Løsningsark A2 i matematik, 10/9/2012

0161412101086x 542Matematik og databehandling 2012t10 122 4 6 8Løsningsark A2 til hjemmeopgaver i matematik(afleveringsdato 10/9)Opgave A.17(a) Vi har f(x) = x 2 e −x = 0 ⇔ x = 0, så x = 0 er det eneste nulpunkt for f(x).Ved differentiation af produkt fåsf ′ (x) = 2xe −x −x 2 e −x = (2x−x 2 )e −x = x(2−x)e −x ,så f ′ (x) = 0 ⇔ x = 0 eller x = 2. Da f ′ (1) = e −1 > 0 har vi f ′ (x) > 0 for x ∈]0,2[, og daf ′ (3) = −3e −3 < 0 har vi f ′ (x) < 0 for x > 2. Sildebensdiagrammet bliver derforxf ′ (x)0+2+ +0 −f(x) ր ցDerfor har f(x) globalt maksimum i x = 2 med værdien f(2) = 4 e 2 ≃ 0.54.Endvidere har vilimx→∞ x2 e −x x 2= limx→∞ e x = 0,idet eksponentialfunktionen vokser hurtigere end potensfunktioner.(Grafen for f(x) findes på figuren i (b).)(b) Vi har f(x) = x 2 e −ax = 0 ⇔ x = 0, så x = 0 er det eneste nulpunkt for f(x).Daf ′ (x) = 2xe −ax −ax 2 e −ax = x(2−ax)e −ax ,har vi f ′ (x) = 0 ⇔ x = 0 eller x = 2 a . Endvidere er x(2−ax) > 0 netop når x ∈]0, 2 a [ (husk,at x ≥ 0) og derfor har vi f ′ (x) > 0 for x ∈]0, 2 a [ og f′ (x) < 0 for x > 2 a. (Alternativt følgerdette af, at f ′ ( 1 a ) = 1 a e−1 > 0 og f ′ ( 3 a ) = −3 a e−3 < 0.) Sildebensdiagrammet bliver derforxf ′ (x)20 a+ ++0 −f(x) ր ցDerfor har f(x) globalt maksimum i x = 2 a med værdien f(2 a ) = 4a 2 e −2 = 4a 2 e 2 .Endvidere har vi som i (a)limx→∞ x2 e −ax = lim = 0,x→∞ eax idet eksponentialfunktioner vokser hurtigere end potensfunktioner.x 21

Løsningsark A2 Matematik og databehandling 2012Grafen for f(x) for a = 0.5,1 og 2 findes på figuren nedenfor.a=0.5f (x)0.0 0.5 1.0 1.5 2.0a=2a=10 1 2 3 4 5 6xOpgave A.22(a) Indtægter = 1000U(t) og udgifter = 200t giver fortjenesten(F(t) = 1000U(t) −200t = 20000 1− 1 )−200t.t+2(b) Funktionen F(t) er defineret for alle t ≥ 0. Nulpunkterne for F(t):(F(t) = 0 ⇔ 20000 1− 1 )= 200tt+2(⇔ 100 1− 1 )(t+2) = t(t+2) ⇔ 100(t+2−1) = t(t+2)t+2⇔ 100t+100 = t 2 +2t ⇔ t 2 −98t−100 = 0 ⇔ t = 49+ √ 2501 ≃ 99.01(idet løsningen t = 49− √ 2501 ≃ −1.01 ikke opfylder t ≥ 0).Da F(t) = 20000− 20000t+2så−200t får vi ved differentiation af brøk, atF ′ (t) = − 0·(t+2)−20000·1(t+2) 2 −200 = 20000(t+2) 2 −200,F ′ (t) = 0 ⇔ 20000(t+2) 2 = 200 ⇔ (t+2)2 = 20000200 = 100 ⇔ t = 8(idet løsningen t = −12 ikke opfylder t ≥ 0). Da F ′ (2) = 200004− 200 = 1050 > 0 og2F ′ (18) = 20000 −200 = −150 < 0 fås sildebensdiagrammet20 2tF ′ (t)F(t)0+8+ +0 −ր ցDe følger, at F(t) har maksimum i t = 8 med værdien F(8) = 16400. Endvidere er funktionensstartværdi F(0) = 10000.2

Løsningsark A2 Matematik og databehandling 2012Grafen for F(t):F(t)0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 160000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t(c) Ifølge (b) skal der benyttes 800 kg gødning, hvilket giver en fortjeneste på 16400 kr.(d) Når salgsprisen er q kr. pr. tons (i stedet for 1000 kr pr. tons), så er(F(t) = 20q 1− 1 )−200t = 20q − 20qt+2 t+2 −200t,og dermedF ′ (t) = −0·(t+2)−20q ·1(t+2) 2Da der er maksimum i t = 6, har vi F ′ (6) = 0, dvs.(e) Vi har c = U(0) = 10. Der gælderså−200 = 20q(t+2) 2 −200.20q200·(6+2)2= 200 ⇔ q =(6+2) 2 20= 640.U(t)−10 = 20− 20 20−10 = 10−t+2 t+2 = 10(t+2)−20 = 10tt+2 t+2 ,U(t) = 10tt+2 +10.Heraf ses det, at U(t) er en hyperbolsk model med a = 10, b = 2 og c = 10.3