Facits til Miniprojekt B

0161412101086x 542Matematik og databehandling 2012t10 122 4 6 8Facits til Miniprojekt BDette er facits til opgaverne i Miniprojekt B uden forklaringer, mellemregninger og R-kommandoer.Formålet er, at I kan se, om I har regnet rigtigt. Der er altså ikke tale om løsningsark som tilafleveringsopgaverne i løbet af modulet.I bedømmelsen af miniprojekterne lægges der endvidere vægt på sammenhængen mellem forklaringer,R-kommandoer og resultaterne.Opgave 1 (45%)(a)Måned t Måned t+10.4P tP t aP tP t+1 Pupper0.7U t0.6U tU t U t+1 Unge orme0.3G t 0.4U t 0.5G t G t G t+1 Gamle ormeIfølge modellen vil en ung orm i gennemsnit producere 0.7 pupper pr. måned. Parameterena angiver sandsynligheden for, at en puppe klækkes (og bliver til en ung orm).(b) Med v t = (57,44,31) fås (afrundet til heltal) v t+1 = (63,49,33) og v t−1 = (50,40,30).(c) Vektorerne v t for t = 0,...,10 akkumuleret som søjler i en matrix:[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11][1,] 100 40 44 50.4 56.48 62.768 69.5824 77.08176 85.37224 94.54906 104.71065[2,] 0 40 40 41.6 45.12 49.664 54.9056 60.77632 67.29850 74.52799 82.53642[3,] 0 0 16 24.0 28.64 32.368 36.0496 39.98704 44.30405 49.07142 54.346911

Facits til Miniprojekt B Matematik og databehandling 2012De beregnede værdier af P t , U t og G t :0 50 100 150PupperUngeGamle0 2 4 6 8 10t(d) Uddata for vækstrater:> V[1,2:11]/V[1,1:10][1] 0.400000 1.100000 1.145455 1.120635 1.111331 1.108565 1.107777 1.107554 1.107492 1.107474> V[2,2:11]/V[2,1:10][1] Inf 1.000000 1.040000 1.084615 1.100709 1.105541 1.106924 1.107314 1.107424 1.107455> V[3,2:11]/V[3,1:10][1] NaN Inf 1.500000 1.193333 1.130168 1.113742 1.109223 1.107960 1.107606 1.107506Konklusion: I det lange løb ser det ud til, at vækstraterne i hver af de tre aldersklassernærmer sig 1.107, så den dominerende egenværdi er λ ≃ 1.107.Uddata for procentvise fordelinger:> for (k in (1:10)){print(100*V[,k]/sum(V[,k]))}[1] 100 0 0[1] 50 50 0[1] 44 40 16[1] 43.44828 35.86207 20.68966[1] 43.36609 34.64373 21.99017[1] 43.34807 34.29834 22.35359[1] 43.34337 34.20108 22.45555[1] 43.34207 34.17373 22.48419[1] 43.34171 34.16605 22.49224[1] 43.34161 34.16388 22.49451Konklusion: I det lange løb ser det ud til, at den procentvise fordeling mellem de tre aldersklassernærmer sig (43.3,34.2,22.5), så (43.3,34.2,22.5) en egenvektor hørende til λ.(e) R-funktionen eigen giver den dominerende egenværdi λ ≃ 1.107 med tilhørende egenvektor(0.73,0.57,0.38). Ganges denne med 100/(0.73+0.57+0.38) genfindes egenvektoren fundeti (d).2

Facits til Miniprojekt B Matematik og databehandling 2012(f) De målte værdier af P t , U t og G t :Pupper0 50 100 150 200Pupper måltUnge måltGamle målt0 2 4 6 8 10Tid(g) De beregnede og de målte værdier af P t , U t og G t :Pupper0 50 100 150 200Pupper måltPupper beregnetUnge måltUnge beregnetGamle måltGamle beregnet0 2 4 6 8 10TidDet ses, at de beregnede værdier generelt ligger under de målte værdier.3

Facits til Miniprojekt B Matematik og databehandling 2012(h) Den bedste værdi er nok a = 0.5. Med a = 0.5 er de beregnede og de målte værdier af P t , U tog G t :Pupper0 50 100 150 200Pupper måltPupper beregnetUnge måltUnge beregnetGamle måltGamle beregnet0 2 4 6 8 10Tid(i) a = 7/18 = 0.389 og en egenvektor er f.eks. (0.73,0.57,0.38) eller (27,21,14).Opgave 2 [45%](a) Lad G t og D t betegne hhv. antal gode og dårlige køer i år t.Nye køer 120.75G tG t G t+1 (Gode)0.25G t0.2D t0.4D t D t+1 (Dårlige)D t0.4D tSlagtning2 Heraf fås:( )Gt+1=D t+1( )( ) 0.75 0.2 Gt+0.25 0.4 D t( ) 12.−2(b) I år 2013: 34 gode og 7 dårlige køer.I år 2011: 20 gode og 5 dårlige køer.4

Facits til Miniprojekt B Matematik og databehandling 2012(c) Med G 0 = 100 og D 0 = 5:Udvikling i bestanden med start 100 gode og 5 dårlige køerGodeDårlige0 20 40 60 80 1000 5 10 15 20 25 30tid (år)Med G 0 = 5 og D 0 = 100:Udvikling i bestanden med start 5 gode og 100 dårlige køerGodeDårlige0 20 40 60 80 1000 5 10 15 20 25 30tid (år)På alle 3 grafer ser det ud til, at antallet af gode og dårlige køer i det lange løb nærmer sigca. 68 hhv. ca. 25.(d)• Ligevægt ( G ∗D ∗ )=( 6825).• det(M − λE) = λ 2 −1.15λ+0.25 giver egenværdierne λ 1 = 0.86 og λ 2 = 0.29. Da|λ 1 | < 1 og |λ 2 | < 1 vil ( G tD t)→( G ∗D ∗ )når t → ∞ ifølge Sætning B.6.2 uanset værdienaf ( G 0D 0). I det lange løb vil bestanden altså uafhængigt af startbestanden nærme sigligevægten.• Ligevægten kan derfor tilnærmelsesvist aflæses på graferne som værdierne af G t og D tfor t = 20, dvs. ( G) ( ∗D ≃ 6825)(hvilket stemmer godt med ligevægten bestemt ovenfor).∗5

Facits til Miniprojekt B Matematik og databehandling 2012(e)( ) ( )( )Gt+1 0.75 a Gt=+D t+1 0.25 0.6−a D t( ) 12.−2(f) a = 0.3 med 12 gode køer det givne år.(g) Ligevægten er G ∗ = 100a+48 og D ∗ = 25.Den første formodningen er korrekt da G ∗ vokser med a, mens den anden er forkert da D ∗ikke afhænger af a.Opgave 3 [10%](a) > M M[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 -1[2,] 0 2 0[3,] 0 0 1> M %*% M[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 -2[2,] 0 4 0[3,] 0 0 1> M %*% M %*% M[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 -3[2,] 0 8 0[3,] 0 0 1> M %*% M %*% M %*% M[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 -4[2,] 0 16 0[3,] 0 0 1> M %*% M %*% M %*% M %*% M[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 -5[2,] 0 32 0[3,] 0 0 1> M %*% M %*% M %*% M %*% M %*% M[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 -6[2,] 0 64 0[3,] 0 0 1“Gæt”:⎛ ⎞1 0 −tM t = ⎝0 2 t 0⎠.0 0 1(b)⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞1 0 −t 1 0 −1 1 0 −(t+1)M t+1 = M t M = ⎝0 2 t 0⎠⎝0 2 0⎠ = ⎝0 2 t+1 0 ⎠.0 0 1 0 0 1 0 0 16