Matematik og databehandling Eksamen, 2. februar 2012, kl. 10–14

0161412101086x 542Matematik og databehandlingt10 122 4 6 8Eksamen, 2. februar 2012, kl. 10–14Alle hjælpemidler er tilladte, herunder brug af lommeregnere (NB! ikke computere). Det er dogikke nok, at opgaverne eller dele af dem er løst alene ved brug af lommeregner, og derfor skalmellemregninger angives i rimeligt omfang i besvarelsen.Der er 3 opgaver, som alle skal besvares.Opgave 1 (25 %)Vi betragter en algepopulation i en sø. Lad M = M(t) være den mængde alger (målt i kg), derfindes i søen til tiden t (målt i måneder fra starttidspunktet).Til et givet tidspunkt t formerer algerne sig med vækstraten p(t), mens algerne dør med hastighedenq(t). Her er p(t) ≥ 0 og q(t) ≥ 0 indtil videre ukendte funktioner. Man kan vise, at disseoplysninger leder til følgende differentialligningsmodel for mængden af alger i søen:dMdt= p(t)M −q(t) for t ≥ 0. (1)(a) Det oplyses, at p(7) = 2, q(7) = 10, samt at der er 6 kg alger i søen til tidspunktet t = 7.Afgør om mængden af alger i søen er voksende til tidspunktet t = 7.(b) Det oplyses, at p(t) og q(t) er konstante funktioner medp(t) = 2 og q(t) = 3 for t ≥ 0.Ved periodens begyndelse er der 4 kg alger i søen. Bestem et udtryk for mængden M = M(t)af alger i søen til tiden t.(c) Skriv en eller flere linier, som indtastet i R først definerer løsningsfunktionen M(t) fra (b),og som derefter tegner grafen for M(t) for t ∈ [0,4].(d) Det oplyses, at p(t) og q(t) fortsat er konstante funktioner, men nu medp(t) = 2 og q(t) = A for t ≥ 0,hvor A er en positiv parameter. Ved periodens begyndelse er der 4 kg alger i søen. Bestem etudtryk for mængden M = M(t) af alger i søen til tiden t. For hvilke værdier af parameterenA er M(t) en aftagende funktion?(e) Det oplyses nu, atp(t) = 1 og q(t) = 6t 2 for t ≥ 0.tBestem den fuldstændige løsning M = M(t) til differentialligningen (1).1

Eksamen, 2. februar 2012Matematik og databehandlingOpgave 2 (25 %)En fabrik producerer to varer X og Y . Det viser sig, at udgiften U(x,y) (målt i enheder af 1000kr) forbundet med at producere x tons af X og y tons af Y er givet vedU(x,y) = 10x+5y +2x 2 +y 2 +x 2 y.(a) Bestem U(x,3), og bestemU(x,3)limx→∞ x 2 .(b) Hvilket output fås ved at udføre følgende linier i R?U

Eksamen, 2. februar 2012Matematik og databehandlingOpgave 3 (50%)De 10 spørgsmål i denne opgave løses uafhængigt af hinanden.(a) Bestem Taylorpolynomiet f 2 (x) af orden 2 med udviklingspunkt a = 1 for funktionenf(x) = 3xlnx (x > 0).(b) Bestem maksimumsværdien for funktionenudtrykt ved parameteren a > 0.f(x) = xe −ax(c) Bestem den ligevægt( x∗y ∗ )for matricen ( ) 0.2 0.5,0.8 0.5som opfylder x ∗ = 5.(d) Det oplyses, at vektorener en egenvektor for matricenBestem den til v hørende egenværdi.M =( 1v =1)( ) 1 3.−1 5(e) Bestem den løsning y = y(x) til differentialligningensom opfylder y(0) = 2.dy(1−dx = 5y y ),3(f) Bestem konstanter A og B således at funktionen y = Ax+B er løsning til diffentialligningendy+y = x.dx3

Eksamen, 2. februar 2012Matematik og databehandling(g) Ladf(x,y) = ysinx+x 2 −2y.Bestem niveaukurven for f(x,y) hørende til niveauet 0 ved at udtrykke y som en funktionaf x.(h) Bestem dobbeltintegralet ∫∫hvor Ω = {(x,y)|0 ≤ x ≤ 1 og 0 ≤ y ≤ x}.Ω(x 2 −y 2 )dxdy,(i) Betragt nedenstående rekursive funktion defineret i R:f