Introduktion til dynamik

Tvungne, dæmpede svingningerI dette tilfælde medtages dæmpning, og bevægelsesligningen blivermẍ + cẋ + kx = P 0 cos ωt (26)Idet dæmpningsforholdet ζ deneres som tidligere, (11), omskrives (26) til:ẍ + 2ω 1 ζẋ + ω 2 1x = P 0k ω2 1 cos ωt (27)hvor ω 1 betegner systemets egensvingningsfrekvens.Løsningen skrives på formen:x = C 1 sin ωt + C 2 cos ωt (28)Ved indsættelse af (28) i (27) og omordning af leddene ndes:(ω 2 1 − ω 2 )(C 1 sin ωt + C 2 cos ωt) + 2ζω 1 (C 1 cos ωt − C 2 sin ωt) (29)= P 0k ω2 1 cos ωtVed at matche led med sin ωt og cos ωt bestemmes de 2 arbitrære konstanter C 1 og C 2 .Efter nogen regning ndesC 1 = P 0C 2 = P 0kk 2ζ ω ω 1f 1 (30)(1 − ( ω ω 1) 2 )f 1hvor den dæmpede forstærkningsfaktor f 1 er givet ved:f 1 =√1(1 − ( ω ω 1) 2 ) 2+(2ζ ω ω 1) 2(31)Den dæmpede forstærkningsfaktor har ingen singularitet, men for ω → ω 1 bliver den stor,idet ζ typisk er af størrelsesorden 0.05.Indsættes (31) i løsningen (28) ndes:x = P (0k f 1 2ζ ω sin ωt + (1 − ( ω )) 2 ) cos ωtω 1 ω 1Ved hjælp af sin / cos relationer kan udtrykket i parentes omskrives, og man får:x = P 0k f 1 cos (ωt − ϕ) (33)5(32)