Introduktion til dynamik

24En anden ofte brugt implicit metode betegnes Wilsons θ-metode. Princippet er nogenlundedet samme. På et punkt er der dog en væsentlig forskel nemlig, at Wilsons metode indeholderen form for dæmpning specielt for den højfrekvente del. Dette kan være nyttigt ipraktiske beregninger, men den kan ikke kontrolleres direkte.Modal analyseI elementmetodebeskrivelsen er udgangspunktet de ytningsovertallige i knuderne, og antalletaf frihedsgrader benævnes n. Udgangspunktet i modalanalysen er i stedet at beskrivetilstanden ved hjælp af systemets egensvingninger. Der er ligeså mange egensvingningsfrekvenserog dermed egensvingningsformer, som der er frihedsgrader.Som variable benyttes de såkaldte normalkoordinater, η i , og ytningstilstanden i konstruktioner,v, kan skrives somv = Uη (126)hvor η indeholder normalkoordinaterne, og matricen U indeholder egensvingningsformerneu 1 til u n søjlevis, som vist i nedenstående ligning (127). Størrelsen af normalkoordinaterneafhænger af den valgte normering af egensvingningsformerne.⎧⎫⎪⎨ . . . ⎪⎬U = u 1 u i u n⎪⎩⎪⎭...(127)I det styrende dierentialligningssystem formuleret i (108) indføres normalkoordinaternevha. (126).MU¨η + CU ˙η + KUη = R(t) (128)hvor ˙η og ¨η er henholdsvis hastigheder og accelerationer for normalkoordinaterne. Vedat multiplicere med u T i , hvor u i er den i'te egensvingningsform, i ligning (128) omskrivesligningssystemet tilu T i MU¨η + u T i CU ˙η + u T i KUη = u T i R(t) i = 1, · · · , n (129)Idet ortogonalitetsbetingelsen fra (116) udnyttes fåsu T i MU¨η = u T i Mu i¨η i = m i¨η i i = 1, · · · , n (130)u T i KUη = u T i Ku i η i = k i η i i = 1, · · · , nhvor m i og k i betegnes henholdsvis den generaliserede masse og stivhed for normalkoordinati.Hvis der benyttes Rayleigh dæmpning, (111), kan en generaliseret dæmpning indføres som:c i = αm i + βk i i = 1, · · · , n (131)