �2 κ2 k2 tx2 ty2 tz2 … Xr’ Yr’ Zr’ …
Side | 49

Appendiks A - Transformation og anblok
På tilsvarende vis som tidligere kan koordinaterne fås over i det overordnede system ved at lægge
middelværdien for fikspunkterne (XFm, YFm og ZFm) til koordinaterne (Xr, Yr og Xr) i x-vektoren.
Dette udtryk er vist nedenfor.
Side | 50
⎡X ⎤ ⎡Xr ⎤ ⎡XFm⎤ ⎢
Y
⎥ ⎢
Yr
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ Zr ⎥⎦ ⎢⎣ ZFm⎥⎦
Gennemføres eksemplet som tidligere, er resultatet for den ulineære metode i form af tre drejninger
og en skalering efter tredje iteration følgende:
For Model A: ω = 2,002 , ϕ = 1, 496 , κ = 70,004 og k = 1,000
For Model B: ω = − 1,997 , ϕ = − 2,002 , κ = 129,996 og k = 1,000
Disse beregnede drejninger og skaleringer er af samme størrelse som de oprindelige drejninger og
skaleringer, der blev anvendt ved fremstillingen af koordinaterne.
På tilsvarende vis som ved 2D anblok skal flytningerne fra løsningsvektoren korrigeres, da både de
enkelte modeller og det overordnede koordinatsystem er reducerede til deres tyngdepunkt. Korrektionen
udføres ved at tage flytningerne fra løsningsvektoren og trække middelkoordinaterne,
fra de enkelte modeller, ganget med rotationsmatricen samt skalering, fra. Derudover skal middelværdierne
for fikspunkterne (XFm, YFm og ZFm) lægges til. Denne udregning er vist nedenfor, hvor
de nye korrigerede flytninger er Tx, Ty og Tz.
Hvor
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡ Xm⎤ ⎡XFm ⎤
⎢
Ty
⎥ ⎢
ty
⎥
kR
⎢
Ym
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎢⎣ Tz ⎥⎦ ⎢⎣ tz⎥⎦ ⎢⎣ Zm ⎥⎦ ⎢⎣ ZFm ⎥⎦
⎡ cosϕ cosκ −cos
ϕ sinκ sinϕ
⎤
R =
⎢
sinω sinϕ cosκ cosω sinκ sinω sinϕ sinκ cosω cosκ sinω cosϕ
⎥
⎢
+ − + −
⎥
⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ cosω cosϕ
⎥⎦
Flytningerne kan herefter beregnes for de to modeller, med indsættelse af de beregnede drejningerne
i rotationsmatricen:
⎡Tx1 ⎤ ⎡−6,400 ⎤ ⎡22,585⎤ ⎡18,000 ⎤ ⎡ 3,461 ⎤
⎢
Model A: Ty
⎥ ⎢
1 2,200
⎥
kR
⎢
2,648
⎥ ⎢
17,000
⎥ ⎢
6,187
⎥
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
−
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣ Tz ⎥ 1 ⎦ ⎢⎣ 3,467 ⎥⎦ ⎢⎣ 10,602 ⎥⎦ ⎢⎣ 4,333 ⎥⎦ ⎢⎣ −3,279
⎥⎦
⎡Tx2 ⎤ ⎡−2,200 ⎤ ⎡ 17,913 ⎤ ⎡18,000 ⎤ ⎡11,253 ⎤
⎢
Model B: Ty
⎥ ⎢
2 3,600
⎥
kR
⎢
14,519
⎥ ⎢
17,000
⎥ ⎢
2,202
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
−
⎢
−
⎥
+
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣ Tz ⎥ 2 ⎦ ⎢⎣ 1,667 ⎥⎦ ⎢⎣ 8,145 ⎥⎦ ⎢⎣ 4,333 ⎥⎦ ⎢⎣ −1,580
⎥⎦

3D anblok
De beregnede flytninger er ikke identisk med de oprindelige flytninger som blev anvendt, da koordinaterne
blev genereret. Dette kan som tidligere nævnt skyldes, at drejningerne ikke er 100 %
identiske med de oprindelige drejninger, hvilket smitter af på de beregnede flytninger. Det skal
hertil tilføjes at flytningerne fra Model A stemmer overens med de flytninger, der er beregnet ved
3D transformation.
Residualerne beregnes efter følgende udtryk:
r = Axˆ − b
Residualerne for eksemplet består af en søjlevektor med 39 tal der alle nuller med tre decimaler,
hvilket også er forventet, da koordinaterne er genereret ved hjælp af transformationsligninger og
med tre decimaler. De første 15 tal er residualer for x-, y- og z-værdierne til punkterne i Model A og
de næste 15 er for punkterne i Model B. De resterende 9 er residualer for x-, y- og z-værdierne for
de tre fikspunkter.
Til 3D anblok med to modeller med den ulineære metode har projektgruppen ligeledes udarbejdet
et script i MATLAB. Dette script hedder D3_anblok_numafl_2M.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i
mappen Appendiks B. I scriptet er ovennævnte procedure foretaget, dog er der nogle forhold der
her skal gøres opmærksom på i forbindelse med gennemløb af scriptet. De to modeller og fikspunkterne
i det overordnede system hentes ind i scriptet fra txt-filer ved navn fiks.txt, modelA.txt og
modelB.txt. Filerne indeholder matricer med fire søjler, hvor første søjle er punktnummer, mens de
øvrige tre er henholdsvis x- y- og z-koordinater. Søjlerne i txt-filerne er adskilt af mellemrum. Disse
txt-filer skal ligge i samme mappe som scriptet køres fra. For at genskabe eksemplet som er gennemgået
i dette afsnit skal filerne fiks.txt, modelA.txt og modelB.txt hentes fra mappen 3D anblok
under mappen 3D koordinatfiler og placeres direkte under mappen Appendiks B på Bilags-CD’en
inden scriptet gennemløbes.
Inden scriptet til 3D anblok med to modeller med den ulineære metode, D3_anblok_numafl_2M.m,
gennemløbes skal scriptet med 2D anblok med to modeller med den lineære metode,
D2_anblok_ab_2M.m, gennemløbes. Dette skyldes at de foreløbige værdier for drejningerne hentes
fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb af den lineære metode, D2_anblok_ab_2M.m.
Punktnummerstrategien for de punkter der indgår i anblok-scriptet skal være fortløbende nummereret
med punkt 1 som det første punkt. I forbindelse med A-matricen anvendes punktnumrene til
at få placeret ”-1” for modellerne og ”1” for fikspunkterne på de rigtige pladser i højre side af Amatricen.
Det er derfor ikke nødvendigt at punkterne i modellerne eller fikspunkterne, eksempelvis
modelA.txt kommer i nummerrækkefølge.
På tilsvarende vis som med de 2D anblok er rækkefølgen af rækkerne i A-matricen og b-vektoren er
lidt anderledes i scriptet end i den ovenfor gennemgået teori. Den ændrede rækkefølge skyldes, at
det programmeringsmæssigt er lettere at have alle rækkerne der repræsentere X’ i transformationsligningen
først, hvorefter alle rækkerne der repræsentere Y’ og til sidst rækkerne der repræsentere
Z’.
Side | 51

Appendiks A - Transformation og anblok
Denne ændrede rækkefølge har efterfølgende betydning for strukturen på x-vekoren og r-vektoren.
Strukturen på disse er følgende:
Model A Model B Model C Koordinater
T
x = �1 �1 κ1 k1 tx1 ty1 tz1 �2 �2 κ2 k2 tx2 ty2 tz2 �3 �3 κ3 k3 tx3 ty3 tz3 Xr’1 … Xr’n Yr’1 … Yr’n Zr’1 … Zr’n
Model A Model B Model C Fikspunkter
T
r = rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn rX1..rXn rY1..rYn rZ1..rZn
Ved gennemløbet af scriptet genereres en fil ved navn koor_udj3D.txt. Denne fil indeholder de udjævnede
koordinater i det overordnede system. Indholdet af filen er en matrice med fire søjler, hvor
første søjle er punktnummer, mens de øvrige tre er henholdsvis x-, y- og z-koordinater. Dette er
strukturen når filen åbnes i Textpad. Filen bliver overskrevet hver gang der bliver kørt 3D anblok.
Ved gennemløbet af scriptet genereres yderligere to filer ved navn trans_modelA.txt og
trans_modelB.txt. Disse filer indeholder transformationsparametrene fra de to modeller til det
overordnede system. Indeholdet af filerne er de seks transformationsparametre i en søjlevektor,
hvor de første tre er drejningerne (ω, φ og κ), mens de sidste tre er de beregnede flytninger (Tx, Ty
og Tz). Dette er strukturen (som søjlevektor) når filen åbnes i Textpad. Det er senere muligt at anvende
denne fil som input når de enkelte modellers punktskyer skal transformeres over i det overordnede
system.
7.2 Anblok med tre modeller med den ulineære
metode
Forskellen mellem anblok med tre modeller og anblok med to modeller er blot en udvidelse af Amatricen.
På baggrund heraf vil A-matricen og løsningerne til eksemplet med tre modeller blive
gennemgået da den øvrige teori er identisk med anblok med to modeller med den ulineære metode.
A-matricen indeholder, som med de forrige metoder, de partiel afledede. De partiel afledede er de
samme som ved den ulineære metode med to modeller, hvor der i den tidligere gennemgang var
nogle af udtrykkene, som blev erstattet af symboler for at reducere størrelsen af A-matricen. Disse
symboler kan, som ved gennemgangen af teorien bag to modeller, yderligere substitueres som vist
nedenfor.
Side | 52

A =
Model A
Model B
Model C
Fikspkt
3D anblok
Model A Model B Model C Pkt. 1 Pkt. 2 Pkt. 3 Pkt. 4 Pkt. 5 Pkt. 6 Pkt. 7
Pkt. 1 ϵ
-1
Pkt. 3 ϵ
-1
Pkt. 5 ϵ
-1
Pkt. 6 ϵ
-1
Pkt. 7 ϵ
-1
Pkt. 1
ϵ
-1
Pkt. 2
ϵ
-1
Pkt. 3
ϵ
-1
Pkt. 4
ϵ
-1
Pkt. 5
ϵ
-1
Pkt. 2
ϵ
-1
Pkt. 3
ϵ
-1
Pkt. 4
ϵ
-1
Pkt. 6
ϵ
-1
Pkt. 7
ϵ
-1
Pkt. 1
Pkt. 4
Pkt. 7
Tabel Tabel 27 27: 27 27:
: AA-matrice,
A
matrice, hvor det grå område er matricen, mens teksten udenom
udenom
i i kursiv kursiv er er forklarende forklarende tekst tekst til til matrices matrices indhold
indhold
I forbindelse med opstilling af b-vektor er denne ligeledes identisk med b-vektor for den ulineære
metode med to modeller. Som tidligere kan løsningen beregnes iterativt efter mindste kvadraters
princip.
Gennemføres eksemplet som tidligere, er resultatet for den ulineære metode i form af tre drejninger
og en skalering efter tredje iteration følgende:
For Model A: ω = 2,000 , ϕ = 1,500 , κ = 69,999 og k = 1,000
For Model B: ω = − 2,001,
ϕ = − 2,001 , κ = 129,998 og k = 1,000
For Model C:
ω = 1,003 , ϕ = 2,004 , κ = − 25,000 og k = 1,000
På tilsvarende vis som ved 3D anblok med to modeller skal flytningerne fra løsningsvektoren korrigeres,
da både de enkelte modeller og det overordnede koordinatsystem er reducerede til deres
tyngdepunkt. Korrektionen udføres som vist nedenfor, hvor de nye korrigerede flytninger er Tx, Ty
og Tz.
Hvor
⎡Tx⎤ ⎡tx⎤ ⎡ Xm⎤ ⎡XFm ⎤
⎢
Ty
⎥ ⎢
ty
⎥
kR
⎢
Ym
⎥ ⎢
YFm
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
⎢⎣ Tz ⎥⎦ ⎢⎣ tz⎥⎦ ⎢⎣ Zm ⎥⎦ ⎢⎣ ZFm ⎥⎦
1
1
1
Side | 53

Appendiks A - Transformation og anblok
Side | 54
⎡ cosϕ cosκ −cos
ϕ sinκ sinϕ
⎤
R =
⎢
sinω sinϕ cosκ cosω sinκ sinω sinϕ sinκ cosω cosκ sinω cosϕ
⎥
⎢
+ − + −
⎥
⎢⎣ − cosω sinϕ cosκ + sinω sinκ cosω sinϕ sinκ + sinω cosκ cosω cosϕ
⎥⎦
Flytningerne kan herefter beregnes for de to modeller, med indsættelse af de beregnede drejningerne
i rotationsmatricen:
⎡Tx1 ⎤ ⎡−6,400 ⎤ ⎡22,585⎤ ⎡18,000 ⎤ ⎡ 3,458 ⎤
⎢
Model A: Ty
⎥ ⎢
1 2,200
⎥
kR
⎢
2,648
⎥ ⎢
17,000
⎥ ⎢
6,178
⎥
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
−
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣ Tz ⎥ 1 ⎦ ⎢⎣ 3,467 ⎥⎦ ⎢⎣ 10,602 ⎥⎦ ⎢⎣ 4,333 ⎥⎦ ⎢⎣ −3,278
⎥⎦
⎡Tx2 ⎤ ⎡−2,200 ⎤ ⎡ 17,913 ⎤ ⎡18,000 ⎤ ⎡11,254 ⎤
⎢
Model B: Ty
⎥ ⎢
2 3,600
⎥
kR
⎢
14,519
⎥ ⎢
17,000
⎥ ⎢
2,202
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
−
⎢
−
⎥
+
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣ Tz ⎥ 2 ⎦ ⎢⎣ 1,667 ⎥⎦ ⎢⎣ 8,145 ⎥⎦ ⎢⎣ 4,333 ⎥⎦ ⎢⎣ −1,579
⎥⎦
⎡Tx3 ⎤ ⎡−0,400⎤ ⎡11,684 ⎤ ⎡18,000 ⎤ ⎡−4,043⎤ ⎢
Model C: Ty
⎥ ⎢
3 0,400
⎥
kR
⎢
27,086
⎥ ⎢
17,000
⎥ ⎢
3,713
⎥
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
−
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣ Tz ⎥ 3 ⎦ ⎢⎣ 2,067 ⎥⎦ ⎢⎣ 15,688 ⎥⎦ ⎢⎣ 4,333 ⎥⎦ ⎢⎣ −8,937
⎥⎦
De beregnede flytninger for Model A og B er identiske med de beregnede flytninger ved 3D anblok
med to modeller.
Residualerne beregnes efter følgende udtryk:
r = Axˆ − b
Residualerne for eksemplet består af en søjlevektor med 54 tal der alle nuller med tre decimaler
hvilket også er forventet, da koordinaterne er genereret ved hjælp af transformationsligninger og
med tre decimaler. De første 45 tal er residualer for x-, y- og z-værdierne til punkterne for henholdsvis
Model A, Model B og Model C. De resterende 9 er residualer for x-, y- og z-værdierne for de
tre fikspunkter.
Til 3D anblok med tre modeller med den ulineære metode har projektgruppen ligeledes udarbejdet
et script i MATLAB. Dette script hedder D3_anblok_numafl_3M.m. Denne fil er på Bilags-CD’en i
mappen Appendiks B. Opbygningen og indholdet af dette script er identisk med 3D anblok med to
modeller med den ulineære metode, dog er der her indsat en ekstra model.
Opbygningen og indholdet af de tre modeller og fikspunkter i det overordnede system er ligeledes
identisk med det beskrevet under 3D anblok med tre modeller med den ulineære metode. For at
genskabe eksemplet som er gennemgået i dette afsnit hentes filerne ind på tilsvarende måde som
beskrevet under 3D anblok med tre modeller med den ulineære metode.
Inden scriptet til 3D anblok med tre modeller med den ulineære metode, D3_anblok_numafl_3M.m,
gennemløbes skal scriptet med 2D anblok med tre modeller med den lineære metode,

3D anblok
D2_anblok_ab_3M.m, gennemløbes. Dette skyldes at de foreløbige værdier for drejningerne hentes
fra x_for_p.txt, som genereres ved gennemløb af den lineære metode, D2_anblok_ab_3M.m.
Ved gennemløbet af scriptet genereres en fil ved navn koor_udj3D.txt. Denne fil indeholder de udjævnede
koordinater i det overordnede system. Indholdet af filen er en matrice med fire søjler, hvor
første søjle er punktnummer, mens de øvrige tre er henholdsvis x-, y- og z-koordinater. Dette er
strukturen når filen åbnes i Textpad. Filen bliver overskrevet hver gang der bliver kørt 3D anblok.
Ved gennemløbet af scriptet genereres yderligere tre filer ved navn trans_modelA.txt,
trans_modelB.txt og trans_modelC.txt. Disse filer indeholder transformationsparametrene fra de tre
modeller til det overordnede system. Indeholdet af filerne er de seks transformationsparametre i
en søjlevektor, hvor de første tre er drejningerne (ω, φ og κ), mens de sidste tre er de beregnede
flytninger (Tx, Ty og Tz). Dette er strukturen (som søjlevektor) når filen åbnes i Textpad. Det er
senere muligt at anvende denne fil som input når de enkelte modellers punktskyer skal transformeres
over i det overordnede system.
Side | 55

Bilag A ‐ Teknikken bag terrestrisk
laserscanning
Udtræk fra rapporten ”Deformationsanalyse med laserscanning”, udarbejdet af Anders Thomsen,
Carsten Bundgaard, Martin Steenberg og Søren Johannessen, på landinspektøruddannelsens 7.
semester Measurement Science, 2007

Bilag A - Teknik
Teknik
Bilag A - Teknik
Dette bilag skal beskrive teknikken bag laserscanning. Teknikken bliver beskrevet bredt idet
der behandles emner omkring scanneres indre opbygning og enheder, emner om targets, der
anvendes til sammenknytning af scans, samt sammenknytning. Endelig behandles emnerne
fejl og modellering.
Laserscanneren kan beskrives som en automatiseret totalstation, der indsamler koordinater til
en række punkter på objekter i en afstand mellem 1-100 m fra instrumentet. [Luhmann et al.,
2006, s. 178] Til hvert punkt måles afstanden fra laserscanneren ved hjælp af laser, der
reflekteres på objektet. Det reflekterede laserlys opfanges af scannerens modtagerenhed og
opmålingen er foretaget. Til hver afstandsmåling registreres horisontalvinkel og vertikalvinkel,
således at koordinaterne til punktet kan udregnes. Punkterne fastlægges af scanneren i et
koordinatsystem som defineres med (0,0,0) i scannerens centrum og 0-retning sammenfaldende
med scannerens sigte i opstillingstidspunktet. Udover afstand kan nogle laserscannere
måle intensiteten på det lys der reflekteres fra objektet. Dette kan anvendes til at bestemme
hvorvidt et objekt består af forskellige materialer. Dette kan gøres da, f.eks. gule og røde mursten
ikke reflekterer laserlyset på samme måde. Dette kan anvendes til at frasortere data, der
er uønsket i et datasæt. F.eks. hvis der er foretaget en scanning af en murstensvæg, og kun
stenene ønskes registreret, kan fugerne frasorteres på baggrund af den intensitetsgrad der er
registreret. Der kan altså skelnes mellem forskellige materialer, men det er nødvendigt at vide,
hvilken intensitetsgrad det materiale der ønskes frasorteret, bliver reflekteret med. Der kan
ikke opstilles absolutte størrelser for dette, da refleksionen ændrer sig, alt efter afstand, vejr,
lysforhold og materialets tilstand. [Song et al., 2002, s. 1]
Laser
Laserscanneren anvender som navnet antyder laser til at indsamle koordinaterne til de punkter,
der scannes. Ordet laser er en forkortelse af begrebet ”Light Amplification by Stimulated
Emission of Radiation”, hvilket betyder "Lys-forstærkning ved stimuleret udsendelse af stråling".
Laserlyset fremkommer ved at udsætte et medie, i form af et rør, for stråling, som får
atomerne i mediet til at udsende lys. Dette lys ensrettes ved at lade det ramme spejle i enden
af røret. I den ene ende kan lyset undslippe i en stråle. Denne stråle består af lysbølger med
samme bølgelængde og næsten samme retning. Selvom laserlyset er blevet ensrettet i røret
vil de ikke alle sammen have helt den samme udbredelsesvinkel, lysstrålen vil i virkeligheden
være en meget spids kegle. Denne kegleform bevirker at laserstrålen får en større diameter,
1

Bilag A - Teknik
når den observeres længere væk fra kilden. Når laserstrålen rammer et objekt på lang afstand
vil der fremkomme et større footprint end når den rammer et objekt på kort afstand. Footprintet
er den lysplet laseren afkaster på objektet.
Scannertyper
Der er to forskellige typer af laserscannere:
- Kamerascannere
- Panoramascannere
2
Figur 1: Laserstrålen er let kegleformet
Kamerascanneren stilles op og scanner det område den sigter imod. Kamerascannere scanner
typisk 40° x 40°. Panoramascanneren kan rotere 360° omkring vertikalaksen og et sted
mellem 80° og 270° omkring vertikalaksen. Panoramascanneren kan således scanne så godt
som et helt rum, så det ikke er nødvendigt at sammenstykke en opmåling af flere scans. Opmålingsområdet
kan være forskelligt fra fabrikant til fabrikant og fra model til model.
Figur 2: De to skannertyper. Kamerascanner til venstre og panoramascanner til venstre [Kaspar
et al., 2004 s. 15]
Afstandsmåleenheder
Der findes to afstandsmålemetoder når der tales om laserscanning. Den ene måler tidsforskellen
fra laseren udsender strålen og til modtageren opfanger refleksionen. Denne metode kaldes
”time of flight”. Princippet udnytter at laserlys udbreder sig med lysets hastighed. Laser-

Bilag A - Teknik
scanneren måler tiden fra laserstrålen forlader instrumentet, til refleksionen opfanges af
modtageren igen. Derved kan afstanden beregnes. Metoden kræver høj præcision af det ur der
måler tiden, en lille fejlmåling kan give store afvigelser i afstanden, eksempelvis tager det blot
0,1 μs at tilbagelægge ca. 300 m.
Den anden metode til afstandsmåling er fasesammenligning, hvor laserscanneren tæller
antallet af bølger, der udsendes inden refleksionen modtages. Når bølgelængden kendes, kan
afstanden til objektet findes, ved at multiplicere bølgelænden med antallet af bølger. Den sidste
bølge der er i gang med at blive udsendt, bliver sammenlignet med den indkommende bølge, så
der nøjagtigt kan registreres, hvor på den sidste bølge modtageren har registreret den indkommende
bølge. Denne metode kræver, at alle bølger der udsendes, også bliver modtaget,
idet hver bølge repræsenterer en afstand. Forsvinder en bølge under opmålingen, vil afstanden
til objektet således blive målt for kort.
Spejle
Figur 3: Den indgående og den udgående bølge sammenlignes
Laserscanneren udsender laserstrålen mod et sæt roterende spejle, som bevæger sig i horisontalretning
og vertikalretning. Spejlene reflekterer strålen, så den kastes på objektet. Strålen
reflekteres i et net af punkter, hvor brugeren bestemmer punkttætheden. Spejlene kan kun
rotere i en begrænset vinkel, så når der anvendes en panoramascanner, vil hele scannerhovedet
rotere omkring vertikalaksen, når et objekt er større end den vinkel.
3

Bilag A - Teknik
4
Figur 4: Det roterende spejl reflekterer strålen
[Kaspar et al., 2004, s. 8].
Der findes andre metoder til udbrede laserstrålen. Én er at lade strålen ramme et spejlprisme
som roterer i en retning omkring en akse. [Kaspar et al., 2004, s. 8-10]
Spejlenes rotationsmønster er afgørende for punktmønsteret der vil afspejles på objektet. Der
findes forskellige punktmønstre, nogle er kvadratiske, mens andre er rombeformede.
Targets
Når et scan skal orienteres i et koordinatsystem, eller når flere scans skal knyttes sammen,
anvendes targets. Targets er ofte skiver af retrorefleksivt materiale, som reflekterer laserstrålen
godt. Targets har standarddimensioner, som laserscanneren kan genkende, således at
disse bliver opmålt med høj nøjagtighed, og koordinaten til centrum af et target, kan udregnes
med meget høj nøjagtighed. De targets projektgruppen har arbejdet med er Leicas. Leicas
targets har standardmål, hvor sidelængden er 3” for kvadratiske targets, og diameteren er 6”
for cirkulære targets, disse to størrelser har forskellige fordele i forhold til placering, afstand,
punkttæthed mv. [www.leica-geosystems.com]

Bilag A - Teknik
Figur 5: Leica HDS‐targets 3” kvadratisk target til venstre og 6” cirkulært target til højre
[www.leica‐geosystems.com]
Ud over de refleksive skiver anvender Leica også sfæretargets. Sfæretarget er halvkugleformede,
og har en diameter på 6”. Laserscannerens brugerflade Cyclone kan ud fra et finscan af
sfæretargetet, og oplysningen at diameter på target er 6”, beregne centrumskoordinaten hertil
meget nøjagtigt. Koordinatsættet til sfærens centrum kan nu anvendes til at orientere scannet.
Sammenknytning
Når et eller flere scans skal knyttes sammen, anvendes ofte targets. De scans der ønskes
sammenknyttede, kan transformeres sammen, såfremt der er indmålt nogle fælles targets.
Targets kan ligeledes anvendes til at knytte scans til et geografisk koordinatsystem. Hvis
targets er målt ind i det ønskede koordinatsystem, kan scannet transformeres ind i dette.
Forskellige scans kan også sammenknyttes ved hjælp af geometrien i de forskellige scans. En
jernbjælke kan f.eks. knyttes sammen af flere scans, ved at bruge indmålte bolte og nitter som
sammenknytningspunkter. Uanset hvilken sammenknytningsmetode der anvendes, er det
vigtigt at geometrien i sammenknytningspunkterne er god. Det vil sige at sammenknytningen
ikke kan lade sig gøre, hvis f.eks. alle sammenknytningspunkterne ligger på en lige linie.
Fejl
Ligesom når der opmåles med totalstation, forekommer der fejl, når en opmåling foretages
med en scanner. Disse fejl opstår i forskellige dele af opmålingsprocessen. De fejl der forekommer
i afstandsmåleenheden er blandt andre:
5

Bilag A - Teknik
6
- En laserstråle kan reflekteres på et objekt således, at den fortsætter videre til et andet
objekt, som reflekter laserstrålen tilbage til det første objekt, og derfra tilbage til scanneren.
Den målte afstand vil herved blive længere end den sande afstand, og punktet
vil fremstå længere væk fra scanneren. Denne fejl kaldes multipath, og den er illustreret
ved Figur 6
Figur 6: Multipath, den grønne prik repræsenterer det registrerede punkt
- Når der opmåles hjørner og kanter vil laserstrålens størrelse spille ind på måleresultatet.
Hvis strålens footprint rammer hjørnet, vil afstanden blive en mellemting mellem
afstandene der er mellem scanneren og det areal der dækkes af footprintet. Afstanden
kan herved måles for kort eller for lang i forhold til virkeligheden, se Figur 7. Denne fejl
kan reduceres, ved at fabrikanten minimerer laserstrålens diameter.
Figur 7: Afstanden til objektet måles forket ved hjørneopmåling, de grønne prikker repræsenterer de regi‐
strerede punkter

Bilag A - Teknik
- Der kan også forekomme fejl ved måling af forskellige materialer. Dette problem opstår,
fordi forskellige materialer ikke reflekterer laserlyset ens. En blød overflade vil således
absorbere en del af en laserstråle, og kun en del af signalet vil derfor reflekteres
til modtageren.
- En anden fejl der knytter sig til refleksion og absorbering, afhænger af objektets farve,
idet en sort overlade vil absorbere en del af laserlyset, og det returnerede signal vil være
forringet, i forhold til hvis der blev målt på en hvid overflade. I Tabel 1 kan refleksionen
fra forskellige materialer med forskellige farver ses.
Materiale Refleksion/ %
Hvidt papir op til 100 %
Bearbejdet træ (fyr, rent, tørt) 94 %
Sne 80-90 %
Hvidt Murværk 85 %
Kalksten, ler op til 75 %
Avispapir med tryk 69 %
Løvtræer typisk 60 %
Nåletræer typisk 30 %
Strandsand, nøgne arealer i ørken typisk 50 %
Beton, glat 24 %
Asfalt med småsten 17 %
Lava 8 %
Sort neopren 5 %
Tabel 1: Refleksionen fra forskellige materialer
[Kaspar et al., 2004, s.17]
Mængden af reflekteret laserlys har indvirkning på hvor nøjagtigt en afstand bliver målt. Hvis
modtagerenheden modtager 100 % af det udsendte laserlys, bliver afstanden målt med højere
nøjagtighed, end hvis der kun modtages 5 %, fordi der er mere ”materiale” at beregne afstanden
fra.
Modellering
Er der foretaget et scan af en figur, der er defineret af en matematisk formel, kan objektet
modelleres så den figur, der passer bedst til punktskyen, udregnes. Bliver der f.eks. scannet en
flade, kan et program beregne fladen ud fra de målte punkter. Programmet der anvendes til at
modellere data i dette projekt, hedder Cyclone, og er tilpasset Leicas laserscannere. Programmet
kan blandt andet modellere overflader, der er beskrevet ved en matematisk ligning, som
f.eks. kugler, planer, cylindre og kegler. Programmet kan også generere overflader direkte fra
punkterne. Dette sker ved, at der bliver udregnet et TIN (Triangulated irregular network).
Cyclone er ligeledes Leica laserscannerens brugerflade. Det er her igennem, scanneren styres
i scanneforløbet.
7

Bilag A - Teknik
Opsamling
Gennem dette afsnit er nogle af hovedbegreberne vedrørende laserscanning blevet gennemgået.
Der er blevet kastet nogle begreber op i luften, og for at konkretisere nogle af de begreber
vil det følgende tabel, Tabel 2, præsentere en række teknisk data for nogle forskellige laserscannere.
Projektgruppen har i projektperioden haft adgang til Leica CYRAX HDS 3000. Specifikationer
til denne findes ligeledes i tabellen.
Zoller & Fröhlich Riegl LMS Leica CYRAX Leica CYRAX HDS
Imager 5003 Z360i
2500
3000
Instrumenttype
Afstandsmåle
Panoramascanner Panoramascanner Kamerascanner Panoramascanner
enhed
Laser
Fasesammenligning Time-of-flight Time-of-flight Time-of-flight
Bølgelængde 780 nm Nær Infrarød 532 nm 532 nm
Effekt 23 mW (klasse 3R) klasse 1 1 mW (klasse 3R) klasse 3R
Strålediameter 3-4 mm ved 10 m 7mm (0,25 mrad) 6 mm ved 50 m ≤6 mm ved 50 m
Opløsning 3,5 mm ved 10 m 0,4 mm ved 10 m 0,1 mm ved 10 m
Område
8
Afstand 0,4 til 25,2 m 2 til 200 m 1,5 til 100 m 1 til 100 m
Horisontalt 360° 360° 40° 360
Vertikalt 270° 90° 40° 270
Punkter per se-
kund 625.000 24.000 1000 1800
Nøjagtighed
Afstand ±3 mm + 2 mm/m ±5 mm ±4 mm ±4 mm
Vinkel ±0,01° ±0,01° ±0,003° ±0,003°
Koordinat ±5 mm/25m ±6 mm/50m ±6 mm/1 til 50 m
Vægt
Ekstra egenskaber registrerer
13 kg + 3 kg (hol-
intensitetsværdier
der) 13 kg 20,5 kg
registrerer
intensitetsværdier,
Integreret hø-
jopløsnings-
kamera
registrerer
intensitetsværdier,
integreret video-
kamera
registrerer
16 kg + 12 kg
batteri
intensitetsværdier,
integreret video-
kamera
Tabel 2: Viser specifikationer for fire laserscannere [Luhmann et al., 2006, s. 178],[Bilag H]

Bilag B ‐ Slides fra 5. semester
Slides fra udjævningskursus med Peter Cederhold på landinspektøruddannelsens 5. semester

Fejlforplantning ved 2D transformation
– eksemplificeret vha Matlab
Peter Cederholm
Aalborg Universitet
Institut for Samfundsudvikling og Planlægning
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 1 / 18
Indledning
◮ Matlab funktionen ‘transdem.m’(transformationsdemo)
kan belyse spørgsmålene
"transdem(’felles.txt’,’andre.txt’,1)"
| | |
| | |
Fil med koor. til fællespkt.: | |
1 560700 6317800 | |
2 560700 6317900 | |
3 560800 6317900 | |
4 560800 6317800 | |
| |
Fil med koor. til nypkt.: |
5 561000 6317850 |
6 561200 6317850 |
|
Angiver type af transformation
1: 2 translationer, 1 rotation, 1 skala (Helmert)
2: 2 translationer, 1 rotation
3: 2 translationer, 1 skala
4: 2 translationer
◮ Skriv ‘help transdem’ i Matlab for yderligere hjælp
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 3 / 18
Indledning
Indledning
Spørgsmål 1:
Hvilken betydning har valg af transformationstype for
nypunkternes præcision?
Spørgsmål 2:
Hvilken betydning har placeringen af nypunkterne i forhold til
fællespunkterne for nypunkternes præcision?
Spørgsmål 3:
Hvilken betydning har . . .
◮ antallet af fællespunkter og
◮ fællespunkternes placering . . .
for præcisionen af de transformerede punkter?
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 2 / 18
Indledning
◮ Funktionen beregner(testnet) og tegner konfidensellipser i
hvert punkt:
◮ I fællespunkter tegnes sorte ellipser
◮ I nypunkter tegnes røde ellipser
◮ I første fællespunkt tegnes en grøn ellipse svarende til
punkternes præcision; denne forudsættes ens i alle punkter
◮ Funktionen er et eksempel på brug af
testnet/fejlforplantning; der indgår altså ikke
observationer i beregningen
◮ Funktionen bygger på teorien gennemgået i sidste
forelæsning
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 4 / 18

Fejlforplantning ved omkransende fællespunkter
Fejlforplantning ved omkransende fællespunkter
◮ Først regnes testnet med 5 fællespunkter, der omkranser et
nypunkt
felles.txt andre.txt
------------------ ------------------
1 560700 6317800 5 561000 6317850
2 560700 6317900
3 560800 6317900
4 560800 6317800
6 561200 6317850
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 5 / 18
Fejlforplantning ved omkransende fællespunkter 2 trans, 1 rot
◮ Aflange ellipser
pga rot.
◮ Punkt 5,6 OK
(� ○)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 7 / 18
Fejlforplantning ved omkransende fællespunkter 2 trans, 1 rot, 1 skala
◮ Fejlforplantning
væk fra
fællespunkters
tyngdepunkt
◮ Ens effekt af
skala og rot.
◮ x og y er
ukorrelerede
◮ Ellipser nær
tyngdepunkt
mindre end a
priori ellipse
(grøn,○)
◮ Punkt 5,6 OK
(� ○)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 6 / 18
Fejlforplantning ved omkransende fællespunkter 2 trans, 1 skala
◮ Aflange ellipser
pga skala
◮ Punkt 5,6 OK
(� ○)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 8 / 18

Fejlforplantning ved omkransende fællespunkter 2 trans
◮ x og y er
ukorrelerede;
cirkulære
ellipser
◮ Alle ellipser
ens
◮ Punkt 5,6 OK
(� ○)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 9 / 18
Fejlforplantning ved ikke-omkransende fællespunkter 2 trans, 1 rot, 1 skala
◮ 8 obs, 4
ubekendte
◮ Dobbelt så
mange obs
som
nødvendigt ➡
sorte ellipser
√ 2 gange
mindre end
grøn ellipse
◮ Punkt 5,6 ikke
OK (> ○)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 11 / 18
Fejlforplantning ved ikke-omkransende fællespunkter
Fejlforplantning ved ikke-omkransende fællespunkter
◮ Nu regnes testnet med 4 fællespunkter og 2 ikke
ikke-omkransede nypunkter
felles.txt andre.txt
------------------ ------------------
1 560700 6317800 5 561000 6317850
2 560700 6317900 6 561200 6317850
3 560800 6317900
4 560800 6317800
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 10 / 18
Fejlforplantning ved ikke-omkransende fællespunkter 2 trans, 1 rot
◮ Punkt 5,6 ikke
OK (> ○)
◮ Kraftig fejlforplantning
uden
for
fællespunkter
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 12 / 18

Fejlforplantning ved ikke-omkransende fællespunkter 2 trans, 1 skala
◮ Punkt 5,6 ikke
OK (> ○)
◮ Kraftig fejlforplantning
uden
for
fællespunkter;
ellipser roteret
90 ◦ grader i
forhold til
forrige slide
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 13 / 18
Konklusion
Konklusion
Spørgsmål 1:
Hvilken betydning har valg af transformationstype for
nypunkternes præcision?
Svar:
◮ Hvis transformationen indeholder skala eller rotation kan
fejlforplantningen vokse hurtigere end hvis
transformationen kun indeholder translationer
fortsættes . . .
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 15 / 18
Fejlforplantning ved ikke-omkransende fællespunkter 2 trans
◮ 8 obs, 2
ubekendte
◮ 4 gange så
mange obs
som
nødvendigt ➡
sorte ellipser
√ 4 = 2 gange
mindre end
grøn ellipse
◮ Alle ellipser
ens
◮ Punkt 5,6 OK
(� ○)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 14 / 18
Konklusion
. . . fortsat
Spørgsmål 2:
Hvilken betydning har placeringen af nypunkterne i forhold til
fællespunkterne for nypunkternes præcision?
Svar:
◮ Hvis transformationen kun indeholder translationer er
placeringen af nypunkterne i forhold til fællespunkterne
ligegyldig
◮ Hvis transformationen indeholder skala eller rotation bør
fællespunkterne omkranse nypunkterne
fortsættes . . .
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 16 / 18

Konklusion
. . . fortsat
Spørgsmål 3:
Hvilken betydning har . . .
◮ antallet af fællespunkter og
◮ fællespunkternes placering . . .
for præcisionen af de transformerede punkter?
Svar:
◮ Hvis fællespunkterne ligger jævnt fordelt, vil
transformerede punkter (der ligger omtrent samme sted) få
spredninger, der er √ overbestemmelser mindre end
fællespunkterne
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 17 / 18
Opgave
Opgave
◮ Fra fase 1 har I bl.a. RTK-koordinater til følgende punkter:
1. Fikspunkter
2. Hjælpepunkter i Jeres område
◮ Fra KMS har I koordinater til:
1. Fikspunkter
◮ Brug ‘transdem.m’ til at vurdere hvilke/hvilken type
transformation, I forventer at kunne benytte, når
RTK-koordinaterne til fikspunkterne skal transformeres 1
på fikspunktskoordinaterne fra KMS (nettilknytning)
◮ Hvilken effekt vil den/de valgte transformationstyper have
for spredningerne på Jeres hjælpepunkter/detailpunkter?
◮ Brug resultatet som dokumentation i rapporten
1 Alle punkterne i kortet skal ikke transformers; I skal blot på baggrund af
transformationen vurdere, hvordan det kan gøres.
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Fejlforplantning ved 2D transformation 18 / 18

Brug og vurdering af 2D transformation
– eksemplificeret vha Matlab
Peter Cederholm
Aalborg Universitet
Institut for Samfundsudvikling og Planlægning
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 1 / 46
Software
Software
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 3 / 46
Indhold
Indhold
Software
Valg af transformationstype
Afsløring af grove fejl
Konklusion
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 2 / 46
Software
Software
◮ I kan transformere med GeoCad, TMK eller ‘MatTrans.m’
◮ MatTrans beregner i modsætning til de to øvrige
programmer spredninger på de transformerde punkter ➡
resultat kan sammenlignes med beregninger fra
‘transdem.m’
◮ Her fokuseres på MatTrans; anbefalinger og konklusioner
gælder selvfølgelig også de andre programmer
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 4 / 46

Software MatTrans
Software
◮ MatTrans er et grafisk interface til funktionen
‘trans2d.m’, der beregner 2D transformationer
"trans2d(til,fra,punkt,1,’resultat.txt’)"
| | | | |
| | | | Streng med navn på resultatfil
| | | |
| | | Angiver type af transformation
| | | 1: 2 translationer,1 rotation,1 skala (Helmert)
| | | 2: 2 translationer,1 rotation
| | | 3: 2 translationer,1 skala
| | | 4: 2 translationer
| | | 5: 2 translationer,2 skalaer,1 rotation,
| | | 1 skævhed (affin)
| | |
| | Matrix med nypunkter, der skal transformeres (FRA)
| |
| Matrix med fællespunkter i FRA system (lokalt)
|
Matrix med fællespunkter i TIL system (Fx. KP2000J)
◮ Skriv ‘help trans2d’ i Matlab for yderligere hjælp
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 5 / 46
Software MatTrans
◮ Eksempel på input fil:
1 560700 6317800
2 560700 6317900
3 560800 6317900
4 560800 6317800
6 561200 6317850
| | n
| e
nr
◮ Fil med koordinater i FRA system skal indeholde både
fællespunkter og nypunkter (der skal transformeres)
◮ Fil med koordinater i TIL system skal kun indeholde
fællespunkter (andre punkter ignoreres)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 7 / 46
Software MatTrans
◮ MatTrans startes ved at skrive ‘mattrans’ i matlab
◮ MatTrans kalder ‘trans2d’; I slipper for at opstille
funktionskaldet fra sidste slide
◮ Progammet er nogenlunde selvforklarende; klik på ‘Hjælp’
for beskrivelse af filformat mm
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 6 / 46
Software MatTrans
◮ Der kan vælges mellem fem 2D transformationer
◮ Efter transformation kan plot af residualer og
konfidensellipser udtegnes
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 8 / 46

Software MatTrans
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 9 / 46
Software MatTrans
*********************************************************************
2D TRANSFORMATION trans2d version 2005.10.27
mattrans version 2005.10.27
2 translationer, 1 rotation, 1 skala (Helmert) 2005-10-27 13:32:10
*********************************************************************
FÆLLESPUNKTER
---------------------------------------------------------------------
Fællespunkter i FRA system:
x [m] y [m]
1 560700.000 6317800.000
2 560700.000 6317900.000
3 560800.000 6317900.000
Fællespunkter i TIL system:
x [m] y [m]
1 560700.017 6317799.977
2 560700.001 6317900.007
3 560799.982 6317899.980
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 11 / 46
Software MatTrans
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 10 / 46
Software MatTrans
TRANSFORMATIONSPARAMETRE
---------------------------------------------------------------------
a : 0.9999704945
b : 0.0000003846
tx : 18.979 m
ty : 186.186 m
rot : 0.000 gon (afledt af a,b)
skala : 0.999970 (afledt af a,b)
sigma 0 : 0.016 m
TRANSFORMATIONSFORMLER
---------------------------------------------------------------------
|xTil| |a -b| |xFra| |tx|
| | = | | * | | + | |
|yTil| |b a| |yFra| |ty|
TRANSFORMEREDE FÆLLESPUNKTER (TIL system)
---------------------------------------------------------------------
x [m] Res [m] Spred [m] y [m] Res [m] Spred [m]
1 560700.006 -0.011 0.009 6317799.992 0.015 0.009
2 560700.006 0.005 0.009 6317899.989 -0.018 0.009
3 560800.003 0.021 0.008 6317899.989 0.009 0.008
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 12 / 46

Valg af transformationstype
Valg af transformationstype
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 13 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
Eksempel 1
◮ Koordinater:
FRA TIL
------------------ --------------------------
1 560700 6317800 1 560700.017 6317799.977
2 560700 6317900 2 560700.001 6317900.007
3 560800 6317900 3 560799.982 6317899.980
4 560800 6317800 4 560800.017 6317800.003
6 561200 6317850 6 561199.991 6317849.985
TIL = FRA + normalfordelte tilfældige fejl med spredning på 2 cm
Altså ingen elementære transformationer påført!
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 15 / 46
Valg af transformationstype
Valg af transformationstype
◮ Hvornår skal I vælge hvilken transformationstype?
◮ Hvis I ved hvilke/hvilken elementære trasformationer
(translation, rotation, skalering, vridning) koordinatnerne
har været udsat for, skal I selvfølgelig vælge en
transformationstype, der indeholder de/den pågældende
elementære transformationer
◮ Men det ved I sjældent! I må derfor prøve Jer frem
◮ Nu kommer to Matlab eksempler
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 14 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
2 translationer, 1 rotation, 1 skala (Helmert)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 16 / 46

Valg af transformationstype Eksempel 1
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 17 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
2 translationer, 1 rotation
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 19 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
TRANSFORMATIONSPARAMETRE
--------------------------------------------------------------------
a : 0.9999704945
b : 0.0000003846
tx : 18.979 m
ty : 186.186 m
rot : 0.000 gon (afledt af a,b)
skala : 0.999970 (afledt af a,b)
sigma 0 : 0.016 m
TRANSFORMEREDE FÆLLESPUNKTER (TIL system)
--------------------------------------------------------------------
x [m] Res [m] Spred [m] y [m] Res [m] Spred [m]
1 560700.006 -0.011 0.009 6317799.992 0.015 0.009
2 560700.006 0.005 0.009 6317899.989 -0.018 0.009
3 560800.003 0.021 0.008 6317899.989 0.009 0.008
4 560800.003 -0.014 0.008 6317799.992 -0.011 0.008
6 561199.991 -0.000 0.015 6317849.991 0.006 0.015
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 18 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
TRANSFORMATIONSPARAMETRE
--------------------------------------------------------------------
a : 1.0000000000
b : 0.0000003846
tx : 2.432 m
ty : -0.225 m
rot : 0.000 gon (afledt af a,b)
sigma 0 : 0.016 m
TRANSFORMEREDE FÆLLESPUNKTER (TIL system)
--------------------------------------------------------------------
x [m] Res [m] Spred [m] y [m] Res [m] Spred [m]
1 560700.002 -0.015 0.007 6317799.990 0.013 0.009
2 560700.002 0.001 0.007 6317899.990 -0.017 0.009
3 560800.002 0.020 0.007 6317899.990 0.010 0.007
4 560800.002 -0.015 0.007 6317799.990 -0.013 0.007
6 561200.002 0.011 0.007 6317849.991 0.006 0.015
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 20 / 46

Valg af transformationstype Eksempel 1
2 translationer, 1 skala
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 21 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
2 translationer
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 23 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
TRANSFORMATIONSPARAMETRE
--------------------------------------------------------------------
tx : 16.549 m
ty : 186.402 m
skala : 0.999970
sigma 0 : 0.015 m
TRANSFORMEREDE FÆLLESPUNKTER (TIL system)
--------------------------------------------------------------------
x [m] Res [m] Spred [m] y [m] Res [m] Spred [m]
1 560700.006 -0.011 0.008 6317799.992 0.015 0.007
2 560700.006 0.005 0.008 6317899.989 -0.018 0.007
3 560800.003 0.021 0.007 6317899.989 0.009 0.007
4 560800.003 -0.014 0.007 6317799.992 -0.011 0.007
6 561199.991 -0.000 0.014 6317849.990 0.005 0.007
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 22 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 1
TRANSFORMATIONSPARAMETRE
--------------------------------------------------------------------
tx : 0.002 m
ty : -0.010 m
sigma 0 : 0.015 m
TRANSFORMEREDE FÆLLESPUNKTER (TIL system)
--------------------------------------------------------------------
x [m] Res [m] Spred [m] y [m] Res [m] Spred [m]
1 560700.002 -0.015 0.009 6317799.990 0.013 0.009
2 560700.002 0.001 0.009 6317899.990 -0.017 0.009
3 560800.002 0.020 0.009 6317899.990 0.010 0.009
4 560800.002 -0.015 0.009 6317799.990 -0.013 0.009
6 561200.002 0.011 0.009 6317849.990 0.005 0.009
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 24 / 46

Valg af transformationstype Eksempel 1
Opsamling
◮ Ingen af de 4 transformationer adskiller sig fra de øvrige:
σ0
skala
Helmert 0.016 0.999970
m. rot, u. mål 0.016 1.000000
u. rot, m. mål 0.015 0.999970
translation 0.015 1.000000
◮ Vælg transformation med færrest ubekendte (translation)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 25 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 2
2 translationer
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 27 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 2
Eksempel 2
◮ Koordinater:
FRA TIL
----------- -------------------
1 0 0 1 000.157 -00.252
2 0 100 2 001.799 94.763
3 100 100 3 096.766 93.078
4 100 0 4 095.143 -01.884
6 500 50 6 475.888 38.957
TIL = 0.95 * R(-1 grad)*FRA + [0.14;-0.23] + ...
normalfordelte tilfældige fejl med spredning på 2 cm
Skala, rotation og translation påført
◮ Nu beregnes transformationerne i modsat rækkefølge af før
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 26 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 2
2 translationer, 1 skala
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 28 / 46

Valg af transformationstype Eksempel 2
2 translationer, 1 rotation
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 29 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 2
Opsamling
◮ Her er det tydeligt, at kun Helmert transformationen giver
fornuftigt resultat:
σ0 skala rotation
Helmert 0.016 0.949971 -1.111 gon
m. rot, u. mål 8.067 1.000000 -1.111 gon
u. rot, m. mål 2.674 0.949826 0.000 gon
translation 7.970 1.000000 0.000
◮ Sådan må det selvfølgelig være, da koordinaterne jo netop
blev påført de elementære transformationer, der er
indeholdt i Helmert transformationen
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 31 / 46
Valg af transformationstype Eksempel 2
2 translationer, 1 rotation, 1 skala (Helmert)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 30 / 46
Afsløring af grove fejl
Afsløring af grove fejl
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 32 / 46

Afsløring af grove fejl
Afsløring af grove fejl
◮ Hvordan reagerer de forskellige transformationstyper på
grove fejl?
◮ Belyses gennem to eksempler
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 33 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 3
2 translationer
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 35 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 3
Eksempel 3
◮ Koordinater:
FRA TIL
------------------ --------------------------
1 560700 6317800 1 560700.017 6317799.977
2 560700 6317900 2 560700.001 6317900.007
3 560800 6317900 3 560799.982 6317899.980
4 560800 6317800 4 560800.017 6317800.003
6 561200 6317850 6 561199.991 6317849.885
Samme koordinater som ved eksempel 1 bortset fra at n-koordinaten
til punkt 6(TIL) er tillagt en fejl på 10 cm; grov fejl da
spredningen er 2 cm
6317849.985 --> 6317849.885
◮ Transformationerne beregnes i samme rækkefølge som ved
sidste eksempel
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 34 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 3
2 translationer, 1 skala
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 36 / 46

Afsløring af grove fejl Eksempel 3
2 translationer, 1 rotation
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 37 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 4
Eksempel 4
◮ Koordinater:
FRA TIL
------------------ --------------------------
1 560700 6317800 1 560700.017 6317799.977
2 560700 6317900 2 560700.001 6317900.007
3 560800 6317900 3 560799.982 6317899.980
4 560800 6317800 4 560800.017 6317800.003
6 561200 6317850 6 561199.891 6317849.985
Samme koordinater som ved eksempel 1 bortset fra at e-koordinaten
til punkt 6(TIL) er tillagt en fejl på 10 cm; grov fejl da
spredningen er 2 cm
561199.991 --> 561199.891
◮ Transformationerne beregnes i samme rækkefølge som ved
sidste eksempel
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 39 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 3
2 translationer, 1 rotation, 1 skala (Helmert)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 38 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 4
2 translationer
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 40 / 46

Afsløring af grove fejl Eksempel 4
2 translationer, 1 skala
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 41 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 4
2 translationer, 1 rotation, 1 skala (Helmert)
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 43 / 46
Afsløring af grove fejl Eksempel 4
2 translationer, 1 rotation
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 42 / 46
Konklusion
Konklusion
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 44 / 46

Konklusion
Konklusion
◮ Fællespunkter, der ligger isoleret i forhold til de øvrige
fællespunkter, er farlige, når den valgte transformation
indeholder rotation eller skala
◮ I disse punkter vil grove fejl, der ‘virker’ i samme retning
som hhv rotation og skala, i høj/nogen grad blive ‘opsuget’
af netop disse to transformationsparametre
◮ Transformationen minimerer kvadratsummen af
residualerne ➡ Ved at rotere og/eller skalere, kan
residualerne i de isolerede(og fejlbehæftede) punkter
mindskes uden at de øvrige fællespunkter påvirkes i
væsentlig grad
fortsættes . . .
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 45 / 46
Konklusion
. . . fortsat
◮ I eksemplerne er der 10 observationer og højst 4
ubekendte; transformationerne er altså kraftigt
overbestemte. Alligevel kan en grov fejl på 10 cm i nogle
tilfælde skjules!
◮ Det er altså svært at vurdere resultat af transformation, når
der indgår rotation og skala ➡ Prøv at undgå disse ➡ Brug
translation når det er muligt
Landinspektørstudiet, 5. semester, Udjævning, Brug og vurdering 2D af transformation 46 / 46

Bilag C ‐ Tysk tekst om anblok
En tysk tekst om anblok teori. Oprindelse ukendt

Bilags‐CD
CD der indeholder samtlige input‐ og output‐filer, der er anvendt i projektet. Mappenavnene
henviser i de fleste tilfælde til den afsnitsoverskrift, hvor filerne i mappen er brugt.
På CD’en findes desuden den samlede rapport, samt alle trykte appendiks og bilag

Indhold ‐ Bilags‐CD
Bilags‐CD’en har nedenstående mappestruktur. Tekst i kursiv er filnavne, mens tekst der ikke er kursiv,
er mappenavne.
Appendiks B ‐ MATLAB‐filer til Appendiks A
‐ 2D koordinatfiler
o 2D anblok
� fiks.txt
� modelA.txt
� modelB.txt
� modelC.txt
o 2D koordinatsystem‐filer
� koor1.txt
� koor2.txt
� koor3.txt
� readme.txt
o 2D transformation
� modelA.txt
� modelB.txt
‐ 3D koordinatfiler
o 3D anblok
� fiks.txt
� modelA.txt
� modelB.txt
� modelC.txt
o 3D koordinatsystem‐filer
� koor1.txt
� koor2.txt
� koor3.txt
� koor4.txt
� readme.txt
o 3D transformation
� fiks.txt
� modelA.txt
o Trans_koor.m
‐ D2Trans_ab.m
‐ D2Trans_sincos.m
‐ D2Trans_numafl.m
‐ D3Trans_numafl.m
‐ D2Anblok_ab_2M.m
‐ D2Anblok_ab_3M.m
‐ D2Anblok_numafl_2M.m
‐ D2Anblok_numafl_3M.m
‐ D3Anblok_numafl_2M.m

‐ D3Anblok_numafl_3M.m
‐ numafl.m
Appendiks C ‐ Det udviklede program
‐ D3_anblok_samlet.m
‐ numafl.m
‐ konf2.m
‐ konf2plt.m
Appendiks D ‐ Variansfaktor kontra vægtmatrice
‐ Basisopbygning
o koor1.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ 3D_spred Basisopb.txt
‐ 3D_spred Basisopb med vægt.txt
Appendiks E – Test af betydningen af geometrien og fællespunkter
‐ Forsøg 1
o koor1.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ Forsøg 2
o koor1.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ Forsøg 3
o koor1.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ Forsøg 4 del 1
o koor1.m
o fiks.txt

o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ Forsøg 4 del 2
o koor1.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ Output‐filer fra forsøg
o 3D_spred Forsøg 1.txt
o 3D_spred Forsøg 2.txt
o 3D_spred Forsøg 3.txt
o 3D_spred Forsøg 4 del 1.txt
o 3D_spred Forsøg 4 del 2.txt
Appendiks F ‐ Planlægning af dataindsamling
‐ Test koordinater ‐ Opbygning til dataindsamling
o koor1.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt
‐ 3D_spred Opbygning til dataindsamling
Appendiks G ‐ Dataindsamling
‐ Rådata ‐ Totalstation
o FIB10.GSI
o FIB10.obs
‐ Rådata ‐ Laserscanner
o recovery
� Fib10_rum7.imp
• data0000.rcy
o Fib10_rum7.imp
‐ Koordinatfiler fra totalstation og laserscanner
o Koordinat_totalstation.m
o fiks.txt
o modelA.txt
o modelB.txt
o modelC.txt

Appendiks H ‐ Databehandling
‐ Residualer fra anblok.xls
‐ Totalstationsdata.xls
‐ trans_modelA.txt
‐ trans_modelB.txt
‐ trans_modelC.txt
‐ koor_udj3D.txt
Appendiks I – Vurdering
‐ spred_afst_pkt.m
Endelig rapport
‐ Rapport
‐ Appendiks A
‐ Bilag A ‐ Teknikken bag terrestrisk laserscanning
‐ Bilag B ‐ Slides fra 5. Semester
Bilag C ‐ Tysk tekst om anblok