Introduktion til dynamik

21Svingningerne bliver harmoniske, og alle frihedsgrader er i fase. Det vil sige, at ytningernekan beskrives med en amplitude, som vist nedenfor:v(t) = v cos ωt (113)hvor ω er systemets egensvingningsfrekvens. Indsættes (113) i bevægelsesligningen (112)fås:(K − ω 2 M)v = 0 (114)hvilket er et lineært egenværdiproblem. Systemet har ligeså mange egenværdier som frihedsgrader,men normalt ønskes kun et fåtal af de laveste egenfrekvenser bestemt. Der kan f.eks.anvendes subspace iteration. Til hver egensvingningsfrekvens hører en egensvingningsform,som beskriver formen, mens størrelsen er ubestemt. Fra teorien om egenværdiproblemervides, at de enkelte egensvingningsformer, er ortogonale som vist nedenforv T i Mv j = 0 for i ≠ j (115)v T i Kv j = 0 for i ≠ jhvor v i er egensvingningsformen hørende til en i'te egenværdi.Hensyntagen til indydelse fra normalkræfter fås ved at modicere K med den geometriskestivhedsmatrix K g , jvf. (106).Hvis dæmpning medtages bliver problemet mere komplekst, idet der vil være en faseforskydningmellem de enkelte frihedsgrader.TidsintegrationI denne del behandles den generelle ligning (108), og der formuleres en løsning til bestemmelseaf den tidslige variation. Metoderne kan også benyttes i forbindelse med modalanalyse,se senere.Bevægelsesligningerne løses i en række tidsskridt med afstanden ∆t. Der er 2 principieltforskellige fremgangsmåder: den eksplicitte og den implicitte.Eksplicit metodeUdgangspunktet er en interpolation af variationen i v, ˙v og ¨v igennem et tidsinterval visti Figur 10.Fig. 10: Tidsakse med punkterTilstandene i punkterne n−1 og n antages kendte, og der ønskes en metode til bestemmelseaf tilstanden i punkt n + 1.