Introduktion til dynamik

3Konstanter A og α i (6) bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne. Et karakteristisk træker, at svingningerne vil foregå i det uendelige, og at der ikke er noget tab af energi. Derforegår en tabsfri overgang mellem kinetisk energi og elastisk energi i hver cyklus.Dæmpede egensvingningerI dette tilfælde medtages dæmpningsleddet, og bevægelsesligningen skrives sommẍ + cẋ + kx = 0 (10)Dæmpningen karakteriseres ved det såkaldte dæmpningsforhold ζ givet vedζ = c c 0(11)hvor c o denerer den kritiske dæmpningc 0 = 2 √ km (12)Dæmpningen vil for sædvanlige bygningskonstruktioner være langt mindre end den kritiskedæmpning, og dæmpningsforholdet vil typisk ligge i intervallet 0.01 - 0.05.Ved hjælp af (10) og (12) omskrives bevægelsesligningen til:ẍ + 2ωζẋ + ω 2 x = 0 (13)Denne dierentialligning løses ved standardmetoder, og for ζ < 1 ndes:x = A 0 e −αt ( α √1β sin βt + cos βt) = A 0e −αt cos (βt − φ) (14)1 − ζ2 hvor A 0 er amplituden til t = 0. Frekvensen β er givet ved√β = ω 1 − ζ 2 (15)og α udtrykker dæmpningen af systemet.α = ωζ (16)Faseforskydningen φ i (14) udtrykker den forsinkelse der kommer i responset p.gr.a. dæmpningen,og faseforskydningen er givet ved:tan φ =ζ√ 1 − ζ2(17)Bevægelsen er karakteriseret ved en amplitude, der falder gennem tiden, og en cykliskvariation med frekvensen β. Det dæmpede system svinger med en frekvens, der er mindreend det tilsvarende system uden dæmpning. I modsætning til tilfældet uden dæmpning erder et energitab, som man også betegner energidissipation.For et lille dæmpningsforhold kan energitabet i en cyklus bestemmes som:w d∼ = π c ω A2t (18)hvor amplituden, A t , er maksimaludsvinget i den betragtede periode. Energitabet blivermindre og mindre, jo mere systemet dæmpes. Dette er forklaringen på, at svingningenaldrig standser helt.