Vektorer i planen. Et oplæg. Udgave 2.

Til elevenFormÅlet med dette hÄfte er ikke at du skal fÅ trÄning i at skrivebesvarelser af standardopgaver. FormÅlet er at du skal fÅ kendskab til dengeometriske baggrund for standardmetoderne. SÅ bliver stoffet nemmere.Du skal selv fumle dig frem til facitterne pÅ en eller anden mÅde. SÅ fÅr dunemlig kendskab til det geometriske indhold, og det gÇr du ikke hvis dubruger andres metoder i stedet for selv at se pÅ figuren hvad der er rigtigt.Du skal ikke skrive hvordan du er kommet frem til facitterne.Du fÅr andre opgaver hvor du skal Çve dig pÅ dette.Vektorer i planen. Et oplÄg.2. udgave 2011É 2011 Karsten JuulDette hÄfte kan downloades fra www.mat1.dkHÄftet mÅ benyttes i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail tilkj@mat1.dk som dels oplyser at dette hÄfte benyttes, dels oplyser om hold, lÄrer ogskole.

1. Eksempel KoordinatsÄt for punktPÅ den venstre figur har vi tegnet et punkt P .PÅ den hÇjre figur har vi vist hvordan vi aflÄser atpunktet P har koordinatsÄttet (4, 3)Symbolet (4,3)lÄser vi sÅdan: 4komma 3Vi bruger symbolet (4,3)som en betegnelse for punktet: P (4, 3)PQPQRR2. Ävelse KoordinatsÄt for punktBrug figuren og oplysningerne i eksempel 1.Udfyld de tomme pladser:a) Punktet Q har koordinatsÄttet ( , )b) R ( , )c) Tegn punktet ( 2,1)pÅ venstre figur ovenfor.d) Tegn punktet ( 0, 1)pÅ venstre figur ovenfor.e) Tegn punktet ( 3, 0)pÅ venstre figur ovenfor.3. Ävelse KoordinatsÄt for punkta) A ( , )b) B ( , )Gc) C ( , )d) D ( , )e) E ( , )EFf) F ( , )Dg) G ( , )h) Tegn punktet (7, 5)i) Tegn punktet (6, 0)CBAj) Tegn punktet ( 4, 7)k) Tegn punktet ( 0, 6)l) Tegn punktet ( 6,4)m) Tegn punktet (6, 5,5)Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 1 2011 Karsten Juul

8. Ävelse Parallel og vinkelreta) Hvilken af de viste vektorer er parallel medlinjen l ?b) Hvilken af de viste vektorer er vinkelret pÅlinjen m ?c) NÅr k , er 6 kvinkelret pÅ l .2 53 92 7d) NÅr h , er h 1 parallel med m .e) NÅr k , er 3 kparallel med2 .59. Ävelse Parallel og vinkelreta) Find et tal t sÅ linjen gennem P og ( 3,t)er vinkelret pÅ 2 .4 t b) En linje l er vinkelret pÅ 3 . 1 Find et tal h sÅh er vinkelret pÅ l . 2 h 2 43110. Ävelse Vinkelreta) Ved forskydning med 1 fÇres punkterne pÅ 3 linjen l over i punkterne pÅ en linje m .Tegn linjen m . 1 3 b) Find en vektor h vinkelret pÅ 1k sÅ l 3 ved forskydning med h fÇres over i m .kh k Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 4 2011 Karsten Juul

11. Ävelse Gange vektor med tala) PÅ figuren nedenfor skal du tegne fÇlgende:– Det punkt som P fÇres over i ved forskydning med3 .2– Det punkt som P fÇres over i ved forskydning med c3 c2– Det punkt som P fÇres over i ved forskydning med c3 c2nÅr c 3.nÅr c 2.b) Udregn det punkt ( s,t)som P fÇres over i ved forskydning med c3 c2( s,t) ( , )nÅr c 10 .c) Skriv udtrykt ved c koordinatsÄttet ( s,t)til det punkt som P fÇres over i ved forskydning med c3 . ( s,t) (,)c23 212. Ävelse To forskydningera) Et punkt der starter i P , forskydes fÇrst med 4 1 . Derefter forskydes det videre med5 3 . 2 2 5Hvor meget er punktet i alt forskudt mod hÇjre? 2Og hvor meget er punktet i alt forskudt opad?Dette er forskydningen med vektoren . 1 b) Et punkt forskydes fÇrst med1 3 .3Derefter forskydes det videre med 4 . 2 Hvor meget er punktet i alt forskudt mod hÇjre? Og hvor meget er punktet i alt forskudt opad?Dette er forskydningen med vektoren . Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 5 2011 Karsten Juul

13. Ävelse To forskydningerSe pÅ figuren nedenfor.a) Find en vektor h sÅdan at hvis et punkt fÇrst forskydes med 6 k , og derefter forskydes 1 videre med h , sÅ er punktet i alt forskudt med3 hk . 4 k b) Find en vektor h sÅdan at hvis et punkt fÇrst forskydes med h k , og derefter forskydes videre kmed3 , sÅ er punktet i alt forskudt med 5 h4 . 0 k 3 4 5 0 6114. Ävelse To forskydninger – gange vektor med tala) Find et tal c sÅdan at hvis et punkt fÇrst forskydes med1 og3derefter forskydes videre medc ( 1) , sÅ er punktet i alt c 2 forskudt med 3 . c 11b) Bestem tallene s og t sÅdan at hvis et punkt fÇrst forskydesmed s 1 og derefter forskydes videre medt ( 1) s 3 , sÅ er t 2 det i alt forskudt med1 .8st 3 11 1 2 1 81 3Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 6 2011 Karsten Juul

15. Ävelse To forskydninger – gange vektor med talSe pÅ figuren nedenfor.a) Bestem tallene s og t sÅdan at hvis et punkt fÇrst forskydes med s 4 s 0 videre medt 4 , sÅ er det i alt forskudt med14 t 4 . s 8 b) Bestem tallene s og t sÅdan at hvis et punkt fÇrst forskydes med s 4 s 0 videre medt 4 , sÅ er det i alt forskudt med0 t 4 . s 8og derefter forskydest og derefter forskydest 0 814 8 4 44 016. Ävelse Linjer der stÇr vinkelret pÇ hinandena) Er vinkel u lig 90 ?hijb) Hvilken af linjerne h , i og j er vinkelret pÅlinjen k ?c) Tegn en linje l der er vinkelret pÅ linjen i .d) Tegn en linje m der er vinkelret pÅ linjen h .e) Tegn en linje n der er vinkelret pÅ linjen j .ku17. Ävelse Linjer der stÇr vinkelret pÇ hinandena) Tegn to forskellige linjersom begge er vinkelret pÅ linjen l.lb) Tegn en linje som er forskellig fra log er vinkelret pÅ de to linjerdu tegnede som svar pÅ a).Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 7 2011 Karsten Juul

18. Ävelse Linjer der stÇr vinkelret pÇ hinandena) Tegn en linje der gÅr gennem punktet Aog er vinkelret pÅ linjen m .b) Tegn en linje der gÅr gennem punktet Bog er vinkelret pÅ linjen m .ABm19. Ävelse Projektion af punkt pÇ linjea) Tegn det punkt Q som er skÄringspunktmellem linjen l og den linje gennem P somer vinkelret pÅ l.Dette punkt Q kalder manprojektionen af P pÅ l .b) Tegn det punkt S som er projektionen af R pÅ l.lRP20. Eksempel Projektion af punkt pÇ linjePÅ figuren nedenfor er vist:Projektionen af punktet P pÅ linjen l er punktet Q .For at tegne projektionen af P pÅ l kan man tegne den linje som gÅr gennem P og er vinkelret pÅl . SkÄringspunktet mellem denne linje og l er projektionen af P pÅ l .21. Ävelse Projektion af punkt pÇ linjea) Projektionen af punktet P pÅ linjen l kalder vi R .Tegn punktet R .b) Projektionen af punktet P pÅ linjen m kalder vi S .Tegn punktet S .c) T er det punkt pÅ m hvis projektion pÅ l er Q .Tegn punktet T .Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 8 2011 Karsten Juul

22. Ävelse Projektion af vektor pÇ linjea) Tegn det punkt A hvor pilen starter.b) Tegn det punkt B hvor pilen ender.c) Tegn det punkt C som er projektionen af A pÅ linjen m .d) Tegn det punkt D som er projektionen af B pÅ linjen m .e) Tegn den pil der begynder i C og ender i D .Den vektor du tegnede i e), erprojektionen af vektoren3 pÅ linjen m . 4 23. Eksempel Projektion af vektor pÇ linjePÅ figuren er vist:Projektionen af vektoren 3 pÅ linjen l er vektoren 4 4 . 2 3 4 m 3 4 4 2 24. Ävelse Projektion af vektor pÇ linjea) Tegn den vektor der er projektionen af vektoren1 pÅ linjen l .5b) Tegn den vektor der er projektionen af vektoren1 pÅ linjen m . Denne vektor er5 . c) Bestem tre koordinatsÄt for vektorer hvisprojektion pÅ l er3 . 3 1 53 3Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 9 2011 Karsten Juul

25. Eksempel Projektion af vektor pÇ vektorPÅ figuren nedenfor er vist:Projektionen af vektoren8 pÅ vektoren 31 er vektoren2 6 . 4For at kunne tegne projektionen har vi tegnet en hjÄlpelinje der er parallel med 3 .6 Ved projektion af vektorer er projektionen pÅ 3 det samme som projektionen pÅ en linje der er6 parallel med 3 . BemÄrk: En vektor der ligger pÅ en linje, er parallel med linjen.6 8 12 4 3 626. Ävelse Projektion af vektor pÇ vektora) Tegn en linje som er parallel med vektoren 2 . 2 b) Tegn den vektor som er projektionen af2 pÅ 26 2c) Projektionen af2 pÅ 2 6 er 2 . d) Projektionen af2 pÅ 0 6 er 2 .e) Projektionen af2 6 . pÅ8 4er02 .2 6228 4Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 10 2011 Karsten Juul

27. Ävelse LÄngde af vektora) Brug Pythagoras' sÄtning til at bestemmelÄngden af vektoren6 .8b) NÅr c 12, hvad er sÅ lÄngden afc6 .c8c) Bestem c sÅ lÄngden afc6 er 1.c86 828. Ävelse LÄngde af vektora) Bestem lÄngden af 12 . 5 b) NÅr c 2 , hvad er sÅ lÄngden af c(12) c5c) Bestem c sÅ lÄngden af c(12) er 1. c5d) Bestem c sÅ lÄngden af c(12) er 7 . c5? 12 5 Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 11 2011 Karsten Juul

29. Ävelse ProjektPÅ figur 20 er vist en pil der gÅr fra E(2,1)til B (6, 4). Pilespidsens lÄngde og bredde er AB 1og CD 1.a) E fÇres over i B ved forskydning med en vektor. Bestem vektorens koordinatsÄt.b) Beregn lÄngden af denne vektor.c) Beregn lÄngden EA ved hjÄlp af svaret pÅ foregÅende spÇrgsmÅl og oplysningen ompilespidsens lÄngde.d) E fÇres over i A ved forskydning med en vektor. Bestem vektorens koordinatsÄt ved at brugesvarene pÅ de tre foregÅende spÇrgsmÅl.e) Bestem koordinatsÄttet til A ved bl.a. at bruge svaret pÅ foregÅende spÇrgsmÅl.f ) Bestem koordinatsÄttet til en vektor der er vinkelret pÅ linjestykket EB .g) Beregn koordinatsÄttet til D ved bl.a. at bruge svarene pÅ de to foregÅende spÇrgsmÅl.h) Beregn koordinatsÄttet til C .i) Lav et elektronisk dokument med fÇlgende definitioner:AB=1CD=1Ex=2Ey=1Bx=6By=4Skriv udregningerne fra a)-h) med AB, CD, Ex osv. i stedet for 1, 1, 2 osv.Du fÅr brug for at vide at vi kan fÅ en vektor der er vinkelret pÅ x ved at skrive y y . x Det skal vÄre sÅdan at nÅr du Ändrer tallene i ovenstÅende definitioner, sÅ udregnes automatiskkoordinaterne til C og D.Indret dokumentet sÅdan at pilen tegnes.Lav det evt. sÅdan at man ser pilen Ändre sig.Lav evt. noget lignende med en anden figur du vÄlger.Skriv en rapport hvor du gÇr rede for udregningerne.Vektorer i planen. Et oplÄg. Udgave 2. Side 12 2011 Karsten Juul