Differentialligninger for A-niveau i stx

14eHvor stor er populationen nÅr den vokser hurtigst?Vi vil finde ud af hvor stort antallet N er nÇr vÄksthastigheden er stÅrst. Vi skal altsÇ findeud af hvad N skal vÄre for at fÅlgende udtryk er stÅrst:Se figurVi fÇrhast( N) 0,001N (300 N) 0,3N 0,001Nhast' ( N) 0,3 0, 002NsÇ hast' ( N) 0 netop nÇr N 150.Da hast'( 100) 0, 1 og hast ( 200) 0,1 ,er hast voksende i intervallet N 150ogaftagende i intervallet 150 N , sÇ stÅrstevÄksthastighed er hast ( 150) 22, 5 .NÅr antallet af dyr er 150,er vÄksthastigheden stÇrst.Den stÇrste vÄksthastighed er 22,5'214f14gVi finder forskrifter for lÇsningerne tildifferentialligningenI formelsamlingen stÇr at funktionerne(5)yM1cekMtAf (5) fÇr vi at funktionerne(6)er lÅsning til y k y ( M y)300N( t)er lÅsning til N 0,001N (300 N)0,3t1ceVi finder den af lÇsningerne der passer med populationenDet er oplyst at til tiden t 0 er antallet N 10.300Dette indsÄtter vi i (6) og fÇr 10 1ceAntallet af dyr er altsÇ fastlagt ved(7)N(t)300129e0,3t0,30dvs.SkÄrmbillede fra TI-Nspire30010 sÇ c 29 .1 c14hHvad sker der med antallet i det lange lÇb?Da0,3t29eer eksponentielt aftagende, er29e0,3tsÇ af (7) ser vi atN( t)3000nÇr t er stornÇr t er storSe figurAltsÇ er 300 den Åvre grÄnse for hvor mangedyr der er plads til. Tallet 300 kaldesbÄreevnen.SkÄrmbillede fra TI-NspireFor en logistisk funktion y hvor y k y ( M y), er M den Åvre grÄnse for y ,og M 2er stÅrrelsen af y nÇr y er stÅrst.Differentialligninger for A-niveau i stx Side 8 2013 Karsten Juul