Κεφάλαιο 1 - Nemertes

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ 

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ / 

∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΩΝ 

∆ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ 

∆Ι∆ΑΚΤΟΡΙΚΗ ∆ΙΑΤΡΙΒΗ 

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ 

ΜΟΡΙΑΚΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ 

ΦΩΤΟΑΠΟ∆ΟΜΗΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΡΟΚΑΛΟΥΜΕΝΗΣ 

ΑΠΟ ΑΚΤΙΝΕΣ LASER 

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Γ. ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 

∆ιπλ. Μηχανολόγος Μηχανικός 

ΠΑΤΡΑ 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ 

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ 

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ / 

∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΩΝ 

∆ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ 

∆Ι∆ΑΚΤΟΡΙΚΗ ∆ΙΑΤΡΙΒΗ 

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ 

ΜΟΡΙΑΚΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ 

ΦΩΤΟΑΠΟ∆ΟΜΗΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΡΟΚΑΛΟΥΜΕΝΗΣ 

ΑΠΟ ΑΚΤΙΝΕΣ LASER 

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Γ. ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 

∆ιπλ. Μηχανολόγος Μηχανικός 

ΠΑΤΡΑ 2007

Η παρούσα διατριβή αποτελεί µέρος του ερευνητικού προγράµµατος ΠΕΝΕ∆ 2003 - 03Ε∆575 

Το έργο συγχρηµατοδοτείται κατά: 

• 75% της ∆ηµόσιας ∆απάνης από την Ευρωπαϊκή Ένωση – Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο 

• 25% της ∆ηµόσιας ∆απάνης από το Ελληνικό ∆ηµόσιο – Υπουργείο Ανάπτυξης – Γενική Γραµµατεία 

Έρευνας και Τεχνολογίας 

• και από τον Ιδιωτικό Τοµέα, 

στο πλαίσιο του Μέτρου 8.3 του Ε.Π. Ανταγωνιστικότητα – Γ΄ Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης.

Η παρούσα ∆ιδακτορική ∆ιατριβή εγκρίθηκε οµόφωνα µε βαθµό «ΑΡΙΣΤΑ» στις 30 

Οκτωβρίου 2007, από την Επταµελή Εξεταστική Επιτροπή η οποία ορίσθηκε από την Γενική 

Συνέλευση µε Ειδική Σύνθεση του Τµήµατος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών 

της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών, στην υπ' αριθµόν 7/10.07.2007 

συνεδρίασή της, σύµφωνα µε το άρθρο 36 Ν. 1268/82 και το άρθρο 13 Ν. 2083/92, µετά από 

σχετική εισήγηση της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής. 

Μέλη της Επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής αποτέλεσαν οι: 

1. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ (Επιβλέπων) 

Καθηγητής του Τµήµατος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του 

Πανεπιστηµίου Πατρών 

2. ΠΑΝΤΕΛΑΚΗΣ ΣΠΥΡΙ∆ΩΝ (Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής) 



3. ΑΝΥΦΑΝΤΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ (Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής) 



4. ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 

Καθηγητής της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου 

Πολυτεχνείου 

5. ΣΑΡΑΒΑΝΟΣ ∆ΗΜΗΤΡΙΟΣ 



6. ΣΙΑΚΑΒΕΛΛΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 

Επ. Καθηγητής του Τµήµατος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του 


7. ΚΑΡΑΜΠΕΛΑΣ ΑΛΕΞΑΝ∆ΡΟΣ 

Λέκτορας του Τµήµατος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του 


i

Στους γονείς µου Γιώργο και Ειρήνη

Ευχαριστίες 

Φτάνοντας στο τέλος µιας περιόδου µε δυσκολίες και προκλήσεις ανακαλύπτουµε 

νέα όρια του εαυτού και των δυνάµεών µας. Είχα την τιµή και τύχη να 

πραγµατοποιήσω την παρούσα διδακτορική διατριβή στο εργαστήριο Συστηµάτων 

Παραγωγής και Αυτοµατισµού. 

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον κ. Χρυσολούρη Γεώργιο, καθηγητή του 

Τµήµατος Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών και διευθυντή του 

συγκεκριµένου εργαστηρίου, ο οποίος ήταν ο επιβλέπων της παρούσας διατριβής, όχι 

µόνο για την πολύτιµη καθοδήγησή του για την ολοκλήρωση της ερευνητικής 

εργασίας µου αλλά και για την εµπιστοσύνη του και όλες αυτές τις σπάνιες ευκαιρίες 

που µου έδωσε. 

Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τα υπόλοιπα µέλη της τριµελούς συµβουλευτικής 

επιτροπής, καθηγητές κ.κ. Παντελάκη Σπυρίδων και Ανυφαντή Νικόλαο για τις 

εποικοδοµητικές τους συµβουλές στην ολοκλήρωση της διατριβής. Θα ήθελα να 

ευχαριστήσω στον Λέκτορα του Τµήµατος Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών 

Μηχανικών κ. Μούρτζη ∆ηµήτριο, για την εµπιστοσύνη και την επιµονή που έδειξε 

στο πρόσωπό µου, για τον τρόπο συστηµατικής δουλειάς που µου µετέδωσε και την 

άψογη συνεργασία µας, καθώς και την κ. Σµπαρούνη Άντζελα, γραµµατέα, για την 

συµπαράσταση τους κατά την διάρκεια εκπόνησης της διατριβής. Νιώθω επίσης την 

ανάγκη να ευχαριστήσω στενούς συνεργάτες, Μηχανικούς στο Εργαστήριο 

Συστηµάτων Παραγωγής & Αυτοµατισµού, ∆ρ. Σαλωνίτη Κωνσταντίνο, ∆ρ. 

Tσουκαντά Γεώργιο και τους κ.κ Στουρνάρα Αριστείδη, Πανδρεµένο Ιωάννη και 

Παραλίκα Ιωάννη για την συνεργασία και φιλία µας όλα αυτά τα χρόνια. 

Τέλος, θα ήθελα να εκφράσω τις πιο θερµές ευχαριστίες σε οικογένεια και φίλους, για 

την αδιάλειπτη συµπαράστασή τους, την κατανόησή τους στις δύσκολες στιγµές και 

την βοήθεια που µου προσέφεραν όλο αυτό τον καιρό, µε τον δικό τους ιδιαίτερο 

τρόπο. 

v 

Παναγίωτης Σταυρόπουλος 

Πάτρα, Οκτώβριος 2007

Πειραµατική και θεωρητική ανάλυση µε τη χρήση Μοριακής ∆υναµικής του µηχανισµού 

φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών προκαλούµενης απο ακτίνες Laser 

ΠΕΡΙΛΗΨΗ 

Το αντικείµενο της παρούσας διατριβής είναι η πειραµατική και θεωρητική ανάλυση µε τη 

χρήση Μοριακής ∆υναµικής του µηχανισµού φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών που 

προκαλείται από την επίδραση ακτίνων Laser. 

Η τεχνολογία των µικρο-κατεργασιών µε Laser είναι µια νέα τεχνολογία που επιτρέπει τη 

δηµιουργία εξαρτηµάτων σε κλίµατα µικροµέτρου. Για την υλοποίηση των µικρο-κατεργασιών 

µε Laser χρησιµοποιούνται συστήµατα Laser υπερβραχέων παλµών. Φωτοαποδόµηση είναι η 

διαδικασία αφαίρεσης υλικού, που ακολουθεί την εφαρµογή δέσµης Laser σε αυτό και 

ουσιαστικά αποτελεί συνδυασµό εξάχνωσης, εξάτµισης και τήξης. Χαρακτηρίζεται από 

ιδιαίτερα µικρά χρονικά και χωρικά µεγέθη, καθώς και από ακραίες τιµές θερµοκρασίας και 

πίεσης. Η Μοριακή ∆υναµική (Μ∆) είναι µια αιτιοκρατική µέθοδος προσοµοίωσης. Βασίζεται 

στην επίλυση του δευτέρου νόµου του Νεύτωνα µε σκοπό την παρακολούθηση της κίνησης 

κάθε σωµατιδίου σε ένα σύστηµα. Η παρούσα διατριβή επικεντρώνεται στην ανάπτυξη 

µαθηµατικών µοντέλων Μ∆ ικανών να προβλέψουν τα διάφορα χαρακτηριστικά της διεργασίας 

όπως είναι η κρυσταλλική δοµή του υλικού πριν την επίδραση της δέσµης Laser, την χρονική 

και χωρική κατανοµή των φωτονίων που µεταφέρονται από τη δέσµη Laser και τη συµπεριφορά 

των ακτινοβολούµενων σωµατιδίων. Τα µοντέλα αυτά συνδυαζόµενα επιτρέπουν τον 

προσδιορισµό του βάθους φωτοαποδόµησης που προκαλείται σε ένα µεταλλικό υλικό, το οποίο 

έχει υποστεί ακτινοβολία µε υπερβραχείς παλµούς Laser, το παραγόµενο θερµοκρασιακό πεδίο, 

καθώς και τη χρονική εξέλιξη της θερµοκρασιακής κατανοµής. Μετά την πειραµατική 

επιβεβαίωση των θεωρητικών αποτελεσµάτων και της µεθόδου Μ∆ αναλύονται οι µηχανισµοί 

που οδηγούν στην φωτοαποδόµηση των µεταλλικών υλικών. Ο υπολογιστικός κώδικας 

παράλληλης επεξεργασίας που αναπτύχθηκε βασίσθηκε πλήρως στη δοµή της µεθοδολογίας. 

Το σηµαντικότερο συµπέρασµα που προκύπτει από την συγκεκριµένη διατριβή είναι ότι το 

βάθος φωτοαποδόµησης καθώς και ο µηχανισµός αυτής εξαρτώνται κυρίως από την πυκνότητα 

ενέργειας του υπερβραχέου παλµού (J/cm 2 ) που επιδρά στο µεταλλικό υλικό. Τα διάφορα 

χαρακτηριστικά της διεργασίας µπορούν να προβλεφθούν και να χρησιµοποιηθούν για τον 

αποδοτικότερο προγραµµατισµό της. 

vii

viii

Experimental and theoretical investigation, using Molecular Dynamics, of the mechanisms 

leading to ablation of metallic materials due to Laser radiation. 

SUMMARY 

The objective of the present thesis is the experimental and theoretical investigation, using 

Molecular Dynamics, of the mechanisms leading to ablation of metallic materials due to Laser 

radiation. 

Laser micro machining is an emerging technology capable of producing parts in the micro and 

submicron scale. For such application Lasers with pulse duration in the femptosecond range are 

widely used. A phenomenon called “Laser ablation” is involved in the Laser micromachining. 

Laser Ablation is the process of material removal after the irradiation of a Laser beam onto the 

material and causes a combination of sublimation, vaporization and melting. It is commonly 

characterized by small temporal and spatial scales and extremely high material temperature and 

pressure. Molecular Dynamics (MD) is a deterministic simulation method. It is based on the 

solution of Newton’s second law and aims on the monitoring of the movements of an atom 

within a system. The present work has employed MD models for describing the characteristics 

and output of the process, i.e. the crystal structure of the metallic material prior to Laser 

irradiation, the temporal and spatial distribution of the photons produced by the Laser beam and 

the behavior of the material particles after irradiation. These models when coupled allow the 

estimation of the ablation depth caused in a metallic material when irradiated with femptosecond 

Laser pulses, produced temperatures field and the temporal evolution of temperature within the 

material. Experimental results affirm theoretical MD results and drive to the illustration of the 

ablation mechanisms. The computational code developed uses parallel processing techniques 

and is based on the structure of the developed methodology. 

The main conclusion of this work is that the ablation depth, as well as its mechanisms, are 

strongly depended to the Laser fluence (J/cm 2 ) of the femptosecond pulse. Process 

characteristics can be predicted and used for a more efficient process programming. 

ix

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ v 

ΠΕΡΙΛΗΨΗ vii 

SUMMARY ix 

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ xi 

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 

1.1 Γενικά 1 

1.2 ∆ιεργασίες µε χρήση Laser 2 

1.3 Μικρο-κατεργασίες µε χρήση Laser 3 

1.4 Γενική διατύπωση του προβλήµατος 6 

1.5 Σύντοµη περιγραφή προτεινόµενης λύσης 7 

1.6 Ερευνητική συνεισφορά της διατριβής 8 

1.7 ∆οµή της διατριβής 9 

1.8 Βιβλιογραφικές αναφορές 12 

2. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 15 


2.2 Γενικά περί προσοµοιώσεων 16 

2.3 Μοντέλα για µοριακές προσοµοιώσεις 17 

2.3.1 Μοριακή Μηχανική (MM) 18 

2.3.2 Monte Carlo (MC) 19 

2.3.3 Μοριακή δυναµική (Μ∆) 22 

2.4 Τύποι & δυναµικά Μ∆ προσοµοιώσεων 29 

2.4.1 Υβριδικές προσοµοιώσεις Μ∆ 29 

2.4.1.1 Συνδυασµένες µελέτες Μ∆ και πεπερασµένων στοιχείων 29 

2.4.1.2 Συνδυασµένες µελέτες Μ∆ και διθερµοκρασίακου µοντέλου 32 

2.4.2 Προσοµοιώσεις κλασικής Μ∆ 36 

2.4.2.1 Έκφραση δυναµικού πολλών σωµατιδίων 36

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 

2.4.2.2 Προσέγγιση δυναµικού µε ζεύγος σωµατιδίων 38 

2.4.2.2.1 Έκφραση δυναµικού - Lenard Jones 38 

2.4.2.2.2 Έκφραση δυναµικού - Morse 41 

2.5 Μοριακές δυναµικές προσοµοιώσεις διεργασιών 49 

2.6 Μακροσκοπικές και µικροσκοπικές θεωρίες µετάδοσης θερµότητας 59 

2.6.1 Μακροσκοπικές θεωρίες 59 

2.6.2 Μικροσκοπικές θεωρίες 63 

2.7 Laser υπερβραχέων παλµών 84 

2.7.1 Ιστορική αναδροµή 84 

2.7.2 Κατεργασία υλικών µε Laser υπερβραχέων παλµών 84 


3. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 99 


3.2 Μικροµοριακή δοµή υλικών 100 

3.2.1 Κρυσταλλικά κύτταρα 100 

2.3.2 Κρυσταλλικές δοµές υλικών 101 

3.2.2.1 Eδροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-FCC 103 

3.2.2.2 Χωροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-BCC 104 

3.2.2.3 Κρυσταλλική δοµή εξαγωνικού πλέγµατος µέγιστης πυκνότητας-HCP 105 

3.3 Ανάλυση ακτινοβολίας Laser 107 

3.4 Αρχές επίδρασης Laser σε υλικά 114 

3.4.1 Απορρόφηση ακτινοβολίας από µη µεταλλικά υλικά 116 

3.4.2 Απορρόφηση ακτινοβολίας από µεταλλικά υλικά 117 

3.5 Μηχανισµοί αποµάκρυνσης υλικού 123 

3.5.1 Φωτοθερµικός µηχανισµός 128 

3.5.2 Φωτοµηχανικός µηχανισµός 131 

3.5.3 Φωτοχηµικός µηχανισµός 134 

3.5.4 Εκρηκτικός βρασµός 135 

3.6 Συνοριακές συνθήκες 141 

3.6.1 Ελεύθερες συνοριακές συνθήκες 141 

3.6.2 Ανακλώµενες συνοριακές συνθήκες 142 

3.6.3 Περιοδικές συνοριακές συνθήκες 143 

xii

xiii 



4. ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 153 


4.2 Αδιάστατες εξισώσεις 154 

4.3 Αρχικές συνθήκες 156 

4.3.1 Ατοµική δοµή υλικού 157 

4.3.2 ∆υναµική ενέργεια 159 

4.3.3 Κινητική ενέργεια 162 

4.3.4 Ολική ενέργεια ατόµου 163 

4.3.5 Συνοριακές συνθήκες 165 

4.4 Εξισορρόπηση συστήµατος 165 

4.4.1 ∆ιανύσµατα ταχυτήτων 167 

4.4.2 Μέθοδοι πεπερασµένων διαφορών 170 

4.4.3 Έλεγχος σύγκλισης ταχυτήτων a(t) 177 

4.4.4 Συνάρτηση επιθυµητής θερµοκρασίας 178 

4.4.5 Ανάθεση νέων ταχυτήτων 178 

4.5 Μοντέλο ακτινοβολίας Laser 180 

4.5.1 Χρονική προτυποποίηση 180 

4.5.2 Χωρική προτυποποίηση 182 

4.5.3 Ανάκλαση 187 

4.5.4 Ολική εξίσωση ακτινοβολίας 187 

4.6 Φόρτιση σωµατίδιων 189 

4.7 Συµπεριφορά σωµατίδιων 189 

4.7.1 Κριτήριο αποµάκρυνσης σωµατιδίων 190 

4.7.2 Υπολογισµός νέων ταχυτήτων 191 


5. ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 197 

5.1 Γενικά 197


6. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΩ∆ΙΚΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ 201 


6.2 Πλατφόρµα ανάπτυξης κώδικα 202 

6.3 Αλγόριθµος Μοριακής ∆υναµικής 203 

6.4 ∆οµή κώδικα Μοριακής ∆υναµικής 207 

6.4.1 Κλάση Particles 209 

6.4.2 Κλάση ParticlesProxy 211 

6.4.3 Κλάση Particles 215 

6.4.4 Κλάση Comparator 218 

6.4.5 Κλάση MDCoordinator 220 

6.4.6 Κλάση MDListener 232 

6.4.7 Κλάση Constants 232 

6.4.8 Κλάση MDFunctions 233 

6.4.9 Κλάση MDParameters 237 

6.4.10 Κλάση MDResults 243 

6.4.11 Κλάση StatisticsCollerator 246 

6.4.12 Κλάση Utils 247 

6.4.13 Κλάση MDShell 250 

6.4.14 Κλάση DrawComposite 265 

6.5 ∆ιεπαφή χρήστη 268 

6.5.1 Περιβάλλον προγράµµατος Μοριακής ∆υναµικής 269 

6.5.2 Πλήκτρα διεπαφής χρήστη 270 

6.5.3 Καρτέλες διεπαφής χρήστη 274 

6.6 Χρόνοι λύσης υπολογιστικών πειραµάτων 279 


7. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ∆ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ 283 


7.2 Περιγραφή πειραµατικής διάταξης 284 

7.2.1 Περιγραφή του femptosecond Laser 284 

7.2.2 Περιγραφή της πειραµατικής διάταξης 290 

7.2.3 Πειραµατικά δοκίµια 292 


xiv

xv 


8. ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 297 


8.2 Εφαρµογή µεθόδου Μοριακής ∆υναµικής 298 

8.3 ∆ιερεύνηση βάθους φωτοαποδόµησης 299 

8.3.1 Μοριακές ∆υναµικές προσοµοιώσεις 299 

8.3.2 Αποτελέσµατα πειραµατικής προσέγγισης 316 

8.3.3 Σύγκριση πειραµατικών και θεωρητικών αποτελεσµάτων 324 

8.4 ∆ιερεύνηση θερµοκρασιακού πεδίου 329 

8.4.1 Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας 329 

8.4.2 Θερµοκρασιακό πεδίο 334 

8.5 Μηχανισµοί φωτοαποδόµησης 335 


9. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 341 

9.1 Θέµατα ανοικτά προς διερεύνηση 345 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α - ΟΝΟΜΑΤΟΛΟΓΙΑ 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β – ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ - ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 

ΣΥΝΤΟΜΟ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ - ΕΡΓΑΣΙΕΣ 

347 

351 

359 

361

1.1 Γενικά 

Κεφάλαιο 1 ο 

Εισαγωγή 

Το αντικείµενο της παρούσας διατριβής είναι η θεωρητική και πειραµατική ανάλυση, µε τη 

χρήση Μοριακής ∆υναµικής του µηχανισµού φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών που 

προκαλείται από την επίδραση ακτίνων Laser. Κύριο χαρακτηριστικό της µεθόδου αυτής 

αποτελεί η υψηλή ακρίβεια των αποτελεσµάτων σε σχέση µε άλλες υπάρχουσες µεθόδους. 

Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µια σύντοµη περιγραφή του προβλήµατος και της προτεινόµενης 

λύσης, που είναι η Μοριακή ∆υναµική ανάλυση του µηχανισµού επίδρασης ακτίνων Laser σε 

µεταλλικά υλικά. Επίσης παρουσιάζονται συνοπτικά τα χαρακτηριστικά της 

φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών µε υπερβραχείς παλµούς Laser, αλλά και των 

ιδιοτήτων της Μοριακής ∆υναµικής. Ακολουθεί η ερευνητική συνεισφορά της διατριβής και 

τελειώνει µε την συνοπτική παρουσίαση της δοµής της διατριβής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 

1.2 ∆ιεργασίες µε χρήση Laser 

Τα Laser βρίσκουν βιοµηχανική εφαρµογή στην επεξεργασία ποικίλων υλικών 

συµπεριλαµβανοµένων µετάλλων, κεραµικών, γυαλιού, πλαστικών και σύνθετων υλικών. Η 

χρήση δέσµης Laser ως εργαλείο αφαίρεσης υλικού δεν συνοδεύεται από τα σηµαντικά 

προβλήµατα που παρουσιάζουν οι συµβατικές διεργασίες αφαίρεσης υλικού, όπως: φθορά 

και θραύση εργαλείων, δονήσεις κατά την διάρκεια της διεργασίας, παραµορφώσεις στις 

εργαλειοµηχανές κ.α. [1]-[3]. Ο σκοπός των διεργασιών αφαίρεσης υλικού µε Laser είναι η 

µεγιστοποίηση του ποσοστού αφαίρεσης υλικού, εξασφαλίζοντας βέλτιστη ποιότητα 

επιφάνειας και ακρίβεια προκειµένου να παραχθεί οικονοµικά, ένα υψηλής ποιότητας 

εξάρτηµα ή προϊόν. Οι διεργασίες µε την χρήση ακτίνων Laser παρέχουν µεγάλη ευελιξία, 

δεδοµένου ότι µία δέσµη Laser µπορεί εν δυνάµει να οδηγήσει στην διάτρηση, κοπή, χάραξη, 

συγκόλληση και θερµική επεξεργασία µε την ίδια προετοιµασία (setup), του ίδιου 

συστήµατος Laser, µιας και οι διαφορετικές διεργασίες µπορούν να εκτελεστούν 

µεταβάλλοντας µόνο κάποιες κοινές παραµέτρους. Η αφαίρεση υλικού µε Laser µπορεί να 

χρησιµοποιηθεί σε διαφορετικά πεδία, όπως µικροεπεξεργασία, εµβιοµηχανική, χειρουργική 

και για την δηµιουργία τρισδιάστατων µορφών, κτλ. [4]-[9]. Αυτές οι εφαρµογές όµως είναι 

σε διαφορετικά επίπεδα ανάπτυξης και βιοµηχανικής εκµετάλλευσης. Μερικές από αυτές δεν 

έχουν εκµεταλλευτεί, είτε επειδή δεν προσφέρουν αρκετά πλεονεκτήµατα σε σχέση µε 

ανταγωνιστικές διεργασίες, είτε επειδή δεν είναι ακόµα επαρκώς θεµελιωµένες για 

βιοµηχανική χρήση. Η βιοµηχανική χρήση µερικών βασικών διεργασιών Laser εξαρτάται 

επίσης από την περαιτέρω ανάπτυξη και βελτίωση των πηγών Laser µικρού κόστους. [10]- 

[13]. Η τεχνολογία των Lasers προσφέρει διαφορετικές µεθόδους δηµιουργίας µίας δέσµης 

τόσο συνεχούς κύµατος όσο και παλµικής, µε µήκος κύµατος που κυµαίνεται από κλάσµατα 

έως δεκάδες µm. Η διαδικασία αφαίρεσης υλικού µε Laser αποτελεί µια εξαιρετικά 

καθιερωµένη οικογένεια διεργασιών. Κατά τη διάρκεια της επίδρασης της δέσµης στο υλικό, 

ορισµένη ποσότητα της ακτινοβολούµενης ενέργειας απορροφάται από το υλικό 

(απορρόφηση φωτονίων), γεγονός που οδηγεί στην ανάπτυξη υψηλών θερµοκρασιών στο 

υλικό κοντά στην περιοχή του στίγµατος της δέσµης µε συνέπεια την τοπική εξασθένηση, την 

τήξη ή και την εξάχνωση του υλικού. Ανάλογα µε το υλικό που υποβάλλεται σε 

επεξεργασία, την ισχύ της δέσµης Laser, το µέγεθος του στίγµατος της δέσµης, και την 

ταχύτητα ανίχνευσης, σε περίπτωση σχετικής κίνησης µεταξύ της δέσµης και του υλικού, τα 

2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 

αποτελέσµατα που προκαλεί το Laser στο υλικό µπορούν να ταξινοµηθούν [1][3][10][14] 

ανάλογα µε τα φαινόµενα που προκαλούνται: 

• Μηχανικά αποτελέσµατα: Σε περίπτωση µικρών και µέσων τιµών έντασης 

Laser, σε συνδυασµό µε υψηλές ταχύτητες ανίχνευσης, η άνοδος της 

θερµοκρασίας στην επεξεργαζόµενη επιφάνεια είναι µικρότερη από το σηµείο 

τήξης του υλικού. Κατά συνέπεια, το επεξεργαζόµενο κοµµάτι θερµαίνεται 

τοπικά και οι δεσµοί των µορίων του υλικού εξασθενούν. 

• Αποτελέσµατα αλλαγής φάσης: Όταν η ένταση Laser είναι αρκετά υψηλή έτσι 

ώστε να ανυψώσει τη θερµοκρασία της ακτινοβολούµενης επιφάνειας του 

κοµµατιού πάνω από το σηµείο τήξης του υλικού ή και του σηµείου εξάχνωσης. 

• Φυσικές-χηµικές αλληλεπιδράσεις: Ανάλογα µε το βοηθητικό υλικό που 

χρησιµοποιείται στην εκάστοτε διεργασία, το οποίο και την επηρεάζει, µπορούν 

να πραγµατοποιηθούν φυσικό-χηµικές αντιδράσεις µεταξύ του βοηθητικού 

υλικού και του προς επεξεργασία κοµµατιού. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατή η 

ενεργοποίηση φαινοµένων, όπως το κάψιµο, η πυροσυσσωµάτωση, η 

συγκόλληση, η ανάµειξη, κτλ. 

Ανάλογα µε τον µηχανισµό που διέπει την αλληλεπίδραση της δέσµης Laser και του υλικού, 

οι διεργασίες µε Laser µπορούν να διαχωριστούν σε διεργασίες αφαίρεσης υλικού [11]- 

[13][15]-[20], συνένωσης ή πρόσθεσης υλικού [21][22], και διεργασίες τροποποίησης των 

ιδιοτήτων ενός υλικού [9][23]-[27]. 

1.3 Μικρο-κατεργασίες µε χρήση Laser 

Η µικρο-κατεργασία µε Laser είναι µια ανερχόµενη τεχνολογία της τελευταίας δεκαετίας, η 

οποία διευκολύνει την παραγωγή µικρότερων εξαρτηµάτων καθώς και την βελτίωση των 

χαρακτηριστικών τους. Εφαρµόζεται σε µεγάλο εύρος βιοµηχανιών – Ηλεκτρονική, 

Βιοϊατρική, Αυτοκινητοβιοµηχανία, Αεροπορική, Αµυντική και άλλες. Η αποµάκρυνση 

υλικού µε χρήση Laser υπερβραχέων παλµών (φωτοαποδόµηση) σε µεταλλικά, κεραµικά και 

πολυµερή υλικά είναι µια πολύπλοκη διεργασία η φύση της οποίας διαφοροποιείται ανάλογα 

µε το υπό κατεργασία υλικό και τις παραµέτρους αυτής. Το φαινόµενο της φωτοαποδόµησης 

αποτελεί συνδυασµό εξάχνωσης, εξάτµισης και τήξης του υλικού. Προκειµένου η διεργασία 

3


να έχει τη µεγαλύτερη δυνατή ποιότητα, το ποσοστό τηγµένου υλικού πρέπει να 

ελαχιστοποιηθεί. Τα Laser υπερβραχέων παλµών παρουσιάζουν ιδιαίτερα πλεονεκτήµατα σε 

αυτή τη κατεύθυνση σε σχέση µε τα Laser µε διάρκεια παλµών της τάξης των nanosecond 

[28]-[30]. Η χρήση υπερβραχέων παλµών Laser έχει πολλά πλεονεκτήµατα στις κατεργασίες 

υλικών που απαιτούν υψηλή ακρίβεια. Βρίσκει πολλές εφαρµογές ως αποτέλεσµα της 

αποδοτικής ενεργειακής εναπόθεσης και ταυτόχρονης ελαχιστοποίησης της µεταφοράς 

θερµότητας και της ζώνης θερµικής επιρροής στη περιβάλλουσα περιοχή του υλικού. 

Επιπρόσθετα, η υψηλή χωρική συγκέντρωση θερµότητας, συντελεί στην αποµάκρυνση 

µικρότερου όγκου υλικού προσφέροντας ιδιαίτερα ακριβή αποτελέσµατα κατεργασιών. Στον 

ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται εφαρµογές της µικρο-διάτρησης µε Laser. 

4 

Μικροηλεκτρονική Αεροπορική / Αµυντική Βιοµηχανία 

• Ακροφύσια Εκτυπωτών 

• Τυπωµένα Κυκλώµατα / Πλακέτες PBC 

• Οπτικούς ∆ιακόπτες 

• Ψύξη σε PBC 

Αυτοκινητοβιοµηχανία Βιοϊατρική 

• Ακροφύσια Εγχυτήρων Καύσιµου 

• Φίλτρα Καύσιµου 

• Αισθητήρες Φρένων 

• Λίπανση ∆ιωστήρων 

Περιβάλλον ∆ιάφορα 

• Αισθητήρες Τοξικών Αερίων 

• Τεχνολογία Ηλιακών Κυψελών 

• Ενεργειακές Κυψέλες 

• Εξειδικευµένα Φίλτρα 

• Ψύξη Τµηµάτων Στροβίλων 

• Σιγαστήρες Κινητήρων 

• Συστήµατα Καθοδήγησης Πυραύλων 

• Αισθητήρες Καθετήρων 

• ∆ειγµατοληψία DNA 

• Προετοιµασία / Παραγωγή Εµβολίων 

• Συσκευασία Τροφίµων 

• ∆ιάτρηση Πολύτιµων Λίθων 

• Ψηφιακά Αποτυπώµατα 

Πινάκας 1.1: Τυπικά παραδείγµατα εφαρµογής µικρο-κατεργασιών Laser στην βιοµηχανία 

Πιο αναλυτικά, η διάτρηση µε υπερ-βραχείς παλµούς Laser και η εφαρµογή της στην 

αυτοκινητοβιοµηχανία φαίνεται στο Σχήµα 1.1, που αποτελεί και χαρακτηριστικό 

παράδειγµα.

Σχήµα 1.1: Εφαρµογή διάτρησης µε υπερ-βραχείς παλµούς Laser στην 

Αυτοκινητοβιοµηχανία 


Οι κυριότερες παράµετροι στην εξέλιξη των ακροφυσίων έγχυσης καυσίµων είναι οι 

νοµοθεσίες περί εκποµπής ρύπων και η µείωση του κόστους παραγωγής τους. Η 

«αποµόνωση» και η «στόχευση» είναι τα σηµαντικότερα χαρακτηριστικά ενός ακροφυσίου. 

Αποµόνωση είναι η ιδιότητα του ακροφυσίου να διανείµει το καύσιµο σε µικρού µεγέθους 

σταγονίδια και επηρεάζει σε σηµαντικό βαθµό τις εκποµπές ρύπων, ενώ η στόχευση των 

σταγονιδίων συµβάλει στην βελτίωση της απόδοσης του κινητήρα. Ο αυξανόµενος 

ανταγωνισµός στις αυτοκινητοβιοµηχανίες απαιτεί µείωση του κόστους των παραγόµενων 

εξαρτηµάτων αλλά και ταυτόχρονη αύξηση της απόδοσης των προϊόντων. Συνήθεις τεχνικές 

διάτρησης των ακροφυσίων, όπως µε συµβατικό δράπανο, ηλεκτροδιάβρωση ή διάτρηση µε 

πρέσα, υστερούν είτε στην επιφανειακή ποιότητα της παραγόµενης οπής, είτε στην απαίτηση 

κάποιας µετεπεξεργασίας του προϊόντος είτε, ακόµη, στην επαναληψηµότητα της διεργασίας. 

Οι βιοµηχανικές απαίτησης για την δηµιουργία των οπών ενός ακροφυσίου περιλαµβάνουν 

την παραγωγή 100 µε 500 οπών ανά λεπτό, µε διαµέτρους από 5µm έως 300 µm, γωνία 

κωνικότητας µικρότερη της 1 ο , σε υλικά µε πάχος µικρότερο του 1 mm. Οι µικροκατεργασίες 

µε Laser υπερβραχέων παλµών έχουν τη δυνατότητα να ξεπεράσουν τους 

περιορισµούς των συµβατικών µεθόδων διάτρησης και να προσφέρουν τα προϊόντα που 

απαιτούνται από τις σύγχρονες βιοµηχανίες. 

5


1.4 Γενική διατύπωση του προβλήµατος 

Όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω τα οφέλη των υπερβραχέων παλµών Laser προκύπτουν από 

την ιδιαίτερα σύντοµη διάρκεια του παλµού (της τάξης των femptosecond – fs, όπου 

1 fs=10 -15 s). Κατά την διάρκεια αυτής της εξαιρετικά σύντοµης περιόδου η διάχυση 

θερµότητας είναι ιδιαίτερα περιορισµένη και η αφαίρεση υλικού υψηλά συγκεντρωµένη 

χωρικά. Ωστόσο ο εξαιρετικά υψηλός ρυθµός θέρµανσης (τάξη µεγέθους 10 16 K/s) και η 

υψηλή βαθµίδα θερµοκρασίας (τάξης µεγέθους 10 11 K/m) προκαλούν πρόσθετες δυσκολίες 

στη διερεύνηση του φαινοµένου της αποδόµησης µε υπερβραχεις παλµούς Laser. Συνήθεις 

πειραµατικές τεχνικές δεν µπορούν να συλλάβουν ακριβώς το φαινόµενο της 

φωτοαποδόµησης, το οποίο συµβαίνει µέσα σε κάποια femtosecond και περιορίζεται χωρικά 

σε κλίµακα νανο-µέτρων κατά την διεύθυνση µετάδοσης της ακτίνας Laser. Στην επιφάνεια 

του υλικού που ακτινοβολείται παρατηρούνται ακραίες τιµές θερµοκρασίας και πίεσης. Σε 

αυτή την ακραία θερµοδυναµική περιοχή οι ιδιότητες των υλικών δεν ταυτίζονται µε αυτές 

που χρησιµοποιούνται στις συµβατικές κατεργασίες, γεγονός που δηµιουργεί ανακρίβειες στη 

χρήση αριθµητικών µεθόδων ανάλυσης, όπως είναι η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών 

ή των πεπερασµένων στοιχείων. Ταυτόχρονα τα οπτικά, µηχανικά και θερµικά φαινόµενα 

που παρατηρούνται είναι αλληλένδετα, γεγονός που καθιστά δύσκολη την ταυτόχρονη 

επίλυσή τους. Τέλος οι µακροσκοπικές εξισώσεις µετάδοσης θερµότητας και 

ρευστοδυναµικής που προκύπτουν βάση της υπόθεσης της συνέχειας τίθενται υπό 

αµφισβήτηση σε αυτές τις τόσο µικρές χωρικές και χρονικές κλίµακες. 

Σχήµα 1.2: Κατασκευαστικές µεταβλητές για νανο-µηχανική (αριστερά) και µακρο-µηχανική 

(δεξιά) [32] 

Η χρήση της δέσµης Lαser ως εργαλείο χαρακτηρίζεται από υψηλή ακρίβεια. Το γεγονός 

αυτό συνεπάγεται, ότι οι κατεργασίες αφαίρεσης υλικού µε την χρήση αυτού του εργαλείου, 

6


παρουσιάζουν µεγάλη ακρίβεια. Η ακρίβεια είναι κύριο χαρακτηριστικό των διεργασιών και 

ιδιαίτερα αυτών που µπορούν να λάβουν χώρα και σε νανο-/µικρο- κλίµακα, όπως και οι 

διεργασίες µε Laser υπερβραχέων παλµών. Συνεπώς απαιτούνται ακριβείς µέθοδοι 

προσοµοίωσης. Όπως και στις κατεργασίες σε µακρο-κλίµακα, έτσι και στη Νανοµηχανική, 

µία κατασκευαστική απόφαση που σχετίζεται µε το σχεδιασµό και το χειρισµό ενός 

συστήµατος απαιτεί τεχνική κατανόηση και αρτιότητα γνώσεων [31]. 

1.5 Σύντοµη περιγραφή προτεινόµενης λύσης 

Η προσοµοίωση µε βάση τη Μοριακή ∆υναµική (Μ∆) δηµιουργεί νέες δυνατότητες για τη 

µοντελοποίηση σύνθετων διεργασιών. Η Μ∆ είναι αιτιοκρατική µέθοδος για την 

προσοµοίωση της κίνησης ενός σωµατίδιου ή συστήµατος πολλών σωµατιδίων. 

Χρησιµοποιείται για την παρακολούθηση των θέσεων και των ταχυτήτων σωµατιδίων 

(ατόµων, µορίων ή και συσσωµάτων) σε ένα υλικό, καθώς αλληλεπιδρούν µεταξύ τους ή 

αντιδρούν σε εξωτερικές επιδράσεις. Για µια Μ∆ ανάλυση απαιτείται γνώση του δυναµικού 

αλληλεπίδρασης που δηµιουργείται από τις δυνάµεις που ασκούνται στα σωµατίδια και τις 

εξισώσεις κίνησης πολλών σωµατίδιων που ορίζουν την δυναµική αυτών. Η δύναµη που 

ασκείται σε κάθε σωµατίδιο υπολογίζεται από τις παραγώγους στην συνάρτηση δυναµικής 

ενέργειας ως προς ένα γειτονικό σωµατίδιο. Η κίνηση κάθε σωµατιδίου περιγράφεται απο 

τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα. Η Μ∆ µπορεί να δώσει λύση σε προβλήµατα προσοµοίωσης 

που χαρακτηρίζονται από µικρές χωρικές και χρονικές κλίµακες, στις οποίες δεν µπορούν να 

εφαρµοσθούν εξισώσεις συνέχειας µέσου. Επίσης παρακάµπτει µακροσκοπικές ιδιότητες 

υλικών, γεγονός που την καθιστά εφαρµόσιµη σε διεργασίες όπου αυτές τίθενται υπό 

αµφισβήτηση [33]-[35]. 

Η παρούσα διατριβή πραγµατεύεται την ανάπτυξη µεθόδου προσδιορισµού του βάθους 

φωτοαποδόµησης, το οποιο προκαλείται σε ένα µεταλλικό υλικό, που έχει υποστεί 

ακτινοβολία µε υπερβραχείς παλµούς Laser, µε την χρήση Μ∆ ανάλυσης, τους µηχανισµούς 

που συντελούν σε αυτή, καθώς και το παραγόµενο θερµοκρασιακό πεδίο. Για την 

προσοµοίωση της διεργασίας φωτοαποδόµησης µε Μ∆ αρχικώς απαιτείται η µοντελοποίηση 

της αρχικής δοµής του υλικού. Κατόπιν η αρχική δοµή του υλικού πρέπει να 

µετασχηµατισθεί στην κατάσταση στην οποία βρίσκεται προ της κατεργασίας και η 

7


ακτινοβολία του Laser να µοντελοποιηθεί έτσι ωστε να µπορεί να επιδράσει µε τα σωµατίδια 

αυτού σε µοριακό επίπεδο 

8 

Σχήµα 1.3: Σχηµατικό διάγραµµα προτεινόµενης µεθοδού Μ∆ για την φωτοαποδόµηση 

µεταλλικών υλικών 

Στη συνέχεια και αφού µοντελοποιηθεί η επίδραση της ακτίνας και η συµπεριφορά των 

ακτινοβολούµενων σωµατιδίων, η επεξεργασία των αποτελεσµάτων (θέσεις, ταχύτητες, 

δυνάµεις αλληλεπίδρασης σωµατίδιων) της Μ∆ οδηγεί στον υπολογισµό µακροσκοπικών 

ιδιοτήτων, όπως είναι η θερµοκρασία και το βάθος φωτοαποδόµησης. 

1.6 Ερευνητική συνεισφορά της διατριβής 

Η παρούσα διατριβή ασχολείται µε την πειραµατική και θεωρητική ανάλυση της διεργασίας 

φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών από υπερβραχείς παλµούς Laser, προτείνοντας 

µαθηµατικά µοντέλα υπολογισµού των διαφόρων χαρακτηριστικών της διεργασίας. Η 

ερευνητική συµβολή της παρούσας διατριβής έγκειται στην µελέτη και µοντελοποίηση µιας 

κατεργασίας, η οποία βασίζεται στην επίδραση υπερβραχέων παλµών Laser σε υλικά. Η 

διατριβή πραγµατεύεται την ανάπτυξη µεθόδου προσδιορισµού του βάθους φωτοαποδόµησης 

που προκαλείται σε ένα µεταλλικό υλικό, το οποίο έχει υποστεί ακτινοβολία µε υπερβραχείς 

παλµούς (femptosecond) Laser, µε την χρήση Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης. 

Πραγµατοποιήθηκε σε βάθος µελέτη της διεργασίας φωτοποδόµησης µεταλλικών υλικών µε 

υπερβραχείς παλµούς Laser. Η θεωρητική προσέγγιση, για λόγους καλύτερης κατανόησης 

και ανάλυσης, έγινε χωριστά για τα διάφορα φαινόµενα που λαµβάνουν χώρα κατά τη 

διεργασία. Τα φαινόµενα αυτά περιέχονται στο µοντέλο µεταλλικού υλικού σε αρχική


κατάσταση και προ της ακτινοβόλησης, στο µοντέλο περιγραφής της ακτίνας Laser σε 

µοριακό επίπεδο και τέλος στο µοντέλο επίδρασης της ακτινοβολίας στο υλικό. Για την 

επιβεβαίωση των υπολογιστικών µοντέλων πραγµατοποιήθηκαν πειράµατα τα οποία 

απέδειξαν την ισχύ της µεθοδολογίας. 

Τα κυριότερα πρωτότυπα στοιχεία της συγκεκριµένης διδακτορικής διατριβής συνοψίζονται 

στα ακόλουθα: 

• αναλυτική περιγραφή της φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών και των 

µηχανισµών που οδηγούν στην αποµάκρυνση υλικού 

• ανάπτυξη µοντέλου Μ∆ επίδρασης ακτινοβολίας Laser σε µεταλλικά υλικά 

• ανάπτυξη επεκτάσιµου υπολογιστικού προγράµµατος υλοποίησης της µεθόδου 

και θεωρητικού υπολογισµού του βάθους φωτοαποδόµησης 

• πειραµατική επιβεβαίωση του µοντέλου µοριακής δυναµικής για το βάθος 

φωτοαποδόµησης 

• διερεύνηση του παραγόµενου θερµοκρασιακού πεδίου 

1.7 ∆οµή της διατριβής 

Η δοµή της διατριβής έχει ως εξής: 

Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται η ανασκόπηση της διεθνούς επιστηµονικής βιβλιογραφίας σε 

θέµατα µεθόδων µοριακών προσοµοιώσεων. Μετά από σύντοµη παρουσίαση της 

προσοµοίωσης και της σηµασίας αυτής απο την οπτική γωνία του Μηχανικού παραγωγής 

γίνεται µια γενική αναφορά στις µεθόδους µοριακών προσοµοιώσεων. Ακολούθως 

αναλύονται διεργασίες συµβατικές και µη οι οποίες έχουν προσοµοιωθεί µε την βοήθεια της 

Μοριακής ∆υναµικής. Ειδικότερα στο αντικείµενο της διατριβής γίνεται διαχωρισµός και 

ανάλυση ερευνών Μοριακών ∆υναµικών προσοµοιώσεων για προβλήµατα επίδρασης 

ακτίνων Laser σε µεταλλικά και µη υλικά. Οι έρευνες κατηγοριοποιούνται µε βάση τον τύπο 

Μοριακής ∆υναµικής προσοµοίωσης, το υλικό στο οποίο πραγµατοποιήθηκε αλλά κυρίως µε 

βάση την έκφραση δυναµικού που χρησιµοποιήθηκε για να περιγράψει την αλληλεπίδραση 

των σωµατιδίων του υλικού. Στην συνέχεια παρουσιάζονται, αναλύονται και συγκρίνονται οι 

9


µακροσκοπικές και µικροσκοπικές θεωρίες µετάδοσης θερµότητας. Το κεφάλαιο αυτό 

κλείνει µε την παρουσίαση θεµάτων που αφορούν τα Laser υπερβραχέων παλµών 

(femptosecond) και την επεξεργασία υλικών από αυτά. 

Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται αναλυτική περιγραφή της θεωρητικής προσέγγισης της διεργασίας, 

συνδυάζοντας την φυσική και τα προκαταρτικά µαθηµατικά επίδρασης της 

ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας στην ύλη. Σκοπός του κεφαλαίου είναι η θεµελίωση της 

βασικής δοµής για την εισαγωγή των µηχανισµών απορρόφησης ενέργειας δέσµης Laser, των 

µηχανισµών αποµάκρυνσης υλικού και της µοριακής δοµής του υλικού. Εξηγούνται τα 

φαινόµενα και οι µηχανισµοί που οδηγούν στην φωτοαποδόµηση του υλικού. Τέλος 

αναλύονται οι περιοδικές συνθήκες που χρησιµοποιούνται στη µέθοδο και το µοντέλο 

προσοµοίωσης. 

Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφεται η προσέγγιση της διεργασίας µε χρήση Μ∆ ανάλυσης. 

Παρουσιάζεται αναλυτικά το µοντέλο προσοµοίωσης του υλικού προ ακτινοβόλησης, το 

µοντέλο των υπερβραχέων παλµών Laser σε µοριακό επίπεδο, καθώς και η µέθοδος 

υπολογισµού του βάθους φωτοαποδόµησης και του παραγόµενου θερµοκρασιακού πεδίου. 

Στο Κεφάλαιο 5 περιγράφεται η µοντελοποίηση της διεργασίας βάση της θεωρητικής 

ανάλυσης που προηγήθηκε για τον υπολογισµό του βάθους φωτοαποδόµησης. 

Παρουσιάζονται αναλυτικά τα βήµατα επίλυσης των µοντέλων και τα λογικά διαγράµµατα 

της µεθόδου. 

Στο Κεφάλαιο 6 περιγράφεται η ανάπτυξη του κώδικα Μ∆ ανάλυσης. Αρχικά εξηγείται η 

πλατφόρµα ανάπτυξης µε παρουσίαση της γλώσσας προγραµµατισµού, των εργαλείων και 

των βιβλιοθηκών που χρησιµοποιήθηκαν. Επεξηγούνται οι αρχές πάνω στις οποίες 

βασίστηκε η ανάπτυξη του αλγορίθµου Μ∆ ανάλυσης. Κατόπιν παρουσιάζονται και 

σχολιάζονται τα σηµαντικότερα µέρη του κώδικα. Το κεφάλαιο κλείνει µε την παρουσίαση 

του τελικού προγράµµατος. 

Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζεται η πειραµατική διερεύνηση της διεργασίας φωτοαποδόµησης 

µεταλλικού υλικού που αποσκοπεί στην διασταύρωση των αποτελεσµάτων που προέκυψαν 

από τις προσοµοιώσεις µε χρήση του κώδικα Μ∆ ανάλυσης. Γίνεται περιγραφή του 

10


συστήµατος Ti:Sapphire (TSUNAMI, Spectra Physics) Laser, που χρησιµοποιήθηκε για την 

διεξαγωγή των πειραµάτων καθώς και ολόκληρης της πειραµατικής διάταξης. 

Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται και σχολιάζονται τα θεωρητικά αποτελέσµατα από την 

εφαρµογή της µεθοδολογίας και του κώδικα Μ∆ ανάλυσης που παρουσιάστηκαν στα 

Κεφάλαια 4, 5 και 6 αντίστοιχα. Τα θεωρητικά αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα 

πειραµατικά που προέκυψαν από το Κεφάλαιο 7. Αναδεικνύονται οι αποκλίσεις και 

ερµηνεύονται τα αποτελέσµατα αυτά. 

Στο Κεφάλαιο 9 συγκεντρώνονται τα αποτελέσµατα και τα συµπεράσµατα της διατριβής και 

περιγράφονται εν συντοµία οι πρωτοτυπίες της διατριβής. Τέλος κατατίθενται προτάσεις για 

την περαιτέρω εξέλιξη και διερεύνηση ανάλογων θεµάτων. 

Στα Παραρτήµατα Α, Β, και Γ παρουσιάζονται η ονοµατολογία των συµβόλων που 

χρησιµοποιούνται στην διατριβή, ο κατάλογος των σχηµάτων και τέλος ο κατάλογος των 

πινάκων. 

11


1.8 Βιβλιογραφικές αναφορές 

[1] Chryssolouris, G., (1991), “Laser Machining: Theory and Practise”, Springer-Verlag, 

New York. 

[2] Kempfer, L., (1995), “Laser Design Time Cut 50%”, Computer Aided Engineering, 

14(8), pp. 1-8. 

[3] Chryssolouris, G., Bredt, J., Kordas, S. and Wilson, E., (1988), “Theoretical Aspects of a 

Laser Machine Tool”, ASME Journal of Engineering for Industry, 110, pp. 65-70. 

[4] Hutfless, J., Glasmacher, M., Precher, H.-J. and Geiger, M., (1995), “Laser Beam 

Microprocessing of Three-Dimensional Circuit Boards”. Proceedings, ISEM XI, April 

1995, EPFL, Lausanne, Switzerland, pp. 721-732. 

[5] Kikuchi, K., Maeda, R. and Kawaguchi, Y., (1995), “Micromachining with Laser Beam 

of Glasses and Diamond-Like Carbon”. Proceedings, ISEM XI, April 1995, EPFL, 

Lausanne, Switzerland, pp. 757-764. 

[6] Hecht, J., (1994), “Star Wars Laser Gives Surgeons a Cleaner Cut”, New Scientist, 144, 

pp. 24. 

[7] Ziegert, J. C. and Mize, C. D., (1994), “The Laser Ball Bar–A new Instrument for 

Machine Tool Metrology”, Precision Engineering, Journal of the ASPE, 16(4), pp. 259- 

267. 

[8] Katsuki, A., Onikura, H., Sajima, T., Machida, S. and Oda, K., (1994), “Development of 

a Deep-Hole, Laser Boring Tool–The Boring of Workpieces With a Thin Wall and an 

Inclined Prebored Hole”, Precision Engineering, Journal of the ASPE, 16(4), pp. 296- 

301. 

[9] Poprawe, R., Klein, R. and Abram, L., (1995), “Laser Technology in Processing of 

Coated Sheets”, Stahl und Eisen, 115(7), pp. 31-37. 

[10] Haferkamp, H. and Seebaum, D., (1994), “Material Removal on Tool-steel Using High 

Power CO2-Lasers”. Proceedings of the LANE’94, I, pp. 411-426. 

[11] Firestone, R. F. and Vesely, Jr., E. J., (1988), “High Power Laser Beam Machining of 

Structural Ceramics”, ASME Symposium of Advanced Ceramic Materials, pp. 215-227. 

[12] Hügel, H., Rundlaff, T. and Wiedmaier, M., (1994), “Laser Processing Integrated in 

Machine Tools-Design, Applications, Economy”. Proceedings of the LANE’94, I, pp. 

439-453. 

12


[13] Leidinger, D., Penz, A. and Schuöcker, D., (1995), “Improved Manufacturing Processes 

With High Power Lasers”, Infrared Physics Technology, 36(1), pp. 251-266. 

[14] Chryssolouris, G., Anifantis, N. and Karagiannis, S., (1997), “Laser Assisted Machining: 

An Overview”, Transaction of the ASME, Journal of Manufacturing Science and 

Engineering, 119 (75th Anniversary Issue, November 1997), pp. 766-769. 

[15] von Allmen, M., (1978), “Absorption Phenomena in Metal drilling with Nd-Lasers”, 

IEEE Journal of Quantum Electronics, QE-14(2), pp. 85-88. 

[16] Siekman, J. G., (1979), “Analysis of Laser Drilling and Cutting Results on Al2O3 and 

Ferrites”, Journal of the American Ceramics Society, pp. 225-231. 

[17] Modest, M. F. and Abakians, H., (1986), “Evaporative Cutting of a Semi-Infinite Body 

With a Moving CW Laser”, Journal of Heat Transfer, pp. 602-607. 

[18] Babenko, V. P. and Tychinskii, V. P., (1973), “Gas-Jet Laser Cutting”, Soviet Journal of 

Quantum Electronics, 2(5), pp. 399-410. 

[19] Schulz, W., Simon, G., Urbassek, H. M. and Decker, I., (1989), “On Laser Fusion 

Cutting of Metals”, Journal Physics D: Applied Physics, 20, pp. 481-488. 

[20] Chryssolouris, G. and Choi, W. C., (1989), “Gas Jet Effects on Laser Cutting”. 

Proceedings of the SPIE Conference on CO2 Lasers and Applications, Los Angeles, 

California (Jan. 15-20, 1989). 

[21] Messler, W. R. and Millard, D. L., (1994), “Laser Soldering−New Light on an Old 

Joining Process”, Welding Journal, 73(10), pp. 43-48. 

[22] Tosto, S., Nenci, F. and Hu, J., (1994), “Microstructure and Tensile Properties of AISI 

316 Stainless Steel Electron-Beam Cladding on C40 Mild Steel”, Journal of Materials 

Science, 29(22), pp.5852-5858. 

[23] Vollertsten, F., (1994), “Model for the Temperature Gradient Mechanism of Laser 

Bending”. Proceedings of the LANE’94, I, , pp. 345-360. 

[24] Geiger, M., Arnet, H., and Vollertsten, F., (1994), “Laser Forming”, Proceedings of the 

LANE’94, I, pp. 81-92. 

[25] Heuvelman, C. J., Köning, W., Tönshoff, H. K., Meijer, J., Kimer, P. K., Rund, M., 

Schneider, M. F. and van Sprang, I., (1992), “Surface Treatment Techniques by Laser 

Beam Machining”. CIRP Annals, 41(2), pp. 657-666. 

[26] Bello, J. M., Fernander, B. J., Lopez, V. and Ruiz, J., (1994), “Fatigue Performance and 

Residual Stresses in Laser Treated 50CrV4 Steel”, Journal of Materials Science, 29(19), 

pp.5213-5218. 

13


[27] Koutsomichalis, A., Saettas, L. and Badekos, H., (1994), “Laser Treatment of 

Magnesium”, Journal of Materials Science, 29(24), pp.6543-6547. 

[28] Kautek, W., Kruger, J., Lenzner, M., Sartania, S., Spielmann, C. and Krausz, F., (1996), 

“Laser Ablation of Dielectrics with Pulse Durations between 20 fs and 3ps”, Applied 

Physics Letters, 69, pp. 3146-3148. 

[29] Staurt, B.C, Feit, M.D., Herman, S., Rubenchik, A.M., Shore, B.W. and Perry, M.D., 

(1996), “Nanosecond to Femptosecond Laser Induced Breakdown in Dielectrics”, 

Physical Review B, 53, pp.1749-1761. 

[30] von der Linde, D. and Sokolowsi Tinten, K., (2000), “The Physical Mechanisms of Short 

Pulse Laser Ablation”, Applied Surface Science, Vol. 154-155, pp. 1-10. 

[31] Chryssolouris, G., “Manufacturing Systems, (2006), Theory and Practice, 2 nd Edition”. 

Springer-Verlag, New York, New York, January. 

[32] Chryssolouris, G., Stavropoulos, P., Tsoukantas, G., Salonitis, K. and Stournaras, A., 

(2004). “Nanomanufacturing Processes: A Critical Review”, International Journal of 

Materials & Product Technology, 21(4), pp. 331-348. 

[33] Perez, D. and Lewis, L.J., (2002), “Ablation of Solids under Femtosecond Laser Pulses”, 

Physical Review Letters, 89(25), pp.504-507. 

[34] Wang, X. and Xu, X., (2002), “Molecular Dyncamics Simulation of Thermal and 

Thermomechanical Phenomena in Picosecond Laser Materieal Interaction”, 

International Journal of Heat and Mass Transfer, 46, pp.45-53. 

[35] Zhigilei, L.V., (2003), “Dynamics of the Plume Formation and Parameters of the Ejected 

Clusters in Short Pulsed Laser Ablation”, Applied Physics A, 76, pp. 339-350. 

14



Ανασκόπηση Επιστηµονικής Βιβλιογραφίας 

Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η βιβλιογραφική ανασκόπηση που σχετίζεται µε τις 

Μοριακές προσοµοιώσεις. Μετά από µια σύντοµη παρουσίαση της προσοµοίωσης και της 

σηµασίας αυτής από την οπτική γωνία του Μηχανικού παραγωγής γίνεται µια αναφορά στις 

µεθόδους Μοριακών προσοµοιώσεων. Περνώντας πιο συγκεκριµένα στο αντικείµενο της 

διατριβής γίνεται διαχωρισµός και ανάλυση ερευνών Μοριακών ∆υναµικών προσοµοιώσεων 

για προβλήµατα επίδρασης ακτίνων Laser σε µεταλλικά και µη υλικά. Οι έρευνες 

κατηγοριοποιούνται µε βάση τον τύπο Μοριακής ∆υναµικής προσοµοίωσης, το υλικό στο 

οποίο πραγµατοποιήθηκε αλλά κυρίως µε βάση την έκφραση δυναµικού που υιοθετήθηκε για 

να περιγράψει την αλληλεπίδραση των σωµατιδίων του υλικού. Ακολούθως αναλύονται 

διεργασίες συµβατικές και µη, οι οποίες έχουν προσοµοιωθεί µε την βοήθεια της Μοριακής 

∆υναµικής. Στη συνέχεια παρουσιάζονται, αναλύονται και συγκρίνονται οι µακροσκοπικές 

και µικροσκοπικές θεωρίες µετάδοσης θερµότητας. Το κεφάλαιο αυτό τελειώνει µε την 

παρουσίαση θεµάτων που αφορούν τα Laser υπερβραχέων παλµών (femptosecond) και την 

κατεργασία υλικών µε αυτά.

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 

2.2 Γενικά περί προσοµοιώσεων 

Η προσοµοίωση αποτελεί ισχυρό εργαλείο, που επιτρέπει την άνετη και σχετικά µικρού 

κόστους µελέτη της συµπεριφοράς µίας διεργασίας µε τη µεταβολή των παραµέτρων, των 

µεταβλητών λειτουργίας και των µεγεθών παρεµβολής εξωτερικών παραγόντων. Η 

προσοµοίωση γενικά αναπαριστά τη συµπεριφορά µιας φυσικής, βιοµηχανικής, βιολογικής, 

οικονοµικής, κοινωνικής ή στρατιωτικής διεργασίας, µέσω υλικού υποδείγµατος, οι 

παράµεροι και οι µεταβλητές του οποίου αποτελούν είδωλα των αντίστοιχων µεθόδων της 

µελετούµενης διεργασίας. Γενικά, τα δεδοµένα εισόδου µίας προσοµοίωσης είναι 

µεταβλητές απόφασης που καθορίζουν το σχεδιασµό της διαδικασίας, δηλαδή παράµετροι 

όπως λόγου χάρη η πρόωση και η ταχύτητα κοπής και τα αποτελέσµατα εξόδου είναι δείκτες 

αποφάσεων, δηλαδή µεταβλητές της διαδικασίας όπως ο ρυθµός αφαίρεσης υλικού [1]. Από 

την οπτική γωνία του Μηχανικού θα µπορούσαµε να δώσουµε πολλούς ορισµούς για την 

προσοµοίωση. Όλοι όµως αυτοί οι ορισµοί συµφωνούν πως η προσοµοίωση αφορά τεχνικές 

που επιτρέπουν τη δυναµική µελέτη των µηχανισµών κίνησης των σωµατιδίων ενός 

συστήµατος σε µικροσκοπική λεπτοµέρεια και τον προσδιορισµό µακροσκοπικών ποσοτήτων 

από τους µηχανισµούς αυτούς [2]-[4]. Λύνοντας για παράδειγµα τις εξισώσεις κίνησης του 

Newton σε µικροσκοπική κλίµακα µπορούµε να αντιληφθούµε και να κατανοήσουµε την 

µακροσκοπική συµπεριφορά ενός συστήµατος [5]. Γενικότερα µέσω της προσοµοίωσης 

εξυπηρετούνται οι παρακάτω σκοποί: 

16 

1. Να περιγραφτεί η συµπεριφορά ενός συστήµατος 

2. Να διευρυνθούν οι ιδιότητες ενός υποθετικού συστήµατος 

3. Να σχεδιαστεί ένα καλύτερο σύστηµα από το ήδη υπάρχον 

Στο χώρο της Φυσικής αναπτύχθηκε η µέθοδος της Μοριακής ∆υναµικής ως εναλλακτικός 

τρόπος µελέτης συστηµάτων πολλών σωµατιδίων. Η µέθοδος αυτή στηρίζεται στην επίλυση 

των εξισώσεων κίνησης του Newton [6][7].

2.3 Μοντέλα για µοριακές προσοµοιώσεις 


Ο όρος προσοµοίωση µε Η/Υ (computer simulation) γενικά χρησιµοποιείται για να 

περιγράψει τη µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων και τη µελέτη τους µε υπολογιστικές 

µεθόδους, οι οποίες απαιτούν τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή για την επίλυση τους, λόγω 

της µεγάλης πολυπλοκότητας και του εξαιρετικά µεγάλου αριθµού των υπολογισµών που 

υπεισέρχονται. 

Η Μοριακή Μοντελοποίηση (Μolecular Μodeling) χρησιµοποιείται για να περιγράψει 

οποιαδήποτε διαδικασία λαµβάνει χώρα µε σκοπό την απεικόνιση, περιγραφή και υπολογισµό 

των ιδιοτήτων ή της δοµής ενός ή περισσότερων µορίων. Εναλλακτικά χρησιµοποιείται ο 

όρος Μοριακή Προσοµοίωση (Molecular Simulation) και είναι ταυτόσηµος της Μοριακής 

Μοντελοποίησης. Η Μοριακή Προσοµοίωση λειτουργεί συµπληρωµατικά της 

εργαστηριακής πειραµατικής διαδικασίας. Πιο συγκεκριµένα µπορεί να υποδείξει ή να 

απορρίψει πιθανά µοντέλα περιγραφής των φυσικών διεργασιών όπου λαµβάνουν χώρα σε 

ένα µοριακό σύστηµα και να εξηγήσει τους εσωτερικούς µηχανισµούς τους σε ατοµικό 

επίπεδο. Βοηθά δηλαδή στον καθορισµό των συνθηκών κάτω από τις οποίες γίνεται το 

εργαστηριακό πείραµα, συµβάλλει δε σε σηµαντικό βαθµό στην κατανόηση των µηχανισµών 

που λαµβάνουν χώρα κατά την πειραµατική διαδικασία. Σε σχέση µε αντίστοιχες θεωρητικές 

προσεγγίσεις σε µακροσκοπικό επίπεδο, κατά κανόνα οι Μοριακές προσοµοιώσεις 

παρουσιάζουν µεγαλύτερη ακρίβεια, δεδοµένου ότι οι δεύτερες πραγµατώνονται στην µελέτη 

της συµπεριφοράς της ύλης σε µοριακό και ατοµικό επίπεδο. Η διαθέσιµη υπολογιστική 

ισχύς είναι ένας καθοριστικός παράγοντας για την αποτελεσµατικότητα και πρακτική 

χρησιµότητα της Μοριακής Μοντελοποίησης. Όσο ταχύτερο είναι το υπολογιστικό σύστηµα 

τόσο ταχύτερα µπορεί να εξοµοιωθεί ένα Μοριακό σύστηµα. Ταυτόχρονα, οι προσεγγίσεις 

στις οποίες στηρίζονται οι υπολογιστικές µέθοδοι µπορούν να µειωθούν και κατά συνέπεια να 

εξαχθούν ακριβέστερα αποτελέσµατα. Η ισχύς δηλαδή του υπολογιστικού συστήµατος δρα 

στην ουσία περιοριστικά στην ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Για αυτό και η µελέτη 

πολύπλοκων συστηµάτων (και εποµένως απαιτητικών σε υπολογιστική ισχύ) γίνεται µε τη 

χρήση συστηµάτων συστοιχίας ηλεκτρονικών υπολογιστών, όπου ο υπολογιστικός φόρτος 

διαµοιράζεται εξίσου σε αυτούς. Τα τελευταία χρόνια επικρατεί η τάση µελέτης και 

προσοµοίωσης διαφόρων διεργασιών (φυσικών ή χηµικών) σε µοριακό επίπεδο, µε σκοπό την 

καλύτερη εξήγηση των αποτελεσµάτων τους µακροµοριακά. Για το λόγο αυτό, πολλές 

17


µέθοδοι προσοµοίωσης σε µοριακό επίπεδο έχουν αναπτυχθεί πρόσφατα, από τις οποίες οι 

συχνότερα εφαρµοζόµενες είναι οι: Μοριακή Μηχανική - Molecular Mechanics (MM), 

Monte Carlo (MC) και Μοριακή ∆υναµική – Molecular Dynamics (MD). Τα κύρια 

χαρακτηριστικά των παραπάνω µεθόδων παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα. 

Μέθοδος Κύριος Στόχος 

Υπολογισµού 

Molecular Mechanics (MM) Μεµονωµένα µόρια ή µικρά 

µοριακά συστήµατα 

(οργανικά µόρια) 

Monte Carlo (MC) Μεγάλος αριθµός ατόµων ή 

µορίων 

(υγρά, κράµατα, αέρια) 

Molecular Dynamics (MD) Μεγάλος αριθµός ατόµων ή 

µορίων (οργανικά, ανόργανα 

µόρια, υγρά, στερεά και 

αέρια) 

18 

Κύριο αποτέλεσµα 

Βελτιστοποιηµένη γεωµετρία, 

Ελαχιστοποίηση ενέργειας, 

Χαρτογράφηση δυναµικού 

Θερµοδυναµικές ιδιότητες, 

Κίνηση σωµατιδίων 

Θερµοδυναµικές ιδιότητες, 

∆υναµική, 

Κίνηση σωµατίδιων 

Πίνακας 2.1: Κύρια χαρακτηριστικά προσοµοιώσεων σε µοριακό επίπεδο. 

2.3.1 Μοριακή Mηχανική (MM) 

Η Μοριακή Μηχανική είναι η υπολογιστική µέθοδος, η οποία χειρίζεται τα άτοµα των 

µορίων ως σύνολα µαζών που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Τα φορτία του πυρήνα και των 

ηλεκτρονίων του ατόµου δεν διαχωρίζονται αλλά δίνουν αθροιστικά σε κάθε άτοµο 

χαρακτήρα σηµειακού ηλεκτρικού φορτίου. Η αλληλεπίδραση εκφράζεται µε αρµονικές (ή 

περισσότερο πολύπλοκες) δυνάµεις µεταξύ δέσµιων ατόµων, καθώς και µε δυνάµεις Van Der 

Waals και ηλεκτροστατικές δυνάµεις µεταξύ των µη δέσµιων ατόµων. Μαθηµατικές 

συναρτήσεις των ατοµικών συντεταγµένων ή άλλων δοµικών παραµέτρων, χρησιµοποιούνται 

για την αναλυτική περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων. Κάθε τέτοια περιγραφή, κάθε 

σύνολο δηλαδή εξισώσεων και αντίστοιχων παραµέτρων αποτελεί και ένα δυναµικό πεδίο 

(force field). Η παραµετροποίηση αυτών των συναρτήσεων γίνεται µε βάση πειραµατικές 

παρατηρήσεις σε πραγµατικά µόρια. Η συγκεκριµένη µέθοδος είναι ίσως η πιο απλή µέθοδος 

µοριακής προσοµοίωσης στην εφαρµογή της, καθώς έγκειται στην ελαχιστοποίηση της 

ενέργειας του µορίου (energy minimization), ως προς όλους τους µικροσκοπικούς βαθµούς 

ελευθερίας του. Σε αυτή την τεχνική, ένα ή περισσότερα µόρια τοποθετούνται εντός του 

κρυστάλλου και ελαχιστοποιείται η συνολική ενέργεια ως προς τις θέσεις, τους


προσανατολισµούς, τα µήκη και τις γωνίες δεσµών και περιστροφής των µορίων, καθώς και 

ως προς τις θέσεις των ατόµων του [8]. Υπάρχουν ποικίλες τεχνικές για την ελαχιστοποίηση 

της ενέργειας [9]. 

2.3.2 Monte Carlo (MC) 

Η ανάγκη προσδιορισµού ολικού ενεργειακού ελαχίστου οδήγησε στην ανάπτυξη της 

µεθόδου Monte Carlo για στοχαστική διερεύνηση της επιφανειακής δυναµικής ενέργειας, 

τροποποιώντας τυχαία τη διάταξη του µοριακού συστήµατος. Η ενέργεια κάθε διάταξης 

συγκρίνεται µε την ενέργεια της προηγούµενης. Αν είναι χαµηλότερη τότε αυτή είναι η νέα 

διάταξη. Αν είναι υψηλότερη επιλέγεται τυχαία µία άλλη. Το πλεονέκτηµα της µεθόδου 

είναι ότι η στοχαστική διερεύνηση µπορεί να υπερβεί πολλά ενεργειακά φράγµατα. Για 

µεγάλους χρόνους προσοµοίωσης η µέθοδος Monte Carlo πρέπει να παράγει τα ίδια 

αποτελέσµατα µε τη Μοριακή ∆υναµική. Αν για παράδειγµα θέλει κάποιος τώρα να 

υπολογίσει τη θερµοδυναµική της ρόφησης, µπορεί να το πετύχει χρησιµοποιώντας διάφορες 

τεχνικές Μοριακής προσοµοίωσης [10]-[12]. Μια πρώτη προσέγγιση είναι ο υπολογισµός 

του ολοκληρώµατος απεικονίσεων (configurational integral) για ένα µόριο. Η ολοκλήρωση 

Monte Carlo είναι µια χρήσιµη τεχνική για τον υπολογισµό αυτό. Ο όρος Monte Carlo, 

δόθηκε στη µέθοδο επειδή χρησιµοποιεί τυχαίους αριθµούς και θυµίζει παιχνίδι τύχης. Η 

βασική ιδέα πίσω από την ολοκλήρωση Monte Carlo είναι η ακόλουθη. Για ένα σύστηµα 

περιγραφόµενο από ένα διάνυσµα Ν γενικευµένων συντεταγµένων q, το ολοκλήρωµα των 

απεικονίσεων είναι: 

όπου 

exp[ ( )] N 

Z = ∫ −βV 

q d q 

Εξίσωση 2.1 

Τ είναι η θερµοκρασία του όγκου προσοµοίωσης, και το 

β 

−1 

= ( kT β ) 


N 

d qείναι ένας στοιχειώδης όγκος 

στο χώρο των απεικονίσεων, που περιέχει την Ιακωβιανή του µετασχηµατισµού από τις 

καρτεσιανές στις γενικές συντεταγµένες. Επιλέγουµε µια τυχαία απεικόνιση q και 

υπολογίζουµε τη δυναµική ενέργεια για τη συγκεκριµένη απεικόνιση. Ο παράγοντας 

19


Boltzmann της προηγούµενης εξίσωσης υπολογίζεται και η διαδικασία επαναλαµβάνεται Νtrial 

το πλήθος φορές. Το ολοκλήρωµα απεικόνισης εκτιµάται ως: 

όπου: 

20 

Ntrial 

Ω 

Z = ∑ exp[ −βV( 

qi)] 


N 

trial 

i= 

1 

N 

Ω=∫ d q 


είναι ο συνολικός όγκος του χώρου απεικονίσεων. Γνωρίζοντας το Ζ είναι δυνατός ο 

υπολογισµός του συντελεστή Henry, δηλαδή της κλίσης της καµπύλης ισόθερµης ρόφησης 

στο όριο των µηδενικών πιέσεων, χρησιµοποιώντας την ακόλουθη έκφραση 

K 

M Z 

= Εξίσωση 2.5 

s 

H ig 

RTρsZ Η ολοκλήρωση Monte Carlo είναι κατά πολύ προτιµότερη των παραδοσιακών τεχνικών 

ολοκλήρωσης (Gauss quadrature) για τον υπολογισµό του Ζ. ∆εν είναι όµως 

αποτελεσµατική για συστήµατα µε περισσότερους από 10 βαθµούς ελευθερίας. Στις 

περιπτώσεις συστηµάτων πολλών βαθµών ελευθερίας, τυχαίως δηµιουργηµένες απεικονίσεις 

έχουν εξαιρετικά µεγάλη πιθανότητα αλληλοεπικάλυψης µε τα όρια του κρυστάλλου. Έτσι ο 

παράγοντας Boltzmann γι’ αυτές τις διαµορφώσεις είναι πολύ µικρός. Το γεγονός αυτό 

καθιστά ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος απεικονίσεων να γίνεται αναποτελεσµατικός, και 

απαιτούνται εξαιρετικά υψηλοί υπολογιστικοί χρόνοι, προκειµένου η προσοµοίωση να 

φθάσει τις απεικονίσεις χαµηλής ενέργειας που συνεισφέρουν σηµαντικά στο Ζ. Ένας 

καλύτερος τρόπος για τον υπολογισµό τέτοιων ολοκληρωµάτων είναι η χρησιµοποίηση 

µεροληπτικών (bias), τεχνικών για τη δηµιουργία απεικονίσεων που µπορούν να 

δειγµατοληπτούν επιλεκτικά τις περιοχές του χώρου των απεικονίσεων που δίνουν 

συνεισφορές στο ολοκλήρωµα Ζ. Αν χρησιµοποιηθούν αυτές τις τεχνικές, είναι απαραίτητη η 

αφαίρεση αυτής της µεροληψίας (bias) ώστε να µην παραβιάζονται οι νόµοι της στατιστικής 

µηχανικής. Παραδείγµατα περιγραφής και εφαρµογής τέτοιων µεροληπτικών τεχνικών 

µπορούν να βρεθούν στις αναφορές [13]-[18]. Στη στατιστική µηχανική οι µακροσκοπικές


ιδιότητες υπολογίζονται ως µέσες τιµές ποσοτήτων που χαρακτηρίζουν τις µοριακές 

απεικονίσεις, ως προς µια κατανοµή πιθανοτήτων των απεικονίσεων που υπαγορεύεται από 

τους εξωτερικούς περιορισµούς που επιβάλλονται στο σύστηµα (κατανοµή στατιστικού 

συνόλου ισορροπίας). Στον υπολογισµό τέτοιων µέσων τιµών είναι πολύτιµος ο αλγόριθµος 

Monte Carlo κατά Metropolis [19]. Ο αλγόριθµος Metropolis δηµιουργεί µια ακολουθία 

απεικονίσεων που ασυµπτωτικά δειγµατοληπτεί την επιθυµούµενη κατανοµή πιθανοτήτων. 

Ως παράδειγµα του τρόπου λειτουργίας της µεθόδου επιλέγεται ένα σύστηµα στο κανονικό 

στατιστικό σύνολο, το οποίο αποτελείται από Ν µόρια όγκου V και θερµοκρασίας Τ 

(µακροσκοπικοί περιορισµοί σταθερών Ν, V, Τ). Επιχειρείται µια κίνηση στην οποία ένα 

τυχαία επιλεγµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται κατά µία µικρή τυχαία απόσταση. Κατόπιν 

υπολογίζεται η αλλαγή στη δυναµική ενέργεια του συστήµατος συνεπεία αυτής της κίνησης. 

Αν η κίνηση έχει ως αποτέλεσµα τη µείωση της συνολικής δυναµικής ενέργειας του 

συστήµατος, γίνεται αποδεκτή και το σωµατίδιο µετατοπίζεται στη δοκιµαστική θέση. Αν 

όµως η δοκιµαστική κίνηση έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της ενέργειας του συστήµατος, 

τότε η κίνηση γίνεται αποδεκτή µε την ακόλουθη πιθανότητα: 

P = exp[ −β∆ V] 


accept 

όπου ∆V η µεταβολή στη δυναµική ενέργεια. Για τη δειγµατοληψία µε βάση αυτή την 

κατανοµή επιλέγεται ένας τυχαίος αριθµός από το διάστηµα [0,1). Αν ο τυχαίος αυτός 

αριθµός είναι µικρότερος από το exp[ −β∆ V ] τότε η κίνηση γίνεται δεκτή. ∆ιαφορετικά η 

κίνηση δεν γίνεται αποδεκτή. Η πιθανότητα αποδοχής µπορεί να γραφτεί σε µια περισσότερο 

συµπαγή µορφή ως: 

P = min(1,exp[ −β∆ V]) 


accept 

Εάν η κίνηση γίνει αποδεκτή, η νέα απεικόνιση (µε µετατοπισµένο το µόριο) λαµβάνεται ως 

τρέχουσα απεικόνιση του συστήµατος. Εάν όµως η κίνηση απορριφθεί, διατηρείται η 

προηγούµενη απεικόνιση (πριν από τη µετατόπιση) ως τρέχουσα απεικόνιση. Με την 

ολοκλήρωση της δοκιµαστικής κίνησης ενηµερώνονται τα αθροίσµατα για τον υπολογισµό 

µέσων όρων των µεταβλητών (π.χ. ενέργεια, πίεση, κατανοµή θέσεων και διαµορφώσεων) 

και λαµβάνει χώρα µία νέα δοκιµή χρησιµοποιώντας τα χαρακτηριστικά της τρέχουσας 

απεικόνισης. Μετά από πολλές τέτοιες επαναλήψεις ο αλγόριθµος Metropolis εξασφαλίζει 

21


ότι οι απεικονίσεις που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό µέσων όρων είναι 

κατανεµηµένες σύµφωνα µε το κανονικό στατιστικό σύνολο. Πραγµατοποιεί, δηλαδή 

δειγµατοληψία των απεικονίσεων σύµφωνα µε µια προδιαγεγραµµένη κατανοµή, αυτή του 

κανονικού στατιστικού συνόλου. Απλοί µέσοι όροι κατά την διάρκεια της προσοµοίωσης 

είναι ισοδύναµοι µε τους µέσους όρους στατιστικού συνόλου (ensemble average). ∆ιάφορες 

µορφές της τεχνικής αυτής περιγράφονται στις µελέτες [10][12]. 

2.3.3 Μοριακή ∆υναµική (Μ∆) 

Η µέθοδος της Μοριακής ∆υναµικής (Μ∆) είναι µία από τις αιτιοκρατικές µεθόδους 

(deterministic methods) προσοµοίωσης, σε αντίθεση µε τις στοχαστικές µεθόδους (stochastic 

methods), που βασικός εκπρόσωπός τους είναι η µέθοδος Monte-Carlo. Οι τεχνικές Monte 

Carlo αποτελούν ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για τον υπολογισµό θερµοδυναµικών ιδιοτήτων 

ισορροπίας, καθόσον οι κινήσεις µπορούν να σχεδιαστούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε να 

επιτρέπουν αποτελεσµατική δειγµατοληψία της επιθυµητής πυκνότητας πιθανότητας. 

Εντούτοις όµως, οι µέθοδοι Monte Carlo δεν είναι δυνατό να δώσουν απευθείας πληροφορίες 

για τη δυναµική κατάσταση καθόσον δεν συµπεριλαµβάνουν το χρόνο στην εξέλιξη του 

συστήµατος. Η µέθοδος της Μ∆ αναπτύχθηκε αρχικά από τους Adler και Wainwright to 

1956 [20] και συνίσταται στην αριθµητική επίλυση των εξισώσεων κίνησης του Newton, Ν 

ατόµων, τα οποία υποθέτουµε ότι αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µε κάποιο γνωστό δυναµικό 

[21]. Η µελέτη αυτή συντέλεσε στην ανάδυση πολλών και σηµαντικών νέων απόψεων για τη 

συµπεριφορά των απλών υγρών. Το επόµενο µεγάλο βήµα έγινε το 1964, όταν ο Rahman 

διεξήγαγε την πρώτη προσοµοίωση χρησιµοποιώντας εξισώσεις που εκφράζουν µε αρκετά 

ρεαλιστικό τρόπο τις διαµοριακές δυνάµεις στο υγρό Αργό (Ar) [22]. Η πρώτη Mοριακή 

∆υναµική προσοµοίωση ενός ρεαλιστικού συστήµατος έγινε πραγµατικότητα από τους 

Rahman και Stillinger, προσοµοιάζοντας το νερό στην υγρή κατάσταση το 1974 [23]. Το 

1977 πρωτοεµφανίστηκαν οι προσοµοιώσεις πρωτεϊνών µε την εξοµοίωση του παρεµποδιστή 

της παγκρεατικής θρυψίνης (Bovine Pancreatic Trypsin Inhibitor, BPTI) [24]. Σήµερα κάθε 

ενδιαφερόµενος µπορεί να βρει πολυάριθµες µελέτες Μοριακής ∆υναµικής προσοµοίωσης 

διαλυµάτων πρωτεϊνών, συµπλεγµάτων πρωτεϊνών-DNA και συστηµάτων λιπιδίων, που 

απευθύνονται σε µια ποικιλία προβληµάτων, όπως η θερµοδυναµική πίσω από την 

αναδίπλωση στο χώρο µικρών µορίων πρωτεΐνης. Για να λάβει κανείς πληροφορίες σχετικές 

µε τη δυναµική κατάσταση, είναι απαραίτητο να ακολουθηθεί µια διαφορετική προσέγγιση, η 

22


οποία θα είναι ικανή να παρακολουθεί την εξέλιξη του συστήµατος στον χρόνο. Οι 

προσοµοιώσεις Μοριακής ∆υναµικής είναι από πολλές απόψεις παρόµοιες µε τα πραγµατικά 

πειράµατα. Για παράδειγµα σε ένα πείραµα προετοιµάζουµε το υλικό που πρόκειται να 

µελετήσουµε. Φέρουµε το δείγµα σε µια διάταξη συνδεµένη µε ένα όργανο µέτρησης π.χ. 

θερµόµετρο και µετρούµε την ιδιότητα που µας ενδιαφέρει για κάποιο χρονικό διάστηµα. Αν 

οι µετρήσεις υπόκεινται σε στατιστικό θόρυβο (noise), όπως συχνότατα συµβαίνει µε τις 

περισσότερες µετρήσεις, αυξάνουµε τον αριθµό των µετρήσεων και παίρνουµε µέσο όρο ως 

προς χρόνο, παίρνοντας κατ' αυτόν τον τρόπο πιο ακριβείς εκτιµήσεις. Σε µια Μοριακή 

∆υναµική προσοµοίωση ακολουθείτε ακριβώς η ίδια διαδικασία. Πρώτα ετοιµάζεται το 

δείγµα. ∆ηλαδή επιλέγετε το φυσικό σύστηµα και το µοντέλο που το περιγράφει, όσο το 

δυνατό περισσότερο αξιόπιστα. Έτσι για ένα σύστηµα που αποτελείται από Ν σωµατίδια, 

λύνουµε τις εξισώσεις του Newton µέχρις ότου οι ιδιότητες του συστήµατος να µην αλλάζουν 

µε την πάροδο του χρόνου. Με την επίτευξη της ισορροπίας του συστήµατος 

πραγµατοποιείται µέτρηση. Στην πραγµατικότητα βέβαια πολλά από τα κοινά σφάλµατα, 

που γίνονται σε ένα υπολογιστικό "πείραµα", είναι παρόµοια µε τα σφάλµατα που µπορούν 

να γίνουν και σε ένα πραγµατικό πείραµα. Για παράδειγµα, το δείγµα µπορεί να µην έχει 

προετοιµαστεί κατάλληλα, η χρονική περίοδος της µέτρησης να είναι πολύ σύντοµη, κατά τη 

διάρκειά της το σύστηµα να υφίσταται κάποια µη αντιστρεπτή µεταβολή ή τελικά να µη 

µετρήθηκε αυτό που έπρεπε. 

Η βασική ιδέα πίσω από τη Mοριακή ∆υναµική είναι ότι αφού κάθε υλικό/ουσία 

δηµιουργείται από στοιχειώδη σωµατίδια, εάν καθορίσουµε τις βασικές δυναµικές 

παραµέτρους των σωµατιδίων αυτών, τότε µπορούµε να καθορίσουµε τις µακροσκοπικές 

φυσικές ιδιότητες των υλικών/ουσιών µε στατιστικές µεθόδους. Η Μοριακή ∆υναµική 

ανάλυση βασίζεται στην επίλυση του δεύτερου νόµου του Νεύτωνα µε σκοπό την 

παρακολούθηση της κίνησης κάθε ατόµου σε ένα σύστηµα [12][25][26]. Στην περίπτωση 

µεταφορικής κίνησης ενός συµµετρικά σφαιρικού µορίου, ο νόµος παίρνει την απλή µορφή. 

2 

d 

m 2 

dt 

r 

F = Εξίσωση 2.8 

Όπου F είναι το διάνυσµα της συνισταµένης των δυνάµεων που ασκούνται στο µόριο από τα 

υπόλοιπα µόρια στο σύστηµα, r είναι το διάνυσµα θέσης του µορίου, t είναι ο χρόνος και m 

είναι η µάζα του µορίου. 

23


Με ολοκλήρωση της παραπάνω εξίσωσης µπορούµε να εξαγάγουµε τη ταχύτητα και τη 

µετατόπιση. Εάν οι ολοκληρώσεις αυτές γίνουν για κάθε άτοµο και σε διάφορα χρονικά 

διαστήµατα από µια αρχική κατάσταση, τότε µπορούν να συγκεντρωθούν αναλυτικές 

πληροφορίες για την κίνηση κάθε ατόµου [27]. Υπολογίζοντας µέσες τιµές σε χρόνο, χώρο ή 

και τα δύο, µπορούν να εξαχθούν µακροσκοπικές φυσικές ιδιότητες. Για µόρια µε 

πολύπλοκη γεωµετρία ο νόµος του Newton δεν επαρκεί. Ανάλογα µε το τύπο µοριακού 

µοντέλου που χρησιµοποιείται, στην προσοµοίωση υιοθετείται µια γενικευµένη µορφή της 

εξίσωσης του Newton. Για παράδειγµα, όταν χρησιµοποιείται ένα µοντέλο στερεού σώµατος, 

πρέπει να λαµβάνεται υπόψη η περιστροφή των µορίων γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. 

Ωστόσο, όσο πολύπλοκη και αν είναι η εξίσωση κίνησης, η βασική διαδικασία 

προσοµοίωσης είναι πάντα ίδια: αρχικά ολοκληρώνεται η εξίσωση κίνησης για κάθε µόριο 

και υπολογίζονται οι δυναµικές παράµετροι και στη συνέχεια υπολογίζονται οι µέσες τιµές 

των δυναµικών παραµέτρων για την εξαγωγή των µακροσκοπικών φυσικών ιδιοτήτων. Ο 

υπολογισµός των διαµοριακών δυνάµεων, λόγω της ηλεκτρικής/ηλεκτροµαγνητικής φύσης 

των δυνάµεων, απαιτεί την ύπαρξη κατάλληλων µοντέλων διαµοριακού δυναµικού που 

περιγράφουν τις διαµοριακές αλληλεπιδράσεις. Τα µοντέλα αυτά συνήθως υπολογίζονται 

από πειραµατικά δεδοµένα ή από υπολογισµούς κβαντοµηχανικής. Συνήθως λαµβάνεται 

υπόψη η αλληλεπίδραση ανάµεσα σε δύο ή τρία µόρια, καθώς η συνεισφορά περισσότερων 

σωµατιδίων είναι αµελητέα και µπορεί να αγνοηθεί εντελώς ή να παρουσιαστεί σαν 

διορθωτικός συντελεστής στην εξίσωση δυναµικού [27]. 

Η Μοριακή ∆υναµική, µε την ραγδαία ανάπτυξη της υπολογιστικής ισχύος των σύγχρονων 

υπολογιστών, έχει αναπτυχθεί σηµαντικά τα τελευταία χρόνια. Αποτελεί σηµαντικό εργαλείο 

για τη µελέτη της διαδικασίας σχηµατισµού υλικών και των ιδιοτήτων των τελευταίων, ενώ 

χρησιµοποιείται ολοένα και περισσότερο για τη µελέτη προβληµάτων µετάδοσης ενέργειας 

[28]-[37]. Βασικοί περιορισµοί της µεθόδου αποτελούν η ανάγκη για καθορισµό µιας όσο 

το δυνατόν ακριβέστερης σχέσης δυναµικού και το µέγεθος των συστηµάτων που µπορούν 

να µελετηθούν. Όσον αφορά τον πρώτο περιορισµό, υπάρχουν δοκιµασµένες εµπειρικές 

σχέσεις που περιγράφουν ικανοποιητικά τα περισσότερα από τα υλικά που ενδιαφέρουν (για 

το πυρίτιο για παράδειγµα χρησιµοποιείται το δυναµικό Stillinger-Webber [38]). 

Όπως προαναφέρθηκε, ο µεγαλύτερος περιορισµός της Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης είναι 

το µέγεθος των συστηµάτων που µπορούν να προσοµοιωθούν. Προσοµοιώσεις ρευστών 

µπορεί να περιλαµβάνουν έως και 200,000 µόρια, ενώ στερεών από 10 έως 100 εκατοµµύρια 

24


άτοµα, ανάλογα µε τον απαιτούµενο χρόνο προσοµοίωσης. ∆υστυχώς, ακόµα και ένας κύβος 

προσοµοίωσης µε ακµή 1000 Angstrom, ο οποίος µπορεί να περιέχει έως και 50 εκατοµµύρια 

άτοµα πυριτίου, απαιτεί µεγάλους χρόνους προσοµοίωσης, ώστε να µπορούν αν εξαχθούν 

στατιστικά στοιχεία για τα phonons. Επιπλέον, η µέση ελεύθερη διαδροµή των φορέων 

θερµότητας (phonon) στο πυρίτιο είναι περίπου 3000 Angstrom [39][40]. Για τη µελέτη της 

µετάδοσης θερµότητας έχουν επιστρατευτεί προσοµοιώσεις Μοριακής ∆υναµικής ισορροπίας 

και µη-ισορροπίας. Στην προσέγγιση µη-ισορροπίας επιβάλλεται µια διαφορά θερµοκρασίας 

ή ροή ενέργειας στο σύστηµα, αλλάζοντας τα δυναµικά χαρακτηριστικά των ατόµων σε 

τοπικές συνοριακές περιοχές [41]. Γενικά, η Μοριακή ∆υναµική προσοµοίωση µηισορροπίας 

έχει τρία µειονεκτήµατα: Πρώτον, το µοντέλο προσοµοίωσης πρέπει να έχει 

µεγάλο αριθµό ατόµων στις συνοριακές περιοχές, ώστε να σταθεροποιούνται οι συνοριακές 

θερµοκρασίες, κάτι που αυξάνει τις υπολογιστικές απαιτήσεις. ∆εύτερον, τα συστήµατα που 

µπορούν να προσοµοιωθούν είναι µικρότερα από τη µέση ελεύθερη οδό των phonon, κάτι το 

οποίο περιορίζει και το µέγιστο δυνατό µήκος κύµατος των phonon. Τέλος, για τη σύγκλιση 

στατιστικών στοιχείων για τη θερµοκρασία απαιτείται µια αφύσικα µεγάλη κλίση 

θερµοκρασιών, κάτι το οποίο καθιστά δύσκολο τον καθορισµό της θερµικής αγωγιµότητας σε 

πρακτικές θερµοκρασίες. 

Η προσέγγιση ισορροπίας βασίζεται σε µικρές διακυµάνσεις της θερµοκρασίας για τη 

δηµιουργία στιγµιαίας ροής θερµότητας. Παρόλο που χρονικά η µέση τιµή αυτής της 

θερµικής ροής εξαφανίζεται, η θερµική αγωγιµότητα του συστήµατος ως προς τη διαταραχή 

µπορεί να υπολογιστεί από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ροής θερµότητας, όπως 

περιγράφεται από τη σχέση Green-Kubo [42]. Η διαδικασία σύγκλισης είναι αργή, όµως η 

Μοριακή ∆υναµική προσοµοίωση ισορροπίας δεν πάσχει από τα τρία µειονεκτήµατα που 

αναφέραµε προηγουµένως (οι συνοριακές περιοδικές συνθήκες καταργούν τους περιορισµούς 

σχετικά µε τη µέση ελεύθερη οδό). Ωστόσο, κατά τη διάρκεια Μοριακής ∆υναµικής 

ανάλυσης ισορροπίας απαιτείται προσοχή, ώστε να µην εισέρχονται πλασµατικές επιδράσεις 

µεγέθους λόγω του πεπερασµένου µεγέθους µοντέλου προσοµοίωσης. 

Μέσα από τη Μοριακή ∆υναµική προσοµοίωση, από τη χρονική εξέλιξη της τροχιάς και της 

ταχύτητας του κάθε ατόµου ξεχωριστά, µπορούν να υπολογιστούν χαρακτηριστικά όπως ο 

χρόνος χαλάρωσης, το φάσµα των phonon, η ταχύτητα και η πυκνότητα κάθε κατάστασης. 

Στην πράξη, οι πληροφορίες αυτές µπορούν να εισαχθούν στην εξίσωση Boltzmann και να 

αντιµετωπισθούν έτσι προβλήµατα µετάδοσης θερµότητας στο µέσο-επίπεδο, κάτι το οποίο 

25


δε µπορεί να επιτευχθεί άµεσα µε τη Μοριακή ∆υναµική. Επιπλέον, η Μοριακή ∆υναµική 

µπορεί να αποτελεί το ιδανικό εργαλείο για τη µελέτη των ελαττωµατικών επιπέδων 

αλληλεπίδρασης και του µη αρµονικού διασκορπισµού. Ένα θεωρητικό µειονέκτηµα της 

κλασικής Μοριακής ∆υναµικής είναι ότι δεν συµπεριλαµβάνει αρχές κβαντικής στατιστικής 

και το µηχανισµό κβαντικού διασκορπισµού. Αυτό το µειονέκτηµα περιορίζει τη χρήση της 

Μοριακής ∆υναµικής σε προβλήµατα υψηλών θερµοκρασιών. Πρέπει βέβαια να τονισθεί σε 

αυτό το σηµείο πως οι µελέτες κλασικής Μοριακής ∆υναµικής εστιάζονται σε κλασικά 

συστήµατα αποτελούµενα από ένα µεγάλο αριθµό σωµατιδίων. Με τον όρο κλασικό 

εννοούµε πως η κίνηση των πυρήνων των σωµατιδίων υπακούει τους νόµους της κλασικής 

µηχανικής. Αυτή είναι µια εξαιρετικά καλή προσέγγιση για ένα µεγάλο εύρος υλικών. Μόνο 

στην περίπτωση µεταφορικής ή περιστροφικής κίνησης ελαφρών ατόµων ή µορίων (He, Η2, 

D2) ή δονητικής κίνησης µε συχνότητα ν τέτοια ώστε hv>>kBT θα πρέπει να λαµβάνονται 

υπόψη κβαντικά φαινόµενα. Γενικά, θεωρούµε ότι τα Ν άτοµα βρίσκονται µέσα σε ένα 

«κουτί» διαστάσεων Lx, Ly, Lz. Ο όγκος του κουτιού και ο αριθµός ατόµων καθορίζουν την 

πυκνότητα του συστήµατος. Οι περιοδικές συνθήκες στα άκρα του κουτιού προσοµοιώνουν 

το άπειρο σύστηµα. Αυτές, από µαθηµατικής πλευράς, εκφράζονται µε την ακόλουθη σχέση 

για οποιοδήποτε µέγεθος Α: 

26 

Ax ( ) = Ax ( + nL) 


Όπου n=(n1, n2, n3) για όλους τους ακέραιους n1, n2, n3 και L=( Lx, Ly, Lz). Έτσι, κάθε φορά 

που ένα σωµατίδιο βγαίνει από µία πλευρά του κουτιού θεωρούµε ότι εισέρχεται από την 

αντίθετη πλευρά µε την ίδια ταχύτητα (Σχήµα 2.1). 

Σχήµα 2.1: ∆ιάγραµµα γενικής αρχής εφαρµογής των περιοδικών συνθηκών.


Γενικά η δυναµική ενέργεια των Ν σωµατιδίων για ένα κεντρικό και προσθετικό δυναµικό 

ζεύγους είναι: 

N N 

( r1, r2,... rN) = ij( ri −rj 

) 

ϕ ∑∑ ϕ 


i= 1 j> i 

Όπου ri, rj οι θέσεις των ατόµων i και j αντίστοιχα και φ, το δυναµικό που αναπτύσσεται 

µεταξύ των ανωτέρω ατόµων. Η χρήση των περιοδικών συνθηκών επιβάλει την εισαγωγή 

µίας εµβέλειας αλληλεπίδρασης του δυναµικού 

r 1 

i ≤ min( L , , ) 

2 x Ly Lz 


για τον υπολογισµό του δυναµικού και των δυνάµεων. Η εµβέλεια αυτή καλείται ακτίνα 

αποκοπής ro, και χρησιµεύει στην πράξη στο να αποφευχθούν αλληλεπιδράσεις µεταξύ των 

ατόµων i και j και ταυτόχρονα µεταξύ του i και των περιοδικών ειδώλων του j. Η δύναµη 

λοιπόν που ασκείται επάνω στα σωµάτιο i από τους γείτονες του θα είναι: 

( ) 

F =−∑ ∀ϕ r r ≤r 


i ij ij o 

i≠j Μέσα στα όρια της κλασικής προσέγγισης, δηλαδή για θερµοκρασίες Τ>ΘDEBYE, και για 

χαρακτηριστικούς χρόνους διαδραµατισµού ενός φαινοµένου µεγαλύτερους από 10 -16 sec, η 

εξίσωση κίνησης από τον νόµο του Newton είναι: 

∂ r 

∂ 

2 

i Fi = mi 2 

t 


Έτσι για ένα σύστηµα Ν ατόµων έχουµε να ολοκληρώσουµε 3Ν διαφορικές εξισώσεις και 

απαιτούνται 6Ν αρχικές συνθήκες. Αυτές οι αρχικές συνθήκες µπορούν να είναι οι θέσεις 

των ατόµων και οι ταχύτητές τους. Για ένα στερεό οι αρχικές θέσεις των ατόµων µπορούν 

κάλλιστα να είναι οι πλεγµατικές τους θέσεις και οι ταχύτητες εκλέγονται µε µία κατανοµή 

Maxwell-Boltzmann, έτσι ώστε να αντιστοιχούν στη θερµοκρασία στην οποία επιθυµούµε να 

27


πραγµατοποιήσουµε την προσοµοίωση. Η έκφραση της κατανοµής ταχυτήτων κατά 

Maxwell-Boltzmann δίδεται από τη σχέση: 

28 

3/2 

() = 4π ⎜ π B 

⎟ 

2 

exp 

2 

( ) 

Nv N 

⎛m ⎞ 

v −mv 

⎝ 2 kT⎠ 2kT 


όπου Ν(ν) είναι ο αριθµός των σωµατιδίων µε ταχύτητα ν, Ν ο συνολικός αριθµός των 

ατόµων του δείγµατος, m η µάζα κάθε ατόµου, kΒ η σταθερά του Boltzmann και Τ η 

θερµοκρασία στην οποία βρίσκεται το δείγµα. Το σύστηµα που περιγράψαµε είναι µονωµένο 

άρα διατηρούνται σταθερά ο αριθµός σωµατιδίων Ν, ο όγκος V και η ενέργεια Ε. Είναι 

δυνατόν το σύστηµα να αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον, είτε για να έχουµε επιθυµητή 

σταθερή θερµοκρασία (κανονικό στατιστικό σύνολο, διατηρούνται σταθερά Ν, V, Τ), είτε να 

έχουµε σταθερή πίεση (ισοβαρές στατιστικό σύνολο, διατηρούνται σταθερά Ν, πίεση Ρ, 

ενθαλπία Η).

2.4 Τύποι & δυναµικά Μ∆ προσοµοιώσεων 


Στις ακόλουθες παραγράφους διαχωρίζονται, παρουσιάζονται και αναλύονται προσοµοιώσεις 

Μοριακής ∆υναµικής ανάλογα µε τον τύπο Μ∆ που χρησιµοποιήθηκε για κάθε συγκεκριµένη 

µελέτη (υβριδική ή κλασική) και τον τύπο του δυναµικού αλληλεπίδρασης των ατόµων του 

υλικού. 

2.4.1 Υβριδικές προσοµοιώσεις Μ∆ 

Αποσκοπώντας στην επέκταση του όγκου προσοµοίωσης αλλά και την καλύτερη 

παρατήρηση, κυρίως διεργασιών της µακρο-κλίµακας, εισήχθησαν οι λεγόµενες υβριδικές 

προσοµοιώσεις Μ∆. Όγκοι προσοµοίωσης Μ∆ ενώνονται µε όγκους προσοµοίωσης 

πεπερασµένων στοιχείων ή διθερµοκρασιακού µοντέλου. 

2.4.1.1 Συνδυασµένες µελέτες Μ∆ και πεπερασµένων στοιχείων 

Στη µελέτη [43] παρουσιάζεται µια αριθµητική µέθοδος, η οποία συνδυάζει την Μ∆ 

προσοµοίωση και µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, στοχεύοντας στην 

προσοµοίωση της µηχανικής συµπεριφοράς υλικών και δοµών σε νανο-κλίµακα. 

Σχήµα 2.2: Λογικό διάγραµµα συνδυαστικής µεθόδου MD/FEA [43]. 

29


Σε αυτή την συνδυαστική µέθοδο, το αρχικό ατοµικό µοντέλο µετατρέπεται σε συνεχές 

µοντέλο, και παράγεται µια προσεγγιστική λύση µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων 

για το σύστηµα, σε συγκεκριµένες αρχικές συνθήκες και φορτία. Κατόπιν το φορτισµένο 

συνεχές µοντέλο µετατρέπεται σε ένα νέο ατοµικό µοντέλο, και εφαρµόζεται η µέθοδος της 

Μ∆ προσοµοίωσης, µε σκοπό να φτάσει το σύστηµα στην κατάσταση της τελικής 

ισορροπίας. 

Ισχυρό στοιχείο αυτής της µεθόδου είναι ότι συνδυάζει την αποδοτικότητα και ταχύτητα των 

συνεχών µοντέλων προσοµοίωσης και την ακρίβεια των προσοµοιώσεων Μ∆. Το 

υπολογιστικό κόστος αυτού του είδους της συνδυασµένης ανάλυσης µειώνεται, παρόλο που η 

ακρίβεια των αποτελεσµάτων διατηρείται στα επίπεδα που παρέχει η Μ∆. Το αποτέλεσµα 

του τµήµατος που αναλύεται µε πεπερασµένα στοιχεία µπορεί να θεωρηθεί ως ενδιάµεσο 

στάδιο ανάλυσης. Η παραπάνω µεθοδολογία εφαρµόσθηκε για να διερευνηθούν οι ιδιότητες 

µιας Νανο-δοκού σε συνθήκες παραµόρφωσης. 

Μια διαφορετική προσέγγιση της συνδυαστικής µεθόδου Μ∆ ανάλυσης παρουσιάζεται στην 

µελέτη [44]. Η µελέτη ποικιλόµορφων δυναµικών φαινοµένων απαιτεί ταυτόχρονη ανάλυση, 

τόσο σε ατοµικές όσο και σε συνεχής κλίµακες µήκους. Η συνδυασµένη µεθοδολογία που 

παρουσιάζεται στην προαναφερθείσα µελέτη δίνει την δυνατότητα του εντοπισµού του 

κρίσιµου σηµείου µεταξύ ακρίβειας υπολογισµών και υπολογιστικού φόρτου. Η µέθοδος 

εφαρµόζεται στην µελέτη της διάδοσης κυµάτων πίεσης σε υλικό, που γεννώνται από την 

εφαρµογή ακτινοβολίας Laser στην επιφάνεια αυτού. Για να συνδυαστούν αποτελεσµατικά 

οι µέθοδοι της Μ∆ και των πεπερασµένων στοιχείων σε ένα µοντέλο δεν αρκεί µόνο να 

διασφαλιστεί η συνέχεια µεταξύ των ιδιοτήτων του ατοµικού και του συνεχούς µέσου, αλλά 

πρέπει να υπάρχει και οµαλή µετάβαση µεταξύ των δυο αυτών διαφορετικών µέσων. Στην 

συγκεκριµένη µελέτη η οµαλή σύζευξη των µέσων επιτυγχάνεται µε την χρήση µιας 

µεταβατικής περιοχής, όπου οι κόµβοι των πεπερασµένων στοιχείων αντιστοιχούν σε θέσεις 

σωµατίδιων της Μ∆. 

30

Σχήµα 2.3: Μεταβατική περιοχή όπου οι κόµβοι των πεπερασµένων στοιχείων 

αντιστοιχούν σε θέσεις σωµατίδιων της Μοριακής ∆υναµικής [44]. 


Το εύρος αυτής της περιοχής ισούται µε την απόσταση αποκοπής, µέγεθος εξαρτώµενο από 

το εκάστοτε δυναµικό που χρησιµοποιείται στην Μ∆ ανάλυση. Τα σωµατίδια του 

εµπεριέχονται σε αυτή τη περιοχή αλληλεπιδρούν µε τη περιοχή της Μοριακής ∆υναµικής, 

όπως καθορίζει το δυναµικό αλληλεπίδρασης. Συγχρόνως τα σωµατίδια αυτά αντιστοιχούν 

σε κόµβους που υπάρχουν στην περιοχή των πεπερασµένων στοιχείων και υπόκεινται σε 

δυνάµεις που καθορίζονται από το πλέγµα των πεπερασµένων. Αποτέλεσµα της παραπάνω 

µεθοδολογίας είναι η καλή συµφωνία του προφίλ κυµάτων των περιοχών της Μ∆ και 

πεπερασµένων στοιχείων και προτείνεται η εφαρµογή της σε περιπτώσεις όπου απαιτείται 

υψηλή ακρίβεια σε συγκεκριµένα σηµεία, όπου και εφαρµόζεται η Μ∆, ενώ οι απαιτήσεις 

του υπόλοιπου όγκου καλύπτονται από τα πεπερασµένα στοιχεία. 

Στην µελέτη [45] παρουσιάζεται µια µεθοδολογία πολλαπλής κλίµακας, αποτέλεσµα 

συνδυασµού τριών µεθόδων προσοµοίωσης, αποσκοπώντας στην επεξήγηση των φαινοµένων 

που συνδέονται µε την φωτοαποδόµηση υλικών. Οι µέθοδοι περιλαµβάνουν: α) την Μοριακή 

∆υναµική και πιο συγκεκριµένα το µοντέλο της αναπνέουσας σφαίρας για την προσοµοίωση 

των αρχικών σταδίων της φωτοαποδόµησης, β) την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων για 

τη µελέτη της διάδοσης των κυµάτων πίεσης έξω από το κελί της Μ∆ προσοµοίωσης και γ) 

ανάλυση Monte Carlo για την προσοµοίωση διόγκωσης του νέφους που δηµιουργείται από 

την αποδόµηση. Η µεθοδολογία πολλαπλής κλίµακας περιλαµβάνει όλα τα φαινόµενα που 

λαµβάνουν χώρα κατά την διάρκεια της φωτοαποδόµησης, µε την κατάλληλη ακρίβεια που 

απαιτεί κάθε µια από αυτές και ταυτοχρόνως περιγράφει επαρκώς την αλληλεπίδρασή τους. 

31


32 

Σχήµα 2.4: Σχηµατική αναπαράσταση της ιεραρχίας των µεθόδων προσοµοίωσης 

πολλαπλής κλίµακας [45] 

Η ιεραρχία των υπολογιστικών µεθόδων έχει ως εξής. Στο πρώτο µέρος (Part A) 

παρουσιάζεται η αλληλεπίδραση σε ατοµικό επίπεδο και χρησιµοποιείται για την µελέτη της 

ταλάντωσης των ατόµων λόγο της προσβολής τους από Laser ακτινοβολία. Ακολούθως στο 

δεύτερο µέρος (Part B) το πλέγµα αυξάνει σε διαστάσεις για την µελέτη της αντίδρασης 

οµάδων ατόµων στην ακτινοβολία. Αυτό επιτυγχάνεται µε την οµαδοποίηση αυτών και 

χρήση του µοντέλου της αναπνέουσας σφαίρας. Στο τρίτο µέρος (Part C) µελετάται µε τη 

µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων µελετάται το φαινόµενο σε µεγαλύτερο όγκο υλικού 

και τέλος (Part D) µε χρήση της ανάλυσης Monte Carlo προσοµοιώνεται η διόγκωση του 

νέφους, το οποίο που δηµιουργείται από την αποδόµηση. 

2.4.1.2 Συνδυασµένες µελέτες Μ∆ και διθερµοκρασιακού µοντέλου 

Στην µελέτη [46] παρουσιάζεται µια µέθοδος µοντελοποίησης της τήξης µεταλλικών υλικών 

µε συνδυασµένη χρήση Μοριακής ∆υναµικής και διθερµοκρασιακού µοντέλου (Twin 

Temperature Model – TTM). Το µοντέλο συνδυάζει κλασική Μ∆ για την προσοµοίωση των


διαδικασιών εκτός ισορροπίας µε συνεχή περιγραφή της διέγερσης λόγω της ακτινοβολίας 

του Laser, κάνοντας χρήση του διθερµοκρασιακού µοντέλου. Στα µεταλλικά υλικά η 

ακτινοβολία του Laser απορροφάται από τα ηλεκτρόνια της εξωτερικής στοιβάδας. Η 

ενέργεια αυτή, σε κλάσµατα femtoseconds, ισορροπείται µεταξύ των ηλεκτρονίων και 

ακολούθως, αλλά µε βραδύτερους ρυθµούς, µετατρέπεται σε ταλαντώσεις της κρυσταλλικής 

δοµής. Σε αυτή τη συνδυαστική µέθοδο η Μ∆ υποκαθιστάται από την ΤΤΜ για τον 

υπολογισµό των θερµοκρασιών της κρυσταλλικής δοµής. Η µέθοδος της Μ∆ 

χρησιµοποιείται µόνο για την επιφανειακή περιοχή του υλικού, όπου είναι ενεργές οι 

διαδικασίες τήξης και αποδόµησης του υλικού. Στην συνέχεια και όσο αυξάνεται το βάθος η 

ΤΤΜ εφαρµόζεται για την περιγραφή των φαινοµένων. 

Η µελέτη [47] παρουσιάζει τους µηχανισµούς διάσπασης του Ni κατά την διάρκεια 

αποδόµησής του µε χρήση Femptosecond Laser, κάνοντας χρήση συνδυασµένης µεθόδου 

Μοριακής ∆υναµικής και ΤΤΜ. Γενικά υπάρχουν τρία στάδια µεταφοράς ενέργειας 

προκαλούµενα από ακτινοβολία µε Femtosecond Laser. Αρχικά τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που 

υπάρχουν µέσα στην κρυσταλλική δοµή απορροφούν την ενέργεια του παρέχεται από το 

Laser. Το στάδιο αυτό χαρακτηρίζεται από έλλειψη θερµικής ισορροπίας µεταξύ των 

ηλεκτρονίων. Κατά το δεύτερο στάδιο, τα ηλεκτρόνια έχουν περιέλθει σε θερµική ισορροπία 

και η πυκνότητα της κατάστασής τους µπορεί επαρκώς να περιγραφή από την κατανοµή 

Fermi. Παρόλα αυτά όµως, τα ηλεκτρόνια και το κρυσταλλικό πλέγµα συνεχίζουν να 

βρίσκονται σε δυο διαφορετικές θερµοκρασίες. Στο τρίτο και τελικό στάδιο τα ηλεκτρόνια 

και το κρυσταλλικό πλέγµα φτάνουν σε κατάσταση θερµικής ισορροπίας και θερµική 

διάχυση µεταφέρει την ενέργεια µέσα στον όγκο του υλικού. Το ΤΤΜ µοντέλο 

επικεντρώνεται στον µηχανισµό θέρµανσης, που αποτελείται από τον µηχανισµό 

απορρόφησης της ενέργειας του Laser από τα ηλεκτρόνια και τον µηχανισµό θέρµανσης του 

κρυσταλλικού πλέγµατος λόγω της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίων-πλέγµατος. Παρόµοια µε 

την µελέτη [46] και σε αυτή τη µελέτη η Μ∆ ανάλυση πραγµατοποιείται για τις περιοχές 

κοντά στην επιφάνεια του υλικού και ακολουθεί ΤΤΜ κατά την αύξηση του βάθους. 

Συνδυαστική ανάλυση Μ∆ και ΤΤΜ έχει επίσης χρησιµοποιηθεί στην µελέτη [48]. Σκοπός 

της µελέτης ήταν να προσοµοιώσει την αποδόµηση µετάλλων µε χρήση Μ∆, τα 

αποτελέσµατα της οποίας ενηµερώνουν συνεχώς την µετάδοση θερµότητας δι’ αγωγής µε την 

ενέργεια η οποία µεταφέρεται από τα ελευθέρα ηλεκτρόνια σε κάθε χρονική στιγµή του 

υπολογιστικού πειράµατος. Το πρόβληµα έχει προσοµοιωθεί µονοδιάστατα (1D) και τα 

33


αποτελέσµατα δείχνουν την σχέση µεταξύ της πυκνότητας ενέργειας του Laser και του 

αριθµού αποδοµηµένων σωµατίδιων. 

34 

Σχήµα 2.5: Σχηµατική αναπαράσταση αποδόµησης µε Laser και σχέση µεταξύ 

αριθµού αποδοµηµένων σωµατιδίων και πυκνότητας ενέργειας Laser [48]. 

Στη µελέτη [49] παρουσιάζεται η φωτοαποδόµηση µεταλλικών υλικών µε χρήση 

συνδυασµένης Μοριακής ∆υναµικής και ΤΤΜ. Το πρόβληµα και εδώ έχει προσεγγισθεί 

µονοδιάστατα (1D). Η ενέργεια που προέρχεται από το Laser µεταφέρεται στο σύστηµα των 

ηλεκτρονίων (ελευθέρων και µη) του κρυσταλλικού πλέγµατος. Κατόπιν, η µετάδοση της 

θερµότητας δι’ αγωγής µέσα στο υλικό έχει προσοµοιωθεί µε την χρήση των πεπερασµένων 

διαφορών. 

Σχήµα 2.6: Σχηµατική αναπαράσταση της λύσης για την µελέτη φωτοαποδόµησης 

εφαρµόζοντας µοντέλο συνδυασµένης Μ∆ και ΤΤΜ [49]. 

Το σύστηµα των ηλεκτρονίων προσοµοιώνεται µε χρήση πεπερασµένων διαφορών. Η δέσµη 

Laser ακτινοβολεί την επιφάνεια στο επίπεδο 0 και προσδίδει ενέργεια στο σύστηµα 

σύµφωνα µε την κατανοµή της πηγής Q(x,t). Το ατοµικό σύστηµα προσοµοιώνεται µε χρήση 

Μοριακής ∆υναµικής έως το βάθος x=l και κατόπιν τούτου γίνεται χρήση πεπερασµένων 

διαφορών. 

Τα φαινόµενα που συνοδεύουν την αποδόµηση υλικών µε Femptosecond Laser, όπως οι 

µηχανισµοί µετάδοσης θερµότητας και η διάδοση των κρουστικών κυµάτων,


προσοµοιώνονται στη µελέτη [50]. Η προσοµοίωση κι εδώ γίνεται µε χρήση συνδυαστικής 

Μοριακής ∆υναµικής και ΤΤΜ. Η συνδυαστική αυτή µέθοδος µπορεί να περιγράψει και την 

µεταφορά θερµότητας δι’ αγωγής των ηλεκτρονίων αλλά και την κατάσταση θερµικής 

αστάθειας µεταξύ ηλεκτρονίων και σωµατίδιων του κρυστάλλου. Τα αποτελέσµατα 

διασταυρώνονται κάνοντας χρήση της εξίσωσης που συνδέει την κινητική ενέργεια των 

σωµατίδιων και τη θερµοκρασία τις κρυσταλλικής δοµής. Για την ΤΤΜ η θερµική 

χωρητικότητα και η θερµική αγωγιµότητα των ηλεκτρονίων εξαρτάται από τις θερµοκρασίες 

των ατόµων και των ηλεκτρονίων. ∆υο είδη συνοριακών συνθηκών έχουν χρησιµοποιηθεί 

για την παραγωγή των αποτελεσµάτων. Στην πρώτη περίπτωση ένα θερµικό λουτρό 

εκτείνεται σε µακρο-µοριακές διαστάσεις µε την βοήθεια πεπερασµένων διαφορών µε αρχική 

εξίσωση την ΤΤΜ. Για την δεύτερη περίπτωση ένα θερµικό λουτρό έχει τοποθετηθεί στο 

κατώτατο σύνορο της περιοχής Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης. 

Σχήµα 2.7: Σχηµατική αναπαράσταση του υπολογισµού µηχανισµών µετάδοσης 

θερµότητας και κρουστικών κυµάτων µε χρήση συνδυαστικού µοντέλου Μ∆ και 

TTM [50]. 

Παρατηρείται ότι ο κυρίαρχος µηχανισµός µετάδοσης θερµότητας στην αρχή του φαινοµένου 

είναι µέσω της αγωγής ηλεκτρονίων σε χρονικό διάστηµα picosecond. Κατόπιν ακολουθεί το 

θερµικό ωστικό κύµα, όπου η µετάδοση θερµότητας πραγµατοποιείται δι’ αγωγής. 

35


2.4.2 Προσοµοιώσεις κλασικής Μ∆ 

Σε συνέχεια ακλουθεί παρουσίαση και ανάλυση προσοµοιώσεων Κλασικής Μοριακής 

∆υναµικής. Ο διαχωρισµός έχει γίνει µε βάση το υλικό στο οποίο πραγµατοποιείται η 

ανάλυση και το είδος δυναµικού που έχει επιλεχθεί για να εκφράσει την αλληλεπίδραση των 

σωµατίδιων στην αρχική τους κατάσταση. 

2.4.2.1 Έκφραση δυναµικού πολλών σωµατιδίων 

Η έκφραση δυναµικού πολλών σωµατιδίων (Embedded Aton Method – ΕΑΜ ) είναι µία ηµιεµπειρική 

πολυ-σωµατιδιακή έκφραση, για τον υπολογισµό της ολικής ενέργειας ενός 

µεταλλικού συστήµατος. Στην µελέτη [51] κλασική Μοριακή ∆υναµική προσοµοίωση 

χρησιµοποιείται για την διερεύνηση της φωτοαποδόµησης Fe, µετά από προσβολή µε 

Femptosecond Laser και εξετάζεται η περίπτωση της βαθιάς διάτρησης. Ο παλµός του Laser 

έχει διάρκεια 0.1 ps και µήκος κύµατος είναι στα 800 nm. Η εξέλιξη του αποδοµηµένου 

υλικού στην περίπτωση της βαθιάς διάτρησης διαφέρει από την περίπτωση της ελεύθερης 

διαστολής. ∆υο είναι οι κύριοι παράγοντες που επηρεάζουν την τελική γεωµετρία της οπής. 

Ο πρώτος είναι η εναπόθεση του αποδοµηµένου υλικού στα τοιχώµατα της οπής σε 

συγκεκριµένο ύψος, όπου και στενεύει αυτή. Ο δεύτερος µηχανισµός έχει να κάνει µε την 

αποδόµηση σωµατίδιων (δευτερογενής αποδόµηση) που οφείλεται στην αλληλεπίδραση 

αυτών µε τα πρωταρχικώς αποδοµηµένα σωµατίδια. Οι ιδιότητες των δευτερογενώς 

αποδοµηµένων σωµατίδιων, όπως ταχύτητα και γωνιακή κατανοµή, έχουν υπολογισθεί. Ο 

ρυθµός αφαίρεσης του υλικού έχει υπολογιστεί για την περίπτωση που η αποδόµηση γίνεται 

υπό κενό και για την περίπτωση που η αποδόµηση γίνεται σε συνθήκες Ar. 

36 

Σχήµα 2.8: Στιγµιότυπα της φωτοαποδόµησης σε F=2J/cm 2 , 2 ps µετά την εφαρµογή 

του Laser. (a) εν κενώ (b) σε συνθήκες Ar [51].


Οι διαδικασίες που παρατηρήθηκαν επηρεάζουν σηµαντικά την αποµάκρυνση υλικού. Στην 

παραπάνω µελέτη, προκειµένου να περιγραφεί η αλληλεπίδραση των σωµατίδιων, 

χρησιµοποιήθηκε έκφραση δυναµικού πολλών σωµατιδίων. Ο όγκος προσοµοίωσης έχει 

διαστάσεις των 30x1x35 nm 3 και θεωρείται ικανοποιητικός για τέτοιου είδους προβλήµατα. 

Χρήση ΕΑΜ γίνεται και στην µελέτη [49] αποσκοπώντας στην διερεύνηση αποδόµησης µε 

picosecond Laser µεταλλικών υλικών. Στην προσοµοίωση περιλαµβάνονται 100 κρύσταλλοι 

Cu οι οποίοι ισορροπούν σε αρχική θερµοκρασία 300 Κ. Ο όγκος προσοµοίωσης έχει 

επιφάνεια τετραγωνικής διατοµής και διαστάσεων Α=2.169x2.169 nm 2 . Κάνοντας χρήση 

περιοδικών συνοριακών συνθηκών στις κάθετες πλευρές του κεντρικού κελιού, 

προσοµοιώνεται η συµπεριφορά του υλικού υπό την ακτίνα Laser. Προκύπτει συµφωνία των 

αποτελεσµάτων της προσοµοίωσης µε πειραµατικά αποτελέσµατα, όπως φαίνεται και από το 

Σχήµα 2.9. 

Σχήµα 2.9: Ρυθµός φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την πυκνότητα ενέργειας Laser 

για ακτινοβόληση διάρκειας 0.5 ps [49] 

Στη µελέτη [50] η Μοριακή ∆υναµική προσοµοίωση βασίζεται στην έκφραση δυναµικού 

ΕΑΜ. Σκοπός αυτής είναι να προσοµοιώσει την αποδόµηση ενός παχέος µεταλλικού στόχου 

µετά την ακτινοβόλησή του µε Femtosecond Laser και να διερευνήσει τους µηχανισµούς 

µετάδοσης θερµότητας και διάδοσης των κρουστικών κυµάτων. Το τµήµα της Μ∆ 

προσοµοίωσης του Al αποτελείται από 80,000 άτοµα και έχει διαστάσεις 4.04x4.04x80.9 

nm 3 . 

Στη µελέτη [52] εξετάζεται µε χρήση Μ∆ η επίδραση των διαφορετικών εκφράσεων 

δυναµικού. Εξετάζεται το ίδιο πρόβληµα µε δυο εκφράσεις δυναµικού, τόσο ΕΑΜ όσο και µε 

προσέγγιση δυναµικού ζεύγους σωµατίδιων, για την περιγραφή της φωτοαποδόµησης 

37


σιδήρου µε Laser. Η σύγκριση µεταξύ των δυο αυτών µεθόδων αποκαλύπτει τις βέλτιστες 

περιοχές χρήσης των δυο εκφράσεων δυναµικού. Η ακρίβεια των αποτελεσµάτων των δυο 

µορφών έκφρασης του δυναµικού συγκρίνεται µε βάση την θερµοκρασία τήξης και τον 

συντελεστή θερµικής διαστολής. Η θερµοκρασία τήξης έχει θεωρητικά υπερυπολογισθεί 

µόνο κατά 2% στην περίπτωση του EAM και κατά 24% για τη προσέγγιση δυναµικού ζεύγους 

σωµατιδίων, σε σύγκριση µε πειραµατικά αποτελέσµατα. 

38 

Σχήµα 2.10: ΧΥ τοµή κρυσταλλικής δοµής σιδήρου σε θερµοκρασία τήξης (a) µε 

προσέγγιση δυναµικού ζεύγους σωµατίδιων, (b) µε προσέγγιση δυναµικού πολλών 

σωµατιδίων. 

2.4.2.2 Προσέγγιση δυναµικού µε ζεύγος σωµατιδίων 

Η πλειονότητα των αλληλεπιδρώντων δυναµικών, τα οποία χρησιµοποιούνται στην Μοριακή 

∆υναµική, βασίζεται στην προσέγγιση δυναµικού ζεύγους σωµατίδιων (Pair Potential 

Approximation – PPA) Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το PPA παρέχει µια σαφή περιγραφή 

των ιδιοτήτων του υλικού, αλλά επίσης απαιτεί λιγότερο υπολογιστικό χρόνο, σε σχέση µε τα 

δυναµικά που βασίζονται σε αλληλεπιδράσεις τριών ή και περισσότερων σωµατιδίων 

[52][53]. Εκφράσεις δυναµικών, οι οποίες έχουν προκύψει φαινοµονολογικά, συνήθως 

παρέχουν µια περισσότερο ρεαλιστική εικόνα των ατοµικών αλληλεπιδράσεων. Τα 

ακόλουθα δυναµικά: Buckingham, Morse Potential Function-MPF, Lennard-Jones (Mie’s 

reduced form) και Barker Potentials για Krypton και Xenon, ανήκουν στην παραπάνω 

κατηγορία [54]. 

2.4.2.2.1 Έκφραση δυναµικού - Lennard Jones 

Το δυναµικό Mie, η γενική µορφή του δυναµικού Lennard-Jones, δίνεται από την παρακάτω 

εξίσωση σύµφωνα µε τη µελέτη [55]:

ur 

n m 

() n m 


λ λ 

= − Εξίσωση 2.15 

r r 

Αρχικά αναπτύχθηκε για εφαρµογή σε ευγενή αέρια, άλλα συχνά συναντάται κατά την 

περιγραφή µέταλλων, στέρεων και υγρών. Η πιο κοινή µορφή στην οποία συναντάται 

ονοµάζεται δυναµικό Lennard-Jones και περιγράφεται από την εξίσωση 2.15 µε n=12 και 

m=6. 

12 6 

⎡ ⎤ 

⎛σ ⎞ ⎛σ ⎞ 

ur () = 4ε⎢⎜ 

⎟ −⎜ 

⎟ ⎥ 

⎢⎣⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎥⎦ 


Το δυναµικό παίρνει την µικρότερη τιµή Umin = -e, σε απόσταση r = 2 1/6 σ. Λόγο της απλής 

µορφής του χρησιµοποιείται συχνά για την µελέτη της αλληλεπίδρασης δυο διαφορετικών 

υλικών. Στην συγκεκριµένη περίπτωση το δυναµικό αλληλεπίδρασης του υλικού a και b 

πρώτα προσαρµόζεται στο Lennard-Jones δυναµικό και κατόπιν οι παράµετροι αντίστροφης 

αλληλεπίδρασης εab και σab µπορούν να υπολογιστούν µε την χρήση των κανόνων Lorenz- 

Berthelot. 

σ a + σ b 

εab = εaεb, σab= 


2 

Όπου εa, σa και εb και σb είναι οι παράµετροι Lenard-Jones για αλληλεπιδράσεις που 

λαµβάνουν χώρα µεταξύ των υλικών a και b [56]. 

Στην µελέτη [57] εξετάζονται οι µηχανισµοί αποδόµησης στερεών από Femtosecond Laser 

µε χρήση Μ∆ και δυναµικού Lennard-Jones σε δυο διαστάσεις. Αποδεικνύεται ότι η 

διαδικασία αποδόµησης περιλαµβάνει τρεις διαφορετικούς µηχανισµούς και είναι συνάρτηση 

της ενέργειας που προσδίδεται στο υλικό. Συγκεκριµένα η αποδόµηση προκύπτει από 

µηχανικό θρυµµατισµό και δεν απαιτείται το σύστηµα να περιέλθει σε κατάσταση αστάθειας. 

Στην κλίµακα των femptoseconds η ενέργεια αποτίθεται στο σύστηµα µε γρηγορότερο ρυθµό 

από ότι µπορεί αυτό να την απορροφήσει, µε αποτέλεσµα να γίνεται έγκλειση µεγάλων 

αποθεµάτων σε αυτό. 

39


Συνέχεια της παραπάνω µελέτης αποτελεί η [58], όπου µε χρήση των ίδιων µεθόδων 

προσοµοίωσης, δηλαδή Μ∆ µε χρήση δισδιάστατου δυναµικού Lennard-Jones, καταλήγει ότι 

οι µηχανισµοί που οδηγούν στην αποδόµηση στερεού υλικού είναι τέσσερεις. Αρχικά 

παρατηρείται καταστροφή της δοµής λόγο της µετάβασης του υλικού σε µια όχι σταθερή 

κατάσταση, ακολουθεί εκρηκτική αλλαγή φάσης αυτού, µηχανικός θρυµµατισµός και τέλος 

εξαέρωση των επιφανειακών στρωµάτων του υλικού. Η µετάβαση από τον ένα µηχανισµό 

στον επόµενο είναι συνάρτηση της ενέργειας του Laser που βάλλει την επιφάνεια του υλικού. 

40 

Σχήµα 2.11: Στιγµιότυπα φωτοαποδόµησης στερεού. Οι λατινικοί αριθµοί 

προσδιορίζουν διαφορετικές περιοχές του υλικού στόχου [58]. 

Μοριακή ∆υναµική ανάλυση και δυναµικό Lennard-Jones χρησιµοποιείται και στις µελέτες 

[58]-[60], όπου ερευνώνται φαινόµενα συνυφασµένα µε την ακτινοβόληση Ar σε στερεά 

κρυσταλλική δοµή (T 50 0 K) από Picosecond παλµούς Laser. Η δηµιουργία και µετάδοση 

κυµάτων πίεσης υπολογίζεται και αναλύεται µε ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα της Μ∆ 

προσοµοίωσης συγκρίνονται µε αποτελέσµατα που προέκυψαν από αναλυτική λύση του 

προβλήµατος. Ακόµη περισσότερο παρατηρείται ένα θερµικό κύµα, το οποίο κινείται µε την 

ίδια ταχύτητα µε το κρουστικό κύµα. Συµπληρωµατικά στη µελέτη [60] µε την χρήση των 

ίδιων τεχνικών προσοµοίωσης τα αποτελέσµατα αποκαλύπτουν ότι δεν υπάρχει σαφής 

αλλαγή φάσης του υλικού αλλά µια µεταβατική ζώνη, όπου συνυπάρχει το Ar σε στερεά και 

υγρή κατάσταση. Υπερθέρµανση παρατηρείται κατά την τήξη και εξάχνωση του υλικού. Ο 

παραγόµενος ατµός Ar εκτινάσσεται από την επιφάνεια του δοκιµίου µε ταχύτητες που 

φτάνουν τις εκατοντάδες µέτρα ανά δευτερόλεπτο.

2.4.2.2.2 Έκφραση δυναµικού - Morse 


Η γενική µορφή της έκφρασης δυναµικού κατά Morse (Morse Potential Function – MPF) 

φαίνεται στην Εξίσωση 2.18: 

−2 a( rij −r0) −a( rij −r0) 

φ( 

r ) = D[ e − 2 e ] 


ij 

Η δύναµη αλληλεπίδρασής των σωµατίδιων προκύπτει από την µερική παράγωγο του 

δυναµικού αλληλεπίδρασης τους προς την απόσταση. Η δύναµη -∂P/∂r πρέπει να είναι 

ελκτική για µεγάλες τιµές της απόστασης των σωµατίδιων r, και απωστική για µικρές τιµές 

του r. Συνεπώς η δυναµική ενέργεια P(r), πρέπει να λαµβάνει ελάχιστη τιµή στο σηµείο 

r=r0. Το µέτρο της P(r) πρέπει να ελαττώνεται ταχύτερα για r παρά για r -3 . Τέλος η 

σταθερά C11 πρέπει να είναι µεγαλύτερη από τη C12, όπου C11 και C12 είναι ελαστικές 

σταθερές και δίνονται από τις Εξισώσεις 2.19 και 2.20 και είναι θετικοί αριθµοί: 

a 

= ∑ ( ) 


C11 4 

2Vvol 

j 

4 2 

m D φ r j j 

j 

a 

= ∑ ( ) 


C12 4 

2Vvol 

j 

2 2 2 

m n D φ r 

j j j j 

Όπου ο τελεστής Dj δίνεται από την σχέση: 

D 

j 

1 d 


r dr 

j j 

σύµφωνα µε τη µελέτη [61]. Τα προαναφερθέντα µπορούν εύκολα να παρατηρηθούν στο 

Σχήµα 2.12. 

41


Σχήµα 2.12: Επίπεδα ενέργειας σύµφωνα µε την έκφραση δυναµικού κατά Morse. Η 

διαφορά των επιπέδων ενέργειας δυναµικού (ν) µειώνεται καθώς η ενέργεια πλησιάζει το 

όριο ενέργειας διάστασης. Η ενέργεια διάστασης De είναι µεγαλύτερη απο την πραγµατική 

τιµή ενέργειας που απαιτείται για τον αποχωρισµό (διάσπαση) D0 λόγω του µηδενικού 

σηµείου ενέργειας του κατώτατου επιπέδου ταλάντωσης (v = 0). 

Το MPF έχει ευρέως χρησιµοποιηθεί για τη µελέτη δυναµικής πλέγµατος, ελαστικές 

ιδιότητες µετάλλων και για την αλληλεπίδραση αερίων σωµατιδίων µε κρυσταλλικές 

επιφάνειες [54]. Ακόµη το MPF έχει χρησιµοποιηθεί για Μ∆ ανάλυση αλληλεπίδρασης 

ακτίνων Laser µε µεταλλικά υλικά, ενώσεις πυριτίου, καθώς και οργανικά υλικά 

• Οργανικά Στερεά 

Η έκφραση δυναµικού κατά Morse έχει χρησιµοποιηθεί εκτενώς σε Μ∆ προσοµοιώσεις 

οργανικών στερεών. Ακολουθεί µια περιληπτική παρουσίαση κάποιων µελετών αφού το 

αντικείµενό τους εκτείνεται πέρα από το αντικείµενο της παρούσας διατριβής 

Με χρήση δυναµικού MPF έχει προσοµοιωθεί η φθορά και η φωτοαποδόµηση που 

προκαλείται από υπερβραχείς παλµούς Laser κατά την ακτινοβόληση ιστών [62]. Στη µελέτη 

[63] παρουσιάζεται ένα µοντέλο αναπνέουσας σφαίρας σε συνδυασµό µε MPF σκοπεύοντας 

στην προσοµοίωση της φωτοαποδόµησης µε χρήση Laser, οργανικών στερεών µορίων. Η 

συµπεριφορά των µορίων, στο όριο της φωτοαποδόµησης, προσοµοιώνεται στην µελέτη [64]. 

Κάτω από το όριο της φωτοαποδόµησης παρατηρείται εξάτµιση του υλικού. Πάνω από το 

όριο, τα οργανικά µόρια του υλικού αποµακρύνονται µε εκτίναξη και αποδόµηση. Η 

42


εξάρτηση του φαινοµένου της φωτοαποδόµησης για οργανικά υλικά, από την αρχική 

θερµοκρασία του µορίου και την διάρκεια παλµού του Laser εξετάζεται στην µελέτη [65]. 

Βρέθηκε ότι ο ρυθµός αποδόµησης οργανικών υλικών εξαρτάται περισσότερο από τη 

διάρκεια του παλµού και λιγότερο από την αρχική θερµοκρασία. MPF χρησιµοποιήθηκε και 

στις µελέτες [65][66] για την εξέταση του φαινοµένου της αποδόµησης σε ένα σύστηµα 

αποτελούµενο από µαλακούς και σκληρούς ιστούς. Η µελέτη [67] κάνει µια ανασκόπηση 

των µεθόδων και των αρχών φυσικής που προέρχονται από τις Μ∆ προσοµοιώσεις οργανικών 

υλικών µε χρήση MPF και παρουσιάζει µελλοντικές δυνατότητες για µικροσκοπικές 

προσοµοιώσεις του φαινοµένου της φωτοαποδόµησης. Η χρονική εξέλιξη και χωρική 

εξάπλωση του νέφους που παράγεται από την φωτοαποδόµηση οργανικών στερεών µορίων 

εξετάστηκε από τις µελέτες [67][68] µε βάση την Μ∆ δυναµική και µε έκφραση δυναµικού 

MPF. Η δυναµική της δηµιουργίας νέφους εξετάστηκε και στην µελέτη [69], ταυτόχρονα µε 

την διερεύνηση των παραµέτρων εκτιναγµένων οργανικών συσσωµάτων. Τέλος η κατανοµή 

των ταχυτήτων εκτιναγµένων οργανικών µορίων, λόγο αποδόµησης µε Laser, παρουσιάζεται 

στην µελέτη [70]. 

• Μεταλλικά Υλικά 

Οι µελέτες [70][71] εξετάζουν την φωτοαποδόµηση Ni µε υπερβραχείς παλµούς Laser. Στις 

προσοµοιώσεις έχουν χρησιµοποιηθεί παλµοί διάρκειας 500 fs µε µήκος κύµατος στα λ=248 

nm. Η επιρροή της έντασης του Laser στη διαδικασία φωτοαποδόµησης µελετάται και 

αναλύεται. Σε συνέχεια παρουσιάζεται και η εξέλιξη νέφους πλάσµατος πάνω από την 

περιοχή κατεργασίας. 

Η επηρεαζόµενη ζώνη στην επιφάνεια του υλικού για διάρκεια 500 fs εφαρµογής της 

ακτινοβολίας εκτείνεται στα 2.5nm σε βάθος αυτού, και αυξάνεται µε αύξηση του χρόνου 

εφαρµογής της ακτινοβολίας. Η κατανοµή των ταχυτήτων των ιόντων δεν ακολουθεί την 

κατανοµή Maxwell Boltzmann αφού ο µηχανισµός εκτίναξης δεν έχει θερµικό χαρακτήρα. Οι 

ταχύτητες των φωτοαποδοµηµένων σωµατιδίων είναι της τάξης των χιλιοµέτρων ανά 

δευτερόλεπτο. Το όριο φωτοαποδόµησης βρέθηκε και είναι στα 70 mJ/cm 2 ενώ πριν από 

αυτό δεν παρατηρείται αποµάκρυνση σωµατίδιων. 

43


44 

Σχήµα 2.13: Στιγµιότυπα εξέλιξης της φωτοαποδόµησης Ni. (a) 500 fs, (b) 1 ps, (c) 6 

ps, (e) 10 ps [71]. 

Οι µηχανισµοί διάσπασης κρυστάλλων Ni κατά την διάρκεια φωτοαποδόµησης µε 

Femptosecond Laser διερευνήθηκαν µε Μ∆ προσοµοίωση και χρήση MPF στην εργασία 

[47], σε πεδία εντάσεων Laser που χρησιµοποιούνται ευρέως στην κατεργασία υλικών. 

Αναγνωρίστηκαν δυο ευδιάκριτες περιοχές εντάσεων του Laser όπου και κυριαρχούν 

διαφορετικοί µηχανισµοί αποδόµησης. Σε χαµηλές εντάσεις η µέγιστη θερµοκρασία στην 

οποία φτάνει το υλικό βρίσκεται χαµηλότερα από την θερµοκρασία εξάχνωσής του. Η 

εκρηκτική αλλαγή φάσης είναι υπαίτια για το σχηµατισµό φυσαλίδων και συνεπώς την 

αποµάκρυνση υλικού σε χαµηλότερες εντάσεις Laser. Η εκρηκτική αλλαγή φάσης είναι 

συνδυασµένο αποτέλεσµα θέρµανσης, θερµικής διόγκωσης και διάδοσης ωστικών κυµάτων, 

που προκαλούνται από τον παλµό του Laser. Όταν η ένταση του Laser είναι υψηλή 

παρατηρείται ότι το κρίσιµο σηµείο αλλαγής φάσης έχει σηµαντικό ρόλο στην αποµάκρυνση 

του υλικού. Ως συνέχεια [72] εξετάζεται µε ακρίβεια η διαδικασία αποδόµησης Ni. Από 

αυτή τη µελέτη προκύπτουν και αναλύονται οι επιπτώσεις της θερµοκρασίας και των τάσεων 

για διαφορετικές εντάσεις Laser. Αρχικά τα σωµατίδια βρίσκονται διατεταγµένα σε FCC 

κρυσταλλική διάταξη, οι αρχικές ταχύτητες κατανέµονται τυχαία και µετά από µερικά 

βήµατα προσοµοίωσης οι ταχύτητες έχουν αποκτήσει την κατανοµή Maxwell-Boltzmann. Η 

σχέση δυναµικού που χρησιµοποιήθηκε είναι η MPF και για τους υπολογισµούς των 

ταχυτήτων και των θέσεων χρησιµοποιήθηκε ο τροποποιηµένος αλγόριθµος του Verlet. 

Ακόµη, περιοδικές συνοριακές συνθήκες εφαρµόστηκαν στο µοντέλο.


Στη µελέτη [73] έχει αναπτυχθεί ένα θεωρητικό µοντέλο βασισµένο στην Μ∆, αποσκοπώντας 

στην προσοµοίωση της φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών µε Femtosecond Laser. Τα 

µεταλλικά υλικά που εξετάσθηκαν περιλαµβάνουν Al, Ni και Fe για διάρκεια ακτινοβόλησης 

0.1, 0.5 και 5 ps, µε µήκη κύµατος ακτινοβολίας στα 248 και 800 nm. Οι εντάσεις Laser που 

εξετάστηκαν ξεκινούν από το όριο της φωτοαποδόµησης έως τα 0.5 J/cm 2 . Στις εντάσεις 

κοντά στο όριο τις αποδόµησης η αποµάκρυνση του υλικού οφείλεται στις θερµο-ελαστικές 

τάσεις που προκαλούνται λόγο της ταχείας θέρµανσης. Το αποδοµηµένο υλικό αποτελείται 

από µεγάλα συσσωµατώµατα. Η αύξηση της έντασης οδηγεί σε υπερθέρµανση του όγκου 

που ακτινοβολείται και διαδοχικά σε εκρηκτική αλλαγή φάσης. Αυτό συνεπάγεται την 

αποσύνθεση του αποδοµηµένου υλικού σε σταγονίδια υγρής µορφής και αποµονωµένα 

σωµατίδια. Σε βραχέα µήκη κύµατος (248 nm) η διαδικασία εκτίναξης υλικού έχει πιο βίαια 

µορφή από ότι σε ακτινοβολία µήκους 800 nm. Επίσης το αποδοµηµένο υλικό διαλύεται 

γρηγορότερα και εµπεριέχει µικρότερα συσσωµατώµατα στο τέλος της προσοµοίωσης. Στην 

περίπτωση του Al, το οποίο έχει περίπου δυο φορές µικρότερη ενέργεια συνοχής από το Ni, η 

διάλυση του υλικού ξεκινάει γρηγορότερα και το νέφος πλάσµατος περιέχει κυρίως 

µικρότερα συσσωµατώµατα. Παρατηρείται καλή συµφωνία µεταξύ των αποτελεσµάτων της 

προσοµοίωσης και πειραµατικών, όσον αφορά το βάθος αποδόµησης και το όριο αυτής. 

Σχήµα 2.14: Το βάθος αποδόµησης ως συνάρτηση της πυκνότητας ενέργειας του 

Laser για Al και Ni. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα για το Al είναι για µήκος 

κύµατος ακτινοβολίας λ=800nm και διαρκείς τp=0.1 ps, ενώ για το Ni λ=248nm και 

τp=0.5 ps [73]. 

Στο µοντέλο έχει χρησιµοποιηθεί ο αλγόριθµος Verlet για την ολοκλήρωση των εξισώσεων 

κίνησης και η αλληλεπίδραση των σωµατιδίων περιγράφεται από την έκφραση δυναµικού 

κατά MPF. Περιοδικές συνοριακές συνθήκες έχουν εφαρµοσθεί στις x και y διαστάσεις του 

45


όγκου προσοµοίωσης. Οι διαστάσεις των όγκων προσοµοίωσης είναι όπως φαίνονται στον 

παρακάτω πίνακα 2.2 

46 

Υλικό Χ (nm) Y (nm) Z (nm) 

Al 6.1 6.1 28.4 

Ni 5.3 5.3 42.2 

Fe 4.3 4.3 37.3 

Πίνακας 2.2: ∆ιαστάσεις όγκων προσοµοίωσης [73]. 

Στην µελέτη [74] η φωτοαποδόµηση του Fe µελετάται τόσο πειραµατικά όσο και µε τη χρήση 

Μ∆. Για την πειραµατική διερεύνηση χρησιµοποιήθηκε Ti:Sapphire Laser υπερβραχέων 

παλµών. Στις προσοµοιώσεις Μ∆ το δυναµικό αλληλεπίδρασης των σωµατίδιων είναι MPF 

και αλγόριθµος Verlet χρησιµοποιείται προκείµενου να ολοκληρωθούν οι εξισώσεις κινήσεις. 

Η κυψελίδα του υλικού έχει την µορφή BCC. Η ακτίνα Laser έχει χρονική κατανοµή Gauss 

και ο αριθµός φωτονίων, τα οποία εναποτίθενται στο υλικό, ακολουθεί τον νόµο του Beer- 

Lambert. Τα άτοµα απορροφούν ενέργεια και συνεπώς αυξάνουν την κινητική τους ενέργεια. 

Ο όγκος προσοµοίωσης έχει διαστάσεις 4.3x4.3x30 nm 3 . 

Σχήµα 2.15: Στιγµιότυπα εξέλιξης της φωτοαποδόµησης σε Fe για F=0.5 J/cm 2 , 

λ=800 nm και τp=0.1ps [74]. 

Τα αποτελέσµατα δείχνουν δυο διαφορετικούς µηχανισµούς φωτοαποδόµησης. Έναν για 

µικρές και έναν για µεγάλες πυκνότητες ενέργειας Laser. Η αύξηση της διάρκειας του


παλµού προκαλεί µια σηµαντική αύξηση στις απώλειες θερµότητας µε αποτέλεσµα να 

παρατηρείται χαµηλότερος ρυθµός φωτοαποδόµησης. 

Τέλος η µελέτη [75], µε ίδιες συνθήκες και µεθοδολογία προσοµοίωσης µε τις [73][74], 

εξετάζει την δυναµική του εκτινασσόµενου υλικού προερχόµενο από φωτοαποδόµηση µε 

υπερβραχέα Laser. Η κατανοµές των ταχυτήτων των αποδοµηµένων σωµατίδιων 

καταγράφονται και µελετώνται. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα 2.16 η κατανοµή αυτή 

ακολουθεί την κατανοµή Maxwell-Boltzmann. 

Σχήµα 2.16: Κατανοµή της αξονικής ταχύτητας των αποδοµηµένων σωµατίδιων. Οι 

τελείες αντιστοιχούν στα αποτελέσµατα της Μ∆, ενώ η καµπύλη παρουσιάζει την 

κατανοµή Maxwell Boltzmann [75]. 

47


48 

Προσέγγιση 

∆υναµικού πολλών 

σωµάτων 

(ΕΑΜ) 

Nedialkov et al. [51] 

Zhigilei et al. [49] 

Yamashita et al. [50] 


Μελέτες Μοριακής ∆υναµικής Ανάλυσης 

Κλασική Μοριακή ∆υναµική Υβριδική Μοριακή ∆υναµική 

∆υναµικό 

Lenard-Jones 

Torrens I. M. [55] 

Alvarez et al. [56] 

Perez et al. [57] 

Perez et al. [58] 

Wang et al. [59] 

Wang et al. [60] 

Προσέγγιση 

∆υναµικού ζεύγους 

σωµάτων 

(PPA) 

Allen et al. [53] 

Rieth M. [54] 

∆υναµικό Morse 

Girifalco et al.[61] 

Rieth M. [54] 

Συνδυασµένη 

Μοριακή ∆υναµική µε 

Πεπερασµένα 

Στοιχεία (MD -FEA) 

Wu et al. [43] 

Smirnova et al. [44] 


Οργανικά Υλικά Μεταλλικά Υλικά 

Zhigilei et al.[62] 

Zhigilei et αl.[63] 



Williams et al. [66] 


Zeifman et al. [68] 



Atanasov et al. [71] 

Chend et al. [47] 

Cheng et al. [72] 




Πίνακας 2.3: Κατηγοριοποίηση µελετών Μοριακής ∆υναµικής 

Συνδυασµένη 

Μοριακή ∆υναµική 

µε ∆ιθερµοκρασιακή 

Ανάλυση (MD-ΤΤΜ) 


Chend et al. [47] 

Ohmura et al. [48] 


Yamashita et al. [50]

2.5 Μοριακές δυναµικές προσοµοιώσεις διεργασιών 


Η εφαρµογή της Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης, όσον αφορά τις προσοµοιώσεις κατεργασιών, 

δεν περιορίζεται µόνο στην προσοµοίωση της φωτοαποδόµησης µε υπερβραχείς παλµούς Laser. 

Χρησιµοποιείται επίσης σε επίπεδο µικρο και νανο -κλίµακας για συµβατικές διεργασίες 

αφαίρεσης υλικού, όπως η κοπή και η λείανση. Ο µηχανισµός κοπής, η φθορά των κοπτικών 

εργαλείων και η µορφολογία τους, η επιφάνεια κατεργασίας έπειτα από την κοπή σε µικρο και 

νανο τάξη µεγέθους είναι πεδία έρευνας που η χρήση της Μ∆ βρίσκει ευρεία εφαρµογή. 

Στην έρευνα [76] εξετάζεται ο ρόλος της τριβής στις κατεργασίες χρησιµοποιώντας Μ∆ 

τροποποιηµένη µε τη µέθοδο των Nose-Hoover, σύµφωνα µε την οποία η περιορισµένη 

αναλυτική περιοχή κινείται µαζί µε το κοπτικό εργαλείο. Προσοµοιώνεται η ορθογωνική κοπή 

µονοκρυσταλλικού χαλκού (Cu) από ένα κοπτικό εργαλείο διαµαντιού µε κοπτική ακµή 3 nm. 

Το πάχος του απόβλητου είναι 1 nm και η ταχύτητα κοπής είναι 20 nm/sec. Για την προσέγγιση 

της τριβής στην διεπιφάνεια κοπτικού εργαλείου και κατεργαζόµενου τµήµατος 

χρησιµοποιήθηκε το δυναµικό του Morse µε διάφορα µεγέθη ενέργειας συνοχής. Ο 

σχηµατισµός απόβλητου σε κλίµακα νανο-κατεργασίας παρατηρείται ότι είναι παρόµοιος µε 

αυτόν σε µακρο-κλίµακα. Αύξηση της ενέργειας συνοχής στην επιφάνεια επαφής, οδηγεί σε 

αύξηση της µέσης δύναµης κοπής και της θερµοκρασίας του συστήµατος. 

Σχήµα 2.17: Σχηµατισµός απόβλητου χρησιµοποιώντας ARMD και κινούµενες 

συνοριακές συνθήκες [76]. 

Επιπλέον η κατεργαζόµενη επιφάνεια υπόκεινται σε έντονες παραµορφώσεις. Η φθορά του 

κοπτικού εργαλείου έχει επίσης µοντελοποιηθεί λαµβάνοντας υπόψιν ότι το κοπτικό εργαλείο 

αποτελείται από άτοµα άνθρακα στα οποία παρατηρείται µείωση της ενέργειας συνοχής. 

49


Στην εργασία [77] µελετάται µε τη χρήση της Μ∆ η επίδραση του µηχανισµού κοπής στο 

σχηµατισµό της ακµής του κοπτικού εργαλείου από διαµάντι και στην επιφανειακή ποιότητα 

κατεργασίας µετά την κοπή. Το υπό κατεργασία υλικό είναι FCC χαλκός (Cu), ενώ το υλικό 

του κοπτικού εργαλείου είναι µονοκρυσταλλικό διαµάντι (single-crystal diamond). Όσον αφορά 

το µοντέλο της Μ∆, για την προσοµοίωση των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των ατόµων χαλκού 

και διαµαντιού χρησιµοποιείται η συνάρτηση δυναµικού του Morse, ενώ οι αλγόριθµοι 

αριθµητικής ολοκλήρωσης είναι ο Verlet και ο Schofield. Συγκεκριµένα ο Schofield 

εφαρµόζεται για την ελαχιστοποίηση των αριθµητικών λαθών. 

50 

Σχήµα 2.18: Μηχανισµός κοπής γύρω από αιχµηρής και κυκλικής άκρης κοπτικό 

εργαλείο. Ταχύτητα κοπής 100ms -1 και βάθος κοπής 10 Angstrom [77]. 

Τέλος εφαρµόζονται περιοδικές συνοριακές συνθήκες που διακρίνονται σε: υπεύθυνες για την 

µετατόπιση και σε αυτές που εξασφαλίζουν ότι η ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος 

διατηρείται σταθερή κατά την διάρκεια της προσοµοίωσης. Τα συµπεράσµατα που προκύπτουν 

από την εργασία αυτή είναι ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης ∆t, επηρεάζει την σταθερότητα της 

τροχιάς των ατόµων και ως καταλληλότερη επιλογή θεωρείται αυτή του 1 fs (10 -15 s) 

Στην εργασία [78] ερευνάται η κοπή τµηµάτων νανο-κλίµακας, µονοκρυσταλλικού πυριτίου, 

από ιδανικά κοπτικά εργαλεία µε την χρήση της Μ∆ και τα αποτελέσµατα της συγκρίνονται µε 

αυτά που έχουν εξαχθεί από προσοµοιώσεις για κοπή µέταλλων.

Σχήµα 2.19: Στιγµιότυπο της ατοµικής δοµής στην περίπτωση 

των τριών στρωµάτων [78]. 


Χρησιµοποιείται η έκφραση δυναµικού τριών σωµάτων των Stillinger-Weber. Συµπερασµατικά 

προκύπτει ότι οι κρύσταλλοι πυριτίου είναι σκληρότεροι από αυτούς των κοινών µετάλλων. Η 

πλαστική παραµόρφωση στο πυρίτιο είναι περιορισµένη χωρικά σε σχέση πάντα µε κοινά 

µέταλλα. Η δηµιουργία µετατοπίσεων εξαρτάται από την ταχύτητα κοπής και τέλος το 

απόβλητο παρατηρείται να είναι πάντα άµορφο. 

Στην εργασία [79] εξετάζεται η επίδραση της σχετικής ελατότητας του υπό κατεργασία 

εξαρτήµατος, για γωνία κοπής από -30 ο έως +60 ο , βάθος κοπής από 1.45 έως 3.62 nm, σε 

µέταλλα µε χρήση Μ∆. ∆ύο µοντέλα FCC υλικών, το ένα αναπαριστά ελατό υλικό, όπως για 

παράδειγµα χαλκό και το άλλο ένα πιο ψαθυρό υλικό, επιλέγονται µεταβάλλοντας τις 

κατάλληλες παραµέτρους στη συνάρτηση δυναµικού του Morse της Μ∆ προσοµοίωσης. 

Σχήµα 2.20: Στιγµιότυπα από την προσοµοίωση Μ∆ για κοπή ελατού υλικού σε νανο 

κλίµακα για γωνίες κοπής -15 ο , 0 ο και 15 ο [79]. 

Παρότι αρνητικές αποκοπές παρατηρούνται και στις δύο περιπτώσεις, τόσο για το ελατό όσο 

και για το ψαθυρό υλικό, θετικός σχηµατισµός υλικού που δεν έχει αποκοπεί, χωρίς διάδοση 

ρωγµής στο κοµµάτι παρατηρείται µόνο στο ελατό µέταλλο. Σε αντίθεση, αρνητικός 

51


σχηµατισµός υλικού που δεν έχει αποκοπεί, µε διάδοση ρωγµής, παρατηρείται στα ψαθυρά 

υλικά. 

Στην εργασία των Han et al. [80] µελετάται η κοπή σε νανο-κλίµακα ενός µονοκρυσταλλικού 

τµήµατος πυριτίου για ένα εύρος διαφορετικών γωνιών και ακτίνων του κοπτικού εργαλείου. Η 

Μ∆ χρησιµοποιείται για να ερευνηθούν χαρακτηριστικά, όπως της ενέργειας διάχυσης της 

κατεργασίας, η δύναµη κοπής, η ανάλυση τάσεων και να κατασκευασθεί ένα ατοµικό µοντέλο 

του κοπτικού εργαλείου και του τµήµατος που κατεργάζεται. Επιπλέον εξηγείται ο µηχανισµός 

αφαίρεσης υλικού σε µικρο-κλίµακα. Τα συµπεράσµατα που προκύπτουν είναι πως στην κοπή 

σε νανο-κλίµακα η ακτίνα ακµής του κοπτικού εργαλείου δεν µπορεί να αγνοηθεί συγκρινόµενη 

µε το βάθος κοπής, παραδοχή που είναι αποδέκτη σε προσοµοιώσεις κοπής µακροσκοπικά. 

52 

Σχήµα 2.21: Σχηµατικό µοντέλο της κοπής σε νανο-κλίµακα [80]. 

Επιπροσθέτως, τα άτοµα του κατεργαζόµενου τµήµατος υπόκεινται σε µετατόπιση, 

παραµόρφωση του κρυσταλλικού πλέγµατος, θραύση του ατοµικού δεσµού και τελικά πλαστική 

αποµάκρυνση στη µορφή απόβλητου ως σωµατίδια ή συµπλέγµατα ατόµων. 

Οι Cheng et al [81] εξετάζουν µε χρήση Μ∆ την φθορά του κοπτικού εργαλείου από διαµάντι 

σε κοπή νανο-κλίµακας. Επιπλέον µελετάται η επίδραση της θερµότητας κοπής στο υπό 

επεξεργασία υλικό. Ο µηχανισµός της φθοράς εξετάζεται από τον υπολογισµό της 

θερµοκρασίας, της τάσης στην κορυφή του διαµαντιού και την ανάλυση από τη σχέση µεταξύ 

της θερµοκρασίας και της ενέργειας εξάχνωσης των ατόµων διαµαντιού και πυριτίου. Η µικροαντοχή 

χρησιµοποιείται για να χαρακτηριστεί η αντίσταση στην φθορά του κοπτικού εργαλείου 

από διαµάντι.


Σχήµα 2.22: Η φθορά της κορυφής διαµαντιού σε AFM. Αριστερά πριν και δεξιά µετά την 

κατεργασία. [81]. 

Τα αποτελέσµατα από την προσοµοίωση της Μ∆ και τα πειράµατα µε το AFM δείχνουν ότι η 

θερµο-χηµική φθορά είναι ο βασικός µηχανισµός φθοράς του κοπτικού εργαλείου. 

Στην µελέτη [82] ερευνάται µε την χρήση της Μ∆ ένα τυπικό σύστηµα ολίσθησης διαµαντιούχαλκού 

σε επίπεδο ατοµικής κλίµακας. Τα κυριότερα συµπεράσµατα που εξάγονται από την 

έρευνα αυτή, σχετικά µε την φθορά και την τριβή σε νανο-επίπεδο, είναι ότι υπάρχουν τέσσερις 

περιοχές παραµόρφωσης σε ολισθαίνον ατοµικό σύστηµα. 

Σχήµα 2.23: Το διάγραµµα µετάβασης των περιοχών παραµόρφωσης. Το διαµάντι 

ολισθαίνει από τα δεξιά προς τα αριστερά. Όπου δ το αδιάστατο βάθος κοπής [82]. 

Αρχικώς εµφανίζεται η περιοχή µε καθόλου φθορά (no wear regime), ακολουθεί η περιοχή 

προσκόλλησης (adhering regime), στην οποία εµφανίζεται ανταλλαγή ατόµων της επιφάνειας, η 

περιοχή όργωσης (ploughing regime) που χαρακτηρίζεται από ένα κινούµενο τριγωνικό 

σχηµατισµό ατόµων και η περιοχή κοπής (cutting regime) στην οποία λαµβάνει χώρα η 

53


αφαίρεση υλικού. Στη περιοχή κοπής, η δύναµη τριβής ακολουθεί ένα απλό αναλογικό νόµο, 

ενώ στις υπόλοιπες απαιτείται ένας πιο σύνθετος υπολογισµός. Εντούτοις για να περιγραφεί η 

συµπεριφορά της τριβής µε περισσότερη ακρίβεια, η επίδραση περισσοτέρων µεταβλητών 

ολίσθησης πρέπει να ληφθεί υπόψιν. Η µετάβαση µεταξύ των διαφορετικών περιοχών 

κυβερνάται από µία σειρά από παραµέτρους. Οι πιο αξιοσηµείωτες επιδράσεις είναι ότι η 

καλύτερη λίπανση, η µικρότερη ακτίνα κορυφής, ή η µικρότερη ταχύτητα ολίσθησης φέρουν ως 

αποτέλεσµα µεγαλύτερη περιοχή µη φθοράς. 

Στην εργασία [83] µελετάται το ενδεχόµενο της πλαστικής παραµόρφωσης κρυστάλλων 

πυριτίου, για υψηλές ταχύτητες παραµόρφωσης σε θερµοκρασία δωµατίου. Το δυναµικό που 

χρησιµοποιήθηκε είναι η έκφραση δυναµικού πολλών σωµατιδίων των Stillinger-Weber. Το 

µέγεθος του κρυστάλλου προσοµοίωσης ήταν 6x16x2 nm 3 . Μία οξεία οριζόντια ακλόνητη 

ακµή κινείται κατά τη διεύθυνση x, µε διάφορες τιµές ταχύτητας ανάµεσα στα 10 και τα 50 

m/s. Οι επιφάνειες αφέθηκαν ελεύθερες και δεν χρησιµοποιήθηκαν περιοδικές συνοριακές 

συνθήκες. Το χρονόβηµα είχε ορισθεί στα 1x10 -6 sec. Σε όλες τις περιπτώσεις ταχυτήτων τα 

αποτελέσµατα είναι ποιοτικά παρόµια µε την αµορφοποίηση να παρατηρείται σε όλο το φάσµα 

ταχυτήτων. 

Σχήµα 2.24: Προβολή των ατοµικών θέσεων κατά την διάρκεια διάτµησης. Η πρώτη αριστερή 

εικόνα είναι η αρχική κατάσταση των ατόµων, η µεσαία εικόνα παρουσιάζει την κατάσταση 

µετά την παρέλευση 100.000 χρονοβηµάτων και η δεξιά εικόνα µετά 140.000 χρονοβηµάτων 

[83]. 

Στην µελέτη [84] οι Komanduri et al ερευνούν µε Μ∆ την ανισοτροπία στην σκληρότητα και 

την τριβή σε µονούς κρυστάλλους αλουµινίου, µε διάφορους προσανατολισµούς και 

διευθύνσεις. Ανάλογα µε τον κρυσταλλικό προσανατολισµό, τα άτοµα κοντά στην επιφάνεια 

βρέθηκαν να είναι κατανεµηµένα σε διαφορετικές γωνίες λόγω απωστικών δυνάµεων µεταξύ 

τους. Η σκληρότητα παρατηρήθηκε να αυξάνει σηµαντικά καθώς το βάθος του κοιλώµατος της 

επιφάνειας µειώνεται σε ατοµικές διαστάσεις. Οι τιµές σκληρότητας υπολογίσθηκαν µία τάξη 

54


µεγέθους υψηλότερες (και κοντά στην θεωρητική αντοχή) από ότι οι αντίστοιχες µηχανικές 

τιµές. 

Σχήµα 2.25: Στιγµιότυπο Μ∆ ανάλυσης ανισοτροπίας στην σκληρότητα 

την τριβή σε κρυστάλλους αλουµινίου [84]. 

Η ανισοτροπία στο συντελεστή σκληρότητας και την τριβή του αλουµινίου µονού κρυστάλλου, 

µε διαφορετικούς κρυσταλλικούς προσανατολισµούς και διευθύνσεις, βρέθηκε να είναι της 

τάξης του 29%, σχετικά κοντά στην τιµή της ανισοτροπίας της ελαστικής περιοχής (21.9%). 

Η Atomic Force Microscopy (AFM) νανο-λιθογραφική τεχνική χρησιµοποιείται για απευθείας 

κατεργασία επιφανειών υλικών και για την παραγωγή νανο-εξαρτηµάτων για συστήµατα 

MEMS. 

Σχήµα 2.26: Μοντέλο της Μ∆ για την AFM- based νανο-λιθογραφία [85]. 

55


Στην µελέτη [85], τρισδιάστατες προσοµοιώσεις Μ∆ µε δυναµικά βασιζόµενα στη συνάρτηση 

του Morse εκτελούνται, για να εκτιµηθεί η επίδραση των κρυσταλλογραφικών παραµέτρων και 

των µεταβλητών της διεργασίας πάνω στα χαρακτηριστικά της νανο-παραµόρφωσης της 

διαδικασίας νανο-λιθογραφίας µονοκρυσταλλικού χαλκού. Επιπρόσθετα ερευνώνται οι 

επιδράσεις των µεταβλητών της διαδικασίας (σχήµα εργαλείου, ταχύτητα κοπής και πάχος µη 

διαµορφωµένου αποβλήτου) στη νανο-δοµή του καλουπιού. 

Οι Fang, Wu και Liu [86] προτείνουν ένα νέο µοντέλο για την κατανόηση της αφαίρεσης υλικού 

κατά τη διεργασία της νανο-κοπής. Το µοντέλο τους αξιώνει ότι ο µηχανισµός της αφαίρεσης 

υλικού σε νανο κλίµακα βασίζεται στην διέλαση σε αντίθεση µε τον µηχανισµό διάτµησης της 

συµβατικής κοπής. 

56 

Σχήµα 2.27: Στιγµιότυπα αποτελεσµάτων Μ∆ για νανο-κοπή [86]. 

Τα αναλυτικά αποτελέσµατα από τις προσοµοιώσεις Μ∆ δείχνουν ότι βρίσκοντε σε καλή 

συµφωνία µε το προτεινόµενο µοντέλο. Επιπλέον, διεξήχθησαν πειράµατα για να ελεγχθεί το 

νέο µοντέλο για νανο-κοπή µονοκρυσταλλικού πυριτίου. Η θεωρητική µοντελοποίηση και η 

πειραµατική επαλήθευση παρουσιάζουν µια καλή ερµηνεία της διαδικασίας αφαίρεσης υλικού 

σε νανο-κλίµακα και παρέχουν µια προσέγγιση για τον θεµελιώδη έλεγχο της απόδοσης της 

κατεργασίας. 

Στην µελέτη των Pei et al [87][86] ερευνάται µε Μ∆ η κοπή χαλκού σε νανο-κλίµακα. Στην 

προσέγγισή τους, χρησιµοποιείται η έκφραση δυναµικού πολλών σωµατιδίων ΕΑΜ, για την 

αλληλεπίδραση µεταξύ των ατόµων χαλκού και του κοπτικού εργαλείου. Μελετάται επίσης η 

επίδραση της γεωµετρίας του κοπτικού εργαλείου στη διεργασία κοπής. Παρατηρείται ότι µε 

αρνητική γωνία κοπής σχηµατίζεται µικρότερο απόβλητο λόγω της µεγαλύτερης πλαστικής


παραµόρφωσης του κατεργαζόµενου υλικού. Επιπλέον καθώς η γωνία κοπής ξ µεταβάλλετε 

από – 45 ο σε 45 ο , η κατεργαζόµενη επιφάνεια γίνεται πιο λεία. 

Σχήµα 2.28: ∆ιάγραµµα µοντέλου Μ∆ για την κοπή χαλκού σε νανοκλίµακα 

[87]. 

∆ιεξήχθησαν προσοµοιώσεις Μ∆ µε εκφράσεις δυναµικού Morse και ΕΑΜ προκειµένου να 

µελετηθεί η επίδραση διαφορετικών δυναµικών στα αποτελέσµατα των προσοµοιώσεων. 

Βρέθηκε πως δεν υπάρχει µεγάλη διαφορά στο σχηµατισµό του αποβλήτου και της 

κατεργαζόµενης επιφάνειας ανάµεσα στα δύο προαναφερθέντα δυναµικά. Πάρα ταύτα, το 

δυναµικό του Morse παρέχει 5-10% υψηλότερες δυνάµεις κοπής από ότι το δυναµικό EAΜ. 

Η µελέτη των Shimizu et al [88] έχει ως στόχο να µειώσει το επηρεαζόµενο βάθος της 

κατεργαζόµενης επιφάνειας µε την εκτέλεση της λείανσης, σε ταχύτητες πάνω από την 

ταχύτητα στατικής διάδοσης του πλαστικού κύµατος των όλκιµων υλικών και επιπλέον 

σκοπεύει να αποσαφηνίσει τον µηχανισµό των υπέρ ταχέων κατεργασιών. 

Σχήµα 2.29: Στιγµιότυπο αποτελεσµάτων προσοµοίωσης Μ∆ για 

λείανση [88]. 

57


Η ανάλυση βασίζεται σε προσοµοιώσεις Μ∆ και σε πειράµατα λείανσης σε αλουµίνιο. Το 

απόβλητο κοπής σχηµατίζεται χωρίς την δηµιουργία µεγάλων πλαστικών περιοχών 

παραµόρφωσης µπροστά από τον λειαντικό τροχό, όταν η ταχύτητα λείανσης είναι ίση µε 300 

m/s για το αλουµίνιο. Όταν όµως η ταχύτητα ξεπεράσει τα 800 m/s το απόβλητο είναι σε 

κατάσταση τήξης. Η εφαπτοµενική δύναµη λείανσης µειώνεται µόλις η ταχύτητα λείανσης 

ξεπεράσει τα 300 m/s. 

58


2.6 Μακροσκοπικές και µικροσκοπικές θεωρίες µετάδοσης 

θερµότητας 

Όπως αναφέρεται και στο 1 ο κεφάλαιο της διατριβής οι µακροσκοπικές εξισώσεις µετάδοσης 

θερµότητας και ρευστοδυναµικής που παράγονται µε την υπόθεση της συνέχειας τίθενται υπό 

αµφισβήτηση στις µικρές χωρικές και χρονικές κλίµακες που πραγµατοποιείται το φαινόµενο 

της φωτοαποδόµησης, λόγω της επίδρασης υπερβραχέων παλµών Laser σε ένα υλικό. Στην 

ακόλουθη παράγραφο παρατίθενται οι µακροσκοπικές θεωρίες µετάδοσης θερµότητας και στην 

συνέχεια αναλύονται οι αντίστοιχες µικροσκοπικές θεωρίες, οι οποίες και κυριαρχούν στον 

µικρόκοσµο. 

2.6.1 Μακροσκοπικές θεωρίες 

Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι µετάδοσης θερµότητας µακροσκοπικά: α) µετάδοση δι’ αγωγής, 

εξ επαφής και δι’ ακτινοβολίας. Παρακάτω γίνεται µια περιγραφή των κλασικών νόµων που 

περιγράφουν τους τρόπους αυτούς. 

• Μετάδοση δι’ αγωγής 

Με τον όρο µετάδοση θερµότητας δι’ αγωγής εννοούµε τη διαδικασία µεταφοράς ενέργειας 

διαµέσω ύλης, η οποία προκαλείται από µια διαφορά θερµοκρασίας. Απαραίτητη είναι η 

ύπαρξη ενός µέσου για µετάδοση δια αγωγής, και η θερµότητα είναι το είδος της ενέργειας που 

µεταφέρεται διαµέσω της κίνησης των φορέων θερµότητας, όπως είναι τα µόρια. Οι 

διαδικασίες µετάδοσης θερµότητας δι’ αγωγής µοντελοποιούνται συνήθως µε βάση το νόµο 

Fourier, ο οποίος συνδέει την τοπική ροή θερµότητας µε την παράγωγο της τοπικής θερµότητας 

q = −k∇T 


όπου k είναι ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας, ο οποίος είναι µια ιδιότητα του εκάστοτε 

υλικού εξαρτώµενη από τη θερµοκρασία και έχει µονάδα µέτρησης [Wm -1 K -1 ], το q έχει 

µονάδα µέτρησης [Wm -2 ] και το ∇ είναι τελεστής παραγώγισης τέτοιος ώστε: 

∂T 

∧ ∂T 

∧ ∂T 

∧ 

∇T = x+ 

y+ 

z 


∂x 

∂y 

∂z 

59


όπου τα ∧ 

x , ∧ 

y , ∧ 

z είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τις διευθύνσεις των συντεταγµένων. Η 

θερµική αγωγιµότητα των υλικών είναι µια πολύ σηµαντική ιδιότητα. Όσο υψηλότερη η 

θερµική αγωγιµότητα, τόσο καλύτερα µεταδίδει θερµότητα το υλικό. Το Σχήµα 2.30 

παρουσιάζει τη θερµική αγωγιµότητα µερικών υλικών. Παρατηρείται ότι η εξάρτηση της 

θερµικής αγωγιµότητας από τη θερµοκρασία είναι σηµαντικά διαφορετική ανάµεσα στα 

διάφορα υλικά. Η τιµή της θερµικής αγωγιµότητας κυµαίνεται σε διάφορες τάξεις µεγέθους, 

από 10 -2 Wm -1 K -1 για αέρια έως 10 5 Wm -1 K -1 για στερεά σε χαµηλές θερµοκρασίες. 

60 

Σχήµα 2.30: Θερµική αγωγιµότητα ως συνάρτηση της θερµοκρασίας για αντιπροσωπευτικά 

υλικά [89]. 

• Μετάδοση εξ επαφής 

Μετάδοση θερµότητας εξ επαφής προκαλείται όταν ένα κινούµενο ρευστό επικαλύπτει µια 

επιφάνεια µε διαφορετική θερµοκρασία. Όταν τα µόρια του ρευστού κινούνται από το ένα 

µέρος στο άλλο µεταφέρουν µαζί τους εσωτερική ενέργεια. Στις περισσότερες περιπτώσεις, 

όπως αυτή που απεικονίζεται στο Σχήµα 2.31 ενδιαφερόµαστε για τη µετάδοση θερµότητας 

ανάµεσα σε µια στερεή επιφάνεια και ένα ρευστό. Ο ρυθµός µετάδοσης θερµότητας εξ επαφής 

Q[W] ανάµεσα στη στερεή επιφάνεια µε θερµοκρασία Τw και του ρευστού µε θερµοκρασία Ta 

εκφράζεται από το νόµο ψύξης του Newton,


Q = hA( 

Tw 

− Ta 

) 


όπου h [Wm -2 K -1 ] είναι ο συντελεστής µετάδοσης θερµότητας και Α είναι το εµβαδόν της 

επιφάνειας. Αντίθετα από το συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας, ο συντελεστής µετάδοσης 

θερµότητας δεν αποτελεί ιδιότητα του υλικού. Είναι ιδιότητα της ροής και εξαρτάται από το 

τύπο ροής, τις ιδιότητες του ρευστού και τη γεωµετρία του αντικειµένου πάνω στο οποίο ρέει το 

ρευστό. Η µετάδοση εξ επαφής χωρίζεται σε δύο τύπους: α) φυσική µετάδοση εξ επαφής, στην 

οποία η κίνηση του ρευστού προκαλείται από την ανωστική δύναµη λόγω της διαφοράς 

πυκνότητας ενός ψυχρού και ενός θερµού ρευστού και β) εξαναγκασµένη µετάδοση εξ επαφής, 

όπου το ρευστό κινείται από άλλα µέσα, όπως µια αντλία ή ένας ανεµιστήρας. Μετάδοση 

θερµότητας ανάµεσα σε ένα στερεό και ένα υγρό το οποίο υπόκειται αλλαγή φάσης, δηλαδή 

βρασµό ή συµπύκνωση, χαρακτηρίζεται επίσης από ένα συντελεστή µετάδοσης θερµότητας. 

Σχήµα 2.31: Εξαναγκασµένη µετάδοση εξ επαφής πάνω σε µια στερεή επιφάνεια. Τα ρευστά 

κοντά στην επιφάνεια σχηµατίζουν ένα συνοριακό στρώµα στο οποίο οι τιµές της θερµοκρασίας 

και της ταχύτητας στο τοίχωµα διαφέρουν από αυτές εκτός του συνοριακού στρώµατος (τα 

συνοριακά στρώµατα θερµότητας και ορµής µπορεί να έχουν διαφορετικά πάχη). 

Η µικρο-ρευστοδυναµική, η οποία ασχολείται µε τη ροή ρευστών σε µικρο- και νανο-επίπεδο, 

χαίρει ιδιαίτερης προσοχής λόγω των εφαρµογών της στη χηµική και βιολογική ανάλυση [90]. 

Πολλά είναι τα ερωτήµατα που µπορούν να τεθούν σχετικά µε τη ροή ρευστών και τη µετάδοση 

θερµότητας σε τέτοιες κλίµακες. Μπορεί να εφαρµοστεί ο νόµος διατµητικής τάσης του 

Newton σε αυτές τις κλίµακες; Ισχύει πάντα η συνοριακή συνθήκη µη-ολίσθησης; Οι 

ερωτήσεις αυτές µπορούν να βρούνε απαντήσεις µε τη βοήθεια της εξίσωσης του Boltzmann, 

την ανάλυση επιφανειακών δυνάµεων και τη Μοριακή ∆υναµική ανάλυση. 

• Μετάδοση δι’ ακτινοβολίας 

Η µετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία, ο τρίτος βασικός τρόπος µετάδοσης θερµότητας, 

διαφέρει από τη µετάδοση δι’ αγωγής ή εξ επαφής. Η µετάδοση δι’ ακτινοβολίας δεν απαιτεί 

61


την ύπαρξη κάποιου µέσου, αλλά µπορεί να µεταδοθεί σε κενό αέρος και η ενέργεια 

µεταφέρεται µε ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Ένα µελανό σώµα, το οποίο αποτελεί ένα ιδεατό 

σώµα που εκπέµπει το µέγιστο ποσό θερµικής ακτινοβολίας, ακτινοβολεί σύµφωνα µε το νόµο 

του Planck: 

62 

C 

e λ 

λ 

b, 

λ = 5 T 

1 

C2 

/ ( e −1) 


όπου C1 (= 37,417 W µm 4 cm -2 ) και C2 (= 14,388 µm K) είναι σταθερές, λ είναι το µήκος 

κύµατος της ακτινοβολίας και T είναι η απόλυτη θερµοκρασία. Η ειδική εκλυόµενη ισχύς, e , λ , 

ορίζεται ως η ακτινοβολούµενη ισχύς ανά µονάδα ακτινοβολούσας επιφάνειας και ανά µονάδα 

µήκους κύµατος 

Power 

eb, λ = Εξίσωση 2.25 

∆A∆λ 

και έχει µονάδες Wm -2 µm -1 . Παραδείγµατα φασµάτων ακτινοβολίας µελανού σώµατος 

παρουσιάζονται στo Σχήµα 2.32. Το µήκος κύµατος κατά το οποίο παρατηρείται η µέγιστη 

εκλυόµενη ισχύς δίνεται από το νόµο µετατόπισης του Wien 

λ T 2898µ 

mK 

max = Εξίσωση 2.26 

Σχήµα 2.32: Ισχύς ακτινοβολίας µελανού σώµατος ως συνάρτηση του µήκους κύµατος σε 

διαφορετικές θερµοκρασίες [89]. 

b


Ολοκληρώνοντας την Εξίσωση 2.25 σε όλα τα µήκη κύµατος παίρνουµε την ολική εκλυόµενη 

ισχύ ενός µελανού σώµατος 

∞ 

eb = ∫ eb, 

λ 

0 

dλ 

= σT 

4 


όπου σ (=5.67 x 10 -8 Wm -2 K -4 ) είναι η σταθερά Stefan-Boltzmann. Η Εξίσωση 2.27 ονοµάζεται 

νόµος Stefan-Boltzmann. Τα πραγµατικά αντικείµενα ακτινοβολούν λιγότερο από τα µελανά 

σώµατα. Η ικανότητα εκποµπής προσδιορίζει τα χαρακτηριστικά θερµικής ακτινοβολίας µίας 

επιφάνειας. Η φασµατική ικανότητα εκποµπής ορίζεται ως: 

= / b 


ε λ eλ 

e , λ 

όπου eλ είναι η φασµατική εκπεµπόµενη ισχύς της επιφάνειας. Ως µια µορφή 

ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, η διάδοση της θερµικής ακτινοβολίας µπορεί να περιγραφεί από 

τις εξισώσεις Maxwell. Συνήθως παραλείπεται η πληροφορία φάσης που µεταφέρουν τα 

ηλεκτροµαγνητικά κύµατα και αντιµετωπίζουµε τη θερµική ακτινοβολία σαν ασυνεχή 

σωµατίδια φωτονίων ή δέσµες από ακτίνες που διαδίδονται σε ευθεία γραµµή. Αυτές οι ακτίνες 

µπορούν να διαχυθούν, να απορροφηθούν κατά την πορεία τους ή να ενισχυθούν από εκποµπή 

του µέσου κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Όταν φτάνει την επιφάνεια, η θερµική ακτινοβολία 

µπορεί να ανακλαστεί, να διαχυθεί ή να µεταδοθεί. Ο υπολογισµός της µετάδοσης θερµότητας 

µε ακτινοβολία ανάµεσα σε πραγµατικές επιφάνειες απαιτεί πληροφορίες σχετικά µε τις 

ιδιότητες ακτινοβολίας της επιφάνειας, τη γεωµετρική τοποθέτηση των επιφανειών και τις 

ιδιότητες του µέσου ανάµεσα στις επιφάνειες [90][91]. 

2.6.2 Μικροσκοπικές θεωρίες 

Στη συνέχεια εξετάζονται εν συντοµία τα ακόλουθα ερωτήµατα: (1) Τι µεταφέρει τη θερµότητα 

µικροσκοπικά; (2) Πόση ενέργεια φέρει κάθε φορέας; (3) Πόσο γρήγορα µετακινούνται; και (4) 

Πόσο µακριά µετακινούνται; 

63


• Φορείς ενέργειας 

Παλαιότερες διατυπώσεις ισχυρίζονταν ότι η θερµότητα µεταφέρεται από µια ειδική µορφή 

ύλης, που ονοµάζονταν θερµίδες και η οποία υποτίθεται ότι δεν είχαν µάζα και χρώµα. Όταν 

δύο αντικείµενα µε διαφορετική θερµοκρασία βρίσκονται σε επαφή, θεωρείτο ότι από το 

αντικείµενο µε την υψηλή θερµοκρασία ρέουν θερµίδες προς το αντικείµενο µε τη χαµηλή 

θερµοκρασία. Η άποψη αυτή κυριαρχούσε στις αρχές του 19 ου αιώνα και συνέβαλε σηµαντικά 

στην ανάπτυξη της κλασικής θερµοδυναµικής. Βέβαια, σήµερα είναι γνωστό ότι το παραπάνω 

αποτελεί λανθασµένη αντίληψη. Παρόλα αυτά όµως µια λανθασµένη αρχική αντίληψη 

αποτέλεσε την βάση για την κυρίαρχη σήµερα θεωρία των φορέων ενέργειας. 

64 

Σχήµα 2.33: Μικροσκοπική διεργασία µετάδοσης θερµότητας δι’ αγωγής σε ένα αέριο. 

Η µετάδοση θερµότητας δι’ αγωγής στην πραγµατικότητα οφείλεται στην τυχαία κίνηση των 

σωµατιδίων ύλης στο σύστηµα, τα οποία µεταφέρουν ενέργεια από το ένα σηµείο στο άλλο. 

Αυτά τα σωµατίδια ύλης είναι ηλεκτρόνια, άτοµα ή µόρια αερίων, υγρών και στερεών. 

Χρησιµοποιούµε τη µετάδοση θερµότητας δι’ αγωγής σε ένα αέριο, όπως παρουσιάζεται 

σχηµατικά στο Σχήµα 2.33, για να αναπαραστήσουµε τη µικροσκοπική διαδικασία µεταφοράς 

ενέργειας. Τα αέρια µόρια κοντά στο θερµό τοίχωµα συγκρούονται συχνά µε αυτό και 

αποκτούν µεγαλύτερη κινητική ενέργεια, δηλαδή µεγαλύτερη τυχαία ταχύτητα. Αυτά τα µόρια 

βρίσκονται σε τυχαία κίνηση και έχουν την πιθανότητα να µετακινηθούν προς το άκρο µε 

χαµηλότερη θερµοκρασία. Κατά τη διαδικασία αυτή, συγκρούονται µε µόρια χαµηλότερης 

τυχαίας ταχύτητας (και εποµένως ψυχρότερα) και τους µεταδίδουν κάποια από την επιπλέον 

ενέργειά τους. Μια τέτοια διαδικασία συνεχίζεται για όλα τα γειτονικά µόρια µέχρι να αγγίξει 

τα µόρια που βρίσκονται κοντά στο ψυχρό τοίχωµα. Αυτά τα µόρια έχουν µεγαλύτερη κινητική 

ενέργεια από αυτά στο στερεό τοίχωµα και θα µεταφέρουν την παραπάνω ενέργειά τους στο 

τοίχωµα µέσω συγκρούσεων. Το αποτέλεσµα είναι ότι ενέργεια ρέει από το θερµό τοίχωµα στο 

ψυχρό λόγω της διαφοράς θερµοκρασίας ανάµεσα στα δύο τοιχώµατα. Θα πρέπει να 

διευκρινιστεί ότι η ροή ενέργειας οφείλεται στην τυχαία κίνηση των µορίων και ότι τα µόρια


δεν κινούνται απαραίτητα από τη θερµή στην ψυχρή πλευρά για να υπάρξει ροή ενέργειας. Σε 

στερεά διηλεκτρικά υλικά (ηλεκτρικοί µονωτές) θερµότητα µεταδίδεται µε την ταλάντωση των 

ατόµων. Τα άτοµα σε ένα διηλεκτρικό υλικό είναι συνδεδεµένα µε διαµοριακές δυνάµεις 

αλληλεπίδρασης. Το Σχήµα 2.34 δείχνει ένα σχέδιο του διαµοριακού δυναµικού, φ, ανάµεσα σε 

δύο άτοµα ως συνάρτηση της µεταξύ τους απόστασης, x. Η δύναµη αλληλεπίδρασης ανάµεσα 

σε δύο άτοµα είναι η παράγωγος ενός τέτοιου δυναµικού. 

− dφ 

F = Εξίσωση 2.28 

dx 

Σχήµα 2.34: Τυπικό προφίλ διαµοριακού δυναµικού. 

Εάν τα δύο άτοµα είναι αρκετά αποµακρυσµένα, υπάρχει ανάµεσά τους µια ελκτική δύναµη 

επειδή τα ηλεκτρόνια του ενός ατόµου έλκονται απο τον πυρήνα του άλλου. Όταν τα άτοµα 

είναι κοντά η δύναµη αλληλεπίδρασης γίνεται αποστική διότι επικαλύπτονται οι τροχιές των 

ηλεκτρονίων ή οι πυρήνες των διαφορετικών ατόµων. Το ελάχιστο δυναµικό καθορίζει τις 

θέσεις ισορροπίας των ατόµων. Κάθε άτοµο σε ένα στερεό ταλαντώνεται γύρω από τη θέση 

ισορροπίας του. Η κίνηση του κάθε ατόµου περιορίζεται από τα γειτονικά του άτοµα µέσω του 

διαµοριακού δυναµικού. Μια απλοποιηµένη απεικόνιση των διαµοριακών αλληλεπιδράσεων σε 

ένα κρύσταλλο είναι να αναπαρασταθούν από ένα σύστηµα µάζας ελατήριου, όπως 

παρουσιάζεται στο Σχήµα 2.35 (α). Σε ένα τέτοιο σύστηµα η ταλάντωση οποιουδήποτε ατόµου 

µπορεί να προκαλέσει την ταλάντωση ολόκληρου του συστήµατος προκαλώντας κύµατα 

κυψελίδας. Εάν η µία πλευρά του στερεού είναι θερµότερη, τα άτοµα δίπλα στην θερµότερη 

επιφάνεια θα έχουν µεγαλύτερο εύρος ταλάντωσης, το οποίο θα γίνεται αισθητό από τα άτοµα 

στην άλλη πλευρά του συστήµατος µέσα από τη διάδοση και αλληλεπίδραση των κυµάτων 

65


κυψελίδας. Αρχές κβαντοµηχανικής υποστηρίζουν ότι η ενέργεια κάθε κύµατος κυψελίδας 

είναι πεπερασµένη και πολλαπλάσιο του hv (εκτός από µια µικρή διαφοροποίηση που καλείται 

ενέργεια µηδενικού σηµείου και ισούται µε hv/2), όπου v είναι η συχνότητα του κύµατος 

κυψελίδας και h είναι η σταθερά Planck (6.6x10 -34 Js). Αυτή η ελάχιστη ενέργεια hv ενός 

κβαντισµένου κύµατος κυψελίδας ονοµάζεται phonon. Ένα phonon µε συγκεκριµένη 

συχνότητα και µήκος κύµατος είναι ένα κύµα που εκτείνεται σε όλο τον κρύσταλλο. Η 

συµβολή phonon διαφορετικών συχνοτήτων, που βρίσκονται µέσα στο στερεό, προκαλεί 

πακέτα κυµάτων που έχουν βραχεία χωρική έκταση. Αυτά τα πακέτα κυµάτων µπορούν να 

θεωρηθούν ως σωµατίδια, εφόσον είναι αρκετά µικρότερα από το µέγεθος του κρυστάλλου. 

Χρησιµοποιώντας αυτή την εικόνα σωµατιδίου phonon το σύστηµα ελατηρίων στο Σχήµα 2.35 

(α) µπορεί αν αντικατασταθεί από ένα κιβώτιο µε σωµατίδια phonon, όπως στο Σχήµα 2.35 (β). 

Η θερµότητα σε ένα διηλεκτρικό κρύσταλλο άγεται από ένα τέτοιο αέριο phonon, όπως εκείνο 

στο κιβώτιο µε µόρια αερίου στο Σχήµα 2.33. Στα µέταλλα η θερµότητα µεταδίδεται τόσο από 

τα phonon όσο και από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Όταν άτοµα συνδέονται για τη δηµιουργία 

ενός µετάλλου, µερικά ηλεκτρόνια των εξωτερικών τροχιών ελευθερώνονται από τα δεσµά τους 

µε τον πυρήνα. Αυτά τα ελεύθερα ηλεκτρόνια µπορούν να ταξιδέψουν αρκετά µακρύτερα από 

την απόσταση αλληλεπίδρασης µέχρι να διασκορπιστούν από άτοµα, ηλεκτρόνια ή 

καταναγκασµούς. Υπό αυτή την εικόνα, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια µέσα σε ένα µέταλλο 

µπορούν να θεωρηθούν ως αέριο – ένα αέριο ηλεκτρονίων. Η µετάδοση θερµότητας για το 

αέριο ηλεκτρονίων είναι παρόµοια µε αυτή που φαίνεται στο Σχήµα 2.33 για τα µόρια. Τα 

ηλεκτρόνια σε ένα µέταλλο ταξιδεύουν µε ταχύτητες τριών τάξεων µεγέθους µεγαλύτερες από 

αυτή των phonon. 

66 

(α) (β) 

Σχήµα 2.35: (α) Ένα σύστηµα µάζας-ελατηρίου που αναπαριστά αλληλοσυνδεδεµένα άτοµα σε 

ένα κρύσταλλο, και (β) µοντέλου αερίου phonon που αντικαθιστά τα στερεά άτοµα σε ένα 

κρύσταλλο.


Εποµένως, σε σύγκριση µε την ενέργεια που µεταφέρεται από τα κύµατα κυψελίδας, η ροή 

θερµότητας που µεταφέρεται από τα ηλεκτρόνια είναι γενικά αρκετά µεγαλύτερη. Ως εκ 

τούτου, στα µέταλλα οι κυρίαρχοι φορείς θερµότητας είναι τα ηλεκτρόνια. 

Η υπόθεση ότι στους ηµιαγωγούς η θερµότητα µεταδίδεται πιθανώς κατά ένα µέρος από 

phonon και κατά ένα άλλο µέρος από ηλεκτρόνια δεν είναι απόλυτα σωστή. Στην 

πραγµατικότητα, στους περισσότερους ηµιαγωγούς η θερµότητα µεταφέρεται κυρίως από τα 

phonon, διότι η πυκνότητα των ελεύθερων ηλεκτρονίων σε ένα συνηθισµένο ηµιαγωγό είναι 

σηµαντικά µικρότερη απ’ ότι σε ένα µέταλλο. Για παράδειγµα στα µέταλλα η πυκνότητα των 

ηλεκτρονίων φορέων είναι ~10 23 cm -3 , ενώ σε ένα ηµιαγωγό µικρότερη από 10 18 cm -3 . Σε 

ελαφρώς ή ενδιάµεσα νοθευµένους ηµιαγωγούς τα phonon είναι οι κυρίαρχοι φορείς. Ωστόσο, 

η συνεισφορά των ηλεκτρόνιων σε ένα πολύ νοθευµένο ηµιαγωγό είναι ικανοποιητική. 

∆εδοµένης της παραπάνω εικόνας για τους φορείς θερµότητας για τη διαδικασία της µετάδοσης 

δι’ αγωγής, η µετάδοση εξ επαφής µπορεί να γίνει σχετικά εύκολα κατανοητή, αφού η µόνη 

διαφορά µε τη δι’ αγωγής είναι ότι οι φορείς θερµότητας έχουν µια σταθερά εµφανιζόµενη µέση 

ταχύτητα που υπερτίθεται στην τυχαία τους ταχύτητα. Όταν ένα µόριο αερίου ή υγρού κινείται 

από ένα µέρος σε ένα άλλο λόγω της µη µηδενικής του µέσης ταχύτητας, µεταφέρει επίσης την 

εσωτερική του ενέργεια κατευθείαν από το ένα µέρος στο άλλο. Αυτή η απευθείας κίνηση της 

εσωτερικής ενέργειας στη µετάδοση εξ επαφής είναι πολύ διαφορετική από τη διαδικασία 

µετάδοσης δια αγωγής. Στην τελευταία, η θερµότητα µεταφέρεται λόγω ανταλλαγής ενέργειας 

των φορέων θερµότητας κατά τις κρούσεις. Μετάδοση θερµότητας δι’ αγωγής ενυπάρχει 

ακόµα και στη διαδικασία µετάδοσης εξ επαφής, διότι τα µόρια εξακολουθούν να εκτελούν 

τυχαία κίνηση. Στην πραγµατικότητα, στην εξ επαφής µετάδοση η τυχαία ταχύτητα κίνησης 

είναι συνήθως αρκετά µεγαλύτερη από τη σταθερά εµφανιζόµενη µέση ταχύτητα. 

Η θερµική ακτινοβολία περιλαµβάνει έναν άλλο φορέα θερµότητας, τα ηλεκτροµαγνητικά 

κύµατα. Σε µικροσκοπικό επίπεδο η θερµική ακτινοβολία οφείλεται στην περιοδική µεταβολή 

των φορτίων των ατόµων και των κρυστάλλων. Παρόµοια µε τα κύµατα κυψελίδας, ως 

αποτέλεσµα της κβαντοµηχανικής, τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα είναι κβαντισµένα. Ένα 

ηλεκτροµαγνητικό κύµα µε συχνότητα v µπορεί αν έχει ενέργεια που είναι πολλαπλάσιο του hv. 

Αυτό το µικρότερο κβάντο ενέργειας ενός ηλεκτροµαγνητικού πεδίου, hv, καλείται φωτόνιο. 

Και το φωτόνιο και το phonon είναι το βασικό κβάντο ενός κύµατος, το ένα για 

ηλεκτροµαγνητικά κύµατα και το άλλο για κύµατα ταλάντωσης κυψελίδας. 

67


• Επιτρεπόµενα επίπεδα ενέργειας 

Η µεταφορά ενέργειας οφείλεται στην κίνηση των φορέων που περιγράφηκαν νωρίτερα και της 

ενέργειας που µεταφέρουν. Για να περιγραφεί ποσοτικά η µετάδοση θερµότητας πρέπει να 

γνωρίζουµε την ενέργεια που σχετίζεται µε τους φορείς αυτούς. Οι πιθανές ενεργειακές 

καταστάσεις των φορέων θερµότητας καθορίζονται από αρχές κβαντοµηχανικής. Για 

ξεχωριστά άτοµα και µόρια τα ενεργειακά επίπεδα είναι συνήθως πεπερασµένα. Για 

παράδειγµα, τα επιτρεπόµενα επίπεδα ενέργειας ενός αρµονικού ταλαντωτή, ο οποίος αποτελεί 

ένα καλό µοντέλο για τις ταλαντώσεις ενός διατοµικού µορίου, όπως το Η2, δίνονται από 

68 

En = hv( 

n + 1/ 

2) 

( n = 0, 

1, 

2, 

3,...) 


(α) (β) 

Σχήµα 2.36: Απεικόνιση τυπικής σχέσης διασκορπισµού για (α) ηλεκτρόνια και (β) phonon σε 

κρυστάλλους 

όπου v είναι η θεµελιώδης συχνότητα ταλάντωσης. Το εύρος της ταλάντωσης πρέπει να είναι 

τέτοιο, ώστε η συνολική ενέργεια του µορίου να ισούται µε ένα από τα παραπάνω διακριτά 

επίπεδα ενέργειας. Στα κρυσταλλικά στερεά, η επιτρεπόµενη ενέργεια των ηλεκτρονίων και 

των phonon είναι συνάρτηση της ιδιοµορφής. Τέτοιες συναρτησιακές σχέσεις καλούνται και 

σχέσεις διασκορπισµού. Μια κυµατοµορφή k δείχνει προς την κατεύθυνση διάδοσης του 

κύµατος (κύµατα ηλεκτρονίων και phonon) και σε µέγεθος ισούται µε 2π διαιρεµένο µε το 

µήκος κύµατος. Τα Σχήµατα 2.36 (α) και (β) παρουσιάζουν παραδείγµατα των ενεργειακών 

επιπέδων ηλεκτρονίων και phonon, τα οποία αναπαρίστανται από ενέργεια ή συχνότητα, σε 

στερεά, κατά µήκος µιας συγκεκριµένης κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης, µε α να είναι η 

περιοδικότητα των ατόµων στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος, και k η κυµατοµορφή.

• Στατιστική κατανοµή των φορέων ενέργειας 


Στην πραγµατικότητα, οι φορείς ενέργειας (µόρια, ηλεκτρόνια και phonon) δεν καταλαµβάνουν 

όλα τα πιθανά ενεργειακά επίπεδα ενεργειακών φορέων. Σύµφωνα µε την κλασική 

θερµοδυναµική, ένα µη-µονωµένο σύστηµα σε κατάσταση ισορροπίας τείνει να 

ελαχιστοποιήσει την ενέργειά του. Σε ένα σύστηµα µε διαφορετικά επιτρεπόµενα ενεργειακά 

επίπεδα, οι φορείς θερµότητας θα πληρώσουν τα χαµηλότερα επίπεδα ενέργειας σε µηδενική 

θερµοκρασία. Σε υψηλότερες θερµοκρασίες κάποιοι από τους φορείς θα βρίσκονται σε 

υψηλότερα ενεργειακά επίπεδα. Οι πιο πιθανές ενεργειακές κατανοµές των φορέων 

κυβερνώνται από αρχές στατιστικής. Η κλασική στατιστική θεωρία δίνει την πυκνότητα 

πιθανότητας f(E), που ορίζεται ως η πιθανότητα εύρεσης ενός φορέα σε ενέργεια Ε ανά 

ενεργειακά διαστήµατα κοντά στην Ε, για ένα σωµατίδιο σε ένα σύστηµα σε ισορροπία και 

θερµοκρασία Τ, 

f ( E) 

−E 

/( κ BT 

) 

= Be 


όπου κΒ (=1.38 x 10 -23 J K -1 ) είναι η σταθερά Boltzmann, Τ είναι η απόλυτη θερµοκρασία και Β 

ένας παράγοντας κανονικοποίησης. Η Εξίσωση 2.30 είναι η κατανοµή Boltzmann. Για ένα 

ιδανικό µονατοµικό σύστηµα αερίου η µόνη ενέργεια κάθε ατόµου είναι η κινητική του 

ενέργεια 

m 2 2 2 

E = ( υ x + υ y + υ z ) 


2 

όπου m είναι η µάζα του ατόµου και υ x , υ y και υ z είναι οι συνιστώσες της τυχαίας ταχύτητάς 

του. Εφόσον η πιθανότητα να βρεθεί αυτό το άτοµο µε ενέργεια ανάµεσα σε µηδενική και 

άπειρη ταχύτητα πρέπει να είναι µία, παίρνουµε 

∞ 

∫ 

−∞ 

2 2 2 

( υ + υ υ ) 

∞ ∞ ⎡ m 

⎤ 

x y + z 

dυ x ∫ dυ 

y ∫ B exp⎢− 

⎥dυ 

z = 1 


⎢⎣ 

2κ 

−∞ 

−∞ 

BT 

⎥⎦ 

Υπολογίζοντας το παραπάνω ολοκλήρωµα παίρνουµε 

69


70 

2 ⎟ ⎛ m ⎞ 

B = ⎜ 

⎝ πκ BT 

⎠ 

Εποµένως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για ένα µονατοµικό αέριο είναι 

f 

( ) 

3 / 2 

3 / 2 

2 2 2 

( υ + υ υ ) 


⎛ m ⎞ ⎡ m 

⎤ 

x y + z 

v = ⎜ 

⎟ exp⎢− 

⎥ 


⎝ 2πκ 

BT 

⎠ ⎢⎣ 

2κ 

BT 

⎥⎦ 

η οποία καλείται κατανοµή Maxwell. Με αυτή τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 

µπορούµε να υπολογίσουµε άλλες αναµενόµενες τιµές (ή µέσες τιµές). Για παράδειγµα, η µέση 

ενέργεια (εσωτερική ενέργεια) ενός µονατοµικού αερίου στοιχείου είναι 

2 2 2 

( υ + υ υ ) 

∞ ∞ ∞ 

m 

m 

m x y z 

E ∫ dυ 

x ∫ dυ 

y ∫ ( υ x υ y υ z ) 

dυ 

z 

πκ BT 

κ BT 

−∞ 

−∞ 

−∞ 

⎥ ⎥ 

⎡ + ⎤ 

2 2 2 ⎛ ⎞ 

= 

+ + ⎜ 

⎟ exp⎢− 

2 

⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ 

2 ⎦ 

3 / 2 


Μετατρέποντας τις καρτεσιανές συντεταγµένες σε πολικές συντεταγµένες, η παραπάνω 

ολοκλήρωση γίνεται πολύ πιο εύκολη. Το τελικό αποτέλεσµα είναι 

3 

= κ T 


2 

E B 

Η παραπάνω έκφραση δηλώνει ότι η θερµοκρασία είναι ένα µέτρο της µέσης κινητικής 

ενέργειας για ένα µονατοµικό αέριο. Το θεώρηµα equipartition για κλασικές καταστάσεις 

συστηµάτων δηλώνει, ότι σε κατάλληλα υψηλές θερµοκρασίες (τέτοιες ώστε να ισχύει η 

κατανοµή Boltzmann) κάθε δευτεροβάθµιος όρος της µοριακής ενέργειας προσδίδει στο µόριο 

µέση ενέργεια κ T / 2 . Για ένα µονατοµικό αέριο κάθε άτοµο έχει τρεις δευτεροβάθµιες 

B 

ενεργειακές συνιστώσες από τη µεταφορική του κίνηση, όπως φαίνεται και στην Εξίσωση 2.31 

έτσι, ώστε η συνολική κινητική του ενέργεια να είναι 3κ T / 2 . Όταν τα ενεργειακά επίπεδα 

δεν είναι συνεχή, ο παράγοντας κανονικοποίησης B στην Εξίσωση 2.30 µπορεί να 

προσδιοριστεί όπως γίνεται στην εξαγωγή της κατανοµής Maxwell. Η πυκνότητα πιθανότητας 

των ηλεκτρονίων υπακούει στην κατανοµή Fermi-Dirac και τα phonon και φωτόνια στην 

κατανοµή Bose-Einstein, 

B

Fermi-Dirac distribution: 

Bose-Einstein distribution: 

1 

f ( E) 

= 

E − µ 

exp( ) + 1 

κ T 

1 

f ( E) 

= 

hv 

exp( ) −1 

κ T 

B 

B 




όπου µ είναι το χηµικό δυναµικό. Από τα παραπάνω είναι σαφές, ότι η θερµοκρασία έχει 

σηµασία µόνο όταν ασχολούµαστε µε ένα µεγάλο πλήθος µορίων. Στην ισορροπία µόνο η 

θερµοκρασία καθορίζει τη στατιστική κατανοµή όλων το φορέων θερµότητας στο σύστηµα. 

∆εν έχει νόηµα να µιλάµε για θερµοκρασία ενός και µόνο σωµατιδίου. Αλλά έχει σηµασία να 

µιλάµε για την ενέργεια ενός σωµατιδίου και τη µέση ενέργεια µιας οµάδας σωµατιδίων, ακόµα 

και εάν τα σωµατίδια είναι εκτός ισορροπίας, έτσι ώστε να µην υπακούουν στην κατανοµή 

Boltzmann (ή άλλους τύπους αναµενόµενων στατιστικών κατανοµών). Σε περίπτωση που 

αντιµετωπίζουµε ένα σύστηµα ισχυρά εκτός ισορροπίας, η θερµοκρασία θα πρέπει να γίνεται 

κατανοητή ως η τοπική µέση ενεργειακή πυκνότητα. 

• Απλή κινητική θεωρία 

Εξ ορισµού η µετάδοση θερµότητας περιλαµβάνει την κίνηση των φορέων θερµότητας που 

προκαλείται από θερµοκρασιακές διαφορές. Στατιστικά, οι φορείς θερµότητας, που γεννώνται 

από θερµικές πηγές, είναι κατανεµηµένοι τυχαία και προς όλες τις διευθύνσεις. ∆εδοµένης της 

θέσης και της ταχύτητας όλων των φορέων θερµότητας, η επικείµενη κίνησή τους καθορίζει τη 

µετάδοση ενέργειας. Παρ’ όλο που, ως αρχή, οι τροχιές αυτών των φορέων ενέργειας µπορούν 

να αντιµετωπισθούν η κάθε µια ξεχωριστά, µια τέτοια αναλυτική προσέγγιση δεν είναι συνήθως 

πρακτική λόγω του τεράστιου αριθµού φορέων που υπάρχουν σε ένα µέσο. Ωστόσο, µε την 

τάχιστη ανάπτυξη της υπολογιστικής ισχύος, µερικά προβλήµατα βρίσκονται στο πεδίο αυτής 

της προσέγγισης. Η Μοριακή ∆υναµική βασίζεται στον υπολογισµό των τροχιών κάθε µορίου 

ξεχωριστά. Στις περισσότερες περιπτώσεις απαιτείται κάποιας µορφής εύρεση µέσου όρου για 

να είναι πρακτικές οι µαθηµατικές περιγραφές της κίνησης των φορέων. Ο νόµος Fourier για 

τη µετάδοση θερµότητας, ο νόµος του Flick για τη διάχυση της µάζας και ο νόµος του Ohm για 

την ηλεκτρική αγωγή είναι αποτελέσµατα υπολογισµού ενός µέσου όρου της µικροσκοπικής 

κίνησης σε µια επαρκώς µεγάλη περιοχή και για ένα επαρκώς µεγάλο χρονικό διάστηµα. Οι 

νόµοι είναι η ορθή αναπαράσταση της µέσης συµπεριφοράς της ενέργειας, της µάζας και της 

ροής ηλεκτρικού ρεύµατος σε µακροσκοπικά συστήµατα που υπόκεινται σχετικά αργές 

71


διεργασίες. Ένας τέτοιος υπολογισµός µέσων τιµών µπορεί να µην ισχύει στον µικρόκοσµο και 

το νανόκοσµο και για διεργασίες υψηλής ταχύτητας, επειδή οι συνθήκες για τη µέση 

συµπεριφορά παύουν να πληρούνται. 

72 

Σχήµα 2.37: Απλοποιηµένη εξαγωγή του νόµου Fourier βασισµένη στην κινητική θεωρία 

Παρακάτω παρατίθεται µια απλή εξαγωγή του νόµου Fourier από την κινητική θεωρία. 

Θεωρείται ένα µονοδιάστατο µοντέλο, όπως αυτό στο Σχήµα 2.37. Θεωρώντας µια 

οποιαδήποτε επιφάνεια κάθετη στη διεύθυνση της ροής θερµότητας, το επόµενο ποσό 

θερµότητας που ρέει από την επιφάνεια αυτή θα είναι η διαφορά ανάµεσα στις ροές θερµότητας 

και σχετίζεται µε όλους τους φορείς που ρέουν προς θετικές ή αρνητικές κατευθύνσεις. 

Θεωρώντας τη θετική κατεύθυνση, οι φορείς σε µια απόσταση υxτ µπορούν να διαπεράσουν την 

επιφάνεια προτού να διασκορπιστούν. Εδώ υx είναι η συνιστώσα x της τυχαίας ταχύτητας των 

φορέων θερµότητας και τ είναι ο χρόνος χαλάρωσης – ο µέσος χρόνος που µετακινείται ένας 

φορέας προτού διασκορπιστεί και αλλάξει διεύθυνση. Έτσι η καθαρή θερµότητα που ρέει από 

τους φορείς θερµότητας διαµέσου της επιφάνειας είναι 

1 

2 

( nEυ 

x ) − ( nEυ 

) υ τ 

x υ τ 

q x = 

x− 

x+ 

x 

1 

2 

x 


όπου n είναι ο αριθµός των φορέων θερµότητας ανά µονάδα όγκου και E είναι η ενέργεια κάθε 

φορέα. Ο παράγοντας ½ υποδηλώνει, ότι µόνο οι µισοί φορείς κινούνται προς τη θετική 

κατεύθυνση x ενώ οι άλλοι µισοί κινούνται προς την αρνητική x κατεύθυνση. 

Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα Taylor η παραπάνω εξίσωση µπορεί να γραφεί ως:

q 

x 


d( 

Enυ 

x ) 

= −υ 

xτ 


dx 

2 

2 

Τώρα υποθέτουµε ότι το υx είναι ανεξάρτητο του x και ότι υ = ( 1/ 

3) 

υ , όπου υ είναι η µέση 

τυχαία ταχύτητα των φορέων θερµότητας. Η παραπάνω εξίσωση γίνετα: 

q x 

x 

2 

υ τ dU dT 

= − 


3 dT dx 

όπου U=nE είναι η τοπική πυκνότητα ενέργειας ανά µονάδα όγκου και dU/dT είναι η κατά όγκο 

ειδική θερµότητα C των φορέων θερµότητας σε σταθερό όγκο, η οποία ισούται µε την ειδική 

θερµότητα µάζας c επί την πυκνότητα ρ, δηλαδή C=ρc. Αυτό οδηγεί στο νόµο Fourier 

q x 

2 ( C / 3) 

dT / dx = −kdT 

/ dx 

= − υ τ 


Παρ’ όλο που το παραπάνω µοντέλο είναι σχετικά απλοποιηµένο, η έκφραση για τη θερµική 

αγωγιµότητα είναι στην πραγµατικότητα µια καλή προσέγγιση, 

2 

k = Cυ 

τ / 3 = CυΛ 

/ 3 = ρcυΛ 

/ 3 


όπου Λ = υτ είναι η µέση ελεύθερη διαδροµή – η µέση απόσταση που διανύει ένας φορέας 

θερµότητας µέχρι να χάσει µεγάλο ποσοστό της ενέργειας λόγω διασκορπισµού. Πολύ συχνά η 

παραπάνω εξίσωση χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της µέσης ελεύθερης οδού µε βάση τα 

πειραµατικά αποτελέσµατα για τις άλλες παραµέτρους της εξίσωσης [93]. 

• Μέση ελεύθερη διαδροµή 

Εξ ορισµού η µέση ελεύθερη διαδροµή είναι η µέση απόσταση που διανύει ενός ατόµου αερίου 

ανάµεσα σε διαδοχικές συγκρούσεις. Υποθέτοντας ότι η δραστική διάµετρος ενός ατόµου (ή 

µορίου) είναι d, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.38, η δραστική διάµετρος για να συγκρουστούν δύο 

µόρια είναι 2d και η διατοµή σύγκρουσης είναι π(2d) 2 /4. Εάν το µόριο διανύει απόσταση L, 

σαρώνει όγκο πd 2 L. Εάν ο αριθµός µοριακής συγκέντρωσης είναι n, τότε ο αριθµός των µορίων 

µε τα οποία θα συγκρουστεί το σωµατίδιο αυτό είναι nπd 2 L. Η µέση απόσταση ανάµεσα σε 

κάθε σύγκρουση είναι [94] : 

73


74 

L m 

Λ = = 2 

2 


nπd 

L πρd 

όπου έχουµε κάνει χρήση της σχέσης ότι ο αριθµός µορίων ανά µονάδα όγκου ισούται µε την 

πυκνότητα διαιρηµένη µε το µοριακό βάρος m. Η έκφραση αυτή υποθέτει ότι το θεωρούµενο 

µόριο κινείται αλλά τα άλλα µόρια στον όγκο είναι ακίνητα. Εάν εγκαταλείψουµε την υπόθεση 

αυτή οδηγούµαστε σε µια πιο ακριβή σχέση [95] 

Για ένα ιδανικό αέριο P=ρκBT/m, οπότε 

m 

Λ = 

2 


π 2ρd κ BT 

Λ = 


2 

π 2Pd 

(α) (β) 

Σχήµα 2.38: Εκτίµηση µέσης ελεύθερης οδού σε ένα κιβώτιο αέριων µορίων µε ενεργή 

διάµετρο d για κάθε µόριο: (α) η ενεργή διάµετρος για δύο µόρια να διασκορπιστούν είναι 2d, 

και (β) η µέση ελεύθερη διαδροµή είναι η µέση απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικές 

διασκορπίσεις 

Ο υπολογισµός της δραστικής διαµέτρου d ενός ατόµου ή µορίου απαιτεί λεπτοµερείς 

πληροφορίες σχετικά µε τη µοριακή και την ηλεκτρονιακή δοµή του µορίου η του ατόµου. 

Μπορούµε εύκολα να κρίνουµε ότι το d είναι ανάλογο µε τον αριθµό των ατόµων σε ένα µόριο 

και τον αριθµό των ηλεκτρονίων σε ένα άτοµο. Ας θεωρήσουµε µια τάξη µεγέθους για το d 2.5 

Å. Στις κατεργασίες εναπόθεσης λεπτών υµενίων χρησιµοποιούνται συχνά συνθήκες κενού για 

την αποφυγή ακαθαρσιών και η µεγάλη µέση ελεύθερη διαδροµή εξασφαλίζει ότι τα άτοµα 

µετακινούνται ανεµπόδιστα (βαλλιστικά) από την πηγή στην επιφάνεια εναπόθεσης. Η 

Εξίσωση 2.46 δείχνει ότι η µέση ελεύθερη διαδροµή των µορίων αερίων αυξάνεται µε αύξηση


της θερµότητας. Επίσης, η τυχαία ταχύτητα του αερίου αυξάνεται µε τη τετραγωνική ρίζα της 

θερµοκρασίας. Σε θερµοκρασία δωµατίου και υψηλότερη, η κατά mol ειδική θερµότητα 

παραµένει σταθερή και η πυκνότητα είναι ανάλογη µε το λόγο P/T. Αυτό οδηγεί στο 

συµπέρασµα ότι η θερµική αγωγιµότητα αυξάνεται µε T 1/2 για αέρια και ότι είναι ανεξάρτητη 

της πίεσης. Στο Σχήµα 2.39 φαίνεται η συµπεριφορά θερµικής αγωγιµότητας για µορφές του 

πυριτίου. 

Σχήµα 2.39: Θερµική αγωγιµότητα υµενίων πυριτίου ως συνάρτηση του πάχους του υµένιου ή 

της διαµέτρου του σύρµατος. 

• Κλασική επίδραση µεγέθους 

Ένα παράδειγµα της κλασικής επίδρασης µεγέθους είναι η µετάδοση δια αγωγής σε ένα 

χαµηλής πυκνότητας αέριο. Αυτή η επίδραση µεγέθους λαµβάνει χώρα όταν η µέση ελεύθερη 

διαδροµή αερίων µορίων γίνεται συγκρίσιµη ή µεγαλύτερη από το µέγεθος του συστήµατος. Η 

µέση ελεύθερη διαδροµή αυξάνεται µε µείωση της πίεσης του αερίου. Η πίεση του αέρα στην 

εξωτερική ατµόσφαιρα είναι πολύ χαµηλή και εποµένως η µέση ελεύθερη διαδροµή των µορίων 

είναι µεγάλη. Πολλές διεργασίες παρασκευής ηµιαγωγών εκτελούνται υπό περιβάλλον κενού, 

στο οποίο η µετάδοση θερµότητας και η ροή ρευστών µπορεί να υποπέσουν στο πεδίο 

αραιωµένου αερίου. Οι µικρο-κατεργασίες και η νανοτεχνολογία οδήγησαν σε µικρο-δοµές και 

νανο-δοµές µε χαρακτηριστικό µήκος συγκρίσιµο µε τη µέση ελεύθερη οδό αερίων µορίων 

ακόµα και σε κανονική ατµοσφαιρική πίεση. Η επίδραση της αραίωσης πρέπει να λαµβάνεται 

υπόψη για τη ροή αερίων και τη µετάδοση θερµότητας σε τέτοιες δοµές. Το µικρό µέγεθος 

75


επιφέρει εισαγωγή και άλλων παραγόντων. Για παράδειγµα, παρά το γεγονός ότι τα µόρια 

υγρών έχουν µέση ελεύθερη οδό της τάξης µερικών Angstrom, τα επιφανειακά φορτία που 

δηµιουργούνται µπορεί να επηρεάσουν σηµαντικά τη µετάδοση θερµότητας και τη ροή ρευστών 

σε κανάλια µε µέγεθος µικρότερο από 1 µm. 

Η επίδραση του µεγέθους, η οποία έχει µελετηθεί ευρέως για αέρια, µπορεί να επεκταθεί και 

στα ηλεκτρόνια και phonon, αφού και τα δύο µπορούν να θεωρηθούν ως αέρια που υπάρχουν 

µέσα σε στερεά (νέφος ηλεκτρονίων και νέφος phonon). Όταν η µέση ελεύθερη διαδροµή των 

ηλεκτρονίων και των phonon γίνεται συγκρίσιµη ή και µεγαλύτερη από το χαρακτηριστικό 

µήκος ενός αντικείµενου, τότε η µετάδοση δι’ αγωγής σε στερεά µπορεί να παρεκκλίνει 

σηµαντικά από τις προβλέψεις του νόµου Fourier. Η θερµική αγωγιµότητα των λεπτών 

ηµενίων ή νανο-συρµάτων παύει να αποτελεί ιδιότητα του υλικού, αλλά εξαρτάται και από το 

πάχος του υµενίου ή τη διάµετρο του σύρµατος. Το Σχήµα 2.39 δείχνει τη θερµική 

αγωγιµότητα του µονοκρυσταλλικού ηµενίου Si και των νάνο-συρµάτων σα συνάρτηση του 

πάχους του ηµενίου και της διαµέτρου του σύρµατος. 

• Επίδραση κβαντικού µεγέθους 

Σύµφωνα µε την κβαντοµηχανική οι φορείς ενέργειας, όπως τα ηλεκτρόνια και τα phonon, είναι 

επίσης υλικά κύµατα. Το πεπερασµένο µέγεθος του συστήµατος µπορεί να επηρεάσει τη 

µεταφορά ενέργειας αλλάζοντας τα χαρακτηριστικά κύµατος, σχηµατίζοντας στάσιµα κύµατα 

και δηµιουργώντας νέες ιδιοµορφές, οι οποίες δεν υπάρχουν στο κανονικό υλικό. Για 

παράδειγµα, τα ηλεκτρόνια σε ένα λεπτό υµένιο µπορούν να προσεγγιστούν ως στάσιµα κύµατα 

µέσα σε ένα πηγάδι δυναµικού µε άπειρο βάθος, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.40. Η συνθήκη για 

το σχηµατισµό τέτοιων στάσιµων κυµάτων είναι να ικανοποιεί το µήκος κύµατος λ την 

ακόλουθη σχέση 

76 

λ ( = 1, 

2,... 

) 

n / 2 = D 

n Εξίσωση 2.47 

όπου D είναι το πλάτος του πηγαδιού δυναµικού. ∆εδοµένου του παραπάνω µήκους κύµατος 

ηλεκτρονίου, µπορούµε να υπολογίσουµε την ορµή σύµφωνα µε τη σχέση De Broglie ανάµεσα 

σε µήκος κύµατος λ και την ορµή p 

p = h / λ 

Εξίσωση 2.48


όπου h είναι η σταθερά Planck (h = 6.6 x 10 -34 Js). Η ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι εποµένως 

E = p 2 /2m, 

h ⎡ n ⎤ 

= 

8m 

⎢ 

⎣ D ⎥ 

⎦ 

2 

En ( = 1, 

2,... 

) 

n Εξίσωση 2.49 

Για ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο, m = 9.1 x 10 -31 Kg, και D = 1µm, En = 5.9 x 10 -25 n 2 J έτσι ώστε, 

το διαχωριστικό ενέργειας ανάµεσα στα επίπεδα n =1 και n = 2 να είναι 1.8 x 10 -24 J. Σε 

θερµοκρασία δωµατίου αυτό το διαχωριστικό ενέργειας είναι πολύ µικρό σε σχέση µε την 

ενέργεια θερµικής διακύµανσης κBT = 41.6 x 10 -22 J για να µπορεί αν διαχωριστεί από τη 

θερµική διακύµανση. Επιπλέον, η µέση ελεύθερη διαδροµή του ηλεκτρόνιου σε θερµοκρασία 

δωµατίου είναι συνήθως πολύ µικρότερη από 1µm. Ωστόσο, καθώς το µέγεθος του υµένιου 

ελαττώνεται ακόµα περισσότερο, περίπου στα D≈100 Å, ο διασκορπισµός είναι αµελητέος και 

η κβαντοποίηση της ενέργειας γίνεται παρατηρήσιµη σε σχέση µε τη θερµική διακύµανση. Η 

κβαντοποίηση της ενέργειας των ηλεκτρονίων θα επηρεάσει τις ηλεκτρικές, οπτικές και 

θερµικές ιδιότητες των νανοδοµών και νανοϋλικών [95]. 

Σχήµα 2.40: Στάσιµα κύµατα σε ένα κβαντικό πηγάδι, τα δύο χαµηλότερα ενεργειακά επίπεδα 

• Φαινόµενο ταχείας µεταφοράς 

Η επίδραση του µεγέθους προκαλεί αποκλίσεις από τους συνηθισµένους νόµους θέτοντας νέες 

συνθήκες στα όρια. Η µεταφορά σε µικρές χρονικές κλίµακες µπορεί επίσης να διαφέρει 

σηµαντικά από αυτή σε µεγαλύτερες χρονικές κλίµακες. Αυτή η διαφορά οφείλεται στο ότι οι 

κλασικοί νόµοι εξάγονται συνήθως για χρονικές κλίµακες αρκετά µεγαλύτερες από τις κλίµακες 

των µικροσκοπικών διεργασιών. Μπορεί να υπολογιστεί το µέσο χρονικό διάστηµα ανάµεσα 

σε διαδοχικές συγκρούσεις phonon σαν 

77


78 

τ = Λ / υ 


όπου το Λ είναι η µέση ελεύθερη διαδροµή του phonon και υ η µέση ταχύτητα του phonon. Για 

πολλά υλικά αυτός ο χρόνος χαλάρωσης είναι της τάξης των 10 -12 µε 10 -10 s. Παρ’ όλο που 

αυτός ο χρόνος φαίνεται να είναι υπερβολικά µικρός, ένας παλµός Laser µπορεί να είναι τόσο 

βραχύς όσο µερικά femtoseconds (1 fs = 10 -15 s). Είναι φανερό ότι εάν αντιµετωπίζουµε 

διεργασίες συντοµότερες από το χρόνο χαλάρωσης, ο κλασικός νόµος διάχυσης του Fourier 

παύει να είναι αληθής, αφού η διεργασία διάχυσης πραγµατοποιείται θεωρώντας τις πολλαπλές 

συγκρούσεις των φορέων θερµότητας τέτοιες, ώστε η κίνησή τους να είναι σχεδόν τυχαία. 

Εκτός από το χρόνο χαλάρωσης υπάρχουν και άλλες χρονικές κλίµακες που πρέπει να ληφθούν 

υπόψη, όπως ο χρόνος που χαρακτηρίζει την ανταλλαγή ενέργειας ανάµεσα σε ηλεκτρόνια και 

phonon. Ένα παράδειγµα του τελευταίου αποτελεί η θέρµανση µετάλλων µε femtosecond 

Laser [96]. Ο Πίνακας 2.4 συγκεντρώνει τα βασικά χαρακτηριστικά των φορέων ενέργειας, 

συµπεριλαµβάνοντας: 

• Ελεύθερα ηλεκτρόνια σε στερεά, τα οποία απελευθερώνονται από την έλξη των 

πυρήνων να µπορούν να διαδοθούν σε στερεά αλλά και σε κενό 

• Phonon, τα οποία οφείλονται στην ταλάντωση των ατόµων σε κρυστάλλους και δεν 

µπορούν να διαδοθούν στο κενό 

• Φωτόνια, τα οποία προκαλούνται από την κίνηση ηλεκτρονίων και ατόµων 

• Μόρια, τα οποία σχηµατίζονται από την ένωση των ατόµων 

Ελεύθερα 

Ηλεκτρόνια 

Phonon Φωτόνια Μόρια 

Πηγή Ελευθερωµένα Ταλάντωση Κίνηση Άτοµα 

από δεσµούς κυψελίδας ηλεκτρονίων 

πυρήνων 

και ατόµων 

Μέσο διάδοσης Σε κενό ή µέσο Σε µέσο Σε κενό ή µέσο Σε κενό ή µέσο 

Στατιστικά Fermi-Dirac Bose-Einstein Bose-Einstein Boltzmann 

Συχνότητα ή 

πεδίο ενέργειας 

Ταχύτητα (ms -1 ) ~10 6 

0-άπειρο Αποκοπή 

Debye 

0-άπειρο 0-άπειρο 

~10 3 ~10 8 ~10 2 

Πίνακας 2.4: Βασικά χαρακτηριστικά φορέων ενέργειας [93].


Τα ηλεκτρόνια υπακούουν στα στατιστικά Fermi-Dirac και καλούνται φερµιόνια, ενώ τα 

φωτόνια και τα phonon υπακούουν τα στατιστικά Bose-Einstein και καλούνται µποζόνια. Τα 

µόρια υπακούουν τα στατιστικά (κλασικά) Boltzmann υπό τις περισσότερες θερµοκρασίες, 

εκτός όταν προσεγγίζουν το απόλυτο µηδέν, όπου στατιστικά Bose-Einstein πρέπει να ληφθούν 

υπόψη. Η κβαντοµηχανικά επιτρεπόµενη ενέργεια (ή συχνότητα) ενός φορέα βρίσκεται σε ένα 

ευρύ πεδίο, από µηδέν έως άπειρο, εκτός από τα phonon για τα οποία το µέγιστο είναι 

οριοθετηµένο. Η επιτρεπόµενη ενέργεια δείχνει µόνο τι είναι δυνατό, αλλά όχι το µέσο όρο, ο 

οποίος καθορίζεται από τη θερµοκρασία και τη στατιστική. Η τυχαία µέση ταχύτητα των 

φορέων θερµότητας αυξάνεται από τα µόρια, στα phonon, στα ηλεκτρόνια και τα φωτόνια. 

Ο Πίνακας 2.5 δείχνει τις ζώνες µεταφοράς των φορέων ενέργειας. Ο πίνακας αυτός χωρίζει τη 

µεταφορά σε διάφορες ζώνες. Η κυµατική ζώνη είναι αυτή, όπου η πληροφορία φάσης των 

φορέων ενέργειας πρέπει να ληφθεί υπόψη και που η µεταφορά είναι συνεχής. Η σωµατιδιακή 

ζώνη είναι αυτή, όπου οι πληροφορίες φάσης µπορούν να αγνοηθούν και η µεταφορά είναι µη 

συνεχής. Ανάµεσα βρίσκεται η µερικώς συνεχής ζώνη αλλαγής από κυµατική περιγραφή σε 

σωµατιδιακή περιγραφή. Το µήκος διακοπής φάσης είναι η απόσταση που απαιτείται για πλήρη 

καταστροφή της φάσης του φορέα, µέσα από διάφορες διαδικασίες σύγκρουσης, όπως 

σύγκρουση phonon-phonon και σύγκρουση phonon-ηλεκτρόνιου, και είναι συνήθως συγκρίσιµο 

µε ή λίγο µεγαλύτερο από τη µέση ελεύθερη οδό. Το µήκος συνοχής µετρά την απόσταση 

πέραν της οποίας κύµατα από τη ίδια πηγή µπορούν να συµβληθούν χωρίς να λαµβάνουµε 

υπόψη τις πληροφορίες φάσης. Οι κλίµακες του µήκους επικάλυψης στον πίνακα Πίνακας 2.5 

υποδηλώνουν την πολυπλοκότητα του να κρίνει κάποιος πότε να αντιµετωπίζει τους φορείς ως 

κύµατα και πότε ως σωµατίδια. 

79


80 

Σηµαντικές 

Κλίµακες 

Μήκους 

Κυµατική 

Περιοχή 

Μεταβατική 

Περιοχή 

Περιοχή σωµατιδίων 

D>O(lc), D>O(lp) 

Περιοχές Φωτόνια Ηλεκτρόνια Phonon Ρευστά 

D


µεγαλύτερο, ιδιαίτερα σε θερµοκρασία δωµατίου για ηλεκτρόνια και phonon. Έτσι µπορούν να 

αντιµετωπιστούν σαν να έχουν ίδια τάξη µεγέθους. Μια απαραίτητη συνθήκη για να ληφθούν 

υπ’ όψη οι κυµατικές ιδιότητες των µεταφορέων είναι η µέση ελεύθερη διαδροµή να είναι 

συγκρίσιµη ή µεγαλύτερη από το χαρακτηριστικό µέγεθος του µέσου µετάδοσης, όπως για 

παράδειγµα το πάχος ενός υµένιου ή η διάµετρος ενός σύρµατος [98]. Το χαρακτηριστικό 

µήκος δε χρειάζεται να είναι κάποιο µήκος της δοµής όπου έχουµε µετάδοση θερµότητας. Για 

παράδειγµα, στη διαδικασία ταχείας µετάδοσης θερµότητας δι’ αγωγής µπορεί να παρατηρηθεί 

µεγάλη κλίση στην καµπύλη θερµοκρασίας ακόµα και ανάµεσα σε πολύ κοντινά σηµεία. Η 

απόσταση ανάµεσα σε δύο σηµεία όπου παρατηρείται ισχυρή διαφορά κατανοµής 

θερµοκρασίας µπορεί να είναι συγκρίσιµη ή και µικρότερη από τη µέση ελεύθερη οδό. Σε µια 

τέτοια περίπτωση τα κυµατικά φαινόµενα πρέπει να ληφθούν υπ’ όψη. Επιπλέον, µια δοµή 

µπορεί να έχει περισσότερα του ενός χαρακτηριστικά µήκη. Ας θεωρήσουµε ως παράδειγµα τη 

µετάδοση θερµότητας αγωγής µε phonon σε ένα λεπτό υµένιο. Στην περίπτωση αυτή 

παρατηρούνται δύο χαρακτηριστικά µήκη: το µήκος του υµένιου και το πάχος του υµένιου. 

Εάν το µήκος του υµένιου είναι αρκετά µεγαλύτερο από τη µέση ελεύθερη οδό, τότε η 

µετάδοση κατά µήκος του επιπέδου του υµένιου µπορεί να περιγραφεί από µια εξίσωση σαν το 

νόµο Fourier. Εάν ταυτοχρόνως, το πάχος του υµένιου είναι µικρότερο από τη µέση ελεύθερη 

οδό, τότε η µετάδοση θερµότητας στο υµένιο δεν είναι ίδια µε αυτή στο υλικό κατασκευής, 

διότι παρατηρείται διασκορπισµός των phonon στα παράλληλα επίπεδα αλληλεπίδρασης. Εάν 

τα επίπεδα αυτά είναι διαχυτικά, τότε η µετάδοση θερµότητας αντιµετωπίζεται µε τους 

κλασικούς νόµους. Αντίθετα, εάν τα επίπεδα είναι κατοπτρικά, τότε η µετάδοση εµπίπτει 

στους νόµους κβαντικού µεγέθους. Με λίγα λόγια, µπορεί να παρατηρείται κβαντισµένη 

ασυνεχής µετάδοση ως προς µια διεύθυνση και συνεχής µετάδοση ως προς την παράλληλη στο 

επίπεδο του υµένιου διεύθυνση. 

Η συνθήκη που αναφέρθηκε στην προηγούµενη παράγραφο όµως δεν επαρκεί λόγω της 

επιρροής τριών ακόµα παραγόντων: 1) της διαδικασίας διασκορπισµού σε επιφάνειες 

αλληλεπίδρασης, 2) το µήκος κύµατος των φορέων και 3) το φάσµα των φορέων, όπως θα 

εξηγηθεί παρακάτω. 

Όταν ένα κύµα συναντά µια επιφάνεια αλληλεπίδρασης τότε διασκορπίζεται. Το πιο γνωστό 

παράδειγµα είναι αυτό της ανάκλασης και διάθλασης των οπτικών κυµάτων. Κύµατα 

ηλεκτρονίων και phonon συµπεριφέρονται αντίστοιχα. Σε επίπεδες επιφάνειες οι φάσεις και οι 

διευθύνσεις των ανακλασµένων και διαθλασµένων κυµάτων είναι σταθερές σε σχέση µε τα 

προσπίπτοντα κύµατα. Το ίδιο ισχύει και για περιοδικές αυλακωτές επιφάνειες 

81


αλληλεπίδρασης, όπως επιφανειακές χαραγές. Εάν όµως η επιφάνεια αλληλεπίδρασης είναι 

τραχιά τότε η κατάσταση είναι σαφώς πιο πολύπλοκη. Εάν τα στοιχεία τραχύτητας της 

επιφάνειας είναι γνωστά και αν η αλληλεπίδραση στην επιφάνεια είναι ελαστική, τότε οι 

διευθύνσεις των ανακλασµένων και διαθλασµένων κυµάτων µπορούν να καθοριστούν. Στην 

πραγµατικότητα ωστόσο το τελευταίο είναι σπάνιο και ο διασκορπισµός σε τραχιά επιφάνεια 

θεωρείται ότι προκαλεί διάχυση, δηλαδή τα ανακλώµενα και µεταδιδόµενα κύµατα 

κατανέµονται ισοτροπικά προς όλες τις διευθύνσεις. Το εάν µια επιφάνεια αλληλεπίδρασης 

είναι λεία ή τραχιά εξαρτάται από τη µέση τραχύτητα δ και το µήκος κύµατος λ, έτσι ώστε εάν 

δ/λ0.1 τότε η επιφάνεια θεωρείται τραχιά. Εάν 

τώρα παρατηρείται διάχυση στην επιφάνεια αλληλεπίδρασης, τότε οι κυµατικές ιδιότητες των 

φορέων µπορούν να αγνοηθούν. Ακόµα όµως και εάν οι διεργασίες διασκορπισµού διατηρούν 

τις σχέσεις φάσης, τα κυµατικά φαινόµενα µπορεί να µην είναι παρατηρήσιµα. Όπως 

αναφέραµε προηγουµένως πρέπει να λάβουµε υπ’ όψη και την επίδραση του µήκους κύµατος 

των φορέων ενέργειας και τη θερµική διεύρυνση του µήκους κύµατος. 

Η µετάδοση θερµότητας περιλαµβάνει συνήθως ένα ευρύ φάσµα φορέων ενέργειας. Ωστόσο, 

δε συµµετέχουν όλοι οι φορείς, µε µήκη κύµατος σε ένα µεγάλο πεδίο τιµών, εξίσου στη 

µετάδοση θερµότητας. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούµενη παράγραφο, η πιθανότητα να 

προκαλέσει ένας φορέας διέγερση προς µια συγκεκριµένη κβαντική κατάσταση εξαρτάται από 

την ενέργεια της κατάστασης και τη θερµοκρασία του αντικειµένου, ενώ κυβερνάται από τη 

κατανοµή Fermi-Dirac για ηλεκτρόνια και την κατανοµή Bose-Einstein για φωτόνια και 

phonon. Μπορούµε να υπολογίσουµε την τάξη µεγέθους του µέσου µήκους κύµατος των 

φορέων ενέργειας λt, υποθέτοντας ότι η µέση ενέργεια ενός κβάντου είναι κΒΤ/2, και 

υπολογίζοντας το αντίστοιχο µήκος κύµατος από την εξίσωση του de Broglie για υλικά κύµατα 

(λ=h/p) και από την τη σχέση του Planck (Ε=hv) για φωτόνια και phonon, µε p να είναι η ορµή, 

h η σταθερά του Planck (h=6.6x10 -34 Js) και ν η συχνότητα. Έτσι παίρνουµε: 

82 

λ = 

t 

h 

3mκ 

T 

Β 

2hυ 

λt 

= 

κ T 

Β 

(για ηλεκτρόνια και µόρια) Εξίσωση 2.51 

(για φωτόνια και phonon) Εξίσωση 2.52


µε υ να είναι η ταχύτητα των φορέων. Οι Εξισώσεις 2.51 και 2.52 αποτελούν το θερµικό µήκος 

κύµατος. 

Πέρα από το θερµικό µήκος κύµατος πρέπει να λάβουµε υπ’ όψη µας και τη διασπορά της 

ενέργειας και του µήκους κύµατος των φορέων. Όσο µεγαλύτερη είναι η διασπορά των µηκών 

κύµατος τόσο λιγότερο τα κυµατικά φαινόµενα είναι παρατηρήσιµα και εποµένως µπορούν να 

αγνοηθούν. Για να κατανοήσουµε το φαινόµενο αυτό αρκεί να αναλογιστούµε τα πειράµατα 

παρεµβολής του Young µε το φώς να περνά ανάµεσα από δύο µικρές χαραγές. Όταν οι χαραγές 

απέχουν λίγο µεταξύ τους, τότε παρατηρείται παρεµβολή, διαφορετικά το φαινόµενο δεν είναι 

παρατηρήσιµο. 

Με βάση τα παραπάνω, µπορούµε να καταλήξουµε στο συµπέρασµα ότι εάν το µέγεθος του 

µέσου είναι πολύ µικρότερο από το µήκος κύµατος και εάν η διαδικασία διασκορπισµού στις 

επιφάνειες αλληλεπίδρασης δεν καταστρέφει τις φάσεις, τότε τα κυµατικά φαινόµενα είναι 

διακριτά. Ωστόσο, στην περίπτωση που κατά τις διεργασίας διασκορπισµού στις επιφάνειες 

αλληλεπίδρασης διατηρούνται οι φάσεις, αλλά το µέσο είναι πολύ µεγαλύτερο από το θερµικό 

µήκος κύµατος, τότε τα κυµατικά φαινόµενα µπορεί να µην είναι σαφή και διακριτά. Υπό 

αυτές τις συνθήκες µερικά προβλήµατα µεταφοράς µπορούν να προσεγγιστούν χωρίς να ληφθεί 

υπ’ όψη η πληροφορία φάσης των φορέων ενέργειας. Μια τέτοια προσέγγιση, ωστόσο, µπορεί 

να οδηγήσει σε εσφαλµένα αποτελέσµατα. Αυτό µπορεί να εξηγηθεί ως εξής: Όταν έχουµε 

µετάδοση ενός κύµατος σε ένα απλού επιπέδου παχύ λεπτό υµένιο, η πολλαπλή ανάκλαση ενός 

µικρού πακέτου κυµάτων δεν παρουσιάζει επικάλυψη των ανακλώµενων κυµάτων. Αντίθετα, 

σε µια περιοδική δοµή, το ίδιο πακέτο κύµατος µπορεί να χωριστεί σε διαφορετικές επιφάνειες 

αλληλεπίδρασης και έτσι υπάρχει πιθανότητα να παρατηρηθεί επικάλυψη των διάφορων 

ανακλάσεων. Λόγω αυτής της επικάλυψης των ίδιων πακέτων κυµάτων παρουσιάζεται πάντα το 

φαινόµενο της παρεµβολής. 

83


2.7 Laser υπερβραχέων παλµών 

2.7.1 Ιστορική αναδροµή 

Η παραγωγή των υπέρστενων παλµών της τάξεως picoseconds και femtoseconds γίνεται δυνατή 

από µία τεχνική που καταδεικνύεται πρώτα στα µέσα της δεκαετίας του '60. Γύρω σε αυτή την 

περίοδο, η ανάπτυξη των πηγών Laser στερεάς κατάστασης άρχισε µε το πρώτο Laser ιόντων - 

µετάλλων [99]. Το 1964 τα παραπάνω αντικαταστάθηκαν από το Laser Nd:YAG [100] και τα 

Laser χρωστικών ουσιών [101] (dye Lasers). Τη δεκαετία του '70 δηµιουργήθηκαν οι πρώτοι 

femtosecond παλµοί Laser (~300 fs) που παρήχθησαν χρησιµοποιώντας Laser χρωστικών 

ουσιών [101][102]. Όµως, κυρίως η αναξιοπιστία αυτών των Laser οδήγησε σε ένα 

ανανεωµένο ενδιαφέρον για τα Laser στερεάς κατάστασης που παρήγαγαν το Laser Αlexandrite 

(Cr:BeAl2O2) το 1979 [103] και το Laser Ti:Sapphire (Ti:Al2Ο3) το 1982 [104]. Κατά τη 

διάρκεια της δεκαετίας του '80 αναπτύχθηκαν νέα υλικά στερεάς κατάστασης ευρείας ζώνης τα 

οποία ανανέωσαν το ενδιαφέρον για την παραγωγή υπερβραχέων παλµών δεδοµένου ότι η 

ευρεία εκποµπή φθορισµού τους έδινε τη δυνατότητα να υποστηριχθούν παλµοί που διαρκούν 

µόνο µερικά femtoseconds. Τα τελευταία χρόνια οι διάφορες τεχνικές εγκλείδωσης ρυθµών 

(modelocking) έχουν χρησιµοποιηθεί για την παραγωγή υπερβραχέων παλµών από Ti:Sapphire. 

Η σηµαντικότερη τεχνική modelocking παρουσιάστηκε το 1991 από τους Spence, Kean και 

Sibbett [105][106] και ονοµάστηκε Kerr-lens modelocking. Η ουσιαστική διαφορά µεταξύ 

αυτής και των προηγούµενων καθιερωµένων τεχνικών modelocking είναι η απουσία ενός 

πρόσθετου modelocking στοιχείου εντός της οπτικής κοιλότητας. Αυτή η σηµαντική 

ανακάλυψη οδήγησε στην παραγωγή παλµών διάρκειας 6,5 fs από ένα Laser Ti:Sapphire που 

είναι οι πιο σύντοµοι παλµοί που παράγονται από έναν ταλαντωτή Laser µέχρι και σήµερα 

[107]. Η παραγωγή των υπερβραχέων παλµών Laser συνεχίζει να είναι ένας πολύ ενεργός 

τοµέας της έρευνας. Αυτή η τεχνολογία έχει βρει πολλαπλές εφαρµογές στους τοµείς της 

βιοϊατρικής, της οπτικής, στις επικοινωνίες υψηλών ταχυτήτων και την έρευνα για τις µη 

γραµµικές ultrafast διαδικασίες στα υλικά και τις συσκευές ηµιαγωγών [108]. 

2.7.2 Κατεργασία υλικών µε Laser υπερβραχέων παλµών 

Η φωτοαποδόµηση υλικών µε Laser femtosecond χρησιµοποιεί παλµούς διάρκειας τάξης από 

δεκάδες έως εκατοντάδες femtoseconds. Κατά την διάρκεια των πρόσφατων ετών η 

84


femtosecond φωτοαποδόµηση έχει εξελιχθεί ταχύτατα και χρησιµοποιείται ευρέως στην 

κατεργασία υλικών λόγω των σηµαντικών προτερηµάτων σε σύγκριση µε τα Laser µακρύτερων 

παλµών, όπως για παράδειγµα τα nanosecond Laser [109]-[111]. Επίσης ένα γεγονός που 

χαρακτηρίζει τους υπέρστενους παλµούς Laser είναι και η απορρόφησή τους από την ύλη που 

πραγµατοποιείται σε µία κλίµακα χρόνου πολύ πιο σύντοµη από την µεταφορά ενέργειας των 

διεγερµένων ηλεκτρονίων στο ατοµικό πλέγµα (τυπικά 10 ps). Έτσι µπορεί να αποφευχθεί 

ουσιαστικά η επιφανειακή αποδόµηση των υλικών µε τη βοήθεια ενός προστατευτικού 

καλύµµατος προερχόµενο από το πλάσµα, γεγονός όµως που πραγµατοποιείται µε τη χρήση 

nanosecond Laser. Ως εκ τούτου, η χρήση femtosecond παλµών Laser έχει πολλά 

πλεονεκτήµατα για την ακριβή επεξεργασία υλικών και βρίσκει πολλές εφαρµογές ως 

αποτέλεσµα της αποδοτικής ενεργειακής εναπόθεσης και ταυτόχρονης ελαχιστοποίησης της 

µεταφοράς θερµότητας και θερµικής ζηµιάς στην περιβάλλουσα περιοχή του υλικού. Εντάσεις 

µεγαλύτερες από 10 13 W/cm 2 τοπικά, µπορούν να επιτευχθούν εύκολα µε παλµούς ενέργειας 

µόλις µερικών µJ, και η επεξεργασία διαφανών διηλεκτρικών να πραγµατοποιηθεί µέσω της 

πολυφωτονικής απορρόφησης. Σύγχρονες έρευνες µελετούν τη χρήση fs παλµών Laser σε µια 

σειρά υλικών (π.χ. µέταλλα, πολυµερή σώµατα, γυαλιά κλπ.) για την κατανόηση των 

εξαιρετικά σύντοµων αλληλεπιδράσεων υλικών - Laser µε σκοπό την εφαρµογή αυτού του 

νέου καθεστώτος επεξεργασίας σε ένα ευρύ φάσµα εφαρµογών. 

Λόγω του εξαιρετικά βραχύ παλµού των femptosecond Laser η διάχυση της θερµότητας είναι 

περιορισµένη και η ζώνη θερµικής επιρροής (Heat Affected Zone-HAZ) είναι ιδιαίτερα µικρή. 

Αυτή η υψηλά συγκεντρωµένη θέρµανση έχει σαν αποτέλεσµα την αποµάκρυνση λιγότερου 

όγκου υλικού για κάθε κύκλο διεργασίας και συνεπώς πολύ ακριβή αποτελέσµατα σε σύγκριση 

µε αυτά που δίνουν τα Laser µακρύτερων παλµών. 

∆ιάφορα πειραµατικά αποτελέσµατα από την βιβλιογραφία παρουσιάζονται στα Σχήµατα από 

2.41 έως 2.44. Στην µελέτη [112] ο Νοlte et al. χρησιµοποίησε παλµούς µε διάρκεια 170 fs, 

780 nm µήκος κύµατος και ένταση 2.5J/cm 2 , αποσκοπώντας στη δηµιουργία οπών της τάξης 

των 100µm σε έλασµα χάλυβα πάχους 200µm. 

85


86 

Σχήµα 2.41: SEM φωτογραφίες οπών που δηµιουργήθηκαν από παλµούς µε διάρκεια 

170 fs, 780 nm µήκος κύµατος και πυκνότητα ενέργειας 2.5J/cm 2 σε έλασµα χάλυβα 

πάχους 200µm [111][112]. Αριστερά είσοδος οπής, δεξιά έξοδος. 

Παροµοίως στην µελέτη [113], παλµοί Laser διάρκειας 490 fs και µήκους κύµατος 248nm 

χρησιµοποιήθηκαν για να παραχθούν αυλακώσεις σε χρυσό. Η µορφολογία της παραγόµενης 

επιφάνειας φαίνεται στο Σχήµα 2.42. 

Σχήµα 2.42: SEM φωτογραφίες αυλακώσεων σε χρυσό µε παλµούς Laser διάρκειας 

490 fs και µήκους κύµατος 248nm [113]. 

Στη µελέτη [114] δηµιουργήθηκαν ορθογώνιες οπές σε χάλυβα µε 120 fs Laser στα 248nm 

µήκος κύµατος µε αποτέλεσµα υψηλής ποιότητας µικροκατασκευές, όπως φαίνεται στα 

Σχήµατα 2.43 Β και 2.43 C.

Σχήµα 2.43: SEM φωτογραφίες διεργασιών µε παλµούς Laser διάρκειας 25 ns (A) 

και 120 fs (Β, C) [114]. 


Για να υπάρξει σύγκριση µεταξύ των παραγόµενων κατασκευών, µεταξύ femptosecond και 

nanosecond Laser µια οπή που δηµιουργήθηκε µε χρήση 20ns Laser παρουσιάζεται στο Σχήµα 

2.43 A. Πρόσφατα οι µελέτες [114][115] παρουσίασαν πολλά αποτελέσµατα διεργασιών µε 

femptosecond Laser, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.44. Μια οπή δηµιουργήθηκε σε µια στρώση 

χρωµίου πάχους 100nm κάνοντας χρήση παλµών διάρκειας 2 fs (Σχήµα 2.44 Α). Κατεργασίες 

διαφανών διηλεκτρικών πραγµατοποιούνται µε χρήση femptosecond Laser. Το Σχήµα 2.44 Β 

παρουσιάζει µια περιοδική νανο-κατασκευή σε κρύσταλλο ζαφειριού που δηµιουργήθηκε από 

femptosecond Laser, µε διάρκεια παλµού τα 30fs, µήκος κύµατος τα 800nm και ένταση 1mJ. 

∆έκα παλµοί χρησιµοποιήθηκαν για την δηµιουργία κάθε οπής. Ο ολικός χρόνος κατεργασίας 

για τις 216 οπές είναι ίσος µε 30sec. Οπές µε τάξη µεγέθους υπο-µικρού (sub-micron) έχουν 

δηµιουργηθεί και πάνω σε επιφάνεια γυαλιού (Σχήµατα 2.44 C και 2.44 D). 

A B 

C 

Σχήµα 2.44: SEM φωτογραφίες οπών που δηµιουργήθηκαν από παλµούς διάρκειας 

fs, σε µεταλλικά (Α) και διηλεκτρικά (B, C, D) υλικά. 

D 

87


Τα Σχήµατα που παρουσιάστηκαν δείχνουν ότι τα femptosecond Laser παράγουν πιο ακριβή και 

πιο καθαρά αποτελέσµατα, τα οποία δεν µπορούν να παραχθούν µε χρήση συµβατικών 

εργαλείων ή Laser µακρύτερης διάρκειας παλµών. Επίσης femptosecond Laser µπορούν να 

χρησιµοποιηθούν και για τις διεργασίες σε διαφανή υλικά, όπως το γυαλί και ο ζέφυρος, τα 

οποία είναι πολύ δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να υποστούν διεργασίες µε ευρέως 

χρησιµοποιηµένα άλλα Laser. Είναι προφανές ότι τα femptosecond Laser αποτελούν πανίσχυρα 

εργαλεία για τις κατεργασίες υλικών, ιδιαίτερα στην µικρο-κλίµακα. 

88



[1] Chryssolouris, G., (2006), “Manufacturing Systems: Theory and Practice, 2 nd Edition”, 

Springer, New York. 

[2] Meyer, M. and Pontikis, V., (1991), “Computer Simulation in Materials Science”, NATO 

ASI series, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, the Netherlands, Vol 205. 

[3] Allen, M. P. and Tildesley, D. J., (1993), “Computer Simulation in Chemical Physics”, 

NATO ASI series, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, the Netherlands, Vol 3, p. 97. 

[4] Kirchnor, Η Ο., Kubin, L P. and Pontikis, V., (1996), “Computer Simulation in Materials 

Science”, NATO ASI series, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, the Netherlands, 

Vol 308. 

[5] Feynman, R. P., Leiglhon, R. B. and Sands, M., (1964), “Feynman Lectures on Physics”, 

Addison-Wesley. 

[6] Adler, B. J. and Wainwright, T. E., (1957), “Phase Transition for a Hard Sphere System”, 

Journal of Chemical Physics Vol. 27, p.1208. 

[7] Adler, B. J. and Wainwright, T. E., (1959), “Studies in Molecular Dynamics. General 

Method”, Journal of Chemical Physics, Vol. 31, p. 459. 

[8] Catlow, C. R. Α., (1992), “Modelling of Structure and Reactivity in Zeolites”, Academic 

Press: London. 

[9] Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A.and Vetterling, W.T., (1986), “Numerical 

Recipes”, Cambridge University Press, Cambridge. 

[10] Allen, M. P. and Tildesley, D. J., (1987), “Computer Simulation of Liquids”, Oxford 

University Press: Oxford. 

[11] Theodorou, D.N. and Chakraborty, A.K. (2007), “Applied Molecular Theory for Chemical 

Engineers”, Oxford University Press, manuscript in preparation. 

[12] Frenkel, D. and Smit, B., (1996), “Understanding Molecular Simulation: from algorithms 

to applications”, Academic Press: San Diego. 

[13] Siepmann, J. I. and Frenkel, D.(1992), “Configurational bias Monte Carlo: a new 

sampling scheme for flexible chains”, Molecular. Physics. Vol. 75, pp. 59-70. 

[14] de Pablo, J. Laso, M. and Suter, U. W. J., (1992), “Estimation of the chemical potential of 

chain molecules by simulation”, Journal of Chemical Physics, Vol. 96, pp. 57-61. 

[15] Snurr, R. Q., Bell, A. T. and Theodorou, D. N., (1993), “Prediction of adsorption of 

aromatic hydrocarbons in silicalite from grand canonical Monte Carlo simulations with 

biased insertions”, Journal of Physical. Chemistry, Vol. 97, p. 13742. 

89


[16] Vlugt, T. J. H., Martin, M. G., Smit, B., Siepmann, J. I., and Krishna, R., (1998), 

“Improving the efficiency of the CBMC algorithm”, Mol. Phys., 94,pp. 727.-733. 

[17] Deem, Μ.W., (1998), “Recent contributions of statistical mechanics in chemical 

engineering”, AIChE Journal., 44, pp. 2569-2596. 

[18] Spyriouni, T., Economou, I. G. and Theodorou, D. N., (1997), “Thermodynamics of Chain 

Fluids from Atomistic Simulation: A Test of the Chain Increment Method for Chemical 

Potential”, Macromolecules, Vol. 30, p. 4744. 

[19] Metropolis, Η., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, Μ. Ν., Teller, Α. Η. and Teller, Ε. 

J.,(1953), “Equations of state calculations by fast computing machines”, Chem. Phys., SI, 

1087. 

[20] Alder, B. J., and Wainwright, T., E., (1957), “Phase transition of a hard sphere system”, 

Journal of Chemical Physics Vol. 27, pp. 1208-1209. 

[21] Alder, B. J., and Wainwright, T., E., (1959), “Studies in Molecular Dynamics I: General 

method”, Journal of Chemical Physics Vol. 31, pp. 459-466. 

[22] Rahman, A., (1964), “Correlations in the motion of atoms in liquid Argon”, Physical 

Reviews Vol. 136, pp. 405-411. 

[23] Stillinger, F. H. and Rahman, A., (1974), “Improved Simulation of liquid water by 

molecular dynamics”, Journal of Chemical Physics Vol. 60, pp. 1545-1557. 

[24] McCammon, J. A., Gelin, B. R. and Karplus, M., (1977), “Dynamics of folded proteins”, 

Nature Vol. 267, pp. 585-590. 

[25] Rapaport, D.C., (1995), “The art of molecular dynamics”, Cambridge University Press, 

Cambridge, UK. 

[26] Hansen, J.P. and MacDonald, I.A., (1990), “Theory of simple liquids”, Academic Press, 

New York. 

[27] Poulikakos, D., Arcidiacono, S. and Maruyama, S., (2003), “Molecular dynamics 

simulation in nanoscale heat transfer: a review”, Microscale Thermophysical 

Engineering, Vol. 7, pp. 181-206. 

[28] Volz, S., Saulnier, J.-B., Lallemand, M., Perrin, B., Depondt, P. and Mareschal, M., 

(1996), “Transient Fourier-law deviation by molecular dynamics in solid argon”, Physics 

Reviews B, Vol. 54 (1), pp. 340-347. 

[29] Mountain, R.D. and MacDonald, R.A., (1983), “Thermal conductivity of crystals: A 

molecular-dynamics study of heat flow in a two-dimensional crystal”, Physics Reviews B, 

Vol. 28 (6), pp. 3022-3025. 

90


[30] Tnenbaum, A., Ciccotti, G. and Gallico, R., (1982), “Stationary nonequilibrium states by 

molecular dynamics. Fourier's law”, Applied Physics A, Vol. 25 (5), pp. 2778-2787. 

[31] Poetzsch, R.H. and Böttger, H., (1994), “Interplay of disorder and anharmonicity in heat 

conduction: Molecular-dynamics study”, Physics Reviews B, Vol. 50 (21), pp. 15575- 

15763. 

[32] Volz, S.G. and Chen, G., (2000), “Molecular-dynamics simulation of thermal conductivity 

of silicon crystals”, Physics Reviews B, Vol. 61, pp. 2651-2656. 

[33] Ladd, A.J., Moran, B. and Hoover, G., (1986), “Lattice thermal conductivity: A 

comparison of molecular dynamics and anharmonic lattice dynamics”, Physics Reviews 

B, Vol. 34 (8), pp. 5058-5064. 

[34] Che, J., Cagin, T., Deng, W. and Goddard, W.A., (2000), “Thermal conductivity of 

diamond and related materials from molecular dynamics simulations”, Journal of 

Chemical Physics, Vol. 113 (16), pp. 6888-6900. 

[35] Lukes, J.R., Li, D.Y., Liang, X.G. and Tien, C.L., (2000), “Molecular Dynamics Study of 

Solid Thin-Film Thermal Conductivity”, Journal of Heat Transfer, Vol. 122, p. 536. 

[36] Porter, L.J., Li, J. and Yip, S., (1997), “Atomistic modeling of finite-temperature 

properties of β-SiC. I. Lattice vibrations, heat capacity, and thermal expansion”, Journal 

of Nuclear Materials, Vol. 246, pp. 53-59. 

[37] Li, J., Porter, L. and Yip, S., (1998), “Atomistic modeling of finite-temperature properties 

of crystalline β-SiC: II. Thermal conductivity and effects of point defects”, Journal of 

Nuclear Materials, Vol. 255, pp. 139-152. 

[38] Stillinger, F.H. and Weber, T.A., (1985), “Computer simulation of local order in 

condensed phases of silicon”, Physics Reviews B, Vol. 31 (8), pp. 5262-5271. 

[39] Goodson, K.E. and Ju, Y.S., (1999), “Heat conduction in novel electronic films”, Annual 

Reviews of Materials Science, Vol. 29, pp. 261-293. 

[40] Chen, G., (1998), “Thermal conductivity and ballistic-phonon transport in the cross-plane 

direction of superlattices”, Physics Reviews B, Vol. 57 (23), pp. 14958-14973. 

[41] Muller-Plathe, F., (1997), “A simple nonequilibrium molecular dynamics method for 

calculating the thermal conductivity”, Journal of Chemical Physics, Vol. 106, pp. 6082- 

6085. 

[42] Kubo, R., Yokota, M. and Nakajima, S., (1957), “Statistical-mechanical theory of 

irreversible processes. II. Response to thermal disturbance”, Journal of the Physical 

Society of Japan, Vol. 12 (11), pp. 1203-1211. 

91


[43] Wu H.A. Liu G.R., Han X. and Wang X.X., (2005) "An atomistic simulation method 

combining molecular dynamics with finite element technique", Chaos, Solutions and 

Fractals, doi:10.1016/j.chaos.2005.08.161 . 

[44] Smirnova J.A., Zhigilei L.V. and Garrison B.J., (1999), “A combined molecular dynamics 

and finite element method technique applied to laser induced pressure wave 

propagation”, Computer Physics Communications, Vol. 118, pp. 11-16. 

[45] Zhigilei L.V., (2001), "Computational model for multiscale simulation of laser ablation", 

Materials Research Society Symposium Proceedings, Vol. 677, pp. AA2.1.1-AA2.1.11. 

[46] Zhigilei L.V., Ivanov D.S. and Leveugle E., (2004), "Computer modeling of laser melting 

and spallation of metal targets", Proceedings of SPIE, Vol. 5448, pp. 505-519. 

[47] Chend C. and Xu X., (2005), "Mechanisms of decomposition of metal during femtosecond 

laser ablation", Physical Review B, Vol. 72, pp. 1-15. 

[48] Ohmura E., Fukumoto I. and Miyamoto I., (2001), "Molecular dynamics simulation of 

ablation process with ultrashort-pulse laser", RIKEN Review, Vol.32, pp. 19-22. 

[49] Zhigilei L.V., (2002), “Metal ablation by picosecond laser pulses: A hybrid simulation”, 

Physical Review B, Vol. 66, pp. 115404-1 - 115404-8. 

[50] Yamashita Y., Yokomine T., Ebara S. and Shimizu A., (2006), “Heat transport analysis 

for femtosecond laser ablation with molecular dynamics-two temperature model method”, 

Fusion Engineering and Design, Vol. 81, pp. 1695-1700. 

[51] Nedialkov N.N. and Atanasov P.A., (2005), “Molecular dynamics simulation study of 

deep hole drilling in iron by ultrashort laser pulses”, Applied Surface Science, Vol. 252 

(13), pp. 4411-4415. 

[52] Imamova S.E., Atanasov P.A., Nedialkov N.N., Dausinger F. and Berger P., (2005), 

“Molecular dynamics simulation using pair and many body interatomic potentials: 

Ultrashort laser ablation of Fe”, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research 

B, Vol. 227, pp. 490-498. 

[53] Allen M.P. and Tildesley D.J., (1989), “Computer simulation of liquids”, Oxford 

Clarendon Press. 

[54] Rieth M.,(2000), “Molecular dynamics calculations for nanostructured systems”, 

University of Patras, School of Engineering, Engineering Science Department, PhD 

Thesis. 

[55] Torrens I. M., (1972), “Interatomic Potentials”, Academic Press, New York and London. 

92


[56] Alvarez M., Lomba E., Martín C., and M. Lombardero, (1995), “Atom–atom structure 

factors of hydrogen halides: A molecular approach revisited”, Journal of Chemical 

Physics Vol 103, Issue 9, pp. 3680-3685. 

[57] Perez D. and Lewis L.J., (2002), “Ablation of solids under femtosecond laser pulses”, 

Physical Review Letters, Vol. 89 (25), pp. 255504 1-4. 

[58] Perez D and Lewis L.J., (2003), “Molecular dynamics study of ablation of solids under 

femtosecond laser pulses”, The 17th Annual International Symposium on High 

Performance Computing Systems and Applications, Session D17.014. 

[59] Wang X. and Xu X., (2003), “Molecular dynamics simulation of thermal and 

thermomechanical phenomena in picosecond laser material interaction”, International 

Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 46, pp. 45-53. 

[60] Wang X. and Xu X., (2002), “Molecular dynamics simulation of heat transfer and phase 

change during laser material interaction”, Journal of Heat Transfer, Vol. 124, pp. 265- 

274. 

[61] Girifalco L.A and Weizer V.G., (1959), “Application of the Morse Potential Function to 

Cubic Metals”, Physical Review, Vol. 114 (3), pp. 687-690. 

[62] Zhigilei L.V. and Garrison B.J., (1998), “Computer simulation study of damage and 

ablation of submicron particles from short-pulse laser irradiation”, Applied Surface 

Science, Vol. 127-129, pp. 142-150. 

[63] Zhigilei L.V., Kodali P.B.S. and Garrison B.J., (1997), “Molecular Dynamics Model for 

Laser Ablation and Desorption of Organic Solids”, Journals of Physics Chemistry B, Vol. 

101,pp. 2028-2037. 

[64] Zhigilei L.V., Kodali P.B.S. and Garrison B. J., (1997), “On the threshold behavior in 

laser ablation of organic solids”, Chemical Physics Letters, Vol. 276, pp. 269-273. 

[65] Zhigilei L.V. and Garrison B.J., (1999), “Mechanisms of laser ablation from molecular 

dynamics simulations- Dependence on the initial temperature and pulse duration”, 

Applied Physics A [Suppl.], Vol. 69, pp. S75-S80. 

[66] Williams G.J., Zhigilei L.V. and Garrison B.J., (2001), “Laser ablation in a model twophase 

system”, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B, Vol. 180, pp. 

209-215. 

[67] Zhigilei L.V., Kodali P.B.S. and Garrison B.J., (1998), “A microscopic view of laser 

ablation”, Journal of Physics and Chemistry B, Vol. 102, pp. 2845-2853. 

93


[68] Zeifman M.I., Garrison B.J. and Zhigilei L.V., (2002), “Multiscale simulation of laser 

ablation of organic solids evolution of the plume”, Applied Surface Science, Vol. 197- 

198, pp. 27-34. 

[69] Zhigilei L.V., (2003), “Dynamics of the plume formation and parameters of the ejected 

clusters in short-pulsed laser ablation”, Applied Physics A, Vol. 76, pp. 339-350. 

[70] Zhigilei L.V. and Garrisona B.J., (1997), “Velocity distributions of molecules ejected in 

laser ablation”, Applied Physics Letter, Vol. 71 (4), pp. 551-553. 

[71] Atanasov P.A., Nedialkov N.N., Imamova S.E., Ruf A., Hugel H., Dausinger F. and 

Berger P., (2002), “Laser ablation of Ni by ultrashort pulses: Molecular dynamics 

simulation”, Applied Surface Science, Vol. 186, pp. 369-373. 

[72] Cheng C. and Xu X., (2004), “Molecular dynamic study of volumetric phase change 

induced by a femtosecond laser pulse”, Applied Physics A, Vol. 79, pp. 761-765. 

[73] Nedialkov N.N., Imamova S.E., Atanasov P.A., Berger P. and Dausinger F., (2005), 

“Mechanism of ultrashort laser ablation of metals: Molecular dynamics simulation”, 

Applied Surface Science, Vol. 247, pp. 243-248. 

[74] Nedialkov N.N., Imamova S.E., Atanasov P.A, Heusel G., Breitling D., Ruf A., Hugel H., 

Dausinger F. and Berger P., (2004), “Laser ablation of iron by ultrashort laser pulses”, 

Thin Solid Films, Vol. 453-454, pp. 496-500. 

[75] Nedialkov N.N., Atanasov P.A., Imamova S.E., Ruf A., Berger P. and Dausinger F., 

(2004), “Dynamics of the ejected material in ultra-short laser ablation of metals”, 

Applied Physics A, Vol. 79, pp. 1121-1125. 

[76] Maekawa K., and Itoh A., (1995), “Friction and tool wear in nano-scale machining-a 

molecular dynamics approach”, Wear, Vol. 188, pp. 115-122. 

[77] Kim J.D., and moon C.H., (1996), “A study on microcutting for the configuration of tools 

using molecular dynamics”, Journal of Materials Processing, Vol. 59, pp. 309-314. 

[78] Nozaki T., Doyama M., kogure Y., and Yokotsuka T., (1998), “Micromachining of pure 

silicon by molecular dynamics”, Thin Solid Films, Vol. 334, pp. 221-224. 

[79] Komanduri R., Chandrasekaran N., and Raff L.M., (2001), “MD simulation of exit failure 

in nanometric cutting”, Materials Science and Engineering, A311, pp. 1-12. 

[80] Han X. S., Lin B., and Yu S. Y., (2002), “Investigation of tool geometry in nanometric 

cutting by molecular dynamics simulation”, Journal of Material Processing Technology, 

Vol. 129, pp. 1-3. 

[81] Cheng K., Luo X. Ward E., and Holt R., (2003), “Modeling and simulation of the tool 

wear in nanometric cutting”, Wear, Vol. 225, pp. 1427-1432. 

94


[82] Zhang L., and Tanaka H., (1997), “Towards a deeper understanding of wear and friction 

on the atomic scale-a molecular dynamics analysis”, Wear, Vol 211, pp. 45-53. 

[83] Doyama M., Nozaki T., and Kogure Y., (1999), “Cutting, compression and shear of 

silicon small single crystals”, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B, 

Vol. 153, pp. 147-152. 

[84] Komanduri R., Chandrasekaran N., and Raff L.M., (2000), “MD simulation of indentation 

and scratching of single crystal aluminum”, Wear, Vol. 240, pp. 113-143. 

[85] Kim Y.S., Na K.H., Choi S.O. and Yang S.H., (2004), “Atomic force microscopy-based 

nano-lithography for nano-patterning: a molecular dynamic study”, Journal of Materials 

Processing Technology, Vol. 155-156, pp. 1847-1854. 

[86] Fang F.Z., Wu H. and liu Y.C., (2005), “Modelling and experimental investigation on 

nanometric cutting of monocrystalline silicon”, International Journal of Machine Tools & 

Manufacture, Vol.45, pp. 1681-1686 

[87] Pei Q.X., Lu C., Fang F.Z. and Wu H., (2006), “Nanometric cutting of copper: A 

molecular dynamics study”, Computational Materials Science. Vol. 37, pp. 434-441. 

[88] Shimizu J., Zhou L.B. and Eda Η., (2002), “Simulation and experimental analysis of 

super high-speed grinding of ductile material”, Journal of Materials Processing 

Technology, Vol. 123, pp. 19-24. 

[89] Touloukian Y.S., Powell R.W., Ho C.Y. and Klemens P.G., (1970), “Thermal physics 

properties of mater”, TPRC Data Series, Idi/Plenum Press, New York. 

[90] Ho C.M. and Tai Y.-C., (1998), “Micro-electo-mechanical systems (MEMS) and fluid 

flow”, Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 30, pp. 579-612. 

[91] Born M. and Wolf E., (1980), “Principles of optics”, 6 th ed., Pergamon Press, Oxford. 

[92] Domoto G.A., Boehm R.F. and Tien C.L., (1970), “Experimental investigation of 

radiative transfer between metallic surfaces at cryogenic temperatures”, Journal of Heat 

Transfer, Vol. 92, pp. 412-417. 

[93] Chen G., (1996), “Heat transfer in micro- and nanoscale photonic devices”, Annual 

Review of Heat Transfer, Vol. 7, pp. 1-57. 

[94] Kittel C. and Kroemer H., (1980), “Thermal physics”, Wiley, New York. 

[95] Tien C.L. and Lienhard J.H. (1979) “Statistical thermodynamics”, Hemisphere, 

Washington, pp. 344-346. 

[96] Qiu T.Q. and Tien C.L., (1993), “Heat transfer mechanisms during short-pulse laser 

heating of metals”, Journal of Heat Transfer, Vol. 115, pp. 835-841. 

95


[97] Ferry D.K. and Goodnick S.M., (1999), “Transport in nanostructures”, Cambridge 

University Press, Cambridge, UK. 

[98] Chen G., Borca-Tasciuc D. and Yang R.G., (2004), “Nanoscale heat transfer”, 

Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology, Vol. X, pp. 1-30. 

[99] Johnson L.F, Dietz R.E and Guggenheim H.J, (1963),"Optical Maser Oscillation from 

Ni 2+ in MgF2 involving simultaneous emission of phonons", Phys. Rev.Lett., Vol. 11 

pp.318-322. 

[100] Geusic J. E, Marcos H. M and Van Uitert L. G, (1964), "Laser Oscillation in Nd:doped 

yttrium aluminium, yttrium gallium and gadolinium garnets", Applied. Physics. Letters, 

Vol. 4, p.182. 

[101] Schafer F. P, Schmidth F. P. W and Volze J., (1966), “Organic dye solution laser”, 

Applied. Physics. Letters, Vol. 9, p.306. 

[102] Shank C. V and Ippen E. P,(1974), “Subpicosecond kilowatt pulses from a modelocked cw 

dye laser”, Applied. Physics. Letters, Vol. 24, p.373. 

[103] Walling J. C, Jenssen H. P, Morris R. C, O’Dell E. W and Peterson O. G, (1979), 

“Tunable laser performance in BeAl2O4:Cr 3+” , Optical. Letters, Vol. 4, p.182. 

[104] Moulton P. F, (1986), “Spectroscopic and laser characteristics of Ti:Al2O3”, Journal of 

the Optical Society of America B, Vol. 3, p.125. 

[105] Spence D. E, Kean P. N and Sibbett W., (1991), “60-fsec pulse generation from a 

selfmode-locked Ti:sapphire laser”, Optical. Letters, Vol. 16, p.42. 

[106] Spence D. E, Evans J. M, Sleat W. E and Sibbett W., (1991), “Regeratively initiated selfmode-locked 

Ti:sapphire laser”, Optical. Letters, Vol. 16, p.1762. 

[107] Jung W. E, Kartner F. X, Matuschek N., Sutter D. H, MorierGenoud F., Zhang G., Keller 

U., Scheuer V., Tilsch M. and Tschudi T., (1997), “Self-starting 6.5-fs pulses from a 

Ti:Sapphire laser”, Optical. Letters, Vol. 22, p.1009. 

[108] Morgner U., Kartner F.X., Fujimoto J.G., Ippen E.P., Scheuer V., Angelow G. and 

Tschudi T., (2001), “Generation of 5 fs pulses and octave-spanning spectra directly from 

a Ti:sapphire laser”, Optics Letters, Vol. 26 (6): pp. 373-375 

[109] Kautek, W., Krüger, J., Lenzner, M., Sartania, S., Spielmann, C., and Krausz, F., (1996), 

“Laser Ablation of Dielectrics with Pulse Durations between 20 fs and 3 ps”, Applied 

Physics Letters, Vol. 69, pp. 3146-3148. 

[110] Stuart, B.C., Feit, M.D., Herman, S., Rubenchik, A.M., Shore, B.W., and Perry, M.D., 

(1996), “Nanosecond-to-Femtosecond Laser-Induced Breakdown in Dielectrics”, 

PhysicalReview B, Vol. 53, pp. 1749-1761. 

96


[111] von der Linde, D., and Sokolowski-Tinten, K., (2000), “The Physical Mechanisms of 

Short-Pulse Laser Ablation”, Applied Surface Science, Vol. 154-155, pp. 1-10. 

[112] Nolte, S., Momma, C., Kamlage G., Ostendorf, A., Fallnich, C., von Alvensleben F., and 

Welling, H., (1999), “Polarizatiοn Effects in Ultrashort-pulse Laser Drilling”, Applied 

Physics A, Vol. 68, pp. 563-567. 

[113] Klein-Wiele, J.-H., Marowsky, G., and Simon, P., (1999), “Subpicosecond Time Resolved 

Ablation Studies of Submicrometer Gratings on Metals and Semiconductors”, Applied 

Physics A, Vol. 69, pp. S187-S190. 

[114] Wellershoff, S.S, Hohlfeld, J., Güdde, J., and Matthias, E., (1999), “The Role of Electron– 

Phonon Coupling in Femtosecond Laser Damage of Metals”, Applied Physics A, Vol. 

69,pp. S99-S107. 

[115] Korte, F., Serbin, J., Koch, J., Egbert, A., Fallnich, C., Ostendorf, A., and Chichkov, B.N., 

(2003), “Towards Nanostructuring with Femtosecond Laser Pulses”, Applied Physics A, 

Vol. 77, pp. 229-235. 

97



Θεωρητική Ανάλυση 

Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί µία εισαγωγή, συνδυάζοντας τη φυσική και τα προκαταρτικά 

µαθηµατικά της επίδρασης της ακτινοβολίας Laser στην ύλη. Σκοπός του κεφαλαίου είναι να 

δώσει την βασική δοµή πάνω στην οποία στηρίζεται η µέθοδος της Μοριακής ∆υναµικής 

ανάλυσης για τον υπολογισµό του βάθους φωτοαποδόµησης, καθώς και των µηχανισµών που 

συντελούν στην αποµάκρυνση υλικού. Ξεκινώντας από την κρυσταλλική δοµή µεταλλικών 

υλικών και τη θεωρητική µοντελοποίηση της δέσµης Laser µελετώνται οι µηχανισµοί 

επίδρασης της ακτινοβολίας σε υλικά, καθώς και οι πιθανοί µηχανισµοί αποµάκρυνσης 

υλικού. Τέλος, αναλύονται οι περιοδικές συνθήκες που θα χρησιµοποιηθούν κατά την 

Μοριακή ∆υναµική ανάλυση.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 

3.2 Μικροµοριακή δοµή υλικών 

Τα στερεά υλικά µπορούν να ταξινοµηθούν σύµφωνα µε την κανονικότητα µε την οποία τα 

άτοµα ή ιόντα είναι τοποθετηµένα το ένα σε σχέση µε το άλλο. Κρυσταλλικό υλικό είναι 

αυτό στο οποίο τα άτοµα ή ιόντα είναι τοποθετηµένα µε περιοδικότητα σε µεγάλες µεταξύ 

τους αποστάσεις, έτσι ώστε κατά τη στερεοποίησή τους να αποτελούν ένα 

επαναλαµβανόµενο τρισδιάστατο πρότυπο στο οποίο κάθε ένα συνδέεται µε τα γειτονικά του. 

Όλα τα µέταλλα, αρκετά κεραµικά υλικά και ορισµένα πολυµερή σχηµατίζουν κρυσταλλικές 

δοµές κάτω από κανονικές συνθήκες στερεοποίησης. Ορισµένες από τις ιδιότητες των 

κρυσταλλικών υλικών εξαρτώνται από την κρυσταλλική δοµή του υλικού, τον τρόπο µε τον 

οποίο τα άτοµα, ιόντα, ή µόρια είναι τοποθετηµένα στο χώρο. Υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός 

διαφορετικών κρυσταλλικών δοµών µε κοινό χαρακτηριστικό την µεγάλη απόσταση. Αυτές 

διαφέρουν από σχετικά απλές δοµές για τα µέταλλα σε υπερβολικά περίπλοκες, όπως αυτές 

που παρατηρούνται σε µερικά κεραµικά και πολυµερή υλικά. Όταν περιγράφονται 

κρυσταλλικές δοµές, τα άτοµα ή ιόντα εκλαµβάνονται σαν στέρεες σφαίρες µε ορισµένες 

διαµέτρους. Αυτό ονοµάζεται πρότυπο των σκληρών σφαιρών (hard sphere model) στο 

οποίο οι σφαίρες που αναπαριστούν τα πλησιέστερα γειτονικά άτοµα αγγίζουν η µία την 

άλλη. Ορισµένες φορές ο όρος πλέγµα χρησιµοποιείται ως συναφή έννοια της κρυσταλλικής 

δοµής. 

3.2.1 Κρυσταλλικά κύτταρα 

Η ατοµική τάξη στα κρυσταλλικά στερεά υποδεικνύει ότι µικρές οµάδες ατόµων σχηµατίζουν 

ένα επαναλαµβανόµενο πρότυπο. Λόγω αυτού, στην περιγραφή κρυσταλλικών δοµών είναι 

αποδεκτό να υποδιαιρείται η δοµή σε µικρές επαναλαµβανόµενες οντότητες που καλούνται 

κρυσταλλικά κύτταρα (Unit Cells). Τα κρυσταλλικά κύτταρα για τις περισσότερες 

κρυσταλλικές δοµές είναι παραλληλεπίπεδα ή πρίσµατα που έχουν τρεις οµάδες παράλληλων 

επιφανειών. Ένα κρυσταλλικό κύτταρο επιλέγεται για να αναπαριστά τη συµµετρία της 

κρυσταλλικής δοµής, όπου όλες οι ατοµικές θέσεις στον κρύσταλλο µπορούν να 

δηµιουργηθούν από µετατοπίσεις του κρυστάλλου. Συνεπώς το κρυσταλλικό κύτταρο είναι η 

βασική δοµική µονάδα της κρυσταλλικής δοµής και ορίζει την δοµή αυτή ως αποτέλεσµα της 

γεωµετρίας και των ατοµικών θέσεων µέσα σε αυτήν. Για λόγους απλούστευσης δεχόµαστε 

ότι οι παραλληλεπίπεδες γωνίες συµπίπτουν µε τα κέντρα των ατόµων. Επιπροσθέτως, 

100

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o 

περισσότερα από ένα µονό κύτταρο µπορεί να επιλεχθεί για µια συγκεκριµένη κρυσταλλική 

δοµή. Πάρα ταύτα γενικά χρησιµοποιείται το κρυσταλλικό κύτταρο µε τη µεγαλύτερη 

δυνατή γεωµετρική συµµετρία. 

3.2.2 Κρυσταλλικές δοµές υλικών 

Ο ατοµικός δεσµός των µετάλλων ή αλλιώς αποκαλούµενος και ως µεταλλικός δεσµός δεν 

είναι προσανατολισµένος. Συνεπώς, δεν υπάρχουν περιορισµοί σχετικά µε τον αριθµό και τη 

θέση του πλησιέστερου ατόµου. Ο µεταλλικός δεσµός συναντάται µόνο στα µεταλλικά 

στοιχεία, δηλαδή σε στοιχεία που περιέχουν µόνο λίγα ηλεκτρόνια στην εξωτερική τους 

στοιβάδα. Ο µεταλλικός δεσµός ερµηνεύεται µε διάφορες θεωρίες επικρατέστερη των 

οποίων είναι η θεωρία των "ελεύθερων" ηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόνια δεν ανήκουν σε 

οποιοδήποτε άτοµο αλλά στον κρύσταλλο ως σύνολο, σ' όλη την έκταση του οποίου 

κινούνται µε µορφή ηλεκτρονικού νέφους. Το κρυσταλλικό πλέγµα ενός µετάλλου 

χαρακτηρίζεται από µια κανονική διάταξη θετικώς φορτισµένων ατόµων και από 

αποσπασθέντα ηλεκτρόνια διασκορπισµένα µεταξύ των ατόµων που κινούνται ελεύθερα. 

Μεταξύ των θετικώς φορτισµένων ατόµων και των ελεύθερα κινουµένων ηλεκτρονίων 

δηµιουργούνται δυνάµεις ηλεκτροστατικής φύσεως. Αποτέλεσµα της ύπαρξης αυτής των 

ελευθέρων ηλεκτρονίων είναι η υψηλή ηλεκτρική και θερµική αγωγιµότητα των µετάλλων, 

γιατί τα ελεύθερα ηλεκτρόνια µπορούν να προσανατολίζονται και να κινούνται εύκολα µε την 

επίδραση ενός ηλεκτρικού ή θερµικού πεδίου. Ο µεταλλικός δεσµός διαφέρει από τον 

οµοιοπολικό δεσµό βασικά στο ότι δεν είναι προσανατολισµένος. Από αυτό προκύπτει, ότι 

ένα άτοµο έχει την τάση να ενώνεται µε όσο το δυνατό περισσότερα άτοµα, αιτία που οδηγεί 

σε πυκνή δόµηση της ύλη και οφείλεται βασικά στην ύπαρξη των ελευθέρων ηλεκτρονίων. 

Τα παραπάνω οδηγούν σε σχετικά µεγάλους αριθµούς γειτόνων και πυκνών ατοµικών 

σχηµατισµών για τις περισσότερες µεταλλικές δοµές. Επιπλέον, για τα µέταλλα 

χρησιµοποιείται το µοντέλο σκληρών σφαιρών, όπου κάθε σφαίρα αναπαριστά ένα πυρήνα 

ιόντος. Στον Πίνακα 3.1 παρουσιάζονται οι κρυσταλλικές δοµές, οι ατοµικές ακτίνες καθώς 

και η κυρία διάσταση της κρυσταλλικής κυψελίδας για ένα αριθµό µετάλλων. Οι παρακάτω 

τρεις σχετικά απλές κρυσταλλικές δοµές απαντώνται για τα περισσότερα από τα κοινά 

µέταλλα: 

101


102 

• FCC: Face Centered Cubic, Eδροκεντρωµένη κυβικά 

• BCC: Body Centered Cubic, Xωροκεντρωµένη κυβικά 

• HCP: Hexagonal Close Packed, Eξαγωνικό πλέγµα µέγιστης πυκνότητας 

Μέταλλο Κρυσταλλική Ατοµική Κρυσταλλική 

∆οµή 

Ακτίνα (nm) Aκµή (nm) 

Αργίλιο - Al FCC 0.1431 0.405 

Κάδµιο - Cd HCP 0.1490 - 

Χρώµιο - Cr BCC 0.1249 0.288 

Κοβάλτιο - Co HCP 0.1253 - 

Χαλκός - Cu FCC 0.1278 0.361 

Χρυσός - Au FCC 0.1442 0.408 

Σίδηρος (α) - Fe BCC 0.1241 0.286 

Μόλυβδος - Pd FCC 0.1750 0.494 

Μολυβδένιο - Mo BCC 0.1363 0.315 

Νικέλιο - Ni FCC 0.1246 0.352 

Λευκόχρυσος - Pt FCC 0.1387 0.392 

Άργυρος - Ag FCC 0.1445 0.409 

Ταντάλιο - Ta BCC 0.1430 0.330 

Τιτάνιο (α) - Ti HCP 0.1445 - 

Βολθράµιο - W BCC 0.1371 0.317 

Ψευδάργυρος - Zn HCP 0.1332 - 

Πίνακας 3.1: Aτοµικές ακτίνες και κρυσταλλικές δοµές 16 µετάλλων 

Άλλα δύο σηµαντικά χαρακτηριστικά µιας κρυσταλλικής δοµής είναι ο αριθµός συνδιάταξης 

(coordination number) και ο ατοµικός παράγοντας συσσωµάτωσης (atomic packing factor - 

APF). Για τα µέταλλα, κάθε άτοµο έχει τον ίδιο αριθµό πλησιέστερων γειτονικών ατόµων, ο 

οποίος είναι και ο αριθµός συνδιάταξης. Ο APF είναι ο λόγος του όγκου µια συµπαγούς 

σφαίρας σε ένα κρυσταλλικό κύτταρο, υποθέτοντας το µοντέλο σκληρών σφαιρών ή: 

όγκος ατ όµωνκυττ άρου 

APF = Εξίσωση 3.1 

ολικόςόγκοςκυττάρου Τα µέταλλα τυπικά έχουν σχετικά µεγάλο APF για να µεγιστοποιήσουν την προστασία που 

παρέχεται από το νέφος των ελεύθερων ηλεκτρονίων.

3.2.2.1 Eδροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-FCC 


Η κρυσταλλική δοµή που απαντάται για πολλά µέταλλα είναι ένα κύτταρο κυβικής 

γεωµετρίας, µε άτοµα τοποθετηµένα σε κάθε µία από τις κορυφές και κάθε ένα από τα κέντρα 

όλων των πλευρών του κύβου. Η δοµή αυτή καλείται εδροκεντρωµένη κρυσταλλική δοµή. 

Μερικά από τα συγγενεύοντα µέταλλα που έχουν αυτή τη δοµή είναι ο χαλκός, το αλουµίνιο, 

ο άργυρος και ο χρυσός. Το Σχήµα 3.1α εµφανίζει το µοντέλο σκληρών σφαιρών για ένα 

εδροκεντρωµένο κύτταρο, όπου τα κέντρα των ατόµων εικονίζονται από µικρές σφαίρες για 

να παρέχουν µια καλύτερη αντίληψη των ατοµικών θέσεων. Το συσσωµάτωµα των ατόµων 

στο Σχήµα 3.1γ αναπαριστά την τοµή ενός κρυστάλλου που αποτελείται από πολλά 

εδροκεντρωµένα κύτταρα. Αυτές οι σφαίρες ή οι ιονισµένοι πυρήνες εφάπτονται ο ένας στον 

άλλο στην διαγώνιο έδρα. Η ακµή του κύβου µήκους α και η ατοµική ακτίνα R συνδέονται 

µέσω της κάτωθι σχέσης. 

a = 2R 2 


Στην εδροκεντρωµένη κρυσταλλική δοµή, κάθε άτοµο που βρίσκεται σε µία από τις γωνίες 

µοιράζεται µεταξύ οκτώ κυττάρων, σε αντίθεση µε τα άτοµα που βρίσκονται στο κέντρο των 

πλευρών και ανήκουν µόνο σε δύο. Εποµένως ένα όγδοο από κάθε ένα από τα οκτώ άτοµα 

που είναι στις γωνίες και µισό από κάθε ένα από τα έξι άτοµα που βρίσκονται στο κέντρο των 

πλευρών, ή διαφορετικά τέσσερα ολόκληρα άτοµα, προσδιορίζουν ένα κύτταρο. Αυτό 

αναπαριστάται στο Σχήµα 3.1α όπου τµήµατα σφαιρών αναπαρίστανται µέσα στα όρια του 

κύβου. Το κύτταρο περιέχει τον όγκο του κύβου, που δηµιουργείται από τα κέντρα των 

ατόµων. Οι γωνιακές και οι πλευρικές θέσεις είναι ισοδύναµες. Άρα, η µεταφορά των 

γωνιών του κύβου από µια πραγµατική γωνία, στο κέντρο ενός ατόµου πλευράς δεν αλλάζει 

την δοµή του κυττάρου. 

103


Σχήµα 3.1: Eδροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-FCC. α) µοντέλο σκληρών 

σφαιρών για ένα εδροκεντρωµένο κύτταρο, β) απλοποιηµένο µοντέλο µοναδιαίου κρυστάλλου, 

γ) συνάθροισµα πολλών ατόµων [1]. 

Για την εδροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή ο αριθµός συνδιάταξης ισούται µε 12. Το 

παραπάνω επιβεβαιώνεται από µια πιο προσεκτική παρατήρηση του Σχήµατος 3.1.α. Το 

εµπρός άτοµο πλευράς έχει τέσσερα γειτονικά άτοµα που το περιβάλλουν, τέσσερα άτοµα 

που είναι σε επαφή από την πίσω πλευρά και άλλα τέσσερα ισοδύναµα άτοµα πλευράς στο 

εµπρόσθιο κύτταρο το οποίο δεν φαίνεται. Για την εδροκεντρωµένη κυβική δοµή ο APF 

είναι 0.74, που είναι και ο µέγιστος δυνατός για σφαίρες που έχουν όλες την ίδια διάµετρο. 

3.2.2.2 Χωροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-BCC 

Ακόµα µία συνηθισµένη µεταλλική κρυσταλλική δοµή έχει επίσης κύτταρο κυβικής µορφής 

µε άτοµα τοποθετηµένα και στις οκτώ γωνίες και ένα µοναδικό άτοµο στο κέντρο του κύβου. 

Η δοµή αυτή καλείται χωροκεντρωµένη κρυσταλλική δοµή. Μια οµάδα σφαιρών απεικονίζει 

αυτή την κρυσταλλική δοµή στο Σχήµα 3.2γ, ενώ τα Σχήµατα 3.2α και 3.2β είναι 

διαγράµµατα ενός BCC κυττάρου µε τα άτοµα να αναπαρίστανται από το µοντέλο σκληρών 

σφαιρών και το απλοποιηµένο µοντέλο µοναδιαίου κρυστάλλου αντίστοιχα. 

Σχήµα 3.2: Χωροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-BCC. α) µοντέλο σκληρών σφαιρών για 

ένα εδροκεντρωµένο κύτταρο, β) απλοποιηµένο µοντέλο µοναδιαίου κρυστάλλου, γ) συνάθροισµα 

πολλών ατόµων [1]. 

104 

α β γ 

α β γ


Το κεντρικό και τα γωνιακά άτοµα αγγίζουν το ένα το άλλο στην διαγώνιο και το µήκος του 

κυττάρου α συνδέεται µε την ατοµική ακτίνα R µε τον κάτωθι τύπο. 

4R 

a = Εξίσωση 3.3 

3 

Το χρώµιο, ο σίδηρος, το βολφράµιο όπως και αρκετά άλλα µέταλλα που παρατίθενται στον 

Πίνακα 3.1 εµφανίζουν χωροκεντρωµένη κυβική κρυσταλλική δοµή. ∆ύο άτοµα συνδέονται 

µε κάθε BCC κύτταρο, το ισοδύναµο του ενός ατόµου από τις οκτώ γωνίες, κάθε ένα από τα 

οποία µοιράζεται ανάµεσα σε οκτώ κύτταρα και το µοναδικό άτοµο στο κέντρο του κύβου 

που ανήκει αποκλειστικά µόνο σε ένα κύτταρο. Επιπροσθέτως οι θέσεις στις γωνίες και στο 

κέντρο είναι ισοδύναµες. Ο αριθµός συνδιάταξης για το BCC κρύσταλλο είναι 8, αφού κάθε 

κεντρικό άτοµο έχει ως πλησιέστερους γείτονές του τα οκτώ γωνιακά άτοµα. Εφόσον ο 

αριθµός συνδιάταξης είναι µικρότερος για BCC από ότι για το FCC τότε και ο APF είναι 

µικρότερος και ίσος µε 0.68. 

3.2.2.3 Κρυσταλλική δοµή εξαγωνικού πλέγµατος µέγιστης πυκνότητας-HCP 

Μια όχι τόσο συχνά συναντώµενη µορφή κρυσταλλικού πλέγµατος είναι αυτή του 

εξαγωνικού πλέγµατος. Το Σχήµα 3.3α παρουσιάζει ένα απλοποιηµένο µοντέλο µοναδιαίου 

κρυστάλλου για αυτή την δοµή, το οποίο καλείται εξαγωνικό πλέγµα µέγιστης πυκνότητας. 

Μια δοµή από διάφορα HCP κύτταρα απεικονίζεται στο Σχήµα 3.3β. Η κορυφή και η βάση 

του κυττάρου αποτελείται από έξι άτοµα, τα οποία σχηµατίζουν κανονικά εξάγωνα και 

περιβάλλουν ένα µοναδικό άτοµο στο κέντρο. Άλλο ένα επίπεδο το οποίο προσθέτει τρία 

ακόµα άτοµα βρίσκεται ανάµεσα στο επίπεδο της κορυφής και της βάσης. Τα άτοµα αυτού 

του ενδιάµεσου επιπέδου έχουν ως εγγύτερα άτοµα τα παρακείµενα άτοµα και από τα δύο 

επίπεδα (βάσης και κορυφής). Το ισοδύναµο έξι ατόµων περιέχεται σε κάθε κύτταρο, ένα 

έκτο από κάθε ένα από τα δώδεκα άτοµα της κορυφής και της βάσης άτοµα των γωνιών, µισό 

από κάθε ένα από τα δύο κεντρικά άτοµα και όλα τα τρία ενδιάµεσα εσωτερικά άτοµα. 

105


Σχήµα 3.3: Κρυσταλλική ∆οµή Εξαγωνικού πλέγµατος µέγιστης πυκνότητας-HCP 

α) απλοποιηµένο µοντέλο µοναδιαίου κρυστάλλου όπου α και c αντιπροσωπεύουν τη µικρή 

και τη µεγάλη διάσταση του κυττάρου αντίστοιχα, β) συνάθροισµα πολλών ατόµων [1]. 

Αν α και c αναπαριστούν αντίστοιχα την µικρή και τη µεγάλη διάσταση του κυττάρου, όπως 

φαίνεται στο Σχήµα 3.3α, τότε ο λόγος c/α θα έπρεπε να είναι 1.633. Ωστόσο για κάποια 

µέταλλα HCP δοµής αυτός ο λόγος αποκλίνει από την ιδανική τιµή. Ο αριθµός συνδιάταξης 

και APF για την κρυσταλλική δοµή εξαγωνικού πλέγµατος είναι η ίδια µε αυτούς της FCC 

δηλαδή 12 και 0.74 αντίστοιχα. Στα µέταλλα HCP περιλαµβάνονται το κάδµιο, το µαγνήσιο 

το τιτάνιο και o ψευδάργυρος. 

106 

α β

3.3 Ανάλυση ακτινοβολίας Laser 


Οι εξισώσεις του Maxwell έγιναν σηµείο αναφοράς λόγω της ιδέας του να προσθέσει ακόµη 

έναν όρο στις εξισώσεις ηλεκτρισµού και µαγνητισµού κατά την διάρκεια προσπάθειας για 

την ενοποιήσή τους. Ο εισαχθείς αυτός όρος έχει την φυσική σηµασία ότι µέρος του 

ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου θα πρέπει να αποσβένεται µε µικρότερο ρυθµό από το 

τετράγωνο της απόστασης. Όλα τα φαινόµενα που σχετίζονται µε τον όρο αυτό καλούνται 

ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία. Με βάση τις αρχές µετάδοσης θερµότητας η ακτινοβολία 

αποτελεί τρόπο µεταφοράς ενέργειας, όπου δεν απαιτείται συνεχές µέσο. Για λόγους 

πληρότητας δίνουµε το ηλεκτρικό πεδίο Ε και σηµειώνεται ότι ο τρίτος όρος που αποτελεί 

την επιτάχυνση του µοναδιαίου διανύσµατος αποτελεί πρόταση του νόµου της ακτινοβολίας 

κατά Feynman 1964: 

' 2 

−q 

⎡e ' ' 

r r d ⎛ e ⎞ r 1 d ⎤ 

E = ⎢ + e 

'2 ⎜ '2 ⎟+ 

2 2 ' 

r ⎥ 

4πε 

0 ⎣rcdt ⎝r⎠ c dt ⎦ 

Εξίσωση: 3.4 

Η επίλυση των εξισώσεων του Maxwell δίνει τον τρόπο διάδοσης της ηλεκτροµαγνητικής 

ακτινοβολίας. Ένα ηλεκτροµαγνητικό πεδίο χαρακτηρίζεται από δυο διανυσµατικά πεδία: 

• Το ηλεκτρικό – Ε = Ε (r,t) 

• Το µαγνητικό – Η = Η (r,t) 

Το φορτίο και η ένταση του ρεύµατος ενός ηλεκτροµαγνητικού πεδίου χαρακτηρίζεται από 

δυο άλλα πεδία 

• Ένα βαθµωτό, την πυκνότητα του φορτίου – ρ = ρ (r,t) 

• Την πυκνότητα ρεύµατος – j = j (r,t) 

Οι εξισώσεις Maxwell προέρχονται αν συσχετίσουµε τις δυο πιο σπουδαίες ιδιότητες ενός 

διανυσµατικού πεδίου, τη ροή flux και την απόκλιση circulation για κάθε ένα από τα δυο 

πεδία (Ε και Η) που περιγράφουν ηλεκτροµαγνητικά φαινόµενα. Η διαδικασία επιλογής και 

µετατροπής των µονάδων του ηλεκτροµαγνητισµού περιγράφονται αναλυτικά από τον 

107


Menzel [2]. Στην παρούσα µελέτη θα χρησιµοποιήσουµε Gaussian µονάδες και οι εξισώσεις 

Maxwell µπορούν να εκφραστούν ως: 

108 

( I) ∇⋅ E = 4πρ 

( II) 1 ∂H 

∇ xE =− 

c ∂t 

( III) ∇⋅ H = 0 

( IV ) 

1 ∂E 

4πj 

∇ xH = + 

c ∂t 

c 


Υπό την παρουσία µέσου µε διηλεκτρικές και µαγνητικές ιδιότητες, εισάγουµε δυο ακόµη 

διανυσµατικά πεδία που περιγράφουν την ηλεκτρική και µαγνητική ροπή ανά µονάδα όγκου 

αντίστοιχα: 

• Ηλεκτρική ροπή ανά µονάδα όγκου – P = P (r,t) 

• Μαγνητική ροπή ανά µονάδα όγκου – M = M (r,t) 

Εναλλακτικά εισάγουµε ακόµη δυο διανυσµατικά πεδία: 

Όπου: 

• Ηλεκτρική µετατόπιση – D = D (r,t) 

• Μαγνητική επαγωγή – Β = Β (r,t) 

D= E+ 4π 

P 

B = H + 4π 

M 

Οι καταστατικές εξισώσεις µεταξύ των πεδίων είναι: 

D= ε E 

B= µ H 

j = σ E (Ohm's law) 


Εξίσωση: 3.7


όπου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά, µ είναι η µαγνητική διαπερατότητα και σ η ηλεκτρική 

αγωγιµότητα. Είναι φανερό ότι στην περίπτωση που τα συσχετιζόµενα διανυσµατικά πεδία 

δεν είναι παράλληλα µεταξύ τους οι βαθµωτές σταθερές γίνονται τανυστές δεύτερης τάξης. 

Από τις καταστατικές εξισώσεις και τους ορισµούς της ηλεκτρικής µετατόπισης και 

µαγνητικής επαγωγής µπορούµε να συνάγουµε την φυσική σηµασία της διηλεκτρικής 

σταθεράς και µαγνητικής διαπερατότητας. Αφού τα ταλαντευόµενα ηλεκτρόνια παράγουν 

µακροσκοπικά πόλωση στο υλικό, η οποία προστίθεται σε αυτή του ηλεκτρικού πεδίου, η 

διηλεκτρική σταθερά δίνει τον λόγο του συνολικού πεδίου προς το ηλεκτρικό πεδίο. Με 

παρόµοιο τρόπο ορίζεται η µαγνητική διαπερατότητα. Οι εξισώσεις Maxwell υπό την 

παρουσία µέσου µπορούν να γραφούν ως: 

4πρ 

∇⋅ D = 4 πρ η ∇⋅ Ε= 


ε 

1 ∂Bµ ∂H 

∇ xE =− η ∇ xE =− 

c ∂t c ∂ t 


∇⋅ B = 0 η µ ∇⋅ H=0 


1 ∂D 4πj ε ∂E 

4πσ 

∇ xH = + η ∇ xH= + E 

c ∂t c c ∂t 

c 


Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών διαταραχών [3] στην περίπτωση µη ύπαρξης 

πυκνοτήτων φορτίων και ρευµάτων (ρ=0 και j=0), παίρνοντας το curl της τέταρτης εξίσωσης 

και αντικαθιστώντας αυτή στην δεύτερη έχουµε την κυµατική εξίσωση του µαγνητικού 

πεδίου: 

και αφού 

ε ∂E ε ∂ 

∇∇ x xH = ∇ = ∇xE 

c ∂t c ∂t 


∇x∇ xH =∇( ∇⋅H) −∆H και ∆ H=0 


109


110 

2 

µε ∂ H 

∆ H = 2 2 

c ∂t 

Παροµοίως µπορεί να γραφή η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου: 

2 

µε ∂ E 

∆ E = 2 2 

c ∂t 



Στην περίπτωση που δεν έχουµε µόνο πυκνότητα φορτίου (ρ=0), ένας επιπλέον όρος 

προκύπτει στο δεύτερο µέρος των δυο εξισώσεων: 

4πµσ ∂H4πµσ ∂Ε 

και 

2 2 

c ∂t c ∂ t 


Στην πιο γενική περίπτωση, όπου ρ≠0 και j≠0 ο όρος 4π ∇ ρ πρέπει να προστεθεί στο 

ε 

δεύτερο µέρος της κυµατικής εξίσωσης του ηλεκτρικού πεδίου: 

και 

2 

µε ∂ E 4πµσ 

∂E 

∆Ε − 4π∇ 

ρ = + 

2 2 2 

c ∂t c ∂ t 

2 

µε ∂ H 4πµσ 

∂H 

∆ H = + 

2 2 2 

c ∂t c ∂ t 



Από τα προηγούµενα καταλήγουµε ότι η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρικού και µαγνητικού 

πεδίου είναι η ίδια και ισούται µε: 

c µε Εξίσωση: 3.19 

Είναι γνωστό ότι η ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία µειώνεται εκθετικά µε την απόσταση σε 

µερικά υλικά, καθώς σε κάποια άλλα διαδίδεται µε ταλαντωτικό χαρακτήρα. Τα παραπάνω 

µπορούν να αποδειχθούν χρησιµοποιώντας την εξίσωση ταχύτητας µετάδοσης του


ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου. Εάν υποθέσουµε ότι η λύση της εξίσωσης του 

µαγνητικού πεδίου έχει την µορφή: 

H = H e και Ε =Ε e 


i( ωt−kr ) i( ωt−kr) 

0 0 

Και αντικαθιστώντας στην Εξίσωση 3.18 και 3.19 αντίστοιχα έχουµε: 

4πµσ 

µε 2 

−k⋅k− iω+ 

ω αρα 

2 2 

c c 

2 

2 ω ⎛ 4πσ 

⎞ 

k = µε 1−i 

2 

c 

⎜ ⎟ 

⎝ ωε ⎠ 


i 

4 

Η ποσότητα ( ) 1 i πσ ⎛ ⎞ 

ε ω = µε⎜ 

− ⎟καλείται 

συνήθως µιγαδική διηλεκτρική σταθερά. Με 

⎝ ωε ⎠ 

απλή αντικατάσταση προκύπτει ότι για τα αγώγιµα υλικά, όπως µέταλλα, όπου σ≠0, ο 

κυµατικός αριθµός είναι µιγαδικός k=k1+ik2 και το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο έχουν την 

µορφή: 

H H e E E e 

k2ri( ωt−kr 1 ) k2ri( ωt−kr 

1 ) 

= e και = e 


0 0 

και τα πεδία σβήνουν εκθετικά. 

Είναι σηµαντικό σε αυτό το σηµείο να έχουµε µια γνώση για τις αριθµητικές τιµές της 

ηλεκτρικής αγωγιµότητας. Η υπόθεση ότι σ≠0 για τα µέταλλα είναι µερικώς ανακριβής, 

αφού έχει τη µη µηδενική τιµή για κάθε πραγµατικό υλικό. Προηγουµένως ορίσαµε σχεδόν 

αυθαίρετα, µέσα από την σταθερά αναλογίας της καταστατικής εξίσωσης των διανυσµατικών 

πεδίων ηλεκτρισµού και ρεύµατος, την ηλεκτρική αγωγιµότητα. Χρησιµοποιώντας την 

θεωρία µέταλλων κατά Drude θα υπολογίσουµε την ορµή ενός ηλεκτρονίου p(t+dt) που 

προκαλείται από ένα χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο. Σηµειώνεται ότι η δύναµη 

που ασκείται από ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα σε ένα ηλεκτρόνιο δίνεται από τη σχέση: 

V 

F =− e( E+ xB) 


c 

111


Είναι φανερό ότι για τις εφαρµογές µας η συνεισφορά του µαγνητικού πεδίου είναι πολύ 

µικρότερη από αυτή του ηλεκτρικού και µπορεί να αγνοηθεί. Συσχετίζοντας την ορµή ενός 

ηλεκτρονίου p(t) µε το ηλεκτρικό πεδίο Ε(t) και την πυκνότητα ρεύµατος j(t) ξεχωριστά, µας 

δίνεται η δυνατότητα να κατανοήσουµε την ηλεκτρική αγωγιµότητα. Αν ο χρόνος 

χαλάρωσης είναι τ τότε τη χρονική στιγµή τ+dt η πιθανότητα σύγκρουσης ή όχι ενός 

ηλεκτρονίου µε ένα ηλεκτρόνιο ή ίον είναι αντίστοιχα dt/τ και (1-dt/τ). Αµελώντας την 

συνεισφορά στο p(t+dt) από τα t+dt ηλεκτρόνια, που πράγµατι υφίστανται σύγκρουση στο 

χρονικό διάστηµα µεταξύ t και t+dt [4], ότι είναι όροι της τάξης (dt) 2 και αναγνωρίζοντας ότι 

(F=-eE) έχουµε για την εξίσωση ορµής του ηλεκτρονίου: 

Υποθέτοντας ότι: 

Έχουµε: 

112 

⎛ dt ⎞ 2 

p( t + dt) = ⎜1 − ⎟⎣ 

⎡p( t) + f ( t) dt + 0( dt) 

⎤⇒ 

τ 

⎦ 

⎝ ⎠ 

dp() t p() t 

=− −eE() 

t 

dt τ 

p() t p( ) e και E() t E( ) e 


i( ωt) i( ωt) 

= ω = ω 


p( 

ω) 

− iωp( ω) = −eE( ω) 

⇒ 

τ 

τeE( ω) 

p( 

ω) 

= 

1− 

iωτ 


µια σχέση µεταξύ ορµής και του ηλεκτρικού πεδίου. Αφού το κάθε ηλεκτρόνιο µεταφέρει 

φορτίο (-e), το φορτίο που διατρέχει µια διατοµή Α σε χρόνο dt θα είναι –nevAdt και η 

πυκνότητα ρεύµατος: 

p() t 

j() t =− nev() t =− ne Εξίσωση: 3.27 

m


Μια σχέση µεταξύ ορµής και πυκνότητας ρεύµατος, όπου (n) είναι ο αριθµός των 

ηλεκτρονίων ανά µονάδα όγκου, κινούµενων µε την ίδια ταχύτητα (v) και (m) είναι η µάζα 

του ηλεκτρονίου. Συνδυάζοντας τις δυο σχέσεις έχουµε: 

2 

ne τ 

j( ω) = E( ω) = σ( ω) E( 

ω) 

m(1 − iωτ 

) 


Για συχνότητες αρκετά υψηλές, ώστε να ικανοποιείται η σχέση ωτ>>1, µπορούµε να 

βγάλουµε µερικά πολύ χρήσιµα συµπεράσµατα. Εισάγοντας την ηλεκτρική αγωγιµότητα που 

προέκυψε από την τελευταία εξίσωση, στη σχέση της µιγαδικής διηλεκτρικής σταθεράς 

έχουµε: 

2 2 

2 

ne ⎛ 4πne 1 ⎞ ⎛ ω ⎞ p 

σω ( ) =− i και ε (ω)= ⎜1- µε1 

2 ⎟= ⎜ − 2 ⎟ 

mω⎝ mε 

ω ⎠ 

⎜ ω ⎟ 

⎝ ⎠ 


Όπου ωp είναι γνωστή ως συχνότητα πλάσµατος. Αν ωωp, η 

λύση έχει ταλαντωτική µορφή και το µέταλλο, ο µεταλλικός ατµός στην δίκη µας περίπτωση, 

είναι διαφανής από την προσπίπτουσα συχνότητα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. 

113


3.4 Αρχές επίδρασης Laser σε υλικά 

Γενικά η ισχύς µιας προσπίπτουσας ακτινοβολίας διαχωρίζεται σε τρία µέρη, το ανακλώµενο, 

το απορροφώµενο και το διερχόµενο µέρος. Τα µεταλλικά υλικά είναι αδιαφανή, εποµένως 

το τρίτο µέρος, το διερχόµενο, είναι µηδέν. Η ηλεκτρική αγωγιµότητα του υλικού 

επηρεάζετε από τη συχνότητα του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος (ακτινοβολία Laser), που 

επιδρά σε αυτό. Για το λόγο αυτό η απορροφητικότητα που παρουσιάζει ένα υλικό διαφέρει 

αναλόγως της συχνότητας και άρα του µήκους κύµατος εκποµπής του Laser. Όταν ένα 

ηλεκτροµαγνητικό κύµα, όπως είναι η ακτινοβολία Laser, επιδράσει στα άτοµα της 

επιφάνειας ενός µεταλλικού υλικού αρχίζει µια έντονη κίνηση ηλεκτρονίων υπό την επίδραση 

του ηλεκτρικού πεδίου. Από το δηµιουργούµενο αυτό ρεύµα και λόγω της πεπερασµένης 

ηλεκτρικής αγωγιµότητας που παρουσιάζει το υλικό, εµφανίζεται το φαινόµενο Joule, µε 

αποτέλεσµα η θερµοκρασία των επιφανειακών στοιβάδων του υλικού να αυξάνεται. 

Υπό την επίδραση της ακτινοβολίας η θερµοκρασία του υλικού, όπως προαναφέρθηκε, 

συνεχώς αυξάνεται και αν η ένταση της ακτινοβολίας είναι αρκετή, τότε το υλικό αρχίζει να 

τήκεται. Με την τήξη η αγωγιµότητα µειώνεται και άρα η απορροφητικότητα του υλικού 

αυξάνεται. Εάν η θερµοκρασία φθάσει σε υψηλότερα επίπεδα λόγω εντονότερης 

ακτινοβολίας τότε παρατηρείται εξάτµιση και αποµάκρυνση υλικού. 

Σε µεγάλες εντάσεις ακτινοβολίας τα ελευθέρα ηλεκτρόνια αναπτύσσουν µεγάλες ταχύτητες, 

µε αποτέλεσµα να ιονίζουν τους ατµούς που προέρχονται από το εξατµιζόµενο υλικό. Άµεση 

συνέπεια αυτού του φαινοµένου είναι ο σχηµατισµός πλάσµατος, το οποίο και παρεµβαίνει 

σηµαντικά µεταξύ της δέσµης και της υπό κατεργασία επιφάνειας. Το πλάσµα επιφέρει 

σηµαντική αύξηση της απορρόφησης της ενέργειας, ενώ παράλληλα ασκεί πίεση στο τηγµένο 

υλικό αλλοιώνοντας τη µορφή της επιφάνειας. 

Σε ακόµη µεγαλύτερες εντάσεις ακτινοβολίας δηµιουργείται πυκνότερο πλάσµα και συνήθως 

αποκολλάται από την επιφάνεια του υλικού. Λόγω αυτής της αποκόλλησής του από την 

επιφάνεια υλικού το πλάσµα καθίσταται και πάλι αραιότερο και άρα διαπερατό στην 

προσπίπτουσα ακτινοβολία. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα τη µείωση της ενέργειας που 

µεταφέρεται στο υλικό, αλλοιώνοντας την απορρόφηση. 

114


Στις πολύ υψηλές εντάσεις η οπτική ενέργεια της ακτινοβολίας Laser δρα υπό µορφή 

κρουστικού κύµατος, το οποίο κινείται µε υπερηχητικές ταχύτητες και συναντά την 

κατεργαζόµενη επιφάνεια του υλικού. Τα παραπάνω συνοψίζονται στο Σχήµα 3.4, όπου και 

παρουσιάζονται τα διάφορα αποτελέσµατα της επίδρασης Laser σε ένα υλικό ανάλογα µε την 

εφαρµοζόµενη πυκνότητα ισχύος. 

Σχήµα 3.4: Αποτελέσµατα επίδρασης Laser σχετιζόµενα µε την εφαρµοζόµενη πυκνότητα 

ισχύος 

Στο Σχήµα 3.5 παρουσιάζεται µια γενική και απλουστευµένη άποψη της επίδρασης της 

ακτινοβολίας Laser σε ένα µεταλλικό υλικό. 

Σχήµα 3.5: Γενική άποψη της επίδρασης του Laser σε µεταλλικά υλικά 

115


3.4.1 Απορρόφηση ακτινοβολίας από µη µεταλλικά υλικά 

Η διαφοροποίηση µεταξύ ενός µετάλλου και ενός µη µετάλλου βασίζεται συνήθως στη 

συµπεριφορά των ηλεκτρονίων κάτω από επιβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό συνδέεται µε 

την φυσική σηµασία της διηλεκτρικής σταθεράς. Παροµοίως τα µη-µεταλλικά υλικά υπό την 

έλλειψη κάποιας διέγερσης έχουν µόνο τα ηλεκτρόνια του πυρήνα κατά Drude και είναι 

διαφανή κυρίως στο υπέρυθρο (100>λ>1 µm), ορατό (1>λ>1 µm) και υπεριώδες 

(0.3>λ>0.01 µm) φάσµα. Υπάρχουν δυο εξαιρέσεις στον κανόνα: 

116 

1. Λόγω των µεταβάσεων από µια ενεργειακή στοιβάδα σε άλλη, όταν το 

προσπίπτον φωτόνιο έχει ενέργεια τουλάχιστον ίση µε την ενέργεια ζώνης (band 

gap energy). Στη κβαντοµηχανική αυτό αποκαλείται συντονισµός (resonance). 

2. Λόγω σύζευξης φωτονίων (phonon coupling) κοντά στην περιοχή του υπέρυθρου 

(λ~10 µm), που αντιστοιχεί σε ταλαντώσεις του κρυσταλλικού πλέγµατος πάρα σε 

µεταβάσεις ηλεκτρονίων. 

Οι αλλαγές οπτικών ιδιοτήτων από την απορρόφηση ακτινοβολίας σε µη-µεταλλικά υλικά 

µπορούν να καταταγούν σε δυο κατηγορίες: 

• Αυτο-εστιασµός (self-focusing ή self-defocusing) 

• ∆ηµιουργία ελευθέρων φορέων (free-carrier generation) 

Ο αυτο-εστιασµός αποδίδεται στη µεταβολή του πραγµατικού δείκτη διάθλασης λόγω της 

χωρικής κατανοµής (Gaussian) της ροής της ενέργειας του παλµού Laser: 

0 

2 

2 

r 

w I() r I e − 

= Εξίσωση: 3.30 

Όπου w είναι η ακτίνα της δέσµης. Αφού ο πραγµατικός δείκτης διάθλασης εξαρτάται από 

την πυκνότητα ισχύος του παλµού, οι οπτικές ιδιότητες αλλάζουν ακτινωτά και ο στόχος 

συµπεριφέρεται ως φακός. Εάν ο πραγµατικός δείκτης διάθλασης αυξάνει µε την ροή ισχύος, 

τότε το µέτωπο του επίπεδου κύµατος συγκλίνει (self-focusing). Αντίθετα, αν ο πραγµατικός 

δείκτης διάθλασης µειώνεται µε τη ροή ισχύος, τότε το µέτωπο του επιπέδου κύµατος


αποκλίνει (self-defocusing). Η αύξηση ή µείωση του δείκτη διάθλασης µπορεί να εξηγηθεί 

φυσικά από: 

• Μετατόπιση του φάσµατος απορρόφησης λόγω διαφοράς θερµοκρασίας 

• Αλλαγή πυκνότητας (θερµική διαστολή) λόγω διαφοράς θερµοκρασίας 

• Μη-γραµµική σχέση ανάµεσα στο ηλεκτρικό πεδίο και την πόλωση 

Ο µηχανισµός της αυτο-εστίασης περιορίζεται από τον άλλο µηχανισµό – δηµιουργία 

ελευθέρων φορέων - αφού δίνει αρνητικές τιµές στον δείκτη διάθλασης και δρα ως selfdefocusing. 

Η δηµιουργία ελεύθερων φορέων σε σηµαντική ποσότητα στα µη-µέταλλα είναι 

αποτέλεσµα θερµικής διέγερσης στην περίπτωση όπου (hωΕg). Για µεγάλες συγκεντρώσεις, η θερµική ισορροπία δεν επιτυγχάνεται µεταξύ των 

φορέων (ηλεκτρόνια και οπές) και του πλέγµατος. Η ισορροπία ενέργειας στη περιοχή του 

πλάσµατος που τροφοδοτείται από απορρόφηση ενέργειας από ενεργειακή στοιβάδα σε 

στοιβάδα (interband absorptions) και διαχέεται µέσω των µεταφορέων είναι µια διαδικασία 

πολύπλοκη και µακροσκελής. 

Μήκος 

Κύµατος (µm) 

Asphalt 

Indiana 

Limestone 

Στοιχείο 

Quartz Slate 

White 

marble 

MgO 

white 

pigment 

0.60 0.148 0.429 0.810 0.067 0.535 0.860 

4.4 - 0.203 0.079 0.134 0.064 0.610 

8.8 - 0.050 0.090 0.200 0.051 0.03 

Πίνακας 3.2: Συντελεστές ανάκλασης ως συνάρτηση του µήκους κύµατος της ακτινοβολίας Laser 

για µη µεταλλικά υλικά [5] 

3.4.2 Απορρόφηση ακτινοβολίας από µεταλλικά υλικά 

Για να µπορέσει η ακτινοβολία Laser να επιδράσει σε ένα µεταλλικό υλικό πρέπει κατά 

πρώτο λόγο να απορροφηθεί. Όσο απλό και αν φαίνεται η απορρόφηση της ακτινοβολίας 

αποτελεί ίσως το πιο κρίσιµο και πολλές φορές προβληµατικό στάδιο στις κατεργασίες 

µεταλλικών υλικών µε Laser. Η διαφοροποίηση µεταξύ ενός µεταλλικού και ενός µη- 

µεταλλικού υλικού βασίζεται συνήθως στην συµπεριφορά των ηλεκτρονίων, κάτω από 

επιβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο. 

117


Το ηλεκτρικό πεδίο ενός κύµατος που διαδίδεται, χωρίς να απορροφάται, σε ένα οµογενές 

µέσο δίνεται από τη σχέση [6]: 

όπου 

118 

2π 

zi 

E = E0exp 

λ −ωt 

• Ε: ένταση ηλεκτρικού πεδίου 

• z: συντεταγµένη κατά την διάδοση του κύµατος 

• ω: γωνιακή συχνότητα 

• λ: µήκος κύµατος ακτινοβολίας 

Η γωνιακή ταχύτητα (ω) και το µήκος κύµατος (λ) συνδέονται µέσω της σχέσης: 

⎛2π⎞⎛ c ⎞ 

λ = ⎜ ⎟⎜ 

⎟ 

ω n 

⎝ ⎠⎝ 1 ⎠ 



Όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός και n1 ο δείκτης διάθλασης. Ανάλογη σχέση υπάρχει και 

για το µαγνητικό πεδίο του κύµατος. Το εύρος του µαγνητικού και το εύρος του ηλεκτρικού 

πεδίου συνδέονται µέσω της σχέσης [6]: 

Όπου: 

H = E nεc Εξίσωση: 3.33 

0 0 1 0 

• H: η ένταση του µαγνητικού πεδίου 

• ε0: διηλεκτρική σταθερά στο κενό 

Αναλογικά ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο µεταφέρουν ίσο ποσό ενέργειας. Η δύναµη όµως η 

οποία ασκείται από το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο σε ένα ηλεκτρόνιο είναι [6]: 

⎡ ⎛n⎞⎛ ⎞⎤ 

=− ⎢ + ⎜ ⎟⎜ 

× ⎟ 

c 

⎥ 


⎣ ⎝ ⎠⎝ 

⎠⎦ 

→ → → → 

1 

f e E v H

Όπου: 

• e: φορτίο ηλεκτρονίου 

• v: ταχύτητα ηλεκτρονίου 


Η συνεισφορά όµως του µαγνητικού πεδίου στη δύναµη αυτή είναι µικρότερη της 

συνεισφοράς του ηλεκτρικού πεδίου κατά ένα συντελεστή v/c και συνήθως 

παραλείπεται. Η ένταση της ενέργειας του κύµατος, ανά µονάδα επιφάνειας (πυκνότητα 

Ενέργειας), δίνεται από τη σχέση [6]: 

→ → 

J = E× H = nεcE Εξίσωση: 3.35 

1 0 

2 

0 

Σε µέσα που παρουσιάζουν την ικανότητα να απορροφούν το ηλεκτροµαγνητικό κύµα ο 

δείκτης διάθλασης n1 πρέπει να αντικατασταθεί από ένα πιο σύνθετο δείκτη n. 

n= n1+ in2 


Από τις Εξισώσεις 3.31-3.36 παρατηρείται ότι η διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος 

κατά την διεύθυνση z έχει µειωθεί κατά exp(n2ωz/c). Αυτό υποδηλώνει ότι µέρος της οπτικής 

ενέργειας έχει απορροφηθεί. Ο συντελεστής απορρόφησης για ένταση ακτινοβολίας που 

δίνεται από την Εξίσωση: 3.35 είναι [6] 

⎛ 1 ⎞⎛dJ ⎞ 2ωn 4πn 

a =− ⎜ ⎟⎜ ⎟= 

= 

⎝ J ⎠⎝ dz ⎠ c λ 

2 2 


Το αντίστροφο του συντελεστή απορρόφησης (d=α -1 ) αναφέρεται ως µήκος απορρόφησης. 

Σε ανοµοιογενή µέσα ο δείκτης διάθλασης µεταβάλλεται στο χώρο. Οι µεταβολές αυτές 

µεταβάλλουν το µέτωπο διάδοσης του κύµατος, προκαλούν εκτροπή στην ακτινοβολία και 

αποτελούν γενικά παράγοντα δηµιουργίας δευτερογενών κυµάτων. Η ανακλαστικότητα (R) 

ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, το οποίο προσπίπτει σε επίπεδο στερεό µε δείκτη 

διάθλασης n, δίνεται από το νόµο του Fresnel [8]: 

119


Όπου k συντελεστής απόσβεσης 

120 

( ) 2 2 

n− 1 + k 

R = 

( n+ 1) + k 

2 2 


Ο δείκτης διάθλασης (n) συνδέεται µε τη διηλεκτρική σταθερά (ε) και την ηλεκτρική 

αγωγιµότητα (σ) µέσω της σχέσης [6]: 

ε + iσ 

= = ε = ε + ε 


2 

n 1 i 2 

εω 0 

Τα πραγµατικά και φανταστικά µέρη των n και ε είναι [6]: 

2 2 2 ε + ε1 2 ε −ε1 

ε1 = n1 − n2 ε2 

= 2 nn 1 2 n1 = n2 

= Εξίσωση: 3.40 

2 2 

Με µια πρώτη προσέγγιση η επίδραση του Laser σε µεταλλικά υλικά µπορεί να θεωρηθεί 

ανεξάρτητη από το περιβάλλον. Οι οπτικές ιδιότητες των µετάλλων είναι αδιάρρηκτα 

συνδεδεµένες µε τα ηλεκτρόνια της εξωτερικής στοιβάδας – conduction free electrons. Το 

κύριο φαινόµενο το οποίο παρατηρείτε είναι η αλληλεπίδραση φωτονίων και ελευθέρων 

ηλεκτρονίων. Η οπτική συµπεριφορά ενός µεταλλικού υλικού εξαρτάται κατά κύριο λόγο 

από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια αγωγιµότητας. Ο βασικός µηχανισµός περιγράφεται ως 

ακολούθως: ένα κβάντα ενέργειας απορροφάται από ένα ηλεκτρόνιο, το οποίο ανεβαίνει 

σε υψηλότερη ενεργειακή στοιβάδα και συγκρούεται µε άλλα ηλεκτρόνια καθώς και 

φωτόνια του πλέγµατος δίδοντας µέρος της ενέργειας του, η οποία εξωτερικεύεται ως 

θερµότητα. Λόγω εκφυλισµού του ηλεκτρονικού νέφους µόνο τα ηλεκτρόνια πλησίον της 

στάθµης Fermi (τα οποία είναι περισσότερο γνωστά ως ελευθέρα ηλεκτρόνια) καθορίζουν τις 

οπτικές ιδιότητες του µεταλλικού υλικού. Τα ηλεκτρόνια τα οποία διεγείρονται λόγω 

απορρόφησης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας χάνουν ενέργεια για να επιστρέψουν στην 

κατάσταση ισορροπίας, αφού σκεδαστούν στα φωτόνια ή στις διάφορες ανωµαλίες του 

πλέγµατος. Στα µέταλλα δεν υπάρχουν συχνότητες συντονισµού για τα ηλεκτρόνια της 

εξωτερικής στοιβάδας. Η µόνη αλληλεπίδραση µε το κρυσταλλικό πλέγµα γίνεται µέσω των 

κρούσεων. Στην παράγραφο 3.3 παρουσιάστηκε η µιγαδική διηλεκτρική σταθερά ως 

συνάρτηση της ηλεκτρικής αγωγιµότητας. Ακόµη παρουσιάστηκε πως η συχνότητα του


πλάσµατος διαχωρίζει τα µέταλλα σε αυτά µε υψηλό και χαµηλό δείκτη απορροφητικότητας. 

Τυπικοί συντελεστές απορρόφησης και ανάκλασης συναρτήσει του µήκους κύµατος για 

συχνά κατεργαζόµενα µεταλλικά υλικά δίνονται από τον Πίνακα 3.3. 

Μήκος 

Κύµατος (µm) 

Στοιχείο 

Cu Ni Fe W Cr Ag 

0.251 0.259 0.378 0.380 0.150 0.320 0.341 

0.305 0.253 0.442 0.440 0.250 0.370 0.091 

0.357 0.273 0.488 0.500 0.280 0.410 0.745 

0.500 0.437 0.608 0.560 0.493 0.550 0.927 

0.700 0.834 0.688 0.580 - 0.560 0.946 

1.0 0.901 0.720 0.630 0.623 0.570 0.964 

2.0 0.955 0.835 0.770 0.846 0.630 - 

3.0 0.971 0.887 0.830 0.905 0.700 0.981 

5.0 0.979 0.944 - 0.940 0.810 0.981 

9.0 0.984 0.956 0.930 0.905 0.920 - 

Πίνακας 3.3: Τυπικοί συντελεστές ανάκλασης συναρτήσει του µήκους κύµατος ακτινοβολίας 

Laser για µεταλλικά υλικά [5] 

Η διηλεκτρική συνάρτηση στην περίπτωση των µεταλλικών υλικών δίνεται από τη σχέση: 

Όπου: 

( ) 

1 i 1 

τ ⎛ ⎞ 

ε = + ω ⎜− τ + + ω τ 

ω 

⎟ 

⎝ ⎠ 

2 e 

2 2 

p e c 

• τc : µέσος χρόνος µεταξύ δυο συγκρούσεων 

• ωp : γωνιακή συχνότητα πλάσµατος 

Η συχνότητα πλάσµατος χωρίζει τις οπτικές ιδιότητες σε δυο κατηγορίες: 

• ωωp µικρή ανακλαστικότητα, µικρός συντελεστής απορρόφησης 


• ω=ωp το οποίο εµφανίζεται στο υπεριώδες για τα µεταλλικά υλικά, το ε1 και το n1 

µηδενίζονται. 

121


Ο συντελεστής ανάκλασης στα µέταλλα µειώνεται συνήθως γραµµικά µε την αύξηση της 

θερµοκρασίας. Αυτό συνοδεύεται από µείωση της αγωγιµότητας που γίνεται πιο εµφανής 

κατά την διάρκεια της τήξης. Η παραπάνω αντιµετώπιση ισχύει µόνο για οµογενή µέσα. 

Στην περίπτωση ύπαρξης προσµίξεων και εγκλεισµάτων, µε µέγεθος ένα η περισσότερα µήκη 

κύµατος, υπάρχει σκέδαση στα όρια των κόκκων που αντιστοιχεί σε αύξηση της 

απορροφητικότητας. Τέλος θα πρέπει να επισηµανθεί η σηµαντική απόκλιση των δεδοµένων 

του συντελεστή ανάκλασης στη βιβλιογραφία. Αυτό οφείλεται κυρίως στις προσµίξεις από 

στρώµατα οξειδίων. 

122

3.5 Μηχανισµοί αποµάκρυνσης υλικού 


Η ιδιαίτερα σύντοµη περίοδος θέρµανσης και ο υψηλός ρυθµός αυτής κατά την αποδόµηση 

µε FS Laser συµβάλλουν στο να θεωρείται η διαδικασία µεταβολής της θερµότητας 

σηµαντικά διαφορετική µε αυτή που παρατηρείται µακροσκοπικά. Για τα µεταλλικά υλικά 

τόσο κατά την διάρκεια όσο και µετά το πέρας της απορρόφησης FS παλµών, όπως φαίνεται 

στο Σχήµα 3.6 υπάρχουν τρεις κύριες διεργασίες [9]. Κατά την πρώτη (3.6α) τα ηλεκτρόνια 

διεγείρονται από την δέσµη του Laser και κινούνται µέσα στο µεταλλικό υλικό µε ταχύτητες 

της τάξης των 10 6 m/s. Τα ελεύθερα αυτά ηλεκτρόνια χαρακτηρίζονται ως ηλεκτρόνια 

υψηλής αστάθειας και η θερµοκρασία τους δεν είναι καθορισµένη, αφού η κατανοµή 

ενέργειας δεν ακολουθεί την κατανοµή ισορροπίας Fermi. Εκτόνωση αυτών των 

ηλεκτρονίων συντελείται µε εσωτερικές κρούσεις. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως 

«Ballistic Energy Transport» κατά τους Brorson et al. και Hohlfield et al. [10][11]. Μετά 

την παρέλευση συγκεκριµένης περιόδου κρούσεων η δεύτερη διαδικασία (Σχήµα 3.6β) 

ξεκινάει και χαρακτηρίζεται από διάχυση ηλεκτρονίων. Η κατανοµή Fermi ισχύει και άρα η 

θερµοκρασία των ηλεκτρονίων µπορεί τώρα να προσδιοριστεί. Η θερµοκρασία των 

ηλεκτρονίων µειώνεται, ενώ η θερµοκρασία της κρυσταλλικής δοµής αυξάνεται λόγω της 

αλληλεπίδρασής τους. Το φαινόµενο αυτό συνεχίζεται έως ότου τα δυο συστήµατα 

ηλεκτρονίων και κρυσταλλικής δοµής φτάσουν σε θερµική ισορροπία (Σχήµα 3.6γ) και η 

µετάδοση ενέργειας πλέον καθορίζεται από τις κοινές µακροσκοπικές θερµικές διαχύσεις. Το 

φαινόµενο «Ballistic Electron Transport» θεωρείται πολύ σηµαντικό για ευγενή µέταλλα, 

όπως ο χρυσός, αλλά λιγότερο σηµαντικό για µέταλλα µετάπτωσης όπως το Ni [9]. Τα 

ηλεκτρόνια φτάνουν σε κατάσταση ισορροπίας µέσα σε κάποια picosecond [11][14], ενώ η 

αλληλεπίδραση ηλεκτρονίων και κρυσταλλικής δοµής πραγµατοποιείται σε κλίµακα µερικών 

δεκάδων picosecond, εποµένως το φαινόµενο «Ballistic Electron Transport» µπορεί να 

αγνοηθεί κατά την µελέτη µετάλλων µεταπτώσεως. Η κυρίαρχη θεωρία που εξηγεί την 

απορρόφηση της ενέργειας του Laser και της θέρµανσης µεταλλίκων υλικών από αυτή 

ονοµάζεται διθερµοκρασιακό µοντέλο. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια και η κρυσταλλική δοµή σε 

µεταλλικά υλικά µελετώνται ως δυο ξεχωριστά υποσυστήµατα µε τα δικά του 

χαρακτηριστικά το καθένα. Οι θερµοκρασίες των ηλεκτρονίων και της κρυσταλλικής δοµής 

περιγράφονται από τις αντίστοιχες εξισώσεις. Η ενέργεια που µεταφέρεται από την ακτίνα 

του Laser απορροφάται µόνο από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια και µεταδίδεται στην κρυσταλλική 

δοµή µέσω της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίων κρυσταλλικής δοµής [12]-[14]. 

123


Σχήµα 3.6: Οι τρεις µηχανισµοί µετάδοσης ενέργειας κατά την διάρκεια επίδρασης 

Femptosecond παλµών Laser και υλικού. Αριστερή στήλη: Κατανοµές πυκνοτήτων 

κατάστασης (Density of state – DOS), ∆εξιά στήλη κατανοµή ενεργείας στο εσωτερικό του 

υλικού [9]. 

Στο διθερµοκρασιακό µοντέλο, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια και η κρυσταλλική δοµή είναι 

αρχικά σε ισορροπία και στην ίδια θερµοκρασία. Όταν η δέσµη του Laser προσπίπτει στην 

επιφάνεια του υλικού τα ελευθέρα ηλεκτρόνια απορροφούν την ενέργεια αυτή και κατά 

συνέπεια η θερµοκρασία τους αυξάνεται. Μιας και η ειδική θερµοκρασία των ηλεκτρονίων 

είναι κατά κύριο λόγο µικρό µέγεθος και η ακτίνα του Laser ιδιαίτερα σφοδρή τα ηλεκτρόνια 

αποκτούν ιδιαίτερα υψηλή θερµοκρασία, ενώ ακόµη η θερµοκρασία της κρυσταλλικής δοµής 

παραµένει χαµηλή. Με την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίων και κρυσταλλικής δοµής 

παρατηρείται µεταφορά θερµότητας µεταξύ των δυο αυτών συστηµάτων. Με την πάροδο 

µερικών picosecond τα δυο συστήµατα θα φτάσουν σε κατάσταση ισορροπίας. Κατόπιν η 

µεταφορά ενέργειας στο υλικό ακολουθεί την κλασική διαδικασία µετάδοσης θερµότητας. 

Εφόσον η ενέργεια του Laser είναι ιδιαίτερα υψηλή στο υλικό θα υπάρξουν αλλαγές φάσεων 

κατά την διάρκεια της περιόδου ακτινοβόλησής του. 

124 

α) 

β) 

γ)


Μετά την απορρόφηση της ενέργειας του Laser από το υλικό η θερµοκρασία ηλεκτρονίων 

και κρυσταλλικής δοµής αυξάνουν ραγδαία. Όταν η θερµοκρασία είναι αρκετά υψηλή 

συγκεκριµένες αλλαγές φάσης λαµβάνουν χώρα και µέρος του υλικού αποµακρύνεται από 

τον αρχικό όγκο. Σύνθετα θερµικά και µηχανικά φαινόµενα συµβαίνουν κατά την διάρκεια 

αυτής της περιόδου και όπως θα εξηγηθεί στην συνέχεια πολλοί παράγοντες συµβάλλουν 

στην αποµάκρυνση του υλικού. Η θερµοκρασία είναι ο πιο σηµαντικός παράγοντας, έτσι 

ώστε να υπάρξει αποκόλληση υλικού. Τα ηλεκτρόνια και η κρυσταλλική δοµή θερµαίνονται 

από την ακτινοβόληση µε Laser, γεγονός που οδηγεί στην αύξηση της θερµοκρασίας της 

κρυσταλλικής δοµής και κατά συνέπεια παρατηρούνται φαινόµενα τήξης και εξάτµισης. 

Συνήθως το τηγµένο υλικό κατόπιν της αποδόµησης στερεοποιείται και εναποτίθεται στην 

στερεά κατάσταση. Οι ερευνητές ενδιαφέρονται περισσότερο για την µετάβαση από τη 

στερεά ή υγρή κατάσταση στην αέρια, η οποία είναι και υπεύθυνη για την αποµάκρυνση 

του υλικού. Υπάρχουν διάφορες καταστάσεις στις οποίες υπεισέρχεται το υλικό κατά τη 

µετάβαση από την υγρή στην αέρια φάση, ανάλογα µε το ρυθµό θέρµανσης, την αρχική 

θερµοκρασία του υλικού προ της αποδόµησης κ.α.. 

1. Η πρώτη είναι η συνήθης εξάτµιση, κατά την οποία τα µόρια ή άτοµα περνούν 

από την υγρή στην αέρια φάση. Για την FS αποδόµηση ο ρυθµός 

κανονικής/συνήθους εξάτµισης είναι ιδιαίτερα µικρός [14][15] σε σύγκριση µε 

την ογκοµετρική αλλαγή φάσης. Συνεπώς η αποµάκρυνση υλικού µέσω 

κανονικής εξάτµισης µπορεί να αγνοηθεί για την FS Laser αποδόµηση. 

2. Ο συνήθης βρασµός είναι ένας άλλος τρόπος κατά τον οποίο τα µόρια και άτοµα 

περνούν από την υγρή στην αέρια φάση. Αέριες φυσαλίδες προκαλούνται σε όλο 

τον όγκο του υγρού υλικού. Συνήθης βρασµός συµβαίνει όταν η θερµοκρασία 

του υγρού είναι ίση ή ελαφρώς µεγαλύτερη από αυτή του σηµείου ισορροπίας 

µεταξύ υγρού και αερίου. Έρευνες έχουν δείξει ότι συνήθης βρασµός δεν µπορεί 

να υπάρξει σε χρονικές κλίµακες κατώτερες των 100 nanoseconds [15]. Οι 

αλλαγές φάσης κατά την αποδόµηση µε FS Laser συµβαίνουν σε πολύ µικρότερα 

διαστήµατα του ενός nanosecond, άρα ο συνήθης βρασµός δεν είναι ένας από 

τους κυρίαρχους παράγοντες για την αποµάκρυνση υλικού κατά την FS 

αποδόµηση. 

3. Στην περίπτωση που ο ρυθµός θέρµανσης είναι ιδιαίτερα υψηλός, οµογενής 

πυρήνωση φυσαλίδων αερίου παρουσιάζεται µέσα στον όγκο του υλικού, όταν η 

125


126 

θερµοκρασία φτάσει στο διπλό σηµείο. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται έκρηξη 

φάσης ή εκρηκτικός βρασµός. 

Όπως ήδη αναφέρθηκε παραπάνω, το κυριότερο ερώτηµα είναι το πως κατά την 

φωτοαποδόµηση ενός υλικού αυτό θα καταφέρει να περάσει στην αέρια φάση και κατά 

συνέπεια να αποµακρυνθεί από τον αρχικό όγκο. Έως τώρα έχουν πραγµατοποιηθεί πολλές 

µελέτες ώστε να κατανοηθούν οι διαδικασίες οι οποίες ευθύνονται για αυτό και έχουν 

προκύψει κάποια βασικά περιγραφικά χαρακτηριστικά του φαινοµένου. 

• H διαδικασία της φωτοαποδόµησης χαρακτηρίζεται από ένα συγκεκριµένο 

“κατώφλι” πυκνότητας ενέργειας Laser. Σε εντάσεις κάτω από αυτό, 

παρατηρείται αφαίρεση απειρολάχιστου πάχους υλικού µικρότερο από 0.01 µm 

ανά παλµό. Όταν όµως αυτό ξεπεραστεί, το βάθος αφαίρεσης (etch depth) ανά 

παλµό αυξάνεται έντονα µε τη πυκνότητα ενέργεια του Laser. 

• To κατώφλι αυτό εξαρτάται κυρίως από τη δοµή του υλικού-στόχου και το 

συντελεστή απορρόφησής του στα µήκη κύµατος ακτινοβόλησης. 

• Όταν η πυκνότητα ενέργειας του Laser F, είναι µόλις πάνω από το κατώφλι, το 

βάθος αφαίρεσης d, ανά παλµό, µεταβάλλεται λογαριθµικά µε αυτή: 

⎛ F ⎞ 

d∞ 

ln ⎜ ⎟ 

⎝ Fth 

⎠ 

όπου Fth είναι η πυκνότητα ενέργεια -κατώφλι. 


Με την αύξηση της πυκνότητας ενέργειας, η σχέση αυτή µεταβάλλεται από λογαριθµική σε 

σχεδόν γραµµική: 

d∞( F − F ) 


0 

όπου Fo είναι µια χαρακτηριστική πυκνότητα ενέργειας Laser, συνήθως µεγαλύτερη από το 

κατώφλι. Πάντως, το επακριβές σχήµα της εξάρτησης διαφοροποιείται αρκετά από 

υλικό σε υλικό και ανάλογα µε το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας που χρησιµοποιείται. 

Επιπλέον, υπάρχουν και διάφορες πειραµατικές παράµετροι (όπως ο αριθµός παλµών) 

που επηρεάζουν το σχήµα της εξάρτησης. Έτσι έχει παρατηρηθεί ότι:


• Το φαινόµενο της φωτοαποδόµησης, όταν πραγµατοποιείται στον αέρα, 

συνοδεύεται και από ένα ακουστικό κύµα. 

• Κατά την εκρηκτική αποδόµηση σχηµατίζεται πληθώρα φωτοπροϊόντων, η φύση 

και η ποσότητα των οποίων είναι σε άµεση εξάρτηση µε το υλικό, το µήκος 

κύµατος και την ένταση ακτινοβόλησης. 

• Μια τυπική θερµοκρασία που επιτυγχάνεται κατά τη διάρκεια της 

φωτοαποδόµησης σε µεταλλικά υλικά είναι της τάξης των 4000 0 Κ. Η 

θερµοκρασία αυτή παρατηρείται να αυξάνεται µε την ένταση ακτινοβόλησης. 

Γενικά, η αναπτυσσόµενη θερµοκρασία διαφέρει σε άλλα συστήµατα. 

• Οι τυπικές ταχύτητες των προϊόντων της Laser φωτοαποδόµησης κυµαίνονται 

από 1000 m/s µέχρι 2000 m/s. Ενώ η ποσότητα του υλικού που αφαιρείται είναι 

σε άµεση εξάρτηση µε την προσπίπτουσα ένταση ακτινοβόλησης, η κατανοµή 

των ταχυτήτων εξαρτάται ελάχιστα από αυτή την παράµετρο. Επίσης, είναι 

κυρίως κάθετη προς την επιφάνεια του ακτινοβολούµενου υποστρώµατος. 

• Η ταχύτατη έναρξη της διαδικασίας εκτίναξης του υλικού, σε συνδυασµό µε την 

πολύ µεγάλη ταχύτητα εκτίναξης, οδηγεί στο σχηµατισµό ενός διαστελλόµενου 

αερίου όγκου, από προϊόντα της φωτοαποδόµησης, κατά τη διάρκεια του παλµού 

Laser. 

Παρόλο που τα προηγούµενα χαρακτηριστικά της φωτοαποδόµησης είναι κοινά για όλα τα 

συστήµατα που έχουν µελετηθεί, υπάρχουν σηµαντικές άλλες διαφοροποιήσεις ανάλογα µε 

την φύση του υποστρώµατος (π.χ. χωρική σύσταση, κρυσταλλική δοµή), οπότε ο ακριβής 

µηχανισµός ακόµη παραµένει αντικείµενο εντατικής έρευνας και επιστηµονικής διαµάχης. 

Με βάση τις µέχρι τώρα θεωρητικές και πειραµατικές µελέτες, έχουν προταθεί διάφοροι 

πιθανοί µηχανισµοί, οι οποίοι και θα παρουσιαστούν στην συνέχεια. Οι επικρατέστεροι από 

αυτούς [16][17] που έχουν προταθεί για την επεξήγηση την διαδικασίας της εκτίναξης του 

υλικού είναι κυρίως τέσσερις 

• Φωτοθερµικός µηχανισµός • Φωτοχηµικός 

• Φωτοµηχανικός. • Εκρηκτικός βρασµός-Explosive boiling 

Συγκεντρωτικά η σχέση µηχανισµών, κατωφλιού φωτοαποδόµησης και εφαρµοζόµενης 

πυκνότητας ενέργειας φαίνεται στο Σχήµα 3.7. 

127


128 

Σχήµα 3.7: ∆ιασύνδεση µηχανισµών, κατωφλιού φωτοαποδόµησης και εφαρµοζόµενης 

πυκνότητας ενέργειας. 

3.5.1 Φωτοθερµικός µηχανισµός 

Με βάση το φωτοθερµικό µηχανισµό η αρχική ηλεκτρονική διέγερση των σωµατίδιων στο 

υπόστρωµα µετατρέπεται πολύ γρήγορα σε θερµική (δηλαδή τα σωµατίδια αποδιεγείρονται 

και η ενέργεια κατανέµεται στατιστικά στους διάφορους βαθµούς ελευθερίας των 

σωµατίδιων της ακτινοβολούµενης περιοχής) µε αποτέλεσµα η αύξηση της θερµοκρασίας να 

δίνεται µε βάση την ακόλουθη σχέση: 

αF 

LASER −az 

∆Τ = e 


ρCp 

όπου α είναι ο συντελεστής απορρόφησης των σωµατίδιων, ρ η πυκνότητα και C p η 

θερµοχωρητικότητα ανά µονάδα όγκου και z βάθος της οπτικής διείσδυσης. Ο συντελεστής 

απορρόφησης µετριέται σε cm -1 , άρα το γινόµενο α⋅F LASER παριστάνει την ενέργεια που 

απορροφάται ανά µονάδα όγκου από το υλικό. Η αύξηση αυτή γίνεται στο χρόνο της 

διάρκειας του παλµού. Σύµφωνα µε το θερµικό µηχανισµό δεν υπάρχει συγκεκριµένο 

κατώφλι φωτοαποδόµησης. Κι αυτό επειδή στην Εξίσωση 3.44 η µέγιστη θερµοκρασία Τ 

που επιτυγχάνεται είναι γραµµική συνάρτηση του F , οπότε ο ρυθµός αποδόµησης ανά 

LASER 

παλµό θα είναι Κ∼(-∆Ε activ αποδ/RF(T)), που είναι επίσης απλή συνάρτηση της θερµοκρασίας 

Τ. Ο θερµικός µηχανισµός επεξηγεί ορισµένα χαρακτηριστικά της φωτοαποδόµησης: 

1. Τη γραµµική, περίπου, αύξηση του όγκου του υλικού που αποµακρύνεται ως 

συνάρτηση της έντασης του Laser. Η γραµµική αυτή αύξηση θεωρείται, εν γένει,


µια από τις σηµαντικότερες ενδείξεις υπέρ του θερµικού µηχανισµού. Θα πρέπει 

όµως να τονισθεί ότι οι τιµές ∆Ε αποδόµησης που προσδιορίζονται από την 

activation 

ανάλυση της εξάρτησης διαφέρουν, συνήθως αρκετά, από τις θερµοδυναµικές 

τιµές (π.χ. ενέργεια διάσπασης, ενέργεια εξάχνωσης κλπ). 

2. Τη γενική παρατήρηση, ότι υποστρώµατα µε µικρή ενέργεια συνοχής (cohesive 

energy) έχουν µικρότερο κατώφλι αποδόµησης και ότι η ακτινοβολούµενη 

περιοχή έχει οµοιόµορφη επιφάνεια, η οποία πολλές φορές µοιάζει µε λειωµένη. 

Σαν παράδειγµα, παρουσιάζουµε παρακάτω φωτογραφία ακτινοβοληµένου 

πολυµερούς 

Σχήµα 3.8: Φωτογραφίες οπών που έχουν σχηµατιστεί σε ακτινοβοληµένο δείγµα 

πολυµερούς, Πολυκαρβονυλίου (PEC). Η ακτινοβόληση έγινε µε ένα XeCl excimer Laser 

(λ=308 nm, fluence=7.8 J/cm2, 15 παλµών). Αριστερά (a) φαίνεται η περίπτωση καθαρού 

PEC και δεξιά (b) η αντίστοιχη περίπτωση του Polyester carbonate-PEC, οπότε και 

επιτυγχάνεται µεγαλύτερη απορρόφηση στο µήκος κύµατος της ακτινοβολίας που 

χρησιµοποιείται. Είναι ιδιαίτερα εµφανείς οι µορφολογικές διαφορές στα δύο δείγµατα [18] 

Η παρατήρηση “περιοχής λιωµένου υλικού” είναι συνηθισµένη. Ιδιαίτερα όταν το 

ακτινοβολούµενο υλικό δεν απορροφάει έντονα στο µήκος κύµατος που χρησιµοποιείται, 

εµφανίζει εξαιρετικά ανώµαλη επιφάνεια. Εσωτερικά, µάλιστα, διακρίνονται φυσαλίδες, οι 

οποίες θεωρείται ότι περιέχουν αέριο όπως CO, CO2 ή και O2. Στην περίπτωση, όµως, που 

στο χρησιµοποιούµενο µήκος κύµατος απορροφάται έντονα η ενέργεια από το υλικό, τοτε 

γίνεται καθαρό ‘φάγωµα’ (οι άκρες και γενικά η επιφάνεια της τρύπας είναι εξαιρετικά 

οµαλές). Ο λόγος για τη διαφορά στην έκταση των αλλαγών έχει να κάνει µε το µέγεθος της 

θερµικής διάχυσης thermal diffusivity σε σχέση µε το συντελεστή απορρόφησης. 

Συγκεκριµένα, η έκταση της περιοχής στην οποία αυξάνει η θερµοκρασία και, εποµένως, η 

έκταση της περιοχής που πιθανόν να έχουµε θερµική καταστροφή Heat Affected Zone δίνεται 

από τη σχέση: 

HAZ = 2 Dt 


129


όπου D η thermal diffusivity του υλικού και t το χρονικό διάστηµα στο οποίο η ενέργεια 

µπορεί να διαχυθεί. Αν τώρα θεωρήσουµε ότι η ενέργεια (θερµότητα) διαχέεται µόνο κατά 

τη διάρκεια του παλµού, τότε για τυπικές τιµές D, βρίσκεται ότι η Heat Affected Zone 

κυµαίνεται µεταξύ 1.5 και 25 µm. Έτσι, αν το βάθος οπτικής διείσδυσης (optical penetration 

depth) είναι µεγάλο, έχουµε καταστροφή σε µεγάλο βάθος. Εποµένως, οι µορφολογικές 

παρατηρήσεις παρέχουν ενδείξεις για θερµικό µηχανισµό, αλλά επηρεάζονται από τις οπτικές 

και άλλες ιδιότητες του υλικού και δεν µπορούν να θεωρηθούν ως βασικό αποδεικτικό 

στοιχείο. Για να κατανοηθεί περαιτέρω η διαδικασία της θερµικής διάσπασης των δεσµών 

πρέπει να επιλυθεί το πρόβληµα της θερµικής αγωγιµότητας, λαµβάνοντας υπόψιν την 

θερµική αποσύνθεση του υλικού. Συνήθως η περιγραφή της θερµικής εξίσωσης γίνεται µε 

την µορφή της ενθαλπίας που αναπαριστά κατάλληλα την αλλαγή φάσης κατά το ‘λιώσιµο’ 

του υλικού. Αν θεωρήσουµε ότι η κίνηση της διεπιφάνειας γίνεται στον z-άξονα, η 

διαφορική εξίσωση που περιγράφει το πρόβληµα είναι της µορφής: 

130 

−az 

( Ie ) 

∂H ∂H ∂ ∂T 

∂ 

− u = ( k ) − 

∂t ∂z ∂z ∂z ∂z 

, 

T 

= ρ ∫ 

T 0 

' ' Εξίσωση: 3.46 

HT ( ) CT ( ) dT 

µε κύρια οριακή συνθήκη την απώλεια ενέργειας στην επιφάνεια που οφείλεται στην 

εκτίναξη του υλικού: 

∂T ∂H 

k = D = u ∆H − H + H T 

∂z ∂z 

v 

( ( ) ) 

z= 0 z= 0 

vap s s 


Στις παραπάνω εξισώσεις µε υ εκφράζεται ο ρυθµός αποµάκρυνσης του υλικού, µε k η 

θερµική αγωγιµότητα, µε D o συντελεστής θερµικής διάχυσης και ο όρος µέσα στην 

παρένθεση εκφράζει την διαφορά ενθαλπίας µεταξύ ατµών και συµπυκνωµένης φάσης. Είναι 

δηλαδή η ενθαλπία στο υπόστρωµα της διεπιφάνειας και η ενθαλπία ατµών: 

Ts 

v ( v) 

' ' 

H = ρ ∫ c ( T ) dT 


s p 

To

3.5.2 Φωτοµηχανικός µηχανισµός 


Σύµφωνα µε τον µηχανισµό αυτό η µεγάλη και ταχύτατη αύξηση της θερµοκρασίας του 

υλικού, ως συνέπεια της ακτινοβόλησης, συνεπάγεται απότοµη διαστολή της περιοχής. Το 

περιβάλλον υλικό δεν έχει χρόνο να προσαρµοστεί στην αλλαγή αυτή του όγκου, µε 

αποτέλεσµα να αναπτύσσονται ισχυρές απωστικές δυνάµεις στη θερµαινόµενη ζώνη που 

οδηγούν στην εκτίναξη του υλικού πριν αυτό λιώσει [16]-[18]. Το µέγεθος αυτών των 

τάσεων εξαρτάται από τη σχέση ανάµεσα στο ρυθµό εναπόθεσης της ενέργειας και το 

χαρακτηριστικό χρόνο µηχανικής ισορροπίας του απορροφούντος όγκου, τs. Όταν η διάρκεια 

του παλµού Laser είναι µικρότερη ή συγκρίσιµη µε το χρόνο που απαιτείται για την 

‘µηχανική’ ισορροπία µέσα στον απορροφούντα όγκο, η θέρµανση λαµβάνει χώρα υπό 

συνθήκες σχεδόν σταθερού όγκου, µε αποτέλεσµα την ανάπτυξη υψηλής θερµοελαστικής 

πίεσης. Αυτή η συνθήκη, η οποία είναι γνωστή σαν ‘συνθήκη αδρανούς περιορισµού ή 

περιορισµού υπό πίεση (inertial or stress confinement), µπορεί να εκφραστεί από τη σχέση: 

τ < τ ∼ L / c 


pulse ac p s 

όπου cs είναι η ταχύτητα του ήχου στο ακτινοβολούµενο υλικό και Lp το βάθος διείσδυσης 

της ακτινοβολίας του Laser σε αυτό. Έχει αποδειχθεί, µε µια σειρά από αναλυτικούς 

υπολογισµούς, ότι η θερµοελαστική πίεση που αναπτύσσεται στην περιοχή απορρόφησης 

µπορεί να οδηγήσει στη δηµιουργία τάσεων, αρκετά ισχυρών, ώστε να προκληθεί ένα είδος 

‘κατακερµατισµού’ του εύθραυστου υλικού. Η συνένωση των µικρορωγµών αυτών ή των 

κοιλοτήτων σε όλη τη γύρω ακτινοβολούµενη περιοχή µπορεί µε τη σειρά της να οδηγήσει 

στη µηχανική διάσπαση και εκτίναξη µεγάλων και, σχετικά κρύων, κοµµατιών υλικού. Όλη 

αυτή η διαδικασία, λογικά, θα έπρεπε να απαιτεί πυκνότητα ενέργειας αρκετά µικρότερη από 

την αντίστοιχη που απαιτείται για εξάτµιση. H αλλαγή στον όγκο οδηγεί στη ‘γένεση’ 

ωστικών κυµάτων (shock waves) τα οποία διαδίδονται στο υλικό. Πράγµατι, µε τη χρήση 

πιεζοηλεκτρικών κρυστάλλων/ανιχνευτών έχει προσδιορισθεί η ανάπτυξη ισχυρών 

ακουστικών κυµάτων κατά τη φωτοαποδόµηση υλικών. 

131


Σχήµα 3.9: Συνεχή απεικόνιση του ωστικού κύµατος κατά την ακτινοβόληση πολυµερούς 

Kapton µε παλµό πυκνότητας ενέργειας 4.5J/cm 2 σε a) 50ns, b) 100ns, c) 200 ns, d) 400 ns, 

e) 700 ns µετά την αρχή του παλµού [18] 

Όµως, ωστικά κύµατα παράγονται επίσης από την ανάκρουση του εκτινασσόµενου υλικού 

plume και δεν έχει προσδιορισθεί κατά πόσο ευθύνονται για την αρχική εκτίναξη του υλικού. 

Πιο συγκεκριµένα µπορούµε να διακρίνοµε τρεις πηγές ‘γένεσης’ αυτών των κυµάτων: 

132 

1. Η πρώτη πηγή του κύµατος πίεσης συσχετίζεται µε την οπισθο-ανάκρουση που 

ασκείται κατά την εκτίναξη του υλικού. Αυτό επιφέρει ένα κύµα συµπίεσης που 

διαδίδεται προς το υπόστρωµα. Η ακριβής εξάρτηση του πλάτους αυτού του 

κύµατος εξαρτάται από τον χρόνο εκτίναξης του υλικού και τη φύση της 

διαδικασίας (επιφανειακή εξάτµιση, εκτίναξη µεγάλου όγκου υλικού). Συνήθως 

εκφράζεται µε την εξίσωση κίνησης του πιστονιού: 

1 

2 

2 

3 

3 

3 

⎡( γair + 1) ρair⎤ 

⎡ 1 ⎤ ⎡ FLASER F ⎤ 

− 0 

max∞ 

⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 

f /2+ 1 

⎥ 

τ pulse 

P 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 


όπου F0 παριστάνει την ενέργεια που παραµένει στο υπόστρωµα ως θερµότητα, 

f=2cν/R µε cν την ειδική µοριακή θερµότητα των ιδανικών αερίων. Στις υψηλές 

πυκνότητες ενέργειας, λόγω της εκποµπής πλάσµατος, η παραπάνω σχέση έχει τη 

µορφή pmax∝F 3/4 

2. Μια δεύτερη εξήγηση της γένεσης κύµατος πίεσης είναι το γεγονός ότι η γρήγορη 

εναπόθεση θερµότητας από το Laser επιφέρει αύξηση της πίεσης, ανάλογη της 

πυκνότητας ενέργειας και του συντελεστή Grüneisen Γ.

−θ −θ 

⎛1−e ⎞ βaF 

⎛ LASER 1−e 

⎞ 

∆ P=Γ aFLASER 

⎜ ⎟= ⎜ ⎟ 

⎝ θ ⎠ ρkc T v ⎝ θ ⎠ 



Ο συντελεστής Grüneisen εκφράζει την εσωτερική πίεση ανά µονάδα πυκνότητας 

της ενέργειας, η οποία δηµιουργείται κατά την εναπόθεση ενέργειας υπό σταθερό 

όγκο. O β είναι συντελεστής θερµικής διαστολής, cν θερµοχωρητικότητα ανά 

σταθερό όγκο, kT συντελεστής ισοθερµικής συµπιεστότητας και θ=τpulse/τac µε τac 

τον χρόνο που απαιτείται για ένα ακουστικό κύµα, να ταξιδεύει στον 

ακτιβολούµενο όγκο. Ο παράγοντας στην παρένθεση διορθώνει την ελάττωση 

στο πλάτος της πίεσης που οφείλεται στην διάδοση του κύµατος εκτός του 

ακτινοβολούµενου όγκου κατά την διάρκεια του παλµού. Η πίεση επάγει ένα 

ακτινικά διαδιδόµενο κύµα το οποίο αγνοείται όταν η διάµετρος της δέσµης είναι 

µεγαλύτερη από το βάθος οπτικής διείσδυσης. Επίσης επάγει δύο επίπεδα κύµατα 

που διαδίδονται στον άξονα της δέσµης, το ένα προς το bulk του υλικού (κύµα 

συµπίεσης) και το άλλο προς την ελεύθερη επιφάνεια (κύµα αποσυµπίεσης). Το 

κύµα αποσυµπίεσης που διαδίδεται προς την ελεύθερη επιφάνεια υφίσταται 

σταδιακά µία αύξηση του πλάτους του, που οφείλεται στην διαφορετική 

ακουστική εµπέδηση του µέσου ρcs από τον αέρα, όπως φαίνεται στην Σχήµα 

3.10. 

Σχήµα 3.10: α) Η εναπόθεση θερµικής ενέργειας επιφέρει τη δηµιουργία ενός κύµατος 

συµπίεσης και ενός κύµατος αποσυµπίεσης, β) To πλάτος του κύµατος αποσυµπίεσης 

αυξάνεται µε το βάθος, γ) σε κάποιο βάθος η ενέργεία του ξεπερνά την ενέργεια 

συνοχής του υλικού, δ&ε) αποκόλληση και εκτίναξη υλικού [17] 

133


134 

Μόλις η διαφορά πλάτους των κυµάτων πάρει µία κρίσιµη τιµή τότε επέρχεται η 

σχάση του υλικού που επιφέρει την εκτίναξη του ‘κρύου’ υλικού. 

3. Μια τρίτη εξήγηση ‘γένεσης’ κύµατος πίεσης οφείλεται στην δηµιουργία των 

φυσαλίδων. Οι φυσαλίδες αυτές δηµιουργούνται από τον σχηµατισµό αερίων 

προϊόντων µε βάση τον φωτοθερµικό ή τον φωτοχηµικό µηχανισµό. 

3.5.3 Φωτοχηµικός µηχανισµός 

Στην απλούστερή του εκδοχή, ο φωτοχηµικός µηχανισµός θεωρεί ότι η φωτοαποδόµηση 

προκαλείται από τη διάσπαση πολλών δεσµών. Ως γνωστόν, κατά τη διάσπαση ενός µορίου 

Α-Β, το ποσό της ενέργειας του φωτονίου, που ξεπερνά την ενέργεια του δεσµού, 

κατανέµεται σαν κινητική και εσωτερική ενέργεια στα θραύσµατα Α και Β. Τα θραύσµατα 

που προκύπτουν έχουν τόσο µεγάλες κινητικές ενέργειες που ουσιαστικά ‘σπρώχνουν’ το 

υλικό προς την αέρια κατάσταση. Σύµφωνα µε το νόµο του Beer, ο αριθµός των µορίων που 

διασπώνται είναι: 

0 0 

x ( e ) α 

Ν = ϕ( Ι −Ι ) = ϕΙ 

1− 


διασπ 

όπου το φ είναι η κβαντική απόδοση της διάσπασης. Σύµφωνα µε το φωτοχηµικό µηχανισµό, 

όταν το Ι0 ξεπερνάει µια τιµή, ο αριθµός των θραυσµάτων που σχηµατίζονται είναι εξαιρετικά 

µεγάλος και οι δυνάµεις που εξασκούν είναι αρκετές για να υπερβούν τις δυνάµεις συνοχής 

του υλικού και να οδηγήσουν στην εκτίναξη του υλικού. Το βάθος του εκτινασσόµενου 

υλικού µε βάση τα παραπάνω προσεγγίζεται µε βάση την παρακάτω λογαριθµική σχέση: 

1 FLASER 

δ α ln 

FThr 

− ⎛ ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 


Σε πιο εξελιγµένες εκδοχές, ο φωτοχηµικός µηχανισµός προτείνει ότι κατά την ακτινοβόληση 

ιδιαίτερα πολυµερών υλικών, τα θραύσµατα που διασπώνται από τις πολυµερικές αλυσίδες 

αντιδρούν και σχηµατίζουν αέριες ενώσεις, όπως CH4, CO κλπ. τα οποία κάτω από τις ίδιες 

συνθήκες P, T καταλαµβάνουν µεγαλύτερο όγκο από τις αρχικές οµάδες. Εποµένως, σε αυτή 

τη περίπτωση, οι δυνάµεις που οδηγούν σε εκτίναξη του υλικού αποδίδονται όχι τόσο στην 

αρχική κινητική ενέργεια των θραυσµάτων αλλά και στις εσωτερικές πιέσεις που


αναπτύσσουν τα παραγόµενα αέρια προϊόντα καθώς διαστέλλονται. Ο φωτοχηµικός 

µηχανισµός έχει, βασικά, προταθεί για να εξηγήσει την παρατήρηση ότι, σε αριθµό 

συστηµάτων (οργανικά υγρά και πολυµερή), το κατώφλι αποδόµησης δε συµβαδίζει µε το 

σηµείο ζέσεως των ενώσεων αυτών. Γενικά θεωρείται ότι, τουλάχιστον για την περίπτωση 

της φωτοαποδόµησης µε ακτινοβολία µικρού µήκους κύµατος (περίπου 200 nm ή και 

µικρότερο), η απευθείας φωτοχηµική διάσπαση των δεσµών παίζει καθοριστικό ρόλο στη 

διαδικασία. Σε αυτά τα µήκη κύµατος, τα φωτόνια έχουν αρκετή ενέργεια, µε αποτέλεσµα η 

απορρόφηση ενός ή δύο φωτονίων από τα µόρια του ακτινοβολούµενου υλικού να οδηγεί σε 

διάσπαση δεσµών και στο σχηµατισµό πτητικών µοριακών φωτοπροϊόντων. Σε µεγαλύτερα 

µήκη κύµατος όµως (πάνω από 300 nm), η ενέργεια ενός φωτονίου δεν είναι αρκετή για τη 

διάσπαση δεσµών, αλλά θα πρέπει να εξεταστεί η πιθανότητα διαδικασιών διφωτονικής ή και 

πολυφωτονικής απορρόφησης. Επιπλέον, ένα δεύτερο βασικό ερώτηµα που τίθεται είναι η 

σχέση ανάµεσα στις θερµικές και φωτοχηµικές διεργασίες. Σίγουρα, κατά τη διάρκεια του 

παλµού, η θερµοκρασία του υποστρώµατος αυξάνεται και αυτή η αύξηση θα πρέπει να 

επηρεάζει και τις φωτοχηµικές διεργασίες. Εποµένως, δεν είναι δυνατόν να αποδώσουµε 

αυτό το φαινόµενο, αποκλειστικά και µόνο, στην επίδραση των φωτοθραυσµάτων. 

3.5.4 Εκρηκτικός βρασµός 

Έχει προταθεί ότι τα χαρακτηριστικά της φωτοαποδόµησης µπορούν να αντιστοιχούν σε µια 

αλλαγή φάσης εκτός ισορροπίας, η οποία ονοµάζεται εκρηκτικός βρασµός - explosive boiling. 

Σε αυτή την περίπτωση, εισάγεται άλλο ένα κριτήριο που µπορεί να καθορίσει οτι η εκτίναξη 

του υλικού γίνεται λόγω θερµικής αποπροσρόφησης ή λόγω της φωτοαποδόµησης, δηλαδή ο 

ρυθµός σχηµατισµού οµογενών φυσαλίδων ανταγωνίζεται τον ρυθµό εξαέρωσης evaporative 

cooling. 

Πιο συγκεκριµένα, σύµφωνα µε την θερµοδυναµική Gibbs υπάρχουν δυο όρια για την 

συµπυκνωµένη φάση: η binodal γραµµή, η οποία είναι η καµπύλη ισορροπίας (P,T) για το 

υγρό και το αέριο, και η spinodal γραµµή, η οποία είναι το σύνορο της θερµοδυναµικής 

σταθερότητας της υγρής φάσης. Η spinodal καµπύλη καθορίζεται από: 

⎛ ∂P 

⎞ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝∂V⎠ T 


135


136 

Σχήµα 3.11: Spinodal καµπύλες και µετασταθείς περιοχές σε ένα P-V διάγραµµα. 

Μεταξύ αυτών των συνοριακών συνθηκών υπάρχει µια περιοχή µετασταθούς (υπέρθερµου) 

υγρού. Στην spinodal καµπύλη, η υγρή φάση δεν είναι σταθερή και το σύστηµα 

“αυθόρµητα” διασπάται σε αέρια και υγρή φάση, δηλαδή µόρια αερίου και σταγονίδια. 

Επίσης, η µετασταθής κατάσταση µπορεί να εκφραστεί και µε όρους φράγµατος δυναµικού 

για τον σχηµατισµό φυσαλίδων, οι οποίες είναι απαραίτητες για τον βρασµό. Ο σχηµατισµός 

τους οδηγεί το σύστηµα σε αύξηση της ελεύθερης ενέργειας Gibbs. Μια δεδοµένη 

µετασταθής κατάσταση στο σηµείο (P0,T) µπορεί να επιτευχθεί αυξάνοντας την θερµοκρασία 

πάνω από την θερµοκρασία βρασµού, οπότε σε αυτή την περίπτωση, η αλλαγή της ενέργειας 

Gibbs θα είναι: 

∆ GK 

= 

3 

3 

16πσ 

( ρv∆Hvapβ) 2 


όπου ρv είναι η πυκνότητα του κορεσµένου αερίου, ∆Ηvap είναι η αλλαγή της ενθαλπίας στο 

σηµείο (P0,T0) και β=(Τ-Τ0)/Τ0 είναι η σχετική υπερθέρµανση του συστήµατος. Θεωρώντας 

στάσιµη κατάσταση, ο ρυθµός σχηµατισµού φυσαλίδων είναι: 

0 

( k β ) 

J = J exp −∆ G / k T 

Εξίσωση: 3.56


Λαµβάνοντας υπόψη όλα τα προηγούµενα, για την περίπτωση της φωτοαποδόµησης, 

παρατηρείται ότι για µικρούς ρυθµούς θέρµανσης, δεν συµβαίνει σηµαντική υπερθέρµανση 

του υλικού, αφού πρακτικά όλη η θερµική ενέργεια καταναλώνεται για τον σχηµατισµό 

φυσαλίδων (συνήθης βρασµός). Αντίθετα, για µεγάλους ρυθµούς θέρµανσης, παρόµοιους µε 

αυτούς που επιτυγχάνονται χρησιµοποιώντας Laser, ο χρόνος που απαιτείται για τον 

σχηµατισµό και την διάχυση των φυσαλίδων είναι πολύ µεγαλύτερος, οπότε η θερµοκρασία 

του υλικού αυξάνεται ραγδαία πολύ πιο πάνω από την θερµοκρασία βρασµού, µετατρέποντας 

τη διαδικασία της οµαλής επιφανειακής εξάτµισης που λαµβάνει χώρα συνήθως, σε µια 

διαδικασία “εκρηκτικής εξάτµισης” (phase explosion) σε υψηλές ενέργειες. Αυτή η 

“εκρηκτική εξάτµιση” έχει ως αποτέλεσµα την αυθόρµητη διάσπαση του εκτινασσόµενου 

plume σε ένα σύστηµα δύο φάσεων, το οποίο αποτελείται από µόρια αερίου και υγρά 

σταγονίδια. 

H εκτίναξη υλικού που είναι χαρακτηριστική της φωτοαποδόµησης παρατηρείται σε 

πυκνότητες ενέργειας Laser ∼ 100 mJ/cm 2 . Από την άλλη πλευρά, είναι φανερό ότι σε 

πυκνότητες ενέργειας ∼ 40 – 50 mJ/cm 2 επέρχεται τήξη (λιώσιµο) στην επιφάνεια του υλικού, 

όπως δείχθηκε από την οπτική εξέταση. Εποµένως, η φωτοαποδόµηση παρατηρείται σε 

θερµοκρασίες πολύ πάνω από την θερµοκρασία τήξης του υλικού. Η παρατήρηση αυτή 

δείχνει ότι η φωτοαποδόµηση των van der Waals στερεών πρέπει να οφείλεται σε explosive 

boiling. Explosive boiling συµβαίνει όταν ένα υγρό υπερθερµαίνεται σε θερµοκρασίες 

όπου η πίεση κορεσµού είναι µεγαλύτερη από αυτήν που εξασκείται επί του υγρού. 

Παρακάτω γίνεται µια σύντοµη αναφορά στις θερµοδυναµικές έννοιες που χαρακτηρίζουν 

την θεωρία σχηµατισµού φυσαλίδων που ευθύνονται για τον µηχανισµό του explosive 

boiling. Με βάση αυτή την θεωρία, γίνεται ένας θεωρητικός υπολογισµός των 

χαρακτηριστικών ποσοτήτων αυτής. 

137


138 

Σχήµα 3.12: P-T (α) και P-V (β) διαγράµµατα της εκρηκτικής αλλαγής φάσης. 

Στο παραπάνω διάγραµµα P-T (Σχήµα 3.12 α) παρατηρούνται τα βασικότερα χαρακτηριστικά 

της θερµοδυναµικής των φάσεων. Τριπλό σηµείο είναι το σηµείο στο οποίο οι τρεις φάσεις 

στερεό, υγρό και αέριο συνυπάρχουν σε ισορροπία. Στην binodal καµπύλη, η υγρή και η 

αέρια φάση βρίσκονται σε ισορροπία, δηλαδή οι δυο φάσεις έχουν ισοδύναµα χηµικά 

δυναµικά (µv = µl). Πάνω στην binodal, υπάρχει θερµοδυναµική ισορροπία µεταξύ αερίου 

και υγρού. Η πίεση του αερίου ως συνάρτηση της θερµοκρασίας προσεγγίζεται από την 

εξίσωση Clausius-Clayperon [20]-[22]: 

P= Pe 

0 

∆Η ⎛ ⎞ 

− − 

R T T 

1 1 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

α β 


όπου (P0,T0) αποτελούν την πίεση και την θερµοκρασία αναφοράς. Η binodal καµπύλη 

καταλήγει στο κρίσιµο σηµείο (critical point CP), πάνω από το οποίο δεν υπάρχει διαφορά 

µεταξύ της υγρής και της αέριας φάσης. Σύµφωνα όµως µε τον Gibbs, η binodal δεν 

αποτελεί το όριο ύπαρξης της υγρής φάσης. Συγκεκριµένα, ο Gibbs και άλλοι µετέπειτα 

προέβλεψαν ότι ακόµη και πέρα από την καµπύλη αυτή (δηλαδή συγκεκριµένο P, για 

Τ>Τsat), σε αυτή την περιοχή µπορεί να διατηρηθεί η υγρή φάση ως µετασταθής κατάσταση. 

Το «απόλυτο όριο» της σταθερότητας της υγρής φάσης είναι η spinodal. Η spinodal καµπύλη 

ορίζει το όριο της θερµοδυναµικής σταθερότητας της υγρής φάσης και καθορίζεται από:

⎛ ∂P 

⎞ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝∂V⎠T ⎛∂T⎞ ⎜ ⎟ = 0 

⎝∂S⎠ P 



τα οποία είναι φυσικά αδύνατα. Πέρα από την spinodal το υπέρθερµο υγρό δεν είναι πλέον 

σταθερό οπότε «αυθόρµητα» η υγρή φάση διαχωρίζεται σε αέριο και υγρά σταγονίδια [23]. 

Η binodal και η spinodal καµπύλη τέµνονται στο κρίσιµο σηµείο CP. Μεταξύ της binodal και 

της spinodal καµπύλης υπάρχει µια περιοχή µετασταθούς (υπερθερµασµένου) υγρού. 

Σχήµα 3.13: Εξάρτηση της ελέυθερης ενέργεια Gibbs συναρτήσει του όγκου για διάφορες 

θερµοκρασίες, από την θερµοκρασία κόρου Tsat έως την spinodal Tspin (υπό σταθερή πίεση 

Psat) 

Για την κατανόηση των παραπάνω, εξετάζεται η ελεύθερη ενέργεια του συστήµατος σε 

διάφορες θερµοκρασίες ως συνάρτηση του V (Σχήµα 3.14). Για θερµοκρασία ίση µε την 

θερµοκρασία κορεσµού η ελεύθερη ενέργεια Gibbs έχει δυο ελάχιστα, τα οποία αντιστοιχούν 

στο κορεσµένο υγρό και αέριο. Το ίδιο µέτρο των ελαχίστων εκφράζει ότι οι δυο φάσεις 

βρίσκονται σε ισορροπία (σηµεία A,C στο Σχήµα 3.12α). Για συγκεκριµένη P, για T 

µεγαλύτερη από αυτή που αντιστοιχεί στην binodal, η αέρια κατάσταση προτιµάται και αυτό 

φαίνεται από το διάγραµµα όπου το τοπικό ελάχιστο που αντιστοιχεί στο αέριο είναι 

µικρότερο από το αντίστοιχο του υγρού, (δηλαδή µg < µl) [23]. Αλλά, όπως φαίνεται στο 

σχεδιάγραµµα, για την µετάβαση από υγρό σε αέριο απαιτείται να ξεπεραστεί ένα φράγµα 

δυναµικού. Όπως εξηγείται παρακάτω, αυτό οφείλεται στο ότι η µετατροπή σε αέρια φάση 

139


«περιορίζεται» από την επιφανειακή τάση (surface tension). Η ύπαρξη αυτού του φράγµατος 

είναι ακριβώς ο λόγος που µπορεί να οδηγήσει στην ύπαρξη της υγρής κατάστασης σε 

µετασταθή κατάσταση. Με αυξανόµενη θερµοκρασία του υγρού, η επιφανειακή τάση 

µειώνεται και αυτό έχει ως αποτέλεσµα την µείωση του φράγµατος για την δηµιουργία της 

φυσαλίδας. Στην θερµοκρασία Τspin το φράγµα µηδενίζεται και το υπέρθερµο υγρό δεν είναι 

πλέον µετασταθές αλλά ασταθές. 

140 

Σχήµα 3.14: Εξάρτηση της ελεύθερης ενέργειας Gibbs συναρτήσει της ακτίνας της 

φυσαλίδας. 

Για να εµφανιστεί µια καινούρια φάση θα πρέπει να δηµιουργηθεί µια διεπιφάνεια. 

Ειδικότερα για τον βρασµό η αέρια φάση θα εµφανιστεί µε την µορφή µικρών (εµβρυικών) 

φυσαλίδων µέσα στην µετασταθή φάση. Οι µικρές φυσαλίδες σχηµατίζονται σαν 

αποτέλεσµα τυχαίων διακυµάνσεων της πυκνότητας του υλικού και στην συνέχεια, ή 

µεγαλώνουν ή καταρρέουν (collapse). Η θεωρία της οµογενούς πυρήνωσης έχει σκοπό την 

ποσοτικοποίηση του ρυθµού ανάπτυξης αυτών των φυσαλίδων. Η κλασική θεωρία 

οµογενούς πυρήνωσης µελετήθηκε από τους Volmer και Weber (Abraham, 1974), οι οποίοι 

θεώρησαν πως ο ρυθµός πυρήνωσης θα έπρεπε να έχει εκθετική εξάρτηση από το αντίστροφο 

του έργου που απαιτείται για τον σχηµατισµό φυσαλίδων. Για την µαθηµατική περιγραφή 

του φαινοµένου του εκρηκτικού βρασµού έχει υπάρξει ένας αριθµός µελετών [22]-[25], θέµα 

το οποίο είναι εκτός όριων της παρούσας διατριβής.

3.6 Συνοριακές συνθήκες 


Κατά την εκτέλεση των υπολογισµών Μοριακής ∆υναµικής σε µόρια και σωµατίδια, τα 

οποία βρίσκονται σε κανονική θερµοκρασία, δεν υπάρχει καµία απαίτηση για περιορισµό του 

όγκου προσοµοίωσης. Η παραπάνω διατύπωση παύει να ισχύει µόλις υγρά ή αεριώδη µέρη 

περιλαµβάνονται στον όγκο προσοµοίωσης. Τότε ολόκληρο το σύστηµα επεκτείνεται σε 

όλες τις χωρικές διαστάσεις και ο χρόνος προσοµοίωσης αυξάνεται. Συνεπώς παρουσιάζεται 

η απαίτηση να περιοριστεί ο όγκος προσοµοίωσης, εισάγοντας χωρικές συνοριακές συνθήκες. 

Η Μοριακή ∆υναµική ανάλυση εφαρµόζεται κατά κύριο λόγο σε συστήµατα τα οποία 

εµπεριέχουν µερικές εκατοντάδες ή χιλιάδες σωµατίδια προς προσοµοίωση. Οι ιδιότητες των 

ατελειών σε απεριόριστο κρύσταλλο µπορούν να προσηµειωθούν θεωρώντας την 

υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς (ή κύρια υπολογιστική κυψελίδα) σαν τοπικό τµήµα ενός 

απεριόριστου κρυστάλλου και ορίζοντας έναν νόµο που να καθορίζει τις ιδιότητες των 

ατόµων εκτός της υπολογιστικής κυψελίδας αναφοράς, σε αντιστοιχία µε τις ιδιότητες των 

σωµατιδίων µέσα σε αυτήν. Για τους παραπάνω λόγους είναι απαραίτητη η εισαγωγή και η 

χρήση σε τέτοιου είδους προσοµοιώσεις των συνοριακών συνθηκών. Αυτό διότι όσο µεγάλο 

και αν είναι το σύστηµα προς µελέτη, πάντα το πραγµατικό σύστηµα είναι σηµαντικά 

µεγαλύτερο. Υπάρχουν τρία, ευρέως χρησιµοποιόµουνα, είδη συνοριακών συνθηκών: 

• Οι Ελεύθερες Συνοριακές Συνθήκες - Free Boundary Conditions (FBC) 

• Οι Ανακλώµενες Συνοριακές Συνθήκες - Reflecting Boundary Conditions (RBC) 

• Οι Περιοδικές Συνοριακές Συνθήκες – Periodic Boundary Conditions (PBC) 

3.6.1 Ελεύθερες συνοριακές συνθήκες 

Η πιο απλή µορφή συνοριακών συνθηκών είναι οι ονοµαζόµενες ελεύθερες συνοριακές 

συνθήκες ή αλλιώς συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας. Κατά την εφαρµογή τους επιτρέπουν σε 

όποιο σωµατίδιο, από τον υπό προσοµοίωση όγκο, έρθει σε επαφή µε την θεωρητική 

επιφάνεια που ορίζουν να έχει τη δυνατότητα να αποµακρυνθεί από τον όγκο προσοµοίωσης 

και αντίστροφα, σε άλλο να εισέλθει σε αυτόν. Το αν θα αποµακρυνθεί το σωµατίδιο από 

τον όγκο προσοµοίωσης αναλύεται στο 4 ο κεφάλαιο της διατριβής. Η κίνηση των 

σωµατίδιων είναι αποτέλεσµα είτε της πιθανής αποµάκρυνσης τους από τον όγκο 

προσοµοίωσης είτε της ταλαντωτικής κίνησης που έχουν στην κρυσταλλική δοµή. 

141


142 

Σχήµα 3.15: Ελεύθερες συνοριακές συνθήκες - FBC 

3.6.2 Ανακλώµενες συνοριακές συνθήκες 

Όταν ένα σωµατίδιο, το οποίο περιέχεται µέσα στον όγκο προσοµοίωσης, αγγίξει τη 

θεωρητική επιφάνεια µιας ανακλώµενης συνοριακής συνθήκης κατά τη διάρκεια της 

προσοµοίωσης, τότε αυτοµάτως το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα της συνιστάµενης 

ταχύτητάς του αποκτά αντίστροφη φορά. Το να έρθει ένα σωµατίδιο σε επαφή µε την 

θεωρητική επιφάνεια µιας ανακλώµενης συνοριακής συνθήκης οφείλεται στην κίνηση λόγω 

ταλάντωσης που παρουσιάζουν τα άτοµα της κρυσταλλικής δοµής. 

Σχήµα 3.16: Ανακλώµενες συνοριακές συνθήκες - RBC 

Η εφαρµογή ανακλώµενων συνοριακών συνθήκων συνεπάγεται ότι η ολική ενέργεια, ο όγκος 

καθώς και ο ολικός αριθµός σωµατιδίων του συστήµατος παραµένουν σταθερά. Με άλλα 

λόγια το σύστηµα είναι µονωµένο.

3.6.3 Περιοδικές συνοριακές συνθήκες 


Στην περίπτωση των περιοδικών συνοριακών συνθηκών θεωρούµε ότι ο απεριόριστος 

κρύσταλλος είναι µια περιοδική επανάληψη της υπολογιστικής κυψελίδας αναφοράς προς 

όλες τις διαστάσεις. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα ο απεριόριστος κρύσταλλος να θεωρείται ότι 

περιέχει ένα απεριόριστο αριθµό σωµατίδιων ταυτόσηµο µε αυτόν που υπάρχει στην 

υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς και οι οποίες αποτελούν τις εικόνες της. Οι περιοδικές 

συνοριακές συνθήκες είναι στην ουσία η δηµιουργία πανοµοιότυπων αντιγράφων της 

υπολογιστικής κυψελίδας αναφοράς προς προσοµοίωση γύρω από αυτή. Τα αντίγραφα 

αυτά επεκτείνονται στο άπειρο, σε όλες τις καρτεσιανές διευθύνσεις (Χ-Υ-Ζ). Με άλλα 

λόγια, κάθε άτοµο που βρίσκεται σε θέση r στην µοντελοποιούµενη κυψελίδα 

αντιπροσωπεύει ένα σύνολο ατόµων, τα οποία βρίσκονται σε θέσεις που δίνονται από την 

σχέση 3.59. 

r + l a + mb 

+ nc 


όπου τα a, b, c είναι τα διανύσµατα θέσης των γωνιών της κυψελίδας και l, m, n είναι 

ακέραιοι αριθµοί µε , m, 

n ∈ [ − ∞, 

+∞] 

l . 

Σχήµα 3.17: Περιοδικές συνοριακές συνθήκες σε δυο διαστάσεις. Η υπολογιστική κυψελίδα 

αναφοράς περικλείεται από οχτώ πανοµοιότυπα αντίγραφα και κάθε µια αναγνωρίζεται απο 

ένα διάνυσµα µετατόπισης α. 

143


Περνώντας στις τρεις διαστάσεις η υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς περιβάλλεται απο 26 

πανοµοιότυπα αντίγραφα. Μια απλοποιηµένη µορφή των περιοδικών συνθηκών σε τρεις 

διαστάσεις φαίνεται στο Σχήµα 3.18. 

144 

Σχήµα 3.18: Περιοδικές συνοριακές συνθήκες σε τρεις διαστάσεις. Η υπολογιστική 

κυψελίδα αναφοράς περικλείεται απο 26 πανοµοιότυπα αντίγραφα. 

Το κάθε µέλος αυτού του συνόλου κινείται και συµπεριφέρεται όµοια µε κάθε άλλο µέλος 

του συνόλου και έτσι µόνο ένα από αυτά χρειάζεται να αναπαρασταθεί στο πρόγραµµα του 

ηλεκτρονικού υπολογιστή. Επιπλέον το κάθε άτοµο που ανήκει στην κυψελίδα 

προσοµοίωσης αλληλεπιδρά όχι µόνο µε τα υπόλοιπα άτοµα στην κυψελίδα, αλλά µε τα 

αντίγραφά τους στις γύρω κυψελίδες-αντίγραφα. Έτσι επιτυγχάνονται ταυτόχρονα δύο 

γεγονότα: 

1. Εξαλείφονται οι επιφάνειες και τα φαινόµενα που σχετίζονται µε αυτές 

2. Παύουν να έχουν σηµασία οι θέσεις των ορίων της µοντελοποιούµενης κυψελίδας 

Επιπλέον η απαραίτητη υπολογιστική ισχύς δεν αυξάνεται λόγω αύξησης των 

αλληλεπιδράσεων ανάµεσα στα άτοµα, αφού τα δυναµικά έχουν µικρή ακτίνα δράσης. 

Θεωρώντας τον όγκο προσοµοίωσης ως κύβο, στον οποίο εµπεριέχεται ένας Ν αριθµός 

σωµατίδιων, κατά την διάρκεια της προσοµοίωσης ένας αριθµός σωµατιδίων θα ακολουθήσει 

τροχιές τέτοιες, ώστε να εξέλθει από τον όγκο προσοµοίωσης. Στα στερεά αυτή η κίνηση 

των ατόµων οφείλεται στην ταλάντωση που εµφανίζει η κρυσταλλική δοµή. Για να


διατηρηθεί ο αριθµός των σωµατίδιων σταθερός ένα νέο σωµατίδιο πρέπει να εισέλθει στον 

όγκο όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.19. 

Σχήµα 3.19: Περιοδικές συνοριακές συνθήκες: Όταν ένα σωµατίδιο αποµακρύνεται από την 

υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς η θέση του αµέσως µετατίθεται στην απέναντι πλευρά και 

το διάνυσµα της ταχύτητας παραµένει αµετάβλητο. 

Προκειµένου να διατηρηθεί η ολική ενέργεια του συστήµατος σταθερή, το νέο σωµατίδιο 

πρέπει να έχει τις ίδιες τιµές ταχύτητας και δυναµικής ενέργειας µε το παλαιό. Υποθέτουµε 

ότι ο όγκος προσοµοίωσης είναι ένας κύβος κέντρου (x,y,z)= (L/2, L/2, L/2) µε πλευρές 

µήκους L. Όταν ένα σωµατίδιο αποµακρύνεται από µια πλευρά του κύβου σε µήκος x=L, ένα 

νέο σωµατίδιο εισέρχεται στο x=0, άλλα έχοντας τις ίδιες συντεταγµένες στους y και z 

άξονες. Παροµοίως δεχόµαστε και για της y και z διευθύνσεις. 

Σχήµα 3.20: Εφαρµογή περιοδικών συνοριακών συνθηκών σε δυο διαστάσεις. Εφόσον τα 

γεγονότα στην υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς αντιγράφονται σε κάθε αντίγραφό της, η 

µάζα της διατηρείται. 

145


Σε ένα τρισδιάστατο πρόβληµα η κύρια κυψελίδα έχει διάνυσµα µετατόπισης α={0.0.0}. 

Κάθε διάνυσµα r µε την κορυφή του να εµπεριέχεται στο κελίο α1 αλλά να ξεκίνά από την 

αρχή του κελίου α2 µπορεί να γραφεί ως 

146 

( 2 ) 

( 1) 

r α 

α . Για κυβικές κυψελίδες σε τρεις διαστάσεις η 

αρχή συντεταγµένων κάθε αντίγραφου κυψελίδας µπορεί να εκφραστεί από ένα διάνυσµα 

(0,0,0) 

R( α ) 

(0,0,0) 

R ( α ) 

= Lα 


Όπου L είναι το βαθµοτό µήκος της ακµής της κυβικής κυψελίδας. Κάθε σωµατίδιο i 

καταλαµβάνει την ίδια θέση στην εικονική του κυψελίδα, µε αυτή που καταλαµβάνει το 

σωµατίδιο i στην κύρια κυψελίδα. 

(0,0,0) ( ) 

i(0,0,0) i( 

α ) 

r r α 

= , για όλα τα αντίγραφα κελιά α Εξίσωση: 3.61 

Συνεπώς και κάθε αντίγραφο του i έχει και την ίδια ορµή µε το i. 

(0,0,0) ( ) 

i(0,0,0) i( 

α ) 

p p α 

= , για όλα τα αντίγραφα κελία α Εξίσωση: 3.62 

Κατά την διάρκεια των προσοµοιώσεων χρειάζεται µόνο να αποθηκεύονται οι θέσεις των 

σωµατιδίων στην κύρια υπολογιστική κυψελίδα. Οι θέσεις των αντιγράφων µπορούν να 

υπολογιστούν όποτε αυτό είναι απαραίτητο, µε µετασχηµατισµό συντεταγµένων. Στις τρεις 

διαστάσεις ο πιο απλός µετασχηµατισµός αυτού του είδους είναι για τις κυψελίδες κυβικού 

τύπου. Για έναν κύβο µε ακµή L, το αντίγραφο ενός σωµατιδίου i στην κυψελίδα α 

εντοπίζεται µε βάση την κύρια κυψελίδα από την σχέση: 

(0,0,0) ( α ) (0,0,0) 

i( α) i( 

α) ( α) 

r = r + R 


Το παραπάνω διακρίνεται και στο Σχήµα 3.21. Από τις εξισώσεις 3.60, 3.61 και 3.63 

προκύπτει ότι: 

(0,0,0) ( α ) 

i( α) i( 

α) α 

r = r + L 

Εξίσωση: 3.64


Εποµένως για να υπολογισθεί η θέση ενός αντιγράφου σωµατιδίου i απαιτείται µόνο η θέση 

του i στην κύρια κυψελίδα και το µεταφραστικό διάνυσµα α της κυψελίδας. 

Για έναν αριθµό Ν σωµατιδίων στην κύρια κυψελίδα η ολική δυναµική ενέργεια PE-ΚΚ 

ισούται µε: 

1 

P = ∑∑ u( r ) 


E−KK 2 i≠j (0,0,0) 

ij(0,0,0) 

Όπου u είναι το δυναµικό δυο σωµάτων. Σε περιοδικά συστήµατα εκτός από τα σωµατίδια 

που εµπεριέχονται στην κύρια κυψελίδα, αντίγραφα αυτών, επίσης συνεισφέρουν στην ολική 

δυναµική ενέργεια. 

1 

P = ∑∑∑ u( r −αL) 


E 

2 α i≠j (0,0,0) 

ij(0,0,0) 

Εδώ r − αL = r − ( r + αL) 

. Σε ένα D διαστάσεων σύστηµα το άθροισµα του 

ij i j 

µεταφραστικού διανύσµατος α των κυψελίδων αναπαριστά ένα D-fold άθροισµα που αυξάνει 

τις συνεισφορές από την κύρια κυψελίδα (α={0,0,0}) και από όλες τις αντίγραφες κυψελίδες. 

Στις τρεις διαστάσεις: 

∞ ∞ ∞ 

∑( ⋅⋅⋅ ) = ∑ ∑ ∑ ( ⋅⋅⋅) 


α α α α 

x=−∞ y=−∞ z=−∞ 

Έστω ένα σωµατίδιο m στην κύρια κυψελίδα. Η δυναµική του ενέργεια δίνεται από τη 

σχέση: 

1 

P = ∑∑ u( r −αL) 


E−m 2 α j≠m (0,0,0) 

mj(0,0,0) 

και κάθε αντίγραφο του σωµατιδίου m έχει επίσης δυναµική ενέργεια PE-m. Εάν για 

παράδειγµα το αντίγραφο που έχει α={1,1,1} και έστω ότι χαρακτηρίζεται ως m ’ , τότε: 

147


148 

1 

P = ∑∑ u( r −αL) 


E−m΄ 2 α j≠m' (1,1,1) 

m' j(1,1,1) 

Αλλά σύµφωνα µε την εξίσωση 3.61 

Οπότε: 

(0,0,0) (1,1,1) 

mj(0,0,0) m΄j (1,1,1) 

r = r 


P = P 


E−m E−m΄ Γενικά m’ µπορεί να είναι κάθε αντίγραφο του σωµατιδίου m. Λόγο όµως των Εξισώσεων 

3.70 και 3.71 η δύναµη που ασκεί κάθε αντίγραφο σωµατίδιο m΄ είναι ίση µε την δύναµη που 

ασκεί το σωµατίδιο m, τότε: 

ή διαφορετικά 

∂P ∂P 

= 

∂r ∂r 

E−m E−m΄ ( 0,0,0 ) (1,1,1) 

m(0,0,0) m΄(1,1,1) 


Fm = Fm΄ 


Συµπερασµατικά τα αντίγραφα σωµατίδια που εµπεριέχονται στις αντιγραφές κυψελίδες 

ακολουθούν τροχιές αντίγραφες µε αυτές του πρωτότυπου σωµατιδίου. Ανάλογα µε την 

Εξίσωση 3.66 η δύναµη που ασκείται σε ένα σωµατίδιο από αυτά εντός και εκτός της κύριας 

κυψελίδας είναι: 

∑∑ 

F = f( r −αL) 

m mj 

α i≠m Εξίσωση: 3.74 

Όπου f αναπαριστά την δύναµη µεταξύ δυο σωµατίδιων, rmj είναι το διάνυσµα µεταξύ των 

σωµατιδίων m και j στην κύρια κυψελίδα και το άθροισµα από α, όπως δίνεται από την 

Εξίσωση 3.67. Οι συνοριακές συνθήκες ορίζουν τι συµβαίνει σε ένα σωµατίδιο όταν αυτό


συναντά το όριο του συστήµατος. Σε ένα σύστηµα µε περιοδικές συνοριακές συνθήκες κάθε 

σωµατίδιο που εγκαταλείπει την κύρια κυψελίδα ταυτόχρονα αντικαθίσταται από το 

αντίγραφό του, που εισέρχεται σε αυτή. Ένα σωµατίδιο i µετακινείται από την κύρια 

κυψελίδα στην αντίγραφη κυψελίδα α, ταυτόχρονα ένα αντίγραφο σωµατίδιο εισέρχεται στην 

κύρια από την αντίγραφη –α. Συνεπώς η θέση του σωµατιδίου i µετασχηµατίζεται ως εξής: 

(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) 

i(0,0,0) i( −α 

) i(0,0,0) 

r ⇒ r = r − Lα 


Σύµφωνα µε την Εξίσωση 3.62 το αντίγραφο του σωµατιδίου που προέρχεται από την 

κυψελίδα –α έχει την ίδια ταχύτητα µε το σωµατίδιο της κύριας κυψελίδας i, οπότε η ορµή pi 

παραµένει ανεπηρέαστη από τη µετάφραση της θέσης: 

(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) 

i(0,0,0) i( −α 

) i(0,0,0) 

p ⇒ p = p 


Οι µετασχηµατισµοί στις Εξισώσεις 3.75 και 3.76 ορίζουν τις περιοδικές συνοριακές 

συνθήκες. 

Η απαραίτητη υπολογιστική ισχύς µπορεί να µειωθεί στο ελάχιστο µε τη χρήση του κριτηρίου 

minimum image criterion. Για να εφαρµοστεί το κριτήριο αυτό θα πρέπει η υπολογιστική 

κυψελίδα αναφοράς της προσοµοίωσης να έχει όλες της τις διαστάσεις τουλάχιστον ίσες µε 

το διπλάσιο της ακτίνας αποκοπής δράσης του δυναµικού. Το παραπάνω κριτήριο βασίζεται 

στο εξής γεγονός: Εάν υποθέσουµε ακτίνα αποκοπής cutoff distance ίση µε Rc και 

κυψελίδα µε διαστάσεις ίσες µε 2Rc τότε είναι βέβαιο ότι κάποιο άτοµο i από την 

κυψελίδα θα αλληλεπιδρά µε ένα άτοµο j και µε το πολύ ένα από τα άτοµα από το 

σύνολο των περιοδικών αντιγράφων του j. Αυτό συµβαίνει επειδή δύο αντίγραφα του j 

ατόµου δε µπορεί παρά να βρίσκονται σε απόσταση µεταξύ τους ίση ή µεγαλύτερη από 2Rc, 

αφού δεν υπάρχει επικάλυψη ανάµεσα στην υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς και τα 

αντίγραφά της, αλλά και στα αντίγραφα µεταξύ τους. ∆εδοµένου λοιπόν ότι η κυψελίδα 

προσοµοίωσης έχει διαστάσεις ίσες ή µεγαλύτερες από 2Rc, µπορεί να εφαρµοστεί το 

minimum image criterion, σύµφωνα µε το οποίο, ανάµεσα στα αντίγραφα ενός ατόµου j που 

αλληλεπιδρά µε ένα άτοµο i, λαµβάνεται υπόψη στους υπολογισµούς µόνο εκείνο το 

αντίγραφο που βρίσκεται πλησιέστερα στο i ενώ τα άλλα όχι. Έτσι λοιπόν απλοποιείται στο 

ελάχιστο το πρόγραµµα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. 

149


Σχήµα 3.21: Minimum Image Criterion. Η υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς περιέχει τρία 

σωµατίδια και υπάρχουν Ν(Ν-1)/2=3 γειτονικά ζεύγη. Ο διαχωρισµός των ζευγών ορίζεται 

από την ελάχιστη απόσταση µεταξύ σωµατιδίου i και οποιουδήποτε αντιγράφου του j. 

150



[1] Callister W.D.Jr. (2003), “Materials Science and Engineering, An Introduction”, John 

Wiley & Sons, pp 32-38 

[2] Κερµανίδης Θ. και Παντελάκης Σ. (2002), “Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υλικών”, 

Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών, Τόµος 1, σσ. 35-36. 

[3] Menzel, D. H., (1961), “Mathematical Physics”, Dover Publications Inc., New York 

[4] Schwartz, M., (1972), “Principles of Electrodynamics”, Dover Publications Inc., New 

York 

[5] Ready J.F., (2001), “LIA Handbook of Laser Materials Processing”, Magnolia 

Publishing Inc, Orlando. 

[6] von Allmen, M., (1987), “Laser-beam Interaction with Materials”, Springer-Verlag, 

Germany 

[7] Ashcroft, W.N. and Mermin, N.D, (1976), “Solid State Physics”, Sauders College, 

Philadelphia 

[8] Σεραφετινίδης, Α., (1985), “Εισαγωγή στην οπτοηλεκτρονική”, ΟΕ∆Β, Αθήνα. 

[9] Wellershoff, S.S, Hohlfeld, J., Güdde, J., and Matthias, E., (1999), “The Role of 

Electron Phonon Coupling in Femtosecond Laser Damage of Metals”, Applied Physics 

A, Vol. 69, pp. S99-S107. 

[10] Brorson, S.D., Fujimoto, J.G., and Ippen, E.P., (1987), “Femtosecond Electronic Heat- 

Transport Dynamics in Thin Gold Films”, Physical Review Letters, Vol. 59, No. 17, 

pp.1962-1965. 

[11] Hohlfeld, J., Müller, J.G., Wellershoff, S.-S., and Matthias, E., (1997), “Time-Resolved 

Thermoreflectivity of Thin Gold Films and its Dependence on Film Thickness”, Applied 

Physics B, Vol. 64, pp. 387-390. 

[12] Schmidt, V., Husinsky, W., and Betz, G., (2000), “Dynamics of Laser Desorption and 

Ablation of Metals at the Threshold on the Femtosecond Time Scale”, Physical Review 

Letters, Vol. 85, No. 16, pp. 3516-3519. 

[13] Anisimov, S.I., Kapeliovich, B.L., and Perel'man, T.L., (1974), “Electron Emission 

from Metal Surfaces Exposed to Ultrashort Laser Pulses”, Soviet Physics - Journal of 

Experimental and Theoretical Physics, Vol. 39, No. 2, pp. 375-377. 

[14] Qiu, T.Q., and Tien, C.L., (1993), “Heat Transfer Mechanisms During Short-Pulse 

Laser Heating of Metals”, Journal of Heat Transfer, Vol. 115, pp. 835-841. 

151


[15] Miotello, A., and Kelly, R., (1999), “Laser-induced Phase Explosion: New Physical 

Problems When α Condensed Phase Approaches the Thermodynamic Critical 

Temperature”, Applied Physics A, Vol. 69, pp. S67-S73. 

[16] Miller, C.J. (Ed.), (1994), “Laser Ablation. Principles and Applications”, Springer 

Ser.Mater. Sci. 28, Springer-Verlag, Berlin. 

[17] Boyd, I.A. (Ed.), (1992), “Photochemical Processing of Electronic Materials”, 

Academic Press, London. 

[18] T. Lippert and J. T. Dickinson, (2002), “Chemical and Spectroscopic Aspects of 

Polymer Ablation: Special Features and Novel Directions”, Chemical Revisions, pp 

453-485. 

[19] A. Vogel and V. Venugopalan, (2003) “Mechanisms of Pulsed Laser Ablation of 

Biological Tissues”, Chemical Revisions, vol. 103, pp 577-600. 

[20] Atkins P.W., (1998), “Φυσικοχηµεία, Τόµος Ι”, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης 

[21] Brennen C.E., (1995), “Cavitation and Bubble dynamics”, Oxford University Press. 

[22] Schmit J.L., Zalabsky R.A. and Adams G.W., (1983), “Homogeneous nucleation of 

toluene”, The Journal of Chemical Physics, 79 (9), pp. 4496-4501. 

[23] Blander M.and Katz J. (1975), “Bubble nucleation in liquids”, American Institute of 

Chemical Engineers Journal 21 (5), pp. 833-848. 

[24] Debenedetti P. (1996), “Metastable Liquids: Concepts and Principles”, Princeton 

University Press: Princeton, NJ. 

[25] Skripov V.P., (1974), “Metastable Liquids”, Israel Program for Scientific Translation: 

Jerusalem; Wiley: New York. 

152



Μοριακή ∆υναµική Ανάλυση 

Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η δηµιουργία του θεωρητικού µοντέλου και της µεθόδου 

Μοριακής ∆υναµικής για την διεργασία φωτοαποδόµησης µε Laser υπερβραχέων παλµών. 

Τα φαινόµενα που λαµβάνουν χώρα κατά την διεργασία παρουσιάζονται και µελετώνται 

ξεχωριστά, λόγω της πολυπλοκότητας του µοντέλου που αναπτύχθηκε. Αρχικά 

παρουσιάζεται η αναγκαιότητα χρήσης αδιάστατων εξισώσεων στην µοντελοποίηση µε 

Μοριακή ∆υναµική και εξάγονται οι βασικές αδιάστατες εξισώσεις. Η µοντελοποίηση της 

διεργασίας ξεκινάει µε την µοντελοποίηση των αρχικών συνθηκών του υλικού. Αυτές, για 

την Μοριακή ∆υναµική, απαιτούν την περιγραφή των θέσεων των ατόµων, της 

αλληλεπίδρασής τους, τον υπολογισµό των ενεργειών και ορισµό των συνοριακών συνθηκών. 

Στη συνέχεια µοντελοποιούνται τα στάδια που απαιτούνται για να φθάσει το υλικό σε 

κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας σε κανονικές συνθήκες. Η µοντελοποίηση της

ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 

ακτινοβολίας Laser έγινε κυρίως ενεργειακά. Υπήρξε διαχωρισµός σε χρονική και χωρική 

προτυποποίηση. Η χωρική προτυποποίηση ακολούθως διαχωρίστηκε σε επίπεδα. Τέλος οι 

επιπτώσεις της µεταφέρθηκαν σε µοριακό επίπεδο, δηλαδή υπολογισµό παραγόµενου 

αριθµού φωτονίων, έτσι ώστε να µπορεί να επιδράσει στο µοριακό µοντέλο του υλικού. Σε 

συνέχεια µοντελοποιήθηκε η διαδικασία φόρτισης των σωµατίδιων του υλικού. Τα 

σωµατίδια του υλικού απορροφούν την ενέργεια των φωτονίων που εµπεριέχονται στην 

δέσµη Laser και, ως τελικό αποτέλεσµα, αυξάνεται η ολική ενέργεια του συστήµατος των 

σωµατίδιων. Η συµπεριφορά των σωµατίδιων µετά τη φόρτιση καθώς και η διαδικασία 

αποµάκρυνσής τους από τον αρχικό κρύσταλλο µοντελοποιούται ακολουθώντας τις αρχές της 

Μοριακής ∆υναµικής. 

Η ανάπτυξη του προτύπου στηρίζεται στην µαθηµατική και γεωµετρική ανάλυση ενός 

γενικευµένου συστήµατος υλικού-δέσµης Laser σε µοριακό επίπεδο. Τέλος κατά την 

διάρκεια του κεφαλαίου δοµείται και η λογική που θα ακολουθηθεί στη συνέχεια, 

προκειµένου να υλοποιηθεί ο κώδικας Μοριακής ∆υναµικής. 

4.2 Αδιάστατες εξισώσεις 

Η χρήση αδιάστατων εξισώσεων σε προσοµοιώσεις Μοριακής ∆υναµικής (Μ∆) µπορεί να 

θεωρηθεί επιβεβληµένη. Κύριος λόγος είναι η ύπαρξη πλήθους µονάδων σε διαφορετικά 

συστήµατα. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι το ότι σε επίπεδο ατόµου οι µονάδες µήκους 

και ενέργειας που χρησιµοποιούνται είναι το Angstrom και το eV, ενώ στο SI είναι το m και 

το Joule. Πρώτος λόγος λοιπόν, η αποφυγή σύγχυσης µεταξύ των µονάδων διαφορετικών 

συστηµάτων. Επιπλέον, οι τιµές που χρησιµοποιούνται είναι συχνά πολύ µικρές σε τέτοιο 

σηµείο που να υπάρχει υπολογιστικό πρόβληµα ακρίβειας. Συνεπώς ως δεύτερος λόγος 

παρουσιάζεται η ανάγκη οι τιµές να βρίσκονται µέσα σε µια περιοχή, στην οποία να µην 

υπάρχει πρόβληµα υπολογιστικής ακρίβειας. Τέλος η απουσία των διαστάσεων διευκολύνει 

την µελέτη του φαινοµένου γενικότερα, εδώ της φωτοποδόµησης µε Laser υπερβραχέων 

παλµών, µιας και δεν απαιτείται πλέον προσοχή για πιθανά λάθη στις µετατροπές των 

µονάδων από το ένα σύστηµα σε άλλο καθώς και από το ένα µέγεθος σε άλλο. Τα βασικά 

µεγέθη που είναι αναγκαίο να αδιαστατοποιηθούν, είναι το µήκος, ο χρόνος, η µάζα, η 

ενέργεια, η δύναµη, η ταχύτητα και η θερµοκρασία. Όλα τα υπόλοιπα µεγέθη είναι 

παράγωγα αυτών και όπου χρειάζεται παρατίθενται οι αδιάστατες εξισώσεις. 

154


• Η αδιαστατοποίηση των βασικών παραµέτρων της Μ∆ προκύπτει έπειτα από 

διαίρεση τους µε βασικά και συχνά απαντώµενα µεγέθη καθώς και µε σταθερές. 

Η αδιάστατη µεταβλητή του µήκους θα πρέπει να διαιρεθεί µε κάποιο βασικό 

µέγεθος µήκους. Στην παρούσα Μ∆ ανάλυση δύο τέτοια µεγέθη είναι η 

απόσταση αποκοπής rc και η απόσταση ισορροπίας µεταξύ δύο ατόµων r0. 

Επιλέγεται η δεύτερη απόσταση, η οποία εκφράζει ταυτόχρονα και την θέση 

ελάχιστης δυναµικής ενέργειας µεταξύ δύο ατόµων. 

• Για την αδιαστατοποίηση της µάζας επιλέγεται η µάζα του ατόµου του σιδήρου. 

Στην πλειονότητα των εξισώσεων της Μ∆ ανάλυσης αυτής της προσοµοίωσης 

χρησιµοποιείται είτε η µάζα του ατόµου του σιδήρου ή το άθροισµα των µαζών 

των ατόµων του σιδήρου που περιλαµβάνονται στην υπολογιστική κυψελίδα 

αναφοράς. Συνεπώς επιλέγοντας για την αδιαστατοποίση την ατοµική µάζα του 

σιδήρου απλοποιείται ένα µεγάλο µέρος των εξισώσεων. 

• Η ενέργεια απαιτείται να διαιρεθεί µε την παράµετρο ενέργειας του δυναµικού 

Morse, η οποία έχει µονάδες µέτρησης eV. 

• Η θερµοκρασία σε ατοµικό επίπεδο υπολογίζεται ως το άθροισµα των κινητικών 

ενεργειών των ατόµων του συστήµατος διαιρεµένο µε την σταθερά του 

Boltzmann. Συνεπώς για την αδιαστατοποίηση της θερµοκρασίας απαιτείται σε 

πρώτη φάση η διαίρεση µε την παράµετρο ενέργειας του δυναµικού Morse, αφού 

στον υπολογισµό της θερµοκρασίας λαµβάνει µέρος και η κινητική ενέργεια, ενώ 

σε δεύτερη φάση απαιτείται ο πολλαπλασιασµός µε την σταθερά του Boltzmann. 

Μέχρι τώρα για την αδιαστατοποίηση των παραπάνω βασικών παραµέτρων 

χρησιµοποιήθηκαν η µάζα του ατόµου του σιδήρου m, η απόσταση ισορροπίας µεταξύ δύο 

ατόµων r0 και η παράµετρος ενέργειας του δυναµικού Morse D. Οι υπόλοιπες βασικές 

παράµετροι θα αδιαστατοποιηθούν µε τα προαναφερθέντα µεγέθη και χωρίς την εισαγωγή 

νέων. 

155


156 

Παράµετρος Έκφραση 

Μήκος 

* 

r = r r0 

Χρόνος * 

t = t ( r0m D) 

Μάζα 

Ενέργεια 

4.3 Αρχικές συνθήκες 

* 

m m m 

= = 1 

* 

Ε =Ε 

* 

∆ύναµη F = F ( D r ) 

Ταχύτητα * 

v = v ( D m) 

* 

Θερµοκρασία T = T ( D k ) 

Πίνακας 4.1: Αδιάστατες εξισώσεις 

Το πρώτο βήµα σύµφωνα µε τη µέθοδο της Μ∆ ανάλυσης [1]-[3] για την δηµιουργία µιας 

προσοµοίωσης Μοριακής ∆υναµικής είναι οι αρχικές συνθήκες, η αρχική κατάσταση δηλαδή, 

οι οποίες περιγράφουν το µοντέλο. Η βάση για κάθε µοριακή προσοµοίωση είναι η 

προσοµοίωση του υλικού, το οποίο θα µελετηθεί. Πρώτα απαιτείται η περιγραφή της αρχικής 

θέσης κάθε ατόµου, η ατοµική δοµή δηλαδή του υλικού. Έπειτα, η αλληλεπίδραση 

(interaction) µεταξύ των ατόµων που περιέχονται στον όγκο προσοµοίωσης είναι επίσης µία 

σηµαντική παράµετρος που πρέπει να περιγραφεί. Η αλληλεπίδραση αυτή δεν είναι τίποτα 

άλλο παρά η δυναµική ενέργεια των ατόµων. Η δυναµική ενέργεια στην συγκεκριµένη 

µελέτη προσοµοιώνεται από την συνάρτηση δυναµικού του Morse (Morse Potential 

Function) που εξαρτάται από τις θέσεις (συντεταγµένες) των ατόµων, οι οποίες έχουν ήδη 

ορισθεί. Κατόπιν η κινητική ενέργεια κάθε ατόµου δίνεται από την κλασική εξίσωση της 

µηχανικής. Προφανώς η κινητική ενέργεια εξαρτάται από τις ταχύτητες που στο στάδιο της 

αρχικής κατάστασης θεωρούνται µηδενικές. Το άθροισµα της δυναµικής και κινητικής 

ενέργειας είναι η ολική ενέργεια του κάθε ατόµου και έτσι χρησιµοποιείται µια κατά 

Hamilton περιγραφή του συστήµατος, όπου οι συντεταγµένες του χώρου κατάστασης είναι οι 

θέσεις και οι ορµές των ατόµων του συστήµατος. Τέλος απαιτείται και ο ορισµός των 

συνοριακών συνθηκών, οι οποίες εξασφαλίζουν ότι το προσοµοιωµένο υλικό είναι στην 

κατάσταση που απαιτείται, συγκεκριµένα στην παρούσα φάση στην στερεά. Συνεπώς για την 

περιγραφή των αρχικών συνθηκών απαιτούνται: 

D 

0 

B

• Η Ατοµική ∆οµή του Υλικού 

• Η ∆υναµική Ενέργεια 

• Η Κινητική Ενέργεια 

• Η Ολική Ενέργεια 

• Οι Συνοριακές Συνθήκες 


Η διασύνδεση των παραπάνω συντελεστών φαίνεται και στο Σχήµα 4.1 που αναπαριστά και 

το λογικό διάγραµµα εφαρµογής τους κατά την υλοποίηση του κώδικα της Μ∆. 

Σχήµα 4.1: Λογικό διάγραµµα διασύνδεσης συντελεστών των αρχικών συνθηκών της 

προσοµοίωσης. 

4.3.1 Ατοµική δοµή υλικού 

Αρχικά όλα τα άτοµα τοποθετούνται σε συγκεκριµένη θέση σύµφωνα µε την ατοµική δοµή 

του υλικού. Το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιείται είναι ένα ορθοκανονικό 

δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων µε την αρχή των αξόνων να ταυτίζεται µε την άνω 

επιφάνεια του υλικού, όπως περιγράφεται και στο Σχήµα 4.2. 

157


158 

Σχήµα 4.2: Κρύσταλλος BCC µε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων 

Για την συγκεκριµένη εφαρµογή η ατοµική δοµή του υλικού θεωρείται ως BCC, η τυπική 

δηλαδή µορφή του α και δ-Fe [4]. Από την βιβλιογραφία [5] είναι γνωστό ότι ο α-Fe (µε 

κρυσταλλική δοµή BCC) µετατρέπεται σε γ Fe µε κρυσταλλική δοµή FCC στους 1183 ο Κ και 

µετέπειτα σε δ-Fe µε δοµή BCC στους 1663 ο Κ. Οι παραπάνω µετατροπές λαµβάνουν χώρα 

σε θερµοκρασίες χαµηλότερες από το σηµείο τήξης, πόσο µάλλον απο το σηµείο 

φωτοαποδόµησης. Συνυπολογίζοντας το γεγονός ότι στην φωτοποδόµηση µε υπερβραχείς 

παλµούς Laser το φαινόµενο συντελείται εντός χρόνου κάποιων δεκάδων fs, η αύξηση της 

θερµοκρασίας κατά 580 ο Κ που απαιτείται για τους παραπάνω µετασχηµατισµούς γίνεται 

ακαριαία. Άρα είναι ασφαλές να υποτεθεί ότι η δοµή του υλικού είναι BCC και να µην 

ληφθούν υπόψιν τυχόν ενδιάµεσες αλλαγές του ατοµικού πλέγµατος. Σε κάθε κρυσταλλικό 

κύτταρο υπάρχουν οχτώ άτοµα µε τοπικές συντεταγµένες (0,0,0)-(α,0,0)-(a,a,0)-(a,0,a )- 

(0,0,α)-(α,0,α)-(α,α,α)-(0,0,α) που αντιστοιχούν ένα σε κάθε γωνία και σε ένα άτοµο στο 

κέντρο του κρυστάλλου. Η ακτίνα του ατόµου ra και η ακµή του κρυστάλλου αc συνδέονται 

µε την ακόλουθη σχέση. 

4ra 

a = Εξίσωση 4.1 

c 

3 

Άλλη µία κρυσταλλική δοµή που µπορεί να προσοµοιωθεί µε την παρούσα µεθοδολογία είναι 

η FCC. Υπάρχουν τέσσερα άτοµα σε κάθε κρυσταλλικό κύτταρο µε τοπικές συντεταγµένες 

(0,0,0) - (0,a/2,a/2) – (a/2, a/2,0) – (a/2,0,a/2), που αντιστοιχούν στις τέσσερις γωνίες του 

κύβου και ένα άτοµο στο κέντρο κάθε έδρας του κυττάρου. Η ακµή του κύβου µήκους α και 

η ατοµική ακτίνα ra συνδέονται µέσω της κάτωθι σχέσης. 

a = 2r 2 

c a 

Εξίσωση 4.2

4.3.2 ∆υναµική ενέργεια 


Στα µέταλλα τα ηλεκτρόνια µοιράζονται µεταξύ όλων των ατόµων. Η ενέργεια συνοχής 

(binding energy) καθορίζεται από την ισορροπία µεταξύ της αρνητικής ενέργειας Coulomb, 

λόγω αλληλεπίδρασης µεταξύ ηλεκτρονίων και κατιόντων (θετικών ιόντων) και της θετικής 

κινητικής ενέργειας του ηλεκτρονιακού νέφους Fermi [6]. Η δυναµική ενέργεια στις 

προσοµοιώσεις προκύπτει από συναρτήσεις δυναµικού, οι οποίες χωρίζονται σε δύο µεγάλες 

κατηγορίες. Η πρώτη αναφέρεται ως ∆υναµικό Πολλών Σωµάτων (Many Body Potential) και 

η δεύτερη ∆υναµικό Ζεύγους Σωµάτων (Pair Body Potetnial) [7]. Για τις συναρτήσεις 

δυναµικού της πρώτης κατηγορίας απαιτούνται η αποστάσεις µεταξύ τριών και άνω ατόµων 

και έτσι προκύπτουν οι συναρτήσεις δυναµικού τριών ατόµων (three body term potential 

function). Όσες περισσότερες θέσεις ατόµων χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό της 

δυναµικής ενέργειας ενός ατόµου τόσο πιο ακριβές είναι το αποτέλεσµα, αλλά ταυτόχρονα 

αυξάνεται η πολυπλοκότητα και ο χρόνος υπολογισµού. Οι συναρτήσεις δυναµικού που 

βασίζονται στην προσέγγιση Ζεύγους ∆υναµικού απαιτούν για τον υπολογισµό της δυναµικής 

ενέργειας ενός ατόµου µόνο ένα ζεύγος ατόµων. Η ακρίβεια δεν είναι ίδια µε αυτή των 

δυναµικών της πρώτης κατηγορίας αλλά είναι σαφώς ικανοποιητική και έχει ως µεγάλο 

πλεονέκτηµα το συντοµότερο χρόνο υπολογισµού της δυναµικής ενέργειας του ατόµου. 

Η πλειονότητα των αλληλεπιδρώντων δυναµικών, τα οποία χρησιµοποιούνται στην Μ∆ 

βασίζονται στην Προσέγγιση Ζεύγους ∆υναµικού (ΠΖ∆). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η 

ΠΖ∆ παρέχει µια σαφή περιγραφή των ιδιοτήτων του υλικού, και επίσης απαιτεί λιγότερο 

υπολογιστικό χρόνο σε σχέση µε τα δυναµικά που βασίζονται σε αλληλεπιδράσεις τριών ή 

και περισσότερων σωµατιδίων. Εκφράσεις δυναµικών, οι οποίες έχουν προκύψει 

φαινοµενολογικά, συνήθως παρέχουν µια περισσότερο ρεαλιστική εικόνα των ατοµικών 

αλληλεπιδράσεων. Τα ακόλουθα δυναµικά Buckingham, Morse Potential Function (MPF), 

Lennard-Jones (Mie’s reduced form) και Barker potentials για Krypton και Xenon, ανήκουν 

την παραπάνω κατηγορία. Από τα παραπάνω το MPF θεωρείται το καταλληλότερο για 

εφαρµογή σε µέταλλα [7]. Η γενική µορφή του MPF φαίνεται στην Εξίσωση 4.3. 

−2a( rij −r0) −a( rij −r0) 

φ( 

r ) = D[ e − 2 e ] 


ij 

159


όπου rij η απόσταση µεταξύ των δύο ατόµων και r0 είναι η απόσταση ισορροπίας µεταξύ δύο 

ατόµων, όπου εκεί βρίσκεται και η ενέργεια διάστασης D. Η ενέργεια διάστασης είναι η 

ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να αποκτήσει ένα άτοµο ώστε να σπάσει ο δεσµός µεταξύ 

αυτού και ενός άλλου. Τέλος το a είναι σταθερά απόστασης. 

Σχήµα 4.3: Επίπεδα ενέργειας σύµφωνα µε την έκφραση δυναµικού κατά Morse. Η διαφορά 

των επιπέδων ενέργειας δυναµικού (ν) µειώνονται, καθώς η ενέργεια πλησιάζει το όριο 

ενέργειας διάστασης. Η ενέργεια διάστασης De είναι µεγαλύτερη από την πραγµατική τιµή 

ενέργειας που απαιτείται για τον αποχωρισµό (διάσπαση) D0 λόγω του µηδενικού σηµείου 

ενέργειας του κατώτατου επιπέδου ταλάντωσης (v = 0). 

Πιο συγκεκριµένα για τον υπολογισµό της δυναµικής ενέργειας χρησιµοποιείται η 

περικοµµένη (truncated) MPF. Η truncated MPF είναι στην ουσία µία δίκλαδη συνάρτηση 

όπου το πρώτο µέρος της είναι η κλασική MPF ενώ το δεύτερο µέλος ισούται µε το µηδέν. 

Όταν η απόσταση δύο ατόµων rij είναι µεγαλύτερη από µία προκαθορισµένη απόσταση rc, η 

αλληλεπίδρασή τους θεωρείται αµελητέα και άρα η δυναµική ενέργεια τείνει στο µηδέν, 

οπότε δεν έχει νόηµα ο υπολογισµός της. Έτσι αν η απόσταση µεταξύ των ατόµων είναι 

µικρότερη από το rc τότε υπολογίζεται η δυναµική ενέργεια από την κλασική MPF, ενώ σε 

περίπτωση που η απόσταση είναι µεγαλύτερη από rc η δυναµική ενέργεια λαµβάνεται ίση µε 

µηδέν. Συνεπώς η εν λόγω συνάρτηση µειώνει σηµαντικά τον υπολογιστικό φόρτο, χωρίς 

όµως να µειώνεται και η απαιτούµενη υπολογιστική ακρίβεια. 

160

D⎡exp( −2a( r −r )) −2exp( −a( r − r )) ⎤, 

r < r 

Pr ( ij ) = { 

⎣ ⎦ 

0 , r ≥ r 

ij 0 ij 0 ij c 

ij c 



όπου P(rij) η δυναµική ενέργεια δύο ατόµων. Βέβαια σε ένα κρυσταλλικό πλέγµα ο αριθµός 

των ατόµων είναι σαφώς και µεγαλύτερος από δύο, οπότε η Εξίσωση 4.4 δεν ικανοποιεί την 

ανάγκη για υπολογισµό της δυναµικής ενέργειας. Η ολική δυναµική ενέργεια του ατόµου 

δίνεται από το άθροισµα των δυναµικών ενεργειών µε τα άτοµα µε τα οποία αλληλεπιδρά. 

Ακόµα και εδώ η εξίσωση που δίνει την ολική ατοµική δυναµική ενέργεια είναι δίκλαδη, 

ακριβώς για τους ίδιους λόγους µε την Εξίσωση 4.4, την µείωση δηλαδή του υπολογιστικού 

φόρτου χωρίς αντίστοιχη µείωση της υπολογιστικής ακρίβειας. Συνεπώς η ολική δυναµική 

ενέργεια ενός ατόµου που βρίσκεται σε ένα κρυσταλλικό σύστηµα δίνεται από την σχέση: 

P = { 

N 

∑ 

j= 

1 

i j≠i D ⎡ 

⎣exp( −2a( r −r )) −2exp( −a( r − r )) ⎤ 

⎦, 

r < r 

ij 0 ij 0 ij c 

0 , 

r ≥ r 

ij c 


όπου rij είναι η απόσταση µεταξύ του i και του j ατόµου και δίνεται από την κάτωθι σχέση 

όπου x, y, z οι συντεταγµένες των ατόµων στο χώρο και περιγράφονται απο το Σχήµα 4.4: 

r = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) 


2 2 2 

ij i j i j i j 

Για την συγκεκριµένη εφαρµογή δηλαδή για τον σίδηρο, D = 0.4174 eV, a = 1.3885 A -1 , r0 = 

2.845 A και rc = 5.80755 A [8]. 

Σχήµα 4.4: ∆ιανύσµατα θέσης ατόµων 

161


Στην συνέχεια ακολουθούν οι αδιάστατες εξισώσεις για τον υπολογισµό της δυναµικής 

ενέργειας του συστήµατος. 

4.3.3 Κινητική ενέργεια 

162 

N 

* 

i = ∑ 

j= 

1 

j≠i − 

* 

ij − 

* 

0 − − 

* 

ij − 

* 

0 

P [exp( 2( r r )) 2exp( ( r r ))] 

* 

i i 


P = P / D 


r = r a 


* 

ij ij 

r = r 


* 

0 0a r = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) 


* * * 2 * * 2 * * 2 

ij i i i j i j 

x = x a 


* 

i i 

Στην παρούσα εργασία η κινητική ενέργεια δίνεται από την κλασική εξίσωση της µηχανικής 

[9]: 

1 2 1 2 2 2 

Ki = miv i = mi ( vix + viy + viz) 


2 2 

όπου mi είναι η ατοµική µάζα και vx, vy, vz είναι οι συνιστώσες του τρισδιάστατου 

διανύσµατος της ταχύτητας του i ατόµου στον x, y και z άξονα αντίστοιχα. Η ατοµική µάζα 

έχει δεδοµένη τιµή, αυτή του ατόµου του σιδήρου m=55.847 amu, συνεπώς η Εξίσωση 4.13 

επαναδιατυπώνεται ως:

1 2 1 2 2 2 

i = i = ( ix + iy + iz) 


K mv m v v v 


2 2 

Στην αρχική κατάσταση, αµέσως µετά την τοποθέτηση των ατόµων στο κρυσταλλικό πλέγµα 

– δοµή, η ταχύτητα του κάθε ατόµου θεωρείται ίση µε µηδέν. Συνεπώς η αρχική κινητική 

ενέργεια των σωµατιδίων αµέσως µετά την τοποθέτηση τους στον κρύσταλλο ισούται µε 0. 

Η αδιαστατοποιηµένη εξίσωση της κινητικής ενέργειας είναι: 

από όπου προκύπτει και η έκφραση της ταχύτητας 

* 1 * *2 

Ki = mivi Εξίσωση 4.15 

2 

m 


* 

vi vi D 

K = K / D 


* 

i i 

4.3.4 Ολική ενέργεια ατόµου 

Η ολική ενέργεια του συστήµατος είναι το άθροισµα των κινητικών και δυναµικών ενεργειών 

του κάθε σωµατιδίου. Η ολική ενέργεια του συστήµατος δίνεται από την ακόλουθη 

Χαµιλτονιανή, όπου P(rij) είναι η δυναµική ενέργεια του i σωµατιδίου και pi η ορµή του i 

σωµατιδίου 

∑∑ ∑ 2 

H = P( r ) + 

i j> i 

ij 

i= 1 

i 

2mi 

p Εξίσωση 4.18 

Για κάθε σωµατίδιο i µε ροπή pi και θέση ri η δύναµη δίνεται από την µερική παράγωγο της 

Χαµιλτονιανής ως προς το διάνυσµα της θέσης 

163


164 

∂H 

F =− Εξίσωση 4.19 

∂ r 

και η ταχύτητα από την µερική παράγωγο της Χαµιλτονιανής ως προς την ορµή 

∂H 

v =− 

∂p 

i 

i 


Αθροίζοντας την κινητική και την δυναµική ενέργεια του κάθε σωµατιδίου προκύπτει η ολική 

ενέργεια του σωµατιδίου 

Total Energyi = Ki + P 


i 

Από την Εξίσωση 4.14 για την κινητική ενέργεια και την Εξίσωση 4.4 για την δυναµική 

ενέργεια προκύπτει πιο αναλυτικά η ολική ενέργεια του ι-οστού σωµατιδίου. 

1 

T D r r r r m v 

Ei = 

N 

∑ ⎡ 

⎣exp( −2a( ij − 0)) −2exp( −a( ij − 0)) 

⎤ 

⎦+ 

j= 

1 

2 

j≠i i 

2 

i 

Η αδιαστατοποιηµένη εξίσωση της ολικής ενέργειας δίνεται από: 

Όπου 

1 

T P K r r r r m v 

* 

Ei = 

* 

i + 

N 

* * 

i = ∑ exp( −2( ij − 

j= 

1 

j≠i * * 

0)) −2exp( −( ij − 

* 

0)) 

+ 

2 

* 

i 

*2 

i 

* 

Ei Ei 



T = T / D 

Εξίσωση 4.24

4.3.5 Συνοριακές συνθήκες 


Οι συνοριακές συνθήκες, όπως περιγράφηκαν στην παράγραφο 3.6 της θεωρητικής 

ανάλυσης, εφαρµόζονται στην προτεινόµενη µέθοδο τη Μ∆ ανάλυσης. Συνοπτικά 

εφαρµόζονται οι ακόλουθοι τύποι συνοριακών συνθηκών, όπως φαίνονται και στο Σχήµα 4.5. 

• Ελεύθερες Συνοριακές Συνθήκες 

• Ανακλώµενες Συνοριακές Συνθήκες 

• Περιοδικές Συνοριακές Συνθήκες 

Σχήµα 4.5: Συνοριακές συνθήκες, όπως εφαρµόσθηκαν στην προτεινόµενη µεθοδολογία 

4.4 Εξισορρόπηση συστήµατος 

Εξισορρόπηση είναι η διαδικασία ορισµού των αρχικών ταχυτήτων των ατόµων του υλικού 

έτσι ώστε να επιτευχθεί η απαιτούµενη θερµοδυναµική ισορροπία. Οι αρχικές ταχύτητες των 

ατόµων πρέπει να ικανοποιούν δύο συνθήκες. Η πρώτη είναι η διατήρηση της ορµής, δηλαδή 

οι ταχύτητες πρέπει να επιλεχθούν έτσι ώστε η ολική ορµή του συστήµατος να είναι 

µηδενική. Κατά τη δεύτερη, οι ταχύτητες πρέπει να ακολουθούν την κατανοµή Maxwell- 

Boltzmann (MB) [7]. Για την ικανοποίηση της δεύτερης συνθήκης, οι αρχικές ταχύτητες 

κατανέµονται αρχικώς βάση της κατανοµής Gauss, η οποία είναι παρεµφερής µε την 

κατανοµή ΜΒ, όπως προκύπτει και από το Σχήµα 4.6, άλλα η υλοποίησή της είναι 

165


ευκολότερη. Μετά το πέρας της εξισορρόπησης οι κατανοµές των ταχυτήτων πρέπει να είναι 

της µορφής MB. 

166 

Σχήµα 4.6: Maxwell – Boltzmann και Gauss κατανοµές ταχυτήτων 

∆οθέντος ότι στο στάδιο αυτό οι αρχικές θέσεις, οι ταχύτητες των ατόµων του υλικού και η 

συνάρτηση δυναµικού Morse για τις µεταξύ των ατόµων αλληλεπιδράσεις είναι γνωστά, 

µπορεί να ακολουθήσει η επίλυση της εξίσωσης Newton για την κίνηση. Η εξίσωση λύνεται 

µε τη µέθοδο των Πεπερασµένων ∆ιαφορών και συγκεκριµένα µε τον τροποποιηµένο 

αλγόριθµο Verlet. Για να εξασφαλιστεί ότι το σύστηµα που προσοµοιώνεται βρίσκεται σε 

θερµοδυναµική ισορροπία, η συνάρτηση α(t) πρέπει να είναι κοντά στην τιµή 5/3, τιµή που 

ανταποκρίνεται στην κατανοµή ΜΒ [7]. Ένας επιπλέον βρόγχος έλεγχου σχετίζεται µε την 

θερµοκρασία. Εάν η µετρούµενη θερµοκρασία δεν είναι η επιθυµητή τότε ακολουθεί η 

ανάθεση νέων ταχυτήτων. Συµπερασµατικά, η διαδικασία της ισορροπίας αποτελείται από 

τους εξής συντελεστές: 

• Ανάθεση των ταχυτήτων 

• Επίλυση εξίσωσης Newton µε τον αλγόριθµο Verlet 

• Έλεγχος σύγκλισης ταχυτήτων 

• Έλεγχος θερµοκρασίας 

• Ανάθεση νέων ταχυτήτων. 


το λογικό διάγραµµα εφαρµογής τους, κατά την υλοποίηση του κώδικα της Μοριακής 

∆υναµικής.

Σχήµα 4.7: Λογικό διάγραµµα διασύνδεσης συντελεστών προσοµοίωσης της 

εξισορρόπησης συστήµατος. 

4.4.1 ∆ιανύσµατα ταχυτήτων 


Οι αρχικές ταχύτητες των ατόµων κατανέµονται τυχαία και η ολική κινητική ενέργεια 

αντιστοιχεί σε αρχική σταθερή θερµοκρασία των 300 K. Η MB κατανοµή, δηλαδή η 

θεωρητική κατανοµή ταχυτήτων σε κατάσταση ισορροπίας, αναµένεται να προκύψει έπειτα 

από κάποιες εκατοντάδες βήµατα επίλυσης του αλγόριθµου Verlet. Η MB κατανοµή 

αντικαθίσταται σε Gauss, ώστε να απλοποιηθεί η διαδικασία της ισορροπίας. Αυτή η 

αντικατάσταση δεν αλλάζει σηµαντικά την κατανοµή ταχυτήτων επειδή η Gauss είναι αρκετά 

όµοια µε την ΜΒ. Στη συνέχεια ακολουθεί το στάδιο της επίλυσης της εξίσωσης κίνησης 

Newton µε τον αλγόριθµο Verlet. Έπειτα από µερικές εκατοντάδες βήµατα του αλγορίθµου 

η κατανοµή των ταχυτήτων των ατόµων ακολουθεί πλέον την κατανοµή ΜB. 

167


168 

Σχήµα 4.8: ∆ιάνυσµα ταχύτητας του i ατόµου 

Η κατανοµή των ταχυτήτων που είναι µια κατανοµή Gauss παράγεται από τις παρακάτω 

εξισώσεις. Τα διανύσµατα vx,y,z είναι οι συνιστώσες των ταχυτήτων που επιθυµούµε να 

παραχθούν. Η vcm είναι η µέση τιµή της κατανοµής, σ η διασπορά και xnD µεταβλητή που 

ακολουθεί κανονική κατανοµή. 

v = v + σ x 


xyz , , cm nD 

Η µέση ταχύτητα, για µία διάσταση, προκύπτει σύµφωνα µε την κινητική ενέργεια που 

αντιστοιχεί σε θερµοκρασία Τ [10]. 

Τέλος η διασπορά (variance) δίνεται από: 

1 2 1 

kT B 

mv i cm= kBT⇒ vcm= 


2 2 

m 

kT 

i 

2 B σ = Εξίσωση 4.27 

mi 

xnD είναι µια µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή, η οποία µπορεί να παραχθεί 

κατ’αυτόν τον τρόπο:

1 2 

καθώς επίσης και από την ακόλουθη εξίσωση 

ή ακόµα και από την Εξίσωση 4.30 


x = − 2lnn cos2πn 


nD 

x = − 2lnn sin2πn 


nD 

12 

nD k 

k = 1 

2 1 

όπου n1…n2 ακολουθούν οµοιόµορφη κατανοµή [0,1]. 

Οι αδιαστατοποιηµένες εξισώσεις είναι: 

Όπου 

x = ∑ n − 6 


v = v + σ x 


* * * 

xyz , , cm nD 

v 

* 

cm 

* 

T 


m 

* 

i 

* 

2 

* 

T 

σ m 


T 

m 

* i 

i 

* 

i 

m 


m 

kT 


D 

* B 

169


4.4.2 Μέθοδοι πεπερασµένων διαφορών 

Η συνήθης µέθοδος για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων όπως οι : 

και 

170 

mr �� i i= 

f 

i 


r � = 


i pi mi 

είναι η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών. ∆οθέντος των ατοµικών θέσεων, ταχυτήτων 

και άλλων δυναµικών χαρακτηριστικών της χρονικής στιγµής t, επιχειρείται να υπολογιστούν 

οι θέσεις, οι ταχύτητες κτλ σε µια µετέπειτα χρονική στιγµή t + δt µε ένα ικανοποιητικό 

βαθµό ακρίβειας. Οι εξισώσεις λύνονται πολυβηµατικά µε την επιλογή του χρονοβήµατος δt 

να εξαρτάται από τη µέθοδο επίλυσης. Όµως πάντα το δt πρέπει να είναι αρκετά µικρότερο 

από τον τυπικό χρόνο που απαιτείται για ένα άτοµο να διασχίσει το ίδιο του το µήκος [1]. 

Πολλοί διαφορετικοί αλγόριθµοι εντάσσονται στο γενικό πρότυπο της µεθόδου των 

πεπερασµένων διαφορών [11]-[14]. Οι κυριότερες και συχνότερα απαντώµενες σε µελέτες, 

µέθοδοι πεπερασµένων διαφορών, είναι ο αλγόριθµος Verlet και ο Gear predictor- corrector. 

Η πιο συνήθης µέθοδος ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης είναι αυτή του Verlet [15]. Η 

µέθοδος αυτή είναι µια ευθεία επίλυση των εξισώσεων δεύτερης τάξης Χ. Ο αλγόριθµος 

βασίζεται στις θέσεις r(t), τις επιταχύνσεις a(t) και τις θέσεις r(t - δt) από το προηγούµενο 

βήµα. Η εξίσωση υπολογισµού των νέων θέσεων έχει ως εξής: 

= 2 − + δt 

2 

r(t + δt) r(t) r(t - δt) a(t) Εξίσωση 4.38 

Στην παραπάνω εξίσωση παρατηρείται πως δεν απαιτούνται οι ταχύτητες για τον υπολογισµό 

των τροχιών για αυτό και απουσιάζουν. Όµως οι ταχύτητες είναι απαραίτητες για τον 

υπολογισµό της κινητικής ενέργειας συνεπώς και της ολικής ενέργειας. Έτσι οι ταχύτητες 

εξάγονται απο την εξίσωση που ακολουθεί. 

− 

= 

2δ t 

r(t + δt) r(t - δt) 

v(t) Εξίσωση 4.39


Κύρια προβλήµατα του αλγορίθµου Verlet είναι ο δύσχρηστος τρόπος υπολογισµού της 

ταχύτητας και ότι στην Εξίσωση 4.38 ο µικρός όρος (Ο(δt 2 )) προστίθεται σε µια διαφορά 

µεγάλων όρων (Ο(δt 0 )), για να υπολογιστούν οι τροχιές. Αυτό µπορεί να οδηγήσει σε µείωση 

της αριθµητικής ακρίβειας, κάτι που σαφώς και είναι ανεπιθύµητο. Για την αντιµετώπιση 

αυτών των προβληµάτων παρουσιάζονται δύο νέοι αλγόριθµοι, οι οποίοι βασίζονται στον 

αλγόριθµο Verlet και δεν αποτελούν παρά βελτιωµένες τροποποιήσεις του. Οι δύο αυτοί 

αλγόριθµοι είναι ο Leapfrog Verlet και Verlet που βασίζεται στην ταχύτητα. Ο αλγόριθµος 

Leapfrog Verlet [16] αντιµετωπίζει επιτυχώς τα προβλήµατα του Verlet, αλλά δεν χειρίζεται 

και ο ίδιος ικανοποιητικά το θέµα της αριθµητικής ακρίβειας. Για αυτό το λόγο αναπτύχθηκε 

µια δεύτερη τροποποίηση του Verlet [15] που θεωρείται καλύτερος αλγόριθµος σε σχέση µε 

του δύο προηγούµενους. Όµως το υπολογιστικό κόστος του τελευταίου αλγορίθµου µπορεί 

να είναι το ίδιο µε του κλασικού Verlet αλλά είναι σαφώς µεγαλύτερο του Leapfrog [1]. 

Συνεπώς ο Leapfrog Verlet προτιµάται όταν απαιτείται ένας αλγόριθµος καλής αριθµητικής 

σταθερότητας, εύκολος, απλός και χωρίς υψηλό υπολογιστικό κόστος. Η µέθοδος Gear 

predictor-corrector απαιτεί πολύ µεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος από όλους τους 

αλγορίθµους τύπου Verlet για αυτό κρίνεται ως ασύµφορος. Μάλιστα, ακόµα και αύξηση της 

τάξης της µεθόδου Gear δεν επιφέρει µεγάλη βελτίωση της ακρίβειας για µια Μοριακή 

∆υναµική Προσοµοίωση [1], συνεπώς και δεν συνιστάται. Στο Σχήµα 4.9 παρουσιάζεται µια 

γραφική σύγκριση του τρόπου λειτουργίας των τριών προαναφερθέντων αλγορίθµων. 

171


Σχήµα 4.9: (a) Κλασικός Verlet αλγόριθµος (b) Αλγόριθµος Verlet Leapforg (c ) Αλγόριθµος Velocity Verlet. Στην αριστερή πλευρά 

παρουσιάζονται τα µεγέθη που πρέπει να υπολογιστούν: r = (x,y,z) θέση σωµατιδίου, v ταχύτητα σωµατιδίου, a επιτάχυνση σωµατιδίου. 

Ενώ στην πάνω, η εξέλιξη των χρονοβηµάτων. Τα σκιασµένα κελία δείχνουν πότε υπολογίζονται (σε ποια χρονοβήµατα) τα προαναφερόµενα µεγέθη. 

172

• Τροποποιηµένος Αλγόριθµος Verlet (Leapfrog) και Υπολογισµός ∆υνάµεων 


Στο συγκεκριµένο στάδιο το σύστηµα δεν θεωρείται ότι έχει φτάσει σε κατάσταση 

ισορροπίας, συνεπώς για να έχουµε ισορροπία απλά εκτελούνται υπολογισµοί Μ∆ για έναν 

ικανοποιητικό αριθµό χρονοβηµάτων. Για την επίλυση των εξισώσεων της κίνησης 

χρησιµοποιείται ένας συνηθισµένος δεύτερης τάξης αλγόριθµος, ο τροποποιηµένος Verlet, 

γνωστός και ως Leapfrog Verlet. Η µέθοδος Leapfrog είναι ένα χρονόσχηµα όπως 

ακολουθεί: 

v = v + α δt 


n+1/2 n-1/2 n 

x = x + v δt 


n+1 n n+1/2 

όπου xn και an είναι η θέση και η επιτάχυνση n, un+1/2 η ταχύτητα στο χρόνο n+1/2 και το Dt 

είναι το χρονόβηµα. Η προσοµοίωση Μ∆ είναι τρισδιάταση και συνεπώς οι προηγούµενοι 

αλγόριθµοι γράφονται για το i άτοµο ως: 

⎡vix ⎤ ⎡vix ⎤ ⎡aix ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢viy ⎥ = ⎢viy ⎥ + ⎢aiy ⎥ δt 

⎢v ⎥ ⎢v ⎥ ⎢a ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

iz n+ 1/2 iz n−1/2 iz n 

⎡xi⎤ ⎡xi⎤ ⎡vix⎤ ⎢ 

y 

⎥ ⎢ 

i y 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

= 

⎢ i⎥ + ⎢viy⎥ δt 

⎢⎣z ⎥⎦ ⎢⎣z ⎥⎦ 

⎢v⎥ ⎣ ⎦ 

i n+ 1 i n iz n+ 

1/2 



Στον αλγόριθµο Leapfrog οι θέσεις είναι γνωστές στους χρόνους n, n+1, n+2, … αλλά οι 

ταχύτητες στους n-1/2, n+1/2, n+3/2, … . Συνεπώς η ∆υναµική Ενέργεια και η Κινητική δεν 

µπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα. Μια επιλογή είναι η χρησιµοποίηση µιας 

επιπρόσθετης εξίσωσης για τον υπολογισµό των ταχυτήτων σε ακέραιο αριθµό 

χρονοβηµάτων. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο υπολογισµός αυτός κάνει τον Leapfrog τόσο 

χρονοβόρο όσο και τον απλό Verlet, όσον αφορά των αριθµό των διαδικασιών και την 

αποθήκευση αποτελεσµάτων. 

173


174 

= 

2 

n+1/2 n-1/2 v +v 

v n 


⎡v ⎤ ⎡ 

ix v ⎤ ⎡ 

ix v ⎤ 

ix 

⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ 1⎢ 

⎥ 

⎢viy ⎥ = ⎢viy ⎥ + ⎢viy ⎥ 

⎢ 

2 2 

v 

⎥ ⎢ 

v 

⎥ ⎢ 

v 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

iy 

n 

iy 

n+ 1/2 

iy 

n−1/2 


Για τον τροποποιηµένο Verlet η θέση των ατόµων (x, y, z), η ταχύτητα, (vx, vy, vz,) και η 

επιτάχυνση (ax, ay, az) απαιτούνται για την υλοποίηση του. Παρότι η θέση είναι γνωστή από 

το πρώτο βήµα (αρχική, BCC ή FCC, κρυσταλλική δοµή πλέγµατος) και η ταχύτητα από το 

δεύτερο βήµα (κατανοµή ταχυτήτων), η επιτάχυνση είναι άγνωστη και συνεπώς πρέπει να 

υπολογιστεί. Για τον υπολογισµό της επιτάχυνσης απαιτείται πρώτα η δύναµη που ενεργεί 

πάνω στο άτοµο, του οποίου η επιτάχυνση ζητείται. Άρα προηγείται ο υπολογισµός της 

δύναµης. Η ολική δύναµη που ενεργεί πάνω σε κάθε άτοµο υπολογίζεται αθροίζοντας τα 

διανύσµατα των δυνάµεων από τα γειτονικά άτοµα. Εάν ο αριθµός των ατόµων είναι Ν, τότε 

ο ολικός αριθµός των δυνάµεων είναι Ν(Ν-2). Εξ’αυτών µόνο οι Ν(Ν-2)/2 πρέπει να 

υπολογιστούν γιατί Fij= - Fij. Εποµένως η δύναµη δίνεται από: 

όπου 

r −r ∂ 

r −r 

F i = ∑ = ∑ 


N N 

i j j i 

Pr i() r fij 

j= 1 rij ∂r 

j= 

1 rij 

j≠i j≠i ∂ 

fij =− Pr i ( ij ) 

∂r 

ij 


αφού η δύναµη είναι η µερική παράγωγος της δυναµικής ενέργειας ως προς την απόσταση. 

Όπως προαναφέρθηκε η προσοµοίωση είναι τρισδιάσταση, συνεπώς και ο υπολογισµός της 

δύναµης πρέπει να είναι τρισδιάστατος. Τα i, j, k είναι τα µοναδιαία διανύσµατα, fij το µέτρο 

της δύναµης και οι λόγοι (xj-xi)/rij, (yj-yi)/rij και (zj-zi)/rij είναι τα συνηµίτονα κατεύθυνσης.

−r ∂ 

Fi= ∑ 

r −r 

= ∑ = ∑ − − − 

⎡i ⎤ 

⎢ 

j 

⎥ 

⎢⎣ k⎥⎦ 

N N N 

i j j i 

ij 

Pr i() r f ⎡ ij xj xi, yj yi, zj z⎤ 

i 

j= 1 rij ∂r 

j 1 r 

⎣ ⎦⎢⎥ = ij j= 

1 

rij 

j≠i j≠i j≠i iy j i 

j= 

1 ⎢ ⎥ 

j≠i iz n j i 

n 

Σχήµα 4.10: ∆ιανύσµατα δυνάµεων 

f 



⎡f⎤ ⎡xj − x ⎤ 

ix 

i 

N 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ exp( 2a( rij r0)) exp( a( rij r0)) 

f 2aD 

y y 

⎣− − − + − − ⎤ 

⎦ 

⎢ ⎥ = ∑ ⎢ − ⎥ 


2 2 2 

⎢ ( xi − xj) + ( yi − yj) + ( zi −zj) 

f ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣z − z ⎦ 

Σχήµα 4.11: ∆ιανύσµατα δυνάµεων και απόσταση αποκοπής 

175


Η επιτάχυνση υπολογίζεται από τον δεύτερο νόµο του Newton 

Άρα 

176 

F 1 r − r ∂ 

a i = = 

Pr () r= rij 

m m r ∂r 


N 

∑ 

i 

i i j= 

1 

j≠i ij 

j 

i 

⎡i ⎤ 

N 1 

fij 

a ⎡xj xi, yj yi, zj z ⎤ 

⎢ ⎥ 

i = ∑ 

i 

m 

⎣ − − − ⎦⎢ 

j 

⎥ 


i j= 

1 

rij 

j≠i ⎢⎣ k⎥⎦ 

⎡a⎤ ⎡x − x ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢a ⎥ = ∑ y − y 


⎢a ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣z − z ⎦ 

ix 

j i 

N 1 ⎢ ⎥ fij 

iy ⎢ j i ⎥ 

mi j= 

1 ⎢ ⎥ 

rij 

j≠i iz n j i 

n 

⎡a ⎤ ⎡f ⎤ ⎡x − x ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ exp( 2a( )) exp( a( )) ⎤ 

a f y y 

⎣ ⎦ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∑ Εξίσωση 4.53 

⎢a ⎥ ⎢f ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣z − z ⎦ 

ix ix 

j i 

N 

1 2aD⎢ 

⎥ − − rij − r0 + − rij −r0 

iy = iy = ⎢ j − i ⎥ 

m 2 2 2 

i mi j= 

1 ⎢ ⎥ ( xi − xj) + ( yi − yj) + ( zi −zj) 

j≠i iz n iz n j i 

n 

Ο αδιαστατοποιηµένος Verlet είναι: 

v v a δ 


* * * * 

n+ 1/2 = n−1/2 + n t 

x x v δ 


* * * * 

n+ 1 = n + n+ 1/2 t 

v + v 

v = 

2 

* * 

* 

n 

n+1/2 n-1/2 

Η αδιαστατοποιηµένη εξίσωση δύναµης: 

N 

* * * * * 

i = − − ij − 0 + − ij − 0 

j= 

1 

j≠i Εξίσωση 4.56 

f 2 ⎡ 

⎣ exp( 2( r r )) 2exp( ( r r )) ⎤ 


∑ ⎦

* 

i 

i 

i 

x 

y 

z 

* 

⎡ j − ⎤ i 

N * 

fi 

⎢ j i⎥ * 

j= 1⎢ rij j≠izj −z ⎥ 

i 

* 

⎡ j − ⎤ i 

N 

2 ⎢ j i⎥ 

j= 

1⎢ 

j≠izj −z 

⎥ 

i 

* * * * 

−exp( −2( rij − r0)) + exp( −( rij−r0)) * * 2 * * 2 * * 2 

( xi xi ) ( yi yj) ( zi zj) 

⎡f⎤ ⎢ ⎥ 

x x x x 

⎡ ⎤ 

⎢f ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

= y − y = y − y 

⎣ ⎦ 

⎢ ⎥ − + − + − 

⎢f⎥ ⎣ ⎦ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 


∑ ∑ Εξίσωση 4.58 

Και η αδιαστατοποιηµένη εξίσωση επιτάχυνσης: 

* 

* * 

⎡xj −x ⎤ ⎡ i x 

* 

j −x 

⎤ 

ix 

i 

N N 

* * * * 

1 ⎢ ⎥ f 2 

exp( 2( 0)) exp( ( 0)) 

ij ⎢ ⎥ − − rij − r + − rij −r 

iy = * ⎢ j − i ⎥ = * * ⎢ j − i ⎥ 

m * * 2 * * 2 * * 2 

i j= 1⎢ ⎥ 

rij mi j= 

1⎢ 

⎥ ( xi − xi ) + ( yi − yj) + ( zi −zj) 

j≠i j≠i iz j i j i 

⎡a⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 

a y y y y 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

⎢ ⎥ 

⎢a ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣z −z ⎦ ⎣z −z 

⎦ 

∑ ∑ Εξίσωση 4.59 

4.4.3 Έλεγχος σύγκλισης ταχυτήτων α(t) 

Η συνάρτηση σύγκλισης ταχύτητας a(t) διασταυρώνει αν η ισορροπία έχει επιτευχθεί. Αν 

έχει επιτευχθεί τότε το σύστηµα θεωρείται ότι βρίσκεται σε θερµοδυναµική ισορροπία [7] και 

ακολουθεί το στάδιο της ακτινοβολίας, όπου προσοµοιώνεται η επίδραση της ακτίνας Laser 

στο υλικό. Σε περίπτωση που δεν ικανοποιείται η απαιτούµενη συνθήκη επιλύονται και 

άλλοι αλγόριθµοι Verlet µέχρι ικανοποίησης της συνθήκης, δηλαδή µέχρι αποκατάστασης της 

θερµοδυναµικής ισορροπίας. Η συνάρτηση α(t) δίνεται από: 

at () 

N 

2 

1 2 2 2 

∑ ⎡vx vy vz 

N ⎣ + + ⎤ 

⎦ 

i= 

1 = 

N 

2 

⎡ 1 2 2 2 ⎤ 

⎢ ∑ ⎡vx + vy + v ⎤ z 

N ⎣ ⎦⎥ 

i= 

1 

⎣ ⎦ 


Αν │α(t) – 5/3│≤ 0.2 [7] τότε η συνθήκη ικανοποιείται. Η τιµή σύγκλισης 0.2 µπορεί να 

µεταβληθεί ανάλογα µε την επιθυµητή ακρίβεια του πειράµατος. Η αδιάστατη συνάρτηση 

αυτοσυσχέτισης είναι η παρακάτω: 

177


178 

at () 

* 

N 2 

2* 

∑⎡ ⎣v⎤ i ⎦ 

i= 1 

j≠i N 

2 

2* 2* 2* 

∑⎡ 

⎣vx + vy + v ⎤ z ⎦ 

i= 

1 

j≠i 2 2 

N 

2* 

∑⎡ ⎣v⎤ i ⎦ 

i= 1 

N 

2* 2* 2* 

∑⎡ 

⎣vx + vy + v ⎤ z ⎦ 

i= 

1 

j≠i j≠i 1 1 

N N 

= 

⎡ 

⎢ 1 

⎢N ⎢⎣ ⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ = 

⎡ 

⎢ 1 

⎢N ⎢⎣ ⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

4.4.4 Συνάρτηση επιθυµητής θερµοκρασίας 


Η θερµοκρασία του συστήµατος εκφράζεται από το µέσο τετράγωνο των ταχυτήτων των N 

ατόµων και δίνεται από: 

1 m 1 m 

T = v = v + v + v 

N 3k N 3k 


N 

i 

∑ 

2 

i 

N 

i 2 

∑( 

x 

2 

y 

2 

z) 

B i= 1 B i= 

1 

j≠i Αν │T-Td│≤ 3 τότε η συνθήκη ικανοποιείται, διαφορετικά απαιτείται ανάθεση νέων 

ταχυτήτων. Td είναι η επιθυµητή θερµοκρασία. Εάν η απόλυτη διαφορά µεταξύ της 

µετρούµενης θερµοκρασίας και αυτής που επιθυµείται δεν υπερβαίνει τους 3 Κ τότε 

θεωρείται η ακρίβεια ικανοποιητική οπότε η προσοµοίωση προχωρά. Σε αντίθετη περίπτωση 

αναθέτονται νέες ταχύτητες µέχρι να ικανοποιηθεί το κριτήριο. 

Η αδιαστατοποιηµένη εξίσωση της θερµοκρασίας είναι: 

1 m 1 m 

T v ( v v v ) 


* 

= 

N 

* N 

i 

∑ 3 i= 1 

2 

i = 

N 

* N 

i 

∑ 3 i= 

1 

2* 

x + 

2* 

y + 

2* 

z 

j≠i j≠i 4.4.5 Ανάθεση νέων ταχυτήτων 

Στην περίπτωση που απαιτείται ανάθεση νέων ταχυτήτων, αυτό γίνεται ακολουθώντας τις 

παρακάτω εξισώσεις και επιστρέφονται για την επίλυση των εξισώσεων κίνησης µε τον 

αλγόριθµο Verlet.


Td 

vi = v i , i = 1,..., N 


T 

New 

⎡v ⎤ ⎡ ix v ⎤ ix 

⎢ ⎥ T ⎢ ⎥ d 

⎢viy ⎥ = ⎢viy ⎥ , i = 1,..., N 

⎢ 

T 

v 

⎥ ⎢ 

iy v 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ iy ⎦ 

i i 

Οι αδιαστατοποιηµένες εξισώσεις για την ανάθεση των ταχυτήτων είναι: 


* 

new* 

Td 

* 

vi = v , i = 1,..., N 


* i 

T 

New* 

* 

ix 

Td 

ix 

iy iy 

⎡v ⎤ ⎡v ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢v ⎥ = ⎢v ⎥ , i = 1,..., N 

⎢ 

T 

v 

⎥ ⎢ 

iy v 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ iy ⎦ 

i i 


179


4.5 Μοντέλο ακτινοβολίας Laser 

Στο παρόν τµήµα περιγραφής της Μοριακής ∆υναµικής µεθοδολογίας παρουσιάζεται η 

µοντελοποίηση της δέσµης Laser. Το θέµα της ακτινοβολίας προσεγγίσθηκε κυρίως 

ενεργειακά αφού αρχικά έγινε ένας διαχωρισµός στον τρόπο που θα προσοµοιωθεί αυτή. 

Επιλέχθηκε διαχωρισµός σε χρονική και χωρική προτυποποίηση. Η χωρική προτυποποίηση 

έχει επίσης διαχωρισθεί σε επίπεδα. To χωρικό προφίλ της ακτίνας είναι µια κατανοµή 

Gauss, ενώ το χρονικό µια οµοιόµορφη κατανοµή. Τέλος ο νόµος Beer-Lambert, καθώς, ο 

δείκτης Laser Beam Waste και η ανάκλαση της δέσµης λόγω των οπτικών ιδιοτήτων του 

υλικού έχουν περιληφθεί στην µοντελοποίηση. Συµπερασµατικά η µοντελοποίηση της 

δέσµης Laser σε µοριακό επίπεδο αποτελείται από τους εξής συντελεστές: 

180 

• Χρονική Προτυποποίηση 

• Χωρική Προτυποποίηση 

• Ανάκλαση ∆έσµης 


το λογικό διάγραµµα εφαρµογής τους κατά την υλοποίηση του κώδικα της Μοριακής 

∆υναµικής. 

Σχήµα 4.12: Λογικό διάγραµµα διασύνδεσης συντελεστών µοντελοποίησης δέσµης Laser 

κατά την προσοµοίωση. 

4.5.1 Χρονική προτυποποίηση 

Τα Laser υπερβραχέων παλµών εµφανίζουν στον χρόνο Gaussian κατανοµή. Το µήκος 

παλµού λαµβάνεται ως το Full Width at Half Maximum (FWHM) ενός παλµού που


παρουσιάζει κατανοµή Gauss. Πρέπει να σηµειωθεί πως όταν η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι 

ο χρόνος, όπως και στην παρούσα µελέτη, προτιµάται η χρήση της οµοιόµορφης χρονικής 

κατανοµής της δέσµης. 

Σχήµα 4.13: Gauss και οµοιόµορφη χρονική κατανοµή της ενέργειας της δέσµης Laser 

Ο όρος για τη Gaussian χρονική κατανοµή της ενέργειας της δέσµης Laser εκφράζεται από 

την ακόλουθη εξίσωση, όπου tp είναι η διάρκεια του παλµού και t0 είναι το χρονικό κέντρο 

της διάρκειας του παλµού. 

S 

pulse/ t 

1 t−t02 = exp( − ) 

t π t 


p 

p 

Για λόγους απλοποίησης εµφανίζεται αρκετές φορές στην βιβλιογραφία η προτυποποίηση της 

συµπεριφοράς τους στο χρόνο µε οµοιόµορφη κατανοµή [16]. Έχοντας ως γνώµονα την 

απλότητα και την ευχρηστία της µεθόδου και του κώδικα Μ∆ στην παρούσα µελέτη 

ακολουθήθηκε αυτή η προσέγγιση της οµοιόµορφης κατανοµής, η οποία µειώνει και το 

υπολογιστικό κόστος των υπολογισµών. Μια γραφική αναπαράσταση αυτής, απεικονίζεται 

στο Σχήµα 4.13. 

181


4.5.2 Χωρική προτυποποίηση 

Χωρική Προτυποποίηση κατά των άξονα Z 

Κατά τον άξονα Ζ, στην διεύθυνση µετάδοσης της ακτίνας του Laser, για την µοντελοποίηση 

της ακτινοβολίας πρέπει να ληφθούν υπόψιν ο νόµος Beer-Lambert και το χαρακτηριστικό 

απώλειας - Laser Beam Waste. 

182 

• Χαρακτηριστικό απώλειας - Laser Beam Waste 

Από τις αρχές της οπτικής, η δέσµη της ακτίνα Laser καθώς διεισδύει στο υλικό 

δεν παραµένει σταθερή αλλά αυξάνεται σε σχέση µε την εκάστοτε θέση του 

θεωρητικού επιπέδου που σχηµατίζει κατά την διεύθυνση µετάδοσης. 

Συγκεκριµένα η διάµετρος της ακτίνας είναι συνάρτηση του βάθους z και δίνεται 

από τη σχέση: 

( ) 

1/2 

⎡ 2 

⎛ λ 

2 ( z δ f ) ⎞ ⎤ 

⎢ + 

f 1 ⎜ ⎟ ⎥ 

0 ⎢ ⎜ 2 

π r ⎟ ⎥ 

f0 

r z = r + M 

⎢ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎥ 

⎦ 


Στην παρούσα εφαρµογή απαιτείται να µελετηθεί ο λόγος rz ( ) r fo . Εάν ο λόγος 

είναι κοντά στην µονάδα δεν υπάρχει ανάγκη να χρησιµοποιηθεί ο παράγοντας 

Laser Beam Waste, καθώς η ακτίνα δεν µεταβάλλεται σηµαντικά ως προς την 

αρχική της τιµή. Εφόσον οι διαστάσεις του προβλήµατος είναι στην κλίµακα του 

νανοµέτρου ο παράγοντας αυτός µπορεί να παραληφθεί, αφόυ δεν επηρεάζει την 

συµπεριφορά της ακτινοβολίας. 

• Νόµος Beer-Lambert 

Ο νόµος Beer-Lambert είναι ένας εµπειρικός νόµος της οπτικής, ο οποίος 

συσχετίζει την απορρόφηση της ακτινοβολίας µε τις ιδιότητες του υλικού µέσα 

από το οποίο αυτή διέρχεται. Η ένταση της ακτινοβολίας σε βάθος z συνδέεται 

µε την ένταση της ακτινοβολίας σε επίπεδο z=0, δηλαδή I0 πολλαπλασιασµένο µε 

την εκθετική συνάρτηση του βάθους z. Στο όρισµα της εκθετικής συνάρτησης το 

βάθος z πολλαπλασιάζεται µε τον συντελεστή απορρόφησης που στην 

συγκεκριµένη µας εφαρµογή είναι ίσο µε 0.01 Α -1 [17].

0 


I I exp( z) 

β = − Εξίσωση 4.70 

Η ενέργεια της ακτινοβολίας µπορεί να εκφραστεί ως το γινόµενο της ενέργειας 

ενός φωτονίου επί τον ολικό αριθµό φωτονίων που εµπεριέχονται σε ένα παλµό 

της ακτινοβολίας. 

hc 

= = Εξίσωση 4.71 

EvNPEPhoton NP λ 

Όπου: Eν είναι η ενέργεια του παλµού της ακτινοβολίας, Np ο αριθµός των 

φωτονίων του παλµού, h η σταθερά του Planck, c η ταχύτητα του φωτός και λ το 

µήκος κύµατος της ακτινοβολίας. 

Ο νόµος Beer-Lambert µπορεί να επαναδιατυπωθεί λαµβάνοντας υπόψη ότι η 

ένταση Ι είναι η ενέργεια Ε προς τo εµβαδόν της επιφάνειας που ακτινοβολείται, 

δηλαδή πr(z) 2 . 

E E 

⎛ 

0 

r( z) 

⎞ 

I = I0exp( −βz) ⇔ = exp( −βz) ⇔ E = E 2 2 

0 ⎜ exp( −βz) 

πrz ( ) πr 

⎜ 

⎟ 

fo r ⎟ 

⎝ fo ⎠ 

Έπειτα από αντικατάσταση της Εξίσωσης 4.71 στην 4.72 προκύπτει ότι: 

2 2 

⎛rz ( ) ⎞ PLδλ t ⎛rz ( ) ⎞ 

NphotonsEphoton = PLδt⎜ exp( −βz) ⇔ Np= exp( −βz) 

⎜ 

⎟ 

r ⎟ 

⎜ ⎟ 

fo hc ⎜ r ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ fo ⎠ 

2 



Όµως στην κλίµακα των νανοµέτρων ο λόγος rz ( ) rfo είναι ίσος περίπου µε 1, 

οπότε µπορεί να παραληφθεί και να προκύψει µια απλούστερη εξίσωση. 

PLδtλ Np= exp( − β z) 


hc 

183


Η Εξίσωση 4.74 παρέχει το πλήθος των φωτονίων σε συνάρτηση µε το βάθος, δεδοµένων της 

ισχύος, της διάρκειας του παλµού και του µήκους κύµατος της ακτινοβολίας. 

Χωρική Προτυποποίηση κατά το επίπεδο Χ-Υ 

Η ενέργεια της ακτίνας του Laser ακολουθεί την δισδιάστατη κατανοµή Gauss στο επίπεδο 

Χ-Υ, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 4.14. 

Σχήµα 4.14:α) Τρισδιάστατη κατανοµή Gauss, β) Κάτοψη σε επίπεδο x-y της 3D κατανοµής 

Gauss 

Η διµεταβλητή Gauss κατανοµή στην πλήρη της µορφή είναι: 

184 

( ) ( )( ) ( ) 2 

2 

x − µ x−µ y−µ y−µ 

1 1 

x 

f ( x, y) 

= exp − − 2ρ 

+ 

2 

2πσ σ 1−ρ 

2( 1−ρ 

) σ σ σ σ 

x y 

⎡ ⎡ ⎤⎤ 

x y y 

⎢ 2 ⎢ 2 2 ⎥⎥ 

⎢ ⎢ x x y y ⎥⎥ 

⎣ ⎣ ⎦⎦ 


Αρχικά θεωρείται ότι η γεωµετρία της ακτίνας του Laser που αλληλεπιδρά µε την επιφάνεια 

σε επίπεδο z = 0 είναι ένας κύκλος ακτίνας rb, είναι δηλαδή τύπου ΤΕΜ00, συνεπώς είναι 

προφανές ότι σx = σy = σ. Επιπλέον, όπως φαίνεται και από το Σχήµα 4.15, κάτω από τα 4σ 

βρίσκεται το 95,44% της ολικής ενέργειας. 

Σχήµα 4.15: Κατανοµή Gauss και τυπική απόκλιση


Στην περίπτωση που επιθυµείται εξαιρετικά µεγάλη ακρίβεια επιλέγεται το 6σ, ενώ το 4σ 

παραµένει µια καλή επιλογή. Ο καλύτερος τρόπος να αντιµετωπιστεί αυτό το πρόβληµα είναι 

µέσω µιας παραµέτρου a c (ακρίβεια), η οποία πολλαπλασιαζόµενη µε το σ δίνει τις τιµές που 

απαιτούνται. Συνεπώς: 

2 

acσ = 2r 

⇒ σ = r 


b b 

a c 

Το σύστηµα συντεταγµένων έχει σηµείο (0,0,0) το κέντρο επίδρασης της ακτίνας του Laser 

και του υλικού. Θεωρείται λοιπόν ότι το εστιακό επίπεδο (focal plane) βρίσκεται στην 

επιφάνεια του υλικού 

Σχήµα 4.16: Εστιακό επίπεδο ακτίνας και αρχή του συστήµατος συντεταγµένων για τη 

µέθοδο επίλυσης 

Το σύστηµα συντεταγµένων πρέπει να έχει ως σηµείο αναφοράς το κέντρο της ακτίνας του 

Laser που επιδρά στο υλικό στο επίπεδο x-y για z = 0. H συγκεκριµένη επιλογή εξυπηρετεί 

γιατί: 

µ x = µ y = 0 


Με αποτέλεσµα να παρουσιάζεται η κατανοµή Gauss. Τελικά η µεταβλητή συσχέτισης ρ 

πρέπει να υπολογιστεί ώστε να περιγραφεί η δισδιάστατη κατανοµή Gauss. Στο επίπεδο x-y 

η ακτινοβολία λαµβάνεται ως κύκλος. Άρα οι µεταβλητές στον x και y άξονα είναι 

ανεξάρτητες (ασυσχέτιστες), συνεπώς ρ = 0. 

185


186 

Σχηµα 4.17: Κάτοψη x-y της κατανοµής Gauss για ασυσχέτιστες µεταβλητές x, y (ρ=0) 

Άρα η δισδιάστατη κατανοµή Gauss µπορεί να γραφεί ως: 

2 2 

a ⎡ c ac 

2 2 ⎤ 

f ( xy , ) = exp 2 ⎢− ⎡x + y⎤ 

2 

8πrb 8r 

⎣ ⎦⎥ 

⎣ b ⎦ 


Η πιθανότητα να βρίσκεται ένα φωτόνιο στη θέση (x,y) δίνεται από την ολοκλήρωση της 

παραπάνω εξίσωσης από x-ra σε x+ra και από y-ra σε y+ra, όπου ra είναι η ακτίνα του 

ατόµου. Είναι γνωστό πως η διαδικασία αυτή είναι χρονοβόρα, για αυτό η δισδιάστατη 

Gauss κατανοµή κανονικοποιείται. Πρέπει να σηµειωθεί πως όταν γίνεται αναφορά για 

πιθανότητα να υπάρχουν φωτόνια σε µία θέση αναφέρεται στο ποσοστό των φωτονίων σε 

αυτή τη θέση σε σχέση µε τα φωτόνια που υπάρχουν σε ολόκληρο το επίπεδο x-y 

προσοµοίωσης. Ο ολικός αριθµός φωτονίων σε ένα επίπεδο δίνεται από την Εξίσωση 4.74 

που εξήχθη ως άµεση συνέπεια του νόµου Beer-Lambert. Συνεπώς η πιθανότητα ύπαρξης 

φωτονίου στην θέση (x, y) δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: 

Π( x −r ≤ X ≤ x+ r , y−r ≤Y ≤ y+ r ,) 


Και σε κανονικοποιηµένη µορφή: 

α α α α 

x−r y r x x x 

y Y y y r 

α −µ X − µ x+ rα −µ 

− α −µ − µ + α −µ 

y 

Π( ≤ ≤ , ≤ ≤ ) Εξίσωση 4.82 

σ σ σ σ σ σ 

x x x y y y 

Λαµβάνοντας υπόψη τις Εξισώσεις 4.78 και 4.79 τότε η 4.82 γίνεται:

α α α α 

c 

2rb c 

2rb c 

2rb c 

2rb c 

2rb c 

2rb 


x − r X x+ r y− r Y y+ r 

Π(a ≤a≤a , a ≤a≤ a ) Εξίσωση 4.83 

Εποµένως η πιθανότητα να βρίσκεται κάποιο φωτόνιο σε µια συγκεκριµένη θέση (x, y) 

δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: 

x− r X x+ r y− r Y y+ r 

Π(a ≤a ≤a , a ≤a ≤ a ) = 

α α α α 

c 

2rb c 

2rb c 

2rb c 

2r c 

2rb c 

2rb 

x+ r x− r y+ r y−r =Φ ( (a ) −Φ(a ))( Φ(a ) −Φ(a 

)) 

4.5.3 Ανάκλαση 

α α α α 

c 

2rb c 

2rb c 

2rb c 

2rb 


Ένα ποσοστό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας ανακλάται µε αποτέλεσµα να µειώνεται ο 

αριθµός των φωτονίων που επιδρούν στο υλικό σε σχέση µε αυτά που παράγονται από το 

Laser. Η ανάκλαση δίνεται από τον δείκτη R. Ο R εξαρτάται από το υλικό όπου γίνεται η 

ανάκλαση και το µήκος κύµατος ακτινοβολίας του Laser. Για Fe και µήκος κύµατος Laser 

775 nm το 65% της προσπίπτουσας ακτινοβολίας ανακλάται και άρα R=0,65 [18]. Συνεπώς 

από το υλικό απορροφάται ποσοστό ίσο µε (1-R). 

4.5.4 Ολική εξίσωση ακτινοβολίας 

Η προσπίπτουσα ακτινοβολία είναι το γινόµενο της ανάκλασης µε την ενέργεια των 

φωτονίων που προκύπτει από το νόµο Beer-Lambert επί τη χρονική κατανοµή και επί τη 

χωρική κατανοµή που δίνεται από την κατανοµή Gauss και την εξίσωση του Laser Beam 

Waste. Εποµένως δίχως να ληφθούν υπόψη οι υποθέσεις που έχουν γίνει όσον αφορά το 

συντελεστή Laser Beam Waste, µε Gauss κατανοµή τόσο χρονικά όσο και χωρικά από τις 

Εξισώσεις 4.68 και 4.80, και λαµβάνοντας υπόψη και τον νόµο Beer-Lambert (Εξίσωση 4.71) 

προκύπτει το εξής: 

187


2 2 

⎡ 2 2 

P ⎛ 

L t−t ⎞ ⎤ ⎡ 

0 a ⎛ 

c r( z) 

⎞ ⎛ ac 

2 2 ⎞ 

⎤ 

S = [1 −R] ∗⎢ exp⎜− ⎟ exp ( −βz) ⎥* ⎢ exp 

2 ⎜ ⎟ ⎜− 2 ( x + y ) ⎟⎥ 

⎢δtπ ⎜ t ⎟ 

p 8 π r( z) ⎜ r ⎟ 

⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ fo ⎠ ⎝ 8 r( z) 

⎠⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

188 


Λαµβάνοντας υπόψη τις υποθέσεις που προαναφέρθηκαν, η τελική εξίσωση που παρέχει την 

ενέργεια που απορροφάται από το υλικό είναι το γινόµενο του συντελεστή της ανάκλασης επί 

το γινόµενο που εξάγεται από τον Beer-Lambert επί τις πιθανότητες που προκύπτουν από την 

κατανοµή Gauss. Άρα η εξίσωση που προκύπτει είναι η ακόλουθη: 

2 2 

⎡ a ⎛ a ⎞⎤ 

⎢ 2 ⎜ 2 ⎟⎥ 

8πrb 8rb 

c c 2 2 

[ 1 ] * [ Lδ 

exp(- β ) ] * exp ( ) 

S = −R P t z − x + y 

⎣ ⎝ ⎠⎦ 


Όµως για να υπολογιστεί ο αριθµός των φωτονίων που βρίσκονται σε κάθε σηµείο του 

κρυστάλλου, η κατανοµή Gauss πρέπει να ολοκληρωθεί και έτσι από τις Εξισώσεις 4.86 και 

4.84 προκύπτει η 4.87: 

Number of Absorbed Photons = 

⎡ PLδλ t ⎤ ⎡ x+ rα x− rα y+ rα y−r ⎤ α 

= 

⎢ 

(1 −R) exp( −βz) * ⎢( Φ(a c ) −Φ(a c ))( Φ(a c ) −Φ(a 

c )) ⎥ 

⎣ hc ⎥ 

⎦ ⎣ 2rb 2rb 2rb 2rb 

⎦ 

Εξίσωση 4.87

4.6 Φόρτιση σωµατίδιων 


Κατά τη φόρτιση, τα σωµατίδια του υλικού απορροφούν την ενέργεια των φωτονίων που 

εµπεριέχονται στην δέσµη Laser και ως τελικό αποτέλεσµα αυξάνεται η ολική ενέργεια του 

συστήµατος των σωµατίδιων. Απορροφώντας φωτόνια τα σωµατίδια του κρυστάλλου 

αυξάνουν την κινητική τους ενέργεια άρα και την ταχύτητά τους. Συνεπώς οι νέες τους 

ταχύτητες πρέπει να επανα-υπολογιστούν, υποθέτοντας ότι η δυναµική ενέργεια παραµένει 

σταθερή γι αυτό το µικρό, σχεδόν ακαριαίο χρονικό, διάστηµα δt. 

Τα σωµατίδια που έχουν ακτινοβοληθεί απορροφούν ενέργεια από τα φωτόνια ίση µε ∆Εk 

∆Ε k = Absorbed Energy = Number of Absorbed Photons* EPhoton 

= 

c 

= Number of Absorbed Photons * h 

λ 

Η κανονικοποιηµένη ∆Εκ είναι: 

4.7 Συµπεριφορά σωµατίδιων 


∆Εκ/D Εξίσωση 4.89 

Σε αυτό το τµήµα της προτεινόµενης µεθόδου Μ∆ το άθροισµα της κινητικής ενέργειας του 

σωµατιδίου και της ενέργειας που απορροφήθηκε από το σωµατίδιο συγκρίνεται µε την 

ενέργεια συνοχής της εκάστοτε σωµατιδιακής µονάδος. Εάν το άθροισµα είναι µεγαλύτερο 

από την ενέργεια συνοχής τότε το σωµατίδιο αποµακρύνεται από τον κρύσταλλο, 

διαφορετικά παραµένει σε αυτόν αλλά µε νέα αυξηµένη ταχύτητα. 

Το λογικό διάγραµµα του κώδικα Μ∆ παρουσιάζεται στο Σχήµα 4.18. Ακολουθώντας την 

εξισορρόπηση του συστήµατος η ενέργεια που µεταφέρεται στο υλικό από τα φωτόνια του 

Laser απορροφάται από τα σωµατίδια της κρυσταλλικής δοµής. Το κριτήριο ενέργειας 

αποµάκρυνσης δείχνει ποια σωµατίδια έχουν αποκτήσει αρκετή ενέργεια ώστε να µεταβούν 

189


σε άλλη κατάσταση. Τα σωµατίδια τα οποία έχουν µεταβεί στην αέρια φάση 

αποµακρύνονται από τον όγκο προσοµοίωσης. Πρέπει να αναφερθεί ότι ο χρόνος αποτελεί 

µια ανεξάρτητη µεταβλητή, η οποία ξεκίνα από το πρώτο χρονόβηµα της προσοµοίωσης και 

καταλήγει στο τελευταίο. Μέσα από ένα βρόχο ελέγχεται η διάρκεια ακτινοβολίας Laser. Σε 

περίπτωση που ο καθοριζόµενος χρόνος προσοµοίωσης δεν έχει παρέλθει ένας νέος κύκλος 

προσοµοίωσης πραγµατοποιείται. Στα σωµατίδια που δεν έχουν αποµακρυνθεί από τον 

κρύσταλλο υπολογίζονται οι νέες αυξηµένες ταχύτητες και η διαδικασία που περιγράφεται 

στο παρόν κεφάλαιο επαναλαµβάνεται. Εάν ο χρόνος εφαρµογής του Laser στο υλικό έχει 

παρέλθει τότε η προσοµοίωση τελειώνει. Τα παραπάνω συγκεντρώνονται και στο Σχήµα 

4.18, όπου και παρουσιάζονται σχηµατικά οι διαδικασίες που προτείνονται από την 

κατάσταση ισορροπίας του υλικού ως το τέλος της προσοµοίωσης. Το ολικό διάγραµµα της 

µεθοδολογίας παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 5. 

190 

Σχήµα 4.18: Λογικό διάγραµµα βρόχων αλληλεπίδρασης καταστάσεων και ενεργειών, 

επακολουθούµενων της ισορρόπησης του συστήµατος κατά την προσοµοίωση 

4.7.1 Κριτήριο αποµάκρυνσης σωµατιδίων 

Η ενέργεια συνοχής είναι ένας από τους πιο σηµαντικούς παράγοντες σε µια Μ∆ ανάλυση, 

καθώς προσδιορίζει το ποσό ενέργειας που µπορεί να απορροφηθεί από κάθε σωµατίδιο.


Ένα από τα κύρια προβλήµατα είναι ότι η ενέργεια συνοχής για νανοδοµές δεν έχει σταθερή 

τιµή αλλά είναι µια συνάρτηση του αριθµού των σωµατιδίων που υπάρχουν στον κρύσταλλο. 

Στην παρούσα εργασία η ενέργεια συνοχής θεωρείται ίδια µε αυτή του υλικού σε µακροεπίπεδο, 

C = -4.325 eV [19]. Το κριτήριο ης ενέργειας συνοχής έχει ως εξής: 

abs(C) ≤ ∆Εκi + Κi τότε Αφαίρεση Ατόµου Εξίσωση 4.90 

abs(C )>∆Εκi + Κi τότε νέες Ταχύτητες Εξίσωση 4.91 

4.7.2 Υπολογισµός νέων ταχυτήτων 

Τα φωτόνια της ακτινοβολίας Laser αυξάνουν την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων της 

εξωτερικής στοιβάδας του ατόµου. Στην συνέχεια αυξάνεται και η κινητική ενέργεια του 

πυρήνα, συνεπώς παρουσιάζεται µια αύξηση της ταχύτητας του ατόµου. Εποµένως για τα 

άτοµα πρέπει να υπολογιστούν νέες ταχύτητες, έπειτα από την επίδραση της ακτινοβολίας. 

Όπως διατυπώθηκε νωρίτερα οι θέσεις των σωµατιδίων δεν έχουν αλλάξει, άρα η δυναµική 

ενέργεια παραµένει σταθερή. Οπότε: 

Ki New i= ∆E + Ki 


H νέα κινητική ενέργεια του σωµατιδίου ισούται µε το άθροισµα της παλιάς κινητικής 

ενέργειας και της πρόσθετης από τα φωτόνια ενέργειας. Από αυτή την ισότητα µε επίλυση 

ως προς την ταχύτητα του σωµατιδίου προκύπτει, η νέα ταχύτητα. 

και η κανονικοποιηµένη εξίσωση: 

1 New 

2 1 Old 

2 

mivi =∆ Ei + mivi 

⇒ 

2 2 

v = 

2 ∆ E+ K 

( ) = 

2 ∆E 

+ v 

New 

i 

2 

i 

mi D mi D 

i 


191


192 

2 ∆ E+ K 2 ∆E 

v v Εξίσωση 4.94 

New 

i 

2* 

i * = ( ) = + 

* * 

i 

mi D mi D 

Εφαρµογή Τροποποιηµένου αλγορίθµου Leapfrog Verlet 

Ο αλγόριθµος Leapfrog επαναλαµβάνεται κατά την διάρκεια της ακτινοβολίας για κάθε 

χρονόβηµα δt καθώς και µετά το πέρας αυτής, µέχρι να ισορροπήσει ξανά το σύστηµα. Η 

διαδικασία είναι ακριβώς ίδια µε το προηγούµενο στάδιο όπου εφαρµόζεται ο αλγόριθµος. 

Όπου 

New 

n 

v = v + a δt 


New New New 

n+ 1/2 n−1/2 n 

x + = x + v δt 


New New New 

n 1 n n 

x and New 

α είναι η θέση και η επιτάχυνση την χρονική στιγµή n, New 

v η ταχύτητα 

n 

την χρονική στιγµή ν+1/2 και δt το χρονόβηµα. 

Και σε τρισδιάστατη µορφή, λόγω της φύσης του προβλήµατος: 

⎡v ⎤ ⎡v ⎤ ⎡a ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢v ⎥ ⎢v ⎥ ⎢a ⎥ δt 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣v ⎦ ⎣v ⎦ ⎣a ⎦ 

New New New 

ix ix ix 

New 

iy = 

New 

iy + 

New 

iy 

New New New 

iz n+ 1/2 iz n−1/2 iz n 

New New New 

⎡x ⎤ ⎡ i x ⎤ ⎡ i v ⎤ ix 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

New New New 

⎢yi ⎥ = ⎢yi ⎥ + ⎢viy ⎥ δt 

⎢ 

z 

⎥ ⎢ 

z 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣v⎦ New New New 

i 

n+ 1 

i 

n iz n+ 

1/2 

n+1/2 



Ακολουθώντας την ίδια λογική, όπως και στο τµήµα της αρχικής εξισορρόπησης, οι θέσεις 

είναι γνωστές στους χρόνους n, n+1, n+2, … αλλά οι ταχύτητες στα n-1/2, n+1/2, n+3/2, … . 

Συνεπώς η ∆υναµική ενέργεια και η Κινητική δεν µπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα. 

Εποµένως απαιτείται η χρήση µιας επιπρόσθετης εξίσωσης για τον υπολογισµό των νέων 

ταχυτήτων των σωµατίδιων που δεν έχουν αποµακρυνθεί σε ακέραιο αριθµό χρονοβηµάτων. 

New New 

New v n+1/2 +vn-1/2 

v n = 


2

New New New 

⎡v ⎤ ⎡ ix v ⎤ ⎡ ix v ⎤ ix 

⎢ ⎥ New 1⎢ ⎥ New 1⎢ 

⎥ New 

⎢viy ⎥ = ⎢viy ⎥ + ⎢viy ⎥ 

⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ 2⎢ 

⎥ 

⎣v ⎦ ⎣v ⎦ ⎣v ⎦ 

New New New 

iz n iz n+ 1/2 iz n−1/2 



Παροµοίως, για τον υπολογισµό της επιτάχυνσης πρέπει πρώτα να υπολογισθεί, όπως 

αναφέρθηκε και πιο πάνω, η δύναµη. Η ολική δύναµη που ενεργεί πάνω σε κάθε άτοµο 

υπολογίζεται αθροίζοντας τα διανύσµατα των δυνάµεων από τα γειτονικά άτοµα. 

F 

New 

ij 

r −r r −r 

= = ⇒ 

N New New N New New 

i j ∂ New j i New 

Pr i( ) r f 

New New ij 

j= 1 rij ∂r 

j= 

1 rij 

j≠i j≠i ∑ ∑ 

New 

Fij = ∑ − − − 

⎡i⎤ f 

j 

⎢⎣k⎥⎦ N 

New 

New New New New New New ij 

⎡xj xi , yj yi , zj z 

⎢ ⎥ 

⎣ 

⎤ i ⎦⎢ ⎥ New 

j= 1 

rij 

j≠i Εξίσωση 4.101 

New 

New New 

⎡f⎤ ⎡xj − x ⎤ 

ix i 

New New 

⎢ ⎥ N ⎢ ⎥ exp( 2a( rij r0)) exp( a( rijr0)) New New New 

fiy 2aD 

yjy ⎣ 

⎡− − − + − − ⎦ 

⎤ 

⎢ ⎥ = ∑ ⎢ − i ⎥ 


New New 2 New New 2 New New 2 

⎢ j= 

1 

( xi xj ) ( yi yj ) ( zi zj 

) 

New ⎥ ⎢ 

j i New New ⎥ − + − + − 

f ≠ 

⎣ iz ⎦ ⎢⎣zj−zi⎥⎦ Η νέα επιτάχυνση υπολογίζεται επίσης από το δεύτερο νόµο του Newton: 

Άρα: 

F r − r 

New 

∂ 

a i = = 


New N New New 

ij 1 i j 

∑ 

Pr () New New New 

r = rij 

mi mi j= 

1 rij ∂r 

j≠i ⎡i⎤ N 

New 

1 

f 

New 

New New New New New New ij 

a ⎡xj xi , yj yi , zj z ⎤ 

⎢ ⎥ 

i = ∑ 

i New 

m ⎣ − − − ⎦⎢ 

j 

⎥ 


i j= 

1 

rij 

j≠i ⎢⎣k⎥⎦ New 

New New 

⎡a⎤ ⎡x ix j − x ⎤ i 

N 

New 

⎢ ⎥ New 1 ⎢ ⎥ f 

New New ij 

⎢aiy ⎥ = ∑ ⎢yj− yi⎥ 

New 


⎢ mi j= 

1 

r 

New ⎥ ⎢ New New ⎥ ij 

a j≠i ⎣ iz ⎦ ⎢⎣zj−zi⎥⎦ 193


194 

⎡x − x ⎤ 

2a 

= 

m 

− 

x 

⎢⎣ ⎥⎦ 

New New 

⎡a ⎤ ⎡ ix f ⎤ ix 

⎢ ⎥ New 1 ⎢ ⎥ New 

⎢aiy ⎥ = ⎢fiy⎥ = 

⎢ m 

New ⎥ i ⎢ New ⎥ 

⎣aiz ⎦ ⎣fiz⎦ New New 

j i 

N D ⎢ ⎥ 

New New 

∑ ⎢yj yi 

⎥ 

i j= 

1 ⎢ New New ⎥ 

j≠i zj − zi 

New New 

⎣ 

⎡−exp( −2a( rij − r0)) + exp( −a( rij−r0)) ⎦ 

⎤ 

New New 2 New New 2 New New 2 

( i − xj ) + ( yi − yj ) + ( zi −zj 

) 


Οι αδιαστατοποιηµένες εξισώσεις Verlet που ακολουθούν εφαρµόζονται για τον υπολογισµό 

νέων ταχυτήτων των σωµατίδιων που δεν έχουν αποµακρυνθεί από τον κρύσταλλο. 

Για την δύναµη 

v v a δ 


* New * New * New * 

n+ 1/2 = n−1/2 + n t 

x x u δ 


* New * New * New * 

n+ 1 = n + n+ 1/2 t 

v +v 

v = 

2 

*New *New 

*New 

n 

n+1/2 n-1/2 

N 

* New 

i = ∑ 

j= 

1 

j≠i − − 

* New 

ij − 

* 

0 + − 

* New 

ij − 

* 

0 

f 2 ⎡ 

⎣ exp( 2( r r )) 2exp( ( r r )) ⎤ 

⎦ 



* 

New 

New New 

* 

New New 

* 

ix xj −xi xj −x 

x i 

N 

* 

* New * * New * 

⎢ ⎥ New N 

exp( 2a( ij 0)) exp( a( ij 0)) 

New New New f ⎢ ⎥ − − r − r + − r −r 

i 

New New 

iy = j i 2 

⎣ ⎦ 

y ∑ − = * New ∑ j − i 

r * New * New 2 * New * New 2 * New * New 2 

j= 

1 ij j= 

1 

( x 

New New New j i New New i − x ) ( ) ( ) 

z iz z 

j −z ≠ 

j + yi − yj + zi −z 

j≠i j 

⎣ i ⎦ ⎣zj −zi 

⎦ 

⎡f⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ ⎡ ⎤ 

⎢f ⎥ ⎢y y ⎥ ⎢y y ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢⎣f⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

Και τέλος για την επιτάχυνση 

* * 

* 

New New 

New New 

⎡xj − x ⎤ 

ix ix i 

N 

* New * * New * 

1 2 ⎢ ⎥ ⎡−exp( −2a( rij − r0)) + exp( −a( rij −r0)) 

⎤ 

New New New New 

iy = * iy = * ⎢ j − i ⎥ 

m * New * New 2 * New * New 2 * N 

i m ew * New 2 

i j= 

1 ( xi − xj ) + ( yi − yj ) + ( z 

New New ⎢ New New ⎥ 

i − z ) 

j≠i j 

iz iz j − i 

Εξίσωση 

4.111 

⎡a ⎤ ⎡f ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

a f y y 

⎣ ⎦ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∑ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣a ⎦ ⎣f ⎦ ⎢⎣z z ⎥⎦ 

Εξίσωση 

4.111



[1] Allen M.P. and Tildesley D.J., (1987), “Computer Simulation of Liquids”, Oxford 

University Press, Oxford 

[2] Haile J.M., (1997), “Molecular Dynamics Simulation, Elementary Methods”, John 

Wiley & Sons. 

[3] Rapaport D.C., (1998), “The Art of Molecular Dynamics Simulation”, Cambridge 

University Press, Cambridge. 

[4] Callister W.D.Jr, (2003), “Materials Science and Engineering, αn Introduction”, John 

Wiley & Sons. 

[5] Krishna Gandhi K.R. and Singru R.M., (1982), “Effect of bcc-fcc Phase Transition on 

the Compton Profiles of Iron”, Applied Physics A, 28, pp.119-122. 

[6] Kittel C., (2005), “Introduction to modern solid state physics”, John Wiley & Sons. 

[7] Rieth M., (2001), “Molecular Dynamics Calculations For Nanostructured Systems”, 

University of Patras, School of Engineering, Engineering Science Department 

[8] Girifalco L.A. and Weizer V.G., (1959), “Application of the Morse Potential Function 

to Cubic Metals”, Physical Review, Vol 114 (3), pp. 687-690. 

[9] Beer F.P. and Johnston E.R.Jr., (1972), “Vector Mechanics for Engineers: Statics and 

Dynamics”, McGraw Hill. 

[10] Christman J.R., (1988), “Fundamentals of Solid State Physics”, John Wiley & Sons, 

Singapore. 

[11] Gear C.W., (1966), “The numerical integration of ordinary differential equations of 

various orders ”, Report ANL 7126, Argonne national Laboratory 

[12] Gear C.W., (1971), “Numerical initial value problems in ordinary differential 

equations”, Prentice Hall. 

[13] Van Gunsteren W.F. and Berendsen H.J.C., (1977), “Algorithms for macromolecular 

dynamics and constraint dynamics”, Mol. Phys., Vol 34, pp. 1311-1327 

[14] Berendsen H.J.C. and Van Gunsteren W.F., (1986), “Practical algorithms for dynamic 

simulations. Molecular dynamics simulation of statistical mechanical systems”, 

Proceedings of the Enrico Fermi Summer School, Varenna, pp. 43-65 

[15] Verlet L., (1967), “Computer ‘experiments’ on classical fluids”, Thermodynamical 

properties of Lennard-Jones molecules, Physics Review, Vol 159, pp. 98-103 

195


[16] Hockney R.W., (1970), “The potential calculation and some applications”, Methods of 

computational Physics, Vol 9, pp. 136-211. 

[17] Kotake S. and Kuroki M., (1993), “Molecular dynamics study of solid melting and 

vaporization by laser irradiation”, International Journal of Heat Mass Transfer, Vol. 36 

(8), pp. 2061-2067. 

[18] Ready J.F., (2001), “LIA Handbook of Laser Materials Processing”, Magnolia 

Publishing Inc, Orlando. 

[19] Qi W.H., Wang M.P. and Hu W.Y. (2004), “Calculation of the cohesive energy of 

metallic nanoparticles by the Lennard-Jones potential”, Materials Letters, Vol. 58, pp. 

1745-1749. 

196



Μεθοδολογία Επίλυσης 

Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφεται η µεθοδολογία επίλυσης του προβλήµατος µε τη χρήση 

της Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης που παρουσιάστηκε στο 4 ο Κεφάλαιο. Στο Σχήµα 5.1 

παρουσιάζεται ένα γενικό διάγραµµα της µεθοδολογίας επίλυσης του θεωρητικού µοντέλου. 

Η µεθοδολογία µπορεί να διακριτοποιηθεί σε τέσσερις φάσεις, οι οποίες συνδυαζόµενες 

επιτρέπουν τον υπολογισµό του βάθους φωτοαποδόµησης. Κατά τη διάρκεια της φάσης Ι 

δηµιουργείται η αρχική διαµόρφωση του συστήµατος, ορίζεται το δυναµικό αλληλεπίδρασης 

των σωµατιδίων, προσδιορίζονται οι αρχικές ταχύτητες και οι συνοριακές συνθήκες. Στη 

φάση ΙΙ λαµβάνει χώρα η ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης για ορισµένο αριθµό 

χρονοβηµάτων, ο επανυπολογισµός ταχυτήτων για το καθοριζόµενο ενεργειακό επίπεδο και 

εκτελείται το κριτήριο επιθυµητής θερµοκρασίας. Κατά την φάση ΙΙΙ προσοµοιώνεται η 

ακτίνα δέσµης Laser και τα σωµατίδια του υλικού ακτινοβολούνται. Τέλος στην φάση ΙV

ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 

προάγωνται οι συντεταγµένες και οι ταχύτητες των σωµατιδίων κατά ένα χρονικό βήµα, 

υπολογίζονται οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης, οι νέες ταχύτητες και οι θέσεις των σωµατίδιων. 

Τέλος αποµακρύνονται τα σωµατίδια µε την εφαρµογή του κριτηρίου ενέργειας συνοχής. 

198 

ΕΚΚΙΝΗΣΗ 

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 

∆ηµιουργία Αρχικής ∆ιαµόρφωσης Συστήµατος, 

Ορισµός: ∆υναµικού, Αρχικών Ταχυτήτων, Συνοριακών Συνθηκών 

ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 

Ολοκλήρωση Εξισώσεων Κίνησης για κάποια Χρονικά Βήµατα, 

Επανυπολογισµός Ταχυτήτων για το καθοριζόµενο Ενεργειακό 

Επίπεδο, Εκτέλεση Κριτηρίου Επιθυµητής Θερµοκρασίας 

LASER 

Προσοµοίωση Ενέργειας 

ΦΟΡΤΙΣΗ 

ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 

Σωµατιδίων Υλικού 

ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 

Προαγωγή Συντεταγµένων και Ταχυτήτων κατά ένα Χρονικό Βήµα, 

Υπολογισµός ∆υνάµεων, νέων Ταχυτήτων και Θέσεων 

Αποµάκρυνση Σωµατιδίων µε χρήση του κριτηρίου Ενέργειας Συνοχής 

ΤΕΛΟΣ 

Σχήµα 5.1: Γενικές φάσεις της µεθοδολογίας επίλυσης 

Στην συνέχεια, ένα αναλυτικό διάγραµµα της µεθοδολογίας επίλυσης του προβλήµατος 

παρουσιάζεται στο Σχήµα 5.2. Οι επιµέρους υπολογισµοί, αναλύσεις και οι µεταξύ τους 

I 

II 

III 

IV


αλληλεπιδράσεις είναι βασισµένοι στην Μοριακή ∆υναµική ανάλυση η οποία αναπτύσσεται 

στο 4 ο κεφάλαιο της διατριβής.. 

Σχήµα 5.2: Αναλυτική µεθοδολογία επίλυσης 

199



Ανάπτυξη Κώδικα Μοριακής ∆υναµικής 

Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφεται η υλοποίηση του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής. Αρχικά 

περιγράφεται η πλατφόρµα ανάπτυξης, όπου παρουσιάζονται η γλώσσα προγραµµατισµού, 

τα εργαλεία και οι βιβλιοθήκες που χρησιµοποιήθηκαν. Ακολούθως εξηγείται η δοµή, τα 

κύρια χαρακτηριστικά και αρχές βελτιστοποίησης ενός αλγόριθµου Μοριακής ∆υναµικής. Ο 

αναπτυγµένος κώδικας αναλύεται, διαχωρισµένος σε κλάσεις. Κλείνοντας, παρουσιάζεται το 

τελικό πρόγραµµα µαζί µε ορισµένες λειτουργίες του και λεπτοµέρειες της συµπεριφοράς 

του.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΩ∆ΙΚΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ 

6.2 Πλατφόρµα ανάπτυξης κώδικα 

Για την ανάπτυξη του κώδικα µοριακής δυναµικής χρησιµοποιήθηκε η γλώσσα 

προγραµµατισµού Java. Ο λόγος που επιλέχθηκε η συγκεκριµένη γλώσσα είναι τα 

χαρακτηριστικά της, που επιτρέπουν γρήγορη πρωτοτυποποίηση και υλοποίηση. Το βασικό 

χαρακτηριστικό είναι η απόδέσµευση από χαµηλού επιπέδου έννοιες όπως η διαχείριση 

µνήµης και η εγγραφή/ανάγνωση σε αρχεία και λεπτοµέρειες της εκάστοτε αρχιτεκτονικής 

του υπολογιστή που τρέχει το λογισµικό. Ακόµη, υπάρχει πληθώρα άλλων βιβλιοθηκών και 

εργαλείων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν απ’ευθείας στο λογισµικό, επιτυγχάνοντας έτσι 

µεγαλύτερη ταχύτητα και ασφάλεια υλοποίησης. Οι βιβλιοθήκες που χρησιµοποιήθηκαν 

είναι οι εξής: 

202 

• Commons Math [1] από το Jakarta Commons project του Apache Foundation. 

Χρησιµοποιήθηκε για την υλοποίηση της κατανοµής πυκνότητας πιθανότητας 

απαιτούµενης για τη µοντελοποίηση της ακτίνας του Laser. 

• JFreeChart [2], της JFree. Χρησιµοποιήθηκε για τη δηµιουργία και εµφάνιση 

των γραφικών παραστάσεων των παραµέτρων της εξοµοίωσης, και για την 

ανανέωσή τους σε πραγµατικό χρόνο. 

• Standard Widgets Toolkit (SWT) [3] του Eclipse Foundation. 

Χρησιµοποιήθηκε για τη δηµιουργία της διεπαφής χρήστη (GUI). 

• Draw2D [4] του Eclipse Foundation. Χρησιµοποιήθηκε για τη δηµιουργία της 

οπτικοποίησης σε 2 διαστάσεις. 

Ένας επιπλέον σηµαντικός λόγος για τη χρήση της γλώσσας Java ήταν η ταχύτητά της. Αν 

και παλαιότερες εκδόσεις της γλώσσας είχαν αρκετά προβλήµατα σε σχέση µε την ταχύτητα, 

τα τελευταία χρόνια η Java έχει πλησιάσει και αρκετές φορές ξεπεράσει τις «παραδοσιακές» 

γλώσσες προγραµµατισµού όπως η C/C++, FORTRAN και άλλες, που χρησιµοποιούνται για 

τη δηµιουργία παρόµοιου είδους προγραµµάτων. Ουσιαστικά στις τελευταίες εκδόσεις της 

Java (χρησιµοποιήθηκε η έκδοση 1.5) οι πιο απαιτητικές περιοχές του κώδικα µεταφράζονται 

αυτόµατα σε εντολές µηχανής (Machine Instructions) και παρακάµπτουν την εικονική 

µηχανή (Virtual Machine), στην οποία τρέχει το υπόλοιπο πρόγραµµα. Αξίζει να σηµειωθεί 

ότι ένα πολύ σηµαντικό πλεονέκτηµα της Java είναι οι δυνατότητες αντικειµενοστραφούς 

προγραµµατισµού (Object Oriented) που παρέχει.


Για τη δηµιουργία του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής, χρησιµοποιήθηκε εκτενώς το 

περιβάλλον προγραµµατισµού (IDE) Eclipse, το οποίο ακολουθεί το µοντέλο ανοικτού 

κώδικα (Open Source) και διατίθεται από το Eclipse Foundation. Θεωρείται πλέον ένα από 

τα καλύτερα περιβάλλοντα προγραµµατισµού για Java και µπορεί µε τη χρήση plug-ins να 

χρησιµοποιηθεί και για άλλες γλώσσες. Τέλος συµπεριλαµβάνει το περιβάλλον σχεδιασµού 

διεπαφής χρήστη (GUI designer) Visual Editor, το οποίο διευκόλυνε αρκετά την αρχική 

ανάπτυξη της διεπαφής. 

Όσον αφορά την απόθήκευση του κώδικα χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό ελέγχου και 

διαχείρισης κώδικα (Source Control Management) CVS, κοινά απόδεκτό ως το standard 

σύστηµα για την ασφαλή απόθήκευση του κώδικα. Με το σύστηµα αυτό µπορούν να γίνουν 

αλλαγές στον κώδικα και να απόθηκεύονται χωριστά. Έτσι οι αλλαγές έχουν µηδενικό 

κόστος, αφού ανά πάσα στιγµή µπορεί κάποιος να δει ένα αρχείο κώδικα σε όλες του τις 

µορφές και να το ανακτήσει. Για την διανοµή του λογισµικού χρησιµοποιήθηκε ένα plug-in 

για το Eclipse, το “FatJar”, που επιτρέπει τη διανοµή ολόκληρου του προγράµµατος, µαζί µε 

τις απαραίτητες υποστηρικτικές βιβλιοθήκες, σε ένα µόνο αρχείο µορφής JAR, το οποίο 

µπορεί να τρέξει χωρίς επιπλέον εγκατάσταση. 

6.3 Αλγόριθµος Μοριακής ∆υναµικής 

Η τυπική δοµή ενός αλγορίθµου µοριακής δυναµικής και τα επιµέρους στάδιά του 

παρουσιάζονται στο Σχήµα 6.1. Κάποιες γενικές αρχές που αφορούν τον σχεδιασµό του 

αλγορίθµου Μοριακής ∆υναµικής παρατίθενται παρακάτω. 

• Όσον άφορα στις θέσεις των σωµατίδιων, σε πρώτο στάδιο απεικονίσεις µπορούν 

να ληφθούν είτε από προσοµοιώσεις Monte Carlo, που χρησιµοποιούνται για τη 

χαλάρωση των δοµών, είτε από απεικονίσεις ελάχιστης ενέργειας, που 

λαµβάνονται µε χρήση της τεχνικής της Μοριακής ∆υναµικής. Αρχικές τιµές για 

τις ταχύτητες λαµβάνονται από µια κατανοµή ταχυτήτων Maxwell-Boltzmann. 

Βεβαίως είναι δυνατό µια προσοµοίωση να ξεκινήσει λαµβάνοντας τις αρχικές 

θέσεις και τις ταχύτητες από µια προηγουµένη προσοµοίωση Μ∆. 

203


204 

• Έχοντας λοιπόν αρχικές απεικονίσεις χαµηλής ενέργειας, υπολογίζονται οι 

δυνάµεις που ασκούνται σε κάθε ένα σωµατίδιο ξεχωριστά από τα υπόλοιπα 

κέντρα αλληλεπίδρασης. 

• Η ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα, η οποία θα µπορούσε µαζί 

µε το προηγούµενο στάδιο να παροµοιαστεί µε την «καρδιά» µιας προσοµοίωσης 

Μοριακής ∆υναµικής, για κάθε µόριο λαµβάνει χώρα στη συνέχεια. 

• Με το πέρας της ολοκλήρωσης αντιστοιχίζονται και ενηµερώνονται οι 

κατάλληλοι καταχωρητές µε τις νέες θέσεις και ταχύτητες για κάθε σωµατίδιο. 

• Κατά τη διάρκεια κάθε χρονικού βήµατος της προσοµοίωσης υπολογίζονται οι 

θερµοδυναµικές και στατικές ιδιότητες του υπό µελέτη συστήµατος και 

καταχωρείται η δυναµική τροχιά, οι θέσεις και οι ταχύτητες στο αρχείο τροχιάς 

για περαιτέρω µελέτη και επεξεργασία. 

• Τα παραπάνω στάδια επαναλαµβάνονται για κάθε χρονικό βήµα µέχρι το πέρας 

της προσοµοίωσης. 

Σχήµα 6.1: Βασική δοµή αλγορίθµου κώδικα Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης 

Θεωρώντας µια προσοµοίωση Μ∆, όλες οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των διαφόρων κέντρων 

του συστήµατος περιλαµβάνονται στην συνάρτηση της δυναµικής ενέργειας. Το πρόβληµα 

αυτό λύνεται µε την αριθµητική ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων της µορφής: 

ii 1 

ri= Fi r1rN mi 

( ) 

,...., , i=1,2,....,N 

Εξίσωση 6.1


µε δεδοµένες τις συνθήκες ri(0), ŕi(0). Αυτό είναι ένα πρόβληµα αρχικών τιµών, το οποίο 

µετατρέπεται σε ένα σύστηµα συζευγµένων απλών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης µε 

την αντικατάσταση: 

i 

i 

i i 

r = v i=1,2,....,N 


i 1 

v i = F i(r1, r 2, ....r N), 

i=1,2,....,N 


m 

µε αρχικές συνθήκες ri(0), νi(0). Με y ≡ [r v] T , το παραπάνω σύστηµα έχει τη γενική µορφή 

i 

y = f(, t y ) 


µε δεδοµένο y(0). Όπως είναι γνωστό από προβλήµατα αρχικών τιµών, υπάρχει πληθώρα 

µεθόδων πεπερασµένων διαφορών για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης [4]. Γενικά η 

ανεξάρτητη µεταβλητή που είναι ο χρόνος απότελεί και σηµείο αναφοράς κατά µήκος της 

οποίας κινούνται όλες οι υπόλοιπες µεταβλητές µε πεπερασµένα βήµατα δt. Το µήκος του 

πεπερασµένου βήµατος µπορεί να είναι σταθερό ή να προσαρµόζεται κατά τη διάρκεια της 

αριθµητικής επίλυσης. Η αριθµητική έκφραση για τον προσδιορισµό του y(t) καλείται nοστης 

τάξης, όταν το σφάλµα είναι: 

numerical exact 

( ) 

⎡ n+ 

1⎤ 

ε = y − y =Ο δt 


⎣ ⎦ 

Επιλέγοντας έναν αλγόριθµο για την ολοκλήρωση των παραπάνω εξισώσεων πρέπει να 

προσέξουµε µερικά χαρακτηριστικά που διαφοροποιούν τη Μ∆ από άλλα προβλήµατα 

αρχικών συνθηκών. Μερικά απo αυτά καταγράφονται παρακάτω: 

• Το τµήµα της Μ∆ που απαιτεί τον περισσότερο υπολογιστικό χρόνο είναι η 

εκτίµηση των δυνάµεων πάνω στα σωµατίδια. Ένα καλό κριτήριο για την 

απόδοτικότητα ενός αλγορίθµου Μ∆ είναι ο λόγος: 

Number of Forces Evaluated 

Simulation Time 


205


206 

να είναι όσο το δυνατόν µικρότερος. Η ταχύτητα όλων των άλλων υπολογισµών 

που γίνονται στον αλγόριθµο δεν είναι σηµαντική, καθώς ολόκληρος ο 

υπολογισµός κυριαρχείται από τον υπολογισµό των δυνάµεων Fi. Από την 

Εξίσωση 6.6 είναι σαφές ότι ο αλγόριθµος δεν πρέπει να απαιτεί πολλούς 

υπολογισµούς δυνάµεων ανά χρονικό βήµα ολοκλήρωσης. Έτσι δηµοφιλείς 

µέθοδοι, όπως η Runge-Kutta-Gill 4 ης τάξης, χρησιµοποιούνται σπάνια στην Μ∆ 

γιατί δεν εκπληρώνουν αυτό το κριτήριο. Επίσης, απο την Εξίσωση 6.6 φαίνεται 

ότι ο αλγόριθµος θα πρέπει να έχει όσο το δυνατόν µεγαλύτερο βήµα 

ολοκλήρωσης δt. Υπάρχει, βεβαίως, µια ισορροπία ανάµεσα στον αριθµό των 

εξισώσεων που υπολογίζονται και στο µέγεθος του βήµατος που µπορεί να 

χρησιµοποιηθεί. 

• Ο αλγόριθµος πρέπει να είναι ευσταθείς. Αυτό σηµαίνει ότι το σφάλµα ε δεν 

πρέπει να αυξάνει γρήγορα µε αύξηση του δt. Το πρόβληµα ευστάθειας είναι 

σηµαντικό στα δύσκαµπτα (stiff) προβλήµατα αρχικών τιµών που ενέχουν δυο οι 

περισσότερους χαρακτηριστικούς χρόνους. Οι προσοµοιώσεις Μ∆ µοριακών 

συστηµάτων παρουσιάζουν δυσκαµψία ως προς το βήµα ολοκλήρωσης, λόγω του 

ευρέος φάσµατος των συχνοτήτων ή των χαρακτηριστικών χρόνων που 

εµφανίζουν. Οι µικροί χαρακτηριστικοί χρόνοι των δονήσεων των δεσµών και 

των γωνιών των δεσµών συνυπάρχουν µε τους µεγάλους χρόνους των 

µεταφορικών και κάθε είδους µακράς εµβέλειας συλλογικών κινήσεων. Γενικά, η 

δυσκαµψία στα προβλήµατα αρχικών τιµών µπορεί να εξαλειφθεί 

χρησιµοποιώντας implicit (µη αναλυτούς) αλγορίθµους. Τέτοιοι όµως αλγόριθµοι 

δεν προτιµώνται στην Μ∆ γιατί απαιτούν πολλούς υπολογισµούς δυνάµεων. 

• Ο αλγόριθµος της ολοκλήρωσης πρέπει να απαιτεί µικρή µνήµη. 

• Ο αλγόριθµος πρέπει να είναι ακριβής. Αυτό σηµαίνει ότι το σφάλµα ε πρέπει να 

παραµένει µικρό για αρκετά µεγάλο δt. Θεωρώντας αναγκαία την ικανότητα ενός 

αλγόριθµου να περιγράφει όσο το δυνατό ακριβέστερα τη δυναµική τροχιά, 

µπορεί κανείς να πει ότι τα προβλήµατα που επιλύει στην Μ∆, όντας άκρως µη 

γραµµικά, χαρακτηρίζονται απο µεγάλη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Έτσι 

δυο τροχιές που αρχικά είναι πολύ κοντά θα απόκλίνουν εκθετικά µεταξύ τους σε 

µεγάλους χρόνους. Είναι φανερό πως δεν υπάρχει πιθανότητα παρακολούθησης 

της ακριβούς τροχιάς για µεγάλο χρόνο. Αυτό βεβαίως δεν είναι πρόβληµα για 

την εξαγωγή σηµαντικών δυναµικών πληροφοριών απο µια Μ∆ προσοµοίωση, 

υπό τον όρο ότι η τροχιά του µορίου παρακολουθείται επαρκώς για τους χρόνους


συσχέτισης που ενδιαφέρουν. Επίσης, αυτό δεν απότελεί πρόβληµα ούτε στον 

υπολογισµό θερµοδυναµικών µέσων τιµών. Για παράδειγµα, εφόσον η ενέργεια 

διατηρείται µέσα σε στενά όρια, η τροχιά της Μ∆ παρέχει σωστή δειγµατοληψία 

του µικροκανονικού (NVE) στατιστικού συνόλου [5][6] 

6.4 ∆οµή κώδικα Μοριακής ∆υναµικής 

Ο κώδικας Μοριακής ∆υναµικής είναι οργανωµένος σε κάποια αρχεία. Έχει σχεδιαστεί έτσι 

ώστε να µπορεί να λειτουργήσει µε ή χωρίς γραφική διεπαφή χρήστη Graphical User 

Interface (GUI). Η αρχιτεκτονική αυτή επιλέχθηκε έτσι ώστε να µπορεί ο κώδικας να 

χρησιµοποιηθεί και από τη γραµµή εντολών (command line) και να µπορούν οι εφαρµογές 

του να ενσωµατωθούν σε διάφορα άλλα προγράµµατα. Επίσης, µε αυτό τον τρόπο, µπορούν 

αρκετές λειτουργίες να αυτοµατοποιηθούν και να οµαδοποιηθούν, ώστε να µη χρειάζεται 

ανθρώπινη παρέµβαση και να µπορούν να εξαχθούν συνολικά απότελέσµατα. Ακόµα, µε τη 

χρήση του µηχανισµού της κληρονοµικότητας, είναι δυνατόν ο κώδικας να ελέγχεται από 

περισσότερα του ενός γραφικά περιβάλλοντα, µε το καθένα να εξάγει τις πληροφορίες που 

χρειάζεται. Επίσης, στο µέλλον είναι πάρα πολύ απλό να προστεθούν καινούργιοι τρόποι 

οπτικοποίησης των απότελεσµάτων ή ελέγχου του κώδικα. Έχει γίνει προσπάθεια, όπου είναι 

δυνατό, να υπάρχει απόσύνδεση µεταξύ του αλγορίθµου της Μοριακής ∆υναµικής και του 

τρόπου υλοποίησης. Για παράδειγµα είναι δυνατόν ο µηχανισµός απόθήκευσης σωµατίδιων 

να αντικατασταθεί µε κάποιον άλλον, µε ελάχιστες ή καθόλου αλλαγές στον κώδικα. Αυτό 

διευκολύνει την περαιτέρω εξέλιξη του κώδικα και τη χρήση του σε ένα κατανεµηµένο 

περιβάλλον. 

Ο κώδικας Μοριακής ∆υναµικής είναι οργανωµένος σε 18 αρχεία – κλάσεις, 14 εκ των 

οποίων θεωρούνται κύριες και 4 υποκλάσσεις. Από τις κύριες, 12 αφορούν την υλοποίηση 

του αλγορίθµου, ενώ 2 αφορούν την διεπαφή χρήστη και την οπτικοποίηση των 

απότελεσµάτων. Από τις κλάσεις που έχουν να κάνουν µε την υλοποίηση του αλγορίθµου, 5 

αφορούν την αναπαράσταση και απόθήκευση των σωµατίδιων και των δεδοµένων τους. Μια 

συνοπτική αναφορά των κλάσεων εµφανίζεται στον Πίνακα 6.1. 

207


208 

Α/Α Κλάση Υπο-κλάση Χαρακτηριστικά 

1. Particle 

Ενθυλάκωση δεδοµένων 

σωµατιδίων 

Bάση της απόσύνδεσης του 

2. ParticlesProxy 

µέσου απόθήκευσης των 

σωµατιδίων µε τον αλγόριθµο 

του κώδικα Μ∆ 

Aποθήκευση των σωµατίδιων 

3. Particles 

στην υλοποίηση που 

χρησιµοποιείται 

4. Comparator Σύγκριση δύο σωµατιδίων 

5. MDCoordinator Μηχανή κατάστασης 

LaserJob 

Αντιπροσωπεύουν τη φάση 

εφαρµογής του Laser 

MovementJob 

Αντιπροσωπεύουν τη φάση 

κίνησης των σωµατίδιων 

6. MDListener 

Βασικός µηχανισµός προσθήκης 

πολλαπλών διεπαφών χρήστη 

Ορισµός σταθερών που 

7. Constants 

απαιτούνται στους 

υπολογισµούς του κώδικα Μ∆. 

Συγκεντρώνει όλες τις 

8. MDFunctions 

συναρτήσεις που εκτελούν 

υπολογισµούς Μ∆ σωµατιδίων 

9. MDParameters 

Ενσωµατώνει όλες τις 

παραµέτρους ενός πειράµατος 

ExposedMaterial 

Οµαδοποίηση παραµέτρων 

υλικού 

Laser 

Οµαδοποίηση παραµέτρων 

δέσµης Laser 

10. MDResults 

Απόθήκευση απότελεσµάτων 

πειράµατος 

11. StatisticsCollerator 

Ενηµέρωση των γραφηµάτων 

που παρουσιάζονται στο χρήστη 

Μετατρέπουν τις τιµές των 

12. Utils 

παραµέτρων στα αντίστοιχα 

συστήµατα µονάδων 

13. MDShell 

Υλοποίηση της διεπαφής 

χρήστη 

Εµφανίση δισδιάστατης 

14. DrawComposite 

απεικόνισης των θέσεων των 

σωµατιδίων στο χώρο 

Πίνακας 6.1: Κύριες κλάσεις κώδικα Μοριακής ∆υναµικής 

Υλοποίηση Αλγορίθµου 

∆ιεπαφή 

Χρήστη 

Ο µηχανισµός απόθήκευσης, όπως προαναφέρθηκε, είναι ανεξάρτητος του τρόπου 

υλοποίησης. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη χρήση µας διεπαφής (interface), της ParticleProxy.


Όλες οι κλάσεις και οι συναρτήσεις που έχουν ως όρισµα σωµατίδια και επιδρούν στις 

ιδιότητές τους, συνεργάζονται µόνο µε αυτήν την κλάση. Εξαίρεση απότελούν οι κλάσεις 

και συναρτήσεις που έχουν να κάνουν µε την αναπαράσταση και οπτικοποίηση των 

σωµατίδιων στο χώρο, όπως επίσης και οι κλάσεις που κάνουν την εξαγωγή του µοντέλου σε 

αρχείο. 

6.4.1 Κλάση Particle 

Η κλάση Particle αντιστοιχεί σε ένα σωµατίδιο. Έτσι, όλη η πληροφορία για τη θέση, τη 

ταχύτητα, την επιτάχυνση, τις δυνάµεις που ασκούνται, την κινητική και δυναµική ενέργεια 

καθώς και διάφορες άλλες ιδιότητες ενός σωµατιδίου, είναι απόθηκευµένες σε αυτή την 

κλάση. Επιπλέον, λόγω του αλγορίθµου υπολογισµού των γειτονικών σωµατιδίων που 

χρησιµοποιείται στον κώδικα, ένα σωµατίδιο έχει και µια λίστα στην οποία απόθηκεύει τα 

σωµατίδια µε τα οποία αλληλεπίδρα. Οι περισσότερες συναρτήσεις της κλάσης Particle, 

αφορούν µόνο την ενθυλάκωση (encapsulation) δεδοµένων (getters, setters). Υπάρχουν 

όµως κάποιες συναρτήσεις, οι οποίες εµπεριέχουν κάποια τµήµατα λογικής και αυτές 

παρουσιάζονται παρακάτω: 

public Particle(Integer id, double x, double y, double z) 

{ 

this.id = id; 

this.x = x; 

this.y = y; 

this.z = z; 

this.init_x = x; 

this.init_y = y; 

this.init_z = z; 

} 

Constructor: Εδώ απόθηκεύονται οι αρχικές συντεταγµένες, έτσι ώστε να µπορεί να 

υπολογιστεί το Mean Square Displacement και η Velocity Autocorrelation 

209


public double getDisplacement() 

{ 

double d; 

d = (x - init_x) * (x - init_x); 

d += (y - init_y) * (y - init_y); 

d += (z - init_z) * (z - init_z); 

d = Math.sqrt(d); 

return d; 

} 

Displacement: Εδώ υπολογίζονται οι αρχικές µετατοπίσεις 

. 

public void setVelocities(double[] velocities) 

{ 

if (debug) System.out.println("Velocity difference:" + (Math.abs(velocities[0] - Vx) + 

Math.abs(velocities[1] - Vy) + Math.abs(velocities[2] - Vz))); 

Vx = velocities[0]; 

Vy = velocities[1]; 

Vz = velocities[2]; 

setKineticEnergy(0.5 * mass * ((Vx * Vx) + (Vy * Vy) + (Vz * Vz))); 

} 

Set Velocities: Η συνάρτηση η οποία ορίζει καινούργια ταχύτητα σε ένα σωµατίδιο, είναι 

επίσης υπεύθυνη για τον υπολογισµό της καινούργιας κινητικής ενέργειας του σωµατιδίου, 

βάσει αυτής της ταχύτητας. Με αυτό τον τρόπο διασφαλίζεται, πως όταν ανατίθενται νέες 

ταχύτητες, το σωµατίδιο θα έχει αυτόµατα και την αντίστοιχη κινητική ενέργεια 

210 

public void addKineticEnergy(double additionalKineticEnergy) 

{ 

this.kineticEnergy += additionalKineticEnergy; 

this.adjustVelocities(additionalKineticEnergy); 

} 

Add Kinetic Energy: Συνάρτηση η οποία προσθέτει κινητική ενέργεια στο σωµατίδιο, 

υπολογίζονται και οι νέες ταχύτητες του σωµατίδιου.

private void adjustVelocities(double additionalKineticEnergy) 

{ 

double d = (2d * additionalKineticEnergy / mass) + Vx; 

Vx = Vx >= 0 ? Math.sqrt(Math.abs(d)) : -Math.sqrt(Math.abs(d)); 

double e = (2d * additionalKineticEnergy / mass) + Vy; 

Vy = Vy >= 0 ? Math.sqrt(Math.abs(e)) : -Math.sqrt(Math.abs(e)); 

double f = (2d * additionalKineticEnergy / mass) + Vz; 

Vz = Vz >= 0 ? Math.sqrt(Math.abs(f)) : -Math.sqrt(Math.abs(f)); 

} 


Adjust Velocities: Η συνάρτηση η οποία ουσιαστικά ρυθµίζει τις ταχύτητες των σωµατιδίων, 

σύµφωνα µε την πρόσθετη κινητική ενέργεια, λαµβάνεται υπόψη ότι το πρόσηµο της 

ταχύτητας µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Έτσι, για την τελική ανάθεση της ταχύτητας, 

χρησιµοποιείται το ιδίωµα του τελεστή "?:" 

public double getMeanVelocity() 

{ 

return Math.sqrt( Vx*Vx+Vy*Vy+Vz*Vz); 

} 

public double getMeanAcceleration() 

{ 

return Math.sqrt( ax*ax+ay*ay+az*az); 

} 

Get Mean Velocity/Acceleration: Σε αυτές τις δύο συναρτήσεις υπολογίζεται η µέση 

ταχύτητα και η µέση επιτάχυνση, αντίστοιχα. 

6.4.2 Κλάση ParticlesProxy 

Η κλάση ParticlesProxy είναι η βάση της απόσύνδεσης του µέσου απόθήκευσης των 

σωµατιδίων µε τον αλγόριθµο του κώδικα Μ∆. Όπως προαναφέρθηκε, εξαιρουµένου του 

µηχανισµού παρουσίασης, ο κώδικας µοριακής δυναµικής αλληλεπιδρά µόνο µε αυτή την 

διεπαφή. Η υλοποίηση που χρησιµοποιείται σε αυτή την εκδοχή είναι η 

SimpleParticlesProxy, η οποία όπως δηλώνει και το όνοµά της είναι µια απλή υλοποίηση που 

απόθηκεύει τα σωµατίδια στη µνήµη. Όµως µελλοντικά µπορούν να υπάρξουν και άλλες 

υλοποιήσεις αυτής της διεπαφής, για παράδειγµα κατανεµηµένα συστήµατα και οι 

αρχιτεκτονικές client-server. 

211


package md; 

import java.util.Iterator; 

public interface ParticlesProxy 

{ 

Particles getParticles(); 

Iterator getParticlesIterator(); 

void extractCompleteModel(String filename); 

void updateExtractedModel(String filename, int timestep); 

int removeParticles(); 

String getInformation(); 

int getNumberOfParticles(); 

void importCompleteModel(String filename, MDParameters parameters); 

} 

ParticlesProxy: Βάση της απόσύνδεσης του µέσου απόθήκευσης των σωµατιδίων µε τον 

αλγόριθµο του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής 

package md; 

import java.io.File; 

import java.io.FileWriter; 

import java.io.IOException; 


public class SimpleParticlesProxy implements ParticlesProxy 

{ 

Particles particles = new Particles(); 

private File partialModelFile; 

public Particles getParticles() 

{ 

return particles; 

} 

public Iterator getParticlesIterator() 

{ 

return particles.getParticlesIterator(); 

} 

public void extractCompleteModel(String filename) 

{ 

particles.extractModel(filename); 

} 

public int removeParticles() 

{ 

int res = 0; 

for (Iterator iter = particles.getParticlesIterator(); iter.hasNext();) 

{ 

Particle element = (Particle) iter.next(); 

212

if (element.isRemoved()) 

{ 

particles.removeLater(element); 

res++; 

} 

} 

particles.doRemove(); 

return res; 

} 

public String getInformation() 

{ 

StringBuffer sb = new StringBuffer(); 

int i = 0; 

for (Iterator iter = particles.getParticlesIterator(); iter.hasNext();) 

{ 

Particle particle = (Particle) iter.next(); 

double[] d = new double[3]; 

d = particle.getCoordinates(); 

double[] v = particle.getVelocities(); 

double[] a = particle.getAccelerations(); 

double[] f = particle.getForces(); 


sb.append("Particle " + i + " : with id : " + particle.getId() + " : Pos: ( " + d[0] + " , " + 

d[1] + " , " + d[2] + " ) "); 

sb.append("Vel: ( "+ v[0] + " , " + v[1] + " , " + v[2] + " ) "); 

sb.append("\t"); 

sb.append("Acc: ( "+ a[0] + " , " + a[1] + " , " + a[2] + " ) "); 


sb.append("For: ( "+ f[0] + " , " + f[1] + " , " + f[2] + " ) "); 


sb.append("Kinetic Energy: " + particle.getKineticEnergy()); 


sb.append("Potential Energy: " + particle.getMorsePotential()); 

sb.append("\n"); 

i++; 

} 

return sb.toString(); 

} 

public int getNumberOfParticles() 

{ 

return particles.size(); 

} 

private File getFile(String name) 

{ 

if(partialModelFile==null) 

{ 

partialModelFile = new File(name); 

213


214 

FileWriter fw; 

try 

{ 

fw = new FileWriter(partialModelFile); 

int length = particles.theParticles.size(); 

fw.write("TS"); 

for(int i=0;i

} 

} 

public void importCompleteModel(String filename, MDParameters params) 

{ 

particles = new Particles(); 

particles.importModel(filename, params); 

} 

public void setParticles(Particles particles) 

{ 

this.particles = particles; 

} 

} 


Από την υλοποίηση ένα κρίσιµο σηµείο είναι αυτό που έχει να κάνει µε την συµπεριφορά 

ενός σωµατιδίου όταν αυτό αφαιρείται από το µοντέλο προσοµοίωσης. Λόγω της χρήσης 

iterator για την επεξεργασία των σωµατιδίων είναι αδύνατον να αφαιρεθεί κάποιο σωµατίδιο 

την ώρα που γίνεται η επεξεργασία. Αυτό που στην πραγµατικότητα συµβαίνει είναι ότι 

µαρκάρεται ένα σωµατίδιο σαν αφαιρούµενο και καλείται η συνάρτηση removeParticles 

όταν έχει τελειώσει η επεξεργασία. 

6.4.3 Κλάση Particles 

Η κλάση Particles είναι υπεύθυνη για την απόθήκευση των σωµατίδιων στην υλοποίηση που 

χρησιµοποιείται. Χρησιµοποιεί ένα ArrayList για να κρατά τα σωµατίδια και είναι υπεύθυνη 

για το µηχανισµό αφαίρεσης όπως προαναφέρθηκε. Ο µηχανισµός αφαίρεσης, δουλεύει ως 

εξής: όταν ένα σωµατίδιο µαρκάρεται ως αφαιρούµενο, τοποθετείται σε µια ειδική λίστα. 

Όταν τελειώσει η επεξεργασία, καλείται η µέθοδος doRemove, η οποία διαγράφει από τη 

κυρίως λίστα όλα τα σωµατίδια που βρίσκονται στη λίστα αφαίρεσης. Με αυτό τον τρόπο, 

υπάρχει απόδέσµευση από τον περιορισµό των iterators, ο οποίος απότρέπει την αφαίρεση 

κάποιου σωµατίδιου από τη λίστα την ώρα που γίνεται επεξεργασία. 

package md; 

import java.io.File; 

import java.io.FileReader; 

import java.io.FileWriter; 

import java.io.IOException; 

import java.io.LineNumberReader; 

import java.util.ArrayList; 


215


import java.util.List; 

public class Particles 

{ 

protected ArrayList theParticles; 

protected ArrayList particlesToBeRemovedLater; 

private Object particleId; 

public Particles() 

{ 

theParticles = new ArrayList(); 

particlesToBeRemovedLater = new ArrayList(); 

} 

public void addParticle(Particle p) 

{ 

theParticles.add(p); 

} 

public Iterator getParticlesIterator() 

{ 

return ((List) theParticles.clone()).iterator(); 

} 

public void remove(Particle p) 

{ 

theParticles.remove(p); 

} 

public void removeLater(Particle p) 

{ 

particlesToBeRemovedLater.add(p); 

} 

public int size() 

{ 

return theParticles.size(); 

} 

public void doRemove() 

{ 

for (Iterator iter = particlesToBeRemovedLater.iterator(); iter.hasNext();) 

{ 

Particle element = (Particle) iter.next(); 

remove(element); 

} 

particlesToBeRemovedLater.clear(); 

} 

public void importModel(String filename, MDParameters params) 

{ 

File f = new File(filename); 

FileReader fr; 

try 

{ 

fr = new FileReader(f); 

LineNumberReader lr = new LineNumberReader(fr); 

//discard header line 

216


lr.readLine(); 

String line; 

while((line = lr.readLine())!=null) 

{ 

String[] values = line.split(","); 

int idx = 0; 

//id + coords 

//0-3 

Particle p = new 

Particle(Integer.parseInt(values[idx++]),Double.parseDouble(values[idx++]),Double.parseD 

ouble(values[idx++]),Double.parseDouble(values[idx++])); 

//4-6 

double[] velocities = new double[] 

{Double.parseDouble(values[idx++]),Double.parseDouble(values[idx++]),Double.parseDou 

ble(values[idx++])}; 

//7-9 

double[] accelerations = new double[] 



//10-12 

double[] forces = new double[] 



//13 

double potentialEnergy = Double.parseDouble(values[idx++]); 

//14 

double kineticEnergy = Double.parseDouble(values[idx++]); 

//15 

double morsePotential = Double.parseDouble(values[idx++]); 

p.setVelocities(velocities); 

p.setAccelerations(accelerations); 

p.setForces(forces); 

p.setKineticEnergy(kineticEnergy); 

p.setPotentialEnergy(potentialEnergy); 

p.setMorsePotential(morsePotential); 

//TODO MASS, INIT_XYZ, INIT_VXYZ 

p.setMass(params.material.m); 

this.addParticle(p); 

} 

lr.close(); 

} 

catch (IOException ex) 

{ 

ex.printStackTrace(); 

} 

} 

public void extractModel(String filename) 

{ 

File f = new File(filename); 

FileWriter fw; 

217


try 

{ 

fw = new FileWriter(f); 

fw.write("Id,X,Y,Z,Vx,Vy,Vz,Ax,Ay,Az,Fx,Fy,Fz,PE,KE,MorseP\r\n"); 

for (Iterator iter = getParticlesIterator(); iter.hasNext();) 

{ 


double[] coords = particle.getCoordinates(); 

double[] vels = particle.getVelocities(); 

double[] accels = particle.getAccelerations(); 

double[] forces = particle.getForces(); 

fw.write(particle.getId() + "," + coords[0] + "," + coords[1] + "," + coords[2]); 

fw.write("," + vels[0] + "," + vels[1] + "," + vels[2]); 

fw.write("," + accels[0] + "," + accels[1] + "," + accels[2]); 

fw.write("," + forces[0] + "," + forces[1] + "," + forces[2]); 

fw.write("," + particle.getPotentialEnergy() + "," + particle.getKineticEnergy() + 

","+particle.getMorsePotential()); 

fw.write("\r\n"); 

} 

fw.flush(); 

fw.close(); 

} 

catch (IOException ex) 

{ 


} 

} 

public Object getNextUserDataForParticle() 

{ 

if (particleId == null) 

{ 

// First particle 

particleId = new Integer(1); 

} 

Object value = particleId; 

particleId = new Integer(((Integer) particleId).intValue() + 1); 

return value; 

} 

} 

6.4.4 Κλάση Comparator 

Η κλάση αυτή χρησιµοποιείται για την σύγκριση δύο σωµατιδίων. Υλοποιεί τη διεπαφή 

Comparator και την εφαρµόζει σε δύο σωµατίδια. Ο τρόπος που γίνεται η σύγκριση είναι ως 

εξής: δύο σωµατίδια, εφόσον θεωρούνται µοναδικά, είναι όµοια αν και µόνο αν έχουν ίδιο 

ID. 

218

package md; 


import java.util.Comparator; 

final class ParticleComparator implements Comparator 

{ 

public boolean equals(Object obj) 

{ 

if (this.equals(obj)) 

{ 

return true; 

} 

return false; 

} 

/** 

* Compares its two arguments for order. Returns a negative integer, zero, or a positive 

integer as the first argument is less than, equal to, or greater than the second. 

* 

* @param o1 

* Object The first object to be compared. 

* @param o2 

* Object The second object to be compared. 

* @return int A negative integer, zero, or a positive integer as the first argument is less 

than, equal to, or greater than the second. 

*/ 

public int compare(Object o1, Object o2) 

{ 

Particle p1 = null; 

Particle p2 = null; 

try 

{ 

p1 = (Particle) o1; 

p2 = (Particle) o2; 

} 

catch (Exception ex) 

{ 

} 

if (p1 != null && p2 != null) 

{ 

if (p1.getId().intValue() < p2.getId().intValue()) 

{ 

return -1; 

} 

else if (p1.getId().intValue() == p2.getId().intValue()) 

{ 

return 0; 

} 

else if (p1.getId().intValue() > p2.getId().intValue()) 

{ 

return 1; 

219


} 

220 

} 

else 

throw new RuntimeException("OBJECT CANNOT BE COMPARED"); 

else 

throw new RuntimeException("OBJECT CANNOT BE COMPARED"); 

6.4.5 Κλάση MDCoordinator 

Στο κέντρο του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής βρίσκεται η κλάση MDCoordinator. Η κλάση 

αυτή λειτουργεί ως µια µηχανή κατάστασης. Οι καταστάσεις οι οποίες καταγράφονται στην 

κλάση Phase, µε τη µορφή Enumeration, είναι οι εξής: 

• startUp, 

• initialization, 

• equilibration, 

• initialState, 

• movement, 

• laserImpulse, 

• loopEquilibration, 

• evaporation, 

• velocityRescaling, 

• finalState , 

• laserAndMovement 

package md; 

public enum Phase 

{ 

startUp, 

initialization, 

equilibration, 

initialState, 

movement, 

laserImpulse, 

loopEquilibration, 

evaporation, 

velocityRescaling, 

finalState, 

laserAndMovement;


Στο παρακάτω Σχήµα 6.2 παρουσιάζεται το διάγραµµα καταστάσεων του κωδικά. Έχει 

αρκετά µεγάλη συνάφεια µε το διάγραµµα ροής που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 5, όµως 

λόγοι απόδοτικότερης υλοποίησης το κάνουν αρκετά πιο περίπλοκο. Συγκεκριµένα, το 

γεγονός ότι ο κώδικας έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε να µπορεί να εκµεταλλεύεται στο έπακρο 

πολλαπλούς επεξεργαστές, έχει οδηγήσει σε αύξηση αυτής της πολυπλοκότητας, όσον αφορά 

τις φάσεις της µετακίνησης (movement) και της προσοµοίωσης της ακτινοβολίας Laser. 

Σχήµα 6.2: ∆ιάγραµµα καταστάσεων 

221


Το διάγραµµα καταστάσεων υλοποιείται από την παρακάτω συνάρτηση: 

private void processCurrentPhase() 

{ 

if (simulationResults.getTime() > MDParameters.interactionTime) 

{ 

currentPhase = Phase.finalState; 

} 

switch (currentPhase) 

{ 

case startUp: 

currentPhase = Phase.initialization; 

break; 

case initialization: 

doInitialization(); 

break; 

case equilibration: 

doEquilibration(); 

break; 

case velocityRescaling: 

doVelocityRescaling(); 

break; 

case initialState: 

doInitialState(); 

if (MDParameters.THREADS>1) 

{ 

currentPhase = Phase.laserAndMovement; 

} 

break; 

case laserAndMovement: 

doLaserAndMovement(); 

break; 

case laserImpulse: 

doLaserImpulse(); 

break; 

case evaporation: 

doEvaporation(); 


{ 

currentPhase = Phase.loopEquilibration; 

} 

break; 

case movement: 

doMovement(); 

break; 

case loopEquilibration: 

currentPhase = Phase.laserImpulse; 


{ 

222

currentPhase = Phase.laserAndMovement; 

} 

break; 

case finalState: 

doFinalState(); 

break; 

default: 

break; 

} 

simulationResults.setSteps(cnt_timeSteps); 

simulationResults.setTime(cnt_timeSteps * md.MDParameters.timeStep); 


if (MDParameters.GRAPH_STEP > 0 && cnt_timeSteps % 

MDParameters.GRAPH_STEP == 0) 

{ 

simulationResults.setTemperature(MDFunctions.calculateTemperature(particlesProxy.getPar 

ticlesIterator())); 

} 

if (MDParameters.SNAPSHOT_STEP != 0 && cnt_timeSteps % 

MDParameters.SNAPSHOT_STEP == 0 && (currentPhase == Phase.loopEquilibration || 

currentPhase == Phase.equilibration)) 

{ 

particlesProxy.extractCompleteModel("" + runID + " - Step " + cnt_timeSteps + " 

Next Phase " + currentPhase + ".csv"); 

} 

notifyListeners(currentPhase); 

} 

Στην υλοποίηση φαίνεται καθαρά η µέθοδος της πολυνηµατικής επεξεργασίας 

(multithreaded), καθώς και το κριτήριο του τερµατισµού. Για κάθε φάση χρησιµοποιείται και 

η αντίστοιχη συνάρτηση. Εξαιρέσεις απότελούν οι φάσεις startup και loopEqulibration. 

Στην πρώτη απλά δεν συµβαίνει τίποτα και έχει µείνει στον κώδικα για λόγους υποστήριξης, 

ενώ η δεύτερη χρησιµοποιείται για τη σωστή εξέλιξη του αλγορίθµου ανάλογα µε το αν 

χρησιµοποιείται η µέθοδος πολυνηµατικής επεξεργασίας ή όχι. Επιπρόσθετα, µετά τον 

υπολογισµό κάθε φάσης συµβαίνουν τα εξής: υπολογίζεται ο συνολικός χρόνος που έχει 

περάσει στο σύστηµα και τα συνολικά βήµατα, και ανάλογα µε τις παραµέτρους του 

εκάστοτε πειράµατος ανανεώνεται το γράφηµα της θερµοκρασίας και καταγράφεται η 

κατάσταση του συστήµατος σε εξωτερικό αρχείο. Ακόµα ειδοποιούνται όλες οι κλάσεις που 

έχουν δηλωθεί ως listeners. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι υλοποιήσεις των συναρτήσεων 

κάθε κατάστασης. 

223


private void doInitialization() 

{ 

//create the FCC graph 

//SAFE TO RUN MULTIPLE TIMES (AFTER RESETTING) 

generateRunID(); 

simulationParameters.material.initParticles(xNumberOfParticles, yNumberOfParticles, 

zNumberOfParticles); 

simulationParameters.material.createBCCGraph(particlesProxy.getParticles()); 

simulationResults.setTotalParticles(simulationParameters.material.numberOfParticles); 

timeStart = System.currentTimeMillis(); 

//Assign initial velocities 

for (Iterator iter = particlesProxy.getParticlesIterator(); iter.hasNext();) 

{ 

Particle p = (Particle) iter.next(); 

MDFunctions.initialVelocities(p); 

} 

if (DEBUG) 

{ 

System.out.println("INITIAL POSTIIONS + VELOCITIES"); 

System.out.println(particlesProxy.getInformation()); 

System.out.println("###############################################"); 

} 

MDFunctions.calculateFixedValues(particlesProxy.getParticlesIterator()); 

if (DEBUG) 

System.out.println("The initial velocities are: " + 

simulationParameters.initialVelocities[0] + "," + simulationParameters.initialVelocities[1] + 

"," + simulationParameters.initialVelocities[2]); 


{ 


double[] initvels = p.getVelocities(); 

initvels[0] -= simulationParameters.initialVelocities[0]; 



p.setVelocities(initvels); 

p.setInit_Vx(initvels[0]); 

p.setInit_Vy(initvels[1]); 

p.setInit_Vz(initvels[2]); 

} 

MDFunctions.calculateFixedValues(particlesProxy.getParticlesIterator()); 

if (DEBUG) 

System.out.println("The adjusted velocities are: " + 

simulationParameters.initialVelocities[0] + "," + simulationParameters.initialVelocities[1] + 

"," + simulationParameters.initialVelocities[2]); 

//extract the model 

particlesProxy.extractCompleteModel(runID + " - Start.csv"); 

currentPhase = Phase.equilibration; 

} 

224


Η συνάρτηση που υλοποιεί τη φάση του initialization, είναι υπεύθυνη για την αρχικοποίηση 

του πειράµατος. Για να συµβεί αυτό χρειάζεται να παραχθεί ένας µοναδικός αριθµός 

πειράµατος, να υπολογιστεί ο συνολικός αριθµός σωµατιδίων σύµφωνα µε τα σωµατίδια σε 

κάθε άξονα και να τοποθετηθούν τα σωµατίδια στις αρχικές θέσεις ενός BCC ή FCC 

κρυστάλλου. Στη συνέχεια, κάθε σωµατίδιο παίρνει την αρχική του ταχύτητα, η οποία 

κανονικοποιείται έτσι ώστε η συνολική ταχύτητα του συστήµατος να τείνει στο 0, 

υπολογίζονται κάποιες σταθερές τιµές που χρησιµοποιούνται στον υπολογισµό της µέσης 

τετραγωνικής µετατόπισης, και απότυπώνεται το µοντέλο σε ένα αρχείο. Κατόπιν το 

σύστηµα περνάει στη φάση της εξισορόπησης ( equilibration). 

private void doEquilibration() 

{ 

//time passes 

cnt_timeSteps++; 

// apply the verlet algorithm until the temperature desired condition is achieved 

simulationResults.initAverages(); 

MDFunctions.calculateNeighbors(particlesProxy.getParticlesIterator(), particlesProxy); 


{ 


MDFunctions.verletAlgorithm(p, particlesProxy.getParticlesIterator()); 

} 

MDFunctions.calculateMeanSquareDisplacement(particlesProxy.getParticlesIterator(), 

cnt_timeSteps); 

if (MDFunctions.velocityAutocorrelationCriterion(particlesProxy.getParticlesIterator())) 

{ 

currentPhase = Phase.velocityRescaling; 

} 

} 

Στη συνάρτηση του equilibration συµβαίνουν τα εξής: θεωρείται ότι ο χρόνος µετράει, 

υπολογίζονται τα γειτονικά σωµατίδια (ο ορισµός των γειτονικών σωµατιδίων θα αναπτυχθεί 

πλήρως παρακάτω) και εφαρµόζεται ο αλγόριθµος Verlet για κάθε σωµατίδιο. Στη συνέχεια, 

υπολογίζεται η µέση τετραγωνική µετατόπιση (displacement). Αν το κριτήριο της σύγκλισης 

των ταχυτήτων πληρείται, το σύστηµα περνάει στη φάση της ρύθµισης των ταχυτήτων 

(velocityRescaling). Αν όχι, παραµένει στη φάση του equlibration. 

private void doVelocityRescaling() 

{ 

if (MDFunctions.temperatureDesiredCondition(particlesProxy.getParticlesIterator())) 

{ 

225


226 

currentPhase = Phase.initialState; 

} 

else 

{ 


{ 


MDFunctions.rescaleVelocities(p); 

} 

currentPhase = Phase.equilibration; 

} 

} 

Στη φάση αυτή επαναπροσδιορίζονται οι ταχύτητες των σωµατιδίων ανάλογα µε την τελική 

επιθυµητή θερµοκρασία του κρυστάλλου. Αν η τελική θερµοκρασία επιτευχθεί το σύστηµα 

περνάει στη φάση του initialState. Εάν όχι επιστρέφει στη φάση του equilibration. 

private void doInitialState() 

{ 

// capture the initial state in a CSV file for future reference 

particlesProxy.extractCompleteModel(runID + " - Initial State.csv"); 

if (DEBUG) 

System.out.println("INITIAL STATE"); 

if (DEBUG) 


if (DEBUG) 


System.out.println("Temperature: " + 

MDFunctions.calculateTemperature(particlesProxy.getParticlesIterator())); 

currentPhase = Phase.laserImpulse; 

} 

Στη φάση αυτή απότυπώνεται το σύστηµα σε ένα αρχείο. Κατόπιν, περνάει απευθείας στη 

φάση του laserImpulse. Η φάση του initalState ουσιαστικά δηλώνει ότι το σύστηµα έχει 

εξισορροπηθεί, και ότι είναι έτοιµο να δεχτεί την εφαρµογή της ακτινοβολίας του Laser. 

private void doLaserImpulse() 

{ 

simulationResults.initLaserEnergy(); 

if (cnt_timeSteps % (simulationParameters.laser.getTD_steps() + 

simulationParameters.laser.getTP_steps()) < simulationParameters.laser.getTP_steps()) 

{ 

// add energy to the particles 


{

} 

} 


MDFunctions.irradiateParticle(p); 

MDFunctions.removalCriterion(p); 

} 

currentPhase = Phase.evaporation; 


Στη φάση αυτή εφαρµόζεται η δέσµη του Laser πάνω στο υλικό. Αυτό συµβαίνει µόνο εάν 

το σύστηµα βρίσκεται σε χρονική στιγµή όπου ο παλµός του Laser είναι ενεργός. Αφού 

προστεθεί σε κάθε σωµατίδιο η ενέργεια που του προσδίδει το Laser, εφαρµόζεται το 

κριτήριο της αφαίρεσης και το σύστηµα περνάει στη φάση του evaporation. 

private void doEvaporation() 

{ 

// remove particles marked as removed 

removedParticles += particlesProxy.removeParticles(); 

simulationResults.setRemovedParticles(removedParticles); 

currentPhase = Phase.movement; 

} 

Στη φάση αυτή γίνεται η ουσιαστική αφαίρεση των σωµατιδίων από το υλικό. Ο µηχανισµός 

της αφαίρεσης έχει αναπτυχθεί διεξοδικά παραπάνω. Ακολουθεί η φάση της κίνησης 

(movement). 

private void doMovement() 

{ 

//time passes 




// calculate and apply forces, acceleration, velocity and position 


{ 


MDFunctions.verletAlgorithm(p, particlesProxy.getParticlesIterator()); 

} 

currentPhase = Phase.loopEquilibration; 

} 

Η φάση movement είναι παρόµοια µε τη φάση του equilibration. Κι εδώ, περνάει ο χρόνος, 

υπολογίζονται τα γειτονικά σωµατίδια και εφαρµόζεται ο αλγόριθµος Verlet. Η µόνη 

διαφορά είναι η φάση που ακολουθεί, που σε αυτή την περίπτωση είναι η φάση 

227


loopEquilibration, η οποία, όπως προαναφέρθηκε, απλά καθορίζει την επόµενη φάση 

ανάλογα µε το αν γίνεται πολυνηµατική επεξεργασία ή όχι. 

Η πολυνηµατική επεξεργασία γίνεται στη φάση laserAndMovement, η οποία, όπως δηλώνει 

το όνοµά της, υλοποιεί και την εφαρµογή του Laser και της κίνησης των σωµατιδίων που 

ακολουθεί. 

private void doLaserAndMovement() 

{ 



simulationResults.initLaserEnergy(); 


// calculate and apply forces, acceleration, velocity and position 


{ 

List list = new ArrayList(6); 

for(int i=0;i


{ 

if (cnt_timeSteps % (simulationParameters.laser.getTD_steps() + 

simulationParameters.laser.getTP_steps()) < simulationParameters.laser.getTP_steps()) 

{ 

MDFunctions.irradiateParticle(particle); 

MDFunctions.removalCriterion(particle); 

} 

} 

private Particle particle; 

public Object call() throws Exception 

{ 

run(); 

return null; 

} 

} 

public class MovementJob implements Callable 

{ 

public MovementJob(Particle p) 

{ 

this.particle = p; 

} 

public void run() 

{ 

MDFunctions.verletAlgorithm(particle, particlesProxy.getParticlesIterator()); 

} 

private Particle particle; 

public Object call() throws Exception 

{ 

run(); 

return null; 

} 

} 

Οι κλάσεις αυτές αντιπροσωπεύουν τη φάση του Laser και τη φάση της κίνησης. Ανάλογα 

µε τον αριθµό των νηµάτων επιλέγονται να εργαστούν παράλληλα, χρησιµοποιούνται δύο ή 

περισσότερες κάθε φορά. Με αυτό τον τρόπο, εκµεταλλεύονται οι δυνατότητες του 

µοντέρνου υλικού, για παράδειγµα υπολογιστικά συστήµατα που έχουν δύο επεξεργαστές ή 

δύο πυρήνες. Γίνεται χρήση του concurrency framework της Java για την παράλληλη 

εκτέλεση τους. (java.util.concurrency). 

Όταν συµπληρωθεί ο χρόνος του πειράµατος, το σύστηµα περνάει στη φάση finalState. 

private void doFinalState() 

{ 

229


} 

230 

run = false; 

particlesProxy.extractCompleteModel(runID + " - Final State.csv"); 

if (DEBUG) 

System.out.println("FINAL STATE"); 

if (DEBUG) 


if (DEBUG) 


Στη φάση αυτή καταγράφεται σε αρχείο η τελική κατάσταση του συστήµατος. Η εξέλιξη του 

πειράµατος γίνεται καλώντας συνεχόµενα τη συνάρτηση processCurrentPhase, που 

παρουσιάστηκε παραπάνω. Αυτό µπορεί να γίνεται είτε αυτόµατα είτε χειροκίνητα για 

καλύτερο έλεγχο των απότελεσµάτων. Όταν η επεξεργασία γίνεται αυτόµατα 

χρησιµοποιούνται οι συναρτήσεις doWork και doWorkImpl, ενώ κατά τη χειροκίνητη 

διαδικασία χρησιµοποιείται η συνάρτηση nextStep. 

public void doWork() 

{ 

Thread t = new Thread(new Runnable() 

{ 


{ 

doWorkImpl(); 

} 

}); 


{ 

pool = Executors.newCachedThreadPool(); 

} 

t.start(); 

} 

Εδώ δηµιουργείται ένα νήµα που καλεί τη συνάρτηση doWorkImpl, και ανάλογα µε τις 

παραµέτρους του πειράµατος αρχικοποιείται ο µηχανισµός πολυνηµατικής επεξεργασίας. 

public void doWorkImpl() 

{ 

while (run) 

{ 

if (pause) 

{ 

try 

{

} 

} 

Thread.sleep(1000); 

continue; 

} 

catch (InterruptedException ex) 

{ 


} 

} 

processCurrentPhase(); 

Εδώ καλείται συνεχόµενα η processCurrentPhase, αν το πρόγραµµα είναι ενεργό. 


public void nextStep() 

{ 

processCurrentPhase(); 

if (runID != null) 

particlesProxy.extractCompleteModel("" + runID + " - Step " + cnt_timeSteps + " 

Next Phase " + currentPhase + ".csv"); 

} 

Κατά τη χειροκίνητη διαδικασία απότυπώνεται η κατάσταση του συστήµατος σε αρχείο. 

Αυτό γίνεται για την καλύτερη επιθεώρηση της εξέλιξης του πειράµατος. 

Κλείνοντας την περιγραφή για αυτή την κλάση, πρέπει να γίνει αναφορά στον µηχανισµό που 

χρησιµοποιήθηκε για την αρχειοθέτηση των απότελεσµάτων του πειράµατος. Όλα τα αρχεία 

που παράγονται από ένα πείραµα έχουν στο όνοµα του αρχείου τους και τον αριθµό που 

παράγεται στην αρχή του εκάστοτε πειράµατος. Κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης του κώδικα 

ήταν αναγκαίο να διατηρούνται και τυχόν εκτυπώσεις εκσφαλµάτωσης (debug) οι οποίες 

είναι σύνηθες να εµφανίζονται στη γραµµή εντολών. Για να είναι εύκολη η αναφορά τυχόν 

σφαλµάτων του κώδικα έπρεπε να απόθηκεύονται και αυτές. Αυτό γίνεται στην αρχή κάθε 

πειράµατος, όταν παράγεται ο αριθµός πειράµατος, στη συνάρτηση generateRunID. 

public void generateRunID() 

{ 

runID = "" + System.currentTimeMillis(); 

try 

{ 

File tempFile2 = new File("" + runID + ".stderr.txt"); 

System.setErr(new PrintStream(new FileOutputStream(tempFile2))); 

File tempFile3 = new File("" + runID + ".stdout.txt"); 

231


232 

System.setOut(new PrintStream(new FileOutputStream(tempFile3))); 

} 

catch (Throwable t) 

{ 

System.err.println("Error overriding standard output to file."); 

t.printStackTrace(System.err); 

} 

} 

6.4.6 Κλάση MDListener 

Η κλάση αυτή είναι ο βασικός µηχανισµός που επιτρέπει την προσθήκη πολλαπλών διεπαφών 

χρήστη. Όποια κλάση υλοποιεί αυτή τη διεπαφή ενηµερώνεται για κάθε αλλαγή κατάστασης, 

σύµφωνα µε το παραπάνω διάγραµµα καταστάσεων. Έτσι, µπορεί να ενηµερώνεται για το 

απότέλεσµα του πειράµατος και να παρουσιάζει στο χρήστη τις ανάλογες πληροφορίες. 

package md; 

public interface MDListener 

{ 

public void phaseChange(Phase phase); 

} 

6.4.7 Κλάση Constants 

Η κλάση αυτή έχει περιορισµένη λειτουργικότητα, χρησιµοποιείται µόνο για τον ορισµό 

σταθερών που απαιτούνται στους υπολογισµούς του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής. Οι 

σταθερές αυτές είναι η σταθερά του Boltzmann, η σταθερά του Plank, ο αριθµός Avogadro 

και η ταχύτητα του φωτός. 

package md; 

public class Constants 

{ 

/** 

* Boltzmann constant 

*/ 

public static final double kB = 1.38e-23; //m^2*kg*s^-2*K^-1 

/** 

* Planck constant 

*/

} 

public static final double h = 6.626e-34; //m^2*kg/s 

/** 

* Avogadro's Number 

*/ 

public static final double N = 6.02214199e+23; 

/** 

* Speed of Light m/s 

*/ 

public static final double c = 299792458; 

6.4.8 Κλάση MDFunctions 


Η κλάση αυτή ουσιαστικά δεν χρησιµοποιείται σαν κλάση του αντικειµενοστραφούς 

προγραµµατισµού. Αντίθετα, συγκεντρώνει όλες τις συναρτήσεις που εκτελούν 

υπολογισµούς Μοριακής δυναµικής στα σωµατίδια. Οι περισσότερες συναρτήσεις έχουν ως 

όρισµα είτε ένα σωµατίδιο είτε ένα σωµατίδιο και έναν iterator. Με αυτό τον τρόπο η 

υλοποίηση των εξισώσεων της Μοριακής ∆υναµικής είναι συγκεντρωµένη ολόκληρη σε ένα 

σηµείο και έτσι µπορούν εύκολα να γίνουν διάφορες αλλαγές. Στην πλειονότητά τους οι 

συναρτήσεις αυτής της κλάσης είναι υλοποιήσεις των εξισώσεων, που έχουν παρουσιαστεί σε 

προηγούµενα κεφάλαια. Έτσι, θα παρουσιασθούν µόνο οι συναρτήσεις που έχουν κάποια 

επιπλέον λειτουργικότητα ή παρουσιάζουν διαφοροποιήσεις. 

public static double[][] PBC_vectors = new double[27][3]; 

static 

{ 

int index = 0; 

for (int i = -1; i


double min_distance = Double.MAX_VALUE; 

double[] image_coords = new double[] { Double.MAX_VALUE, Double.MAX_VALUE, 

Double.MAX_VALUE }; 

//for each coordinate vector 

for (int i = 0; i < PBC_vectors.length; i++) 

{ 

double the_distance = sqrt_distance(coords1, particle_image(coords2, 

PBC_vectors[i])); 

if (the_distance < min_distance) 

{ 

min_distance = the_distance; 

image_coords = particle_image(coords2, PBC_vectors[i]); 

} 

} 

return image_coords; 

} 

public static double distance(Particle p1, Particle p2) 

{ 

double[] c1 = p1.getCoordinates(); 

double[] c2 = p2.getCoordinates(); 

double min_distance = Double.MAX_VALUE; 

//for each coordinate vector 

for (int i = 0; i < PBC_vectors.length; i++) 

{ 

double the_distance = sqrt_distance(c1, particle_image(c2, PBC_vectors[i])); 

if (the_distance < min_distance) 

min_distance = the_distance; 

} 

return min_distance; 

} 

public static double[] particle_image(double[] coords, double[] vector) 

{ 

double[] new_coords = new double[3]; 

new_coords[0] = coords[0] + (vector[0] * parameters.material.xBoundarySize); 

new_coords[1] = coords[1] + (vector[1] * parameters.material.yBoundarySize); 

new_coords[2] = coords[2]; 

return new_coords; 

} 

public static double sqrt_distance(double[] c1, double[] c2) 

{ 

return Math.sqrt(Math.abs((c1[0] - c2[0]) * (c1[0] - c2[0]) + (c1[1] - c2[1]) * (c1[1] - 

c2[1]) + (c1[2] - c2[2]) * (c1[2] - c2[2]))); 

} 

Τα Boundary Conditions βασίζονται σε "εικόνες" των σωµατιδίων. Για να υπολογιστούν οι 

εικόνες, χρησιµοποιείται η particle_image, η οποία λαµβάνει ως όρισµα τις συντεταγµένες 

ενός σωµατιδίου και για ποιο υπολογιστικό κελίο να κάνει τον υπολογισµό. Η nearest_image 

αναλαµβάνει να βρει ποια είναι η πιο κοντινή εικόνα ενός σωµατιδίου προς ένα άλλο. H 

234


distance επιστρέφει την απόσταση µεταξύ δύο σωµατιδίων χρησιµοποιώντας τα 

απότελέσµατα των δυο πρώτων, ενώ η sqrt_distance απλά επιστρέφει την ευκλείδεια 

απόσταση µεταξύ δύο σηµείων. 

Ένα άλλο σηµείο που πρέπει να παρουσιαστεί είναι ο τρόπος υπολογισµού των γειτονικών 

σωµατιδίων. Για την απλοποίηση των υπολογισµών, κάθε σωµατίδιο απόθηκεύει µια λίστα 

µε τα σωµατίδια τα οποία είναι εντός της ακτίνας αλληλεπίδρασής του όπως αυτή ορίσθηκε 

νωρίτερα. Έτσι, όταν υπολογίζεται το δυναµικό, λαµβάνονται υπ’ όψη µόνο αυτά και όχι το 

σύνολο του µοντέλου. Περιοδικά η λίστα αυτή ανανεώνεται για να συνυπολογίσει τις 

µετακινήσεις των σωµατιδίων. Η περιοδικότητα της ανανέωσης απότελεί επιλογή του 

χρήστη. 

private static void calculateMorsePotentialNeighbors(Particle p) 

{ 

Map neighbors = p.getNeighbors(); 

Iterator neighbors_iter = neighbors.keySet().iterator(); 

calculateMorsePotentialIter(p, neighbors_iter, false); 

} 

Στην παραπάνω συνάρτηση χρησιµοποιείται η έτοιµη λίστα των γειτονικών σωµατιδίων για 

τον υπολογισµό του δυναµικού. 

static void calculateNeighbors(Iterator iterator, ParticlesProxy particlesProxy) 

{ 

noOfNeighborCalculations++; 

if (noOfNeighborCalculations >= MDParameters.NEIGHBOR_STEP) 

{ 

System.out.println("Calculating neighbors..."); 

for (Iterator iter = iterator; iter.hasNext();) 

{ 

//calculate the potential 


int before = p.getNeighbors().size(); 

// 

p.clearNeighbors(); 

doCalculateNeighbors(p, particlesProxy.getParticlesIterator()); 

int after = p.getNeighbors().size(); 

if (before != after) 

{ 

System.out.println("########## DIFFERENCE "); 

System.out.println("AFTER Particle " + p.getId() + " has " + after + " 

neighbors"); 

System.out.println("BEFORE Particle " + p.getId() + " has " + before + " 

neighbors"); 

235


236 

} 

} 

noOfNeighborCalculations = 0; 

} 

} 

Στην παραπάνω συνάρτηση καταµετράται ο αριθµός των κλήσεων στη συνάρτηση αυτή, και 

όταν ξεπεράσει κάποιο προκαθορισµένο όριο, καλείται η συνάρτηση που κάνει τον 

υπολογισµό: 

static void doCalculateNeighbors(Particle p, Iterator particlesIterator) 

{ 

double rij; 

for (Iterator iter2 = particlesIterator; iter2.hasNext();) 

{ 

//calculate the potential 

Particle otherParticle = (Particle) iter2.next(); 

// i != j 

if (p.equals(otherParticle)) 

continue; 

//cut off distance criterion 

rij = distance(p, otherParticle); 

if (rij

Η παραπάνω συνάρτηση απλά µεταβιβάζει τον έλεγχο στις παραπάνω συναρτήσεις. 

6.4.9 Κλάση MDParameters 


Αυτή η κλάση ενσωµατώνει όλες τις παραµέτρους ενός υπολογιστικού πειράµατος. Γι’ αυτό 

το λόγο ο MDCoordinator όταν ξεκινά ένα πείραµα δηµιουργεί αυτή τη κλάση η οποία 

µεταφέρεται σε όλους τους ενδιαφερόµενους. Για την καλύτερη οµαδοποίηση των 

παραµέτρων περιέχει δυο υπό κλάσεις, µια για τις παραµέτρους του υλικού και µια για την 

ακτίνα του Laser. 

public ExposedMaterial material = new ExposedMaterial(); 

public Laser laser = new Laser(); 

public boolean debug = true; 

public double initialVelocitiesSum; 

public double[] initialVelocities = new double[] { 0, 0, 0 }; 

public static int THREADS = 1; 

public static int GRAPH_STEP = 10; 

public static int SNAPSHOT_STEP = 0; 

public static int NEIGHBOR_STEP = 50; 

/** 

* The time step in seconds. 

*/ 

public static double timeStep = 1e-16; 

public static double interactionTime = 200e-15; 

public static int vafFunction = 2; 

public static String removalCriterion = "Distance"; 

Η κλάση του Laser, εκτός από τις παραµέτρους, περιέχει και κάποιες συναρτήσεις σχετικές 

µε αυτό: 

/** 

* Equation 61 The laser beam follows equation 61 as it concerns the waste according to 

penetration depth. 

* @param z 

* @return 

*/ 

private double r(double z) 

{ 

double r = rf0 * Math.sqrt(1 + Math.pow((Mpow2 * λ * (z + δf) / (Math.PI * rf0 * rf0)), 2.0)); 

return r; 

} 

237


Η συνάρτηση 66 που παρουσιάστηκε παραπάνω υλοποιείται εδώ: 

/** 

* Eq. 66 

* @param coordinates 

* @return 

*/ 

public double getEnergyForPosition(double[] coordinates) 

{ 

double numberOfAbsorbedPhotons; 

double rz = r(coordinates[2]); 

double x = coordinates[0]; 

double y = coordinates[1]; 

//Calculate the Number of photons at this depth using the Beer - Lambert Law 

double firstTerm = getLaserEnergy() * 

MDParameters.timeStep;//*getΛ()/(Constants.h*Constants.c); 

numberOfAbsorbedPhotons = firstTerm; 

//commented out - maybe will be added again 

// double secondTerm = (rz * rz) / (rf0 * rf0); 

// numberOfAbsorbedPhotons *= secondTerm; 

double thirdTerm = Math.exp(-β * coordinates[2]); 

numberOfAbsorbedPhotons *= thirdTerm; 

//apply the bivariate gaussian distribution 

double probability; 

double d = ac * (x + material.particleRadius) / (2 * radius); 

double e = ac * (x - material.particleRadius) / (2 * radius); 

probability = Φ(d) - Φ(e); 

double e2 = ac * (y + material.particleRadius) / (2 * radius); 

double f = ac * (y - material.particleRadius) / (2 * radius); 

probability *= Φ(e2) - Φ(f); 

numberOfAbsorbedPhotons *= probability; 

numberOfAbsorbedPhotons *= material.reflectivity; 

if (("" + numberOfAbsorbedPhotons).equals("NaN")) 

{ 

System.out.println("Energy is NaN!!!"); 

System.out.println("Coordinates: ( " + coordinates[0] + " , " + coordinates[1] + " , " 

+ coordinates[2] + " )"); 

System.out.println("Rz = " + rz); 

System.out.println("Probability: " + probability); 

System.out.println("d = " + d); 

System.out.println("e = " + e); 

System.out.println("e2 = " + e2); 

System.out.println("f = " + f); 

} 

//multiply with the energy of one photon hc/λ 

//we don't have to multiply with the energy of one photon, 

//as we have removed it from the initial calculation of the Beer Lambert Law 

return numberOfAbsorbedPhotons; 

} 

238


Χρησιµοποιείται επίσης και η βιβλιοθήκη org.apache.commons.math για την υλοποίηση της 

στατιστικής συνάρτησης Φ (αθροιστικής πιθανότητας) που απαιτείται για τον υπολογισµό 

του αριθµού των φωτονίων της δέσµης Laser σε συγκεκριµένο σηµείο στον κρύσταλλο. 

public double Φ(double x) 

{ 

try 

{ 

return normalDistribution.cumulativeProbability(x); 

} 

catch (MathException ex) 

{ 


} 

return -1; 

} 

Σχετικά µε το υλικό, εκτός από τις παραµέτρους του, υλοποιούται και αριθµός συναρτήσεων 

που έχει να κάνει µε την αρχική τοποθέτηση των σωµατιδίων στις θέσεις του BCC η FFC 

κρυστάλλου. 

public void initParticles(int thenumberOfxEdgeParticles, int thenumberOfyEdgeParticles, int 

thenumberOfzEdgeParticles) 

{ 

numberOfxEdgeParticles = thenumberOfxEdgeParticles; 

numberOfyEdgeParticles = thenumberOfyEdgeParticles; 

numberOfzEdgeParticles = thenumberOfzEdgeParticles; 

numberOfParticles = calculateTotalParticles(); 

applyParticlesNumber(); 

} 

int calculateTotalParticles(String method) 

{ 

if (method.equals("FCC")) 

{ 

int particles = 0; 

for (int i = 0; i < numberOfzEdgeParticles; i++) 

{ 

particles += numberOfxEdgeParticles * numberOfyEdgeParticles; 

particles += (numberOfxEdgeParticles - 1) * (numberOfyEdgeParticles - 1); 

if (i < numberOfzEdgeParticles - 1) 

{ 

particles += (numberOfxEdgeParticles) * (numberOfyEdgeParticles - 1); 

particles += (numberOfxEdgeParticles - 1) * (numberOfyEdgeParticles); 

} 

239


} 

System.out.println("PARTICLES : " + particles); 

calculateBoundaries(); 


} 

else if(method.equals("BCC")) 

{ 

int particles = 0; 


{ 

particles += numberOfxEdgeParticles * numberOfyEdgeParticles; 

particles += (numberOfxEdgeParticles - 1) * (numberOfyEdgeParticles - 1); 

} 

System.out.println("PARTICLES : " + particles); 

calculateBoundaries(); 


} 

else 

{ 

throw new IllegalArgumentException("Suppported methods are either BCC or 

FCC."); 

} 

} 

Εδώ υπολογίζεται ο αριθµός των σωµατιδίων, ανάλογα µε το είδος της κρυσταλλικής δοµής 

public void createBCCGraph(Particles theParticles) 

{ 


{ 

double xCount = numberOfxEdgeParticles; 

double yCount = numberOfyEdgeParticles; 

double zIndex = zSpacing * i; 

double xCoef = (xCount - 1) / 2; 

double yCoef = (yCount - 1) / 2; 

//4 particles layer 

for (double x = 0; x < xCount; x++) 

{ 

for (double y = 0; y < yCount; y++) 

{ 

Particle p = new Particle((Integer) theParticles.getNextUserDataForParticle(), 

(x - xCoef) * xSpacing, (y - yCoef) * ySpacing, zIndex); 

p.setMass(m); 

theParticles.addParticle(p); 

} 

} 

//1 centered particle layer 

zIndex = zSpacing * i + zSpacing / 2; 

for (int x = 0; x < xCount - 1; x++) 

240


{ 

for (int y = 0; y < yCount - 1; y++) 

{ 

Particle p = new Particle((Integer) theParticles.getNextUserDataForParticle(), 

((x - xCoef)) * xSpacing + xSpacing / 2, ((y - yCoef)) * ySpacing + ySpacing / 2, zIndex); 

p.setMass(m); 

theParticles.addParticle(p); 

} 

} 

} 

} 

Εδώ τοποθετούνται τα σωµατίδια στις θέσεις τους στον BCC κρύσταλλο. Αντίστοιχη 

συνάρτηση υπάρχει και για FCC κρύσταλλο, στην περίπτωση που απαιτείται από το είδος και 

τον στόχο της προσοµοίωσης. 

Επιπλέον, µετά την αρχικοποίηση του κρυστάλλου, υπολογίζονται τα όρια για τις συνοριακές 

συνθήκες: 

private void calculateBoundaries() 

{ 

xBoundaryStart = -(xSpacing * numberOfxEdgeParticles) / 2; 

xBoundaryEnd = +(xSpacing * numberOfxEdgeParticles) / 2; 

xBoundarySize = xSpacing * numberOfxEdgeParticles; 

} 

yBoundaryStart = -(ySpacing * numberOfyEdgeParticles) / 2; 

yBoundaryEnd = (ySpacing * numberOfyEdgeParticles) / 2; 

yBoundarySize = ySpacing * numberOfyEdgeParticles; 

zBoundaryStart = 0; 

zBoundaryEnd = zSpacing * numberOfzEdgeParticles; 

zBoundarySize = zSpacing * numberOfzEdgeParticles; 

Παρακάτω φαίνονται οι συναρτήσεις που υλοποιούν τα boundary conditions για κάθε άξονα 

και επιστρέφουν την καινούρια συντεταγµένη στην οποία πρέπει να τοποθετηθεί το 

σωµατίδιο. 

public double xBoundary(double x) 

{ 

double result = x; 

if (x < xBoundaryStart) 

{ 

result = xBoundaryEnd - ((Math.abs(xBoundaryStart - x)) % xBoundarySize); 

241


242 

} 

else if (x > xBoundaryEnd) 

{ 

result = xBoundaryStart + ((Math.abs(x - xBoundaryEnd)) % xBoundarySize); 

} 

return result; 

} 

public double yBoundary(double y) 

{ 

double result = y; 

if (y < yBoundaryStart) 

{ 

result = yBoundaryEnd - ((Math.abs(yBoundaryStart - y)) % yBoundarySize); 

} 

else if (y > yBoundaryEnd) 

{ 

result = yBoundaryStart + ((Math.abs(y - yBoundaryEnd)) % yBoundarySize); 

} 


} 

public double zBoundary(double z) 

{ 

//special conditions apply here: 

// z bottom is reflecting 

double result = z; 

if (z > zBoundaryEnd) 

{ 

result = zBoundaryEnd - Math.abs(z - zBoundaryEnd); 

} 

// z top is free 

if (z < 0 && MDCoordinator.DEBUG) 

System.out.println("Z NEGATIVE"); 


} 

Για τους άξονες x και y οι συνοριακές συνθήκες είναι περιοδικές, ενώ για τον άξονα z στην 

κάτω πλευρά της υπολογιστικής κυψελίδας αναφοράς, ανακλαστικά ενώ στην πάνω πλευρά 

της ελεύθερα. Κλείνοντας, µια ακόµα συνάρτηση που υλοποιείται είναι η ανάθεση ταχύτητας 

σύµφωνα µε την κατανοµή Maxwell-Boltzmann: 

/** 

* Used in MaxwellBoltzmann velocity to give UD[0,1] 

*/ 

Random r = new Random(System.currentTimeMillis()); 

public double getNextMaxwellBoltzmannVelocity() 

{ 

double Xn = 0;

} 

double result; 

for (int i = 0; i < 12; i++) 

{ 

Xn += r.nextDouble(); 

} 

Xn -= 6; 

result = Xn * (1 + Vcm); 


6.4.10 Κλάση MDResults 


Η κλάση αυτή απόθηκεύει κάποια απότελέσµατα του πειράµατος. Είναι πολύ απλή στη 

λειτουργία της και η λειτουργικότητα που έχει είναι να παρέχει έναν µέσο όρο για τις 

ταχύτητες, τις δυνάµεις και τις επιταχύνσεις των σωµατιδίων, καθώς και της ενέργειας που 

παρέχει το Laser σε κάθε βήµα του αλγορίθµου. 

package md; 

public class MDResults 

{ 

private double vaf; 

private double temperature; 

private double cumulativeForce; 

private double cumulativeVelocity; 

private double cumulativeAcceleration; 

private int totalParticles; 

private double momentumX; 

private double momentumY; 

private double momentumZ; 

private double averageDisplacement; 

private double meanSquaredDisplacement; 

private int stepCount; 

private double time; 

private int removedParticles; 

private double laserEnergy; 

public double getVaf() 

{ 

return vaf; 

} 

public void setVaf(double vaf) 

{ 

this.vaf = vaf; 

} 

public synchronized void initAverages() 

243


{ 

cumulativeAcceleration = 0; 

cumulativeForce = 0; 

cumulativeVelocity = 0; 

momentumX = 0; 

momentumY = 0; 

momentumZ = 0; 

} 

public void addForceEntry(double[] forces) 

{ 

double f = forces[0]*forces[0]+forces[1]*forces[1]+forces[2]*forces[2]; 

cumulativeForce+=Math.sqrt(f); 

} 

public void addVelocityEntry(double[] velocities) 

{ 

// System.out.println("Adding velocity entry..."+this); 

double v = 

velocities[0]*velocities[0]+velocities[1]*velocities[1]+velocities[2]*velocities[2]; 

cumulativeVelocity+=Math.sqrt(v); 

momentumX += velocities[0]; 

momentumY += velocities[1]; 

momentumZ += velocities[2]; 

} 

public void addAccelerationEntry(double[] accelerations) 

{ 

double a = 

accelerations[0]*accelerations[0]+accelerations[1]*accelerations[1]+accelerations[2]*acceler 

ations[2]; 

cumulativeAcceleration+=Math.sqrt(a); 

} 

public synchronized double getAverageForce() 

{ 

return cumulativeForce/totalParticles; 

} 

public synchronized double getAverageVelocity() 

{ 

return cumulativeVelocity/totalParticles; 

} 

public synchronized double getAverageAcceleration() 

{ 

return cumulativeAcceleration/totalParticles; 

} 

public int getTotalParticles() 

{ 

return totalParticles; 

} 

public void setTotalParticles(int totalParticles) 

{ 

this.totalParticles = totalParticles; 

} 

244

public synchronized double getMomentumX() 

{ 

return momentumX; 

} 

public synchronized double getMomentumY() 

{ 

return momentumY; 

} 

public synchronized double getMomentumZ() 

{ 

return momentumZ; 

} 

public synchronized double getAverageDisplacement() 

{ 

return averageDisplacement; 

} 

public void setAverageDisplacement(double averageDisplacement) 

{ 

this.averageDisplacement = averageDisplacement; 

} 

public void setMeanSquaredDisplacement(double displacement_sum) 

{ 

this.meanSquaredDisplacement = displacement_sum; 

} 

public synchronized double getMeanSquaredDisplacement() 

{ 

return meanSquaredDisplacement; 

} 

public synchronized double getTemperature() 

{ 

return temperature; 

} 

public void setTemperature(double temperature) 

{ 

this.temperature = temperature; 

} 

public void setSteps(int stepCount) 

{ 

this.stepCount = stepCount; 

} 

public synchronized int getStepCount() 

{ 

return stepCount; 

} 

public void setStepCount(int stepCount) 

{ 

this.stepCount = stepCount; 

} 

public void setTime(double theTime) 

{ 


245


this.time = theTime; 

} 

public synchronized double getTime() 

{ 

return time; 

} 

public void setRemovedParticles(int removedParticles) 

{ 

this.removedParticles = removedParticles; 

} 

public synchronized int getRemovedParticles() 

{ 

return removedParticles; 

} 

public synchronized void initLaserEnergy() 

{ 

this.laserEnergy = 0.0; 

} 

public synchronized double getLaserEnergy() 

{ 

return laserEnergy; 

} 

public void setLaserEnergy(double laserEnergy) 

{ 

this.laserEnergy = laserEnergy; 

} 

public synchronized void addLaserEnergy(double energyToAdd) 

{ 

this.laserEnergy+=energyToAdd; 

} 

} 

6.4.11 Κλάση StatisticsCollerator 

Η κλάση αυτή υλοποιεί τη διεπαφή MDListener, και είναι υπεύθυνη στο να ανανεώνει και να 

ενηµερώνει τα γραφήµατα που παρουσιάζονται στο χρήστη. Εδώ χρησιµοποιείται η 

βιβλιοθήκη JFreeChart και η παράµετρος GRAPH_STEP η οποία ορίζει τη συχνότητα 

ανανέωσης των γραφηµάτων. Τα γραφήµατα που παρουσιάζονται είναι: η κινητική ενέργεια, 

η δυναµική ενέργεια, η συνολική ενέργεια, ο βαθµός αυτοσυσχέτισης των ταχυτήτων, η 

θερµοκρασία και η ενέργεια του Laser που προστέθηκε στο υλικό ανα χρονόβηµα. 

246

public void phaseChange(Phase phase) 

{ 

if (phase== Phase.initialState) 

{ 

addEntry(); 

} 

else 

if (MDParameters.GRAPH_STEP>0 && 

mdc.getCnt_timeSteps()%MDParameters.GRAPH_STEP==0) 

{ 

addEntry(); 

} 

} 

private void addEntry() 

{ 

double kineticEnergy = 0; 

double potentialEnergy = 0; 

double totalEnergy = 0; 

for (Iterator iter = mdc.getParticlesProxy().getParticlesIterator(); iter.hasNext();) 

{ 


kineticEnergy += particle.getKineticEnergy(); 

potentialEnergy += particle.getPotentialEnergy(); 

} 

totalEnergy = kineticEnergy + potentialEnergy; 

int totalParticles = mdc.getParticlesProxy().getNumberOfParticles(); 


kineticEnergySeries.add(mdc.getCnt_timeSteps(), kineticEnergy); 

potentialEnergySeries.add(mdc.getCnt_timeSteps(), potentialEnergy); 

totalEnergySeries.add(mdc.getCnt_timeSteps(), totalEnergy); 

vafSeries.add(mdc.getCnt_timeSteps(), mdc.getSimulationResults().getVaf()); 

temperatureSeries.add(mdc.getCnt_timeSteps(), 

mdc.getSimulationResults().getTemperature()); 

laserSeries.add(mdc.getCnt_timeSteps(), mdc.getSimulationResults().getLaserEnergy()); 

} 

6.4.12 Κλάση Utils 

Η κλάση αυτή περιέχει κάποιες χρήσιµες συναρτήσεις οι οποίες αναλαµβάνουν να 

µετατρέπουν τις ποσότητες από µία ένα σύστηµα µονάδων σε ένα άλλο. Χρησιµοποιείται για 

την παρουσίαση στον χρήστη των ποσοτήτων σε τυπικές µονάδες εν αντιθέσει µε τις µονάδες 

του κανονικού συστήµατος (SI). 

package md; 

247


public class Utils 

{ 

//1 ev = 1.60217646 ? 10-19 joules 

private static double EV = 1.60217646e-19; 

private static double kilo = 1e3; 

private static double MEGA = 1e6; 

private static double GIGA = 1e9; 

private static double milli = 1e-3; 

private static double micro = 1e-6; 

private static double nano = 1e-9; 

private static double angstrom = 1e-10; 

private static double pico = 1e-12; 

private static double femto = 1e-15; 

public static double toAngstrom(double meters) 

{ 

return meters/angstrom; 

} 

public static double fromAngstrom(double angstrongs) 

{ 

return angstrongs*angstrom; 

} 

public static double toEv(double joule) 

{ 

return joule/EV; 

} 

public static double toJoule(double evs) 

{ 

return evs*EV; 

} 

public static double toMilli(double si) 

{ 

return si/milli; 

} 

public static double toMicro(double si) 

{ 

return si/micro; 

} 

public static double toNano(double si) 

{ 

return si/nano; 

} 

public static double toPico(double si) 

{ 

return si/pico; 

} 

public static double toFemto(double si) 

{ 

return si/femto; 

} 

public static double toKilo(double si) 

248

{ 

return si/kilo; 

} 

public static double toMega(double si) 

{ 

return si/MEGA; 

} 

public static double toGiga(double si) 

{ 

return si/GIGA; 

} 

public static double fromMilli(double millis) 

{ 

return millis*milli; 

} 

public static double fromMicro(double micros) 

{ 

return micros*micro; 

} 

public static double fromNano(double nanos) 

{ 

return nanos*nano; 

} 

public static double fromPico(double picos) 

{ 

return picos*pico; 

} 

public static double fromFemto(double femtos) 

{ 

return femtos*femto; 

} 

public static double fromKilo(double kilos) 

{ 

return kilos*kilo; 

} 

public static double fromMega(double megas) 

{ 

return megas*MEGA; 

} 

public static double fromGiga(double gigas) 

{ 

return gigas*GIGA; 

} 

} 


249


6.4.13 Κλάση MDShell 

Η κλάση αυτή υλοποιεί τη διεπαφή χρήστη. Στη παροúσα παράγραφο θα γίνει λόγος µόνο 

για τα τµήµατα που παρουσιάζουν ενδιαφέρον, καθώς το µεγαλύτερο µέρος της αφορά τη 

δηµιουργία και τοποθέτηση των στοιχείων στην οθόνη του προγράµµατος. Για την 

υλοποίηση της γραφικής διεπαφής χρησιµοποιήθηκε η βιβλιοθήκη SWT (Simple Widgets 

Toolkit) του Eclipse Foundation. Η βιβλιοθήκη αυτή έχει το πλεονέκτηµα ότι παρουσιάζει 

την ίδια όψη και συµπεριφορά (look and feel) µε την πλατφόρµα πάνω στην οποία τρέχει, εν 

αντιθέσει µε τη βιβλιοθήκη Swing της Java, που παρουσιάζει ξεχωριστή όψη και 

συµπεριφορά. Επιπρόσθετα, για απλές λειτουργίες και ανάγκες, όπως αυτές του κώδικα 

Μοριακής ∆υναµικής, η βιβλιοθήκη SWT απαιτεί λιγότερο κώδικα. 

250 

Σχήµα 6.3: Η γραµµή εργαλείων 

Στο Σχήµα 6.3 παρουσιάζεται η γραµµή εργαλείων (toolbar) και οι 6 καρτέλες (tabs) του 

προγράµµατος. Ο κώδικας που υλοποιεί τη γραµµή εργαλείων είναι ο ακόλουθος: 

/** 

* This method initializes toolBar 

* 

*/ 

private void createToolBar() 

{ 

toolBar = new ToolBar(sShell, SWT.NONE); 

final ToolItem buttonLoad = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonLoad.setText("Load Model"); // Generated 

buttonLoad.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 

public void widgetSelected(org.eclipse.swt.events.SelectionEvent e) 

{ 

FileDialog fd = new FileDialog(sShell, SWT.OPEN); 

fd.setText("Open Model"); 

fd.setFilterPath("C:/"); 

String[] filterExt = { "*.txt", "*.csv", }; 

fd.setFilterExtensions(filterExt); 

String selected = fd.open(); 

if (selected != null)

{ 

} 


appendInformation("Stopping simulation..."); 

mdc.setRun(false); 

SimpleParticlesProxy proxy = new SimpleParticlesProxy(); 

if (selected.endsWith(".csv")) 

{ 

appendInformation("Found CSV file."); 

proxy.importCompleteModel(selected, mdc.getSimulationParameters()); 

} 

else if (selected.endsWith(".txt")) 

{ 

appendInformation("Found text file"); 

Importer imp = new Importer(); 

imp.doImport(new File(selected)); 

Converter conv = new Converter(imp.getData(), imp.getParticles()); 

proxy.setParticles(conv.getFinalState()); 

mdc.setSimulationParameters(conv.getParameters()); 

} 

mdc.generateRunID(); 

mdc.setParticlesProxy(proxy); 

appendInformation("Finished loading model."); 

appendInformation("RUNID: " + mdc.getRunID()); 

} 

public void widgetDefaultSelected(org.eclipse.swt.events.SelectionEvent e) 

{ 

} 

}); 

final ToolItem buttonSave = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonSave.setText("Save Model"); // Generated 

buttonSave.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

FileDialog fd = new FileDialog(sShell, SWT.SAVE); 

fd.setText("Save Model"); 

fd.setFilterPath("C:/"); 

String[] filterExt = { "*.csv", "*.*" }; 

fd.setFilterExtensions(filterExt); 

String selected = fd.open(); 

if (selected != null) 

{ 

appendInformation("Saving model..."); 

mdc.setPause(true); 

mdc.getParticlesProxy().extractCompleteModel(selected); 

appendInformation("Finished saving model."); 

mdc.setPause(false); 

} 

} 


251


252 

{ 

} 

}); 

buttonPlot = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonPlot.setText("Plot"); // Generated 

buttonPlot.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

doPause(buttonPause); 

drawPlot(); 


} 


{ 

} 

}); 

final ToolItem sep1 = new ToolItem(toolBar, SWT.SEPARATOR); 

Label sep = new Label(toolBar, SWT.BORDER | SWT.SINGLE); 

sep.pack(); 

sep1.setWidth(sep.getBounds().width); 

sep1.setControl(sep); 

buttonStart = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonStart.setText("Start"); // Generated 

buttonStart.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

String phaseToStart = "startUp"; 

for (MenuItem item : phaseMenu.getItems()) 

{ 

if (item.getSelection()) 

phaseToStart = item.getText(); 

} 

for (Phase p : Phase.values()) 

{ 

if (p.name().equals(phaseToStart)) 

mdc.setCurrentPhase(p); 

} 

mdc.setRun(true); 

mdc.doWork(); 

buttonStart.setEnabled(false); 

refreshGuiFromParameters(); 

} 


{ 

} 

}); 

buttonPause = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonPause.setText("Pause"); // Generated

uttonPause.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 


} 


{ 

} 

}); 

ToolItem buttonNext = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonNext.setText("Next Step"); 

buttonNext.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

String phaseToStart = "startUp"; 


{ 

if (item.getSelection()) 

phaseToStart = item.getText(); 

} 

for (Phase p : Phase.values()) 

{ 

if (p.name().equals(phaseToStart)) 

mdc.setCurrentPhase(p); 

} 

mdc.nextStep(); 

} 


{ 

} 

}); 

ToolItem buttonStop = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

buttonStop.setText("Stop"); // Generated 

buttonStop.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 


buttonStart.setEnabled(true); 

} 


{ 

} 

}); 


Label sep22 = new Label(toolBar, SWT.BORDER | SWT.SINGLE); 

sep22.pack(); 

sep2.setWidth(sep22.getBounds().width); 


253


254 

sep2.setControl(sep22); 

buttonSIParams = new ToolItem(toolBar, SWT.RADIO); 

buttonSIParams.setText("Use SI"); // Generated 

buttonSIParams.setSelection(true); 

buttonSIParams.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

tabItemSI.getControl().setEnabled(true); 

tabItemUsual.getControl().setEnabled(false); 

} 


{ 

} 

}); 

buttonUsualParams = new ToolItem(toolBar, SWT.RADIO); 

buttonUsualParams.setText("Use Usual"); // Generated 

buttonUsualParams.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

tabItemSI.getControl().setEnabled(false); 

tabItemUsual.getControl().setEnabled(true); 

} 


{ 

} 

}); 

buttonDebug = new ToolItem(toolBar, SWT.CHECK); 

buttonDebug.setText("Debug"); // Generated 

buttonDebug.setSelection(MDCoordinator.DEBUG); 

buttonDebug.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

MDCoordinator.DEBUG = !MDCoordinator.DEBUG; 

} 


{ 

} 

}); 


Label sep33 = new Label(toolBar, SWT.BORDER | SWT.SINGLE); 

sep33.pack(); 

sep3.setWidth(sep33.getBounds().width); 

sep3.setControl(sep33); 

ToolItem buttonReset = new ToolItem(toolBar, SWT.PUSH); 

final ToolItem itemDropDown = new ToolItem(toolBar, SWT.DROP_DOWN | 

SWT.FLAT);

itemDropDown.setText("Switch to phase..."); 

itemDropDown.setToolTipText("Click here to view phases"); 


phaseMenu = new Menu(sShell, SWT.POP_UP); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.initialization.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.equilibration.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.velocityRescaling.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.initialState.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.laserImpulse.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.laserAndMovement.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.evaporation.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.movement.name()); 

new MenuItem(phaseMenu, SWT.RADIO).setText(Phase.loopEquilibration.name()); 

itemDropDown.addListener(SWT.Selection, new Listener() 

{ 

public void handleEvent(Event event) 

{ 

if (event.detail == SWT.ARROW) 

{ 

Rectangle bounds = itemDropDown.getBounds(); 

Point point = toolBar.toDisplay(bounds.x, bounds.y + bounds.height); 

phaseMenu.setLocation(point); 

phaseMenu.setVisible(true); 

} 

} 

}); 

buttonReset.setText("Apply && Reset"); // Generated 

buttonReset.addSelectionListener(new org.eclipse.swt.events.SelectionListener() 

{ 


{ 

appendInformation("Stopping simulation..."); 


mdc.reset(); 

appendInformation("Setting the new parameters..."); 

applyNewParameters(); 

appendInformation("Confirming the parameters..."); 


appendInformation("You may start the simulation again."); 


showConfirmation(); 

} 


{ 

} 

}); 

FormData labelData = new FormData(); 

labelData.left = new FormAttachment(0); 

labelData.right = new FormAttachment(100); 

255


} 

256 

labelData.top = new FormAttachment(0); 

toolBar.setLayoutData(labelData); 

Ο κώδικας, εκτός του να δηµιουργεί τα διάφορα κουµπιά της γραµµής εργαλείων, τους 

προσθέτει και την ανάλογη συµπεριφορά. Για την εξασφάλιση της ορθότητας των 

δεδοµένων που εµφανίζονται στην οθόνη, είναι υπεύθυνες δυο συναρτήσεις: 

• H applyNewParameters, που θέτει στο πείραµα τις παραµέτρους που εισάγει ο 

χρήστης 

• Η refreshGuiFromParameters, που εµφανίζει τις παραµέτρους του πειράµατος 

protected void applyNewParameters() 

{ 

MDParameters params = mdc.getSimulationParameters(); 

mdc.setNumberOfParticles(getInt(textXParticles), getInt(textYParticles), 

getInt(textZParticles)); 

if (buttonSIParams.getSelection()) 

{ 

MDParameters.timeStep = getDouble(textTimeStep); 

params.material.removalCriterion = getDouble(textDistanceCriterion); 

params.material.Ec = getDouble(textCohesiveCriterion); 

MDParameters.interactionTime = getDouble(textInteractionTime); 

params.material.particleRadius = getDouble(textParticleRadius); 

params.material.a = getDouble(textBCCAcme); 

params.material.MPF_D = getDouble(textMPF_D); 

params.material.MPF_a = getDouble(textMPF_a); 

params.material.MPF_r0 = getDouble(textMPF_r0); 

params.material.MPF_rc = getDouble(textMPF_rc); 

params.material.atomicMass = getDouble(textAtomicMass); 

params.material.m = params.material.atomicMass / Constants.N; 

params.material.desiredTemperature = getDouble(textDesiredTemperature); 

params.material.Vcm = getDouble(textVcm); 

params.material.reflectivity = getDouble(textReflectivity); 

params.laser.setP(getDouble(textLaserPower)); 

params.laser.setTP(getDouble(textLaserPulse)); 

params.laser.setTD( getDouble(textLaserDeadTime)); 

params.laser.Mpow2 = getDouble(textMpow2); 

params.laser.λ = getDouble(textΛ); 

params.laser.δf = getDouble(text∆f); 

params.laser.ρ = getDouble(textΡ); 

params.laser.rf0 = getDouble(textRf0); 

params.laser.radius = getDouble(textLaserRadius);


params.laser.ac = getDouble(textAc); 

params.laser.β = getDouble(textB); 

} 

else 

{ 

MDParameters.timeStep = fromFemto(getDouble(textUsualTimeStep)); 

params.material.removalCriterion = 

fromAngstrom(getDouble(textUsualDistanceCriterion)); 

params.material.Ec = toJoule(getDouble(textUsualCohesiveCriterion)); 

MDParameters.interactionTime = fromFemto(getDouble(textUsualInteractionTime)); 

} 

params.material.particleRadius = fromAngstrom(getDouble(textUsualParticleRadius)); 

params.material.a = fromAngstrom(getDouble(textUsualBCCAcme)); 

params.material.MPF_D = toJoule(getDouble(textUsualMPF_D)); 

params.material.MPF_a = fromAngstrom(getDouble(textUsualMPF_a)); 

params.material.MPF_r0 = fromAngstrom(getDouble(textUsualMPF_r0)); 

params.material.MPF_rc = fromAngstrom(getDouble(textUsualMPF_rc)); 

params.material.atomicMass = fromMilli(getDouble(textUsualAtomicMass)); 

params.material.m = params.material.atomicMass / Constants.N; 

params.material.desiredTemperature = getDouble(textUsualDesiredTemperature); 

params.material.Vcm = getDouble(textUsualVcm); 

params.material.reflectivity = getDouble(textUsualReflectivity); 

params.laser.setP(fromMilli(getDouble(textUsualLaserPower))); 

params.laser.setTP(fromFemto(getDouble(textUsualLaserPulse))); 

params.laser.setTD(fromNano(getDouble(textUsualLaserDeadTime))); 

params.laser.Mpow2 = getDouble(textUsualMpow2); 

params.laser.λ = fromNano(getDouble(textUsualΛ)); 

params.laser.δf = getDouble(textUsual∆f); 

params.laser.ρ = getDouble(textUsualΡ); 

params.laser.rf0 = fromAngstrom(getDouble(textUsualRf0)); 

params.laser.radius = fromMicro(getDouble(textUsualLaserRadius)); 

params.laser.ac = getDouble(textUsualAc); 

params.laser.β = getDouble(textUsualB); 

} 

MDParameters.vafFunction = getInt(textVAFFunction); 

MDParameters.removalCriterion = comboCriterion.getText(); 

MDParameters.GRAPH_STEP = getInt(textGraphStep); 

MDParameters.SNAPSHOT_STEP = getInt(textSnapshotStep); 

MDParameters.NEIGHBOR_STEP = getInt(textNeighborsStep); 

MDParameters.THREADS = getInt(textMultithread); 


Όπως φαίνεται, η πρώτη καλεί τη δεύτερη έτσι ώστε ο χρήστης να έχει πάντα σαφή εικόνα 

για τις παραµέτρους που έχει το πείραµα, αφού οι εισαγόµενες τιµές µπορεί να υποστούν 

µικρές αλλαγές στρογγυλοποίησης όταν απόθηκεύονται στο πείραµα. 

257


protected void refreshGuiFromParameters() 

{ 

MDParameters params = mdc.getSimulationParameters(); 

258 

setInt(textVAFFunction, MDParameters.vafFunction); 

setInt(textGraphStep, MDParameters.GRAPH_STEP); 

setInt(textSnapshotStep, MDParameters.SNAPSHOT_STEP); 

setInt(textNeighborsStep, MDParameters.NEIGHBOR_STEP); 

setInt(textMultithread,MDParameters.THREADS); 

setInt(textXParticles, mdc.getXNumberOfParticles()); 

setInt(textYParticles, mdc.getYNumberOfParticles()); 

setInt(textZParticles, mdc.getZNumberOfParticles()); 

setInt(textTotalParticles, params.material.numberOfParticles); 

//USING SI VALUES 

setDouble(textTimeStep, MDParameters.timeStep); 

setDouble(textInteractionTime, MDParameters.interactionTime); 

setDouble(textParticleRadius, params.material.particleRadius); 

setDouble(textDistanceCriterion, params.material.removalCriterion); 

setDouble(textCohesiveCriterion, params.material.Ec); 

setDouble(textBCCAcme, params.material.a); 

setDouble(textMPF_D, params.material.MPF_D); 

setDouble(textMPF_a, params.material.MPF_a); 

setDouble(textMPF_r0, params.material.MPF_r0); 

setDouble(textMPF_rc, params.material.MPF_rc); 

setDouble(textAtomicMass, params.material.atomicMass); 

setDouble(textMassOfAtom, params.material.m); 

setDouble(textDesiredTemperature, params.material.desiredTemperature); 

setDouble(textVcm, params.material.Vcm); 

setDouble(textReflectivity, params.material.reflectivity); 

setDouble(textLaserPower, params.laser.getP()); 

setDouble(textLaserPulse, params.laser.getTP()); 

setDouble(textLaserDeadTime, params.laser.getTD()); 

setDouble(textMpow2, params.laser.Mpow2); 

setDouble(textΛ, params.laser.λ); 

setDouble(text∆f, params.laser.δf); 

setDouble(textΡ, params.laser.ρ); 

setDouble(textRf0, params.laser.rf0); 

setDouble(textLaserRadius, params.laser.radius); 

setDouble(textAc, params.laser.ac); 

setDouble(textB, params.laser.β); 

//USING USUAL VALUES 

setDouble(textUsualTimeStep, toFemto(MDParameters.timeStep)); 

setDouble(textUsualInteractionTime, toFemto(MDParameters.interactionTime)); 

setDouble(textUsualParticleRadius, toAngstrom(params.material.particleRadius));

} 


setDouble(textUsualDistanceCriterion, toAngstrom(params.material.removalCriterion)); 

setDouble(textUsualCohesiveCriterion, toEv(params.material.Ec)); 

setDouble(textUsualBCCAcme, toAngstrom(params.material.a)); 

setDouble(textUsualMPF_D, toEv(params.material.MPF_D)); 

setDouble(textUsualMPF_a, toAngstrom(params.material.MPF_a)); 

setDouble(textUsualMPF_r0, toAngstrom(params.material.MPF_r0)); 

setDouble(textUsualMPF_rc, toAngstrom(params.material.MPF_rc)); 

setDouble(textUsualAtomicMass, toMilli(params.material.atomicMass)); 

setDouble(textUsualMassOfAtom, params.material.m); 

setDouble(textUsualDesiredTemperature, params.material.desiredTemperature); 

setDouble(textUsualVcm, params.material.Vcm); 

setDouble(textUsualReflectivity, params.material.reflectivity); 

setDouble(textUsualLaserPower, toMilli(params.laser.getP())); 

setDouble(textUsualLaserPulse, toFemto(params.laser.getTP())); 

setDouble(textUsualLaserDeadTime, toNano(params.laser.getTD())); 

setDouble(textUsualMpow2, params.laser.Mpow2); 

setDouble(textUsualΛ, toNano(params.laser.λ)); 

setDouble(textUsual∆f, params.laser.δf); 

setDouble(textUsualΡ, params.laser.ρ); 

setDouble(textUsualRf0, toAngstrom(params.laser.rf0)); 

setDouble(textUsualLaserRadius, toMicro(params.laser.radius)); 

setDouble(textUsualAc, params.laser.ac); 

setDouble(textUsualB, params.laser.β); 

hideReminder(); 

Για να υπενθυµίζεται στο χρήστη να πατήσει το κουµπί “Apply & Reset” όταν κάνει κάποια 

αλλαγή στις παραµέτρους, χρησιµοποιείται η συνάρτηση: 

private void hookReminder(Control c) 

{ 

c.addListener(SWT.Verify, new Listener() 

{ 

public void handleEvent(Event event) 

{ 

if (event.type == SWT.Verify && event.widget instanceof Text) 

{ 

showReminder(); 

} 

} 

}); 

} 

Η συνάρτηση αυτή καλεί µε τη σειρά της, όταν υπάρχει αλλαγής σε ένα πεδίο, την επόµενη: 

259


private void showReminder() 

{ 

statusLabel.setText("You have to press Apply && Reset to confirm your changes!"); 

} 

Η κλάση MDShell υλοποιεί τη διεπαφή MDListener: 

public void phaseChange(final Phase phase) 

{ 

Display.getDefault().asyncExec(new Runnable() 

{ 


{ 

String s = phase.toString(); 


if (item.getText().equals(phase.name())) 

item.setSelection(true); 

else 

item.setSelection(false); 

switch (phase) 

{ 


appendInformation("Simulation Finished"); 


break; 

public void phaseChange(final Phase phase) 

{ 

Display.getDefault().asyncExec(new Runnable() 

{ 


{ 

String s = phase.toString(); 


if (item.getText().equals(phase.name())) 

item.setSelection(true); 

else 

item.setSelection(false); 

switch (phase) 


appendInformation("Simulation Finished"); 


break; 

case equilibration: 

numberOfEquilibrationSteps++; 

if (numberOfEquilibrationSteps % 10 == 0) 

appendInformation("" + numberOfEquilibrationSteps + " equlibration 

steps."); 

case loopEquilibration: 

setDouble(textVaf, mdc.getSimulationResults().getVaf()); 

260


setDouble(textTemp, mdc.getSimulationResults().getTemperature()); 

setDouble(textAverageForce, mdc.getSimulationResults().getAverageForce()); 

setDouble(textAverageAcceleration, 

mdc.getSimulationResults().getAverageAcceleration()); 

setDouble(textAverageVelocities, 

mdc.getSimulationResults().getAverageVelocity()); 

setDouble(textMeanSquaredDisplacement, 

mdc.getSimulationResults().getMeanSquaredDisplacement()); 

textMomentum.setText("X: " + mdc.getSimulationResults().getMomentumX() 

+ " Y: " + mdc.getSimulationResults().getMomentumY() + " Z: " + 

mdc.getSimulationResults().getMomentumZ()); 

setInt(textSteps, mdc.getSimulationResults().getStepCount()); 

setDouble(textTime, mdc.getSimulationResults().getTime()); 

setString(textRunid, mdc.getRunID()); 

break; 

case evaporation: 

setInt(textRemovedParticles, 

mdc.getSimulationResults().getRemovedParticles()); 

break; 

case initialState: 

appendInformation("Laser impulse starting on "+mdc.getCnt_timeSteps()+ " 

time step"); 

break; 

} 

} 

}); 

} 

Με αυτόν τον τρόπο, ανανεώνει τις πληροφορίες σε τακτά χρονικά διαστήµατα και δείχνει τη 

φάση στην οποία βρίσκεται το υπολογιστικό πείραµα. Τα γραφήµατα δηµιουργούνται από τη 

συνάρτηση: 

private void createChartComposite() 

{ 

graphComposite = new Composite(tabFolder, SWT.EMBEDDED); 

XYSeriesCollection xyDatasetKinetic = new XYSeriesCollection(); 

xyDatasetKinetic.addSeries(statisticsCollector.getKineticEnergySeries()); 

XYSeriesCollection xyDatasetPotential = new XYSeriesCollection(); 

xyDatasetPotential.addSeries(statisticsCollector.getPotentialEnergySeries()); 

XYSeriesCollection xyDatasetTotal = new XYSeriesCollection(); 

xyDatasetTotal.addSeries(statisticsCollector.getTotalEnergySeries()); 

XYSeriesCollection xyDatasetVaf = new XYSeriesCollection(); 

xyDatasetVaf.addSeries(statisticsCollector.getVafSeries()); 

261


262 

XYSeriesCollection xyDatasetTemp = new XYSeriesCollection(); 

xyDatasetTemp.addSeries(statisticsCollector.getTemperatureSeries()); 

XYSeriesCollection xyDatasetLaser = new XYSeriesCollection(); 

xyDatasetLaser.addSeries(statisticsCollector.getLaserSeries()); 

JFreeChart chartKineticEnergy = ChartFactory.createXYLineChart("Kinetic Energy", // 

Title 

"Time Steps", // X-Axis label 

"Energy (Joules)", // Y-Axis label 

xyDatasetKinetic, // Dataset 

PlotOrientation.VERTICAL, true, // Show legend 

false, false); 

NumberFormat f = NumberFormat.getInstance(); 

if (f instanceof DecimalFormat) 

{ 

((DecimalFormat) f).setDecimalSeparatorAlwaysShown(true); 

((DecimalFormat) f).applyPattern("#0.#####E0"); 

} 

TickUnits scientificTU = new TickUnits(); 

for (double l = 1e-25; l



xyDatasetTotal, // Dataset 



NumberAxis totAxis = (NumberAxis) ((XYPlot) 

chartTotalEnergy.getPlot()).getRangeAxis(); 

totAxis.setStandardTickUnits(scientificTU); 

totAxis.setAutoRangeIncludesZero(true); 

totAxis.setAutoRangeStickyZero(false); 

totAxis.setAutoRangeMinimumSize(1e-25); 

JFreeChart chartVaf = ChartFactory.createXYLineChart("Vaf", // Title 


"Vaf", // Y-Axis label 

xyDatasetVaf, // Dataset 



JFreeChart chartTemp = ChartFactory.createXYLineChart("Temperature", // Title 


"Temperature", // Y-Axis label 

xyDatasetTemp, // Dataset 



NumberAxis tempAxis = (NumberAxis) ((XYPlot) 

chartTemp.getPlot()).getRangeAxis(); 

tempAxis.setAutoRangeStickyZero(false); 

tempAxis.setAutoRangeIncludesZero(true); 

tempAxis.setTickUnit(new NumberTickUnit(10), true, false); 


JFreeChart chartLaserEnergy = ChartFactory.createXYLineChart("Laser Energy Added", 

// Title 



xyDatasetLaser, // Dataset 



NumberAxis laserAxis = (NumberAxis) ((XYPlot) 

chartLaserEnergy.getPlot()).getRangeAxis(); 

laserAxis.setStandardTickUnits(scientificTU); 

laserAxis.setAutoRangeIncludesZero(false); 

laserAxis.setAutoRangeStickyZero(false); 

laserAxis.setAutoRangeMinimumSize(1e-25); 

Frame chartFrame = SWT_AWT.new_Frame(graphComposite); 

263


} 

264 

Panel chartPanel = new Panel(); 

ChartPanel jfreeChartPanel = new ChartPanel(chartKineticEnergy); 

chartPanel.add(jfreeChartPanel); 

ChartPanel jfreeChartPanel1 = new ChartPanel(chartPotentialEnergy); 

chartPanel.add(jfreeChartPanel1); 

ChartPanel jfreeChartPanel2 = new ChartPanel(chartTotalEnergy); 


ChartPanel jfreeChartPanel3 = new ChartPanel(chartVaf); 


ChartPanel jfreeChartPanel4 = new ChartPanel(chartTemp); 


ChartPanel jfreeChartPanel5 = new ChartPanel(chartLaserEnergy); 


ScrollPane scrollPane = new ScrollPane(); 

scrollPane.add(chartPanel); 

chartFrame.add(scrollPane); 

Η ανανέωση των γραφηµάτων γίνεται αυτόµατα, από τη βιβλιοθήκη JFreeChart. 

Συγκεκριµένα, όταν ο StatisticsCollector προσθέσει µια τιµή στα γραφήµατα, αυτόµατα 

ανανεώνεται και η παρουσίαση στο χρήστη. Τέλος, όταν ο χρήστης επιλέξει τη λειτουργία 

“Plot” καλείται η συνάρτηση: 

public void drawPlot() 

{ 

final Shell shell = new Shell(Display.getDefault()); 

shell.setSize(800, 800); 

shell.setText("PLOT"); 

shell.setLayout(new FillLayout()); 

DrawComposite comp = new DrawComposite(shell, SWT.NONE); 

comp.setParameters(mdc.getSimulationParameters()); 

comp.setResults(mdc.getSimulationResults()); 

} 

comp.setParticles(mdc.getParticlesProxy()); 

shell.open(); 

Η συνάρτηση αυτή χρησιµοποεί την κλάση DrawComposite, που παρουσιάζεται παρακάτω.

6.4.14 Κλάση DrawComposite 


Η κλάση αυτή εµφανίζει µία δισδιάστατη απεικόνιση των θέσεων των σωµατιδίων στο χώρο. 

Χρησιµοποιεί τη βιβλιοθήκη Draw2D του Eclipse Foundation. Βασικό ρόλο παίζει η υποκλάσση 

ParticleFigure, που αναπαριστά ένα σωµατίδιο: 

public class ParticleFigure extends Ellipse 

{ 

Particle particle; 

public static final int SIZE = 14; 

public ParticleFigure(Particle p) 

{ 

this.particle = p; 

double[] coords = particle.getCoordinates(); 

setBounds(new Rectangle(getScreenX(coords[0]) - SIZE / 2, getScreenY(coords[1]) - 

SIZE / 2, SIZE, SIZE)); 

RGB rgb = null; 

try 

{ 

float sat = 1 - getSaturationZ(coords[2]); 

if (sat > 1.0 || sat < 0.0) 

{ 

rgb = new RGB(54.0f, 2-sat, 1.0f); 

} 

else 

{ 

rgb = new RGB(14.0f, sat, 1.0f); 

} 

} 

catch (IllegalArgumentException iex) 

{ 

rgb = new RGB(0, 255, 0); 

} 

setBackgroundColor(new Color(null, rgb)); 

} 

} 

Το σωµατίδιο είναι ένας κύκλος που τοποθετείται στο χώρο σύµφωνα µε τις συντεταγµένες 

του, και παίρνει χρώµα ανάλογα µε την συντεταγµένη του στον άξονα Ζ: Όσο πιο έντονο 

κόκκινο χρώµα έχει, τόσο πιο κοντά στην αρχή των άξονων βρίσκεται. Αν έχει κίτρινο 

χρώµα, σηµαίνει ότι έχει αρνητική συντεταγµένη στον άξονα Ζ. 

265


Μαζί µε τα σωµατίδια εµφανίζονται επίσης και κάποιες κλίµακες, το κέντρο του δοκιµίου, η 

διαµετρος της ακτίνα του Laser κλπ. Για να εµφανιστούν όλα αυτά στο σωστό µέγεθος, 

χρησιµοποιούνται πληροφορίες από τις παραµέτρους του πειράµατος: 

public void setParameters(MDParameters parameters) 

{ 

this.parameters = parameters; 

setX_size(parameters.material.xBoundarySize); 

setY_size(parameters.material.yBoundarySize); 

setZ_size(parameters.material.zBoundarySize); 

x_boundary_start.setStart(new Point(getScreenX(parameters.material.xBoundaryStart), 

0)); 

x_boundary_start.setEnd(new Point(getScreenX(parameters.material.xBoundaryStart), 

this.getSize().y)); 

x_boundary_end.setStart(new Point(getScreenX(parameters.material.xBoundaryEnd), 

0)); 

x_boundary_end.setEnd(new Point(getScreenX(parameters.material.xBoundaryEnd), 

this.getSize().y)); 

y_boundary_start.setStart(new Point(0, 

getScreenY(parameters.material.yBoundaryStart))); 

y_boundary_start.setEnd(new Point(this.getSize().x, 

getScreenY(parameters.material.yBoundaryStart))); 

y_boundary_end.setStart(new Point(0, 

getScreenY(parameters.material.yBoundaryEnd))); 

y_boundary_end.setEnd(new Point(this.getSize().x, 

getScreenY(parameters.material.yBoundaryEnd))); 

266 

x_center.setStart(new Point(this.getSize().x / 2, 0)); 

x_center.setEnd(new Point(this.getSize().x / 2, this.getSize().y)); 

x_center.setForegroundColor(ColorConstants.blue); 

y_center.setStart(new Point(0, this.getSize().y / 2)); 

y_center.setEnd(new Point(this.getSize().x, this.getSize().y / 2)); 

y_center.setForegroundColor(ColorConstants.blue); 

scalex.setStart(new Point(10, 10)); 

scalex.setEnd(new Point(10, 10 + getScreenX(1e-10, false))); 

scalex.setForegroundColor(ColorConstants.blue); 

scaley.setStart(new Point(10, 10)); 

scaley.setEnd(new Point(10 + getScreenY(1e-10, false), 10)); 

scaley.setForegroundColor(ColorConstants.blue); 

scale_RC.setStart(new Point(60, 60)); 

scale_RC.setEnd(new Point(60 + getScreenX(parameters.material.MPF_rc, false), 60)); 

scale_RC.setForegroundColor(ColorConstants.blue); 

Rectangle laserRect = new Rectangle();

} 

laserRect.x = getScreenX(0) - getScreenX(parameters.laser.radius * 2, false) / 2; 

laserRect.y = getScreenY(0) - getScreenY(parameters.laser.radius * 2, false) / 2; 

laserRect.width = getScreenX(parameters.laser.radius * 2, false); 

laserRect.height = getScreenY(parameters.laser.radius * 2, false); 

laser.setBounds(laserRect); 

laser.setFill(false); 

laser.setForegroundColor(ColorConstants.red); 

Σχήµα 6.4: “Άποψη” του υπολογιστικού πειράµατος 


Πάνω αριστερά εµφανίζεται η κλίµακα του Amstrong, ενώ δεξιά κάτω της η απόσταση 

αλληλεπίδρασης των σωµατιδίων. Με µπλε γραµµές ορίζεται το κέντρο του πειράµατος, ενώ 

µε µαύρες τα όρια των συνοριακών συνθηκών. Ο κόκκινος κύκλος είναι η διάµετρος της 

δέσµης του Laser. Τα κίτρινα σωµατίδια έχουν αρνητική συντεταγµένη στον Ζ άξονα, ενώ 

όσο πιο αχνό είναι ένα σωµατίδιο, τόσο µεγαλύτερο το βάθος του στο υπολογιστικό δοκίµιο. 

267


6.5 ∆ιεπαφή χρήστη 

Η αλληλεπίδραση ανθρώπου και ηλεκτρονικών υπολογιστών ασχολείται µε την κατανόηση 

του πως οι άνθρωποι χρησιµοποιούν τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές έτσι ώστε να 

σχεδιαστούν συστήµατα που να καλύπτουν καλύτερα τις ανάγκες των χρηστών. Το σύστηµα 

επικοινωνίας είναι το µέσο µε το οποίο οι χρήστες έρχονται σε επαφή µε τους ηλεκτρονικούς 

υπολογιστές. Ο χρήστης έρχεται σε επαφή και γνωρίζει ένα πρόγραµµα/εφαρµογή µέσω του 

συστήµατος επικοινωνίας του. Σαν σύστηµα επικοινωνίας ενός προγράµµατος λογισµικού 

θεωρούνται ότι είναι όλα τα σηµεία επαφής του χρήστη και του συγκεκριµένου λογισµικού. 

Ο χρήστης δεν γνωρίζει τίποτε ούτε για την δοµή του, ούτε για τους αλγορίθµους, ούτε για 

τις τεχνικές προγραµµατισµού, ούτε για τις δοµές, την οργάνωση και τους τρόπους 

επεξεργασίας των βάσεων δεδοµένων του. Η γνώµη, εποµένως, που σχηµατίζει για ένα 

πρόγραµµα εξαρτάται κυρίως από το σύστηµα επικοινωνίας του και λιγότερο από την 

τελειότητα της σχεδίασης και της ανάπτυξης των αλγορίθµων του. 

Η χρήση των νέων δυνατοτήτων των γραφικών συστηµάτων επικοινωνίας (Graphical User 

Interface - GUI) δίνουν την ευχέρεια στους χρήστες να έχουν και να χειρίζονται σύνθετες 

εντολές και ενέργειες µέσω αντικειµένων. Τα βασικά συστατικά ενός τέτοιου συστήµατος 

επικοινωνίας είναι: τα παράθυρα, οι εικόνες και τα εργαλεία. Τα παράθυρα είναι ανεξάρτητα 

τµήµατα οθόνης και θεωρουντάι σαν ανεξάρτητες οθόνες. Σε κάθε παράθυρο εµφανίζεται 

ένα τµήµα µιας νοητής επιφάνειας ενός κειµένου ή µιας εφαρµογής. Μέσω του παραθυρικού 

περιβάλλοντος ο χρήστης µπορεί να εργάζεται ταυτόχρονα µε διάφορες εφαρµογές και να 

βλέπει τα επιµέρους απότελέσµατα. Μπορεί επίσης να µεταφέρει δεδοµένα, εικόνες, 

σχήµατα, απότελέσµατα µεταξύ διαφόρων εφαρµογών που εκτελούνται σε διάφορα 

παράθυρα. Σήµερα ο χρήστης µπορεί να βλέπει στην οθόνη του το κείµενο, το σχήµα, µια 

αναφορά, ένα γραφικό απότέλεσµα ακριβώς όπως θα εκτυπωθεί. Ένα εικονίδιο είναι µια 

εικόνα που αναπαριστά µια εφαρµογή, ένα αρχείο, µια ενέργεια-εντολή, 

Είναι σκόπιµο η χρήση του λογισµικού να δίνει την αίσθηση ικανοποίησης και πλήρους 

ελέγχου στους χρήστες. Εν κατακλείδι , ένα GUI πρέπει να είναι: 

268 

• Εύκολο στην χρήση και λειτουργικό 

• Να µην είναι φορτωµένο, αλλά ούτε και ελλιπές. 

• Να µην χρειάζεται πολλά resources για να λειτουργήσει.


• Να µην χρησιµοποιεί ακραία µηνύµατα του τύπου «Κρίσιµο λάθος» κλπ, τα 

οποία προβληµατίζουν τον χρήστη. 

• Να προσφέρει φιλικά και ξεκούραστα χρώµατα στον χρήστη 

• Να έχει όµορφα εικονίδια διεπαφής 

• Να ακολουθεί τα standards της Microsoft για τον τρόπο γραφής των µηνυµάτων 

που εµφανίζονται στο χρήστη 

6.5.1 Περιβάλλον προγράµµατος Μοριακής ∆υναµικής 

Η πρώτη επαφή του χρήστη µε το πρόγραµµα Μοριακής ∆υναµικής γίνεται µέσω του 

Standard περιβάλλοντος (Σχήµα 6.5) η οποία είναι και η πρώτη οθόνη µε την οποία έρχεται 

σε επαφή ο χρήστης. Γενικά σε οποιαδήποτε στιγµή της αλληλεπίδρασής του µε το 

πρόγραµµα Μ∆, ο χρήστης βρίσκεται σε µία από τις παρακάτω πέντε καταστάσεις. 

Σχήµα 6.5: Αρχική oθόνη προγράµµατος MD 

• Στην αρχική κατάσταση, οθόνη πληροφορίας Standard περιβάλλοντος 

(Information) 

• Στην κατάσταση εισαγωγής παραµέτρων υλικού και δέσµης Laser 

(Material/Laser Parameters (SI) και Material/Laser Parameters (Usual) 

• Στην κατάσταση εισαγωγής παραµέτρων προσοµοίωσης (Simulation Parameters) 

• Στην κατάσταση παρακολούθησης παραγόµενων γραφηµάτων (Graphs) 

269


270 

• Στην κατάσταση εισαγωγής σωµατίδιων προς προσοµοίωση (Particles) 

6.5.2 Πλήκτρα διεπαφής χρήστη 

Σε όλες τις παραπάνω καταστάσεις περιλαµβάνονται κοινά πλήκτρα διάδρασης και 

λειτουργούν σε όλες τις περιπτώσεις -ακόµα και όταν υπάρχουν ανοικτοί και ενεργοί 

διάλογοι, των οποίων η λειτουργία περιγράφεται παρακάτω. 

Πλήκτρο διαδρασης LOAD MODEL 

Το πλήκτρο διάδρασης LOAD MODEL δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να 

εισαγάγει ένα µοντέλο που ήδη έχει εξισορροπηθεί. Για την εισαγωγή του µοντέλου 

υποστηρίζονται είτε αρχεία *.csv που εξάγει το ίδιο πρόγραµµα, είτε αρχεία *.txt. Aν 

χρησιµοποιηθεί ένα έτοιµο µοντέλο, το πρόγραµµα δεν περνάει από τη φάση του 

equilibration, και ξεκινάει απ’ ευθείας η εφαρµογή του Laser. 

Όταν ο χρήστης κάνει χρήση του πλήκτρου διαδρασης LOAD MODEL το ακόλουθο (Σχήµα 

6.6) παράθυρο ανοίγει και επιτρέπει στον χρήστη να αναζητήσει το αρχείο που θέλει να 

εισαγάγει στο πρόγραµµα. 

Σχήµα 6.6: Παράθυρο LOAD MODEL


Στην συνέχεια παραθέτονται οι µορφές των αρχείων που µπορούν να εισαχθούν στο 

πρόγραµµα. 

Σχήµα 6.7: ΤΧΤ µορφή κρυστάλλου 

Σχήµα 6.8: CSV µορφή κρυστάλλου 

271


Πλήκτρο διάδρασης SAVE MODEL 

272 

Το πλήκτρο διάδρασης SAVE MODEL δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να 

σώσει ένα µοντέλο που ήδη έχει εξισορροπηθεί ή έχει αρχίσει να δέχεται 

ακτινοβολία από το Laser. Το πρόγραµµα σώζει το µοντέλο σε αρχεία *.csv. 

Όταν ο χρήστης κάνει χρήση του πλήκτρου διαδρασης SAVE MODEL το ακόλουθο (Σχήµα 

6.9) παράθυρο ανοίγει και επιτρέπει στον χρήστη να σώσει το αρχείο στην τοποθεσία που 

θέλει. 

Πλήκτρο διαδρασης PLOT 

Σχήµα 6.9: Παράθυρο SAVE MODEL 

Το πλήκτρο διάδρασης PLOT δίνει την δυνατότητα στον χρήστη ανά πάσα 

στιγµή να λάβει ένα γράφηµα µε την κάτοψη του πειράµατος. Παρουσιάζεται η 

διάταξη των σωµατίδιων στο επίπεδο ΧΥ την συγκεκριµένη χρονική στιγµή 

που ο χρήστης έκανε χρήση της διάδρασης PLOT. Σε ότι αφορά τις θέσεις των 

σωµατίδιων στον Ζ άξονα αυτή δίνεται ποιοτικά από το χρώµα της σφαίρας 

που συµβολίζει το σωµατίδιο. Τα σωµατίδια που βρίσκονται κοντά στην 

επιφάνεια του υλικού έχουν έντονο κόκκινο χρώµα. Όσο πιο αχνό τείνοντας 

προς το λευκό, είναι το χρώµα τους συνεπάγεται και το µεγαλύτερο βάθος στο 

οποίο βρίσκονται. Το κίτρινο χρώµα υποδηλώνει ότι τα σωµατίδια αυτά έχουν 

εκτοξευθεί πάνω από την επιφάνεια του υλικού.

Πλήκτρο διαδρασης START 


Η χρησιµότητα του πλήκτρου διάδρασης START είναι να ξεκινάει την 

προσοµοίωση κατόπιν εντολής του χρήστη. 

Πλήκτρο διαδρασης PAUSE 

Η χρησιµότητα του πλήκτρου διάδρασης PAUSE είναι να παύει την 

προσοµοίωση στο τρέχων χρονοβήµα µε την ευχέρεια να συνεχίσει την 

προσοµοίωση πατώντας το START. 

Πλήκτρο διαδρασης NEXT STEP 

Το πλήκτρο διάδρασης NEXT STEP δίνει την δυνατότητα στον χρήστη ανά 

πάσα στιγµή να µεταβεί στο επόµενο στάδιο της προσοµοίωσης χωρίς να έχει 

τελειώσει το τρέχων. Τα στάδια προσοµοίωσης στα οποία µπορεί να 

µεταφερθεί ο χρήστης είναι: 

Initialization, Equilibration, Velocity Rescaling, Initial State, Laser Impulse, 

Laser and Movement, Evaporation, Movement, Loop Equilibration 

Πλήκτρο διαδρασης STOP 

Η χρησιµότητα του πλήκτρου διαδρασης STOP είναι να σταµατάει οριστικά την 

προσοµοίωση κατόπιν εντολής του χρήστη, άσχετα αν ο χρόνος της προσοµοίωσης 

έχει παρέλθει, και να σώζει τα απότελέσµατα σε αρχείο τύπου .*csv. 

Πλήκτρα διαδρασης USE SI/USE USUAL 

Τα πλήκτρα διαδρασης USE SI/USE USUAL καθορίζουν σε ποιο σύστηµα 

µονάδων θα εισαγάγει ο χρήστης τις παραµέτρους υλικού και Laser. Κάθε 

στιγµή, µόνο µια καρτέλα µπορεί να δέχεται επεξεργασία από το χρήστη, και 

αυτό καθορίζεται από το ζεύγος πλήκτρων διάδρασης USE SI/USE USUAL 

στη γραµµή εργαλείων. Έτσι, ο χρήστης δεν µπορεί να εισάγει δεδοµένα 

στην ανενεργή καρτέλα, απόκλείοντας το ενδεχόµενο να γίνει λάθος κατά 

την εισαγωγή δεδοµένων. 

273


Πλήκτρο διαδρασης DEBUG 

274 

Το πλήκτρο διάδρασης DEBUG ενεργοποιεί τα σχόλια εκσφαλµάτωσης και 

πρέπει να χρησιµοποιείται µόνο όταν είναι απαραίτητο να διερευνηθεί η 

λειτουργία του κώδικα, διότι επιφέρει αρκετά µεγάλη καθυστέρηση στη 

λειτουργία. 

Πλήκτρο διαδρασης APPLY & RESET 

Για να υιοθετηθούν οι τυχόν αλλαγές στις παραµέτρους, πρέπει να 

χρησιµοποιηθεί το πλήκτρο διαδρασης APPLY & RESET. Αυτό γίνεται για 

την απλοποίηση της υλοποίησης του κώδικα και για να είναι σαφές από ποια 

χρονική στιγµή ορίζονται οι νέες παράµετροι. 

Πλήκτρο διαδρασης SWITCH to PHASE 

Το πλήκτρο διαδρασης SWITCH to PHASE δίνει την δυνατότητα στον 

χρήστη ανά πάσα στιγµή να µεταβεί σε οποιοδήποτε στάδιο της 

προσοµοίωσης επιθυµεί. Τα στάδια προσοµοίωσης στα οποία µπορεί να 

µεταβεί ο χρήστης είναι: 

1. Initialization 

2. Equilibration 

3. Velocity Rescaling 

6.5.3 Καρτέλες διεπαφής χρήστη 

4. Initial State 

5. Laser Impulse 

6. Laser and Movement 

7. Evaporation 

8. Movement 

9. Loop Equilibration 

Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται και αναλύονται οι καρτέλες µε τις οποίες 

αλληλεπιδρά ο χρήστης στο πρόγραµµα της Μοριακής ∆υναµικής. Ο ολικός αριθµός 

καρτελών είναι έξι και όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα ονοµαστικά είναι οι παρακάτω: 

• Καρτέλες εισαγωγής παραµέτρων, υλικού και δέσµης Laser (Material/Laser 

Parameters (SI) και Material/Laser Parameters (Usual) 

• Καρτέλα κατάστασης προγράµµατος, οθόνη πληροφορίας Standard 

περιβάλλοντος (Information) 

• Καρτέλα εισαγωγής παραµέτρων προσοµοίωσης (Simulation Parameters) 

• Καρτέλα παρακολούθησης παραγόµενων γραφηµάτων (Graphs)

• Καρτέλα εισαγωγής σωµατίδιων προς προσοµοίωση (Particles) 

Καρτέλα Material/Laser Parameters 


Υπάρχουν δυο καρτέλες εισαγωγής παραµέτρων, µια τις παραµέτρους του υλικού και µια για 

αυτές της δέσµης Laser. Η πρώτη από αυτές εµφανίζει της παραµέτρους σε µονάδες 

µέτρησης του συστήµατος SI, οι οποίες χρησιµοποιούνται εσωτερικά για τους υπολογισµούς, 

ενώ η δεύτερη σε συνήθεις µονάδες για την τάξη µεγέθους των υπό διερεύνηση πειραµάτων, 

δηλαδή σε συνήθης µονάδες των µικρο και νανο κατεργασιών. Ουσιαστικά οι συνήθεις 

µονάδες µετατρέπονται σε µονάδες συστήµατος SI προ της έναρξης του πειράµατος, κατά την 

χρήση του πλήκτρου APPLY & RESΕT. Κάθε στιγµή, µόνο µια καρτέλα µπορεί να δέχεται 

επεξεργασία από το χρήστη, και αυτό καθορίζεται από το ζεύγος πλήκτρων USE SI – USE 

USUAL στη γραµµή εργαλείων. Συνεπώς, ο χρήστης δεν µπορεί να εισάγει δεδοµένα στην 

ανενεργή καρτέλα, απόκλείοντας το ενδεχόµενο να γίνει λάθος κατά την εισαγωγή αυτών. 

Εδώ πρέπει να σηµειωθεί ότι ο κώδικας υποστηρίζει αλλαγή των παραµέτρων αυτών κατά τη 

διάρκεια που το πείραµα είναι ενεργό. Η επεξήγηση των παραµέτρων φαίνεται στο Σχήµα 

6.10. 

Σχήµα 6.10: Καρτέλα παραµέτρων συστήµατος, µονάδων SI/USUAL 

275


Καρτέλα Information 

Η καρτέλα Information απότελεί και την κύρια/αρχική καρτέλα του προγράµµατος της 

Μοριακής ∆υναµικής. Είναι η πρώτη καρτέλα µε την οποία έρχεται σε επαφή ο χρήστης 

αµέσως µόλις το πρόγραµµα τεθεί σε λειτουργία. Στην πράξη η καρτέλα αυτή κυρίως 

απότελεί µια οθόνη (monitor) παρακολούθησης του πειράµατος. Παρουσιάζει στο χρήστη σε 

πραγµατικό χρόνο (real time) την κατάσταση που επικρατεί στο υπολογιστικό του πείραµα. 

Η real time αλληλεπίδραση που έχει οφείλεται στο γεγονός ότι η πληροφορία της µπορεί να 

ανανεωθεί σε κάθε χρονοβηµα. Στην περίπτωση που υπάρχει ανάγκη για εξ’ολοκλήρου 

απασχόληση του υπολογιστικού επεξεργαστή για την προσοµοίωση η παρακολούθηση του 

πειράµατος µπορεί να γίνεται ανά καθορισµένο αριθµό χρονοβηµάτων ή και καθόλου. Ο 

καθορισµός του χρόνου ¨δειγµατοληψίας¨ καθορίζεται στην καρτέλα Simulation Parameters. 

Πιο αναλυτικά οι πληροφορίες που παρέχει η καρτέλα Information στον χρήστη 

παρουσιάζονται στον παρακάτω Σχήµα. 

Καρτέλα Simulation Parameters 

276 

Σχήµα 6.11: Καρτέλα Information 

Στην καρτέλα Simulation Parameters, ο χρήστης έχει την δυνατότητα να µεταβάλει τις 

παραµέτρους της προσοµοίωσης. Οι παράµετροι της προσοµοίωσης µπορούν να


διαχωριστούν σε αυτές που επηρεάζουν ή όχι την προσοµοίωση. Στην πρώτη κατηγορία 

ανήκουν η έκδοση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης των ταχυτήτων, το κριτήριο αφαίρεσης 

των σωµατίδιων και η παράµετρος που ορίζει ανά πόσα βήµατα θα γίνεται ο υπολογισµός 

των γειτονικών σωµατιδίων, παρόλο που έχει µικρή, αλλά µετρήσιµη επίπτωση στα 

απότελέσµατα του πειράµατος. 

Σχήµα 6.12: Καρτέλα Simulation Parameters 

Παράµετροι που δεν επηρεάζουν τα απότελέσµατα της προσοµοίωσης είναι ο ρυθµός 

ανανέωσης των γραφηµάτων, ο βαθµός παράλληλης επεξεργασίας και ο ρυθµός λήψης 

εικόνας του µοντέλου. Αναλυτικότερα η καρτέλα των Simulation Parameters παρουσιάζεται 

στο παραπάνω σχήµα. 

Καρτέλα Particles 

Η καρτέλα Particles απότελεί τον κύριο τρόπο εισαγωγής του κρυστάλλου προς 

προσοµοίωση στον πρόγραµµα. Ο χρήστης ορίζει τον αριθµό σωµατίδιων που επιθυµεί να 

έχει ο κρύσταλλος σε όλους τους άξονες (Χ, Υ, Ζ). Κατόπιν ο κώδικας υπολογίζει των ολικό 

αριθµό σωµατίδιων στον όγκο του κρυστάλλου, ανάλογα µε ποια µορφή έχει οριστεί αρχικά 

στον κωδικά (BCC η FCC). Η παράµετρος επιλογής µορφής κρυστάλλου όπως και ο αριθµός 

σωµατίδιων σε αυτόν δεν µπορεί να αλλάξει κατά την διάρκεια του πειράµατος. 

Αναλυτικότερα η καρτέλα των Particles παρουσιάζεται στο ακόλουθο Σχήµα. 

Σχήµα 6.13: Καρτέλα Particles 

277


Καρτέλα Graphs 

Στην καρτέλα Graphs ο χρήστης έχει την δυνατότητα να µελετήσει διαγράµµατα που 

παράγονται κατα την διάρκεια της προσοµοίωσης. Η ενηµέρωση αυτών των διαγραµµάτων 

γίνετε σε real time ανά χρονόβηµα ή διαφορετικά απόσκοπώντας στην βέλτιστη χρήση της 

υπολογιστικής ισχύος ανά ορισµένα από τον χρήστη διαστήµατα, όπως αναφέρθηκε στην 

περιγραφή της καρτέλας Simulation Parameters. Στον Χ άξονα η κοινή µεταβλητή για όλα 

τα διαγράµµατα είναι ο αριθµός χρονοβηµάτων. Μετά το τέλος της προσοµοίωσης ο χρήστης 

έχει δυνατότητα να µεγεθύνει την περιοχή που τον ενδιαφέρει και να σώσει οποίο διάγραµµα 

επιθυµεί. 

278 

Σχήµα 6.14: Καρτέλα Graphs

6.6 Χρόνοι λύσης υπολογιστικών πειραµάτων 


Όπως προαναφέρθηκε ο µεγαλύτερος περιορισµός της Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης είναι 

το µέγεθος των συστηµάτων που µπορούν να προσηµειωθούν. Η ανάπτυξη της 

υπολογιστικής ισχύος καθώς και η βέλτιστη χρήση των υπολογιστικών επεξεργαστών 

µπορούν να επιταχύνουν σηµαντικά την λύση ενός προβλήµατος Μοριακής ∆υναµικής. 

Σχήµα 6.15: Σύγκριση χρόνων εξαγωγής απότελέσµατος προσοµοίωσης για µονο- και πολυ- 

νηµατική επεξεργασία για κοινές παραµέτρους 

Σε αυτό το σηµείο κρίνεται απαραίτητο να παρουσιασθεί µια συγκρίση του χρόνου 

προσοµοίωσης µεταξύ µονο- και πολυ- νηµατικής επεξεργασίας. Και στις δύο περιπτώσεις 

χρησιµοποιήθηκαν κοινοί ηλεκτρονικοί υπολογιστές CPU INTEL P4 (s775)/64 640 (3.2 

GHz) µε µνήµη 2 GB. 

Για τη σύγκριση του χρόνου προσοµοίωσης, έγινε χρήση των ίδιων µοντέλων προσοµοίωσης 

µε ίδιες παραµέτρους και µετρήθηκε ο χρόνος εξαγωγής του απότελέσµατος ανάλογα µε των 

ολικό αριθµό σωµατιδίων που συνέθεταν τον όγκο προσοµοίωσης. Όπως ήταν αναµενόµενο 

η διάρκεια του χρόνου προσοµοίωσης αυξάνεται µε αύξηση του αριθµού των σωµατιδίων 

που εµπεριέχονται στο µοντέλο προσοµοίωσης 

279


Η πολυνηµατική επεξεργασία επιτρέπει µειωµένους χρόνους προσοµοίωσης από 35-58% 

ανάλογα µε τον αριθµό σωµατίδιων που εµπεριέχονται στο µοντέλο προσοµοίωσης Η 

διαφορά χρόνου εξαγωγής του απότελέσµατος µειώνεται όσο αυξάνεται ο αριθµός 

σωµατιδίων προσοµοίωσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός τις ραγδαίας αύξησης του αριθµού 

των υπολογισµών που απαιτούνται κατά την αύξηση των σωµατιδίων. Αξίζει τέλος να 

σηµειωθεί ότι σε ένα σύστηµα που υποστηρίζει πολυ- νηµατική επεξεργασία µε δυο 

επεξεργαστές ο µέγιστος αριθµός σωµατιδίων που µπορούν να εισαχθούν στο µοντέλο 

προσοµοίωσης αγγίζει τις 720,000 σωµατίδια, ενώ σε έναν επεξεργαστή των παραπάνω 

χαρακτηριστικών περιορίζεται στις 400,000 σωµατίδια. 

280



[1] http://jakarta.apache.org/commons/math/ 

[2] http://www.jfree.org/jfreechart/ 

[3] http://www.eclipse.org/resources/resource.php?id=241 

[4] http://www.eclipse.org/articles/Article-GEF-Draw2d/GEF-Draw2d.html 

[5] Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., (1986), “Numerical 

Recipes”, Cambridge University Press, Cambridge. 

[6] Theodorou, D.N., Chakraborty, A.K., (2006), “Applied Molecular Theory for Chemical 

Engineering”, Class Notes, NTUA. 

[7] Allen, M.P., Tildesley, D.J., (1987), “Computer Simulations of Liquids”, Oxford 

University Press, Oxford. 

281



Πειραµατική Προσέγγιση ∆ιεργασίας 

Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η πειραµατική διερεύνηση της διεργασίας αποµάκρυνσης 

υλικού µε υπερβραχείς παλµούς Laser. Ο σκοπός της διερεύνησης αυτής είναι πολλαπλός. 

Κατ’ αρχάς, δίνεται η δυνατότητα καλύτερης γνωριµίας µε τα πραγµατικά βιοµηχανικά 

συστήµατα (Femptosecond Lasers), που εφαρµόζουν την συγκεκριµένη διεργασία και 

γενικότερα κατεργασίες στο επίπεδο του µικρο-µέτρου. Τα πλεονεκτήµατα και τα 

µειονεκτήµατά τους σε ότι αφορά την χρήση τους σε ένα βιοµηχανικό περιβάλλον, η 

φιλοσοφία κατασκευής και ο τρόπος λειτουργίας τους έγιναν βαθύτερα κατανοητός, γεγονός 

που υποβοήθησε την περαιτέρω θεωρητική ανάλυσή τους. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα 

που προέκυψαν έδωσαν την δυνατότητα της εµπειρικής εκτίµησης της επίδρασης των 

διαφορετικών παραµέτρων της διεργασίας στο τελικό προϊόν. Τέλος, µέρος των

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ∆ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ 

πειραµατικών αποτελεσµάτων χρησιµοποιήθηκε για την επιβεβαίωση των υπολογιστικών 

αποτελεσµάτων που προέκυψαν µε βάση τη Μοριακή ∆υναµική ανάλυση. 

7.2 Περιγραφή πειραµατικής διάταξης 

7.2.1 Περιγραφή του femptosecond Laser 

Το σύστηµα Laser παλµών femptosecond (FS), που χρησιµοποιήθηκε για την πειραµατική 

διερεύνηση, αποτελείται από ένα Laser στερεάς κατάστασης εγκλειδωµένου ρυθµού 

Ti:Sapphire (CPA-2101, Clark-MXR, Inc) και το Laser άντλησής του, που είναι ένα Laser 

Nd:YVO4 διπλασιασµένης συχνότητας (MILLENNIA Vs. Spectra Physics). To MILLENNIA 

είναι ένα Laser συνεχούς λειτουργίας, όπου ο κρύσταλλος Nd:YVO4 αντλείται από ένα 

διοδικό Laser ισχύος 40 W. Στη συνέχεια εκπέµπει συνεχή ακτινοβολία Laser στα 1064 nm 

η οποία µέσω κρυστάλλου LBO διπλασιάζεται σε συχνότητα δίνοντας δέσµη Laser στα 532 

nm µε τελική ισχύ ίση µε 5 W. To CPA-2101 του οποίου η οπτική κοιλότητα φαίνεται στο 

Σχήµα 7.3, περιέχει κρύσταλλο Ti:Sapphire, ο οποίος αντλείται από τη δέσµη εξόδου του 

MILLENNIA (532 nm, 5 W). Για την επίτευξη παλµικής λειτουργίας εκµεταλλεύεται την 

τεχνική regenerative mode-locking. Συγκεκριµένα, στην οπτική κοιλότητα εισάγεται ένας 

ακουστικο-οπτικός διαµορφωτής, ο οποίος δηµιουργεί περιοδικά µεταβαλλόµενες απώλειες 

όπως και στην περίπτωση του ενεργού κλειδώµατος ρυθµών. Αντίθετα όµως µε το ενεργό 

κλείδωµα ρυθµών, στο regenerative mode-locking, ένα µέρος της ακτινοβολίας που εξέρχεται 

από την κοιλότητα Laser µετατρέπεται σε ηλεκτρονικό σήµα που οδηγείται στον ακουστικοοπτικό 

διαµορφωτή. Με τον τρόπο αυτό, αποφεύγεται το πιο σηµαντικό µειονέκτηµα του 

ενεργού κλειδώµατος ρυθµών, που είναι η δυσκολία στη σύµπτωση της περιόδου µιας 

πλήρους διάδοσης του φωτός στην κοιλότητα µε την περίοδο του ηλεκτρονικού σήµατος 

στον ακουστικο-οπτικό διαµορφωτή. Όµως, η τελική χρονική διάρκεια των παλµών Laser 

στο CPA-2101 δεν καθορίζεται από τη λειτουργία του ακουστικο-οπτικού διαµορφωτή αλλά 

από τη διασπορά της οµαδικής ταχύτητας (Group Velocity Dispersion. GVD) και το µη 

γραµµικό φαινόµενο της αυτοδιαµόρφωσης φάσης (Self Phase Modulation. SPM). Η 

διασπορά της οµαδικής ταχύτητας οφείλεται στο γεγονός ότι τα περισσότερα υλικά έχουν 

δείκτη διάθλασης που εξαρτάται από το µήκος κύµατος, δηλαδή η=η(λ) και ορίζεται ως η 

διεύρυνση του παλµού ανά µονάδα µήκους και ανά µονάδα φασµατικού εύρους: 

284

GVD 

τ −τ 

λ 

L∆λcdλ ρ ρ0 

= = 

2 

dn 

2 



όπου τρ και τρ0 είναι η τελική και αρχική διάρκεια του παλµού αντίστοιχα, L το µήκος του 

υλικού από το οποίο διέρχεται ο παλµός και ∆λ το φασµατικό εύρος. Η εξάρτηση του δείκτη 

διάθλασης από το µήκος κύµατος έχει ως αποτέλεσµα τα διαφορετικά µήκη κύµατος να έχουν 

διαφορετικές ταχύτητες. Σε Laser πολύ στενών χρονικά παλµών (διάρκεια


Αποτέλεσµα της αυτοδιαµόρφωσης φάσης είναι η δηµιουργία νέων συχνοτήτων στον παλµό, 

σε βάρος των παλαιών, µε αποτέλεσµα τη διεύρυνση του φάσµατός του, όχι όµως και της 

διάρκειάς του. Συγκεκριµένα, στο έµπροσθεν τµήµα του παλµού όπου η ένταση αυξάνει, η 

δω είναι αρνητική και δηµιουργούνται µικρότερες συχνότητες (µεγάλα µήκη κύµατος). Το 

αντίθετο συµβαίνει στο όπισθεν µέρος του παλµού, όπου δηµιουργούνται µεγαλύτερες 

συχνότητες (µικρά µήκη κύµατος). Στο κέντρο του παλµού όπου dI/dt=0 δεν υπάρχει 

δηµιουργία νέων συχνοτήτων. 

Τα δύο φαινόµενα που εν συντοµία παρουσιάστηκαν (GVD και SPM) προκαλούν διεύρυνση 

του παλµού και διασπορά των µηκών κύµατος, µε τα µεγάλα µήκη να βρίσκονται στο 

έµπροσθεν τµήµα του παλµού και τα µικρά να έπονται. Η συµπίεση του παλµού απαιτεί την 

ύπαρξη αρνητικής διασποράς, δηλαδή τα µεγάλα µήκη κύµατος να διαδίδονται πιο αργά ή να 

διανύουν µεγαλύτερο οπτικό δρόµο από τα µικρά. Αυτό επιτυγχάνεται στο CPA-2101 µε την 

εισαγωγή στην οπτική κοιλότητα τεσσάρων πρισµάτων (Σχήµα 7.3). Η µετακίνηση των 

πρισµάτων Π2 και Π3 κάθετα ως προς τη δέσµη καθορίζει τη συνολική διασπορά της 

οµαδικής ταχύτητας στην κοιλότητα και κατ’ επέκταση τη διάρκεια των παλµών. Ανάµεσα 

στα πρίσµατα Π2 και Π3 τα διαφορετικά µήκη κύµατος είναι χωρισµένα χωρικά. Εποµένως, 

µε τη µετακίνηση µιας σχισµής στο σηµείο αυτό, επιλέγεται το µήκος κύµατος που τελικά 

ενισχύεται στο Laser. Στον Πίνακα 7.1 παρουσιάζονται αναλυτικά τα τεχνικά 

χαρακτηριστικά του συστήµατος. Στο Σχήµα 7.1 παρουσιάζεται το ίχνος του 

αυτοσυσχετιστή. Το πλάτος (FWHM) του παλµού µετρήθηκε στα 100 fs, το οποίο 

αντιστοιχεί σε πραγµατική διάρκεια 89 fs σε διάστηµα τετραπλάσιο της τυπικής απόκλισης. 

286

Σχήµα 7.1: Ίχνος αυτοσυσχετιστή 

Τεχνικά Χαρακτηριστικά Τιµές 

Τύπος πηγής Laser Ti:Sapphire 

Κατανοµή Ενέργειας TEM00 

Μήκος Κύµατος Ακτινοβολίας, λ (nm) 775 

Μέση Ισχύς, Pmean (W)


288 

Σχήµα 7.2: Σχηµατική απεικόνιση οπτικής κοιλότητας CPA-2101 

Αριθµός Στοιχείου Επεξήγηση Αριθµός Στοιχείου Επεξήγηση 

1 Παράθυρο εισόδου 12 Κάτοπτρο οπτικής 

κοιλότητας Μ7 

2 Κάτοπτρο Α1 13 Πρίσµα Π2 

3 Κάτοπτρο Α2 14 Πρίσµα Π3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

Πλήρως 

ανακλαστικό 

κάτοπτρο Μ1 

Κάτοπτρο οπτικής 


Κρύσταλλος 

Ti:Sapphire 







15 Σχισµή 

16 

17 





18 Πρίσµα Π4 

19 

20 

ΑΟ∆ ακουστικοοπτικός 

διαµορφωτής 

Μερικώς 

ανακλαστικό 

κάτοπτρο Μ10 

10 Πρίσµα Π1 21 Φωτοδίοδος και 

Beam Splitter 

11 



22 Παράθυρο έξοδου 

Πίνακας 7.2. Επεξήγηση συµβόλων Σχήµατος 7.3

Σχήµα 7.3: Εξωτερική άποψη πηγής CPA-2101-Ti:Sapphire FS Laser 


Σχήµα 7.4: Βιοµηχανικό κέντρο µικρο-κατεργασίας Laser µε πηγή CPA-2101-Ti:Sapphire 

FS Laser 

289


7.2.2 Περιγραφή της πειραµατικής διάταξης 

Η πειραµατική διάταξη που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα διατριβή, για την 

φωτοαποδόµηση µεταλλικών δοκιµίων παρουσιάζεται στο Σχήµα 7.5. Αποτελείται 

συνοπτικά από τρία τµήµατα: 

290 

1. Το τµήµα παραγωγής δέσµης Laser 

2. Το τµήµα κατεύθυνσης και εστίασης της ακτίνας 

3. Το τµήµα συγκράτησης και έλεγχου του δοκίµιου. 

Τα επιµέρους στοιχεία καθώς και η χρησιµότητα αυτών, παρουσιάζονται αναλυτικά στον 

Πίνακα 7.3. 

Σχήµα 7.5: Σχηµατική απεικόνιση πειραµατικής διάταξης

Αριθµός 

Στοιχείου 

Επεξήγηση 

Αριθµός 

Στοιχείου 


Επεξήγηση 

1 

Αντλία και τµήµα 

ελέγχου 

10 

Φακός εστιακής 

απόστασης 1.5 cm 

2 Κοιλότητα Ti:Sapphire 

Laser 

11 

Φακός εστιακής 

απόστασης 7.5 cm 

3 

Οπτικός 

Παραµετρικός 

Ενισχυτής 

12 Μικροσκόπιο 

4 Αυτοσυσχετιστής 13 Πολωτής 

5 

Μετρητής έντασης 

εξόδου 

14 Μηχανικό διάφραγµα 

6 ∆ιαχωριστής δέσµης 15 Μικρο-εστιακός 

φακός 

7 Εστιακός φακός 16 Πιεζοηλεκτρική ΧΥΖ 

τράπεζα 

8 

Αντανακλαστικά 

17 ∆οκίµιο 

9 

κάτοπτρα 

Αντανακλαστικό 

κάτοπτρο 

Πίνακας 7.3. Επεξήγηση συµβόλων Σχήµατος 7.5 

18 

Χώρος ελεγχόµενης 

πίεσης 

Καθώς η δέσµη του Laser εξέρχεται από Οπτικό-Παραµετρικό Ενισχυτή (στοιχείο 3) η 

έντασή της διασταυρώνεται µέσω ενός µετρητή εντάσεως έξοδου (στοιχείο 5). Στη συνέχεια 

ένας διαχωριστής δέσµης (στοιχείο 6) κατανέµει τµήµα αυτής στον αυτοσυσχετιστή (στοιχείο 

4). Κατά την διάρκεια των πειραµάτων η χρονική διάρκεια των παλµών Laser καταγραφόταν 

συνεχώς µέσω του αυτοσυσχετιστή (Femtochrome Research FR-103 XL), ο οποίος ήταν 

συνδεδεµένος µε ψηφιακό παλµογράφο (LeCroy 9362). Το φάσµα των παλµών Laser 

καταγραφόταν επίσης καθόλη την διάρκεια των πειραµάτων, µέσω ενός µονοχρωµάτορα 

(ORIEL Instruments 77200) συνδεδεµένου µε συστοιχία φωτοδιόδων (ORIEL Instruments 

77101), ώστε να αποφευχθεί η ύπαρξη συνεχούς ακτινοβολιας Laser από το CPA-2101, 

ταυτόχρονα µε την παλµική ακτινοβολία. Η αποµένουσα δέσµη µέσα από µια διάταξη 

κατόπτρων και εστιακών φακών φτάνει στο µικροσκόπιο (στοιχείο 12). Εκεί διέρχεται από 

δύο φακούς εστιακής απόστασης 1.5 και 7.5 cm αντίστοιχα. Εξερχόµενη από το 

µικροσκόπιο, η δέσµη διέρχεται από έναν πολωτή (στοιχείο 13) και προσπίπτει στο µηχανικό 

διάφραγµα (στοιχείο 14), το οποίο και καθορίζει τον ολικό χρόνο αλληλεπίδρασης της 

δέσµης στο δοκίµιο. Κατόπιν ένας µικρο-εστιακός φακός (στοιχείο 15) εστιάζει τη δέσµη 

291


στο επιθυµητό επίπεδο του δοκιµίου µε ταυτόχρονη µείωση της διαµέτρου της στο εύρος 1-5 

µm. Η πιεζοηλεκτρική ΧΥΖ τράπεζα (στοιχείο 16) να µετακινεί το δοκίµιο µε βήµα 0.5 µm. 

7.2.3 Πειραµατικά δοκίµια 

292 

Σχήµα 7.6: Άποψη πειραµατικής διάταξης 

Σκοπός των πειραµάτων που πραγµατοποιήθηκαν ήταν η διασταύρωση των αποτελεσµάτων 

της προτεινόµενης µεθόδου και του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής. Για τον λόγο αυτό ήταν 

απαραίτητο να γίνει και η κατάλληλη επιλογή των πειραµατικών δοκιµίων. Για την 

διεξαγωγή των πειραµάτων χρησιµοποιήθηκαν λεπτά ελάσµατα σίδηρου (Fe) καθαρότητας 

99.99%. Ενδεχόµενες προσµίξεις στο πειραµατικό δοκίµιο θα προκαλούσαν αποκλίσεις από 

τα αποτελέσµατα της Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης. Οι ιδιότητες των δοκιµίων καθώς και 

τα γεωµετρικά τους χαρακτηριστικά παρουσιάζονται στον παρακάτω Πίνακα 7.4.

Χαρακτηριστικό Τιµή 

Σηµείο Τήξης 1811 Κ 

Σηµείο Βρασµού 3134 Κ 

Πυκνότητα 7.87 gr/cm 3 

Θερµική Αγωγιµότητα 0.19 cal/cm 2 /cm/s/ ο C 

Ειδική Θερµότητα στους 0 ο C 0.12 cal/g ο C 

Θερµότητα Τήξης 3.67 k-cal/g-atom 

Θερµότητα Εξάτµισης 84.6 k-cal/g-atom 

Ατοµικός Όγκος 7.1 W/D 

Πρώτη Ενέργεια Ιονισµού 182 K-cal/g-mole 

Ηλεκτροαρνητικότητα 1.8 Pauling’s 

Οµοιοπολική Ακτίνα 1.17 Å 

Κρυσταλλική ∆οµή BCC 

Μήκος 25 mm 

Πλάτος 25 mm 

Πάχος 0.5 mm 

Πίνακας 7.4. Ιδιότητες και γεωµετρικά χαρακτηριστικά δοκιµίων [2] 

Σχήµα 7.7: SEM εικόνα τµήµατος δοµικού πριν τη διεργασία 


293


294 

Σχήµα 7.8: SEM εικόνα τµήµατος δοµικού µετά τη διεργασία



[1] CLARK – MRX, Inc. Ultrafast Laser Systems, http://cmxr.com/Index.htm 

[2] Alfa Aesar GmbH & Co KG Chemicals, (2006), Alfa Aesar Material Catalogue 2006- 

2007 

295



Θεωρητικά και Πειραµατικά Αποτελέσµατα 

Στο συγκεκριµένο κεφάλαιο παρουσιάζονται και αναλύονται τα θεωρητικά και πειραµατικά 

αποτελέσµατα, όπως αυτά προκύπτουν από την εφαρµογή των θεωρικών προτύπων 

(κεφάλαια 3 & 4) και της πειραµατικής διερεύνησης της υπό µελέτη διεργασίας (κεφάλαιο 7). 

Αρχικά γίνεται µια περιγραφή του εξεταζόµενου προβλήµατος που καλείται να λύσει η 

προτεινόµενη µεθοδολογία της Μοριακής ∆υναµικής. Ακολούθως πιστοποιείται η 

εγκυρότητα της προτεινόµενης µεθοδολογίας και του κωδικά Μοριακής ∆υναµικής µε τα 

αποτελέσµατα της πειραµατικής διερεύνησης. Ως µέτρο σύγκρισης χρησιµοποιείται το βάθος 

φωτοαποδόµησης ανά παλµό Laser για διαφορετικές πυκνότητες ενέργειας. Στη συνέχεια 

παρουσιάζονται αποτελέσµατα µε χρήση Μοριακής ∆υναµικής και του υπολογιστικού 

κώδικα για το παραγόµενο θερµοκρασιακό πεδίο και την χρονική εξέλιξη αυτού, στην υπό 

κατεργασία περιοχή. Τέλος διαχωρίζονται οι διαφορετικές περιοχές φωτοαποδόµησης και 

σχολιάζονται οι διάφοροι µηχανισµοί αποµάκρυνσης υλικού που κυριαρχούν σε κάθε 

περιοχή.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 

8.2 Εφαρµογή µεθόδου Μοριακής ∆υναµικής 

Κύριος στόχος της προτεινόµενης λύσης είναι η δηµιουργία µεθοδολογίας βασισµένης στη 

Μοριακή ∆υναµική ανάλυση για την προσοµοίωση κατεργασιών µεταλλικών υλικών µε 

Laser. Πλήρης κατανόηση των µικρο-µοριακών φαινοµένων της επίδρασης του Laser στο 

υλικό µπορεί να οδηγήσει διεξοδικά στην ουσιαστική βελτιστοποίηση της διεργασίας, τον 

ολοκληρωτικό έλεγχό της, καθώς και την περαιτέρω ανάπτυξή της. Αποσκοπώντας λοιπόν 

στα προαναφερόµενα και συνοψίζοντας, το επιθυµητό αποτέλεσµα από την δηµιουργία της 

µεθόδου και της υλοποίησης του κώδικα Μοριακής ∆υναµικής είναι πρωτίστως να εξάγεται 

το βάθος φωτοαποδόµησης που υφίσταται ένα µεταλλικό υλικό κατά την επίδραση των 

παλµών FS Laser και στη συνέχεια να διερευνάται το παραγόµενο θερµοκρασιακό πεδίο, 

καθώς και οι µηχανισµοί αποµάκρυνσης του υλικού για διαφορετικές πυκνότητες ενέργειας 

του Laser. Το σχηµατικό διάγραµµα του προβλήµατος προσοµοίωσης παρουσιάζεται στο 

Σχήµα 8.1. Το υλικό που επιλέχθηκε για τις προσοµοιώσεις της διατριβής είναι ο σίδηρος 

(Fe) λόγο του µεγάλου φάσµατος εφαρµογών του στην βιοµηχανία. Το υλικό βρίσκεται 

αρχικά σε θερµοκρασία περιβάλλοντος, η οποία και έχει ορισθεί στους 300 ο Κ. Ως εστιακό 

επίπεδο της δέσµης ορίζεται η επιφάνεια του υλικού (Z=0). Η δέσµη Laser διαδίδεται κατά 

µήκος του Ζ άξονα, κάθετα στην επιφάνεια του υλικού, και η ενέργειά της απορροφάται 

εκθετικά από το υλικό. 

298 

Σχήµα 8.1: Σχηµατικό διάγραµµα προβλήµατος προς προσοµοίωση


Με την υπόθεση ότι το υλικό-στόχος εκτείνεται απείρως στο επίπεδο ΧΥ, εφαρµόσθηκαν 

περιοδικές συνοριακές συνθήκες, όπως περιγράφτηκαν στο κεφάλαιο 3 της διατριβής. Με 

σκοπό να είναι δυνατή η αποµάκρυνση σωµατιδίων από τον αρχικό όγκο του υλικού, έτσι 

ώστε να µπορεί να µελετηθεί το φαινόµενο της φωτοαποδόµησης, στην άνω επιφάνεια του 

υλικού εφαρµόζονται ελεύθερες συνοριακές συνθήκες, οι οποίες και επιτρέπουν την 

αποµάκρυνση σωµατιδίων ή συσωµάτων αυτών. Όσον αφορά τη κατώτατη επιφάνεια του 

όγκου προσοµοίωσης, µε σκοπό η ολική ενέργεια, ο όγκος καθώς και ο ολικός αριθµός 

σωµατιδίων να µην επηρεάζονται απο τυχών αποµακρύνσεις σωµατιδίων, ανακλώµενες 

συνοριακές συνθήκες έχουν εφαρµοστεί στην επιφάνεια αυτή. Οι συνοριακές συνθήκες που 

εφαρµόσθηκαν στο εν λόγω πρόβληµα προς διερεύνηση απεικονίζονται στο Σχήµα 8.1. Οι 

µακροσκοπικές ιδιότητες του υλικού κατά κύριο λόγο υπολογίζονται κατά µήκος του άξονα 

Ζ, εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά. 

8.3 ∆ιερεύνηση βάθους φωτοαποδόµησης 

Από την στιγµή που η ενέργεια απορροφάται από το υλικό η θερµοκρασία των ηλεκτρονίων 

και της κρυσταλλικής δοµής αυξάνεται. Όταν η θερµοκρασία του υλικού είναι αρκετά υψηλή 

λαµβάνουν χώρα συγκεκριµένες αλλαγές φάσης και µικροδοµές του υλικού αφαιρούνται από 

τον αρχικό όγκο. Σύνθετες θερµικές και µηχανικές διαδικασίες λαµβάνουν χώρα κατά την 

εξέλιξη του φαινοµένου και µεγάλος είναι ο αριθµός των παραγόντων που συµβάλλουν στην 

αποµάκρυνση του υλικού. Η θερµοκρασία είναι ο κυρίαρχος παράγοντας, που οδηγεί στην 

αποκόλληση και κατά συνέπεια αποµάκρυνση υλικού. Υπάρχουν διάφορα είδη φάσεων στα 

οποία µπορεί να περιέλθει το υλικό και τα οποία εξαρτώνται από τον ρυθµό θέρµανσης, την 

αρχική θερµοκρασία του υλικού και άλλα. Εφόσον τα Laser τα οποία χρησιµοποιούνται σε 

µικρο- και νανο- κατεργασίες λειτουργούν στην κλίµακα των femptosecond η πλειονότητα 

του υλικού που αποδοµείται περνάει απευθείας από την στερεά στην αέρια φάση, χωρίς να 

υπάρξει τήξη [1] 

8.3.1 Μοριακές ∆υναµικές προσοµοιώσεις 

Στην παρούσα µελέτη το υλικό που θα προσοµοιωθεί µε χρήση Μοριακής ∆υναµικής 

θεωρείται ότι είναι καθαρός κρυσταλλικός σίδηρος (Fe) σε σταθερή κρυσταλλική διάταξη 

299


BCC και βρίσκεται αρχικά σε σταθερή θερµοκρασία περιβάλλοντος χώρου. Η κρυσταλλική 

δοµή του καθαρού Fe µεταβάλλεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Μέχρι τους 1118 ο Κ η 

διάταξη των ατόµων είναι BCC. Κατόπιν και µέχρι τους 1663 ο Κ µετασχηµατίζεται σε FCC 

και από εκεί και πάνω µετασχηµατίζεται ξανά σε BCC. 

300 

Παράµετροι Υλικού 

Παράµετροι Laser 

Χρονικές 

Παράµετροι 


Θερµοκρασίας 

Σταθερές 

Παράµετρος Τιµή 

Ακτίνα Ατόµου Σιδήρου ra 1.241 Å 

Ακµή Κύβου BCC αc 2.86 Å 

Παράµετρος Ενέργειας Morse D 0.4174 eV 

Παράµετρος Απόστασης Morse a 1.3885 Å -1 

Απόσταση Ισορροπίας r0 2.845 Å 

Απόσταση Αποκοπής rc 5.8076 Å -1 

Μάζα Ατόµου Fe m 55.847 amu 

Συντελεστής Ανάκλασης R 65% - 

Αρχική Μέση Ταχύτητα vcm 211 m/sec 

Ενέργεια Συνοχής C -4.325 eV 

∆ιάρκεια Παλµού Laser tp 100 fs 

Νεκρός Χρόνος Laser td 10 fs 

Παράµετρος Ποιότητας Ακτίνας 

Laser 

M 2 

1.2 - 

Μήκος Κύµατος Ακτίνας Laser λ 775 nm 

Ακτίνα Laser στο Eστιακό Eπίπεδο rfo 1 nm 

Συντελεστής Ακρίβειας ac 4 - 

Συντελεστής Oρίσµατος Beer 

Lambert 

β 1.00E+08 - 

∆ιάρκεια Χρονοβήµατος δt 0.1 fs 

Χρόνος Ενεργού Αλληλεπίδρασης tT 2000-5500 fs 

Θερµοκρασία Εξισορρόπησης Td 300 K 

Θερµοκρασία Τήξης Τm 1811 Κ 

Θερµοκρασία Εξάτµισης Τv 3134 K 

Ταχύτητα του Φωτός c 299 x 10 6 m/sec 

Σταθερά του Planck h 6.582 x 10 -16 

Σταθερά του Boltzmann kB 8.617 x 10 -5 

Πίνακας 8.1: Παράµετροι µοντέλου προσοµοίωσης Μ∆ 

eVsec 

eV/K


Η ταχύτατη αύξηση της θερµοκρασίας κατά την επίδραση των υπερβραχέων παλµών στην 

συγκεκριµένη περίπτωση καθιστά ασφαλή την παραδοχή ότι ο µετασχηµατισµός της 

κρυσταλλικής δοµής µπορεί να αγνοηθεί και να θεωρηθεί ότι η δοµή του Fe παραµένει 

σταθερή στην µορφή BCC. 

Το πρώτο βήµα σε µια Μοριακή ∆υναµική Προσοµοίωση έχει να κάνει µε τις αρχικές 

συνθήκες που περιγράφουν το µοντέλο. Ο όρος αρχικές συνθήκες όταν αναφέρεται σε µια 

Μ∆ περιλαµβάνει τη δοµή του υλικού, την δυναµική ενέργεια, την κινητική ενέργεια και τις 

συνοριακές συνθήκες στην κατάσταση του ιδανικού κρυστάλλου. Οι ιδιότητες που 

εισήχθησαν στο µοντέλο προσοµοίωσης παρουσιάζονται στον Πίνακα 8.1 µε την παραδοχή 

ότι παραµένουν σταθερές κατά την διάρκεια όλων των χρονοβηµάτων της προσοµοίωσης. 

Με σκοπό να διερευνηθεί το βάθος φωτοαποδόµησης και έχοντας υπόψην τους 

υπολογιστικούς περιορισµούς για τον µέγιστο αριθµό σωµατιδίων που µπορούν να εισαχθούν 

σε ένα µοντέλο, έµφαση δόθηκε στην επέκτασή του, κατά τον άξονα Ζ. Ο όγκος 

προσοµοίωσης έχει διαστάσεις 3.8x3.8x726.5 (nm) [10446.3nm 3 ] και αποτελείται συνολικά 

απο 719,756 σωµατίδια. Ο αλγόριθµος Verlet εφαρµόσθηκε προκειµένου να γίνει 

ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης. Η αλληλεπίδραση µεταξύ των σωµατιδίων του 

συστήµατος περιγράφεται από την εξίσωση δυναµικού του Morse (Morse Potential 

Function). Σύµφωνα µε αυτή την έκφραση δυναµικού, οι παράµετροι για τον σίδηρο 

εµφανίζονται στον Πίνακα 8.1. 

Οι αρχικές ταχύτητες των σωµατιδίων που αποδίδονται στα σωµατίδια του κρυστάλλου 

ακολουθούν κατανοµή Maxwell Boltzmann στην αρχική θερµοκρασία των 300 Κ. Η 

φωτοαποδόµηση του υλικού εξετάζεται για περιόδους που φτάνουν τις µερικές εκατοντάδες 

femptosecond. Περιοδικές συνοριακές συνθήκες έχουν εφαρµοσθεί στις Χ και Υ διευθύνσεις 

του υπολογιστικού µοντέλου, µε σκοπό να αναπαριστούν ένα θεωρητικά άπειρο µέσο. 

Ανακλώµενες (RBC) και ελεύθερες (FBC) συνοριακές συνθήκες έχουν εφαρµοσθεί στις 

άλλες δυο επιφάνειες του µοντέλου, όπως περιγράφηκε και προηγούµενα. Η ακτίνα Laser 

ακολουθεί Gaussian χωρική κατανοµή. Ο αριθµός των φωτονίων, που ουσιαστικά 

ανταποκρίνονται στην ενέργεια του Laser, εναποτίθενται στο υλικό ακολουθώντας εκθετική 

µείωση, σύµφωνα µε τον νόµο Beer-Lawbert. Η ενέργεια των φωτονίων µεταφέρεται στα 

σωµατίδια του κρυστάλλου. Η ενέργεια που εναποτίθεται στο σύστηµα συµβάλλει στην 

αύξηση της κινητικής του ενέργειας. Το µήκος κύµατος της δέσµης του Laser έχει τεθεί στα 

301


775 nm, τιµή χαρακτηριστική για συστήµατα Laser µε εφαρµογές σε µικρο- και νανοκατεργασίες. 

Η χρονική διάρκεια του παλµού και ο ολικός χρόνος επίδρασης του Laser στο 

υλικό παραµένουν σταθερά, ενώ η πυκνότητα ενέργειας και συνεπώς η ισχύς του Laser 

λαµβάνει αυξανόµενες τιµές, που αποσκοπούν στην διερεύνηση του βάθους της οπής που 

δηµιουργείται κατά την αποµάκρυνση του υλικού. 

Όπως περιγράφτηκε στο κεφάλαιο 4 εφόσον ορισθούν οι αρχικές συνθήκες του συστήµατος 

ακολουθεί η διαδικασία της εξισορρόπησης αυτού. Εξισορρόπηση συστήµατος είναι η 

διαδικασία όπου τίθενται οι αρχικές ταχύτητες στα σωµατίδια του υλικού, µε σκοπό το 

σύστηµα να εισέλθει στην κατάσταση αρχικής θερµοδυναµικής ισορροπίας. Οι αρχικές 

ταχύτητες των σωµατιδίων πρέπει να ικανοποιούν τις ακόλουθες δυο συνθήκες: 

302 

1 Να διατηρείται µηδενική η ολική ορµή του συστήµατος. 

2 Οι τιµές ταχυτήτων να ακολουθούν την κατανοµή Maxwell Boltzmann. 

∆εδοµένου ότι σε αυτό το στάδιο οι αρχικές θέσεις των σωµατίδιων και η έκφραση 

δυναµικού Morse για την µεταξύ τους αλληλεπίδραση έχουν ικανοποιηθεί, ο κώδικας 

προχωράει στη λύση των εξισώσεων κίνησης χρησιµοποιώντας µεθόδους πεπερασµένων 

διαφορών και συγκεκριµένα τον τροποποιηµένο αλγόριθµο Verlet. Για να διασταυρωθεί ότι 

το σύστηµα είναι σε θερµοδυναµική ισορροπία πρέπει η τιµή του α(t) να βρίσκεται κοντά στο 

λόγο 5/3 [2]. Ένας ακόµη τρόπος, υπολογίζοντας µακροσκοπικές ιδιότητες, διασταύρωσης 

της αρχικής θερµικής ισορροπίας είναι µε τη χρήση του κριτηρίου της επιθυµητής 

θερµοκρασίας. Εάν η θερµοκρασία του συστήµατος δεν συµφωνεί µε την επιθυµητή, που 

ορίσθηκε αρχικά, ακολουθεί επανυπολογισµός των ταχυτήτων. 

Το Σχήµα 8.2 παρουσιάζει την απεικόνιση της αρχικής µορφής του κρυστάλλου. Τα 

σωµατίδια έχουν τοποθετηθεί σε χωροκεντρωµένη διάταξη BCC σε αποστάσεις 2.86 Å, για 

αυτά που σχηµατίζουν την ακµή και 1.43 Å [3] για το κεντρικό από την ακµή. Η ιδανική 

αυτή µορφή του κρυστάλλου εµφανίζεται στο τέλος του σταδίου του καθορισµού των 

αρχικών συνθηκών, όπως αναφέρθηκε στα κεφάλαια 4 και 5. Ακολουθεί αλληλεπίδραση των 

σωµατιδίων. Ταλαντώνονται γύρω από την αρχική τους θέση και αλληλεπιδρούν 

στοχεύοντας στην κατάσταση ισορροπίας. Στο Σχήµα 8.3 παρουσιάζεται το ίδιο 

κρυσταλλικό σύστηµα µετά το πέρας της εξισορρόπησης. Η θερµοκρασία του συστήµατος


έχει ταυτιστεί µε την οριζόµενη από τον χρήστη, ως αρχική θερµοκρασία συστήµατος. Όπως 

είναι εµφανές, συγκρίνοντας τα Σχήµατα 8.2 και 8.3 τα σωµατίδια του κρυστάλλου έχουν 

µετατοπισθεί από τις αρχικές τους θέσεις, λόγω της ταλαντωτικής κίνησης που 

παρουσιάζουν. Ο όγκος προσοµοίωσης, για καλύτερη απεικόνιση, έχει διαστάσεις 

3.8x3.8x3.8 (nm) [54.87 nm 3 ] και αποτελείται συνολικά από 3925 σωµατίδια. 

Σχήµα 8.2: Απεικόνιση κρυστάλλου κατόπιν ορισµού των αρχικών συνθηκών 

Σχήµα 8.3 Απεικόνιση κρυστάλλου κατόπιν εξισορρόπησης 

303


Οι ταχύτητες των σωµατίδιων του συστήµατος προσοµοίωσης, µετά από την εξισορρόπηση, 

θα πρέπει να ακολουθούν την κατανοµή Maxwell-Boltzman. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα 

8.4 αυτό συµβαίνει. Άρα θεωρείται ότι ο όγκος προσοµοίωσης βρίσκεται σε κατάσταση 

ισορροπίας στους 300 ο Κ και συνεπώς η διαδικασία εξισορόπησης έχει ολοκληρωθεί 

επιτυχώς. Παρατήρηση της διαδικασίας στο υπολογιστικό πρόγραµµα Μ∆ έδειξε ότι η 

εξισορρόπηση του συστήµατος απαιτεί περί τα 300 χρονοβήµατα διάρκειας 0.1 fs. 

304 

Σχετική πιθανότητα µέτρου διανύσµατος 

ταχύτητας Ux κατόπιν εξισορρόπησης 


ταχύτητας Uy κατόπιν εξισορρόπησης 


ταχύτητας Uz κατόπιν εξισορρόπησης 


ταχύτητας U κατόπιν εξισορρόπησης 

Σχήµα 8.4: Κατανοµή ταχυτήτων σωµατιδίων µετά από την εξισορρόπηση του συστήµατος 

προσοµοίωσης


Προχωρώντας στο επόµενο στάδιο της προσοµοίωσης, στάδιο ΙΙΙ όπως αναφέρεται στο 

κεφάλαιο 5, ακολουθεί η ακτινοβόληση των σωµατιδίων. Η κατανοµή των φωτονίων του 

Laser που προσβάλλουν το υλικό έχουν Gaussian κατανοµή στο επίπεδο ΧΥ. Ο αριθµός των 

φωτονίων, που αντιστοιχεί στην ενέργεια της δέσµης Laser, µειώνεται εκθετικά κατά τον 

άξονα Z, η αλλιώς κατά το βάθος του υλικού, ακολουθώντας των νόµο Beer-Lambert. Τα 

παραπάνω διακρίνονται στο Σχήµα 8.5. Η µετακίνηση και αποµάκρυνση σωµατιδίων είναι 

σαφώς εντονότερη στο κέντρο της δέσµης. Το κίτρινο χρώµα ορισµένων σωµατιδίων δείχνει 

ότι έχουν εκτιναχθεί πάνω από την επιφάνεια του υλικού, ενώ η απόσβεση του έντονου 

κόκκινου χρώµατος αντιστοιχεί σε σωµατίδια που βρίσκονται σε µεγαλύτερο βάθος. 

� Πυκνότητα Εντάσεως: F= 0.1 J/cm 2 

� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad= 1.7 nm 


� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad= 4 nm 





305




� Πυκνότητα Εντάσεως: F= 2 J/cm 2 

� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad= 21 nm 



306 






� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad=392.5 nm


� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad=512 nm 


� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad=636.2 nm 





� Βάθος Φωτοαποδόµησης: Ad=601 nm 





Σχήµα 8.5: Κατόψεις επιλεγµένων υπολογιστικών πειραµάτων. Το βάθος φωτοαποδόµησης 

προκύπτει από την εφαρµογή ενός παλµού διάρκειας 100 fs, για διαφορετικές πυκνότητες 

ενέργειας του Laser 

307


Η χρονική εξέλιξη/συµπεριφορά του φαινοµένου της φωτοαποδόµησης και κατά συνέπεια 

και της δηµιουργίας οπής στο υπολογιστικό δοκίµιο, για πυκνότητα ενέργειας 0.6 J/cm 2 

φαίνεται στο Σχήµα 8.6. Αρχικά παρατηρείται αφαίρεση/µετακίνηση σωµατιδίων σιδήρου 

από την επιφάνεια του δοκιµίου. Η ταχύτατη µεταφορά όµως ενέργειας στην ταλαντωτική 

κίνηση των σωµατιδίων συντελεί στην γρήγορη αύξηση της θερµοκρασίας του 

ακτινοβολούµενου όγκου. Ο όγκος του υλικού που αποµακρύνεται, όπως είναι εµφανές από 

τα παρακάτω σχήµατα, αποτελείται είτε από µονά σωµατίδια είτε από συσσωµατώµατα 

αυτών. 

Παρατηρείται µείωση του ρυθµού φωτοαποδόµησης και άρα αποµάκρυνσης υλικού, όσο 

αυξάνεται το βάθος της παραγόµενης οπής, κατά την διάρκεια εξέλιξης του φαινοµένου. ∆υο 

παράγοντες συντελούν σε αυτό. Καταρχάς, όπως αναφέρθηκε πρωτύτερα, έχει γίνει χρήση 

του νόµου Beer-Lawbert για την µοντελοποίηση της εκθετικής µείωσης του αριθµού των 

φωτονίων κατά µήκους του άξονα Ζ. Συνεπώς µικρότερο ποσό ενέργειας Laser προσβάλλει 

τα σωµατίδια που βρίσκονται σε µεγαλύτερο βάθος. Ο δεύτερος παράγοντας που συντελεί 

στην µείωση του ρυθµού αφαίρεσης υλικού, έχει να κάνει µε την ύπαρξη σωµατιδίων που 

έχουν περάσει στην αέρια κατάσταση αλλά δεν έχουν αποµακρυνθεί από τον κρατήρα. Αυτά 

συνεχίζουν να κινούνται εντός του κρατήρα και κατά συνέπεια να απορροφούν αριθµό 

φωτονίων που διαφορετικά θα συνέβαλλε στην αύξηση του ρυθµού αποµάκρυνσης υλικού. 

Λόγο της ταχύτατης εναπόθεσης ενέργειας, η οποία διασφαλίζεται από το Laser 

υπερβραχέων παλµών, το φαινόµενο της µετάδοσης θερµότητας µέσα στο ίδιο το υλικό κατά 

το επίπεδο ΧΥ είναι ιδιαίτερα περιορισµένο. Συνεπώς και η αποµάκρυνση/µετακίνηση 

σωµατιδίων στο επίπεδο ΧΥ περιορίζεται και εξαρτάται από την διάµετρο της δέσµης Laser. 

� Απεικόνιση χρονοβήµατος Νt=0 

� Χρόνος t=0 fs 

308 


� Χρόνος t=1 fs


� Χρόνος t=1.5 fs 












309








310 






� Χρόνος t=90 fs














311








312 





Σχήµα 8.6: Στιγµιότυπα φωτοαποδόµησης 

µεταλλικού (Fe) στόχου µε πυκνότητα 

ενέργειας Laser 0.6 J/cm 2 και παλµό 

διάρκειας 100 fs. 

Η εξάρτηση του αριθµού των φωτοαποδοµηµένων σωµατιδίων από την πυκνότητα ενέργειας 

παρουσιάζεται στο Σχήµα 8.7. Το εύρος των πυκνοτήτων ενέργειας που εξετάστηκαν είναι


αρκετά µεγάλο, καθώς ξεκινά από τα 0.01 J/cm 2 και φτάνει µέχρι τα 100 J/cm 2 , οπότε 

προκύπτουν και ασφαλή συµπεράσµατα για το φαινόµενο της φωτοαποδόµησης. Αρχικά 

παρατηρείται για τις χαµηλές πυκνότητες ενέργειας ότι ο αριθµός των φωτοαποδοµηµένων 

σωµατιδίων αυξάνεται σχετικά αργά, ειδικά µάλιστα κάτω από την περιοχή των 0.1 J/cm 2 . 

Έπειτα όµως από τα 1 J/cm 2 ακολουθείται µια εκθετική αύξηση του αριθµού των 

αποδοµηµένων σωµατιδίων που σταµατά στα 10 J/cm 2 . Εκεί το φαινόµενο εισέρχεται σε 

γραµµική περιοχή εξάρτησης των φωτοποδοµηµένων σωµατιδίων σε σχέση µε την 

πυκνότητα ενέργειας του Laser. Από την παραγόµενη καµπύλη παρατηρείται ότι ο ρυθµός 

αποδοµηµένων σωµατίδιων µειώνεται σε περιοχές πυκνότητας ενέργειας άνω των 40 J/cm 2 . 

Εκτός των φυσικών µηχανισµών που συντελούν σε αυτό το γεγονός και θα αναλυθούν σε 

επόµενη παράγραφο, σηµαντικό ρόλο έχει και το µέγεθος του όγκου προσοµοίωσης, ο οποίος 

είναι άµεσα εξαρτώµενος από την διαθέσιµη υπολογιστική ισχύ. 

Σχήµα 8.7: Αριθµός αφαιρούµενων σωµατίδιων σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη πυκνότητα 

ενέργειας Laser 

Μετρήσεις του βάθους φωτοαποδόµησης πραγµατοποιήθηκαν για το σύνολο πυκνοτήτων 

ενέργειας του Laser. Το σύνολο των συµπερασµάτων για την αποµάκρυνση υλικού σε 

διαφορετικές πυκνότητες ενέργειας Laser παρουσιάζεται και επεξηγείται στην παράγραφο 

8.4.2, σε σύγκριση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. 

313


Σχήµα 8.8: Θεωρητικό βάθος φωτοαποδόµησης ανά παλµό σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη 

πυκνότητα ενέργειας Laser 

Το βάθος φωτοαποδόµησης ανά παλµό (Σχήµα 8.8) παρουσιάζει διακυµάνσεις, ανάλογα µε 

την πυκνότητα ενέργειας του Laser. Μπορούν να διακριθούν τέσσερις περιοχές 

φωτοαποδόµησης που χαρακτηρίζονται από διαφορετικούς µηχανισµούς αποµάκρυνσης του 

υλικού. Είναι εµφανείς οι περιορισµοί που οφείλονται στον µέγιστο αριθµό σωµατίδιων που 

µπορούν να προσηµειωθούν σε ένα υπολογιστικό σύστηµα δυο επεξεργαστών παράλληλης 

λειτουργίας, όπως αυτό αναφέρεται στο 6 ο κεφάλαιο. Πάνω από την τιµή των 50 J/cm 2 για 

πυκνότητα ενέργειας η καµπύλη του ρυθµού µετατρέπεται σε ευθεία. Σε περιπτώσεις χρήσης 

µεγαλυτέρων και περισσότερων επεξεργαστών ή για διαφορετικής γεωµετρικής διάταξης 

όγκους προσοµοίωσης, η τιµή µεταβάλλεται. Το βάθος αποδόµησης έχει φτάσει το µέγιστο 

βάθος του υπολογιστικού δοκιµίου. Η καµπύλη όµως του αριθµού φωτοποδοµηµένων 

σωµατιδίων παρόλα αυτά συνεχίζει να υπάρχει αλλά µε µειωµένη κλίση (Σχήµα 8.7). 

Συµπερασµατικά µπορεί να διατυπωθεί ότι παρόλο που το βάθος αποδόµησης έχει αγγίξει 

την µέγιστη δυνατή τιµή, σωµατίδια του κρυστάλλου συνεχίζουν να αποµακρύνονται από τον 

αρχικό όγκο, προερχόµενα από τις πλευρές της παραγόµενης οπής. 

314


• Απόδοση φωτοαποδόµησης συναρτήσει της πυκνότητας ενέργειας Laser 

Το διάγραµµα που παρουσιάζεται στο Σχήµα 8.9 παρουσιάζει την απόδοση της 

φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την πυκνότητα ενέργειας Laser. Ως απόδοση 

φωτοαποδόµησης ορίζεται “ο λόγος του φωτοαποδοµηθέντος όγκου προς την 

ενέργεια παλµού του Laser”. Αυτό που είναι προφανές από το διάγραµµα είναι 

ότι µέχρι την πυκνότητα των 10 J/cm 2 η απόδοση φωτοαποδόµησης αυξάνεται. 

Συγκεκριµένα από τα 0.1 J/cm 2 µέχρι τα 1 J/cm 2 ο ρυθµός αύξησης είναι µικρός, 

αλλά µετά τα 1 J/cm 2 παρατηρείται εκθετική µεταβολή της απόδοσης της 

φωτοαποδόµησης. Μετά τα 10 J/cm 2 ακολουθεί ραγδαία πτώση της απόδοσης. 

Η περιοχή κατά την οποία η φωτοαποδόµηση παρουσιάζει τις µέγιστες τιµές είναι 

εντός των ορίων 8-10 J/cm 2 . Κατόπιν του ορίου των 10 J/cm 2 µπορεί να 

θεωρηθεί ότι η διεργασία κρίνεται µη αποδοτική. 

Σχήµα 8.9: Απόδοση φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη πυκνότητα 

ενέργειας. 

Η µείωση της απόδοσης της διεργασίας επιβεβαιώνεται και πειραµατικά από την 

βιβλιογραφία [4] και οφείλεται εν συντοµία στα ακόλουθα φαινόµενα: 

1. Η αύξηση ισχύος της δέσµης του Laser προκαλεί την εµφάνιση κρουστικών 

κυµάτων 

2. Ο όγκος του υλικού συρρικνώνεται λόγο των υψηλών πιέσεων που προκαλούν τα 

κρουστικά κύµατα 

315


316 

3. Εκτινασσόµενα άτοµα η µόρια µπορεί να ιονιστούν, συντελώντας στον 

σχηµατισµό πλάσµατος ή plume, αποτελούµενο από ιόντα και ελεύθερα 

ηλεκτρόνια 

4. Ύπαρξη αποκόλλησης πλάσµατος η οποία προκαλεί µείωση της 

απορροφητικότητας του υλικού 

8.3.2 Αποτελέσµατα πειραµατικής προσέγγισης 

Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούµενες παραγράφους σκοπός της πειραµατικής προσέγγισης 

της διεργασίας φωτοαποδόµησης µε υπερβραχείς παλµούς Laser είναι η διασταύρωση των 

παραγόµενων αποτελεσµάτων της µεθόδου Μ∆ και του υπολογιστικού κώδικα αλλά και η 

επεξήγηση των µηχανισµών φωτοαποδόµησης, έχοντας ως κριτήριο την µορφολογία της 

παραγόµενης οπής. Ως κριτήριο σύγκρισης επιλέχθηκε το βάθος φωτοαποδόµησης ανά 

παλµό Laser. Η επιλογή αυτή αποτελεί ένα ασφαλές µέτρο σύγκρισης αφού παρουσιάζει το 

παραγόµενο βάθος σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη πυκνότητα ενέργειας, χωρίς να 

επηρεάζεται από φαινόµενα και παράγοντες που ίσως προκύπτουν από την εφαρµογή 

πολλαπλών παλµών. Η πειραµατική διάταξη που χρησιµοποιήθηκε περιγράφεται πλήρως στο 

7 ο κεφάλαιο της διατριβής. Στον πίνακα 8.2 παρουσιάζονται οι παράµετροι της πειραµατικής 

διερεύνησης. Τα πειράµατα πραγµατοποιήθηκαν δυο φορές µε τις ίδιες παραµέτρους µε 

σκοπό την διασταύρωση των αποτελεσµάτων. Τα παραγόµενα βάθη που παρουσιάζονται 

αποτελούν την µέση τιµή των δυο πειραµάτων ανά παράµετρο. 

Πειραµατικές 


Παράµετρος Τιµή 

∆ιάρκεια Παλµού Laser tp 100 fs 

Νεκρός Χρόνος Laser td 10 fs 

Παράµετρος Ποιότητας Ακτίνας 

Laser 

M 2 

1.2 - 

Μήκος κύµατος ακτίνας Laser λ 775 nm 

Ακτίνα Laser στο εστιακό επίπεδο r 0.5 µm 

Αριθµός Παλµών Np 50 - 

Συντελεστής Ανάκλασης R 65% - 

Πυκνότητα ενέργειας Laser F 0.01-100 J/cm 2 

Πίνακας 8.2: Πειραµατικές παράµετροι 

Το Σχήµα 8.10 δείχνει τις δηµιουργούµενες φωτοαποδοµηµένες περιοχές για διάφορες 

πυκνότητες ενέργειας.

� Πυκνότητα ενέργειας: F= 0.01 J/cm 2 

� Αριθµός παλµών: Νp=50 

� Βάθος φωτοαποδόµησης: Ad= 0 µm 





13420-Fe 1um 13421-Fe 1um 




13422-Fe 1um 13423-Fe 1um 







13424-Fe 1um 13425-Fe 1um 




317




� Βάθος φωτοαποδόµησης: Ad= 0.025 µm 




318 

13426-Fe 1um 13427-Fe 1um 







13428-Fe 1um 13429-Fe 1um 




13430-Fe 1um 13431-Fe 1um 



� Βάθος φωτοαποδόµησης: Ad= 0.15 µm








13432-Fe 1um 13433-Fe 1um 




13434-Fe 1um 13434-Fe 1um 







13435-Fe 1um 13436-Fe 1um 




319


� Πυκνότητα ενέργειας: F= 1 J/cm 2 






320 

13437-Fe 1um 13438-Fe 1um 







13439-Fe 1um 13440-Fe 1um 




13441-Fe 1um 13442-Fe 1um 



� Βάθος φωτοαποδόµησης: Ad= 10.1 µm








13443-Fe 1um 13444-Fe 1um 




13445-Fe 1um 13446-Fe 1um 







13447-Fe 1um 13448-Fe 1um 




321








322 

13449-Fe 1um 13450-Fe 1um 







13451-Fe 2um 13452-Fe 2um 




13453-Fe 2um 13454-Fe 2um 



� Βάθος φωτοαποδόµησης: Ad= 210 µm








13457-Fe 2um 13458-Fe 2um 







13459-Fe 2um 13460-Fe 2um 

13461-Fe 2um 




Σχήµα 8.10: Βάθη φωτοαποδόµησης 

µεταλλικού (Fe) στόχου σε εύρος 

πυκνοτήτων ενέργειας Laser 0.01–100 J/cm 2 . 

Το Σχήµα 8.11 παρουσιάζει τη σχέση βάθους φωτοαποδόµησης ανά παλµό µε την 

εφαρµοζόµενη πυκνότητα ενέργειας του Laser, όπως προέκυψε από την πειρακτική 

323


διερεύνηση. Είναι εµφανές ότι τα πειρατικά και υπολογιστικά αποτελέσµατα παρουσιάζουν 

µεγάλη συνάφεια. 

324 

Σχήµα 8.11: Πειραµατικό βάθος φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη 


8.3.3 Σύγκριση Πειραµατικών και Θεωρητικών Αποτελεσµάτων 

Στο Σχήµα 8.12 παρουσιάζεται µια αρχική οπτική σύγκριση µεταξύ των θεωρητικών και 

πειραµατικών αποτελεσµάτων. Για το µεγαλύτερο φάσµα πυκνοτήτων ενέργειας υπάρχει 

συµφωνία µεταξύ πειραµατικών και θεωρητικών αποτελεσµάτων. 

Σχήµα 8.12: Θεωρητικά και πειραµατικά βάθη φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την 

εφαρµοζόµενη πυκνότητα ενέργειας.


Προκειµένου να διερευνηθεί καλύτερα το φαινόµενο, έγινε διαχωρισµός σε τέσσερις περιοχές 

φωτοαποδόµησης ανάλογα µε την πυκνότητα ενέργειας του Laser. 

• 1 η Περιοχή φωτοαποδόµησης για 0.01 έως 0.1 J/cm 2 

Ξεκινώντας από την χαµηλότερη εφαρµόσιµη πυκνότητα ενέργειας έως τα 

0.01 J/cm 2 , το παραγόµενο βάθος ανά παλµό ακολουθεί µια γραµµική αύξηση 

ειδικά για τα θεωρητικά αποτελέσµατα. Πειραµατικά το µικρότερο βάθος ανά 

παλµό που µετρήθηκε είναι 1nm ανά παλµό για 0.09 J/cm 2 . Αυτό οφείλεται στο 

γεγονός ότι υπάρχει δυσκολία µέτρησης βαθών µικρότερων των ~ 40 nm µε τις 

διαθέσιµες τεχνικές (LSM). Παρόλα αυτά, SEM φωτογραφίες των δοκιµίων 

δείχνουν ότι και για πυκνότητες εντάσεως µικρότερες του ορίου των 0.09 J/cm 2 

υπάρχει έστω και κάποια απειροελάχιστη αφαίρεση υλικού πράγµα, που 

αποδεικνύεται από την αλλοιωµένη µορφολογία της επιφάνειας. Τα θεωρητικά 

αποτελέσµατα υποδεικνύουν ότι το φαινόµενο ξεκίνα απο τα 0.06 J/cm 2 . Η µέση 

απόκλιση θεωρητικών και πειραµατικών αποτελεσµάτων, για τις µετρούµενες 

περιοχές, υπολογίσθηκε στο 20%. Στο Σχήµα 8.13 παρουσιάζονται τα 

αποτελέσµατα για την πρώτη αυτή περιοχή φωτοαποδόµησης. 

Σχήµα 8.13: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την πρώτη περιοχή 

φωτοαποδόµησης από 0.01 έως 0.1 J/cm 2 

325


326 

• 2 η Περιοχή φωτοαποδόµησης για 0.1 έως 1 J/cm 2 

Η δεύτερη ευδιάκριτη περιοχή φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την πυκνότητα 

ενέργειας βρίσκεται µεταξύ των 0.1 και 1 J/cm 2 . Το φαινόµενο της 

φωτοαποδόµησης αρχίζει να γίνεται έντονο παράγοντας βάθη τα οποία ξεκινάνε 

από τα 2 nm και φτάνουν τα 12 nm ανά παλµό. Το βάθος φωτοαποδοµησης 

παρουσιάζει εκθετική αύξηση σε σχέση µε την πυκνότητα ενέργειας, τόσο για τα 

πειραµατικά όσο και για τα θεωρητικά αποτελέσµατα, τα οποία κυµαίνονται στην 

ίδια περιοχή. Ο υπολογισµός της µέσης απόκλισης των αποτελεσµάτων 

υπολογίσθηκε στο 12.7%, τιµή ικανοποιητική. 

Σχήµα 8.14: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την δεύτερη περιοχή 

φωτοαποδοµησης από 0.1 έως 1 J/cm 2 

• 3 η Περιοχή φωτοαποδόµησης για 1 έως 10 J/cm 2 

Ακολούθως, η τρίτη ευδιάκριτη περιοχή φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την 

πυκνότητα ενέργειας βρίσκεται µεταξύ 1 και 10 J/cm 2 . Το φαινόµενο της 

φωτοαποδόµησης είναι έντονο, συντελώντας στην παραγωγή οπών, των οποίων 

τα βάθη κυµαίνονται από 12 nm έως και 500 nm ανά παλµό. Το βάθος 

φωτοαποδόµησης συνεχίζει να παρουσιάζει εκθετική αύξηση σε σχέση µε την 

πυκνότητα ενέργειας τόσο για τα πειραµατικά όσο και για τα θεωρητικά 

αποτελέσµατα, τα οποία κυµαίνονται στην ίδια περιοχή. Ο υπολογισµός της 

µέσης απόκλισης των αποτελεσµάτων υπολογίσθηκε στο 6.7%, τιµή άκρως 

ικανοποιητική.

Σχήµα 8.15: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την τρίτη περιοχή 

φωτοαποδοµησης από 1 έως 10 J/cm 2 

• 4 η Περιοχή φωτοαποδόµησης για 10 έως 30 J/cm 2 


Τέλος η τελευταία ευδιάκριτη περιοχή φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την 

πυκνότητα ενέργειας βρίσκεται µεταξύ 10 και 30 J/cm 2 . Πυκνότητες ενέργειας 

µεγαλύτερες των 30 J/cm 2 δεν εξετάζονται υπολογιστικά, λόγω περιορισµού του 

υπολογιστικού κωδικά. Η φωτοαποδόµηση παράγει βάθη που για τα πειραµατικά 

αποτελέσµατα κυµαίνονται από 500 nm έως και 1100 nm ανά παλµό, ενώ τα 

θεωρητικά περιορίζονται στα 726nm ανά παλµό, όπου είναι και το µέγιστο βάθος 

που µπορεί να εξαχθεί από το υπολογιστικό µοντέλο. Αυτό οφείλεται καθαρά 

στην ανεπάρκεια υπολογιστικής ισχύος για τον υπολογισµό υψηλού όγκου 

δεδοµένων. Θα µπορούσε πιθανότατα να ξεπερασθεί αν αυξανόταν ο αριθµός 

παράλληλων επεξεργαστών και συνεπώς ο ολικός όγκος προσοµοίωσης. Το 

βάθος φωτοαποδόµησης τείνει να αποκτήσει γραµµική σχέση µε την πυκνότητα 

ενέργειας, τόσο για τα πειραµατικά όσο και για τα θεωρητικά αποτελέσµατα. Ο 

υπολογισµός της µέσης απόκλισης των αποτελεσµάτων υπολογίσθηκε στο 20.7%. 

Όπως αναφέρθηκε και πρωτύτερα η µεγάλη τιµή της απόκλισης οφείλεται στους 

περιορισµούς µεγέθους του υπολογιστικού µοντέλου. 

327


328 

Σχήµα 8.16: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την τέταρτη περιοχή 

φωτοαποδόµησης από 10 έως 30 J/cm 2 

Συνοψίζοντας παρατηρούµε ότι η εγκυρότητα της παρουσιαζόµενης µεθοδολογίας για τον 

υπολογισµό του βάθους φωτοαποδόµησης αλλά και γενικότερα της µεθόδου θεωρητικής 

προσέγγισης που αναπτύχθηκε, εκφράζεται και από την καλή ακρίβεια που παρουσιάζει η 

σύγκριση πειραµατικών και θεωρητικών αποτελεσµάτων, ιδιαίτερα για τις περιοχές 

ενδιαφέροντος της διεργασίας (0.1-1 J/cm 2 και 1-10 J/cm 2 ).

8.4 ∆ιερεύνηση θερµοκρασιακού πεδίου 


Η διερεύνηση του παραγόµενου θερµοκρασιακού πεδίου πραγµατοποιήθηκε τόσο για την 

εξέλιξη της θερµοκρασίας κατά τον χρόνο του υπολογιστικού πειράµατος όσο και για την 

µεταβολή της θερµοκρασίας κατά το επίπεδο ΧΥ. Για την µελέτη εξέλιξης της θερµοκρασίας 

τόσο στο χρόνο όσο και στο επίπεδο πραγµατοποιήθηκε ανάλυση για τις πυκνότητες 

ενέργειας 0.1, 0.3, 0.6, 1 και 1.5 J/cm 2 . Οι πυκνότητες ενέργειας αυτές ξεκινούν από το 

κατώφλι φωτοαποδόµησης και τελειώνουν µε την ένταση 1.5 J/cm 2 . Η επιλογή αυτή έγινε 

γιατί η συγκεκριµένη περιοχή παρουσιάζει σηµαντικό ενδιαφέρον, εφόσον περιλαµβάνει την 

τιµή που θεωρείται το κατώφλι φωτοαποδόµησης άλλα και πυκνότητες ενέργειας από την 

µεταβατική περιοχή αποδόµησης. 

8.4.1 Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας. 

• Για πυκνότητα ενέργειας 0.1 J/cm 2 

Η εξέλιξη της θερµοκρασίας στον χρόνο εµφανίζει ταχύτατη αύξηση µέσα στα 

400 πρώτα χρονοβήµατα που αντιστοιχούν σε 40 fs. Η µέγιστη παρατηρούµενη 

θερµοκρασία των 1830 Κ για την συγκεκριµένη πυκνότητα ενέργειας, αποκτάται 

µετά από 2000 χρονοβήµατα, τα οποία αντιστοιχούν σε 200 fs (Σχήµα 8.17). Στα 

0.1 J/cm 2 έχει ορισθεί το κατώφλι φωτοαποδόµησης Fe µε υπερβραχείς παλµούς 

Laser. Για το κατώφλι η αναµενόµενη θερµοκρασία είναι τουλάχιστον αυτή της 

τήξης του Fe, δηλαδή των 1811 K [5]. Σε αυτό το σηµείο πρέπει να τονιστεί πως 

η θερµοκρασία που υπολογίζεται και παρουσιάζεται δεν είναι η θερµοκρασία 

επιφάνειας, όπου και λαµβάνει χώρα πρωταρχικά η φωτοαποδόµηση, αλλά η 

µέση θερµοκρασία ενός όγκου του δείγµατος που εκτείνεται κατά τον άξονα Ζ. 

Άλλες µελέτες Μ∆ για πυκνότητες ενέργειας στην περιοχή των 0.1 J/cm 2 

υπολογίζουν θερµοκρασίες παρόµοιας τάξης µεγέθους. Συγκεκριµένα για Cu και 

πυκνότητα ενέργειας 0.17 J/cm 2 εκτιµάται θερµοκρασία 1500 Κ [6], ενώ για Νi 

και πυκνότητα ενέργειας 0.1J/cm 2 εκτιµάται 3000 K [7]. 

329


330 

Σχήµα 8.17: Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 0.1 J/cm 2 


Στο διάγραµµα του Σχήµατος 8.18 για πυκνότητα ενέργειας 0.3 J/cm 2 

παρατηρείται επίσης αύξηση της θερµοκρασίας µέχρι τους 4062 K, έπειτα από 

2000 υπολογιστικά χρονοβήµατα δηλαδή 200 fs. Η θερµοκρασία τήξης του Fe 

παρουσιάζεται στα 80 χρονοβήµατα περίπου, δηλαδή στα 8 fs. Συνεπώς το 

φαινόµενο της φωτοαποδόµησης που ουσιαστικά αποτελεί συνδυασµό 

εξάχνωσης, εξάτµισης και τήξης ξεκινάει σχετικά άµεσα κατόπιν τις εφαρµογής 

του παλµού. Ακολουθώντας την συλλογιστική που παρατέθηκε στο σχολιασµό 

του διαγράµµατος για πυκνότητα ενέργειας 0.1 J/cm 2 , θερµοκρασία τήξης στην 

επιφάνεια επιτυγχάνεται σχετικά πιο νωρίς. Επιπλέον αξίζει να σηµειωθεί ότι 

καθ’ όλη την διάρκεια της φωτοαποδόµησης η θερµοκρασία είναι κατά πολύ 

µεγαλύτερη του σηµείου τήξης. Είναι µάλιστα µεγαλύτερη και από την 

θερµοκρασία βρασµού που είναι 3134 K [5], πράγµα που υποδεικνύει την ύπαρξη 

ισχυρής υπερθέρµανσης.




Η εξέλιξη της θερµοκρασίας στον χρόνο εµφανίζει µεγάλη αύξηση µέσα στα 50 

πρώτα χρονοβήµατα που αντιστοιχούν σε 5 fs. Η δε µέγιστη θερµοκρασία 

παρουσιάζεται στα 1250 χρονοβήµατα, δηλαδή 125 fs και υπολογίζεται στους 

6584 K. Πάλι, όπως ήταν αναµενόµενο, οι θερµοκρασίες υπερβαίνουν το σηµείο 

εξάχνωσης του Fe. Σε σύγκριση µε της δυο προηγούµενες πυκνότητες ενέργειας 

αυτό που παρατηρείται είναι ότι το φαινόµενο της φωτοαποδόµησης όσο και η 

µέγιστη θερµοκρασία του δείγµατος επιταχύνονται χρονικά. 


331


332 

• Για πυκνότητα ενέργειας 1 J/cm 2 

Το διάγραµµα του Σχήµατος 8.20 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της 

θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας Laser 1 J/cm 2 . Μία ασφαλής εκτίµηση 

για τη χρονική στιγµή που πρωτοεπιτυγχάνεται η φωτοαποδόµηση είναι 20 

χρονοβήµατα, τουτέστιν 2 fs. Η δε θερµοκρασία εξάχνωσης παρατηρείται λίγο 

αργότερα στα 4 fs. Η µέγιστη µετρούµενη θερµοκρασία είναι 10107 K και 

σηµειώνεται στα 500 χρονοβήµατα, δηλαδή στα 50 fs. Η θερµοκρασία εµφανίζει 

µια πτωτική τάση που την οδηγεί τελικά στα 200 fs στους 8000 Κ µε ελάχιστο 

λίγο πιο πριν, στα 180 fs και 7800 Κ. Βέβαια παρά την πτωτική αυτή τάση, η 

θερµοκρασία παραµένει υψηλή, δεδοµένου ότι το ελάχιστο είναι 7800 K δηλαδή 

το υπερδιπλάσιο του σηµείου εξάχνωσης. Άρα εκτιµάται ότι ο ρυθµός 

φωτοαποδόµησης µειώνεται. Το γεγονός των υψηλών θερµοκρασιών 

καταδεικνύει για άλλη µία φορά την ύπαρξη ισχυρής υπερθέρµανσης καθ’όλη την 

διάρκεια του φαινοµένου. Σε σύγκριση µε τα αποτελέσµατα για 0.6 J/cm 2 το 

φαινόµενο έχει επιταχυνθεί χρονικά ακόµη περισσότερο. Τέλος από την 

βιβλιογραφία προκύπτει ότι για 1 J/cm 2 οι θερµοκρασίες εµφανίζουν µέγιστα ως 

και 11000 [8]. 

Σχήµα 8.20: Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 1 J/cm 2



Για πυκνότητα ενέργειας 1.5 J/cm 2 αρχικά παρατηρείται άµεση αύξηση της 

θερµοκρασίας µέχρι τους 14912 K µετά από 41 fs. Τα σηµεία τήξης και 

εξάχνωσης επιτυγχάνονται νωρίτερα σε σχέση µε µικρότερες πυκνότητες 

ενέργειας, στους χρόνους 2 fs και 5 fs αντίστοιχα, δηλαδή µετά την πάροδο 20 

και 50 χρονοβηµάτων. Έπειτα από την µέγιστη θερµοκρασία παρατηρείται µια 

πτώση που καταλήγει να εµφανίζει ελάχιστο 10620 K σε χρόνο 170 fs. Το εύρος 

των θερµοκρασιών που επιτυνχάνονται υποδεικνύει ισχυρή υπερθέρµανση του 

Fe. Η βιβλιογραφία για πυκνότητα ενέργειας 1.5 J/cm 2 εκτιµά µέγιστη 

θερµοκρασία 16000 K [9]. 


Μία γενικότερη παρατήρηση που βρίσκει εφαρµογή σε όλα τα παραπάνω διαγράµµατα είναι 

οι διακυµάνσεις που παρατηρούνται στην θερµοκρασιακή εξέλιξη. Αυτές οι διακυµάνσεις 

αντανακλούν την εκτός ισορροπίας κατάσταση του υλικού, καθώς ακτινοβολείται από το 

Laser. Οι διακυµάνσεις µπορούν να εξαλειφθούν µόνο έπειτα από σηµαντική χωρική και 

χρονική συνάθροιση. Επίσης, από φυσική άποψη η θερµοκρασία είναι αναµενόµενο να 

παρουσιάζει µείωση από την στιγµή που αφαιρούνται σωµατίδια από τον όγκο προσοµοίωσης 

λόγω φωτοαποδόµησης. Τέλος αξίζει να σηµειωθεί για άλλη µία φορά πως η παρούσα Μ∆ 

χρησιµοποίησε για την περιγραφή των ενδοατοµικών αλληλεπιδράσεων το δυναµικό Morse. 

Το δυναµικό Morse σε σχέση µε τα δυναµικά πολλών σωµατίδιων, όπως λόγου χάρη το EAM, 

333


υπερεκτιµά τις θερµοκρασίες. Χαρακτηριστικά ένα µοντέλο µε δυναµικό Morse υπολογίζει 

για 0.4 J/cm 2 µέγιστη θερµοκρασία 5000 K ενώ το EAM 3500 K [10]. 

8.4.2 Θερµοκρασιακό πεδίο 

Η προκαλούµενη ατοµική αταξία ξεκινάει στην περιοχή του επιπέδου ΧΥ που βρίσκεται υπό 

την επιφάνεια της ακτίνας Laser. Σε συνέχεια και όπως ήταν αναµενόµενο η αταξία αυτή 

µεταδίδεται κατά µήκος του επιπέδου ΧΥ αλλά µε αποσβενόµενο χαρακτήρα. Οι 

διαφορετικές ταχύτητες των σωµατιδίων συνεπάγονται και διαφορετικές θερµοκρασίες. 

Θέτοντας ως αρχή της παρατήρησης την επιφάνεια του όγκου προσοµοίωσης αµέσως µετά τη 

δέσµη, οι µέγιστες τιµές θερµοκρασίας παρουσιάζονται στο συγκεκριµένο όριο. 

Αποµακρύνοντας το σηµείο δειγµατοληψίας κατά το επίπεδο ΧΥ, από την δέσµη Laser, 

παρατηρείται η αναµενόµενη µείωση στις τιµές της θερµοκρασίας. Ο ρυθµός µεταβολής της 

θερµοκρασίας σε σχέση µε την απόσταση από το εστιακό επίπεδο µεταβάλλεται ανάλογα µε 

την εφαρµοζόµενη πυκνότητα ενέργειας. Ο κάτωθι πίνακας παραθέτει τους ρυθµούς µείωσης 

της θερµοκρασίας για κάθε µελετόµενη πυκνότητα ενέργειας. 

334 

Πυκνότητα ενέργειας F (J/cm 2 ) Ρυθµός µεταβολής TR (K/nm) 

1. 1.5 4988 

2. 1 3041 

3. 0.6 2646 

4. 0.3 907 

5. 0.1 269 

Πίνακας 8.3: Ρυθµοί µεταβολής θερµοκρασίας σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη πυκνότητα 

ενέργειας 

Στο διάγραµµα του Σχήµατος 8.22 είναι ευδιάκριτη η µείωση της µέσης θερµοκρασίας σε 

σχέση µε την απόσταση από το εστιακό επίπεδο. ∆ιαφορετικοί ρυθµοί ελάττωσης της µέσης 

θερµοκρασίας (ψύξης) είναι εµφανείς. Οι υψηλοί ρυθµοί ελάττωσης της θερµοκρασίας 

υποδεικνύουν ότι το φαινόµενο της αποδόµησης έχει εξαιρετικά υψηλή χωρική 

συγκέντρωση. Συνεπώς και η ζώνη θερµικής επιρροής (HAZ) είναι ιδιαίτερα περιορισµένη.


Σχήµα 8.22: Μέση θερµοκρασία σε σχέση µε την απόσταση από το εστιακό επίπεδο για την 

επιφάνεια του όγκου προσοµοίωσης για διαφορετικές πυκνότητες ενέργειας. 

Πειραµατικές µελέτες δείχνουν ότι οι ζώνες θερµικής επιρροής για φωτοαποδόµηση µε Laser 

υπερβραχέων παλµών είναι µικρότερες από τις πειραµατικές δυνατότητες παρατήρησης που 

βρίσκονται στα 2 µm [11]. 

8.5 Μηχανισµοί φωτοαποδόµησης 

Μια βασική παράµετρος της φωτοαποδόµησης ενός µεταλλικού υλικού αποτελεί το πάχος 

του υλικού που αφαιρείται ανά παλµό Laser, δηλαδή ο λεγόµενος ρυθµός φωτοαποδόµησης 

ανά παλµό. Από την παρούσα µελέτη προκύπτει ένας επαρκής αριθµός δεδοµένων, τόσο 

πειραµατικών όσο και θεωρητικών, για την εξάρτηση του ρυθµού φωτοαποδόµησης από την 

πυκνότητα ενέργειας. Ανάλογα µε τις παραµέτρους του Laser αφαιρείται υλικό πάχους 

κάποιων nm µέχρι µερικών µm, σχηµατίζοντας από ένα σαφές αποτύπωµα έως µια διακριτή 

οπή στο υπό κατεργασία υλικό. Η θεωρητική ανάλυση έδειξε ότι η ποσότητα του υλικού που 

αποµακρύνεται, άρα και το βάθος φωτοαποδόµησης, εξαρτάται από την πυκνότητα ενέργειας 

του παλµού. Πίσω όµως από αυτή τη φαινοµενολογικά απλή περιγραφή βρίσκεται ένα 

πλήθος πολύπλοκων διεργασιών και φαινοµένων που λαµβάνουν χώρα. Η φωτοαποδόµηση 

περιγράφεται συνήθως ως η µακροσκοπική (κάποια nm ως κάποια µm) αφαίρεση υλικού. 

Προφανώς αυτή είναι µια φαινοµενολογική περιγραφή του φαινοµένου. Όµως, εν γένει κατά 

την ακτινοβόληση ενός µεταλλικού υλικού, οι µηχανισµοί που παρουσιάστηκαν και 

335


αναλύθηκαν στην θεωρητική προσέγγιση της διατριβής (κεφάλαιο 3) συµβάλλουν στην 

αποµάκρυνση υλικού. Στις χαµηλές πυκνότητες ενέργειας της εφαρµοζόµενης δέσµης, ο 

διαχωρισµός των µηχανισµών είναι σχετικά πιο εύκολος και αιτιολογηµένος. Σε συνθήκες 

ισχυρής ακτινοβόλησης µπορεί να υπάρξει ισχυρή σύζευξη των διαφόρων διαδικασιών και η 

κατηγοριοποίηση καθίσταται αµφισβητήσιµη. Σχηµατικά οι διεργασίες που προκαλούνται 

από τους διάφορους µηχανισµούς αποδόµησης για υπερβραχείς παλµούς µπορούν να 

κατηγοριοποιηθούν µε αυξανόµενη πυκνότητα ενέργειας του Laser, που καθορίζει το 

«µέγεθος» της διαταραχής στην οποία υπόκειται το υλικό. Σε χαµηλές πυκνότητες ενέργειας 

η θερµική επίδραση είναι εξαιρετικά µικρή ή ελάχιστη έτσι µπορεί να θεωρηθεί ότι η 

ακτινοβολια Laser ελάχιστα διαταράσσει (θερµικά) το υλικό. Σε αυξανόµενες πυκνότητες 

ενέργειας, υπάρχει ένα εύρος τιµών, κάτω από την τιµή του κατωφλίου φωτοαποδόµησης, 

όπου η ακτινοβόληση µε Laser προκαλεί µορφολογικές αλλαγές και κάποια απώλεια µάζας. 

Φαίνεται ότι σ’αυτες τις ενδιάµεσες πυκνότητες ενέργειας δρα ένας µηχανισµός θερµικής 

αποπροσρόφησης. Σε ακόµα υψηλότερες πυκνότητες ενέργειας παρατηρείται εν γένει η 

σηµαντική αφαίρεση υλικού, η οποία επιπλέον φαίνεται να µην είναι επιλεκτική. Η αφαίρεση 

αυτή απαιτεί µια δράση άλλων µηχανισµών, όπως είναι ο εκρηκτικός βρασµός και µια σειρά 

από ελαστικά κύµατα που περιγράφονται ως φωτοµηχανικός µηχανισµός. Τέλος σε υψηλές 

εντάσεις ακτινοβολίας τα εκτινασσόµενα άτοµα ή µόρια µπορεί να ιονιστούν συντελώντας 

στον σχηµατισµό πλάσµατος ή plume, αποτελούµενο από ιόντα και ελεύθερα ηλεκτρόνια. 

Η κατανόηση της δράσης των διαφόρων µηχανισµών και η προσπάθεια να 

κατηγοριοποιηθούν οι µηχανισµοί που δρουν στις διάφορες πυκνότητες ενέργειας είναι 

σηµαντική όταν αποσκοπείται η βελτιστοποίηση και ανάπτυξη των πρακτικών εφαρµογών 

της φωτοαποδόµησης. 

Ακολούθως επιχειρείται µια διασύνδεση των περιοχών φωτοαποδόµησης, όπως ορίστηκαν 

στην παράγραφο 8.3 και των µηχανισµών που συµβάλλουν στην αποµάκρυνση υλικού. 

336 

• Περιοχή ήπιας φωτοαποδόµησης. 

Η περιοχή αυτή ορίζεται για πυκνότητες ενέργειας µεταξύ των ορίων 0.01 και 

0.1 J/cm 2 . Για τιµές πυκνότητας ενέργειας κοντά στο κάτω όριο η θερµική 

επίδραση είναι ελάχιστη και για τον λόγω αυτό δεν παρατηρείται φωτοποδόµηση. 

Σε αυξανόµενες πυκνότητες ενέργειας και πλησιάζοντας στο άνω όριο της


περιοχής (0.1 J/cm 2 ), το οποίο έχει ορισθεί και ως κατώφλι φωτοαποδόµησης, η 

ακτίνα Laser προκαλεί µορφολογικές αλλαγές και απώλεια µάζας. Σε αυτές τις 

πυκνότητες ενέργειας δρα ο φωτοθερµικός µηχανισµός. Η κινητική ενέργεια των 

σωµατίδιων µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια και κατά συνέπεια οδηγεί τµήµατα 

της ακτινοβολούµενης επιφάνειας του υλικού σε τήξη και εξάτµιση. Η λεία 

µορφολογία της επιφάνειας που προκαλείται από την φωτοαποδόµηση ενισχύει 

την υπόθεση ότι η αποµάκρυνση υλικού οφείλεται στον φωτοθερµικό µηχανισµό. 

• Μεταβατική περιοχή φωτοαποδόµησης 

Τα όρια πυκνοτήτων ενέργειας που ορίζουν την µεταβατική περιοχή 

φωτοαποδόµησης είναι 0.1 και 1 J/cm 2 . Κατά την µεταβατική περιοχή δεν 

κυριαρχεί κάποιος µηχανισµός αφαίρεσης υλικού. Σε πυκνότητες ενέργειας 

κοντά στο κατώτατο όριο το φαινόµενο καλύπτεται από το φωτοθερµικό 

µηχανισµό. Για µεγαλύτερες πυκνότητες ενέργειας ως µηχανισµός 

φωτοαποδόµησης προτείνεται ο φωτοµηχανικός, ο οποίος προκαλείται από τάσεις 

λόγω ακτινοβόλησης. Η ταχύτατη και µεγάλη αύξηση της θερµοκρασίας του 

υλικού ως συνέπεια της ακτινοβόλησης, συνεπάγεται πολύ γρήγορη διαστολή της 

περιοχής, οπότε το υλικό δεν έχει χρόνο να προσαρµοσθεί σε αυτή την αλλαγή µε 

αποτέλεσµα να αναπτύσσονται ισχυρές απωστικές δυνάµεις πάνω στη 

θερµαινόµενη ζώνη, οι οποίες και οδηγούν και στην εκτίναξη του υλικού προτού 

ή αφότου αυτό τηχθεί. Το µέγεθος αυτών των τάσεων γίνεται σηµαντικό όταν η 

χρονική διάρκεια του προσπίπτοντας παλµού είναι µικρότερη από το 

χαρακτηριστικό χρόνο µηχανικής ισορροπίας του απορροφούντος όγκου, οπότε η 

θέρµανση του συστήµατος γίνεται σχεδόν υπό σταθερό όγκο µε αποτέλεσµα την 

ανάπτυξη υψηλής θερµοελαστικής πίεσης. Η θερµοελαστική αυτή πίεση είναι 

υπεύθυνη για την ανάπτυξη δυο θερµοελαστικών κυµάτων, µε αντίθετη µεταξύ 

τους διάδοση κατά τον άξονα της δέσµης. Ένα κύµα διαδίδεται κατά την 

επιφάνεια και ένα προς το εσωτερικό του δείγµατος. 

• Περιοχή ισχυρής φωτοαποδόµησης υψηλής απόδοσης 

Η περιοχή αυτή ορίζεται για πυκνότητες ενέργειας µεταξύ των ορίων 1 και 10 

J/cm 2 και χαρακτηρίζεται από την συνεχώς αυξανόµενη απόδοση της 

337


338 

φωτοποδόµησης µέχρι την τιµή των 10 J/cm 2 . Όπως και στις προηγούµενες 

περιοχές δεν είναι δυνατό να καθοριστεί ένας µόνο µηχανισµός 

φωτοαποδόµησης. Εκτός του φωτοµηχανικού µηχανισµού που εξακολουθεί να 

αποτελεί µηχανισµό αποµάκρυνσης και γι’ αυτή τη περιοχή και εξασθενεί κατά 

την αύξηση της πυκνότητας ενέργειας, εµφανίζεται και ο µηχανισµός εκρηκτικού 

βρασµού. Σύµφωνα µε την θερµοδυναµική Gibbs υπάρχουν δυο όρια για την 

συµπυκνωµένη φάση: η binodal γραµµή, η οποία είναι η καµπύλη ισορροπίας 

(P,T) για το υγρό και το αέριο, και η spinodal γραµµή, η οποία είναι το σύνορο 

της θερµοδυναµικής σταθερότητας της υγρής φάσης. Μεταξύ αυτιών των δυο 

συνοριακών συνθηκών υπάρχει µια περιοχή υπέρθερµου υγρού. Στην spinodal 

καµπύλη η υγρή φάση δεν είναι σταθερή και το σύστηµα «αυθόρµητα» διασπάται 

σε αέρια και υγρή φάση. Συνεπώς σε αυξανόµενες πυκνότητες ενέργειας κατά 

την περιοχή ισχυρής φωτοποδόµησης υψηλής απόδοσης ο εκρηκτικός βρασµός 

είναι ο κυρίαρχος µηχανισµός αποδόµησης. 

• Περιοχή ισχυρής φωτοαποδόµησης χαµηλής απόδοσης. 

Τα όρια πυκνοτήτων ενέργειας που ορίζουν την µεταβατική περιοχή 

φωτοαποδόµησης είναι 10 και 100 J/cm 2 . Κατά την περιοχή αυτή οι εξαιρετικά 

υψηλές πυκνότητες ενέργειας συνεπάγονται ότι κυρίαρχος και ίσως µοναδικός 

µηχανισµός αποδόµησης είναι ο εκρηκτικός βρασµός. Στις υψηλότερες τιµές 

πυκνότητας ενέργειας τα εκτινασσόµενα άτοµα µπορεί να ιονιστούν συντελώντας 

στον σχηµατισµό πλάσµατος ή plume, αποτελούµενο από ιόντα και ελεύθερα 

ηλεκτρόνια και κατά συνέπεια µείωση της απόδοσης της φωτοποδόµησης. Παρά 

την µείωση όµως της απόδοσης, ο µηχανισµός που συνεχίζει να προκαλεί την 

αποµάκρυνση υλικού είναι ο εκρηκτικός βρασµός.



[1] Tönshoff, H.K., Momma, C., Ostendorf, A., Nolte, S. and Kamlage, G., (2000), 

“Microdrilling of metals with ultrashort Laser pulses”, Journal of Laser Applications, 

Vol. 12, pp. 23-27. 

[2] Rieth, M., (2000), “Molecular dynamics calculations for nanostructured systems”, 

University of Patras, School of Engineering, EngineeringScience Department, PhD 

Thesis. 

[3] Krauss, G., (1997), “Steels: Heat treatment and processing principles”, ASM 

International, Ohio. 

[4] Grigoropoulos, C.P., (2004), “Lecture notes”, University of Berkley, California. 

[5] Alfa Aesar GmbH & Co KG Chemicals, (2006), Alfa Aesar Material Catalogue 2006- 

2007. 

[6] Zhigilei, L.V., (2002), “Metal ablation by picosecond laser pulses: A hybrid simulation”, 

Physical Review B, Vol. 66, pp. 115-124. 

[7] Atanasov, P.A., Nedialkov, N.N., Imamova, S.E., Ruf, A., Hugel, H., Dausinger, F. and 

Berger, P., (2002), “Laser ablation of Ni by ultrashort pulses: Molecular dynamics 

simulation”, Applied Surface Science, Vol. 186, pp. 369-373. 

[8] Nedialkov, N.N., Imamova, S.E., Atanasov, P.A, Heusel, G., Breitling, D., Ruf A., Hugel 

H., Dausinger, F. and Berger, P., (2004), “Laser ablation of iron by ultrashort laser 

pulses”, Thin Solid Films, Vol. 453-454, pp. 496-500. 

[9] Nedialkov, N.N., Atanasov, P.A., Imamova, S.E., Ruf, A., Berger, P. and Dausinger, F., 

(2004), “Dynamics of the ejected material in ultra-short laser ablation of metals”, 

Applied Physics A, Vol. 79, pp. 1121-1125. 

[10] Imamova, S.E., Atanasov, P.A., Nedialkov, N.N., Dausinger, F. and Berger, P., (2005), 

“Molecular dynamics simulation using pair and many body interatomic potentials: 

Ultrashort laser ablation of Fe”, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research 

B, Vol. 227, pp. 490-498. 

[11] Le Harzic, R., Huot, N., Audouard, E., Jonin, C., Laporte, P., Valette, S., Fracnzkiewicz, 

A., Fortunier, R., (2002), “Comparizon of heat-affected zones due to nanosecond ad 

femptosecond laser pulses using transmission electronic miscopy”, Applied Physics 

Letters, Vol 80, 21, pp.3886-3890. 

339


Συµπεράσµατα 

Στο παρόν κεφάλαιο αναφέρονται τα σηµαντικότερα αποτελέσµατα της διατριβής, καθώς και 

θέµατα τα οποία παραµένουν ανοικτά για την περαιτέρω θεωρητική και πειραµατική 

διερεύνηση. Ο βασικός σκοπός της διατριβής, όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, είναι η 

ανάπτυξη µεθοδολογίας προσδιορισµού του βάθους φωτοαποδόµησης που προκαλείται σε 

ένα µεταλλικό υλικό το οποίο έχει κατεργαστεί µε ακτίνες Laser υπερβραχέων παλµών, µε τη 

χρήση Μοριακής ∆υναµικής, καθώς και ο προσδιορισµός των µηχανισµών που συντελούν 

στην αποδόµηση. Για την ανάπτυξη της µεθόδου τα φαινόµενα που λαµβάνουν χώρα κατά 

την διεργασία παρουσιάζονται και µελετώνται ξεχωριστά, λόγο της πολυπλοκότητας του 

µοντέλου που αναπτύχθηκε. Με βάση τα παραγόµενα µοντέλα µπορούν να προσδιοριστούν, 

ο αριθµός φωτονίων που µεταφέρονται από την δέσµη Laser στο προς κατεργασία υλικό 

καθώς και η κατανοµή τους εντός αυτού, το βάθος φωτοαποδόµησης και το παραγόµενο 

θερµοκρασιακό πεδίο. Μελέτη και σύγκριση θεωρητικών και πειραµατικών αποτελεσµάτων 

οδηγεί στην ερµηνεία των µηχανισµών φωτοαποδόµησης. Ανακεφαλαιώνοντας, τα 

σηµαντικότερα αποτελέσµατα της παρούσας διατριβής παρουσιάζονται στην συνέχεια:

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 

342 

• Συνοψίζοντας τόσο τα υπολογιστικά όσο και τα πειραµατικά αποτελέσµατα, για 

την φωτοαποδόµηση µεταλλικών υλικών και πιο συγκεκριµένα σιδήρου, το βάθος 

φωτοαποδόµησης καθώς και ο µηχανισµός αυτής εξαρτώνται κυρίως από την 

πυκνότητα ενέργειας του υπερ-βραχέου παλµού (J/cm 2 ) που επιδρά στο 

µεταλλικό υλικό. 

• Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής εξετάσθηκε ένα ευρύ πεδίο πυκνοτήτων 

ενέργειας, αρχίζοντας απο τα 0.01 J/cm 2 έως τα 100 J/cm 2 . Σε αυτό το εύρος 

πυκνοτήτων ενέργειας εντοπίστηκαν τέσσερις περιοχές φωτοαποδόµησης. Τα 

κατώτατα όρια αυτών των περιοχών είναι από 0.01 J/cm 2 , 0.1 J/cm 2 , 1 J/cm 2 και 

10 J/cm 2 . ∆ιακύµανση µεταξύ των περιοχών παρατηρείται στη σχέση βάθους 

φωτοαποδόµησης και εφαρµοζόµενης πυκνότητας ενέργειας. 

• Η µέγιστη απόδοση της φωτοαποδόµησης (nm 3 /mJ) µετρήθηκε στα 9 J/cm 2 . 

Κατόπιν του ορίου των 10 J/cm 2 η απόδοση µειώνεται και η διεργασία κρίνεται 

µη αποδοτική. Η αύξηση της ισχύος της δέσµης του Laser που προκαλεί 

εµφάνιση κρουστικών κυµάτων καθώς και η αποκόλληση πλάσµατος που 

προκαλεί µείωση της απορροφητικότητας του υλικού συντελούν στην µείωση της 

απόδοσης της διεργασίας. 

• Το κατώφλι ουσιαστικής φωτοαποδόµησης βρέθηκε στα 0.1 J/cm 2 . Κάτωθεν 

αυτού η φωτοαποδόµηση µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα. Πειραµατικά το βάθος 

φωτοαποδόµησης για πυκνότητες ενέργειας κάτω από το 0.1 J/cm 2 , δεν είναι 

µετρήσιµο µε συνήθεις πρακτικές. Φωτογραφίες SEM, δοκιµίων που έχουν 

υποστεί ακτινοβολία Laser παρουσιάζουν αλλοιωµένη επιφάνεια στο σηµείο 

εστίασης της δέσµης. Μπορεί εποµένως µε ασφάλεια να συµπεράνουµε ότι το 

φαινόµενο περιορίζεται στην αποµάκρυνση ελάχιστου αριθµού σωµατιδίων απο 

την επιφάνεια του υλικού. 

• Στη περιοχή ήπιας φωτοαποδόµησης (0.01-0.1 J/cm 2 ) χαρακτηριστικός 

µηχανισµός αφαίρεσης υλικού είναι ο φωτοθερµικός µηχανισµός, εφόσον ο όγκος 

φωτοαποδόµησης είναι της τάξεως του νανοµέτρου και η οπτική µελέτη των 

πειραµατικών αποτελεσµάτων δείχνουν λεία παραγόµενη επιφάνεια. Η κινητική


ενέργεια των σωµατίδιων µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια και κατά συνέπεια 

οδηγεί τµήµατα της ακτινοβολούµενης επιφάνειας του υλικού σε τήξη και 

εξάτµιση. Το βάθος φωτοαποδόµησης αυξάνεται γραµµικά µε την πυκνότητα 

ενέργειας του Laser. Η µέγιστη θερµοκρασία στην επιφάνεια υπολογίζεται στους 

1830 ο Κ. Ο ρυθµός µεταβολής της θερµοκρασίας στο επίπεδο για το άνω όριο 

είναι 269 ο Κ/nm. Σύγκριση θεωρητικών και πειραµατικών αποτελεσµάτων έδειξε 

µέση απόκλιση 20% για τις µετρούµενες περιοχές. 

• Κατά τη µεταβατική περιοχή φωτοαποδόµησης (0.1-1 J/cm 2 ) δεν κυριαρχεί 

κάποιος µηχανισµός αφαίρεσης υλικού. Εικάζεται ότι η αποµάκρυνση οφείλεται 

τόσο σε φωτοθερµικούς, για περιοχές πυκνότητες εντάσεων κοντά στο κάτω όριο 

της περιοχής, όσο και σε φωτοµηχανικούς µηχανισµούς, που κυριαρχούν 

τείνοντας στο άνω όριο. Το βάθος φωτοαποδόµησης αυξάνεται εκθετικά µε την 

πυκνότητα ενέργειας τόσο για τα πειραµατικά όσο και για τα υπολογιστικά 

αποτελέσµατα. Η µέγιστη θερµοκρασία υπολογίζεται στους 10107 ο Κ και ο 

ρυθµός µεταβολής της θερµοκρασίας σε περιοχές κοντά στην επιφάνεια του 

υλικού για το άνω όριο είναι 3046 ο Κ/nm. Ο υπολογισµός της µέσης απόκλισης 

των αποτελεσµάτων υπολογίσθηκε στο 12.7%. 

• Στη περιοχή ισχυρής φωτοαποδόµησης, υψηλής απόδοσης (1-10 J/cm 2 ) 

κυριαρχούν ο φωτοµηχανικός και ο εκρηκτικός βρασµός, ως µηχανισµοί 

αφαίρεσης υλικού. Η περιοχή αυτή χαρακτηρίζεται απο την συνεχώς αυξανόµενη 

απόδοση της φωτοποδόµησης µέχρι την τιµή των 10 J/cm 2 . Το φαινόµενο της 

φωτοαποδόµησης είναι πια έντονο συντελώντας στην παραγωγή οπών, των 

οποίων τα βάθη κυµαίνονται από 12 nm έως και 500 nm ανά παλµό. Το βάθος 

φωτοαποδόµησης αυξάνεται εκθετικά µε την πυκνότητα ενέργειας του Laser. Η 

µέγιστη θερµοκρασία υπολογίζεται στους 14912 ο Κ. Ο ρυθµός µεταβολής της 

θερµοκρασίας στο επίπεδο είναι µεγαλύτερος των 5000 ο Κ/nm. Ο υπολογισµός 

της µέσης απόκλισης των αποτελεσµάτων υπολογίσθηκε στο 6.7%. 

• Κατά τη περιοχή ισχυρής φωτοαποδόµησης, χαµηλής απόδοσης (10-100 J/cm 2 ) 

κύριος µηχανισµός αφαίρεσης υλικού είναι ο εκρηκτικός βρασµός. Η 

φωτοαποδόµηση παράγει βάθη που για τα πειραµατικά αποτελέσµατα 

κυµαίνονται από 500 nm έως και 1100 nm ανά παλµό, ενώ τα θεωρητικά 

343


344 

περιορίζονται στα 726 nm ανά παλµό, το οποίο είναι και το µέγιστο βάθος που 

µπορεί να εξαχθεί από το υπολογιστικό µοντέλο. Το βάθος φωτοαποδόµησης 

τείνει να αποκτήσει γραµµική σχέση µε την πυκνότητα ενέργειας τόσο για τα 

πειραµατικά όσο και για τα θεωρητικά αποτελέσµατα. Ο υπολογισµός της µέσης 

απόκλισης των αποτελεσµάτων υπολογίσθηκε στο 20.7%. 

• Τέλος η διάρκεια του χρόνου προσοµοίωσης αυξάνεται µε αύξηση του αριθµού 

των σωµατιδίων που εµπεριέχονται στο µοντέλο. Η πολυνηµατική επεξεργασία 

επιτρέπει µειωµένους χρόνους προσοµοίωσης απο 35-58% ανάλογα µε τον 

αριθµό σωµατίδιων που εµπεριέχονται στο µοντέλο προσοµοίωσης. Η διαφορά 

χρόνου εξαγωγής του αποτελέσµατος παρουσιάζει διακύµανση µε την µεταβολή 

του αριθµού των σωµατιδίων προσοµοίωσης.

9.1 Θέµατα ανοικτά προς διερεύνηση 


Η παρούσα διατριβή παρουσίασε µια µέθοδο προσδιορισµού του βάθους φωτοαποδόµησης 

που προκαλείται σε ένα µεταλλικό υλικό, το οποίο έχει υποστεί ακτινοβολία µε υπερ-βραχείς 

παλµούς Laser, µε τη χρήση Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης. Μια σειρά όµως από θέµατα 

σχετικά µε τη Μοριακή ∆υναµική ανάλυση της φωτοαποδόµησης µεταλλικών υλικών, µε 

υπερ-βραχείς παλµούς Laser, απαιτούν περαιτέρω έρευνα. Συνοπτικά τα θέµατα των οποίων 

η επίλυση θα οδηγήσει στην δηµιουργία µιας ολοκληρωµένης µεθοδολογίας, γεγονός που θα 

βοηθήσει στην υιοθέτησή της από την βιοµηχανία, συµπεριλαµβάνουν: 

• Επέκταση της µεθόδου σε φάσµα µεταλλικών υλικών. Η επέκταση αυτή θα 

συµβάλει στην καλύτερη κατανόηση του φαινοµένου της φωτοαποδόµησης αλλά 

µπορεί να αποτελέσει και την αρχή για την δηµιουργία µια βάσεως δεδοµένων για 

την πρόβλεψη του βάθους φωτοαποδόµησης κατά την επίδραση Laser υπερβραχέων 

παλµών σε µεταλλικά υλικά. 

• ∆ιερεύνηση της µεταβολής της ατοµικής πυκνότητας του υλικού καθώς και των 

παραγόµενων πιέσεων. Η διερεύνηση αυτή θα συµβάλει στην παρατήρηση των 

φάσεων και του χρόνου παραµονής σε αυτές, από τις οποίες περνάει το υλικό 

προτού αποµακρυνθεί λόγω αποδόµησης. 

• ∆ιερεύνηση της επίδρασης, µε την µέθοδο της Μοριακής ∆υναµικής, Laser 

µεγαλύτερης διάρκειας παλµών (picosecond), αποσκοπώντας στην µελέτη των 

διαφορετικών µηχανισµών φωτοαποδόµησης που συντελούν στην αποµάκρυνση 

υλικού. 

• Επέκταση της µεθόδου Μ∆ σε συνδυασµό µε την µέθοδο των πεπερασµένων 

στοιχείων αποσκοπώντας στην µελέτη της φωτοαποδόµησης σε µεγαλύτερους 

όγκους δοκιµίων. 

• Τη χρήση έκφρασης δυναµικού πολλών σωµατιδίων (EAM) κατά την περιγραφή 

των δυνάµεων αλληλεπίδρασης των σωµατιδίων του υλικού. Η έκφραση 

345


346 

δυναµικού πολλών σωµατιδίων θα προσδιορίσει τις βέλτιστες περιοχές χρήσης 

κάθε είδους δυναµικού.

Λατινικοί Χαρακτήρες και Σύµβολα 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ – A 

ΟΝΟΜΑΤΟΛΟΓΙΑ 

a Παράµετρος απόστασης συνάρτησης δυναµικού Morse 

ac 

Παράµετρος ακρίβειας δέσµης Laser 

C Ενέργεια συνοχής 

c Ταχύτητα φωτός 

D Παράµετρος ενέργειας συνάρτησης δυναµικού Morse 

Ev 

Ephoton 

Ενέργεια Laser 

Ενέργεια φωτονίου 

E0 Ενέργεια Laser στο εστιακό επίπεδο 

F ∆ιάνυσµα δύναµης 

F Μέτρο δύναµης F 

Μέτρο δύναµης αλληλεπίδρασης ατόµων i και j 

Fij 

F new 

ij Νέο µέτρο δύναµης αλληλεπίδρασης ατόµων i και j έπειτα από απορρόφηση 

ενέργειας ακτινοβολίας 

FL Πυκνότητα ενέργειας Laser 

fi 

∆ύναµη που ενεργεί στο άτοµο i 

f(x,y) ∆ιµεταβλητή κατανοµής Gauss 

Η Χαµιλονιανή εξίσωση συστήµατος 

h Σταθερά Planck 

I Ένταση του Laser 

I0 Ένταση του Laser στο εστιακό επίπεδο


i Μοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα x 

i Άτοµο κρυσταλλικής δοµής 

j Μοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα y 

j Άτοµο κρυσταλλικής δοµής 

K Κινητική ενέργεια 

Ki 

Κινητική ενέργεια ατόµου i 

k Μοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα z 

kB Σταθερά Boltzmann 

M 2 Παράµετρος ποιότητας ακτίνας Laser 

m Μάζα ατόµου 

mi Μάζα ατόµου i 

N Αριθµός ατόµων 

Np 

Νphotons 

nk 

n1 

348 

Αριθµός φωτονίων 

Αριθµός φωτονίων ανά παλµό 

Αριθµός που ακολουθεί την κανονική κατανοµή 


n2 


P ∆υναµική ενέργεια 

Pi 

PL 

∆υναµική ενέργεια i ατόµου 

Έργο Laser 

pi 

Ορµή σωµατιδίου i 

R Συντελεστής ανάκλασης 

rα 

rb 

rij 

r0 

Ακτίνα ατόµου 

Ακτίνα δέσµης Laser 

Απόσταση µεταξύ των ατόµων i και j 

Απόσταση ισορροπίας δύο ατόµων 

rc 

Απόσταση αποκοπής 

r(z) Ακτίνα Laser συναρτήσει του βάθους 

rfo 

ri 

Ακτίνα Laser στο εστιακό επίπεδο 

∆ιάνυσµα θέσης του i σωµατιδίου 

rb 

Ακτίνα δέσµης Laser 

S Ένταση παλµού laser 

Spulse/t 

Χρονική κατανοµή ενέργειας παλµού

T Θερµοκρασία 

Τd 

ΤE 

Επιθυµητή θερµοκρασία για την εξισορρόπηση του συστήµατος 

Ολική ενέργεια 

ΤEi Ολική ενέργεια σωµατιδίου i 

t Χρόνος 

tp 

t0 

∆ιάρκεια παλµού 

Χρονικό κέντρο της διάρκειας, χρησιµοποιείται στο FWHM 

v ∆ιάνυσµα ταχύτητας 

vi 

vx 

vix 

vcm 

vn 

vnix 

Μέτρο ταχύτητας ατόµου i 

Μέτρο ταχύτητας στον x άξονα 

Μέτρο ταχύτητας στον x άξονα του i ατόµου 

Μέση τιµή ταχύτητας για την κατανοµή ταχυτήτων 

Ταχύτητα στο χρονόβηµα n 

Ταχύτητα στο χρονόβηµα n του i σωµατιδίου στον άξονα x 

Ελληνικοί Χαρακτήρες και Σύµβολα 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ - Α 

v new i Νέα ταχύτητα σωµατιδίου i έπειτα από απορρόφηση ενέργειας ακτινοβολίας 

x Τετµηµένη θέσης 

xn 

x new i 

Τετµηµένη θέσης στο χρονόβηµα n 

Νέα τετµηµένη θέσης σωµατιδίου i έπειτα από απορρόφηση ενέργειας 

ακτινοβολίας 

xnD Αριθµός που ακολουθεί την κανονική κατανοµή 

y Τεταγµένη θέσης 

z Θέση στον άξονα z 

a Επιτάχυνση 

αc 

Ακµή του κρυσταλλικού κύβου 

a i 

Επιτάχυνση του ατόµου i 

a x 

Επιτάχυνση στον άξονα x 

a xi 

Επιτάχυνση ατόµου i στον άξονα x 

a n 

Επιτάχυνση στο χρονόβηµα n 

a nix 

Επιτάχυνση στο χρονόβηµα n του i σωµατιδίου στον άξονα x 

349


new 

a Νέα επιτάχυνση σωµατιδίου i έπειτα από απορρόφηση ενέργειας 

i 

ακτινοβολίας 

β Συντελεστής ορίσµατος στο νόµο Beer Lambert 

δt ∆ιάρκεια χρονοβήµατος 

δf 

Θέση επιπέδου εστίασης σε σχέση µε το επίπεδο κατεργασίας 

Ε Παράµετρος ενέργειας για την ενέργεια συνοχής 

λ Μήκος κύµατος ακτινοβολίας 

Π Πιθανότητα ύπαρξης φωτονίου στην περιοχή που ορίζει το όρισµα 

σ ∆ιασπορά στην κατανοµή Gauss για την κατανοµή ταχυτήτων 

σx 

σy 

µx 

350 

∆ιασπορά στην κατανοµή Gauss για την κατανοµή ταχυτήτων στον άξονα x 

∆ιασπορά στην κατανοµή Gauss για την κατανοµή ταχυτήτων στον άξονα y 

Μέση τιµή στον άξονα x για την κατανοµή Gauss 

µy 

Μέση τιµή στον άξονα y για την κατανοµή Gauss 

ρ Συντελεστής αυτοσυσχέτισης 

φ ∆υναµική ενέργεια

ΚΕΦ. 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ – B 

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 

Σχήµα 1.1: Εφαρµογή διάτρησης µε υπερ-βραχείς παλµούς Laser στην 

Αυτοκινητοβιοµηχανία 

Σχήµα 1.2: Κατασκευαστικές µεταβλητές για νανο-µηχανική (αριστερά) και µακρο- 

µηχανική (δεξιά) 

Σχήµα 1.3: Σχηµατικό διάγραµµα προτεινόµενης µεθοδολογίας Μ∆ για την 

φωτοαποδόµηση µεταλλικών υλικών 

ΚΕΦ. 2 ο ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 

Σχήµα 2.1: ∆ιάγραµµα γενικής αρχής εφαρµογής των περιοδικών συνθηκών 26 

Σχήµα 2.2: Λογικό διάγραµµα συνδυαστικής µεθόδου MD/FEA 29 

Σχήµα 2.3: Μεταβατική περιοχή όπου οι κόµβοι των πεπερασµένων στοιχείων 

αντιστοιχούν σε θέσεις σωµατίδιων της Μοριακής ∆υναµικής 

31 

Σχήµα 2.4: Σχηµατική αναπαράσταση της ιεραρχίας των µεθόδων προσοµοίωσης 

πολλαπλής κλίµακας 

32 

Σχήµα 2.5: Σχηµατική αναπαράσταση αποδόµησης µε Laser και σχέση µεταξύ αριθµού 

αποδοµηµένων σωµατιδίων και πυκνότητας ενέργειας Laser 

34 

Σχήµα 2.6: Σχηµατική αναπαράσταση της λύσης για την µελέτη φωτοαποδόµησης 

εφαρµόζοντας µοντέλο συνδυασµένης Μ∆ και ΤΤΜ 

34 

Σχήµα 2.7: Σχηµατική αναπαράσταση του υπολογισµού µηχανισµών µετάδοσης 

θερµότητας και κρουστικών κυµάτων µε χρήση συνδυαστικού µοντέλου 

35 

5 

6 

8


Μ∆ και TTM 

Σχήµα 2.8: Στιγµιότυπα της φωτοαποδόµησης σε F=2J/cm 2 , 2 ps µετά την εφαρµογή του 

Laser. (a) εν κενώ (b) σε συνθήκες Ar 

Σχήµα 2.9: Ρυθµός φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την πυκνότητα ενέργειας Laser για 

ακτινοβόληση διάρκειας 0.5 ps 

Σχήµα 2.10: ΧΥ τοµή κρυσταλλικής δοµής σιδήρου σε θερµοκρασία τήξης (a) µε 

προσέγγιση δυναµικού ζεύγους σωµατίδιων, (b) µε προσέγγιση δυναµικού 

πολλών σωµατιδίων 

Σχήµα 2.11: Στιγµιότυπα φωτοαποδόµησης στερεού. Οι λατινικοί αριθµοί προσδιορίζουν 

διαφορετικές περιοχές του υλικού στόχου 


διαφορά των επιπέδων ενέργειας δυναµικού (ν) µειώνεται καθώς η ενέργεια 

πλησιάζει το όριο ενέργειας διάστασης. Η ενέργεια διάστασης De είναι 

µεγαλύτερη απο την πραγµατική τιµή ενέργειας που απαιτείται για τον 

αποχωρισµό (διάσπαση) D0 λόγω του µηδενικού σηµείου ενέργειας του 

κατώτατου επιπέδου ταλάντωσης (v = 0) 

Σχήµα 2.13: Στιγµιότυπα εξέλιξης της φωτοαποδόµησης Ni. (a) 500 fs, (b) 1 ps, (c) 6 ps, 

(e) 10 ps 

Σχήµα 2.14: Το βάθος αποδόµησης ως συνάρτηση της πυκνότητας ενέργειας του Laser 

για Al και Ni. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα για το Al είναι για µήκος 

κύµατος ακτινοβολίας λ=800nm και διαρκείς τp=0.1 ps, ενώ για το Ni 

λ=248nm και τp=0.5 ps 

Σχήµα 2.15: Στιγµιότυπα εξέλιξης της φωτοαποδόµησης σε Fe για F=0.5 J/cm 2 , λ=800 nm 

και τp=0.1 ps 

Σχήµα 2.16: Κατανοµή της αξονικής ταχύτητας των αποδοµηµένων σωµατίδιων. Οι 

τελείες αντιστοιχούν στα αποτελέσµατα της Μ∆, ενώ η καµπύλη παρουσιάζει 

την κατανοµή Maxwell Boltzmann 

Σχήµα 2.17: Σχηµατισµός απόβλητου χρησιµοποιώντας ARMD και κινούµενες συνοριακές 

συνθήκες 

49 

Σχήµα 2.18: Μηχανισµός κοπής γύρω από αιχµηρής και κυκλικής άκρης κοπτικό 

εργαλείο. Ταχύτητα κοπής 100ms -1 και βάθος κοπής 10 Angstrom 

50 

Σχήµα 2.19: Στιγµιότυπο της ατοµικής δοµής στην περίπτωση των τριών στρωµάτων 51 

Σχήµα 2.20: Στιγµιότυπα από την προσοµοίωση Μ∆ για κοπή ελατού υλικού σε νανο 

κλίµακα για γωνίες κοπής -15 ο , 0 ο και 15 ο 

51 

Σχήµα 2.21: Σχηµατικό µοντέλο της κοπής σε νανο-κλίµακα 52 

Σχήµα 2.22: Η φθορά της κορυφής διαµαντιού σε AFM. Αριστερά πριν και δεξιά µετά 

την κατεργασία 

53 

Σχήµα 2.23: Το διάγραµµα µετάβασης των περιοχών παραµόρφωσης. Το διαµάντι 

ολισθαίνει από τα δεξιά προς τα αριστερά. Όπου δ το αδιάστατο βάθος 

κοπής 

53 

Σχήµα 2.24: Προβολή των ατοµικών θέσεων κατά την διάρκεια διάτµησης. Η πρώτη 

αριστερή εικόνα είναι η αρχική κατάσταση των ατόµων, η µεσαία εικόνα 

παρουσιάζει την κατάσταση µετά την παρέλευση 100.000 χρονοβηµάτων 

και η δεξιά εικόνα µετά 140.000 χρονοβηµάτων 

Σχήµα 2.25: Στιγµιότυπο Μ∆ ανάλυσης ανισοτροπίας στην σκληρότητα την τριβή σε 

κρυστάλλους αλουµινίου 

352 

36 

37 

38 

40 

42 

44 

45 

46 

47 

54 

55

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ - Β 

Σχήµα 2.26: Μοντέλο της Μ∆ για την AFM- based νανο-λιθογραφία 55 

Σχήµα 2.27: Στιγµιότυπα αποτελεσµάτων Μ∆ για νανο-κοπή 56 

Σχήµα 2.28: ∆ιάγραµµα µοντέλου Μ∆ για την κοπή χαλκού σε νανο-κλίµακα 57 

Σχήµα 2.29: Στιγµιότυπο αποτελεσµάτων προσοµοίωσης Μ∆ για λείανση 57 

Σχήµα 2.30: Θερµική αγωγιµότητα ως συνάρτηση της θερµοκρασίας για 

αντιπροσωπευτικά υλικά 

60 

Σχήµα 2.31: Εξαναγκασµένη µετάδοση εξ επαφής πάνω σε µια στερεή επιφάνεια. Τα 

ρευστά κοντά στην επιφάνεια σχηµατίζουν ένα συνοριακό στρώµα στο 

οποίο οι τιµές της θερµοκρασίας και της ταχύτητας στο τοίχωµα διαφέρουν 

από αυτές εκτός του συνοριακού στρώµατος (τα συνοριακά στρώµατα 

θερµότητας και ορµής µπορεί να έχουν διαφορετικά πάχη). 

61 

Σχήµα 2.32: Ισχύς ακτινοβολίας µελανού σώµατος ως συνάρτηση του µήκους κύµατος 

σε διαφορετικές θερµοκρασίες 

62 

Σχήµα 2.33: Μικροσκοπική διεργασία µετάδοσης θερµότητας δι’ αγωγής σε ένα αέριο 64 

Σχήµα 2.34: Τυπικό προφίλ διαµοριακού δυναµικού 65 

Σχήµα 2.35: (α) Ένα σύστηµα µάζας-ελατηρίου που αναπαριστά αλληλοσυνδεδεµένα 

άτοµα σε ένα κρύσταλλο, και (β) µοντέλου αερίου phonon που αντικαθιστά 

τα στερεά άτοµα σε ένα κρύσταλλο 

66 

Σχήµα 2.36: Απεικόνιση τυπικής σχέσης διασκορπισµού για (α) ηλεκτρόνια και 

(β) phonon σε κρυστάλλους 

68 

Σχήµα 2.37: Απλοποιηµένη εξαγωγή του νόµου Fourier βασισµένη στην κινητική θεωρία 72 

Σχήµα 2.38: Εκτίµηση µέσης ελεύθερης οδού σε ένα κιβώτιο αέριων µορίων µε ενεργή 

διάµετρο d για κάθε µόριο: (α) η ενεργή διάµετρος για δύο µόρια να 

διασκορπιστούν είναι 2d, και (β) η µέση ελεύθερη οδός είναι η µέση 

απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικές διασκορπίσεις 

74 

Σχήµα 2.39: Θερµική αγωγιµότητα υµενίων πυριτίου ως συνάρτηση του πάχους του 

υµένιου ή της διαµέτρου του σύρµατος 

Σχήµα 2.40: Στάσιµα κύµατα σε ένα κβαντικό πηγάδι, τα δύο χαµηλότερα ενεργειακά 

επίπεδα 

Σχήµα 2.41: SEM φωτογραφίες οπών που δηµιουργήθηκαν από παλµούς µε διάρκεια 

170 fs, 780 nm µήκος κύµατος και πυκνότητα ενέργειας 2.5J/cm 2 σε 

έλασµα χάλυβα πάχους 200µm. Αριστερά είσοδος οπής, δεξιά έξοδος 

Σχήµα 2.42: SEM φωτογραφίες αυλακώσεων σε χρυσό µε παλµούς Laser διάρκειας 

490 fs και µήκους κύµατος 248nm 

Σχήµα 2.43: SEM φωτογραφίες διεργασιών µε παλµούς Laser διάρκειας 25 ns (A) και 

120 fs (Β, C) 

Σχήµα 2.44: SEM φωτογραφίες οπών που δηµιουργήθηκαν από παλµούς διάρκειας fs, 

σε µεταλλικά (Α) και διηλεκτρικά (B, C, D) υλικά 

ΚΕΦ. 3 ο ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 

Σχήµα 3.1: Eδροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-FCC. α) µοντέλο σκληρών 

σφαιρών για ένα εδροκεντρωµένο κύτταρο, β) απλοποιηµένο µοντέλο 

75 

77 

86 

86 

87 

87 

104 

353


µοναδιαίου κρυστάλλου, γ) συνάθροισµα πολλών ατόµων 

Σχήµα 3.2: Χωροκεντρωµένη κυβικά κρυσταλλική δοµή-BCC. α) µοντέλο σκληρών 

σφαιρών για ένα εδροκεντρωµένο κύτταρο, β) απλοποιηµένο µοντέλο 

µοναδιαίου κρυστάλλου, γ) συνάθροισµα πολλών ατόµων 

Σχήµα 3.3: Κρυσταλλική ∆οµή Εξαγωνικού πλέγµατος µέγιστης πυκνότητας-HCP 

α) απλοποιηµένο µοντέλο µοναδιαίου κρυστάλλου όπου α και c 

αντιπροσωπεύουν τη µικρή και τη µεγάλη διάσταση του κυττάρου 

αντίστοιχα, β) συνάθροισµα πολλών ατόµων 

Σχήµα 3.4: Αποτελέσµατα επίδρασης Laser σχετιζόµενα µε την εφαρµοζόµενη 

πυκνότητα ισχύος 

115 

Σχήµα 3.5: Γενική άποψη της επίδρασης του Laser σε µεταλλικά υλικά 115 

Σχήµα 3.6: Οι τρεις µηχανισµοί µετάδοσης ενέργειας κατά την διάρκεια επίδρασης 

Femptosecond παλµών Laser και υλικού. Αριστερή στήλη: Κατανοµές 

πυκνοτήτων κατάστασης (Density of state – DOS), ∆εξιά στήλη κατανοµή 

ενεργείας στο εσωτερικό του υλικού 

124 

Σχήµα 3.7: ∆ιασύνδεση µηχανισµών, κατωφλιού φωτοαποδόµησης και εφαρµοζόµενης 

πυκνότητας ενέργειας 

Σχήµα 3.8: Φωτογραφίες οπών που έχουν σχηµατιστεί σε ακτινοβοληµένο δείγµα 

πολυµερούς, Πολυκαρβονυλίου (PEC). Η ακτινοβόληση έγινε µε ένα XeCl 

excimer Laser (λ=308 nm, fluence=7.8 J/cm2, 15 παλµών). Αριστερά (a) 

φαίνεται η περίπτωση καθαρού PEC και δεξιά (b) η αντίστοιχη περίπτωση 

του Polyester carbonate-PEC, οπότε και επιτυγχάνεται µεγαλύτερη 

απορρόφηση στο µήκος κύµατος της ακτινοβολίας που χρησιµοποιείται. 

Είναι ιδιαίτερα εµφανείς οι µορφολογικές διαφορές στα δύο δείγµατα 

Σχήµα 3.9: Συνεχή απεικόνιση του ωστικού κύµατος κατά την ακτινοβόληση 

πολυµερούς Kapton µε παλµό πυκνότητας ενέργειας 4.5J/cm 2 σε a) 50ns, 

b) 100ns, c) 200 ns, d) 400 ns, e) 700 ns µετά την αρχή του παλµού 

Σχήµα 3.10: α) Η εναπόθεση θερµικής ενέργειας επιφέρει τη δηµιουργία ενός κύµατος 

συµπίεσης και ενός κύµατος αποσυµπίεσης, β) To πλάτος του κύµατος 

αποσυµπίεσης αυξάνεται µε το βάθος, γ) σε κάποιο βάθος η ενέργεία του 

ξεπερνά την ενέργεια συνοχής του υλικού, δ&ε) αποκόλληση και εκτίναξη 

υλικού 

Σχήµα 3.11: Spinodal καµπύλες και µετασταθείς περιοχές σε ένα P-V διάγραµµα 136 

Σχήµα 3.12: P-T (α) και P-V (β) διαγράµµατα της εκρηκτικής αλλαγής φάσης 138 

Σχήµα 3.13: Εξάρτηση της ελέυθερης ενέργεια Gibbs συναρτήσει του όγκου για 

διάφορες θερµοκρασίες, από την θερµοκρασία κόρου Tsat έως την 

spinodal Tspin (υπό σταθερή πίεση Psat) 

139 

Σχήµα 3.14: Εξάρτηση της ελεύθερης ενέργειας Gibbs συναρτήσει της ακτίνας της 

φυσαλίδας 

140 

Σχήµα 3.15: Ελεύθερες συνοριακές συνθήκες - FBC 142 

Σχήµα 3.16: Ανακλώµενες συνοριακές συνθήκες - RBC 142 

Σχήµα 3.17: Περιοδικές συνοριακές συνθήκες σε δυο διαστάσεις. Η υπολογιστική 

κυψελίδα αναφοράς περικλείεται από οχτώ πανοµοιότυπα αντίγραφα 

και κάθε µια αναγνωρίζεται απο ένα διάνυσµα µετατόπισης α 

143 

Σχήµα 3.18: Περιοδικές συνοριακές συνθήκες σε τρεις διαστάσεις. Η υπολογιστική 

κυψελίδα αναφοράς περικλείεται απο 26 πανοµοιότυπα αντίγραφα 

354 

104 

106 

128 

129 

132 

133 

144


Σχήµα 3.19: Περιοδικές συνοριακές συνθήκες: Όταν ένα σωµατίδιο αποµακρύνεται 

απο την υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς η θέση του αµέσως µετατίθεται 

στην απέναντι πλευρά και το διάνυσµα της ταχύτητας παραµένει αµετάβλητο 

Σχήµα 3.20: Εφαρµογή περιοδικών συνοριακών συνθηκών σε δυο διαστάσεις. Εφόσον 

τα γεγονότα στην υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς αντιγράφονται σε κάθε 

αντίγραφο της, η µάζα της διατηρείται 

Σχήµα 3.21: Minimum Image Criterion. Η υπολογιστική κυψελίδα αναφοράς περιέχει 

τρία σωµατίδια και υπάρχουν Ν(Ν-1)/2=3 γειτονικά ζεύγη. Ο διαχωρισµός 

των ζευγών ορίζεται από την ελάχιστη απόσταση µεταξύ σωµατιδίου i και 

οποιουδήποτε αντιγράφου του j 

ΚΕΦ. 4 ο ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 

Σχήµα 4.1: Λογικό διάγραµµα διασύνδεσης συντελεστών των αρχικών συνθηκών της 

προσοµοίωσης 

157 

Σχήµα 4.2: Κρύσταλλος BCC µε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων 158 


διαφορά των επιπέδων ενέργειας δυναµικού (ν) µειώνονται, καθώς η 

ενέργεια πλησιάζει το όριο ενέργειας διάστασης. Η ενέργεια διάστασης De 

είναι µεγαλύτερη από την πραγµατική τιµή ενέργειας που απαιτείται για τον 

αποχωρισµό (διάσπαση) D0 λόγω του µηδενικού σηµείου ενέργειας του 

κατώτατου επιπέδου ταλάντωσης (v = 0). 

Σχήµα 4.4: ∆ιανύσµατα θέσης ατόµων 161 

Σχήµα 4.5: Συνοριακές συνθήκες, όπως εφαρµόσθηκαν στην προτεινόµενη µεθοδολογία 165 

Σχήµα 4.6: Maxwell – Boltzmann και Gauss κατανοµές ταχυτήτων 166 

Σχήµα 4.7: Λογικό διάγραµµα διασύνδεσης συντελεστών προσοµοίωσης της 

εξισορρόπησης συστήµατος 

167 

Σχήµα 4.8: ∆ιάνυσµα ταχύτητας του i ατόµου 168 

Σχήµα 4.9: (a) Κλασικός Verlet αλγόριθµος (b) Αλγόριθµος Verlet Leapforg (c ) 

Αλγόριθµος Velocity Verlet. Στην αριστερή πλευρά παρουσιάζονται τα 

µεγέθη που πρέπει να υπολογιστούν: r = (x,y,z) θέση σωµατιδίου, v 

ταχύτητα σωµατιδίου, a επιτάχυνση σωµατιδίου. Ενώ στην πάνω, η εξέλιξη 

των χρονοβηµάτων. Τα σκιασµένα κελία δείχνουν πότε υπολογίζονται (σε 

ποια χρονοβήµατα) τα προαναφερόµενα µεγέθη. 

172 

Σχήµα 4.10: ∆ιανύσµατα δυνάµεων 175 

Σχήµα 4.11: ∆ιανύσµατα δυνάµεων και απόσταση αποκοπής 175 

Σχήµα 4.12: Λογικό διάγραµµα διασύνδεσης συντελεστών µοντελοποίησης δέσµης 

Laser κατά την προσοµοίωση 

180 

Σχήµα 4.13: Gauss και οµοιόµορφη χρονική κατανοµή της ενέργειας της δέσµης Laser 181 

Σχήµα 4.14: α) Τρισδιάστατη κατανοµή Gauss, β) Κάτοψη σε επίπεδο x-y της 3D 

κατανοµής Gauss 

184 

Σχήµα 4.15: Κατανοµή Gauss και τυπική απόκλιση 184 

Σχήµα 4.16: Εστιακό επίπεδο ακτίνας και αρχή του συστήµατος συντεταγµένων για τη 185 

145 

145 

150 

160 

355


Σχήµα 4.17: 

µέθοδο επίλυσης 

Κάτοψη x-y της κατανοµής Gauss για ασυσχέτιστες µεταβλητές x, y (ρ=0) 186 

Σχήµα 4.18: Λογικό διάγραµµα βρόχων αλληλεπίδρασης καταστάσεων και ενεργειών, 

επακολουθούµενων της ισορρόπησης του συστήµατος κατά την προσοµοίωση 

190 

ΚΕΦ. 5 ο ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 

Σχήµα 5.1: Γενικές φάσεις της µεθοδολογίας επίλυσης 198 

Σχήµα 5.2: Αναλυτική µεθοδολογία επίλυσης 199 

ΚΕΦ. 6 ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΩ∆ΙΚΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ 

Σχήµα 6.1: Βασική δοµή αλγορίθµου κώδικα Μοριακής ∆υναµικής ανάλυσης 204 

Σχήµα 6.2: ∆ιάγραµµα καταστάσεων 221 

Σχήµα 6.3: Η γραµµή εργαλείων 250 

Σχήµα 6.4: “Άποψη” του υπολογιστικού πειράµατος 267 

Σχήµα 6.5: Αρχική oθόνη προγράµµατος MD 269 

Σχήµα 6.6: Παράθυρο LOAD MODEL 270 

Σχήµα 6.7: ΤΧΤ µορφή κρυστάλλου 271 

Σχήµα 6.8: CSV µορφή κρυστάλλου 271 

Σχήµα 6.9: Παράθυρο SAVE MODEL 272 

Σχήµα 6.10: Καρτέλα παραµέτρων συστήµατος, µονάδων SI/USUAL 275 

Σχήµα 6.11: Καρτέλα Information 276 

Σχήµα 6.12: Καρτέλα Simulation Parameters 277 

Σχήµα 6.13: Καρτέλα Particles 277 

Σχήµα 6.14: Καρτέλα Graphs 278 

Σχήµα 6.15: Σύγκριση χρόνων εξαγωγής αποτελέσµατος προσοµοίωσης για µονο- και 

πολυ- νηµατική επεξεργασία για κοινές παραµέτρους 

279 

ΚΕΦ. 7 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ∆ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ 

Σχήµα 7.1: Ίχνος αυτοσυσχετιστή 287 

Σχήµα 7.2: Σχηµατική απεικόνιση οπτικής κοιλότητας CPA-2101 288 

Σχήµα 7.3: Εξωτερική άποψη CPA-2101-Ti:Sapphire FS Laser 289 

Σχήµα 7.4: Βιοµηχανικό κέντρο µικρο-κατεργασίας Laser µε πηγή CPA-2101 - 

Ti:Sapphire FS Laser 

289 

356


Σχήµα 7.5: Σχηµατική απεικόνιση πειραµατικής διάταξης 290 

Σχήµα 7.6: Άποψη πειραµατικής διάταξης 292 

Σχήµα 7.7: SEM εικόνα τµήµατος δοµικού πριν τη διεργασία 293 

Σχήµα 7.8: SEM εικόνα τµήµατος δοµικού µετά τη διεργασία 294 

ΚΕΦ. 8 ο ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 

Σχήµα 8.1: Σχηµατικό διάγραµµα προβλήµατος προς προσοµοίωση 298 

Σχήµα 8.2: Απεικόνιση κρυστάλλου κατόπιν ορισµού των αρχικών συνθηκών 303 

Σχήµα 8.3: Απεικόνιση κρυστάλλου κατόπιν εξισορρόπησης 303 

Σχήµα 8.4: Κατανοµή ταχυτήτων σωµατιδίων µετά από την εξισορρόπηση του 

συστήµατος προσοµοίωσης 

304 

Σχήµα 8.5: Κατόψεις επιλεγµένων υπολογιστικών πειραµάτων. Το βάθος 

φωτοαποδόµησης προκύπτει από την εφαρµογή ενός παλµού διάρκειας 

100 fs, για διαφορετικές πυκνότητες ενέργειας του Laser 

307 

Σχήµα 8.6: Στιγµιότυπα φωτοαποδόµησης µεταλλικού (Fe) στόχου µε πυκνότητα 

ενέργειας Laser 0.6 J/cm2 και παλµό διάρκειας 100 fs. 

312 

Σχήµα 8.7: Αριθµός αφαιρούµενων σωµατίδιων σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη 


313 

Σχήµα 8.8: Θεωρητικό βάθος φωτοαποδόµησης ανά παλµό σε σχέση µε την 

εφαρµοζόµενη πυκνότητα ενέργειας Laser 

314 

Σχήµα 8.9: Απόδοση φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη πυκνότητα 


315 

Σχήµα 8.10: Βάθη φωτοαποδόµησης µεταλλικού (Fe) στόχου σε εύρος πυκνοτήτων 

ενέργειας Laser 0.01–100 J/cm2 

323 

Σχήµα 8.11: Πειραµατικό βάθος φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη 


324 

Σχήµα 8.12: Θεωρητικά και πειραµατικά βάθη φωτοαποδόµησης σε σχέση µε την 

εφαρµοζόµενη πυκνότητα ενέργειας 

324 

Σχήµα 8.13: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την πρώτη περιοχή 

φωτοαποδόµησης από 0.01 έως 0.1 J/cm2 

325 

Σχήµα 8.14: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την δεύτερη περιοχή 

φωτοαποδοµησης από 0.1 έως 1 J/cm2 

326 

Σχήµα 8.15: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την τρίτη περιοχή 

φωτοαποδοµησης από 1 έως 10 J/cm2 

327 

Σχήµα 8.16: Πειραµατικά και θεωρητικά αποτελέσµατα για την τέταρτη περιοχή 

φωτοαποδόµησης από 10 έως 30 J/cm2 

328 

Σχήµα 8.17: Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 0.1 J/cm2 330 

Σχήµα 8.18: Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 0.3 J/cm 2 331 

Σχήµα 8.19 : Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 0.6 J/cm 2 331 

Σχήµα 8.20: Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 1 J/cm 2 332 

357


Σχήµα 8.21: Χρονική εξέλιξη της θερµοκρασίας για πυκνότητα ενέργειας 1.5 J/cm 2 333 

Σχήµα 8.22: Μέση θερµοκρασία σε σχέση µε την απόσταση από το εστιακό επίπεδο για 

την επιφάνεια του όγκου προσοµοίωσης για διαφορετικές πυκνότητες 


335 

358

ΚΕΦ. 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ – Γ 

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 

Πίνακας 1.1: Τυπικά παραδείγµατα εφαρµογής µικρο-κατεργασιών Laser στη 

βιοµηχανία 

ΚΕΦ. 2 ο ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 

Πίνακας 2.1: Κύρια χαρακτηριστικά προσοµοιώσεων σε µοριακό επίπεδο. 18 

Πίνακας 2.2: ∆ιαστάσεις όγκων προσοµοίωσης 46 

Πίνακας 2.3: Κατηγοριοποίηση µελετών Μοριακής ∆υναµικής 48 

Πίνακας 2.4: Βασικά χαρακτηριστικά φορέων ενέργειας 78 

Πίνακας 2.5: Περιοχές µετάδοσης των φορέων ενέργειας, το O αναπαριστά τάξη 

µεγέθους 

80 

ΚΕΦ. 3 ο ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 

Πίνακας 3.1: Aτοµικές ακτίνες και κρυσταλλικές δοµές 16 µετάλλων 102 

Πίνακας 3.2: Συντελεστές ανάκλασης ως συνάρτηση του µήκους κύµατος της 

ακτινοβολίας Laser για µη µεταλλικά υλικά 

117 

Πίνακας 3.3: Τυπικοί συντελεστές ανάκλασης συναρτήσει του µήκους κύµατος 

ακτινοβολίας Laser για µεταλλικά υλικά 

121 

4

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 

ΚΕΦ. 4 ο ΜΟΡΙΑΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 

Πίνακας 4.1: Αδιάστατες εξισώσεις 156 

ΚΕΦ. 6 ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΩ∆ΙΚΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ 

Πίνακας 6.1: Κύριες κλάσεις κώδικα Μοριακής ∆υναµικής 208 

ΚΕΦ. 7 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ∆ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ 

Πίνακας 7.1: Τεχνικά χαρακτηριστικά CPA-2101 -Ti:Sapphire FS Laser 287 

Πίνακας 7.2: Επεξήγηση συµβόλων Σχήµατος 7.3 288 

Πίνακας 7.3: Επεξήγηση συµβόλων Σχήµατος 7.5 291 

Πίνακας 7.4: Ιδιότητες και γεωµετρικά χαρακτηριστικά δοκιµίων 293 

ΚΕΦ. 8 ο ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 

Πίνακας 8.1: Παράµετροι µοντέλου προσοµοίωσης Μ∆ 300 

Πίνακας 8.2: Πειραµατικές παράµετροι 316 

Πίνακας 8.3: Ρυθµοί µεταβολής θερµοκρασίας σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη 

πυκνότητα ενέργειας 

334 

360

Σύντοµο Βιογραφικό Σηµείωµα – Εργασίες 

O Παναγιώτης Σταυρόπουλος γεννήθηκε στην Αθήνα το 1978. Σπούδασε Μηχανολόγος 

Μηχανικός (2000) στην Μ. Βρεταννία (University of Sussex) όπου και πήρε µεταπτυχιακό 

τίτλο Μάστερ (2001) µε τιµητική διάκριση (Master of Science–with Distinction) στον κλάδο 

των Προηγµένων Μηχανολογικών Εφαρµογών. Κατά τη διάρκεια των προπτυχιακών του 

σπουδών βραβεύθηκε µε τά παρακάτω βραβεία για τις επιδόσεις του: Farnell Company Prize 

for Best Mechanical Third year Project, Institution of Mechanical Engineers Prize for Best 

Mechanical Engineering Project και Institution of Mechanical Εngineers Best Project 

Certificate in Mechanical Engineering. Από τον Οκτώβριο του 2002 είναι υποψήφιος 

διδάκτορας του Πανεπιστηµίου Πατρών. Έκτοτε έχει συµµετάσχει σε µία σειρά από 

ερευνητικά προγράµµατα καθώς και στις εκπαιδευτικές δραστηριότητες του Εργαστηρίου 

Συστηµάτων Παραγωγής και Αυτοµατισµού. Είναι µέλος τους Τεχνικού Επιµελητηρίου 

Ελλάδας, του Πανελληνίου Συλλόγου ∆ιπλωµατουχών Μηχανολόγων – Ηλεκτρολόγων 

καθώς και του ινστιτούτου Μηχανολόγων Μηχανικών Μ. Βρεταννίας (IMechE). Από τον 

Ιούνιο του 2007 ενεργεί και ως κριτής για το διεθνές επιστηµονικό περιοδικό: The 

International Journal of Advanced Manufacturing Technology - © Springer. 

Στα πλαίσια της απασχόλησης του στο Εργαστήριο Συστηµάτων Παραγωγής και 

Αυτοµατισµού εκπόνησε µια σειρά δηµοσιεύσεων σε επιστηµονικά περιοδικά και 

παρουσιάσεων σε διεθνή και εθνικά συνέδρια µε κρίση της πλήρους εργασίας: 

1. Stavropoulos, P. and G. Chryssolouris, “Molecular Dynamics Simulations of Laser 

Ablation: The Morse Potential Function Approach”, to be published in the International 

Journal on Nanomanufacturing, “3D Nanomanufacturing special issue”, (2007). 

2. Salonitis, K., A. Stournaras, P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “Thermal modelling 

of the Material Removal Rate and Surface Roughness for EDM Die-Sinking” to be 

published in the International Journal of Advanced Manufacturing Technology, (2007). 

3. Καραµπάτσου, Β., Κ. Αλεξόπουλος, ∆. Φράγκος, Π. Σταυρόπουλος και Γ. 

Χρυσολούρης, “Σχεδιασµός Ναυπηγοεπισκευαστικών εργασιών: Η εικονική

ΣΥΝΤΟΜΟ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ – ΕΡΓΑΣΙΕΣ 

362 

πραγµατικότητα στον δεξαµενισµό των πλοίων”, ∆ελτίο Πανελληνίου Συλλόγου 

∆ιπλωµατούχων Μηχανολόγων & Ηλεκτρολόγων, (Ιανουάριος 2007), σελ. 14-21. 

4. Salonitis, K., A. Stournaras, P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “Theoretical and 

experimental investigation of pulsed laser grooving process”, to be published in the 

Journal of Laser Applications, (2007). 

5. Stournaras, A., P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “Investigation of laser cutting 

quality of Aluminium 5083”, to be published in the Journal of Laser Applications, 

(2007). 

6. Salonitis, K., A. Stournaras, G. Tsoukantas, P. Stavropoulos and G.Chryssolouris, “A 

Theoretical and Experimental Investigation on Limitations of Pulsed Laser Drilling”, 

Journal of Materials Processing Technology, (Vol. 183, Νο. 1, 2007), pp. 96-103. 

7. Tsoukantas, G., K. Salonitis, A. Stournaras, P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “On 

Optimal Design Limitations of Generalized Two-Mirror Remote Beam Delivery Laser 

Systems: The case of remote Welding”, International Journal of Advanced 

Manufacturing Technology, (Vol. 32, 2007), pp. 932-941. 

8. Salonitis, K., P. Stavropoulos, A. Stournaras and G. Chryssolouris, “Thermal modelling 

of laser cladding process”’, Proceedings of the 5th Laser Assisted Net Shape 

Engineering, Erlangen, Germany, (September 2007), pp. 303 – 311. 

9. Salonitis, K., P. Stavropoulos , A. Stournaras and G. Chryssolouris, “CO2 Laser cutting 

of aluminium”, Proceedings of the 5th Laser Assisted Net Shape Engineering, Erlangen, 

Germany, (September 2007), pp. 825 – 835. 

10. Stavropoulos, P., K. Salonitis, A. Stournaras, J. Pandremenos, J. Paralikas and G. 

Chryssolouris, “Tool Condition Monitoring in Micro-Milling – A Critical Review”, 

Advances in Manufacturing Technology XXI, Proceedings of the 5th International 

Conference on Manufacturing Research , Leicester, UK, (September 2007), pp. 324 – 

328.


11. Salonitis, K., P. Stavropoulos, J. Paralikas and G. Chryssolouris, “Roll forming process: 

a preliminary theoretical investigation”, to be published in the Proceedings of the IFAC 

Conference on Manufacturing, Modelling, Management and Control, Budapest, 

Hungary, (November 2007). 


Chryssolouris, “Advances and Challenges for tool Condition Monitoring in Micro- 

Milling”, to be published in the Proceedings of the IFAC Conference on Manufacturing, 

Modelling, Management and Control, Budapest, Hungary, (November 2007). 

13. Salonitis, K., P. Stavropoulos, A. Stournaras and G. Chryssolouris, “Finite Element 

Modeling of Grind Hardening Process”, Proceedings of the 10th CIRP International 

Workshop on Modeling of Machining Operations, Calabria, Italy, (August 2007), pp. 

117 - 123. 

14. Stavropoulos, P., K. Salonitis, A. Stournaras, K. Euthimiou and G. Chryssolouris, 

“Molecular Dynamics Simulation of Laser Ablation of Iron”, Proceedings of the 10th 

CIRP International Workshop on Modelling of Machining Operations, Calabria, Italy, 

(August 2007), pp. 549 - 553. 

15. Stournaras, A., K. Salonitis, P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “Finite element 

thermal analysis of pulsed laser drilling process”, Proceedings of the 10th CIRP 

International Workshop on Modelling of Machining Operations, Calabria, Italy, 

(August 2007), pp. 563 - 570. 

16. Stournaras, A., P. Stavropoulos, J. Pandremenos, J. Paralikas and G. Chryssolouris, “A 

Statistical Analysis of Laser Cutting Quality of Aluminium Alloy 5083”, Proceedings of 

the 40th CIRP International Seminar on Manufacturing Systems, Liverpool, U.K., 

(May-June 2007). 


Chryssolouris, “Experimental Investigation of Micro-milling Process Quality”, 

Proceedings of the 40th CIRP International Seminar on Manufacturing Systems, 

Liverpool, U.K., (May-June 2007). 

363


18. Σταυρόπουλος, Π., Α. Στουρνάρας, Κ. Ευθυµίου και Γ. Χρυσολούρης, “Μοριακή 

δυναµική ανάλυση της διεργασίας αποµάκρυνσης υλικού µε δέσµη Laser: Προσέγγιση 

µε χρήση ∆υναµικού Morse”, Εισηγήσεις του 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου 

Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, ISBN 978-960-89776-0-0, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 

2007). 

19. Στουρνάρας, Α., Π. Σταυρόπουλος, Γ. ∆ηµητρακόπουλος και Γ. Χρυσολούρης 

“Πειραµατική διερεύνηση της ποιότητας κοπής µε δέσµη Laser Κράµατος Αλουµινίου 

AL5083”, Εισηγήσεις του 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, 

ISBN 978-960-89776-0-0, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 2007). 

20. Στουρνάρας, Α., Π. Σταυρόπουλος, Κ. Σαλωνίτης και Γ. Χρυσολούρης , “Ανασκόπηση 

των µεθόδων παρακολούθησης των διεργασιών µε δέσµη Laser”, Εισηγήσεις του 2ου 

Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, ISBN 978-960-89776-0-0, 

Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 2007). 

21. Σταυρόπουλος, Π., Κ. Σαλωνίτης , Α. Στουρνάρας, Ι. Παραλίκας και Γ. Χρυσολούρης, 

“Ανασκόπηση µεθόδων παρακολούθησης της διεργασίας µίκρο-φρεζαρίσµατος”, 

Εισηγήσεις του 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, ISBN 978- 

960-89776-0-0, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 2007). 

22. Σαλωνίτης, Κ., Π. Σταυρόπουλος, Α. Στουρνάρας και Γ. Χρυσολούρης , “Ανασκόπηση 

διαδικασιών µοντελοποίησης διεργασιών επιφανειακής θερµικής κατεργασίας”, 

Εισηγήσεις του 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, ISBN 978- 

960-89776-0-0, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 2007). 

23. Πανδρεµένος, I., K. Σαλωνίτης, Π. Σταυρόπουλος και Γ. Χρυσολούρης, “Αξιολόγηση 

άνεσης των κρανών Μοτοσυκλέτας”, Εισηγήσεις του 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου 

Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, ISBN 978-960-89776-0-0, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 

2007). 

24. Σαλωνίτης, Κ., Π. Σταυρόπουλος, Α. Στουρνάρας και Γ. Χρυσολούρης 

“Μοντελοποίηση διεργασίας Σκλήρυνσης µέσω Λείανσης µε Χρήση Πεπερασµένων 

364


Στοιχείων”, Εισηγήσεις του 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων 

Ηλεκτρολόγων, ISBN 978-960-89776-0-0, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάιος 2007). 

25. Σαλωνίτης, Κ., Γ. Τσουκαντάς, Π. Σταυρόπουλος, Α. Στουρνάρας, Σ. ∆ρακόπουλος και 

Γ. Χρυσολούρης, “Τεχνικές Ταχείας Πρωτοτυποποίησης: ∆ιεθνής Κατάσταση και νέες 

Προοπτικές”, ∆ελτίο Πανελληνίου Συλλόγου ∆ιπλωµατούχων Μηχανολόγων & 

Ηλεκτρολόγων, (Τεύχος 389, 2006), σελ. 38-43. 

26. Stavropoulos, P. and G. Chryssolouris, “Molecular Dynamics Simulations of Laser 

Ablation: The Morse Potential Function Approach”, Proceedings of the 4th 

International Symposium on Nanomanufacturing (ISNM), Cambridge, MA, USA, 

(November 2006), pp. 116-122. 

27. Stavropoulos, P. and G. Chryssolouris, “Nanomanufacturing Processes and Simulation: 

A Critical Review”, Proceedings of the 4th International Symposium on 

Nanomanufacturing (ISNM), Cambridge, MA, USA, (November 2006), pp. 46-52. 

28. Stournaras, A., P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “Theoretical and Experimental 

Investigation of Pulsed Laser Grooving Process”, Proceedings of the 25th International 

Congress on Applications of Lasers and Electro-optics (ICALEO), Arizona, USA, 

(October 2006), pp. 525-534. 

29. Stournaras, A., P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “Investigation of Laser cutting 

quality of Aluminium”, Proceedings of the 25th International Congress on Applications 

of Lasers and Electro-optics (ICALEO), Arizona, USA, (October 2006), pp. 233-239. 

30. Salonitis, K., G. Tsoukantas , S. Drakopoulos , P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, 

“Environmental Impact Assessment of Grind-Hardening Process”, Proceedings of the 

13th CIRP International Conference on Life Cycle Engineering, Leuven, Belgium, 

(May June 2006), pp. 657-662. 

31. Salonitis, K., G. Tsoukantas, P. Stavropoulos, A. Stournaras, T. Chondros and G. 

Chryssolouris, “Process forces modelling in Grind-Hardening”, Proceedings of the 9th 

365


366 

CIRP International Workshop on Modelling of Machining Operations, Bled, Slovenia, 

(May 2006), pp. 295-302. 

32. Σταυρόπουλος, Π., Γ. Τσουκαντάς, Κ. Σαλωνίτης, Α. Στουρνάρας και Γ. Χρυσολούρης, 

“Σύνοψη της εφαρµογής νάνο-διεργασιών στην βιοµηχανική παραγωγή”, Εισηγήσεις 

1ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 

2005) - (Eκδόθηκε σε CD-ROΜ). 

33. Τσουκαντάς, Γ., Κ. Σαλωνίτης, Π. Σταυρόπουλος, Α. Στουρνάρας, Στ. ∆ρακόπουλος, Γ. 

∆ηµητρακόπουλος και Γ. Χρυσολούρης, “Ανασκόπηση µεθόδων µοντελοποίησης σε 

διεργασίες αφαίρεσης υλικού µε Laser (Laser Machining)”, Εισηγήσεις 1ου 

Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 

2005) - (Eκδόθηκε σε CD-ROΜ). 


Γ. Χρυσολούρης, “Τεχνικές ταχείας πρωτοτυποποίησης-∆ιεθνής κατάσταση και νέες 

προοπτικές”, Εισηγήσεις 1ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, 

Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 2005) - (Eκδόθηκε σε CD-ROΜ). 


Γ. Χρυσολούρης, “Μοντελοποίηση στερεολιθογραφίας-Ανασκόπηση διεθνούς 

βιβλιογραφίας”, Εισηγήσεις 1ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων 

Ηλεκτρολόγων, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 2005) - (Eκδόθηκε σε CD-ROΜ). 

36. Τσουκαντάς, Γ., Π. Σταυρόπουλος, Κ. Σαλωνίτης, Α. Στουρνάρας, Σ. ∆ρακόπουλος, Γ. 

∆ηµητρακόπουλος και Γ. Χρυσολούρης, “Τεχνολογία συγκόλλησης µε Laser από 

απόσταση (Remote Laser welding). Χαρακτηριστικά και εξελίξεις”, Εισηγήσεις 1ου 

Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 

2005) - (Εκδόθηκαν σε CD-ROΜ). 

37. Σαλωνίτης, Κ., Γ. Τσουκαντάς, Π. Σταυρόπουλος, Α. Στουρνάρας και Γ. Χρυσολούρης, 

“Ανασκόπηση των διαδικασιών µοντελοποίησης της επιφανειακής σκλήρυνσης µέσω 

λείανσης”, Εισηγήσεις 1ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, 

Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 2005) - (Εκδόθηκαν σε CD-ROΜ).


38. Καραµπάτσου, Β., Κ. Αλεξόπουλος, ∆. Φράγκος, Π. Σταυρόπουλος και Γ. 

Χρυσολούρης, “Εφαρµογή της Εικονικής Πραγµατικότητας στην επισκευή πλοίων: 

περίπτωση µελέτης δεξαµενισµού πλοίου”, Εισηγήσεις 1ου Πανελληνίου Συνεδρίου 

Μηχανολόγων Ηλεκτρολόγων, Αθήνα, Ελλάδα, (Μάρτιος 2005) - (Εκδόθηκαν σε CD- 

ROΜ). 

39. Chryssolouris, G., P. Stavropoulos, G. Tsoukantas, K. Salonitis and A. Stournaras, 

“Nanomanufacturing Processes: A Critical Review”, International Journal of Materials 

& Product Technology, (Vol. 21, No 4, 2004), pp. 331-348. 

40. Salonitis, K., G. Tsoukantas, P. Stavropoulos and A. Stournaras, “A Critical Review of 

Stereolithography Process Modeling”, International Conference on Advanced Research 

in Virtual and Rapid Prototyping-VR@P 2003, Leiria, Portugal, (October 2003), pp. 

377-384. 

41. Chryssolouris, G., P. Stavropoulos, G. Tsoukantas, K. Salonitis and A. Stournaras, 

“Nanomanufacturing Processes: A Critical Review”, International Conference on 

Advanced Research in Virtual and Rapid Prototyping-VR@P 2003, Leiria, Portugal 

(October 2003), pp. 535-543. 

42. Chryssolouris, G., V. Karabatsou, K. Alexopoulos, D. Fragos and P. Stavropoulos, 

“Virtual Reality Applications in Shipbuilding: A Ship Docking Case Study”, 

Proceedings of the 8th International Marine Design Conference, Athens, Greece, (May 

2003), pp. 543-549. 

43. Salonitis, K., G. Tsoukantas, P. Stavropoulos and S. Drakopoulos, “A Preliminary 

Experimental Investigation of the use of Stereolithography for Rapid Tooling in 

Thermoforming”, Proceedings of the Euro-uRapid 2002 Conference, Frankfurt/Main, 

Germany, (2002), Session A-4/2. 

44. Tsoukantas, G., K. Salonitis, P. Stavropoulos and G. Chryssolouris, “An Overview of 

3D Laser Materials Processing Concepts”, Proceedings of SPIE, 3rd GR-I International 

Conference on New Laser Technologies and Applications, Patras, Greece, (Vol. 51715, 

September 2002), pp. 224-228. 

367


45. Chryssolouris, G., G. Tsoukantas, K. Salonitis, P. Stavropoulos and S. Karagiannis, 

“Laser Machining Modelling and Experimentation-An Overview”, Proceedings of 

SPIE, 3rd GR-I International Conference on New Laser Technologies and Applications, 

Patras, Greece, (Vol. 51715, September 2002), pp. 158-168. 

Επίσης, στα πλαίσια της συγγραφικής δραστηριότητας του Εργαστηρίου Συστηµάτων 

Παραγωγής και Αυτοµατισµού, έχει συµµετάσχει: 

1. Στην σύνταξη του συγγράµµατος “Σηµειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων 

Μηχανουργικής Τεχνολογίας Ι και ΙΙ”, κατά τα ακαδηµαϊκά έτη, 2001/2002, 2002/2003, 

2003/2004, 2004/2005, 2005/2006, 2006/2007 και 2007/2008. 

2. Στην σύνταξη του συγγράµµατος “Σηµειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων 

Μηχανουργείου Ι και ΙΙ”, κατά τα ακαδηµαϊκά έτη 2002/2003, 2003/2004, 2004/2005, 

2005/2006, 2006/2007 και 2007/2008. 

3. Στην σύνταξη του συγγράµµατος “G. Chryssolouris, Manufacturing Systems: Theory and 

Practice 2 nd Edition, Springer-Verlag, New York, New York, (2006)”. 

4. Στην σύνταξη της 2 ης έκδοσης του συγγράµµατος “G. Chryssolouris, Laser Machining: 

Theory and Practice, Springer-Verlag, New York, New York, (1991)”. 

368

Κεφάλαιο 1 - Nemertes

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?