Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf - Matematik i ...

Kortfattetfor gymnasiet og hf522010 Karsten Juul

Indhold1. HÄjde og areal.........................................................................................12. Pythagoras' sÅtning ................................................................................23. Ensvinklede trekanter .............................................................................44. Cosinus og sinus i retvinklet trekant.......................................................65. Tangens i retvinklet trekant ....................................................................96. Vinkler ..................................................................................................117. Udregne areal ved hjÅlp af sinus..........................................................128. Sinusrelationen .....................................................................................139. Cosinusrelationen .................................................................................1410. TilfÄjelser..............................................................................................15Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hfÇ 2010 Karsten JuulDette hÅfte kan downloades fra www.mat1.dkHÅftet mÉ benyttes i undervisningen hvis lÅreren med det samme sender ene-mail til kj@mat1.dk som dels oplyser at dette hÅfte benyttes, dels oplyserom hold, lÅrer og skole.

1: HÄjde og areal1.1 Definition HÄjde.HÄjden fra A er det linjestykke der gÉr fra A ogvinkelret ind pÉ den modstÉende side.BCAHÄjden fra B er det linjestykke der gÉr fra B ogvinkelret ind pÉ den modstÉende sides forlÅngelse.BCA1.2 Eksempel En side kan vÅre en hÄjde.HÄjden fra A er linjestykket ACCBA1.3 SÅtning Areal af trekant.Trekantens areal erAreal 21 d acnÉrd er en hÄjde i trekantena er den side der er vinkelret pÉ d .adbKortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 1 2010 Karsten Juul

1.4 Eksempel Areal er kendt.PÉ billedet ser vi:5,6Trekantens areal er 4, 2h er en hÄjdeh er vinkelret pÉ siden der er 5, 63,9hareal 4,22,5Af dette fÉr vi at4,22 h15,6Vi taster denne ligningog fÉr den lÄst mht. h for h 0og fÉr h 1, 5 .Vi har brugt sÅtningen omtrekants areal (ramme 1.3).2: Pythagoras' sÅtning2.1 Definition Katete og hypotenuse.Siderne p og q er trekantens kateter.Det kan vi se fordi vinklen imellem p og q er ret.Siden r er hypotenusen.Det kan vi se fordi r ikke er en af kateterne.Hvis en trekant ikke er retvinklet, sÉ har den hverkenhypotenuse eller kateter.prq2.2 SÅtning Pythagoras' sÅtning.For en retvinklet trekant gÅlder:p2 q2r2pqnÉrp og q er kateter, ogr er hypotenuserKortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 2 2010 Karsten Juul

2.3 Eksempel Hypotenuse og en katete er kendt.Vi ser:kateterne er d og 3, 6hypotenusen er 8, 1Derfor er2 2 23,6 d 8,1Vi taster denne ligningog fÉr den lÄst mht. d for d 0og fÉr d 7, 3 .3,6d8,12.4 BemÅrkning En sprogbrug.Hvis der stÉri trekant DEF er f 14gÅlderdet er siden over for vinkelspidsen F der er 14.Sprogbrugen er nemlig sÉdan at nÉret stort bogstav er en vinkelspids i en trekant,gÅlderdet tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen,hvis der ikke fremgÉr andet.DfEedFEksempel pÉ udnyttelse af denne sprogbrugI en trekant ABC hvor vinkel C er ret, era2 2 2 b c .AdvarselSe figuren til hÄjre.Her dur det ikke hvis du skriver m 2, 6 .BLÅseren kan ikke vide om det er ABeller BC der er 2 , 6 .Skriv m pÉ den side du mener.Du skal altid tegne en figur i en geometriopgave.AMCKortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 3 2010 Karsten Juul

3: Ensvinklede trekanter3.1 Definition En sides modstÉende vinkel.Forestil dig at du sidder pÉ linjestykket CMog holder i de to vinkler ved linjestykkets endepunkter.Den vinkel du ikke holder i (altsÉ H ) erden modstÉende vinkel til siden CM .CMH3.2 SÅtning Ensvinklede trekanterDe to trekanter har samme vinkler.Derfor er der en skalafaktor.tkmkpknktqrer det tal som kaldes skalafaktoren.da m og t har ens modstÉende vinkler.da p og q har ens modstÉende vinkler.da n og r har ens modstÉende vinkler.mpn kqrPilen pÉ figuren viser hvilken vej vi ganger.Hvis vi i stedet valgte at gange siderne i hÄjre trekant,sÉ ville k stÉ for et andet tal.Det er tilladt at bruge et andet bogstav i stedet for k .(LÅseren ved ikke pÉ forhÉnd at k stÉr for skalafaktoren, sÉ det er nÄdvendigt at vi skriver det).Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 4 2010 Karsten Juul

3.3 Eksempel Udregne og bruge skalafaktor.C15 1021FAcBD28EVi begrunder at der er en skalafaktor:De to trekanter har samme vinkler.Derfor er der en skalafaktor q .Vi udregner skalafaktoren:Siderne med lÅngder 15 og 21 har ens modstÉende vinkler. Derfor er15 q 21Vi taster denne ligningog fÉr den lÄst mht. q for q 0og fÉrq 1,4 .Vi bruger skalafaktoren:Siderne med lÅngder c og 28 har modstÉende vinkler der er lige store.Derfor erc 1,428Vi taster denne ligningog fÉr den lÄst mht. c for c 0og fÉrc 20 .Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 5 2010 Karsten Juul

4: Cosinus og sinus i retvinklet trekant4.1 Definition Vinkels hosliggende katete og modstÉende katete.Forestil dig at du sidder i den spidse vinkel uog holder i de to vinkelben.De to sider du holder i, kaldes vinklens hosliggende sider.At en vinkel er spids, betyderat vinklen er mindre end 90.En af de sider du holder i, er en katete.Denne side kaldes vinklens hosliggende katete.Der er Ñn side tilbage som du ikke holder i.Denne side kaldes vinklens modstÉende katete.I den viste trekant gÅlder altsÉ:Vinkel u 's hosliggende katete er 52.Vinkel u 's modstÉende katete er 39.u6552394.2 Definition Cosinus og sinusNÉr v er en spids vinkel (f.eks.17eller 62 ), ercosinus til vinklen v =v 's hosliggende katete i en trekant med hypotenuse 1.1Vi skrivercos( v) t .vtNÉr v er en spids vinkel (f.eks.17eller 62 ), ersinus til vinklen v =v 's modstÉende katete i en trekant med hypotenuse 1.1rVi skriversin( v) r .vLommeregneren (eller matematikprogrammet) skal vÅre indstillet til at regne med enheden grader.Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 6 2010 Karsten Juul

4.3 Eksempel Udregning af side med cosinus eller sinus.PÉ lommeregner eller computer fÉr vi udregnet atcos( 49,5) 0,649448sin( 49,5) 0,760406SÉ har vi fundet ud af atp 0,649q 0,760149,5pq4.4 Eksempel Udregning af vinkel med cosinus eller sinus.PÉ billedet ser vi atcos( u)0,800Her stÉr at vinkel u ermellem 0 og 90 .Vi taster denne ligningog fÉr den lÄst mht. u forog fÉr u 36, 86990 u 9010,600SÉ har vi fundet ud af atu 36, 9u0,800Dette resultat kunne vi ogsÉ have fundet ved at lÄse ligningensin( u) 0,600Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 7 2010 Karsten Juul

4.5 Eksempel Retvinklet trekant hvor hypotenusen ikke er 1.I trekanten til hÄjre er hypotenusen 1 , 5 .Vi vil bruge cos og sin. Derfor tegner vi en ny trekanthvor vinklerne er de samme, men hvor hypotenusen er 1.Kateterne i den nye trekant er tallene cos( 35)og sin( 35 ) .(Se rammerne 4.2 og 4.3)Da de to trekanter har samme vinkler, er der en skalafaktor k :351,5ba135cos( 35)sin( 35)k351,5baVi finder skalafaktoren:Siderne med lÅngder 1 og 1,5 ligger over for ens vinkler (begge er 90)sÉ1 k 1,5dvs.k 1,5 .Vi bruger skalafaktoren:Resultat:1,5 sin(35) a 1,5 cos(35) ba 0,860365 b 1, 22873Vi ser at for alle retvinklede trekanter kan vi skrive formler der svarer til1,5 cos(35) b og 1,5 sin(35) aDette er indholdet af sÅtningen i ramme 4.6.Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 8 2010 Karsten Juul

4.6 SÅtning Cosinus og sinus i retvinklet trekant.NÉrv er en spids vinkel i en retvinklet trekantr er hypotenusenp er v ' s hosliggende kateteq er v ' s modstÉende katetesÉ gÅlder:r cos( v) pr sin( v) qvrpqI mange tilfÅlde hedder vinklen og siderne noget andet end ovenfor.Derfor er det ofte en fordel at udtrykke reglen i ord, f.eks. sÉdan:Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gÅlder:– NÉr vi ganger cosinus til vinklenmedhypotenusensÉ fÉr vi vinklens hosliggende katete– NÉr vi ganger sinus til vinklenmedhypotenusensÉ fÉr vi vinklens modstÄende katete5: Tangens i retvinklet trekant5.1 Definition TangensNÉr v er en spids vinkel (f.eks.17eller 62 ), ertangens til v =v 's modstÉende katete i en trekant hvor v ' s hosliggende katete er 1.sVi skrivertan( v) s .v1Lommeregneren (eller matematikprogrammet) skal vÅre indstillet til at regne med enheden grader.Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 9 2010 Karsten Juul

5.2 SÅtning Tangens i retvinklet trekant.NÉrv er en spids vinkel i en retvinklet trekantp er v ' s hosliggende katetetq er v ' s modstÉende kateterqsÉ gÅlder:p tan( v)qvpI mange tilfÅlde hedder vinklen og siderne noget andet end ovenfor.Derfor er det ofte en fordel at udtrykke reglen i ord, f.eks. sÉdan:Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gÅlder:– NÉr vi ganger tangens til vinklenmedvinklens hosliggende katetesÉ fÉr vi vinklens modstÄende katetet5.3 Eksempel Tangens i retvinklet trekant.30 meter fra et trÅ sigter vi op mod toppen. Vinklen mellem sigtelinje og vandret er 52 .Trekanten til hÄjre er en model af denne situation.h525230Enhed: meterVi fÉrh 30 tan(52) 38,3982dvs.TrÅets hÄjde er 38 mKortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 10 2010 Karsten Juul

6: Vinkler6.1 Regler90180rvuuvu v 180v 180 uNÉr vi lÅgger vinklerne i en trekantsammen, sÉ fÉr vi altid 180 :u v r 180r 180 u vEn vinkel i en trekant erspids hvis den er under 90ret hvis den er 90stump hvis den er over 90 .6.2 Definition Cosinus til en stump vinkel og til 90.Hvis v er 90sÉ er cos( v) 0dvs. cos( 90) 0Hvis v er mellem 90 og 180:Vi trÅkker v fra 180.SÉ fÉr vi en vinkel u som er under 90.Da u er under 90, ved vi fra ramme 4.2 hvad der forstÉs ved cos(u ) .Vi definerer atcos( v) cos(u)hvor u 180 v.Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 11 2010 Karsten Juul

6.3 Definition Sinus til en stump vinkel og til 90.Hvis v er 90sÉ er sin( v) 1dvs. sin( 90) 1Hvis v er mellem 90 og 180:Vi trÅkker v fra 180.SÉ fÉr vi en vinkel u som er under 90.Da u er under 90, ved vi fra ramme 4.2 hvad der forstÉs ved sin(u ) .Vi definerer atsin( v) sin( u)hvor u 180 v.7: Udregne areal ved hjÅlp af sinus7.1 Eksempel Udregne trekants areal ved hjÅlp af sinus.I den viste trekant kender vi to sider ogvinklen imellem dem.Vi vil udregne trekantens areal.82911Vi tegner en hÄjde h .SÉ har vi to retvinklede trekanter.I den venstre er (se ramme 4.6)8 sin(29)hArealet af hele trekanten er (se ramme 1.3)29811harealarealareal1 11h21 118sin(29 )221,3316areal21,3Vi ser at hvis vi har en trekant hvor vi kender to sider og vinklen mellem dem, sÉ kan vi altid findetrekantens areal ved at skrive en ligning der svarer til areal 1 118sin(29 ) . Her stÉr atareal =en halv gange den ene sidegange den anden sidegange sinus til vinklen imellem de to sider.2Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 12 2010 Karsten Juul

8: Sinusrelationen8.1 SÅtning Sinusrelationen.Hvis der i en trekant gÅldersÉ ersiden p er modstÉende til vinklen usiden q er modstÉende til vinklen vpsin( u)qsin( v)uqpvDenne regel hedder sinusrelationen .Bevis for sinusrelationenPÉ figuren har vi tilfÄjet en hÄjde h .HÄjden deler trekanten i to trekanter.Da disse to trekanter er retvinklede, erq sin( u) h og p sin( v) huqhpvHeraf fÉr viqsin(u)psin(v)Vi dividerer begge ligningens sider med sin( u)sin(v)og fÉrqsin(u)sin( u)sin(v)psin(v)sin( u)sin(v)Vi forkorter de to brÄker:qsin( v)psin( u)Nu har vi bevist at sinusrelationen gÅlder.8.2 Eksempel Sinusrelationen.Vi bruger sinusrelationen:34sin( u)52sin(110)34110uVi taster denne ligning ogfÉr den lÄst mht. u for u mellem 0 og 90 og52fÉru 37, 9094dvs.u 37, 9Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 13 2010 Karsten Juul

9: Cosinusrelationen9.1 SÅtning Cosinusrelationen.Hvis der i en trekant gÅldersÉ erSiderne er p , q og rSiden r er modstÉende til vinklen ur2 p2 q2 2pqcos(u )uqprDenne regel hedder cosinusrelationen .Bevis for cosinusrelationenPÉ figuren har vi tilfÄjet en hÄjde.PÉ figuren ser vi atn p msÉn2) 2( p muqmhpnrVi omskriver hÄjresiden:22(1) n p m 2pm2HÄjden deler trekanten i to deltrekanter. Af den venstre fÉr vi(2) q cos( u) mda trekanten er retvinklet.Da de to deltrekanter er retvinklede, fÉr vihHeraf fÉr vi2q2 m2 og h2 r2 n2r2 n2 q2 m 2Vi lÅgger n2til begge ligningens sider og fÉrr2 q2 m2 n 2Heri erstatter vi n2med hÄjresiden fra (1):rhvorafr2222 q m p m 2pm2 q p 2pm222Heri erstatter vi m med venstresiden i (2):2r2 q2 p 2pqcos(u )Nu har vi bevist at cosinusrelationen gÅlder.Kortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 14 2010 Karsten Juul

10: TilfÄjelser10.1 MedianEn median i en trekant er et linjestykkeder gÉr fra en vinkelspids til midtpunktetaf den modstÉende side.p qpCm bI enhver trekant er der tre medianer.qBPÉ figuren er vist medianenmbfra B pÉ siden bA10.2 VinkelhalveringslinjeEn vinkelhalveringslinje i en trekant er enlinje der gÉr gennem en af vinkelspidserneog halverer vinklen.u wuwCI enhver trekant er der tre vinkelhalveringslinjer.Av CPÉ figuren er vist vinkelhalveringslinjen v Cfor vinkel C .B10.3 Nogle betegnelserABCer vinkel B i trekant ABC .Eksempel: PÉ figuren er RSQ v .SuvRAB er linjestykket med endepunkter A og B .AB er lÅngden af linjestykket AB .Eksempel: PÉ figuren er PQ og PS ikke sammelinjestykke, menPQ PS .5I en trekant ABC betegner A , B og C bÉdepunkter og vinkler.PEksempel: Man kan skriveP 90eller P 90.5QKortfattet trekantsberegning for gymnasiet og hf Side 15 2010 Karsten Juul