EM udtryk

Elektromagnetisme – 3 Side 1 af 8Dielektrika 1Elektrisk dipolBetragt det elektrostatiske potential fra en ”elektrisk dipol” bestående af topunktladninger + q og −q:ϕ r( )1=4πε2∑0 i=1qi r − r1 −q1 q= +4πε0 r − r 4πε 0 0 r − r + l⎛q ⎜ −1 1= ⎜ +4πε0 ⎜ r − r 0 r −r0−l⎝i( 0 )⎞⎟⎟.⎟⎠(3.1)−qr 0r 0Hvis l er lille i forhold til r − r0, svarende til at de to punktladninger er anbragt tætpå hinanden, er det muligt at tilnærme udtryk (3.1) ved et simplere udtryk:−1/2 −1 2 −1/2( ) ( ) ⎛ ⎞r r0 l r r0 l⎛ − − = r r0 l r r0l⎞⎜ − − ⎟ = ⎜ − − ⋅ − − ⎟⎝⎠ ⎝⎠⎛ r r l ( r r0) l⎞ ⎛ = ⎜ − + − − ⋅ ⎟ ≈⎜r−r − ( r−r0)⋅l⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ −1/2⎛ 2 2( r r0) l ⎞⎞⎜ − ⋅= r r ⎜01⎟⎟− − 2⎜⎜r − r ⎟⎝0⎝⎠⎟ ⎠−1/2⎛ −1 2( r r0) l ⎞ − ⋅= r −r⎜01 −⎟ . 2⎜r − r ⎟⎝0⎠−1/2 −1/22 220202⎞l + l+qr Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 2 af 8Dielektrika 1nSom vist i opg. B er ( ) for små x, så for små l:1+ kx ≈ 1+nkx−1/2⎛ 2( r r0) l⎞ ⎜ − ⋅ 1 2( r r0)l1 ⎟ − − ⋅− 12 ≈ − 2 2⎜ r −r0 ⎟r −r⎝⎠0 ( r −r0) ⋅l= 1 + .2r − r0Udtryk (3.1) kan således skrivesϕ( r )⎛⎛ 1 1 ( r r0) l⎞⎞q ⎜ −⎜ − ⋅ ⎟≈ 1⎟24πε⎜ + 0 r r0 r r +⎟⎜ − − 0 ⎜ r − r0⎟⎝⎝⎟⎠⎠ q ( r −r0) ⋅l=.34πε 0 r − r0(3.2)Udtryk (3.2) er således en god tilnærmelse, når l er lille i forhold til r − r 1 . 0Elektrisk dipolmoment:Ved en ”punktdipol” forstås en dipol med så lille l, at udtryk (3.2) gælder.Punktdipoler er kendetegnet ved deres ”elektriske dipolmoment” 2p ≡ ql , ⎡⎣p ⎤⎦= Cm.(3.3)En punktdipol i punktetgiver således anledning til potentialetr 0ϕ ( r )1=4πε0 r r ⋅ p.( −0 ) (3.4)3r−r01 Udtryk (3.2) gælder således i ”fjernfeltet” og ikke i ”nærfeltet”.2 På samme måde som at en punktladning er kendetegnet ved sin ladning.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 3 af 8Dielektrika 1Den elektrostatiske energi af en punktdipol anbragt i et eksternt 3 E-feltFra udtryk (2.2) fås E = E r + E r + l =− qϕr + qϕr + l( 0) q( 0 ) ( 0) ( 0 )el el, −qel,+.Ifølge opg. B er ϕ r ≈ ϕ r +∇ϕr ⋅ r−r , r ≈r 0( ) ( ) ( ) ( )0 0 0,sådan at ϕ r0+ l ≈ ϕ r0 +∇ϕr0 ⋅l , l ≈0,( ) ( ) ( )og dermed E ≈ − qϕ r + q ϕ r +∇ϕ r ⋅ l = q ∇ϕr ⋅l( ) ( )( ) ( ) ( )el 0 0 0 0:Eel = p⋅∇ϕ (3.5)= −pE⋅ ,hvor ϕ og E er det eksterne hhv. potential og elektriske felt, som punktdipolenoplever.Pga. altings søgen mod lavest mulige energi vil en elektrisk dipol således søge atindstille sig parallelt med et eksternt E-felt.3 Herved forstås et E-felt, som ikke skyldes dipolen selv.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 4 af 8Dielektrika 1PolarisationI et (ideelt) dielektrikum er alle positiveog negative ladninger bundet tilhinanden.Hvis dielektrikumet påtrykkes et E-felt,vil ladningerne derfor ikke sætte sig ibevægelse, men blot blive forskudt iforhold til hinanden.Man siger, at E-feltet ”polariserer” dielektrikumet. F = qEE Den ”elektriske polarisation” eller bare”polarisationen” er defineret somtætheden af elektrisk dipolmoment pr.rumfang 4 : PrhvorΔpClim , ,ΔV⎣ ⎦ m( ) ≡ ⎡P⎤=2ΔV→0(3.6)Δp , det elektriske dipolmoment ir Δ VrumfangetΔV, udledes i det flg.Dipolmomentet af en elektrisk dipol (bestående af to punktladninger) er ifølge udtryk(3.3) en sum over produktet af ladningerne og disses stedvektorer: p = − qr0+ q ( r0+l )= ql ,4 Polarisation er den makroskopiske pendant til det mikroskopiske begreb elektrisk dipolmoment, og grænseovergangeni udtryk (3.6) er makroskopisk.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 5 af 8Dielektrika 1så N punktladninger giver dermed anledning til dipolmomentet 5Np = ∑qr . (3.7)i ii=1Ladningsforskydningerne i ΔV giverdermed anledning til flg. elektriske6dipolmoment:Δ p = lim q 'Δq→0∑Δ r :Δ qΔ p = ∫ rdq ' . (3.8)r 'ΔqΔ VIndsættes udtryk (3.8) i udtryk (3.6) fås Pr = lim( )ΔV→01ΔV∫rdq ' . (3.9)Ifølge udtryk (3.6) er polarisationensåledes orienteret i samme retning somdet lokale elektriske dipolmoment, ogpolarisationsvektorens størrelse er etudtryk for tætheden af det lokaleelektriske dipolmoment. Pr ( )r ⎝N5 Origo kan vises at være vilkårligt, så længe den samlede ladning er nul ⎜ ⎛∑ 0⎠⎟ ⎞q = .ii=1ρ r = 06 Jf. fodnote 5 forudsat, at ladningstætheden i punktet r er nul ( ( ) )ladning i ΔV er nul., idet dette svarer til, at den samledeThomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 6 af 8Dielektrika 1Elektrostatisk potential fra polariseret dielektrikumEt polariseret dielektrikum er udadtil elektrisk neutralt, men da ladningerne erforskudt i forhold til hinanden, er dielektrikumet kendetegnet ved et elektriskdipolmoment og giver derfor ifølge udtryk (3.4) anledning til et potential og dermedtil et E-felt.Et volumenudsnitΔV ' med dipolmomentΔp giver således anledning til potentialet 1 ( r −r') ⋅ΔpΔ ϕ ( r ) =34 πε 0 r − r' Δp1 ( r −r') ⋅ ΔV'=ΔV' .34 πε 0 r − r'r r 'ΔV 'Det samlede potential fra dielektrikumet er dermed Δp1 ( r− r') ⋅ ΔV'ϕ( r ) = lim ϕ lim ΔV'ΔV' →0 ∑Δ =' 03' 4 VV πε Δ →∑ Δ0 ΔV'r−r' 1 ( r −r') ⋅P( r')=dV '.34 πε ∫∫∫V 0 r−r'(3.10)Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 7 af 8Dielektrika 1Som vist i opg. C erså ⎛1⎞ '' ⎜ ⎟r− r ∂ ∂ ∂∇ = , ∇ ' = xˆ + yˆ + zˆ3⎜ r−r'⎟ ,r−r'∂x'∂y'∂z'⎝( − ) ⋅ ( )⎠ r r Pr ⎛ ⎞ −− ⎛ Pr ⎞ ( )' ' 1 (1 1 7) ' 1' Pr3( ')' ⎜ ⎟⎜ ⎟ =∇ ⋅ = ∇⋅ − ∇⋅ ' Pr ( '),r − r'⎜ r −r'⎟⎜ r−r'⎟ r −r'⎝ ⎠ ⎝ ⎠som indsat i udtryk (3.10) giver⎛ ⎛ 1 Pr ( '⎞ )⎞1 ϕ ( r)⎜ ' ⎜ ⎟= ' P( )⎟4 πε ∫∫∫ ∇⋅V − ∇⋅ r' dV'.0 ⎜ ⎜ r −r' ⎟ r −r'⎝ ⎠⎟⎝⎠Ifølge udtryk (2.8) (divergenssætningen) kan ovenstående skrives 1 Pr ( ') ⋅nˆ1 −∇⋅ ' Pr ( ')ϕ ( r)= dA'4πε ∫∫ +S r −r'4πε∫∫∫ dV'. (3.11)V r −r'0 0Ved sammenligning med udtryk (1.18) ses, at ovenstående udtryk for potentialet fraet polariseret dielektrikum kan skrives på samme form som potentialet fra enladningsfordeling, hvis flg. ”polarisations-ladningstætheder” indføres: CρP≡−∇⋅ P , ⎡⎣ρ⎤P⎦=,3m(3.12)CσP≡Pn⋅ ˆ , ⎡⎣σ⎤P⎦=2m: 1 ρP( r') 1 σP( r')ϕ ( r)=dV'dA'.4πε∫∫∫ +V r −r'4πε ∫∫ (3.13)S r −r'0 0Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008

Elektromagnetisme – 3 Side 8 af 8Dielektrika 1• ( r )σ er således normalkomposantenPaf polarisationen ved overfladen.σ = 0Pˆn• Jf. fortolkningen af divergens (EM2 s.6) er ( r )ρ et udtryk for antallet afPpolarisations-feltlinier, der tilgårpunktet r .I det angivne punkt, hvor tætheden afˆnσP 0ρP>0elektrisk dipolmoment og dermedpolarisationen varierer, løber dersåledes netto set P-feltlinier til, svarende til ∇⋅ P < 0 og ρ > 0 .PThomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 23/07/2008