Matricer og Matrixalgebra - eNotes

eNote 3 1eNote 3Matricer og MatrixalgebraDenne eNote introducerer matricer og regneoperationer for matricer, og udvikler hertil hørenderegneregler. Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet, men det kan være en idé, atvære bekendt med talrummet R n , som beskrives i eNote 1.En matrix er en form for talskema. Her er et eksempel på en matrix kaldet M:[ ] 1 4 3M =−1 2 7(3-1)En matrix karakteriseres ved antallet af rækker og søjler, og matricen M kaldes derfor en2 × 3 matrix. Matricen M siges at indeholde 2 · 3 = 6 elementer. Udover rækker, søjler ogelementer har matricer en række andre begreber tilknyttet. For at beskrive dem opstillesen generel matrix, her kaldet A:⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA = ⎢⎥(3-2)⎣ . . . ⎦a m1 a m2 . . . a mnMatricen A har således m rækker og n søjler, og man kan ligeledes skrive A m×n ellerm × n matricen A. Matricen A siges også at være af typen m × n.To m × n-matricer A og B kaldes ens hvis de elementvis er ens, og man skriver daA = B .En matrix, som kun har én søjle (n = 1), kaldes en søjlematrix. Tilsvarende kaldes enmatrix med kun én række (m = 1) en rækkematrix.En matrix med lige mange rækker og søjler (m = n), kaldes en kvadratisk matrix. Kvadratiskematricer underkastes særlig undersøgelse i eNote 4.

eNote 3 3.1 MATRIXSUM OG PRODUKT AF MATRIX MED SKALAR 2Er alle elementerne i en n × n-matrix reelle tal, kaldes matricen for en reel matrix. Mængdenaf disse matricer betegnes R m×n .Matricen, hvis alle elementer er lig med 0, kaldes nulmatricen uanset type, og betegnes0 eller evt. 0 m×n . Enhver anden matrix kaldes en egentlig matrix.3.1 Matrixsum og produkt af matrix med skalarDet er muligt at lægge to matricer sammen, hvis de er af samme type. Man lægger daelementerne sammen pladsvis og danner derved en ny matrix af samme type. Ligesåkan man gange en matrix med en skalar (et tal), det sker ved at gange alle elementernemed skalaren.Definition 3.1Matrixsum og produkt med skalarGivet er en skalar k ∈ R og to reelle matricer A m×n og B m×n :⎡⎤ ⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1nb 11 b 12 . . . b 1na 21 a 22 . . . a 2nA = ⎢⎥⎣ . . . ⎦ og B = b 21 b 22 . . . b 2n⎢⎥⎣ . . . ⎦a m1 a m2 . . . a mn b m1 b m2 . . . b mnSummen af matricerne defineres således:⎡⎤a 11 + b 11 a 12 + b 12 . . . a 1n + b 1na 21 + b 21 a 22 + b 22 . . . a 2n + b 2nA + B = ⎢⎥⎣ . .. ⎦a m1 + b m1 a m2 + b m2 . . . a mn + b mn(3-3)(3-4)Summen er kun defineret, når matricerne er af samme type.Produktet af matricen A med skalaren k skrives kA eller Ak og defineres således:⎡⎤k · a 11 k · a 12 . . . k · a 1nk · a 21 k · a 22 . . . k · a 2nkA = Ak = ⎢⎥(3-5)⎣ . .. ⎦k · a m1 k · a m2 . . . k · a mnDen modsatte vektor −A til en matrix A defineres som den matrix der fremkommer vedat alle elementerne i A ganges med −1 . Det ses at −A = (−1)A .

eNote 3 3.1 MATRIXSUM OG PRODUKT AF MATRIX MED SKALAR 3Eksempel 3.2Simple matrixoperationerDer er givet to matricer A og B ved:A =[ ] 4 −18 0og B =[ ] −4 3192(3-6)Matricerne er begge af typen 2 × 2. Vi ønsker at bestemme en tredje og fjerde matrix C = 4Aog D = 2A + B. Dette kan gøres ved hjælp af definition 3.1.[ 4 −1C = 4A = 4 ·8 0D = 2A + B =]=[ 8 −216 0[ 4 · 4 4 · (−1)4 · 8 4 · 0] [ ] −4 3+ =912]=[ 4 12512[ 16] −432]0(3-7)I følgende sætning opsummeres de regneregler, der gælder for sum af matricer og produktmed skalar.Sætning 3.3Regneregler for matrixsum og produkt med skalarFor vilkårlige matricer A, B og C i R m×n og ligeledes vilkårlige reelle tal k 1 og k 2gælder følgende regneregler:1. A + B = B + A Addition er kommutativ2. (A + B) + C = A + (B + C) Addition er associativ3. A + 0 = A 0 er en neutral matrix for addition i R m×n4. A + (−A) = 0 Alle matricer i R m×n har en modsat matrix5. k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A Produkt af matrix med skalarer er associativ}6. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 ADe distributive regler gælder7. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B8. 1A = A Skalaren 1 er neutral i produkt med matrixRegnereglerne i sætning 3.3 kan vises ved hjælp af sædvanlige regneregler for reelle tal.Fremgangsmåden eksempliceres for to af regnereglernes vedkommende i det følgendeeksempel.

eNote 3 3.2 MATRIX-VEKTORPRODUKTET OG MATRIX-MATRIXPRODUKTET 5Eksempel 3.6Simpel matrixoperation med differensMed de i eksempel 3.2 givne matricer fåsD = 2A − B = 2A + (−1)B =[ ] 8 −2+16 0[ 4 −3−9 − 1 2] [ 12 −5=7 − 1 2](3-12)3.2 Matrix-vektorproduktet og matrix-matrixproduktetI dette afsnit beskrives produktet af en matrix med en vektor og dernæst produktet afen matrix med en anden matrix.En vektor v = (v 1 , v 2 , . . . , v n ) kan opskrives på samme måde som en søjlematrix, ogkaldes i så fald for en søjlevektor:⎡ ⎤v 1v 2v = (v 1 , v 2 , . . . , v n ) = ⎢ ⎥(3-13)⎣ . ⎦v nMan kan på den måde opdele en matrix A m×n i dens søjlevektorer. Det skrives påfølgende vis:A = [ ]a 1 a 2 . . . a n⎡⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎤⎡⎤a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 . . . a 1na 21a 22= ⎢⎢⎥ ⎢ ⎥⎣⎣. ⎦ ⎣ . ⎦ · · · a 2n⎢ ⎥⎥⎣ . ⎦⎦ = a 21 a 22 . . . a 2n⎢⎥⎣ . . . ⎦a m1 a m2 a mn a m1 a m2 . . . a mnDer er altså n søjlevektorer med hver m elementer.(3-14)Læg mærke til at de firkantede parenteser rundt om søjlevektorerne kan fjernesuden videre! Det kan man i alle de sammenhænge med matricer, hvor dobbeltfirkantede parenteser forekommer. Det vil altid være de inderste parenteser,som fjernes. Der er på den måde ingen forskel på de to udtryk, man vil dogaltid foretrække det sidste udtryk, fordi det er mest overskueligt.Vi definerer nu et produkt af en matrix og en vektor, hvor matricen har ligeså mangesøjler, som vektoren har elementer:

eNote 3 3.2 MATRIX-VEKTORPRODUKTET OG MATRIX-MATRIXPRODUKTET 6Definition 3.7Matrix-vektorproduktLad A være en vilkårlig matrix i R m×n , og lad v være en vilkårlig vektor i R n .Matrix-vektorproduktet af A med v er defineret således:⎡ ⎤v 1Av = [ ]v 2a 1 a 2 . . . a n ⎢ ⎥⎣ . ⎦ =[ ]v 1 a 1 + v 2 a 2 + . . . + v n a nv n(3-15)Resultatet er en søjlevektor med m elementer. Resultatet er summen af produkterneaf matricens k’te søjle og søjlevektorens k’te element for alle k = 1, 2, . . . , n.Der skal være lige mange søjler i matricen, som der er rækker i søjlevektoren, her n.Læg mærke til rækkefølgen i matrix-vektorproduktet: først matrix, dereftervektor! Det er ikke et vektor-matrixprodukt så at sige. Antallet af søjler og rækkervil ikke passe sammen i den anden konfiguration medmindre matricen eraf typen 1 × 1.Eksempel 3.8Matrix-vektorproduktDer er givet følgende matrix og vektor (søjlevektor):[ ] a b cA = A 2×3 =d e f⎡og v = ⎣⎤3⎦ . (3-16)4−1Vi danner nu matrix-vektorproduktet af A med v ved hjælp af definition 3.7:[ ] ⎡ ⎤3 [ [ ] [ ] [ ]] [ ]a b cAv = ⎣a b c 3a + 4b − c4 ⎦= 3 + 4 + (−1) =d e fd e f 3d + 4e − f−1(3-17)Er A givet på denne mådehar man da produktetAv =A =[ ] −1 2 6, (3-18)2 1 4[ ] [ ]3 · (−1) + 4 · 2 − 6 −1=3 · 2 + 4 · 1 − 4 6(3-19)Det ses, at resultatet (i begge tilfælde) er en søjlevektor med lige så mange rækker, som matricenA har rækker.

eNote 3 3.2 MATRIX-VEKTORPRODUKTET OG MATRIX-MATRIXPRODUKTET 7Opgave 3.9Matrix-vektorproduktDan matrix-vektorproduktet A med x i ligningen Ax = b, når det er givet at⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤a 11 a 12 a 13x 1b 1A = ⎣ a 21 a 22 a 23⎦ , x = ⎣ x 2⎦ og b = ⎣ b 2⎦ (3-20)a 31 a 32 a 33 x 3 b 3Er det noget du er stødt på før? Hvor kommer det fra?Som det er nævnt kan en matrix betragtes som søjlevektorer stillet op efter hinanden.Dette udnyttes i den følgende definition af et matrix-matrixprodukt som en række afmatrix-vektorprodukter.Definition 3.10Matrix-matrixproduktLad A være en vilkårlig matrix i R m×n , og lad B være en vilkårlig matrix i R n×p .Matrix-matrixproduktet eller bare matrixproduktet af A med B er defineret på dennemåde:AB = A [ ] [ ]b 1 b 2 . . . b p = Ab1 Ab 2 . . . Ab p (3-21)Resultatet er en matrix af typen m × p. Den k’te søjle i resultatmatricen er et matrixvektorproduktaf den førststående matrix (her A) med den k’te søjlevektor i densidststående matrix (her B), jf. definition 3.7.Der skal være lige mange søjler i den førststående matrix, som der er rækker i densidststående matrix.Eksempel 3.11Matrix-matrixproduktDer er givet to matricer A 2×2 og B 2×3 :[ ] 4 5A =1 2og B =[ −8 3] 32 9 −9(3-22)Vi ønsker at danne matrix-matrixproduktet af A med B. Dette gøres ved hjælp af definition3.10.[[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]]4 5 −8 4 5 3 4 5 3AB =1 2 2 1 2 9 1 2 −9=[ 4 · (−8) + 5 · 2 4 · 3 + 5 · 9 4 · 3 + 5 · (−9)−8 + 2 · 2 3 + 2 · 9 3 + 2 · (−9)]=[ −22 57] −33(3-23)−4 21 −15NB: Det er ikke muligt at danne matrix-matrixproduktet BA, fordi der ikke er lige så mangesøjler i B, som der er rækker i A (3 ̸= 2).

eNote 3 3.2 MATRIX-VEKTORPRODUKTET OG MATRIX-MATRIXPRODUKTET 8Eksempel 3.12Matrix-matrixprodukt to vejeGivet er de to matricer A 2×2 og B 2×2 :A =[ 3] 2−5 1og B =[ 4] 4−1 0(3-24)Idet de to matricer er kvadratiske matricer af samme type kan begge matrixmatrixprodukterneAB og BA beregnes. Til det bruges definition 3.10.[[ ][ ] [ ][ ]]3 2 4 3 2 4AB =−5 1 −1 −5 1 0[ ] [ ]3 · 4 + 2 · (−1) 3 · 4 + 2 · 0 10 12==−5 · 4 + 1 · (−1) −5 · 4 + 1 · 0 −21 −20[[ ][ ] [ ][ ]]4 4 3 4 4 2BA =−1 0 −5 −1 0 1[ ] [ ]4 · 3 + 4 · (−5) 4 · 2 + 4 −8 12==−1 · 3 −1 · 2 −3 −2Der gælder altså at AB ̸= BA. Faktorernes orden er ikke ligegyldig!(3-25)Her opsummeres de regneregler, der gælder for matrix-matrixprodukter og matrixsummer.Fordi matrix-vektorproduktet er et særtilfælde af matrix-matrixproduktet, er reglerneogså gældende for dem.Sætning 3.13Regneregler for matrixsum og -produktFor vilkårlige matricer A, B og C og ligeledes et vilkårligt reelt tal k gælder følgenderegneregler, såfremt de respektive matrix-matrixprodukter kan dannes:(kA)B = A(kB) = k(AB)A(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BCA(BC) = (AB)CProdukt med skalar er associativ}De distributive regler gælderMatrix-matrixprodukter er associativePå samme måde som med regnereglerne i sætning 3.3 efterprøves som eksempel densidste regneregel i sætning 3.13:

eNote 3 3.3 TRANSPONERING AF MATRIX 9Eksempel 3.14Er matrixprodukter associative?Den sidste regneregel i sætning 3.13 efterprøves på disse tre matricer:A =[ ] 1 23 4Først udregnes AB og BC:[[ ][ 1 2 −3AB =3 4 0⎡[BC = ⎣ −3 −2 −10 0 7, B =] [ ][ 1 2 −23 4 0] ⎡ ⎤4⎣ 2 ⎦1Dernæst bestemmes A(BC) og (AB)C:[[ ][ 1 2 −17A(BC) =3 4 7⎡[(AB)C = ⎣ −3 −2 13−9 −6 25] [ 1 23 4] ⎡ ⎤4⎣ 2 ⎦1[ −3 −2] −10 0 7] [ ][ ]]1 2 −1=3 4 7⎤[ −3 −2 −10 0 7][ ]] 16=−21[ −3 −2 13−9 −6 25⎡4⎤−5og C = ⎣ 2 1 ⎦ (3-26)1 −3[ ]−3 −2 13−9 −6 25] ⎡ ⎤−5⎣ 1 ⎦⎦=−3[ −17] 16(3-27)7 −21[ ] −3 −26−23 −36] ⎡ ⎤⎤−5 [ ] (3-28)⎣ 1 ⎦ −3 −26⎦=−23 −36−3Vi kan se, at A(BC) = (AB)C, og det derfor er ligemeget, hvilket af matrixprodukterne, ABog BC, man udregner først. Det gælder for alle matricer.På samme måde som det er vist i eksempel 3.14, kan man eftervise resten af regnereglerne.Ved at bruge mere “generelle” matricer kan man også bevise dem på rigtig vis.Opgave 3.15Eftervisning af regneregelEftervis 1. regneregel i sætning 3.13 med de to reelle matricer A 2×2 og B 2×2 og konstanten k.3.3 Transponering af matrixVed at bytte om på rækker og søjler i en matrix, fremkommer matricens transponeredematrix, som i dette eksempel:⎡ ⎤[ ]a da b cA =har den transponerede A ⊤ = ⎣ b e ⎦ (3-29)d e fc fA ⊤ læses ’A transponeret’. Man har da også, at (A ⊤ ) ⊤ = A. Her er en nyttig regneregelfor transponeret matrix-matrixprodukt.

eNote 3 3.3 TRANSPONERING AF MATRIX 10Sætning 3.16Transponering af matrixLad der være givet to vilkårlige matricer A m×n og B n×p . Man danner de transponeredematricer, A ⊤ henholdsvis B ⊤ , ved at bytte om på søjler og rækker i de respektivematricer.At transponere matrix-matrixproduktet AB er det samme som at lave matrixmatrixproduktetaf B ⊤ med A ⊤ (altså i modsat rækkefølge):(AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤ (3-30)I følgende eksempel afprøves sætning 3.16.Eksempel 3.17Eftervisning af transponeringsregelGivet er de to matricerMan har da atA =[ 0 1] 67 −3 2⎡[ ] ⎡AB = ⎣ 0 1 6⎣7 −3 2[=⎤9⎦1−6⎡og B = ⎣[ 0 1 67 −3 21 · 1 − 6 · 6 6 · 37 · 9 − 3 · 1 − 2 · 6 7 · 1 + 2 · 3⎤9 1⎦ (3-31)1 0−6 3] ⎡ ⎤⎤1⎣ 0 ⎦⎦3]=[ −35 1848 13Vi prøver nu at lave matrix-matrixproduktet B ⊤ A ⊤ , og vi har at⎡ ⎤0 7[ ]A ⊤ = ⎣ 1 −3 ⎦ og B ⊤ 9 1 −6=1 0 36 2så⎡[ ] ⎡ ⎤0B ⊤ A ⊤ = ⎣ 9 1 −6⎣ 1 ⎦1 0 36=[ ] ⎡ 9 1 −6⎣1 0 3[ 1 · 1 − 6 · 6 9 · 7 − 1 · 3 − 6 · 23 · 6 1 · 7 + 3 · 2De to resultater ser ens ud:[ ] ⊤ [ ]−35 18 −35 48=48 13 18 13hvilket stemmer med sætning 3.16.]=]⎤⎤7−3 ⎦⎦2[ −35 4818 13](3-32)(3-33)(3-34)⇔ (AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤ , (3-35)

eNote 3 3.3 TRANSPONERING AF MATRIX 11Opgave 3.18Matrixprodukt og transponeringGivet er matricerneA =[ 1 1] 21 2 −1Udregn følgende, hvis det er muligt:og B =[ 0 −1] −11 2 1(3-36)a) 2A − 3B, b) 2A ⊤ − 3B ⊤ , c) 2A − 3B ⊤ , d) AB,e) AB ⊤ , f) BA ⊤ , g) B ⊤ A, h) A ⊤ B.

eNote 3 3.4 OPSUMMERING 123.4 Opsummering• Matricer er talskemaer som er karakteriseret ved antallet af søjler og rækker, derangiver typen af matricen. En plads i en matrix kaldes et element.• Typen af en matrix betegnes således: A m×n . Matricen A har m rækker og n søjler.• Matricer kan ganges med en skalar ved at gange skalaren på hvert element i matricen.• Matricer kan lægges sammen, hvis de er af samme type. Det sker elementvist.• Matrix-vektorproduktet, af A m×n med vektoren v med n elementer, er defineretsåledes:⎡ ⎤v 1A m×n v = [ ]v 2a 1 a 2 . . . a n ⎢ ⎥⎣ . ⎦ =[ ]a 1 v 1 + a 2 v 2 + . . . + a n v n , (3-37)v nhvor a 1 , a 2 , . . . , a n er søjlevektorerne i A.• Matrix-matrixproduktet (eller bare matrixproduktet) er defineret som en række afmatrix-vektorprodukter:A m×n B n×p = A [ b 1 b 2 . . . b p] =[Ab1 Ab 2 . . . Ab p](3-38)• Der findes flere regneregler for både summer af matricer, produkter af matricer ogprodukter af matricer med skalarer, se sætning 3.3 og sætning 3.13.• Den transponerede A ⊤ til en matrix A bestemmes ved at bytte om på rækker ogsøjler i matricen.