Matematik og modeller, 2012 Miniprojekt 4: Lineære systemer af ...

Matematik og modeller, 2012Miniprojekt 4: Lineære systemer af differentialligningerAflevering Miniprojektet afleveres mandag den 11.6.2012 kl. 13.00 ved forelæsningen.Relevante udtryk i R samt resultater og grafer medtages i passende omfang.Opgave 1Vi betragter anæstesimodellen( K′) ( )( )B −(a1 +a= 3 ) a 2 KB−a 2 K VK ′ Va 1(1)hvor K B = K B (t) hhv. K V = K V (t) betegner koncentrationen af stoffet (målt i mg/l) i blodethhv. vævet til tiden t målt i timer, og hvor a 1 ,a 2 og a 3 er positive parametre. (Se overheads fraforelæsningen for yderligere detaljer.) Lad( ) −(a1 +aM = 3 ) a 2.a 1 −a 2(a) Bestem det karakteristiske polynomium det(M − λE), og vis at der er to forskellige,reelle egenværdier λ 1 og λ 2 for M.[Vink: Bestem diskriminanten for andengradsligningen det(M−λE) = 0](b) Vis atλ 1 +λ 2 = −(a 1 +a 2 +a 3 ) og λ 1 λ 2 = a 2 a 3 . (2)[Vink: Forsøg ikke at løse ligningen det(M−λE) = 0 for at finde λ 1 og λ 2 . Benyt i stedetfor at der må gælde det(M−λE) = (λ−λ 1 )(λ−λ 2 )]Benyt (2) til at slutte, at λ 1 < 0 og λ 2 < 0.(c) Vis atq 1 =( )a2 +λ 1a 1er en egenvektor for M hørende til egenværdien λ 1 .[Vink: Udregn Mq 1 og benyt (2)](d) Det oplyses, atq 2 =( )a2 +λ 2a 1er en egenvektor forMhørende til egenværdien λ 2 . Bestem den fuldstændige løsning ( K B (t)K V (t)til differentialligningssystemet (1).(e) Det oplyses, at der til at starte med ikke er noget af stoffet i vævet, mens startkoncentrationenaf stoffet i blodet betegnes K B0 .Lad ( K B (t)K V (t))være den partikulære løsning til differentialligningssystemet (1), som svarer tildisse begyndelsesbetingelser. Bestem konstanterne A 1 og A 2 udtrykt ved a 1 ,a 2 ,a 3 ,λ 1 ,λ 2samt K B0 , således atK B (t) = A 1 e λ1t +A 2 e λ 2t(3))1

Miniprojekt 4 Matematik og modeller, 2012Man har foretaget følgende målinger af koncentrationen K B af stoffet i blodet som funktion aftiden t:TidKoncentration0.0 0.8460.1 0.5910.2 0.4680.3 0.3850.4 0.3740.5 0.3251.0 0.2291.5 0.1832.0 0.1662.5 0.1323.0 0.1063.5 0.0834.0 0.0704.5 0.058Datasættet findes også i filenanaestesi-data.txt på kursets hjemmeside (under miniprojekter).Gem filen i den mappe på din computer, hvor du arbejder med R (se evt. R-noterne).(f) Det er muligt at benytte R til at bestemme de værdier af A 1 ,A 2 ,λ 1 og λ 2 , der får funktionenK B (t) = A 1 e λ 1t +A 2 e λ 2t fra (3) til at stemme bedst muligt overens med målingerne. (Vivil ikke komme ind på den statistiske metode, der ligger bag ved dette.) Dette gøres vha.R-kommandoerne> d=read.table("anaestesi-data.txt", header=TRUE)> t = d[,1]; K = d[,2]> fit=nls(K~A1*exp(l1*t)+A2*exp(l2*t), data=data.frame(t,K),+ start=list(A1=1, A2=1, l1=-1, l2=-2))> fitKør selv disse linier i R.Af output kan man bl.a. aflæse, at de bedste parameterværdier (med 3 decimaler) erA 1 = 0.378, A 2 = 0.465, λ 1 = −0.432 ogλ 2 = −6.739.Opstil K B (t) med de ikke-afrundede værdier af A 1 ,A 2 ,λ 1 og λ 2 fra R-outputtet og benytR til at tegne dens graf sammen med målepunkterne.(g) Benyt de fundne værdier af A 1 ,A 2 ,λ 1 og λ 2 samt K B0 = 0.846 til at bestemme to forskelligeværdier af parameteren a 2 ud fra den partikulære løsning fra (3). Lad så a 2 væregennemsnittet af disse to værdier.Bestem derefter a 1 og a 3 ud fra de fundne værdier af λ 1 ,λ 2 og a 2 .(h) Opstil K V (t) med de fundne parameterværdier og benyt R til at tegne grafen for K V (t) for0 ≤ t ≤ 5.Vurdér ud fra grafen det tidsrum, hvor K V (t) ≥ 0.25 (dvs. det tidsrum, hvori der kanopereres).2

Miniprojekt 4 Matematik og modeller, 2012I resten af opgaven betragtes den mere generelle model( ) ( K′B −(a1 +a= 3 ) a 2K ′ Va 1−a 2)(KBK V)+( )d0, (4)0hvor stoffet også tilføres vha. et drop med den konstante hastighed d 0 (målt i mg/(l·time)).(i) Bestem modellens ligevægt udtrykt ved d 0 samt parametrene a 1 ,a 2 og a 3 . Afgør omligevægten er stabil.Bestem endvidere den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet (4).(j) Lad nu a 1 ,a 2 ,a 3 ,λ 1 og λ 2 antage de samme værdier som fundet i (f) og (g). Bestem d 0således, at der i det lange løb opnås en koncentration af stoffet i vævet på 0.275 mg/l.Opstil den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet (4) med de fundne parameterværdier.Bestem derefter den partikulære løsning, som svarer til, at der til at starte med ikke ernoget af stoffet i vævet, mens startkoncentrationen af stoffet i blodet er 0.846 mg/l (som idatasættet).Tegn vha. R grafen for K V (t) for 0 ≤ t ≤ 5, og benyt grafen til at vurdere det tidsrum,hvor K V (t) ≥ 0.25.Opgave 2Betragt differentialligningssystemetx ′ = −2x+yy ′ = −4x−2y.(a) Bestem den fuldstændige løsning (x(t),y(t)) til (5). Løsningen skal angives på reel form, dvs.x(t) og y(t) skal angives som reelle funktioner.(b) Bestem den partikulære løsning (x(t),y(t)) til (5), som opfylder (x(0),y(0)) = (3,4).Tegn vha. R graferne for de to funktioner x(t) og y(t) i det samme koordinatsystem fort ∈ [0,π].Tegn endvidere løsningskurven (x(t),y(t)) som vektorfunktion for t ∈ [0,π].Vejledning: Hvis der laves R-funktioner x og y ud fra udtrykkene for x(t) og y(t), kan manf.eks. bruge følgende kodexer=x(seq(0,pi, length=100))yer=y(seq(0,pi, length=100))d=matrix(c(xer,yer),100)plot(d, type="l")I vektoren xer angives værdierne af x(t) for 100 t-værdier mellem 0 og π og i vektoren yerangives de tilsvarende værdier af y(t). Disse værdier samles i en matrix d med 100 rækker og2 søjler. Indholdet i matricen plottes med linjestykker (type="l") mellem punkterne (dvs.rækkerne i matricen).(c) Bestem den fuldstændige løsning (x(t),y(t)) på reel form til differentialligningssystemetx ′ = −2x+y −e 2ty ′ = −4x−2y +2e 2t .(5)3

Miniprojekt 4 Matematik og modeller, 2012Opgave 3Vi betragter differentialligningsmodellen( ) W′S=W ′ G( )( )−KG K D WS+Y G K G −K D W G( )PG (t)0(6)for kulstof i toppen af en plante. Her er W S = W S (t) og W G = W G (t) mængderne (målt igram) af hhv. mobilt og strukturelt kulstof i toppen til tiden t (målt i dage), mens P G (t) er denhastighed, hvormed kulstof optages i planten via fotosyntesen. (Se overheads fra forelæsningenfor yderligere detaljer.)(a) Antag at kulstofoptagelsen i planten er konstant, dvs. P G (t) = P 0 > 0 for alle t. Findligevægten for (6) udtrykt ved parametrene K G , K D , Y G og P 0 og vis at denne ligevægt erpositiv og stabil for alle K G > 0, K D > 0, 0 < Y G < 1 og P 0 > 0.[Vink: Benyt gerne at begge rødder i ligningen λ 2 +Aλ+B = 0 har negativ realdel hvisA > 0 og B > 0](b) Lad K G = 2.2, K D = 0.15, Y G = 0.8 og P 0 = 10. Bestem egenværdier og egenvektorer formatricen fra (6) (gerne vha. R) og brug disse til at opskrive den fuldstændige løsning tildifferentialligningssystemet (6).Bestem endvidere den partikulære løsning ( W SW G)som opfylder WS (0) = 2 og W G (0) = 10.Tegn vha. R graferne for de to funktioner W S (t) og W G (t) i det samme koordinatsystemfor et passende t-interval. Ser det ud fra graferne ud til, at funktionerne har de rigtigebegyndelses- og grænseværdier?4