Geodætiske kurver 1 Introduktion - DTU Matematik ∙ Institut for ...

1 Introduktion 

1.0.1 Hvad er en geodætisk kurve? 

Geodætiske kurver 

Køreplan 

01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 

Hvad er den korteste vej fra A til B? Det er et spørgsmål der igennem tiderne har optaget 

dovne mennesker. I R3 er den korteste vej mellem to punkter en ret linie, og den afstand der 

tilbagelægges ved at følge den rette linie fra A til B er den euklidiske afstand, ℓ: 

� 

ℓ = (xA − xB) 2 +(yA − yB) 2 +(zA − zB) 2 

Hvis man nu ikke kan bevæge sig frit i rummet, men er tvunget til at følge en bestemt flade, 

f.eks fordi man bor på en kugle, er det imidlertid ikke sikkert, at man kan forbinde to punkter 

med en ret linie, så denne er indeholdt i fladen. Så er man nødt til at følge en krum kurve for 

at komme fra A til B. Spørgsmålet er så: Hvordan vælger man den kurve, man skal følge for at 

komme fra A til B og tilbagelægge kortest mulig afstand? Den kurve, der løser dette problem, 

er en geodætisk kurve på den pågældende flade. Mere generelt siges geodætiske kurver at være 

lokalt længdeminimerende, men det er ikke noget vi kommer nærmere ind på her. 

Dette projekt handler om bestemmelse af geodætiske kurver på forskellige flader. 

Projektet består af tre dele: 

Del A Her skal I bruge Maples ’NLPSolve’-kommando til at bestemme en “polygonisk geodæt” 

på en flade. 

Del B Her betragtes en indskreven polygon til en kurve, og I skal vise teoretisk og i Maple, at 

polygonlængden går mod kurvelængden. 

Del C Her skal I udlede de differentialligninger, der beskriver geodætiske kurver generelt, samt 

bestemme geodæter i R 2 , på en cylinderflade, og på flader af eget valg. 

Før vi går videre, er der imidlertid nogle definitioner, der skal på plads. 

Grundlæggende definitioner: 

En rumkurve kan beskrives ved en parameter: 

En glat kurve i R 3 er en uendeligt mange gange differentiabel funktion, γ : [a;b] → R 3 , der fører 

en reel variabel fra et interval [a;b] ⊆ R over i R 3 . 

Det betyder, at en kurve, γ, kan skrives som en vektorfunktion af en variabel: 

γ(t) = � x(t),y(t),z(t) � , t,x,y,z ∈ R . 

Matematik 1 – 05/06 side 1

p 1 

pi 

p i+1 

p 2 

Figur 1: Enhver glat kurve, α kan tilnærmes med en polygonkurve. Dette gøres ved vælge et antal punkter, 

(p1, p2,...pn), på kurven og forbinde dem med rette linier. Punkterne kaldes hjørnepunkter. Jo flere 

punkter, jo bedre tilnærmelse. En kurve kan tilnærmes vilkårligt godt med med en polygon. 

En flade i rummet kan beskrives ved to parametre: 

En parameteriseret flade i R 3 er en funktion, F : Ω → R 3 , der fører to reelle variable fra et 

område i planen Ω ⊆ R 2 over i R 3 . 

Det betyder, at en flade F kan skrives som en vektorfunktion af to variable: 

F(u,v) = � x(u,v),y(u,v),z(u,v) � u,v,x,y,z ∈ R . 

I dette projekt betragtes geodætiske kurver på flader som er graf for en funktion af to variable. 

Det vil sige flader, F , der kan beskrives ved en parameterfremstilling på formen: 

her er det x og y, der er parametrene 

F(x,y) = � x,y, f(x,y) � , (x,y) ∈ R 2 , f(x,y) ∈ R 

En kurve ligger i en flade, når alle punkter på kurven er indeholdt i fladen. 

Nu er vi klar til formulere problemet med at bestemme en geodætisk kurve mere formelt. 

Find den kurve, som har den mindste kurvelængde blandt de kurver, der forbinder A og B 

og som ligger i fladen. 

I første omgang vil vi prøve at tilnærme en løsning, idet vi i stedet for en kurve i fladen betragter 

en polygonkurve, hvis hjørnepunkter ligger i fladen. 

En polygonkurve, Γ, består af et antal hjørnepunkter p1, p2,..., pi,..., pn i R 3 , der er forbundet 

af rette liniestykker. En indskreven polygon for en glat kurve, γ, er en polygonkurve hvis 

hjørnepunkter ligger på γ. Det betyder, at ved at vælge nogle værdier, ti, i intervallet [a;b], så 

a = t1 < t2 < ... < ti < ... < tn = b , 

kan man angive hjørnepunkterne pi = (xi,yi,zi) for en indskreven polygon sådan: 

pi = γ(ti) = � x(ti),y(ti),z(ti) � 

Figur 1 viser, hvordan det kan se ud. 

Matematik 1 – 05/06 side 2 

pn

x 

z 

Γ 

pi 

pi+1 

Figur 2: Fladen F og polygonen Γ. 

Når geodætproblemet skal løses for en polygonkurve, har vi altså to faste endepunkter A = p1 

og B = pn samt et antal frie hjørnepunkter pi, i = 1...n, der kan flyttes rundt på fladen. De frie 

hjørnepunkter skal så placeres sådan, at længden af polygonkurven bliver mindst mulig. 

Længden, ℓn, af en polygonkurve er summen af sidelængderne: 

2 DEL A 

n 

ℓn = ∑ 

i=2 

� 

(xi − xi−1) 2 +(yi − yi−1) 2 +(zi − zi−1) 2 

2.1 Geodæter repræsenteret ved polygoner 

I første del af projektet betragter vi polygoner, Γ, der som tidligere nævnt bliver beskrevet ved 

hjørnepunkterne p1,..., pi,..., pn ∈ R 3 , på en flade F(x,y) = (x,y, f(x,y)), se figur 2. 

Ved at holde Γ’s endepunkter p1 og pn fast er problemet at minimere længden af Γ, og derved 

opnå en tilnærmelse til en geodæt på fladen F . Dette kan formuleres således: 

hvor δi er afstanden mellem pi og pi+1: 

min 

p j, j=2,...,n−1 

y 

F 

n−1 

∑ δi , (2.1) 

i=1 

δi = 

� 

(xi+1 − xi) 2 +(yi+1 − yi) 2 +( f(xi+1,yi+1) − f(xi,yi)) 2 , i = 1,...,n − 1 . (2.2) 

Opgave 1. Hvis problemet (2.1) blev minimeret uden yderligere betingelser, så ville alle punkterne 

blive placeret i p1 og pn. Forklar hvorfor dette er tilfældet. 

Vi er derfor nød til at tilføje en begrænsning til minimerings problemet, for eksempel at: 

δi = δi+1, i = 1,...,n − 2 (2.3) 


Dette betyder, at at vores minimeringsproblem bliver ligning (2.1) under hensyn til begrænsningerne 

givet ved (2.3). 

Opgave 2. Hvad betyder begrænsning (2.3) for polygonen Γ? 

2.1.1 Løsning i Maple 

Det 

�Ö�×Ø�ÖØ�Û�Ø�ÔÐÓØ×�Û�Ø�ÇÔØ�Ñ�Þ�Ø�ÓÒ� 

er typisk ikke muligt at løse (2.1) og (2.3) i hånden, og det er derfor nødvendigt at bruge en 

numerisk algoritme i Maple. 

MaplesÇÔØ�Ñ�Þ�Ø�ÓÒpakke indeholder mange forskellige algoritmer til løsning af minimeringsproblemer. 

Vores problem er ikke-lineært, derfor bruger vi procedurenÆÄÈËÓÐÚ�(NLP- 

Solve: 

��ÜÝ 

Non-Linear Program Solver). Prøv at udføre følgende kommandoer i Maple: 

��ÑÑ�Ü��×�Õ ��ÑÑ�Ý��×�Õ �×�ÒÜ� È�Ò È�Ò Ó×Ý�� Ò� Ò� �� 

Funktionen f , der giver fladen, bliver defineret som en funktion af to variable, og kurven Γ gives 

som to vektorer indeholdende x og y koordinaterne. 

�Ò��ÒÓÔ×ÓÒÚ�ÖØ��ÑÑ�ÜÐ�×Ø� ��ÐØ��ÜÝ� 

Antallet 

��ÐØ��ÜÝ 

af punkter n defineres som antallet af elementer i gammax vektoren. Ligning (2.2), (2.1) 

og 

��ÜÝ� �Ü��℄Ý��℄ 

(2.3) defineres som 

��ÐØ��ÜÝ��ÐØ��ÜÝ� ��ÐØ��ÜÝ�� ×ÕÖØÜ��℄Ü��℄� �Ü��℄Ý��℄�� Ò �Ý��℄Ý��℄� 

henholdsvis deltai, delta og bc: 

� 

��Ò�ÓÐ�Ú�Ð�ÇÔØ�Ñ�Þ�Ø�ÓÒ℄�� ÇÈ��ÆÄÈËÓÐÚ��ÐØ�ÜÝß×�Õ�ÜÝ�� 

MaplesÆÄÈËÓÐÚ�har syntaksenÆÄÈËÓÐÚ�(Funktion der skal minimeres, {begrænsninger}, initialpoint 

= {begyndelsebetingelser}, 

×�ÕÝ��℄��ÑÑ�Ý��℄�� ÑÑ�Ü�℄Ü�Ò℄��ÑÑ�Ü�Ò℄Ý�℄��ÑÑ�Ý�℄ Ý�Ò℄��ÑÑ�Ý�Ò℄��Ò�Ø��ÐÔÓ�ÒØ�ß×�ÕÜ��℄��ÑÑ�Ü��℄�� Ò Ü�℄� 

ekstra parametre), 

Ò�Ñ�Ø�Ó��×ÕÔ�Ø�Ö�Ø�ÓÒÐ�Ñ�Ø�Ò læs mere omÆÄÈËÓÐÚ�iMaples��ÐÔ. 

� 

��ÓÔ��×�Õ×Ù�×ÇÈ�℄Ü��℄�� Ò�� 

Da outputtet fraÆÄÈËÓÐÚ�er en liste bestående af de x og y koordinater, der minimerer længden 

�Ô��ÔÓ�ÒØÔÐÓØ��×�Õ��ÓÔ��℄�ÓÔ��℄��ÓÔ��℄�ÓÔ��℄℄�� ÓÔ��×�Õ×Ù�×ÇÈ�℄Ý��℄�� Ò�� 

af Γ, skal kordinaterne i outputtet konverteres til to vektorer: 

�Ô��ÔÓ�ÒØÔÐÓØ��×�Õ��ÑÑ�Ü��℄��ÑÑ�Ý��℄��ÑÑ�Ü��℄��ÑÑ�Ý��℄℄ ÓÒÒ�Ø�ØÖÙ��Ü�×��ÓÜ��ÓÐÓÖ��Ð��Ø��Ò�××�� Ò℄ 

Resultatet kan nu plottes: 


�Ô��ÔÐÓØ��×ØÝÐ��Ô�Ø�ÒÓ�Ö�� ÐÓ××�Ò�××��Ö�� Ò℄ÓÒÒ�Ø�ØÖÙ��Ü�×��ÓÜ��ÓÐÓÖ��ÐÙ�Ø��Ò�××�� ℄� 

��ÑÑ�Ü��×�ÕÒ�Ò��Ò�� ÜÝ �×�ÒÜ Ó×Ý�� ×�ÕÒ� �Ò��Ò� �� 

��×ÔÐ�ÝÔÔÔ� 

��ÑÑ�Ý��×�ÕÒ�Ò�� 

Opgave 3. Prøv at ændre f og polygonen Γ i Maplen koden til: 

Eksperimentér også med egen valg af flader. 

3 DEL B 

3.1 Fra længden af en polygon til kurvelængden af en kurve 

Vi har i det foregående tilnærmet kurvelængden med længden af en indskreven polygon, hvilket 

intuitivt virker rimeligt. Det svarer jo til at forsøge at måle længden af en krum kurve med en 

lineal. Denne del af projektet handler om forbindelsen mellem kurvelængde og polygonlængde. 

Vi skal vise, at når antallet af hjørnepunkter i Γ går mod uendelig, så går længden af polygonen 

mod kurvelængden. 

Kurvelængden, L (γ), er kendt fra bogen Matematisk Analyse 2. For en kurve γ : [a;b] → R 3 er 

kurvelængden givet ved: 

L (γ) = 

� b 

a 

� ˙γ(t)� dt (3.1) 

Opgave 4. En indskreven polygon med n hjørnepunkter har længden ℓn, givet ved: 

n � 

�x(ti) ℓn = − x(ti−1) �2 � 

+ y(ti) − y(ti−1) �2 � 

+ z(ti) − z(ti−1) �2 . 

∑ 

i=2 

1. Vis ved hjælp af middelværdisætningen 1 anvendt på hver af funktionerne x,y,z, at ℓn 

også kan skrives på formen: 

ℓn = 

n � 

∑ ˙x 

i=2 

2 (ζi)+ ˙y 2 (ηi)+ ˙z 2 (ξi) ·(ti −ti−1) , (3.2) 

med passende valg af værdier ζi, ηi og ξi i intervallet ]ti−1;ti[ (for i = 2,...,n) . 

2. Opstil middelsummen, Sn for integralet (3.1). Hvorved adskiller dette udtryk sig fra 

(3.2)? 

3. Forklar med ord hvorfor det virker rimeligt at: 

|ℓn − Sn| → 0 for n → ∞ 

Hvilken konsekvens har det? (Vink: Hvad går Sn mod?) 

1 Se evt. hjemmmesiden: http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_Value_Theorem#Formal_statement 


Efter at have redegjort teoretisk for, at ℓn er en tilnærmelse til L (γ) vil det være interessant 

at undersøge, hvor god en tilnærmelse den egentligt er, og hvad der er den bedste tilnærmelse, 

polygonlængden eller middelsummen. 

Opgave 5. Denne opgave skal regnes med Maple. I vil få brug for kommandoerne:×Ô��ÙÖÚ�, ×�ÕogÔÓ�ÒØÔÐÓØ�. 

1. Udregn ℓn og Sn for en selvvalgt2 kurve for forskellige finheder af inddelingen (dvs. 

forskellige værdier af n). 

4 DEL C 

2. Plot for hver finhed den tilhørende polygonkurve sammen med kurven selv. 

3. Udregn kurvelængden. Hvad er den bedste tilnærmelse, ℓn eller Sn? 

4. Undersøg om dette gælder generelt. Prøv med nogle forskellige kurver, f.eks 

γ1(t) = (t 2 ,t 4 ,t 6 ), t ∈ [−1;1] , 

γ2(t) = � cos(t),sin(t),t � , t ∈ [0;10] . 

5. Kan man ved at betragte billederne af polygonkurverne forklare, hvorfor Sn hhv. ℓn 

er den bedste tilnærmelse? 

4.1 Variationsregning 

I afsnit A har vi arbejdet med kurvelængden af polygonkurver og har betragtet længden som en 

funktion af nogle punktplaceringer. Vi skal nu se på] hvordan dette kan generaliseres til at man 

betragter kurvelængden som en funktion af kurven og at man minimerer over alle mulige (glatte) 

kurver. 

For en given kurve γ er kurvelængden L (γ) er et reelt tal. Vi opfatter nu kurvelængden som en 

afbildning L : C∞ ([a,b],R) → R , der for en glat kurve γ : [a,b] → R3 (dvs. γ ∈ C∞ ([a,b],R)) 

giver værdien af længden af kurven: 

L (γ) = 

� b 

hvor L( ˙γ(t)) = � ˙γ(t)� kaldes Lagrangefunktionen. 

a 

L( ˙γ(t))dt (4.1) 

L er altså ikke en almindelig funktion, der har en delmængde i R n som definitionsmængde; da 

L (γ) er en reel værdi kalder man afbildningen for en funktional. 

4.1.1 Variationer 

For en differentiabel funktion af flere variable har vi begrebet retningsafledede og et tilsvarende 

begreb kan defineres for funktionaler; man udnytter her, at , C ∞ ([a,b],R) er et vektorrum (jf 

Lineær Algebra). 

2 For inspiration, se hjemmsiden: http://mathworld.wolfram.com/topics/Curves.html 


Definition 4.1. For to glatte kurver γ,v ∈ C∞ ([a,b],R 3 ) med fastholdte endepunkter, γ(a) = A, 

γ(b) = B og v(a) = v(b) = 0 og en funktional L : C∞ ([a,b],R) → R er variationen af L for 

kurven γ i retningen v givet ved 

L (γ + εv) −L (γ) 

δL (γ,v) = lim 

= 

ε→0 ε 

∂ 

L (γ + εv) 

∂ε 

⏐ 

ε=0 

Man kan tænke på δL på følgende måde: For et fastholdt γ varieres L med funktionen v ved 

at gå stykket ε i v’s “retning”, og så lade ε → 0; man udnytter her, at funktioner kan “lægees 

sammen” (vektorrumsstrukturen af C ∞ ([a,b],R)). Samtidig giver udregningen L (γ + εv) for 

faste valg af γ og v en sædvanlig funktion af en reel variabel ε; dvs. L (γ + εv) differentieres på 

den "normale" måde m.h.t. ε. 

Opgave 6. Vis at variation for L (γ) = � b a � ˙γ(t)�dt , med γ(t) = (t,y(t)), bliver 

δL (γ,v) = 

� b 

a 

˙y 

� 1+ ˙y(t) ˙v(t)dt . 

Opgave 7. Udregn variationen for følgende kurver ved at bruge ligning (4.1) og definition 4.1. 

4.1.2 Minimum 

γ2D(t) = (x(t),y(t)) , γ3D(t) = (x(t),y(t),z(t)) . (4.2) 

Når vi søger en geodæt, søger vi den kurve, som har den kortest kurvelængde, altså den γ0 for 

hvilket funktionalen L er minimeret. For et minimum L (γ0) må der gælde, at (hvorfor?): 

L (γ0) ≤ L (γ0 + εv), for alle v og alle ε . (4.3) 

Opgave 8. Vis, at med den variation, der er defineret i definition 4.1, er en nødvendig betingelse 

for et minimum for L , at 

δL (γ0,v) = 0, for alle v . (4.4) 

4.2 Euler-Lagrange ligningerne for geodæter 

Vi vender nu tilbage til variationen af L ; vi vil gerne udnytte ligning (4.4) og definition 4.1 til 

at finde et udtryk der måske gør det muligt (nemt?) at finde minima for L . 

4.2.1 Euler-Lagrange ligningen for γ(t) = (t,y(t)) 

Lad γ være en plan kurve i R 2 , givet ved grafen for en funktion t ↦→ y(t), således at γ(t)= (t,y(t)). 

Langragefunktionen bliver nu 

L( ˙γ(t)) = � ˙γ� = 

� 

˙t 2 + ˙y 2 � 

(t) = 1+ ˙y 2 (t) , 

og den kan derfor skrives som L( ˙y(t)). Vi vil nu udlede den såkaldte Euler-Lagrange ligning for 

en Lagrangefunktion på denne form. 


Opgave 9. Vis (uden at bruge det eksplicitte udtryk for L( ˙γ(t))= � ˙γ(t)�), at med γ(t)= (t,y(t)), 

er δL (γ,v) givet som: 

� b 

δL (γ,v) = ˙v(t) ∂L 

( ˙y(t))dt . 

∂ ˙y 

(4.5) 

Opgave 10. Benyt delvis integration på resultatet i ligning (4.5) til at udlede, at 

δL (γ,v) = 

� b 

a 

a 

− d ∂L 

( ˙y(t))v(t)dt (4.6) 

dt ∂ ˙y 

Vink: Benyt, at værdierne af v i endepunkterne t = a og t = b er kendte. 

For at komme videre er det nødvendigt at bruge følgende resultat: 

Lemma 4.2 (Det fundamentale lemma i variationsregning). Lad f og g være glatte funktioner 

(altså f,g ∈ C∞ ([a,b],R)). Så gælder der, at 

� b 

f(t)g(t)dt = 0 for alle g , 

hvis og kun hvis 

a 

f(t) = 0, t ∈ [a,b]. 

Ved at bruge lemma 4.2 på ligningerne (4.4) og (4.6) kan man konkludere, at en nødvendig 

betingelse for et minimum af L i dette tilfælde er: 

d ∂L 

( ˙y(t)) = 0 

dt ∂ ˙y 

Dette er den såkaldte Euler-Lagrange ligning for en Lagrangefunktion L( ˙y(t)). Euler-Lagrange 

ligningen er en differentialligning. For at opsummere har vi at: 

Sætning 4.3. (Euler-Lagrange) Lad γ : [a,b] → R 2 være en glat kurve, der opfylder γ(a) = A og 

γ(b) = B. Desuden er γ givet ved γ(t) = (t,y(t)). 

Hvis γ er et minimum for L med Lagrangefunktion L( ˙y(t)), da opfylder y(t) følgende ligning: 

d ∂L 

( ˙y(t)) = 0 (4.7) 

dt ∂ ˙y 

Det er værd at understrege, at sætningen kun giver en nødvendig betingelse for at γ er et minimum. 

Ved at løse ligning (4.7) findes generelt også hvad der svarer til saddelpunkter og maksima. 

Ud fra alle løsninger til (4.7) må man så identificere geodæterne ved f.eks. at bruge ligning (4.3); 

dette bliver dog ikke nødvendigt i det følgende. Bemærk også, at det mange tilfælde er overordentligt 

vanskeligt at finde løsninger til Euler-Lagrange ligningen. 

Bemærkning 4.4. Ligning (4.7) kan uden problemer integreres med hensyn til den variable t. 

Dermed får Euler-Lagrange ligningen formen 

hvor C er en arbitrær konstant. 

∂L 

( ˙y(t)) = C , (4.8) 

∂ ˙y 


4.2.2 Geodæter i R 2 

y(t) 

A 

γ = (t,y(t)) 

Figur 3: . 

Vi vil nu prøve at finde en geodæt mellem to punkter A og B i R 2 . 

Vi antager, at kurven γ skal være grafen for en funktion, således at γ(t) = (t,y(t)), A = (a,yA) 

og B = (b,yB), se figur 3. Vi har derfor fra forrige afsnit, at Lagrangefunktionen bliver L( ˙y(t)) = 

� 1+ ˙y 2 (t). 

Opgave 11. Vis, at Euler-Lagrange ligningen (4.7) for ovenstående Lagrangefunktion bliver 

� 

1 

(1+ ˙y 2 (t)) 3/2 

� 

¨y(t) = 0 

Opgave 12. Forklar at vi nødvendigvis må have at 

og find forskriften for kurven γ. 

4.2.3 Geodætiske kurver på cylinderen 

¨y(t) = 0 

En cylinder med radius 1 har parameterfremstillingen: 

hvor θ ∈ [0;2π[ og z ∈ R 

F∞(θ,z) = � cosθ,sinθ,z � , 

Cylinderen ligner planen, idet man ved at skære cylinderen op og folde den ud kan få et stykke 

af planen. Når en geodætisk kurve i planen derfor kan antages at være graf for en funktion, så 

må noget lignende gøre sig gældende på cylinderen. 

Opgave 13. Lad os antage, at den geodætiske kurve opfylder, at z er en funktion af θ. Ved 

at indsætte dette i cylinderens parameterfremstilling kan de kurver γ, som vi undersøger 

beskrives således: 

γ(θ) = � cosθ,sinθ,z(θ) � 

Matematik 1 – 05/06 side 9 

B 

t

a. Opskriv udtrykket for kurvelængden af γ(θ), og bestem z(θ) ved hjælp af resultater 

fra tidligere i projektet, idet randbetingelserne er givet ved: 

hvor θa,θB ∈ [0;2π[ og θa < θb. 

z(θa) = zA, z(θb) = zB, 

b. Plot for forskellige θa, θb, zA og zB geodætiske kurver for cylinderen. Hvad sker der 

når zA = zB, og hvad sker der når zA �= zB ? 

c. Betragt to forskellige punkter på cylinderen, der opfylder at θa = θb. Vis, at de kan 

forbindes af en ret linie, der er indeholdt i fladen. Er denne rette linie en geodætisk 

kurve? Hvis ja, hvorfor er dette tilfælde så ikke dækket af spørgsmål (a)? 

4.2.4 Geodæter på nogle flere flader i R 3 

Opgave 14. Betragt fladen i R 3 med parameterfremstillingen 

F∈(x,y) = � x,y, 1 3 x3� , (x,y) ∈ R 2 . 

Antag, at vi kan finde en geodæt på fladen, der svarer til en kurve (t,y(t)) i R 2 . 

i. Find udtrykket for længden af en sådan kurve på fladen og opskriv Euler-Lagrange 

ligningen for kurven. Dette er en differentialligning. Hvad er ordenen? Er den lineær? 

ii. Find løsninger til denne Euler-Lagrange ligningen. Man kan her vælge at lade kurven 

være bestemt af værdier af y(a) og ˙y(a) (fx med a = 0) (giver dette mening?). Det er 

sandsynligt, at man må benytte numerisk løsning, se maples�×ÓÐÚ�ÒÙÑ�Ö�. 

iii. Sammenlign nogle af kurverne yg fundet i (ii) med de tilsvarende kurver, der stammer 

fra at punkterne (a,yg(a)) og (b,yg(b)) forbindes med en ret linie i (x,y)-planen. 

iv. Er der typer af geodæter man ikke kan finde med denne fremgangsmåde? 

Opgave 15. Betragt paraboloiden i R 3 med parameterfremstillingen 

F∋(x,y) = � x,y, 1 2 (x2 + y 2 )) , (x,y) ∈ R 2 . 

Gennemfør samme undersøgelser som i opgave 14. Betragt for eksempel geodæter, der 

svarer til kurver (r(φ)cosφ,r(φ)sinφ) i R 2 (med φ ∈ [a,b]). Bemærk, at der i dette tilfælde 

skal opskrives en ny form for Euler-Lagrange ligning da L nu afhænger af både r(φ) og 

r ′ (φ). 

Opgave 16. Gennemfør samme undersøgelser som i opgave 14 for en flade af eget valg. 

Opgave 17. Overvej hvad der skal til for at finde geodæter på formen 

på en flade i rummet. 

� 

� 

x(t),y(t),F(x(t),y(t))

Geodætiske kurver 1 Introduktion - DTU Matematik ∙ Institut for ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?