Geometri 2 - Georg Mohr-Konkurrencen
Geometri 2 - Georg Mohr-Konkurrencen
Geometri 2 - Georg Mohr-Konkurrencen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Vinderseminar 2007, <strong>Geometri</strong>, Kirsten Rosenkilde 1<strong>Geometri</strong> 2Disse opgaver er en fortsættelse af <strong>Geometri</strong> og går som disse primært ud på at bevise etudvalg af de mange sætninger man ofte skal benytte i geometriopgaver til internationalekonkurrencer.Sætninger om arealet af en trekant samt radius i dens indskrevneog omskrevne cirkelI det følgende ser vi på en trekant ABC hvor s betegner den halve omkreds, r er radiusi den indskrevne cirkel, R er radius i den omskrevne cirkel, og T er arealet.Areal og radius i den indskrevne cirkelVis atT = rs.Herons formelHerons formel siger atT = √ s(s − a)(s − b)(s − c).Bevis Herons formel. (Hint: Benyt cosinusrelationen og T = 1 bc sin A, og regn).2Radius i den omskrevne cirkelVis at2R =asin A =bsin B =Areal og radius i den omskrevne cirkelVis at4RT = abc.Opgavercsin C .Opgave 1I et kvadrat ABCD er indskrevet en cirkel med radius R. En tangent til cirklen skærerlinjestykkerne AB og AD i henholdsvis P og Q. Radius i den indskrevne cirkel til trekantAP Q kaldes r. Udtryk arealet af trekant AP Q vha. r og R.Opgave 2Firkant ABCD er indskrevet i en cirkel med radius R. Diagonalerne står vinkelret påhinanden, og deres skæringspunkt kaldes E.Vis at|AE| 2 + |BE| 2 + |CE| 2 + |DE| 2 = 4R 2 .Opgave 3Vis at der findes uendeligt mange trekanter hvor sidelængderne er tre på hinanden følgendehele tal, og arealet af trekanten er et helt tal. (NMC 1995)
Vinderseminar 2007, <strong>Geometri</strong>, Kirsten Rosenkilde 2Opgave 4Vis for en trekant ABC atcos A + cos B + cos C = r R + 1.Her er r radius i den indskrevne cirkel, og R er radius i den omskrevne cirkel.Opgave 5Vis for en trekant ABC at1ab + 1 ac + 1 bc = 12rR .Her er r som før radius i den indskrevne cirkel, og R er radius i den omskrevne cirkel.