Differentialligninger for A-niveau i stx

11. Bestem en lÅsning til en differentialligningnÇr to funktionsvÄrdier (to grafpunkter) er givet.OpgaveEn funktion p er lÅsning til differentialligningendp k p .dtDet oplyses at nÇr t 0 er p 2 , og at nÇr t 1 er p 1, 5 .BesvarelseBestem en forskrift for p .Nspire bestemmer en forskrift for den lÅsning p til. p(t) (2 k)e t 1Da p ( 1) 1, 5 , er (2 k ) e k 1, 5 .Nspire lÅser denne ligning mht. k og fÇr k 1, 21 .dpdtDen sÅgte forskrift er altsÇ p ( t) (2 1,21) e 1,21 , dvs.tp ( t) 0,79 e 1,21.kt k p hvor p ( 0) 2 , og fÇrVi tastede og .Brug to forskellige punkter(0 , 2) og (1 , 1,5)12. Opstil differentialligning. Eksempel 1.OpgaveEn samling celler deler sig sÇdan at samlingens vÄgt vokser med en hastighed der erproportional med samlingens vÄgt, og proportionalitetskonstanten er 0,02 . PÇ et tidspunktbegynder samlingen at blive spist med en hastighed pÇ 1,4 gram pr. dÅgn.IndfÅr passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver hvordan samlingensvÄgt nu Ändrer sig med tiden.Besvarelsex = tiden mÇlt i dÅgn. y = samlingens vÄgt mÇlt i gram. Celledelingen fÇr vÄgten til at stigemed hastigheden 0,02y gram pr. dÅgn. Herfra skal trÄkkes 1,4 gram pr. dÅgn.dy 0,02y1,4dx13. Opstil differentialligning. Eksempel 2.OpgaveI hvert punkt pÇ grafen for en funktion f er der en tangent. Tangentens hÄldningskoefficienter proportional med punktets y-koordinat. Proportionalitetskonstanten er 0,8 .Opstil en differentialligning der har f som lÅsning.BesvarelseTangenthÄldningen f (x)i et grafpunkt ( x,f (x))er lig 0,8 f ( x), sÇ f er lÅsning tildifferentialligningenf ( x) 0,8 f ( x)Differentialligninger for A-niveau i stx Side 6 2013 Karsten Juul