Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf - Matematik i ...

9: Cosinusrelationen9.1 SÅtning Cosinusrelationen.Hvis der i en trekant gÅldersÉ erSiderne er p , q og rSiden r er modstÉende til vinklen ur2 p2 q2 2pqcos(u )uqprDenne regel hedder cosinusrelationen .Bevis for cosinusrelationenPÉ figuren har vi tilfÄjet en hÄjde.PÉ figuren ser vi atn p msÉn2) 2( p muqmhpnrVi omskriver hÄjresiden:22(1) n p m 2pm2HÄjden deler trekanten i to deltrekanter. Af den venstre fÉr vi(2) q cos( u) mda trekanten er retvinklet.Da de to deltrekanter er retvinklede, fÉr vihHeraf fÉr vi2q2 m2 og h2 r2 n2r2 n2 q2 m 2Vi lÅgger n2til begge ligningens sider og fÉrr2 q2 m2 n 2Heri erstatter vi n2med hÄjresiden fra (1):rhvorafr2222 q m p m 2pm2 q p 2pm222Heri erstatter vi m med venstresiden i (2):2r2 q2 p 2pqcos(u )Nu har vi bevist at cosinusrelationen gÅlder.Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 14 2010 Karsten Juul