Differentialligninger for A-niveau i stx

Differentialligningerfor A-niveau i stxSkÄrmbillede fra TI-Nspire2013 Karsten Juul

Differentialligninger for A-niveau i stx1. OplÄg til differentialligninger....................................................................................12. Hvad er en differentialligning?...................................................................................13. UndersÅg om funktion er lÅsning til differentialligning.GÅr rede for at funktion er lÅsning til differentialligning.Eksempel 1. ................................................................................................................24. UndersÅg om funktion er lÅsning til differentialligning.GÅr rede for at funktion er lÅsning til differentialligning.Eksempel 2. ................................................................................................................25. Bestem ligning for tangent nÇr differentialligning er givet........................................36. Eksempel pÇ brug af oplysningen i differentialligningen...........................................37. Bestem vÄksthastighed ud fra differentialligning. Eksempel 1. ................................48. Bestem vÄksthastighed ud fra differentialligning. Eksempel 2. ................................49. Bestem lÅsningerne til en differentialligning. ............................................................510. Bestem en lÅsning til en differentialligningnÇr Én funktionsvÄrdi (Ét grafpunkt) er givet.............................................................511. Bestem en lÅsning til en differentialligningnÇr to funktionsvÄrdier (to grafpunkter) er givet. ......................................................612. Opstil differentialligning. Eksempel 1.......................................................................613. Opstil differentialligning. Eksempel 2.......................................................................614. Logistisk differentialligning .......................................................................................715. Beviser........................................................................................................................9GÇ ind pÇ http://mat1.dk/noter.htm for at downloade nyeste version af dette hÄfte.Differentialligninger for A-niveau i stx, Ä 2013 Karsten Juul . Dette hÄfte kan downloades fra www.mat1.dk.Det mÅ bruges i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som oplyser at detbruges (skriv fulde titel og Årstal) og oplyser hold, niveau, lÄrer og skole. 9/5-2013

1. OplÄg til differentialligninger.En plantes hÅjde y vokser sÇdan at der pÇ ethvert tidspunkt t gÄlder athÅjdens vÄksthastighed = hÅjdenDette kan vi skrive med symboler sÇdan:y yVi kan ogsÇ udtrykke dette ved at sige at i hvert punkt pÇ grafen ertangenthÄldningen = y-koordinaten Her har vi opstillet en differentialligning.Ligningenyyer et eksempel pÇ en differentialligning.For funktionenxf ( x) 4egÄlder atf ( x) 4ex, sÇf (x) opfylder betingelsen y y for hvert x .Dette udtrykker vi ved at sige atf (x) er en lÅsning til differentialligningeneller atf (x) tilfredsstiller differentialligningenVi ser at funktionenf ( x) exogsÇ er en lÅsning.Vi ser at differentialligningen har mange lÅsninger.dySymbolet betyder det samme som y .dxDifferentialligningenykan ogsÇ skrives sÇdan:dy dxeller sÇdan:yyf ( x) f ( x).2. Hvad er en differentialligning?En ligning er en differentialligning hvisden ubekendte er en funktionogfunktionens differentialkvotient indgÇrEn funktion er lÅsning til en differentialligning hvisfunktionen opfylder differentialligningen for hvert x i funktionens definitionsmÄngde.Differentialligninger for A-niveau i stx Side 1 2013 Karsten Juul

3. UndersÅg om funktion er lÅsning til differentialligning.GÅr rede for at funktion er lÅsning til differentialligning.Eksempel 1.OpgaveUndersÅg om funktionenf ( x)x x er en lÅsning til differentialligningen 22y 2y 12x.BesvarelseVi indsÄtterf ( x)x x for y i 2y 2y 12x:22( x x) 2( x x) 12x22x1(2x 2x) 12x22x12x 2x 12x2212x 12x22Da dette er sandt, gÄlder: f er lÅsning til differentialligningen224. UndersÅg om funktion er lÅsning til differentialligning.GÅr rede for at funktion er lÅsning til differentialligning.Eksempel 2.OpgaveUndersÅg om funktionendydx2y x 1.xf ( x) x2lnx x er en lÅsning til differentialligningenBesvarelseVi indsÄtter f ( x) x2ln x x for y idy 2y x 1dx x22( ln )(2 x x xx ln x x) x 1x1 2 ( ln 1)2 ln2 x xx xx x 1 x 1x x2xln x x 1 2( xln x 1) x 12xln x x 1 2xln x 2 x 12xln x x 1 2xln x x 1:Da dette er sandt, gÄlder: f er lÅsning til differentialligningenDifferentialligninger for A-niveau i stx Side 2 2013 Karsten Juul

5. Bestem ligning for tangent nÇr differentialligning er givet.OpgaveEn funktion f er lÅsning til differentialligningendydx x2 yog grafen for f gÇr gennem punktet P (3, 7).BesvarelseBestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P .I punktet x , y ) (3,7)er tangenthÄldningena( 1 1 dy dxTangenten i P :yy a x x 1 ) 2(x 3) 7( yy 2x13 2 7 126. Eksempel pÇ brug af oplysningen i differentialligningen.OpgaveEn funktion f er defineret for ethvert tal x og er lÅsning til differentialligningendy 2x 1y 2 .dx 1GÅr rede for at f har et minimum.BesvarelseI ethvert punkt ( x,y)pÇ grafen for f er tangenthÄldningenDette tal har samme fortegn som 2x 1,2 2x12 .y 1for y 1 er altid positivt da et tal i anden ikke kan vÄre negativt.2x1 0For 1har lÅsningen 12x .x er 2x 1 1, og for x 0 er 2x 11.TangenthÄldningen er altsÇ negativ forf er aftagende i intervallet 12x og positiv for x 12Heraf fÅlger at f har minimum for x . 21x og voksende i intervallet x12 21., sÇDifferentialligninger for A-niveau i stx Side 3 2013 Karsten Juul

7. Bestem vÄksthastighed ud fra differentialligning. Eksempel 1.OpgaveUdviklingen i et dyrs vÄgt kan beskrives ved differentialligningendy 0,028y 16,2 , 0 t 9dthvor t er tiden mÇlt i uger, og y er dyrets vÄgt mÇlt i gram.BesvarelseBestem vÄksthastigheden pÇ det tidspunkt hvor dyrets vÄgt er 180 gram.Vi indsÄtter 180 for y i differentialligningen:dy 0,02818016,2dtdydtdydt 16,2 0,028 18011,16NÇr dyrets vÄgt er 180 gram, er vÄksthastigheden11 ,2 gram pr. uge .Ovenfor lÅste vi en ligning ved at trÄkke samme tal fra begge sider. Hvis vi i stedet vil brugesolve, kan vi taste .8. Bestem vÄksthastighed ud fra differentialligning. Eksempel 2.OpgaveEn plantes hÅjde er en funktion af tiden der opfylder differentialligningendh 0,026 0, 93t hdthvor h er hÅjden mÇlt i mm, og t er tidspunktet mÇlt i dÅgn.Det oplyses at h ( 1) 3 .BesvarelseBestem vÄksthastigheden til tidspunktet t 1 .Vi indsÄtter 1 for t og 3 for h i differentialligningen:dh 0,026 0,93dtdhdt 0,072541 3Til tidspunktet t 1 er vÄksthastigheden 0 ,073 mm pr. dÅgn .Differentialligninger for A-niveau i stx Side 4 2013 Karsten Juul

9. Bestem lÅsningerne til en differentialligning.OpgaveBestem forskrift for lÅsningerne til differentialligningen y y 1, 3 .BesvarelseNspire lÅser ligningen mht. funktionen y og fÇr lÅsningerne y c e 1, 3 .Vi tastede .I stedet for c skriver Nspire c1 eller c2 eller c3 osv.NÇr vi i y c e 1, 3xerstatter c med et bestemt tal, fÇr vi Én af lÅsningerne.Hvis vi ved at y ( 2) 5 , dvs. at punktet ( 2, 5)ligger pÇ grafen, sÇ kan vi bestemme c .Dette kan vi gÅre med metoden fra ramme 10, men vi kan ogsÇ blot sÄtte 2 og 5 ind for x og yxi y c e 1, 3 og lÅse mht. c :5 c e2 1,3hvoraf c 3,70, 5007412e .xLÅsningen hvor y ( 2) 5 , er altsÇ y 0,50 e 1,3 .x10. Bestem en lÅsning til en differentialligningnÇr Én funktionsvÄrdi (Ét grafpunkt) er givet.OpgaveEn funktion h er lÅsning til differentialligningendh 0,25(h x)dxog grafen for h gÇr gennem punktet ( 2 , 1,6 ) .Bestem en forskrift for h .BesvarelsedhNspire bestemmer forskriften for den lÅsning til 0,25(h x)hvor h( 2) 1, 6dxxh( x) 2,671,284 x 4og fÇrSamme bogstavx fÅr hVi tastede .Samme bogstavDifferentialligninger for A-niveau i stx Side 5 2013 Karsten Juul

11. Bestem en lÅsning til en differentialligningnÇr to funktionsvÄrdier (to grafpunkter) er givet.OpgaveEn funktion p er lÅsning til differentialligningendp k p .dtDet oplyses at nÇr t 0 er p 2 , og at nÇr t 1 er p 1, 5 .BesvarelseBestem en forskrift for p .Nspire bestemmer en forskrift for den lÅsning p til. p(t) (2 k)e t 1Da p ( 1) 1, 5 , er (2 k ) e k 1, 5 .Nspire lÅser denne ligning mht. k og fÇr k 1, 21 .dpdtDen sÅgte forskrift er altsÇ p ( t) (2 1,21) e 1,21 , dvs.tp ( t) 0,79 e 1,21.kt k p hvor p ( 0) 2 , og fÇrVi tastede og .Brug to forskellige punkter(0 , 2) og (1 , 1,5)12. Opstil differentialligning. Eksempel 1.OpgaveEn samling celler deler sig sÇdan at samlingens vÄgt vokser med en hastighed der erproportional med samlingens vÄgt, og proportionalitetskonstanten er 0,02 . PÇ et tidspunktbegynder samlingen at blive spist med en hastighed pÇ 1,4 gram pr. dÅgn.IndfÅr passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver hvordan samlingensvÄgt nu Ändrer sig med tiden.Besvarelsex = tiden mÇlt i dÅgn. y = samlingens vÄgt mÇlt i gram. Celledelingen fÇr vÄgten til at stigemed hastigheden 0,02y gram pr. dÅgn. Herfra skal trÄkkes 1,4 gram pr. dÅgn.dy 0,02y1,4dx13. Opstil differentialligning. Eksempel 2.OpgaveI hvert punkt pÇ grafen for en funktion f er der en tangent. Tangentens hÄldningskoefficienter proportional med punktets y-koordinat. Proportionalitetskonstanten er 0,8 .Opstil en differentialligning der har f som lÅsning.BesvarelseTangenthÄldningen f (x)i et grafpunkt ( x,f (x))er lig 0,8 f ( x), sÇ f er lÅsning tildifferentialligningenf ( x) 0,8 f ( x)Differentialligninger for A-niveau i stx Side 6 2013 Karsten Juul

14. Logistisk differentialligning14a14b14c14dVi opstiller en differentialligningFor en population af dyr er N(t)Det er oplyst at populationen vokser sÇdan at(1)antallet af dyr pÇ tidspunktet t uger.vÄksthastigheden er proportional medproduktet af antallet og differensen mellem 300 og antalletUd fra (1) kan vi opstille en differentialligning:(2) N k N ( 300 N)Vi finder proportionalitetskonstantenDet er oplyst atvÄksthastigheden er 20 pÇ det tidspunkt hvor antallet er 100dvs.(3) N 20 nÇr N 100Ud fra (2) og (3) kan vi finde proportionalitetskonstanten k :Antallet N(t)20 k 100(300100)k 0,001er altsÇ en lÅsning til differentialligningen(4) N 0,001N (300 N)Hvad er en logistisk differentialligning?Differentialligning (4) er af typeny k y ( M y)En differentialligning af denne type kaldes en logistisk differentialligning.Hvordan Ändres vÄksthastigheden?Af (4) fÇr vi:NÇr N 30 er N 8, 1NÇr N 70 er N 16, 1NÇr antallet er 70, sÇ vokser det altsÇhurtigere end nÇr det er 30.Grunden er atsÅ lÄnge der er god plads, gÄlderat nÅr der er flere dyr,vil der komme flere unger.Af (4) fÇr vi:NÇr N 260 er N 10, 4Se figurSe figurNÇr antallet er 260, sÇ vokser det altsÇ langsommere end nÇr det er 70. Grunden er atnÅr der er mange dyr, er der mindre plads pr. dyr,og sÅ kommer der ikke sÅ mange unger.N ' = vÄksthastighedenN = antallet300 – N = differensen mellem300 og antalletSkÄrmbillede fra TI-NspireDifferentialligninger for A-niveau i stx Side 7 2013 Karsten Juul

14eHvor stor er populationen nÅr den vokser hurtigst?Vi vil finde ud af hvor stort antallet N er nÇr vÄksthastigheden er stÅrst. Vi skal altsÇ findeud af hvad N skal vÄre for at fÅlgende udtryk er stÅrst:Se figurVi fÇrhast( N) 0,001N (300 N) 0,3N 0,001Nhast' ( N) 0,3 0, 002NsÇ hast' ( N) 0 netop nÇr N 150.Da hast'( 100) 0, 1 og hast ( 200) 0,1 ,er hast voksende i intervallet N 150ogaftagende i intervallet 150 N , sÇ stÅrstevÄksthastighed er hast ( 150) 22, 5 .NÅr antallet af dyr er 150,er vÄksthastigheden stÇrst.Den stÇrste vÄksthastighed er 22,5'214f14gVi finder forskrifter for lÇsningerne tildifferentialligningenI formelsamlingen stÇr at funktionerne(5)yM1cekMtAf (5) fÇr vi at funktionerne(6)er lÅsning til y k y ( M y)300N( t)er lÅsning til N 0,001N (300 N)0,3t1ceVi finder den af lÇsningerne der passer med populationenDet er oplyst at til tiden t 0 er antallet N 10.300Dette indsÄtter vi i (6) og fÇr 10 1ceAntallet af dyr er altsÇ fastlagt ved(7)N(t)300129e0,3t0,30dvs.SkÄrmbillede fra TI-Nspire30010 sÇ c 29 .1 c14hHvad sker der med antallet i det lange lÇb?Da0,3t29eer eksponentielt aftagende, er29e0,3tsÇ af (7) ser vi atN( t)3000nÇr t er stornÇr t er storSe figurAltsÇ er 300 den Åvre grÄnse for hvor mangedyr der er plads til. Tallet 300 kaldesbÄreevnen.SkÄrmbillede fra TI-NspireFor en logistisk funktion y hvor y k y ( M y), er M den Åvre grÄnse for y ,og M 2er stÅrrelsen af y nÇr y er stÅrst.Differentialligninger for A-niveau i stx Side 8 2013 Karsten Juul

15. Beviserkx kx15a HjÄlpesÄtning: e k e'Bevis:Forkxeer den ydre funktion(eDifferentialkvotienten af den ydre er), og den indre er k x .()e , og differentialkvotienten af den indre er k ,kx ' ( kx)ke e k k e .sÇ differentialkvotienten af den sammensatte funktion er x15b SÄtningLÅsningerne til differentialligningenyk yer funktionerney( x)BemÄrk atog atc ek xpÇ k's plads i denne forskrift skal stÇ det tal der stÇr pÇ k's plads i differentialligningenuanset hvilket tal vi skriver pÇ c's plads, sÇ fÇr vi en lÅsning.Det er altsÇ uendelig mange lÅsninger.1. del af beviset for sÄtningenFor en funktion y(x)med egenskaben y k ykxy e k xk x y e y ke Day ek xy ek xk xk xerregel for at differentiere produktk y e y ke da vi forudsatte at y k y0differentieret giver 0, mÇcy eVi ganger begge denne lignings sider medyk xc ek xk xk xkx0 da e e e e 1 .k xk xevÄre lig en konstant:og fÇrKonklusion: Hvis en funktion y(x)har egenskaben y k ysÇ har denne funktion en forskrift af typen2. del af beviset for sÄtningenVi indsÄtterk xy( x) cehvor c er et tal.k xc e for y i ligningen y k yk x k xce k ceVenstre side af ligningen giverk xog fÇrc k e . Ligningen passer.Konklusion:Funktionernek xy( x) c e har egenskaben y k y .Differentialligninger for A-niveau i stx Side 9 2013 Karsten Juul

Bbevis ...............................................................9bÄreevne ........................................................8Ddifferentialligning...........................................1Llogistisk ......................................................7, 8lÅsning................................................1, 2, 5, 6Oopstil.......................................................1, 6, 7Ppopulation ..................................................7, 8proportionalitetskonstant ...........................6, 7Ttangent............................................................3tilfredsstille ....................................................1VvÄksthastighed.......................................4, 7, 8