Matematik og modeller, 2012 Miniprojekt 4: Lineære systemer af ...
Matematik og modeller, 2012 Miniprojekt 4: Lineære systemer af ...
Matematik og modeller, 2012 Miniprojekt 4: Lineære systemer af ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>modeller</strong>, <strong>2012</strong><strong>Miniprojekt</strong> 4: <strong>Lineære</strong> <strong>systemer</strong> <strong>af</strong> differentialligningerAflevering <strong>Miniprojekt</strong>et <strong>af</strong>leveres mandag den 11.6.<strong>2012</strong> kl. 13.00 ved forelæsningen.Relevante udtryk i R samt resultater <strong>og</strong> gr<strong>af</strong>er medtages i passende omfang.Opgave 1Vi betragter anæstesimodellen( K′) ( )( )B −(a1 +a= 3 ) a 2 KB−a 2 K VK ′ Va 1(1)hvor K B = K B (t) hhv. K V = K V (t) betegner koncentrationen <strong>af</strong> stoffet (målt i mg/l) i blodethhv. vævet til tiden t målt i timer, <strong>og</strong> hvor a 1 ,a 2 <strong>og</strong> a 3 er positive parametre. (Se overheads fr<strong>af</strong>orelæsningen for yderligere detaljer.) Lad( ) −(a1 +aM = 3 ) a 2.a 1 −a 2(a) Bestem det karakteristiske polynomium det(M − λE), <strong>og</strong> vis at der er to forskellige,reelle egenværdier λ 1 <strong>og</strong> λ 2 for M.[Vink: Bestem diskriminanten for andengradsligningen det(M−λE) = 0](b) Vis atλ 1 +λ 2 = −(a 1 +a 2 +a 3 ) <strong>og</strong> λ 1 λ 2 = a 2 a 3 . (2)[Vink: Forsøg ikke at løse ligningen det(M−λE) = 0 for at finde λ 1 <strong>og</strong> λ 2 . Benyt i stedetfor at der må gælde det(M−λE) = (λ−λ 1 )(λ−λ 2 )]Benyt (2) til at slutte, at λ 1 < 0 <strong>og</strong> λ 2 < 0.(c) Vis atq 1 =( )a2 +λ 1a 1er en egenvektor for M hørende til egenværdien λ 1 .[Vink: Udregn Mq 1 <strong>og</strong> benyt (2)](d) Det oplyses, atq 2 =( )a2 +λ 2a 1er en egenvektor forMhørende til egenværdien λ 2 . Bestem den fuldstændige løsning ( K B (t)K V (t)til differentialligningssystemet (1).(e) Det oplyses, at der til at starte med ikke er n<strong>og</strong>et <strong>af</strong> stoffet i vævet, mens startkoncentrationen<strong>af</strong> stoffet i blodet betegnes K B0 .Lad ( K B (t)K V (t))være den partikulære løsning til differentialligningssystemet (1), som svarer tildisse begyndelsesbetingelser. Bestem konstanterne A 1 <strong>og</strong> A 2 udtrykt ved a 1 ,a 2 ,a 3 ,λ 1 ,λ 2samt K B0 , således atK B (t) = A 1 e λ1t +A 2 e λ 2t(3))1
<strong>Miniprojekt</strong> 4 <strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>modeller</strong>, <strong>2012</strong>Man har foretaget følgende målinger <strong>af</strong> koncentrationen K B <strong>af</strong> stoffet i blodet som funktion <strong>af</strong>tiden t:TidKoncentration0.0 0.8460.1 0.5910.2 0.4680.3 0.3850.4 0.3740.5 0.3251.0 0.2291.5 0.1832.0 0.1662.5 0.1323.0 0.1063.5 0.0834.0 0.0704.5 0.058Datasættet findes <strong>og</strong>så i filenanaestesi-data.txt på kursets hjemmeside (under miniprojekter).Gem filen i den mappe på din computer, hvor du arbejder med R (se evt. R-noterne).(f) Det er muligt at benytte R til at bestemme de værdier <strong>af</strong> A 1 ,A 2 ,λ 1 <strong>og</strong> λ 2 , der får funktionenK B (t) = A 1 e λ 1t +A 2 e λ 2t fra (3) til at stemme bedst muligt overens med målingerne. (Vivil ikke komme ind på den statistiske metode, der ligger bag ved dette.) Dette gøres vha.R-kommandoerne> d=read.table("anaestesi-data.txt", header=TRUE)> t = d[,1]; K = d[,2]> fit=nls(K~A1*exp(l1*t)+A2*exp(l2*t), data=data.frame(t,K),+ start=list(A1=1, A2=1, l1=-1, l2=-2))> fitKør selv disse linier i R.Af output kan man bl.a. <strong>af</strong>læse, at de bedste parameterværdier (med 3 decimaler) erA 1 = 0.378, A 2 = 0.465, λ 1 = −0.432 <strong>og</strong>λ 2 = −6.739.Opstil K B (t) med de ikke-<strong>af</strong>rundede værdier <strong>af</strong> A 1 ,A 2 ,λ 1 <strong>og</strong> λ 2 fra R-outputtet <strong>og</strong> benytR til at tegne dens gr<strong>af</strong> sammen med målepunkterne.(g) Benyt de fundne værdier <strong>af</strong> A 1 ,A 2 ,λ 1 <strong>og</strong> λ 2 samt K B0 = 0.846 til at bestemme to forskelligeværdier <strong>af</strong> parameteren a 2 ud fra den partikulære løsning fra (3). Lad så a 2 væregennemsnittet <strong>af</strong> disse to værdier.Bestem derefter a 1 <strong>og</strong> a 3 ud fra de fundne værdier <strong>af</strong> λ 1 ,λ 2 <strong>og</strong> a 2 .(h) Opstil K V (t) med de fundne parameterværdier <strong>og</strong> benyt R til at tegne gr<strong>af</strong>en for K V (t) for0 ≤ t ≤ 5.Vurdér ud fra gr<strong>af</strong>en det tidsrum, hvor K V (t) ≥ 0.25 (dvs. det tidsrum, hvori der kanopereres).2
<strong>Miniprojekt</strong> 4 <strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>modeller</strong>, <strong>2012</strong>I resten <strong>af</strong> opgaven betragtes den mere generelle model( ) ( K′B −(a1 +a= 3 ) a 2K ′ Va 1−a 2)(KBK V)+( )d0, (4)0hvor stoffet <strong>og</strong>så tilføres vha. et drop med den konstante hastighed d 0 (målt i mg/(l·time)).(i) Bestem modellens ligevægt udtrykt ved d 0 samt parametrene a 1 ,a 2 <strong>og</strong> a 3 . Afgør omligevægten er stabil.Bestem endvidere den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet (4).(j) Lad nu a 1 ,a 2 ,a 3 ,λ 1 <strong>og</strong> λ 2 antage de samme værdier som fundet i (f) <strong>og</strong> (g). Bestem d 0således, at der i det lange løb opnås en koncentration <strong>af</strong> stoffet i vævet på 0.275 mg/l.Opstil den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet (4) med de fundne parameterværdier.Bestem derefter den partikulære løsning, som svarer til, at der til at starte med ikke ern<strong>og</strong>et <strong>af</strong> stoffet i vævet, mens startkoncentrationen <strong>af</strong> stoffet i blodet er 0.846 mg/l (som idatasættet).Tegn vha. R gr<strong>af</strong>en for K V (t) for 0 ≤ t ≤ 5, <strong>og</strong> benyt gr<strong>af</strong>en til at vurdere det tidsrum,hvor K V (t) ≥ 0.25.Opgave 2Betragt differentialligningssystemetx ′ = −2x+yy ′ = −4x−2y.(a) Bestem den fuldstændige løsning (x(t),y(t)) til (5). Løsningen skal angives på reel form, dvs.x(t) <strong>og</strong> y(t) skal angives som reelle funktioner.(b) Bestem den partikulære løsning (x(t),y(t)) til (5), som opfylder (x(0),y(0)) = (3,4).Tegn vha. R gr<strong>af</strong>erne for de to funktioner x(t) <strong>og</strong> y(t) i det samme koordinatsystem fort ∈ [0,π].Tegn endvidere løsningskurven (x(t),y(t)) som vektorfunktion for t ∈ [0,π].Vejledning: Hvis der laves R-funktioner x <strong>og</strong> y ud fra udtrykkene for x(t) <strong>og</strong> y(t), kan manf.eks. bruge følgende kodexer=x(seq(0,pi, length=100))yer=y(seq(0,pi, length=100))d=matrix(c(xer,yer),100)plot(d, type="l")I vektoren xer angives værdierne <strong>af</strong> x(t) for 100 t-værdier mellem 0 <strong>og</strong> π <strong>og</strong> i vektoren yerangives de tilsvarende værdier <strong>af</strong> y(t). Disse værdier samles i en matrix d med 100 rækker <strong>og</strong>2 søjler. Indholdet i matricen plottes med linjestykker (type="l") mellem punkterne (dvs.rækkerne i matricen).(c) Bestem den fuldstændige løsning (x(t),y(t)) på reel form til differentialligningssystemetx ′ = −2x+y −e 2ty ′ = −4x−2y +2e 2t .(5)3
<strong>Miniprojekt</strong> 4 <strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>modeller</strong>, <strong>2012</strong>Opgave 3Vi betragter differentialligningsmodellen( ) W′S=W ′ G( )( )−KG K D WS+Y G K G −K D W G( )PG (t)0(6)for kulstof i toppen <strong>af</strong> en plante. Her er W S = W S (t) <strong>og</strong> W G = W G (t) mængderne (målt igram) <strong>af</strong> hhv. mobilt <strong>og</strong> strukturelt kulstof i toppen til tiden t (målt i dage), mens P G (t) er denhastighed, hvormed kulstof optages i planten via fotosyntesen. (Se overheads fra forelæsningenfor yderligere detaljer.)(a) Antag at kulstofoptagelsen i planten er konstant, dvs. P G (t) = P 0 > 0 for alle t. Findligevægten for (6) udtrykt ved parametrene K G , K D , Y G <strong>og</strong> P 0 <strong>og</strong> vis at denne ligevægt erpositiv <strong>og</strong> stabil for alle K G > 0, K D > 0, 0 < Y G < 1 <strong>og</strong> P 0 > 0.[Vink: Benyt gerne at begge rødder i ligningen λ 2 +Aλ+B = 0 har negativ realdel hvisA > 0 <strong>og</strong> B > 0](b) Lad K G = 2.2, K D = 0.15, Y G = 0.8 <strong>og</strong> P 0 = 10. Bestem egenværdier <strong>og</strong> egenvektorer formatricen fra (6) (gerne vha. R) <strong>og</strong> brug disse til at opskrive den fuldstændige løsning tildifferentialligningssystemet (6).Bestem endvidere den partikulære løsning ( W SW G)som opfylder WS (0) = 2 <strong>og</strong> W G (0) = 10.Tegn vha. R gr<strong>af</strong>erne for de to funktioner W S (t) <strong>og</strong> W G (t) i det samme koordinatsystemfor et passende t-interval. Ser det ud fra gr<strong>af</strong>erne ud til, at funktionerne har de rigtigebegyndelses- <strong>og</strong> grænseværdier?4