Introduktion til dynamik

13Den laveste egensvingningsfrekvens bliverω = 1.8752l 2√EIµEgensvingningsformen ndes ved f.eks. at vælge A arbitrært, og bestemme B af en afligningerne i (75) for x = l. Bortset fra afrundingsfejl, skal hver ligning give det samme.Ved udregning ndes:C = −A og D = −B (79)Egensvingningsformen skrives derfor som:w(x) = A( sin λxl)λx− sinh − 1.362A( cos λxll)λx− coshlVed stabilitetsberegninger kan en udkraget bjælke opfattes som en simpelt understøttetbjælke med den dobbelte længde. Ved svingningsanalyse gælder den analogi ikke, og vedsammenligning af egenfrekvenserne i (70) og (78) ses, at en udkraget bjælke med længdenl/2 svarer til en simpelt understøttet bjælke med længden 0.838l. Forskellen mellem de 2tilfælde er, at massen bevæges i gennemsnit mere i den simpelt understøttede, hvilket mankan overbevise sig om ved at optegne egensvingningsformerne. Ved stabilitetsproblemet erdet de aedede af tværytningen, der styrer problemet, og de er ens i de to tilfælde.Svingningsanalyse af rammekonstruktionerBøjningssvingningerSom udgangspunkt analyseres en bjælke, der svinger med en given frekvens, ω. Denstyrende dierentialligning er givet i (61), og den principielle løsning er beskrevet i (62),som for nemheds skyld er gengivet nedenfor:xw(x) = A sin (λ kl ) + B cos (λ xkl ) + C sinh (λ xkl ) + D cosh (λ xkl ) (81)( )µωkhvor λ k = l2 14.EIDierentialligningen kan løses for de sædvanlige elementartilfælde, som vist i gur 5.(78)(80)Elementarytningerne skrives som:Fig. 5: Elementartilfældew i (x, t) = w i (x) sin ωt (82)