Matematikkens paradokser og patologiske konstruktioner i 1800-tallet
Matematikkens paradokser og patologiske konstruktioner i 1800-tallet Matematikkens paradokser og patologiske konstruktioner i 1800-tallet
Weierstrass-funktionen (1872)Weierstrass-funktionen er speciel ved at være kontinuert uden at væredifferentiabel i noget punkt. Bolzano var først med en sådan funktion(1830), men Weierstrass’ eksempel endte med at blive væsentligt merekendt.Forskrift for Weierstrass-funktionen:(parametrene 1 2f (x) =∞∑n=012 cos(11n πx)og 11 kan ændres indenfor passende intervaller).Man kan selv plotte approksimationer til funktionen ved at downloadedet gratis matematik-program Maxima: http://maxima.sourceforge.net/Følgende kommando vil eksempelvis plotte de første 3 led af f (x) iintervallet [0, 1 2 ]:plot2d(sum(.5*cos(11^n*x*%pi),n,0,2),[x,0,0.5]);Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 6/19
Blancmange-funktionen (1903)• Det ser ud til at små udsnit afWeierstrass-funktionen har mere eller mindresamme form som hele Weierstrass-funktionen.• For at studere dette nærmere ser vi på et lidtsimplere eksempel, nemligblancmange-funktionen, som delerWeierstrass-funktionens skæbne: kontinuert menintet sted differentiabel.Forskrift for blancmange-funktionen:∞∑f (x) = 2 −n g(2 n x),n=0hvor funktionen g er periodisk med periode 1 og følgende forskrift iintervallet [0, 1]:g(x) = 1 2 − | 1 − x |, x ∈ [0, 1]2Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 7/19
- Page 2: Matematikkens patologiske eksempler
- Page 5: Patologiske eksempler i 1800-tallet
- Page 9 and 10: Selv-similaritet• Det er let at b
- Page 11 and 12: Mere om Kochs kurveTil højre er an
- Page 13 and 14: Egenskaber ved Kochs snefnug• Hvo
- Page 15 and 16: Intuitionens fald• De hidtil givn
- Page 17 and 18: Hausdorff-dimension• Trods samtid
- Page 19: Anvendelse af fraktaler• Opdagels
Blancmange-funktionen (1903)• Det ser ud til at små udsnit afWeierstrass-funktionen har mere eller mindresamme form som hele Weierstrass-funktionen.• For at studere dette nærmere ser vi på et lidtsimplere eksempel, nemligblancmange-funktionen, som delerWeierstrass-funktionens skæbne: kontinuert menintet sted differentiabel.Forskrift for blancmange-funktionen:∞∑f (x) = 2 −n g(2 n x),n=0hvor funktionen g er periodisk med periode 1 <strong>og</strong> følgende forskrift iintervallet [0, 1]:g(x) = 1 2 − | 1 − x |, x ∈ [0, 1]2Thomas Bolander, FUKBH ’09 – s. 7/19
Change language